第十一届希望杯数学竞赛初二第二试

第十一届小学“希望杯”全国数学邀请赛获奖名单哈尔滨市组委会一等奖（7名）四年级：哈尔滨市范清军奥数学校孙嘉泽王禹五年级：哈尔滨市范清军奥数学校李根张玮滢刘枭男哈尔滨市奥林文化学校张子瑞赵俊霖二等奖（28名）四年级：哈尔滨市鸿鹄文化学校韩瑞张昊哈尔滨市奥林文化学校范杨海意于佳琨王笑阳傅启玥张仲夷哈尔滨市博洋文化学校王晨岩刘春宇哈尔滨市范清军奥数学校张馨心倪卿云迟皓文齐建瑄哈尔滨市香坊小学刘腾旋哈尔滨市呼兰东方英语学校董省旭五年级：哈尔滨市范清军奥数学校朱健维张朔豪哈尔滨市奥林文化学校张禧阳郝婉辰尹柔涵白天朗范会明梁玉婷哈尔滨市鸿鹄文化学校李哲伦哈尔滨市佳呈文化学校郭唯哈尔滨市天天文化学校邵星嘉哈尔滨市博洋文化学校万逊子寅哈尔滨市香坊小学刘梓桐三等奖（254名）四年级周庆鑫王晟睿徐铭峻智源秦昭岚志远高宇凡刘书赫程远航溢霖文化学校刘子绮香坊小学张梓萌杨雨晨天天文化学校张雅迪苑文清宋老师杨天骄时代文化侯宇彤启迪育人于海跃高如心名威奥数关天琪佳呈文化学校詹野王乃强陈宗扬宋士祥龚海雨李祺瑞桑郁曹维家宋泽明远呼兰东方英语学校王红丁钱嘉宝鸿鹄文化学校殷志博赵梧旭孔德航王霍晴郭昊宸朱美琳徐伟强昊堃奥数徐洋光大奥数姚霁轩吴秉翰范清军奥数学校高健李博文张钧博孙可刘卓鸣曹明昊徐朝睿闫晗刘嘉明王丛睿宋昕盈张皓天隋金晟陈麒安鞠鑫格黄睿刘俊辰张谨轩王滕坤孙梓竣肖海盈王梓懿张桐硕马瑞刘天琦张欣悦武久淳李瑞鑫王鹤儒孙瑛谦朱思宁刘馨蔚付骁大乘文化高润涵许赢心李浩莹刘斯凝王紫煊刘昱彤于鑫淼曾驿雯王克诚博洋文化董一燊陈鎏佳喆孙靖然任红阳张慧萱唐春洋奥林文化苏朗赵汉哲张硕林仕轩吕俊增张笑堃关峻宁孔德锦潘润锋申琳丁梁炜王龙飞牛浩岩武帅丞林浩然宋希为薛美星宋秉徽钟宇龙王彬旭姜俊宇王宇卓景秋扬侯申泽韦卓林王向益徐茂恒金昕泽爱心文化学校林子木刁卓韩子钰五年级周庆鑫刘睿志远葛环宇王祎原帅田昊宋继赵云浩李玥妍李名轩许洺诚吴子骏刘朔杨宇航高铭泽溢霖文化学校杜佳文易凯文化李易轩肇冠博星泽文化杨钧程新东方曹瑞达王钰棋张莉晗田蕾文化孙鑫淼天天文化学校于严淞吴景旭宋老师张桉赫闫博含董成迪高卓禹李天珺李鸣儒李文龙时代文化徐融启迪育人王冠骐林雪名威奥数刘华中王峰郑椽勃佳呈文化学校朱倍良张毓政王子铭钟文李帅妍吴宝铎呼兰东方英语学校张峻铭申桓羽李柏霖刘铎鸿鹄文化学校石睿王潇濛李怡蕾于晓溪周思成刘昌松昊堃奥数甘宁光大奥数樊根含马煜东王浩元范清军奥数学校李季王广晗王权帅韩兆博潘博睿宋福星程思诺马骞硕朱华毅朱冠宇刘卓譞张一婷王鞠于恪明张浩天董原骏李天娇李宜达车进丛卓奕王钧永聂希铭尚芝羽袭紫洋刘峙麟徐天泽林昊张弛刘双铭石大维于康萌魏宇昊李松霖杨英奇张童锐大乘文化张晟韩昶穆泓岳刘昕扬尹丹青魏嘉滕馨榕博洋文化刘星皓曲昀佳程煜莹成伟铭朱俊刘鸽奥林文化玉宸逍唐浩程马浩原刘子奇王文石王子博谷肇兴韩骐泽谢宗奕刘心同赵翊杨骏李域铭宁如昊武浩然张艺馨刘禹彤李勤舰乔思睿丁禹钦王维茂李欣昊杨秋硕魏雨缪朱星默潘嘉葆李笑玥靳希睿郭镇宁张原赫爱心文化学校杨泽宇于博文车佳慧。

