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第一讲 求直线和圆的方程方法总结※求直线方程的若干方法：直线是数学中最常见的图形,直线方程数学中最常用方程,该知识点与其他知识点的融合是最紧密的,考查的题型和方法也多样，这里总结复习几种不同的求直线方程的方法. 【关健词】直线方程 方法 一、知识要点概述:1、直线的方程、方程的直线概念；2、直线方程形式（1）点斜式：直线过点00(,)x y 斜率为k ，直线方程：00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴直线； （2）斜截式：直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，直线方程：y kx b =+,它不包括垂直于x 轴直线； （3）两点式：直线经过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，直线方程：121121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线；（4）截距式：直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,直线方程：1=+bya x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线；（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A ,B 不同时为0)的形式. 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等⇔直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数⇔直线的斜率为1或直线过原点； 直线两截距绝对值相等⇔直线的斜率为1±或直线过原点.如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 二、解题方法指导:1、求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解直接写出直线方程 设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=； （5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=.（6）经过两条直线0111=++C y B x A 和0222=++C y B x A 的交点的直线系方程为：λ+++111C y B x A 0)(222=++C y B x A （λ为参数）.2、具体方法有：⑴利用公式求直线方程；⑵通过直线系求直线方程；⑶借助相关点求直线方程——轨迹法； ⑷利用参数求直线方程；⑸通过分析结构求直线方程. 三、范例剖析 1、直接法例1、直线l 在y 轴上的截距为3，且倾斜角α的正弦值为45，求直线l 的方程.解：4sin 5α=，3cos 5α=±，∴直线的斜率43k =±故所求直线的方程为433y x =±+，即4390x y -+=或4390x y +-= 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中的任何一个，写出形式适当的方程即为直接法.同时，求解本例时不要混淆概念，倾斜角应在[0,)π内，从而cos α有两个解. 2、待定系数法（公式法）例2、过点P (2，1）作直线l 交y x ,正半轴于AB 两点，当||||PB PA ⋅取到最小值时，求直线l 的方程.解法1：设直线l 的方程为：)0(),2(1≠-=-k x k y令y ＝0解得kx 12-=；令x ＝0，解得k y 21-=，∴A （k 12-，0），B （0，k 21-），∴||||PB PA ⋅＝)4)(11(22k k ++4248)1(4822=⨯+≥++=kk当且仅当12=k 即1±=k 时，||||PB PA ⋅取到最小值.又根据题意0<k ，∴1-=k 所以直线l 的方程为：03=-+y x方法2：由题设，可令直线l 为：1(2)y k x -=-，分别令y =0和x =0 可得21(,0)k A k-，B （0，1-2k ）.∴2221||||1(2)4(121)k PA PB k k-⋅=+-+-- 442)2(2)1(22222222==≥+=k k k k k k当且仅当12=k 即1k =±时，||PA PB ⋅取最小值4.又0k >∴k =-1，这时直线l 的方程是x +y -3=0.方法3：设直线l 方程为1=+b y a x ，l 过（2，1）点∴112=+b a ∴2-=a ab∴22||||(2)14(1)PA PB a b ⋅=-++-8)2(4)2(428)2(4)2(42222+--≥+-+-=a a a a 488=+=（以下略）.评述：此题在求解过程中运用了基本不等式，同时应注意结合直线与坐标轴正半轴相交而排除k ＝1的情形.引申1：过点P （2，1）作直线l 交x 轴、y 轴正方向于A 、B ，求使∆A O B 的面积最小时的直线l 的方程.yBP(2,1)O A解：设所求直线方程为x a y b +=1，则由直线l 过点P （2，1），得21100a ba b +=>>()，即b aa =-2，由b >0，得a >2， 所以S a b a a a A O B∆==⋅-12122221442(2)22a a a a -+==⋅--14(2)22a a =++- 14[(2)4]22a a =-++-14]42≥= 当且仅当a a -=-242，即a b ==42，时，S AOB ∆取得最小值为4 此时所求直线方程为x y421+=，即x y +-=240 评注：由题意直接选择直线方程五种形式中最恰当的一种形式来假设方程，再求解方程，称为公式法.这里选择了截距式方程.引申2：在本例条件下，求求直线l 在两坐标轴截距之和的最小值及其此时直线l 的方程. （参考数学试题精编P 54） 3、直线系法：直线系的定义：具有某种共同性质的直线的集合，叫做直线系．