初二希望杯数学竞赛培训题班级__________学号__________姓名______________得分______________一、选择题（以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的） 1．一个多项式经分解后为(2－a 3)(a 3＋2)，那么该多项式是 （ ）（A ）a 6－4（B ）a 9－4（C ）4－a 9（D ）4－a 62．下列多项式：①a 2＋4ab ＋4b 2；②9m 2＋4n 2－12mn ；③4p 2＋q 2－4p ＋2q ；④25a 4＋16b 4＋40a 2b 2；⑤9s 2－12s ＋6．其中是完全平方式的是（ ） （A ）①，④，⑤ （B ）①，②，⑤ （C ）①，②，④ （D ）①，③，④ 3．当分式1111－＋x 无意义时，x 的取值情况是（ ）（A ）x ＝1 （B ）x ＝±1 （C ）x ＝±1或x ＝0 （D ）x ＝±1且x ＝04．下列根式中与32a -相同的是 （ ）（A ）a a 2-（B ）a a 2--（C ）32a -（D ）aa 22-- 5．a 是实数，且满足05362＝－－aa ，则a 的值是（ ）（A ）6（B ）±6 （C ）≠5的数 （D ）－66．如果a -是整数，则（ ）（A ）a 是正整数 （B ）a 是非负整数 （C ）a 是完全平方数 （D ）－a是完全平方数 7．11＋－n n 与1＋＋n n 的关系是 （ ）（A ）相等 （B ）互为相反数 （C ）互为倒数 （D ）互为负倒数8．方程x 2＋3y 2＝16的整数解的组数是（ ）（A ）5（B ）6（C ）7（D ）7组以上9．若a ＜b ＜0，则()()22b b a －－÷＝ （ ）（A ）bab －－（B ）bab － （C ）－b (b －a ) （D ）bb a －10．某同学从家到学校的路程为s ，速度为v 1，从学校回家的速度为v 2，那么他来回的平均速度是 （ ）（A ）221v v ＋ （B ）212v v s ＋ （C ）2121v v v v ＋ （D ）21212v v v v ＋11．各边长均为整数且各边长均不相等的三角形周长小于13，则这样的三角形共有（ ）（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个12．三角形的三个外角平分线所在的直线围成的三角形是（ ）（A ）锐角三角形（B ）钝角三角形 （C ）直角三角形 （D ）直角或钝角三角形13．在△ABC 和△A ´B ´C ´中，∠A ＋∠B ＝∠C ，∠B ´＋∠C ´＝∠A ´，且b －a ＝b ´－c ´，b＋a ＝b ´＋c ´则这两个三角形 （ ）（A ）不一定全等（B ）不全等（C ）根据“SAS ”全等 （D ）根据“ASA ”全等14．下列说法中，正确的是（ ）（A ）每个命题都有逆命题 （B ）每个定理都有逆定理 （C ）真命题的逆命题是真命题 （D ）假命题的逆命题是假命题 15．等腰△ABC 的顶角A ＝100°，两腰AB 、AC 的垂直平分线相交于点P ，则 （ ）（A ）P 点在△ABC 内 （B ）P 点在BC 边上（C ）P 点在△ABC 外 （D ）P 点位置与BC 边的长度有关16．下列命题中，真命题是（ ）（A ）两个全等三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形 （B ）两个全等的等腰三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形 （C ）两个全等的等边三角形是关于某条直线成轴对称的两个图形 （D ）关于某条直线成轴对称的两个三角形一定是全等三角形 17．如图，在等腰直角△ABC 中，∠BAC ＝90°，又AD ∥BC ，在AD 上取一点E ，使∠EBC ＝30°，则BE 和BC 的大小关系是 （ ） （A ）BE ＞BC（B ）BE ＜BC（C ）BE ＝BC （D ）不确定的 18．四边形中，有两条边相等，另两条边也相等，则这个四边形（ ）（A ）一定是菱形（B ）一定是轴对称图形（C ）一定是平行四边形（D ）可能是平行四边形，也可能是轴对称图形19．如图，D 为等腰△ABC 的腰AB 上的一点，E 为另一腰AC延长线上的一点，且BD ＝CE ，则 （ ）（A ）DE ＝BC （B ）DE ＞BC（C ）DE ＜BC（D ）DE 与BC 大小关系决定于角A 的大小20．设△ABC 的三边为c b a ，，，且满足c b a cb a 5.1225.3222＋＝＋＋ ，则△ABC 是 （ ）（A ）直角三角形 （B ）等腰三角形 （C ）等边三角形 （D ）形状不确定的三角形21．分解因式：＝＋－－412422a b a ____________________．22．如果(x －a )(x ＋2)－1能够分解成两个二项式(x ＋3)和(x ＋b )的乘积，那么a ＝______，b ＝_______．AC BDEAC BD E23．分解因式：xy (m 2－n 2)－mm (x 2－y 2)＝_________________． 24．分解因式：＝＋－233x x ___________________． 25．a ，b 均为实数，且满足()0425322＝－－＋＋aa b a ，那么b ＝_________．26．x ，y 均为实数，且4111222＋＋－＋－＝x x x y ，则x ＋y 的值是__________．27．x 是实数，则25101222＋－－＋＋x x x x 的最大值是____________．28．已知m ，n 互为倒数，且m ＋n ＋1998＝0，那么(m 2＋1999m ＋1)(n 2＋1999n ＋1)的值为____．29．已知两数的和为12，此两数的立方和为108，那么这两个数的平方和是___________． 30．若61＝＋yx ，25122＝＋y x ，那么＝∶y x ____________ 31．若3939＝＋，＝＋zy yx ，则xz 9＋的值等于______________．32．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，a 2＋b 2＋c 2＝32，abc ＝8，那么cb a 111＋＋的值等于___________．33．若a 2＋3b 2－4a －12b ＋16＝0，则a ＋b 的值是________． 34．已知N＋＋＋＋＝4141412，则N 的值是___________．35．若实数x ，y ，z 适合方程组⎩⎨⎧0720634＝－＋＝－－z y x z y x ，那么1999y －1997x ＋1993z ＝_______．36．方程组⎩⎨⎧34231232＝－－＝－＋z y x z y x 中的x ，y 满足条件x ＋y ＝6，那么z 的值等于___________．37．a 为实数，那么aa a a 119991999－＋－＋－的值等于_________． 38．已知12－＝x ，那么xx x－－342的值为__________ 39．化简623232－＋＋，结果是_______________．40．方程x x x －＝＋－41682的正整数解是_____________． 41．化简：(6－2)(3＋2)32-＝_____________．42．已知：A ＝53＋，B ＝53－，若存在正整数N ，使N ＜A 3＋B 3＜N ＋1，则N ＝____． 43．116201－的整数部分是__________．44．求值：100999910014334132231221＋＋＋＋＋＋＋＋ ＝___________．45．若y ≠z ，且满足()()23322＝－＋＝－＋zy x z y x z y ，则x ＋y ＋z 的值等于__________． 46．已知(x ＋2y －1)是二元二次式3x 2＋axy ＋by 2＋x ＋9y －4的一个因式，则a ＝_______，b ＝______．47．大小不超过(3＋2)6的最大整数为_____________．48．若x ＜0，y ＞0，a －b ＞0，M ＝ax ＋by ，N ＝bx ＋ay ，则M 与N 的大小关系是M ______N ．（填“＞”或“＜”）49．5的整数部分是a ，小数部分为b ，则ba 1－的大小是____________．50．已知a ，b ，c 都是正实数，()()c b a c b a y c b a x ＋＋＋＋＋＝，＋＋＝22222，则x 与y 的大小关系是x ______y ．（填“＞”或“＜”）51．如图，a ，b ，c ，d 为数轴上对应点的数，则｜a ＋b －c ｜＋｜d －a ｜－｜c －d ｜＋｜a －d ｜＝_______． 52．如图，AB 、CD 、MN 三条直线相交，交点分别为E 、F 、G ，则∠EFB 的同位角是________． 53．两个对顶角的和是它的一个邻补角的4倍，则这个邻补角的度数是_________． 54．△ABC 的周长是15，若a ＋c ＝2b ，c －a ＝4则a 2＋b 2＋c 2＝____________． 55．如图，则∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝_____________．56．△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，若AB ＝9，AC ＝5，则AD 的取值范围是__________．（第52题图） （第55题图） （第57题图） （第58题图）57．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 平分∠CAB ，交BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，若AC ＝4厘米，则△BDE 的周长是___________．58．如图，△ABC 和△ADE 均为等边三角形，C 、D 、E 在一条直线上，∠ABE ＝20°，则∠CAD 的大小是____________．59．如图，△ABC 中，D 在AC 上，AD ＝AB ，∠ABC ＝∠C ＋30°，则∠CBD ＝_______． 60．如果一个三角形的两条中线又是它的两条高线，那么这个三角形的形状是___________．c 0 a bd C EFA B D G M N C EF A B D O A D E C B A D CB E第十一届希望杯数学竞赛初二第一试一．选择题1．与的关系是（）。

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题......................003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题......................010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题......................018-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题......................024-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题......................032-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题......................038-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题......................048-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题......................056-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题......................064-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题.....................071-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题.....................078-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题.....................085-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题.....................096-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题.....................103-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题.....................111-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题.....................118-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题.....................127-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题.....................136-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题.....................145-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题.....................148-15121.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题...................159-16122.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题...................167-16923.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题...................171-17424.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题...................176-17825.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题...................182-18426.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题...................186-18927.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题...................193-19628.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题...................198-20029.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (203)30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (204)31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题...................213-21832.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 (204)33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题...................228-23334.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题...................234-23835.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题...................242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题...................248-25137.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题...................252-25638.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题...................257-26239.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题...................263-26620.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题...................267-27121.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题.................274-27622.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题.................285-28823.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题.................288-301希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( )A．a，b都是0． B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数．2．下面的说法中正确的是 ( )A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式．C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式．3．下面说法中不正确的是 ( )A. 有最小的自然数． B．没有最小的正有理数．C．没有最大的负整数． D．没有最大的非负数．4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( )A．a，b同号．B．a，b异号．C．a＞0．D．b＞0．5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2个．B．3个．C．4个．D．无数个．6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是( )A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a．8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A．一样多． B．多了．C．少了．D．多少都可能．10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )A．增多．B．减少．C．不变．D．增多、减少都有可能．二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______． 2．2－2=______． 3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________. 4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____．7．当a=－，b=时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______. 8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后,工作效率提高了15,那么完成这批零件的一半，一共需要______天．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示一、选择题1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D．3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C．6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B．7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=××a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．二、填空题提示：2．2－2=(+)×(－)=(+)×1=．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－，b=时，a2－b=(－2－=0，b+a+=－+=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即千克，此时，60×30%=×40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．×+×的值是( ) A．．B．．C．．D．．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )11 20;413;316;617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以43 x;C. 甲方程的两边都乘以43;D. 甲方程的两边都乘以34. 10．如图: ，数轴上标出了有理数a ，b ，c 的位置,其中O 是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30．12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，，与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( ) A ．225． B ．．C ．． D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． >-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1． 计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2． 计算：-32÷6×16=_______. 3． 计算：(63)36162-⨯=__________.4． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5． 计算:1111112612203042-----=_________.6．n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

第一届小学“希望杯”全国数学邀请赛（第1试）四年级第1试1．下边三个图中都有一些三角形，在图A中，有个；在图B中，有个；在图C中，有个。

2．写出下面等式右边空白处的数，使等式能够成立:0.6＋0.06＋0.006＋…＝2002÷。

3．观察1，2，3，6，12，23，44，x，164的规律，可知x ＝。

4．如图，将一个三角形(有阴影)的两条边分别延长2倍，得到一个大三角形，这个大三角形的面积是原三角形面积的______倍。

5．如果规定a※b ＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是。

6．气象局对部分旅游景区的某一天的气温预报如下表：其中，温差最小的景区是，温差最大的景区是。

7．AOB是三角形的纸，OA＝OB，图中的虚线是折痕，至少折次就可以得到8个相同的三角形。

8．有的两位数，加48，就变成3位数；减48，就变成1位数，这样的两位数有，它们的和等于。

9．甲、乙、丙、丁四个学习小组共有图书280本，班主任老师提议让四个组的书一样多，得到拥护，于是从甲调14本给乙，从乙调15本给丙，从丙调17本给丁，从丁调18本给甲。