它的方程叫做直线系方程.例3. 求过02321=+-y x l ：与l x y 23420：--=交点且与直线440x y +-=平行的直线方程. 解：设l 1与l 2交点的直线方程为：(*)0)243()232(=--++-y x y x λ即022)43()32(=-+--++λλλy x 因为所求直线与044=-+y x 平行，所以143432λλ--=+，解得λ=-1419 将λ=-1419代入(*)，得:所求直线方程为4660x y +-= 4、相关点法:利用相关点法求直线的方程实质上是轨迹法.例4、 求直线l x y '：--=20关于直线l x y ：330-+=的对称直线方程. 解：设所求的对称直线上任意一点坐标为（x ，y ）关于直线l 的对称点为()x y 00，，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅--=++-+⋅13032230000x x yy y y x x ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=-+-=53545359535400y x y y x x ，因为()x y 00，在直线x y --=20上 所以x y 0020--=，()()-+--++-=45359535453520x y x y ，即7220x y ++=5、参数法例5、直线l 经过M （0，1），且被直线1l ：x -3y +10=0和2l ：2x +y -8=0所截得的线段恰以M 为中点，求直线l 的方程．解法1.：过点M 且与x 轴垂直的直线显然不合题意，故可设所求直线方程为y =kx +1,与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，联立方程组：{{()11()3100280y kx y kx I II x y x y =+=+-+=+-=，由（I ）解得A x =731k -，由（II ）解得B x =72k +，点A 平分线段AB ， 2A B M x x x ∴+=即：731k -+72k +=0，解得14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0.解法2：设l 交1l 于A （3t -10，t ），l 交2l 于B （u ，8－2u ），利用中点坐标公式得： ∴31002822t u t t u -+=⎧⇒=⎨+-=⎩ , ∴A （-4，2） 由直线方程的两点式可得，直线l 的方程为：102140y x --=---，即x +4y -4=0. 解法3：设l 与已知直线1l ，2l 交于A ，B 两点，点 A （3t -10，t ）在直线1l 上，则由中点坐标公式得A 关于M （0，1）的对称点B （10-3t ，2- t ），点B 在直线2l 上，∴2(103)(2)802t t t -+--=⇒=， 以下同解法2，此处略. 解法4. 设所求直线方程为y =kx +1,代入方程（x -3y +10）·（ 2x +y -8）=0得：()()22253287490k k x k --++-=，同解法1设所求直线与已知直线1l ，2l交于A ，B 两点，由题意：2287253A B k x x k k++=---=2M x =0，可得：14k =-，故所求直线的方程为：x +4y -4=0. 注意：本题所求直线过点M （0，1），故只要设出直线方程的点斜式，由题中另一条件即可确定斜率，思路顺理成章.但是想在解题过程中不断地提高自己的逻辑思维能力以及分析问题，解决问题的能力，还应联系题中已知条件和相关知识，看能否找到新的解法，如解法2，解法3，而解法4在学习了后续知识后会有更深刻的体会. 6、结构分析法：例6、已知两直线l 1:a 1x +b 1y +1=0和l 2：a 2x +b 2y +1=0的交点为P （2，3），求过两点Q 1（a 1，b 1）、Q 2（a 2，b 2）（a 1≠a 2）的直线方程.分析：利用点斜式或直线与方程的概念进行解答.解：∵P （2，3）在已知直线上，2a 1+3b 1+1=0，2a 2+3b 2+1=0.∴2（a 1－a 2）+3（b 1－b 2）=0，即2121a a b b --=－32.∴所求直线方程为y －b 1=－32（x －a 1），∴2x +3y －（2a 1+3b 1）=0，即2x +3y +1=0. 评述：此解法运用了整体代入的思想，方法巧妙.解法2：将l 1与l 2的交点P （2，3）代入l 1与l 2的方程，得11222310,230a b a b ++=+=，根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程2x +3y +1=0故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23练习：若两条直线33222111=+=+y b x a l y b x a l ：，：相交于点P （1，2），试求经过点Aa b ()11，与)(22b a B ，的直线方程.解：将l 1与l 2的交点P （1，2）代入l 1与l 2的方程，得3211=+b a ，a b 2223+=根据以上两式的结构特点易知：点与Ba b ()22，的坐标都适合方程xy +=23 故经过点A 、B 的直线l 的方程为x y +=23巩固练习：1、过点P （3，0）作一直线，使它夹在两直线l x y 1220：--=和l x y 230：++=之间的线段AB 恰被P 点平分，求此直线方程.解：设所求直线分别与l l 12、交于A 、B ，因为A 在l 1直线上，故可设A t t ()，22- 又P （3，0）为AB 的中点，由中点坐标公式，得B t t ()622--， 由B 在l 2上，得03)22()6(=+-+-t t ，解得，即A ()113163， 由两点式得所求直线方程为0248=--y x .2、一直线被两直线1l ：064=++y x ，2l ：0653=--y x 截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.