这时四个组的书一样多。

这说明甲组原来有书本。

10．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个，苹果有个，小朋友共组。

11．在 a＝20032003×2002和 b＝20022003×2003中，较大的数是，它比较小的数大。

12．小明的家离学校2千米，小光的家离学校3千米，小明和小光的家相距千米。

13．甲、乙、丙三人中只有1人会开汽车。

甲说：“我会开。

”乙说：“我不会开。

”丙说：“甲不会开。

”三人的话只有一句是真话。

会开车的是。

14．为了支援西部，1班班长小明和2班班长小光带了同样多的钱买了同一种书44本，钱全部用完，小明要了26本书，小光要了18本书。

回校后，小明补给小光28元。

小明、小光各带了元，每本书价元。

希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题 (1)希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题 (4)希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题 (11)希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题 (17)希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题 (21)希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题 (25)希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题 (35)希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题 (43)希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题 (50)希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 (57)希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题 (60)希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题 (66)希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题 (76)希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题 (82)希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题 (84)希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题 (91)希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题 (98)希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题 (106)希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题 (115)希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题 (122)希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题 (125)希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题 (132)希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题 (135)希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题 (138)希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题 (142)希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题 (145)希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题 (150)希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题 (153)希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (157)希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (160)希望杯第十六届（2005年）初中一年纪第一次试卷希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______．2．198919902－198919892=______．3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________.4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______.8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示二、填空题提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989)=(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b<; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x．B.甲方程的两边都乘以43x;C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34.10．如图: ，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中O是原点,则111,,a b c的大小关系是( )A.111a b c>>; B.1b>1c>1a; C.1b>1a>1c; D.1c>1a>1b.11.方程522.2 3.7x=的根是( )A．27． B．28． C．29． D．30．12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116.15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1． 计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______．2． 计算：-32÷6×16=_______. 3． 计算：(63)36162-⨯=__________.4． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 5． 计算:1111112612203042-----=_________. 6．n 为正整数，1990n -1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n 的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________. 9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫- ⎪⎝⎭,513⎛⎫- ⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第三届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第四届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第五届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第六届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第八届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第九届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
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第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第十届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试
第十一届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试。

“希望杯”全国数学竞赛（第1-23届）初一年级/七年级第一/二试题目录1.希望杯第一届（1990年）初中一年级第一试试题............................................. 003-0052.希望杯第一届（1990年）初中一年级第二试试题............................................. 010-0123.希望杯第二届（1991年）初中一年级第一试试题............................................. 018-0204.希望杯第二届（1991年）初中一年级第二试试题............................................. 024-0265.希望杯第三届（1992年）初中一年级第一试试题............................................. 032-0326.希望杯第三届（1992年）初中一年级第二试试题............................................. 038-0407.希望杯第四届（1993年）初中一年级第一试试题............................................. 048-0508.希望杯第四届（1993年）初中一年级第二试试题............................................. 056-0589.希望杯第五届（1994年）初中一年级第一试试题............................................. 064-06610.希望杯第五届（1994年）初中一年级第二试试题 .......................................... 071-07311.希望杯第六届（1995年）初中一年级第一试试题........................................... 078-080 12希望杯第六届（1995年）初中一年级第二试试题........................................... 085-08713.希望杯第七届（1996年）初中一年级第一试试题........................................... 096-09814.希望杯第七届（1996年）初中一年级第二试试题........................................... 103-10515.希望杯第八届（1997年）初中一年级第一试试题............................................ 111-11316.希望杯第八届（1997年）初中一年级第二试试题........................................... 118-12017.希望杯第九届（1998年）初中一年级第一试试题........................................... 127-12918.希望杯第九届（1998年）初中一年级第二试试题........................................... 136-13819.希望杯第十届（1999年）初中一年级第二试试题........................................... 145-14720.希望杯第十届（1999年）初中一年级第一试试题........................................... 148-15121.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第一试试题....................................... 159-16122.希望杯第十一届（2000年）初中一年级第二试试题....................................... 167-16923.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第一试试题....................................... 171-17424.希望杯第十二届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 176-17825.希望杯第十三届（2002年）初中一年级第一试试题....................................... 182-18426.希望杯第十三届（2001年）初中一年级第二试试题....................................... 186-18927.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第一试试题....................................... 193-19628.希望杯第十四届（2003年）初中一年级第二试试题....................................... 198-20029.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第一试试题 (203)30.希望杯第十五届（2004年）初中一年级第二试试题 (204)31.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第一试试题....................................... 213-21832.希望杯第十六届（2005年）初中一年级第二试试题 (204)33.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第一试试题....................................... 228-23334.希望杯第十七届（2006年）初中一年级第二试试题....................................... 234-23835.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第一试试题....................................... 242-246 26.希望杯第十八届（2007年）初中一年级第二试试题....................................... 248-25137.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第一试试题....................................... 252-25638.希望杯第十九届（2008年）初中一年级第二试试题....................................... 257-26239.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第一试试题....................................... 263-26620.希望杯第二十届（2009年）初中一年级第二试试题....................................... 267-27121.希望杯第二十一届（2010年）初中一年级第一试试题................................... 274-27622.希望杯第二十二届（2011年）初中一年级第二试试题................................... 285-28823.希望杯第二十三届（2012年）初中一年级第二试试题................................... 288-301希望杯第一届（1990年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共10分）1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么( )A．a，b都是0．B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数．2．下面的说法中正确的是( )A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式．C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式．3．下面说法中不正确的是( )A. 有最小的自然数．B．没有最小的正有理数．C．没有最大的负整数．D．没有最大的非负数．4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么( )A．a，b同号．B．a，b异号．C．a＞0．D．b＞0．5．大于－π并且不是自然数的整数有( )A．2个．B．3个．C．4个．D．无数个．6．有四种说法：甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身；丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身．这四种说法中，不正确的说法的个数是( )A．0个．B．1个．C．2个．D．3个．7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是( )A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a．8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1．9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( )A．一样多．B．多了．C．少了．D．多少都可能．10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速度增大时，船往返一次所用的时间将( )A．增多．B．减少．C．不变．D．增多、减少都有可能．二、填空题（每题1分，共10分）1. 21115160.01253(87.5)(2)4571615⨯-⨯-÷⨯+--= ______． 2．198919902－198919892=______． 3.2481632(21)(21)(21)(21)(21)21+++++-=________. 4. 关于x 的方程12148x x +--=的解是_________. 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=______．6.当x=-24125时,代数式(3x 3－5x 2+6x －1)－(x 3－2x 2+x －2)+(－2x 3+3x 2+1)的值是____． 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式272711()(0.16)()73724a b b a a b --++-+的值是______.8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的13.如果工作4天后,工作效率提高了15,那么完成这批零件的一半，一共需要______天．10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合．答案与提示一、选择题1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A提示：1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D．3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数列，0，1，2，3，…，n，…，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C．6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B．7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D．8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A．我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D．9．设杯中原有水量为a，依题意可得，第二天杯中水量为a×(1－10%)=0.9a；第三天杯中水量为(0.9a)×(1+10%)=0.9×1.1×a；第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C．10．设两码头之间距离为s，船在静水中速度为a，水速为v0，则往返一次所用时间为设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a－v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A．二、填空题提示：2．198919902－198919892=(19891990+19891989)×(19891990－19891989) =(19891990+19891989)×1=39783979．3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)=(24－1)(24+1)(28+1)(216+1)=(28－1)(28+1)(216+1)=(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=45．1－2+3－4+5－6+7－8+…+4999－5000=(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+…+(4999－5000)=－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60×30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此时，60×30%=(0.001x)×40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990年）初中一年级第2试试题一、选择题（每题1分，共5分）以下每个题目里给出的A，B，C，D四个结论中有且仅有一个是正确的．请你在括号填上你认为是正确的那个结论的英文字母代号．1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是( )A．a%．B．(1+a)%． C.1100aa+D.100aa+2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时( )A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少．B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多．C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同．D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定．3.已知数x=100,则( )A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数．4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则111,,ab b a c-的大小关系是( )A.111ab b a c<<-; B.1b a-<1ab<1c; C.1c<1b a-<1ab; D.1c<1ab<1b a-.5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有( )A．2组．B．6组．C．12组．D．16组．二、填空题（每题1分，共5分）1．方程|1990x－1990|=1990的根是______．2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______．3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次．4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项式的乘积．5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方．三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分）1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3=13S1=13S2,求S．3.求方程11156x y z++=的正整数解.答案与提示一、选择题1．D 2．C 3．C 4．C 5．D提示：1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后：再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后：乙杯中含有的红墨水的数量是①乙杯中减少的蓝墨水的数量是②∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2可知应当选C．4．由所给出的数轴表示（如图3）：可以看出∴①＜②＜③，∴选C．5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1·2·3·5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D．二、填空题提示：1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0．2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a·0+bm-c·0·m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0．∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4，解得a=5，c=1．∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4．3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x -52x +3现在要考虑y，只须先改写作然后根据-4y2，17y这两项式，即可断定是：由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x2+5xy-4y2-x+17y-15就是原六项式，所以m=5．5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2，显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2(3b+1)2=9b2+6b+1，(3b+2)2=9b2+12b+4=(9b2+12b+3)+1被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方．三、解答题1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x)桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24，∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得最大值30(48-4·8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60·8+480)=1920（公里）．2．由题设可得即2S-5S3=8……②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)，(3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991年）初中一年级第1试试题一、选择题（每题1分，共15分）以下每个题目的A，B，C，D四个结论中，仅有一个是正确的，请在括号内填上正确的那个结论的英文字母代号．1．数1是( )A．最小整数．B．最小正数．C．最小自然数．D．最小有理数．2．若a＞b，则( )A.11a b; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|．D．a2＞b2．3．a为有理数，则一定成立的关系式是( )A．7a＞a．B．7+a＞a．C．7+a＞7．D．|a|≥7．4．图中表示阴影部分面积的代数式是( )A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd．5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( )A．(-13579)+0.2468; B.(-13579)+1 2468;C.(-13579)×12468; D.(-13579)÷124686．3.1416×7.5944+3.1416×(-5.5944)的值是( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132．D．5.3692．7.如果四个数的和的14是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( )A．16． B．15． C．14． D．13．8.下列分数中,大于-13且小于-14的是( )A.-1120; B.-413; C.-316; D.-617.9.方程甲:34(x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( )A.甲方程的两边都加上了同一个整式x ．B.甲方程的两边都乘以43x; C. 甲方程的两边都乘以43; D. 甲方程的两边都乘以34. 10．如图: ，数轴上标出了有理数a ，b ，c 的位置,其中O 是原点,则111,,a b c的大小关系是( ) A.111a b c>>; B.1b >1c >1a ; C. 1b >1a >1c ; D. 1c >1a >1b .11.方程522.2 3.7x =的根是( ) A ．27． B ．28． C ．29． D ．30．12.当x=12,y=-2时,代数式42x y xy -的值是( )A ．-6．B ．-2．C ．2．D ．6．13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( )A ．225．B ．0.15．C ．0.0001．D ．1．14.不等式124816x x x xx ++++>的解集是( ) A ．x ＜16． B ．x ＞16．C ．x ＜1． D.x>-116. 15．浓度为p%的盐水m 公斤与浓度为q%的盐水n 公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.%2p q +; B.()%mp nq +; C.()%mp nq p q ++;D.()%mp nq m n++.二、填空题（每题1分，共15分）1． 计算：(-1)+(-1)-(-1)×(-1)÷(-1)=______． 2． 计算：-32÷6×16=_______.3．计算：(63)36162-⨯=__________.4．求值：(-1991)-|3-|-31||=______．5．计算:111111 2612203042-----=_________.6．n为正整数，1990n-1991的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则n的最小值等于______．7. 计算：19191919199191919191⎛⎫⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=_______.8. 计算：15[(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________.9.在(-2)5,(-3)5,512⎛⎫-⎪⎝⎭,513⎛⎫-⎪⎝⎭中,最大的那个数是________.10．不超过(-1.7)2的最大整数是______．11.解方程21101211,_____. 3124x x xx-++-=-=12.求值:355355113113355113⎛⎫---⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭=_________.13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______．14.一个数的相反数的负倒数是119,则这个数是_______.15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab cd efa b c d e f+++++++=____.答案与提示一、选择题1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D提示：1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C．有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上，a＞b必有-a＜-b．选B．3．若a=0，7×0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B．4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C．5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。