解：设所求直线与1l ，2l 的交点分别是A 、B ，设A (00,y x ），则B 点坐标为(00,y x --)因为A 、B 分别在1l ，2l 上，所以⎩⎨⎧=-+-=++06530640000y x y x ②①①＋②得：0600=+y x ，即点A 在直线06=+y x 上，又直线06=+y x 过原点，所以直线l 的方程为06=+y x .3、求过点P （2，3），并且在两轴上的截距相等的直线方程.解：在两轴上的截距都是0时符合题意，此时直线方程为3x －2y ＝0 若截距不为0，则设直线方程为ay a x +＝1 将点P （2，3）代入得aa 32+＝1，解得a ＝5 ∴直线方程为55yx +＝1，即x ＋y ＝5. 4、直线方程0=++C By Ax 的系数A 、B 、C 满足什么关系时，这条直线有以下性质? (1)与两条坐标轴都相交；(2)只与x 轴相交;(3)只与y 轴相交； (4)是x 轴所在直线；(5)是y 轴所在直线.答：(1)当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. (2)当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. (3)当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.(4)当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. (5)当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线.5、求与直线l ：5x -12y +6=0平行且到l 的距离为2的直线的方程.解：设所求直线的方程为5x -12y +c =0.在直线5x -12y +6=0上取一点P 0（0，21），点P 0到直线5x -12y +c =0的距离为：d =136)12(5211222-=-++⨯-c c ，由题意得136-c =2.所以c =32或c =-20.所以所求直线的方程为5x -12y +32=0和5x -12y -20=0. ※求圆方程的若干方法 一、知识要点总结： 1、圆的方程形式：⑴圆的标准方程：()()222x a y b r -+-=.⑵圆的一般方程：22220(40)x y Dx Ey F D E F ++++=>＋－， ⑶圆的参数方程：{cos sin x a r y b r θθ=+=+（θ为参数），其中圆心为(,)a b ，半径为r .圆的参数方程的主要应用是三角换元：222cos ,sin x y r x r y r θθ+=→==；22x y t +≤cos ,sin (0)x r y r r t θθ→==≤≤.⑷()()1122,,,A x y B x y 为直径端点的圆方程()()()()12120x x x x y y y y --+--= 2方法总结：求圆方程的主要方法是待定系数法，也经常数形结合来确定.例1、圆C 与圆22(1)1x y -+=关于直线y x =-对称，则圆C 的方程为____________ （答：22(1)1x y ++=）；例2、圆心在直线32=-y x 上，且与两坐标轴均相切的圆的标准方程是__________ （答：9)3()3(22=-+-y x 或1)1()1(22=++-y x ）；例3（以下各题参考数学精编p 63）求过两圆22(3)13x y ++=和22(3)37x y ++=交点，且圆心在直线y =x -4上的圆的方程.例4、求圆心在直线y =-2x 上，且与直线y =1-x 相切于点A （2，-1）的圆的方程.例5、圆心在直线y =2x -7上的圆C 与y 轴交于点A （0，-4），B （0，-2），求圆的方程.例6、半径为1的圆分别与y 轴正半轴和射线()30y x =≥相切，求圆的方程.例7、设圆方程满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长之比为3:1；③圆心到直线l：x-2y=0，求该圆的方程.。
第一讲求直线和圆的方程方法总结求直线和圆的方程是解决几何问题的基本方法之一，本文将对求直线和圆的方程的方法进行总结和介绍。
主要包括直线的一般方程、点斜式方程和两点式方程，以及圆的一般方程和截距式方程。
一、直线的一般方程直线的一般方程是形如Ax+By+C=0的方程，其中A、B、C均为实数，A和B不能同时为零。
直线的一般方程是直线的最一般形式，适用于所有直线。
它的推导过程为：首先，根据直线的斜率k和截距b，可以得到直线的斜截式方程为y = kx + b；然后，将直线的斜截式方程中的y换成Ax+By+C，化简得到直线的一般方程Ax+By+C=0。
二、直线的点斜式方程直线的点斜式方程是形如y-y₁=k(x-x₁)的方程，其中x₁和y₁是此直线上的一点，k是直线的斜率。
直线的点斜式方程通过给定一点和斜率来确定直线方程。
推导方法为：已知直线上有一点(x₁，y₁)和斜率k，根据斜率的定义可得到k=(y-y₁)/(x-x₁)；通过变形，化简得到点斜式方程y-y₁=k(x-x₁)。
三、直线的两点式方程直线的两点式方程是形如(y-y₁)/(y₂-y₁)=(x-x₁)/(x₂-x₁)的方程，其中(x₁，y₁)和(x₂，y₂)是直线上的两个点。
直线的两点式方程通过给定两个点来确定直线方程。
推导方法为：已知直线上有两个点(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，根据点斜式方程的推导过程，可将其化简为两点式方程。
四、圆的一般方程圆的一般方程是形如(x-a)²+(y-b)²=r²的方程，其中(a，b)是圆心的坐标，r是圆的半径。
圆的一般方程给出了圆与坐标轴的关系。
推导方法为：已知圆心为(a，b)，圆的半径为r，利用圆的定义可以得到距离公式：r²=(x-a)²+(y-b)²；通过展开和整理得到圆的一般方程(x-a)²+(y-b)²=r²。
五、圆的截距式方程圆的截距式方程是形如[x-a]²/α²+[y-b]²/β²=1的方程，其中a、b、α、β均为实数，α和β分别为x轴和y轴的截距。