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山东省滨州市无棣县埕口中学八年级数学第11届“希望杯”第2试试题一、选择题：1．－20001999, －19991998, －999998, －1000999这四个数从小到大的排列顺序是 （AA ）－20001999<－19991998<－1000999<－999998 （B ）－999998<－1000999<－19991998<－20001999（C ）－19991998<－20001999<－1000999<－999998 （D ）－1000999<－999998<－20001999<－199919982．一个三角形的三条边长分别是a , b , c (a , b , c 都是质数)，且a ＋b ＋c ＝16，则这个三角形的形状是（A ）直角三角形（B ）等腰三角形（C ）等边三角形（D ）直角三角形或等腰三角形3．已知25x=2000, 80y=2000，则y1x 1+等于 （A ）2 （B ）1 （C ）21（D ）23 4．设a ＋b ＋c =0, abc >0，则|c |ba |b |ac |a |c b +++++的值是 （A ）－3 （B ）1 （C ）3或－1 （D ）－3或15．设实数a 、b 、c 满足a <b <c (ac <0)，且|c |<|b |<|a |，则|x －a |＋|x －b |＋|x ＋c |的最小值是（A ）3|c b a |++ （B ）|b | （C ）c －a （D ）―c ―a 6．若一个等腰三角形的三条边长均为整数，且周长为10，则底边的长为 （A ）一切偶数 （B ）2或4或6或8 （C ）2或4或6 （D ）2或4 7．三元方程x ＋y ＋z ＝1999的非负整数解的个数有（A ）个 （B ）个 （C ）2001000个 （D ）2001999个 一．8．如图1，梯形ABCD 中，AB23215+215-3cm 4cm 5cm 15162161521617217162xy z r zx y q yz x p 222-=-=-zy x rzqy px ++++23246623+--1n 1m 23-+222c 2a 2x 13x 116n 6n 10n 3n 22-+-+3a 2a 3c 5a 7c a b a 1b 12)1b a (--3图1AB C D EF 345ABCDE F 图2AB CD E58°图3A B CD E 图4A BCD E F图5AD F875118 332 a b a 1b 12)1b a (--a 1b 1)]b a (1[ab a b ---① 若a 、b 同为正数，由ab<1，得a >b ， ∴ a -b =ab , a 2－ab =b , 解得b =1a a 2+,∴(a 1－b 1)2)1b a (--=)]b a (1[ab a b ---=ab a b -(1－ab )=－2a 1·a ba -=－4ab=－)1a (a 12+.② 若a 、b 同为负数，由ab<1，得b >a ， ∴ a -b =－ab , a 2－ab =－b , 解得b =1a a 2-,∴(a 1－b 1)2)1b a (--=)]b a (1[ab a b ---=ab a b(1＋ab )＝3a b a +=32a 1a a a -+=)1a (a 1a 22--.综上所述，当a 、b 同为正数时，原式的结果为－)1a (a 12+；当a 、b 同为负数时，原式的结果为)1a (a 1a 22--22．将△ADF 绕A 点顺时针方向旋转90°到△ABG 的位置， ∴ AG ＝AF ，∠GAB ＝∠FAD ＝15°， ∠GAE ＝15°＋30°＝45°，∠EAF ＝90°－(30°＋15°) ＝45°， ∴∠GAE ＝∠FAE ，又AE ＝AE ， ∴△AEF ≌△AEG ， ∴EF ＝EG ，∠AEF ＝∠AEG ＝60°，在Rt △ABE 中，AB ＝3，∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°，BE ＝1，在Rt △EFC 中，∠FEC ＝180°－(60°＋60°)＝60°，EC ＝BC －BE ＝3－1，EF ＝2(3－1)，∴EG ＝2(3－1)，S △AEG ＝21EG ·AB ＝3－3， ∴S △AEF ＝S △AEG ＝3－3.23．① 将第一个球先放入，有5种不同的的方法，再放第二个球，这时以4种不同的放法，依此类推，放入第三、四、五个球，分别有3、2、1种放法，所以总共有5×4×3×2×1＝120种不同的放法。

全国数学邀请赛初二第一试一、选择题（每小题4分，共40分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在下面的表格内。

1．下列运动属于平移的是（）（A）乒乓球比赛中乒乓球的运动．（B）推拉窗的活动窗扇在滑道上的滑行．（C）空中放飞的风筝的运动．（D）篮球运动员投出的篮球的运动．2．若x=1满足2m x2-m2x-m=0，则m的值是（）（A）0．（B）1．（C）0或1．（D）任意实数．3．如图1，将△APB绕点B按逆时针方向旋转90 后得到△A P B'''，若BP=2，那么PP'的长为( )（A）（B（C）2 ．（D）3．4．已知a是正整数，方程组48326ax yx y+=⎧⎨+=⎩的解满足x>0，y<0，则a的值是（）（A）4 ．（B）5 ．（C）6．（D）4，5，6以外的其它正整数．5．让k依次取1，2，3,…等自然数，当取到某一个数之后，以下四个代数式：①k+2；②k2；③2 k；④2 k 就排成一个不变的大小顺序，这个顺序是（）（A）①<②<③<④．（B）②<①<③<④．(C) ①<③<②<④．(D) ③<②<①<④．6．已知1个四边形的对角线互相垂直，且两条对角线的长度分别是8和10 , 那么顺次连接这个四边形的四边中点所得的四边形的面积是（）（A）40 ．（B）（C）20．（D）．7．Let a be the length of a diagonal of a square, b and c be the length of two diagonals of a rhombus respectively. If b:a=a:c,then the ratio of area of the square and rhombus is ( )（A）1：1．（B）2（C）1（D）1：2．(英汉词典：length长度；diagonal对角线；square正方形；rhombus菱形；respectively分别地；ratio比；area面积)8．直角三角形有一条边长为11，另外两边的长是自然数，那么它的周长等于（）．（A）132．（B）121．（C）120．（D）111．9．若三角形三边的长均能使代数式是x2-9x+18的值为零，则此三角形的周长是（）．（A）9或18．（B）12或15 ．（C）9或15或18．（D）9或12或15或18．10．如图2，A、B、C、D是四面互相垂直摆放的镜子，镜面向内，在镜面D上放了写有字母“G”的纸片，某人站在M处可以看到镜面D上的字母G在镜面A、B、C中的影像，则下列判断中正确的是（）（A）镜面A与B中的影像一致．（B）镜面B与C中的影像一致．（C）镜面A与C中的影像一致．（D）在镜面B中的影像是“G”．二、A组填空题（每小题4分，共40分）11．如图3，在△BMN中，BM=6，点A、C、D分别在MB、BN、MN上，且四边形ABCD是平行四边形，∠NDC=∠MDA，则 ABCD的周长是．12．如果实数a ≠b，且101101a b ab a b++=++，那么a b+的值等于．13．已知x=a M的立方根，y =x 的相反数，且M =3a -7，那么x 的平方根是 ． 14．如图4，圆柱体饮料瓶的高是12厘米，上、下底面的直径是6厘米．上底面开有一个小孔供插吸管用，小孔距离上底面圆心2厘米，那么吸管在饮料瓶中的长度最多是= 厘米．15．小杨在商店购买了a 件甲种商品，b 件乙种商品，共用213元，已知甲种商品每件7元，乙种商品每件19元，那么a b +的最大值是 ．16．ABC是边长为D 在三角形内，到边AB 的距离是1，到A 点的距离是2，点E 和点D 关于边AB 对称，点F 和点E 关于边AC 对称，则点F 到BC 的距离是 ．17．如图5，小华从M 点出发，沿直线前进10米后，向左转20，再沿直线前进10米后，又向左转20，……，这样下去，他第一次回到出发地M 时，行走了 米．18．关于x 的不等式123x x -+-≤的所有整数解的和是 ． 19．已知点（1，2）在反比例函数ay x=所确定的曲线上，并且该反比例函数和一次函数1y x =+ 在x b =时的值相等，则b 等于 ．20．如图6，大五边形由若干个白色和灰色的多边形拼接而成，这些多边形（不包括大五边形）的所有内角和等于 ．三、B 组填空题（每小题8分，共40分，每一题两个空，每空4分） 21．解分式方程225111mx x x +=+--会产生增根，则m = 或 ． 22．Let A abcd = be a four-digit number. If 400abcd is a square of an integer, then A= 或 ．（英汉词典：four-digit number 四位数；square 平方、平方数；integer 整数）23．国家规定的个人稿酬纳税办法是：①不超过800元的不纳税；②超过800元而不超过4000元的，超过800元的部分按14%纳税；③超过4000元的按全部稿酬的11%纳税．某人编写了两本书，其中一本书的稿酬不超过4000元，第二本书的稿酬比第一本书多700元，两本书共纳税915元，则两本书的稿酬分别是= 元和 元．24．直线l交反比例函数y =的图象于点A ，交x 轴于点B ，点A 、B 与坐标原点o 构成等边三角形，则直线l 的函数解析式为 或 ． 25．若n 是质数，且分数417n n -+不约分或经过约分后是一个最简分数的平方，则n 或 ．第十八届“希望杯”全国数学邀请赛答案（初二）提示：1、略2、原式可化为：m(1-m)=0,m=0或m=13、由题意得△BPP ´是等腰直角三角形，由勾股定理得PP ´4、解方程组得：461236x aa y a ⎧=⎪⎪-⎨-⎪=⎪-⎩∵x>0,y<0 ∴601230a a ->⎧⎨-<⎩解得4<a<6, ∴a=5.5、当k>4时，2k>k 2>2k>k+2,所以选C6、顺次连接该四边形的四边中点所得的四边形是矩形，面积是：（12×10）×（12×8）=20 7、S 正=12a 2 ， S 菱形=12bc ，∵b:a=a:c ，即a 2=bc ，∴S 正 ：S 菱形 =1：18、设另两边为a ，b ，则a 2+b 2=112（不合题意舍去）或112= a 2- b 2=(a+b)(a-b)=121 =121×1; ∵a,b 是自然数 ∴a+b=121, ∴周长是121+11=1329、∵x2-9x+18=0，即（x-6）（x-3）=0 ，∴x=6或x=3，∴三角形三边分别是：3，3，3或6，6，6或6，6，3。

题11 使不等式x a x arccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（ ） A 、21π-B 、3222π- C 、6522π-D 、π-21（第十一届高二第一试第6题）解法1 由已知可知2arccos xx a ->的解集是⎥⎦⎤⎝⎛-121，.在此区间上函数()x x f x arccos 2-=是单调增的.因此a 的值应当满足关系,21a f =⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫⎝⎛--=∴-21arccos 221a .3222π-=选B.解法2 原不等式同解于2arccos xa x <-，因为121≤<-x ，所以222,2x <≤ 23π-x arccos -<0≤，从而=∴≤-<-a x x ,2arccos 23222π3222π-.故选B. 评析 上述两种解法的实质是一回事.关于此题，刊物上有数篇文章的观点值得商榷，现摘其部分加以分析. 一篇文章认为：“由已知不等式得2arccos xa x <-，欲使其解为121≤<-x ，实际上是对⎥⎦⎤⎝⎛-∈121，x 的任何x ，2arccos x a x <-恒成立，而x y xarccos 2-=在⎥⎦⎤⎝⎛-121，上是增函数，所以当21-=x 时，=⎪⎭⎫⎝⎛--=-21arccos 221min y 3222π-.故选B.” 另一篇文章在介绍了“设(),n x f m ≤≤则()()()⇔<=>⇔>x f a n x f a x f a ;m ax()m x f a =<m in ”后分析道：“令()x x f x arccos 2-=，当121≤<-x 时，()x f <-3222π 2≤，又()x f a <，故2223a π≤-，选B. ” 还有一篇文章干脆将题目改为： 使不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x 的实数a 的取值范围是（ ） A 、⎪⎭⎫⎝⎛-∞-21π，B 、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-∞-3222π，C 、⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-6522π， D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-π21， 并作了如下解答：“由已知得2arccos xa x <-，记()x x f xarccos 2-=，因为x 在⎥⎦⎤⎝⎛-121，时，()x f 单调增，所以=⎪⎭⎫⎝⎛--=-21arccos 221min y 3222π-.因此，3222π-<a .选B.” 首先应当指出，第一、第三篇文章中说增函数()x x f xarccos 2-=在⎥⎦⎤⎝⎛-121，上的最小值是3222π-是明显错误的.这三篇文章共同的观点是“不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x ”等价于“对⎥⎦⎤⎝⎛-∈121，x 的任何x ，2arccos xa x <-恒成立”.按此观点，应当有⎪⎭⎫⎝⎛-≤21f a ，题目就错了（选择支中没有正确答案），又怎么能选B 呢？第三篇文章也将题目改错了（选择支中同样没有正确答案）.问题的关键在于“不等式x a xarccos 2>-的解是121≤<-x ”与“对⎥⎦⎤⎝⎛-∈121，x 的任何x ，2arccos x a x <-恒成立”到底是否等价.为说明这一问题，我们只要看一个简单的例子就能明白了. 不等式022≤+-a x x 的解集是[]3,1-，求a 的取值范围.如果认为它等价于“[]3,1-∈x 时，不等式022≤+-a x x 恒成立，求a 的取值范围”，就会这样解：由022≤+-a x x 得()2221122--=+-+-≤x x x x x a ，在[]3,1-上的最小值是 ()3,31312-≤∴-=--a 为所求.而事实上，38-<-，但0822≤--x x 的解集却不是[]3,1-，而是[]4,2-，可见两者并不等价.至此，我们可以得出结论：“关于x 的不等式()x f a >的解集是D ”与“D x ∈时，关于x 的不等式()x f a >恒成立”不一定是等价的.题12 已知b a ,是正数，并且1996199619981998b a b a +=+，求证222≤+b a .(第十届高一培训题第74题)证法1 若a 与b 中有一个等于1,那么另一个也等于1,此时,显然222≤+b a . 若b a ≥且1≠b ,可将1996199619981998b a b a +=+改写为()()219962199611b b aa -=-,由此推得10<<b (若1>b ,则012<-a ,得1<a ,这与b a ≥矛盾),由此得,11199622⎪⎭⎫⎝⎛=--a b b a,111,10,10221996≤--∴≤⎪⎭⎫⎝⎛<≤<b a a b a b 得 222≤+b a .证法2 ()()()1998199822199619961998219961996219982ab a b a b a a b a b b +-++=--+=()()221996199622.ab a b a b --- 与19961996b a -同号,∴ ()()22199619960,a b a b --≥()()()1998199822199619962.a b a b a b ∴+≥++ ∴>+=+,01996199619981998b a b a 222≤+b a .证法3 由1996199619981998b a b a+=+及+∈R b a ,,得()()19961996222219981998a b a b a b ab+++=+19981998199622199619981998199622199619981998199622199619981998.1b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a --++++=++++= ()()2219961996,a b a b =---又22b a -与19961996b a -同号,()()22199619960,a b a b ∴---≤1996221996199819981,a b a b a b+∴≤∴+222≤+b a . 评析 解决本题的关键在于如何利用已知条件.证法1通过分类讨论证得222≤+b a ,较繁.由于1996199619981998b a b a+=+,故证法2作差()()()1996199622199819982b a b a b a ++-+,只要此差大于等于0命题便获证.而证法3将22b a +表示成()()199819982219961996ba b a b a+++①,便将问题转化成证①式小于等于2.证法2,3的作法既有技巧性,又有前瞻性,简洁明了.拓展 本题可作如下推广推广1 设R b a ∈,,且1996199619981998b a b a +=+,则222≤+b a .推广2 设R b a ∈,,且n n n n b a b a 222222+=+++,其中+∈N n ,则222≤+b a . 推广3 设R b a ∈,,且m m n m nm b a b a222222+=+++,其中+∈N n m ,,则.222≤+n n b a .推广4 设R b a ∈,,且m m n m n m Bb Aa Bb Aa 222222+=+++,其中+∈N n m ,,1,,≤+∈+B A R B A ,则122≤+n n Bb Aa ②.由于推广1，2，3都是推广4的特例，故下面证明推广4. 证明 ⑴当0==b a 时，②式显然成立. ⑵当b a ,不全为零，有()()()()22222222m n m n m m n n A B Aa Bb Aa Bb Aa Bb ++++-++()()()222222222222.m n m n n m m n m m n n AB a a b a b b AB a b a b ++=--+=--m m b a 22- 与n n b a 22-同号，∴()()22220,m m n nAB a b a b--≥∴()()2222m nm nA B AaBb++++()()222222222222.0,m m n n m n m n m m n n Aa Bb Aa Bb Aa Bb Aa Bb Aa Bb A B ++≥+++=+>∴+≤+ .1≤即当b a ,不全为零时，②式也成立.综上，不等式②成立.推广5 设+∈R b a ,，且m m n m nm b a b a +=+++，其中0,,>∈mn Z n m ，则2≤+n n b a . 推广6 设+∈R b a ,，且m m n m nm b a b a+=+++，其中0,,>∈mn R n m ，则2≤+n n b a . 推广7 设+∈R b a ,，且m m n m nm Bb Aa Bb Aa+=+++，其中1,,,0,,≤+∈>∈+B A R B A mn R n m ，则1≤+nnBb Aa ③.由于推广5，6是推广7的特殊情形，故下面证明推广7. 证明 ()()()()m nm n m m n n A B AaBb Aa Bb Aa Bb ++++-++()m n m n n m m n AB a a b a b b ++=--+()().0.m m n n AB a b a b mn =--> 由幂函数的性质，可知m m b a -与n n b a -同号，()()()()()()0,.m m n n m n m n m m n n AB a b a b A B Aa Bb Aa Bb Aa Bb ++∴--≥∴++≥++.1,0≤+≤+∴>+=+++B A Bb Aa Bb Aa Bb Aa n n m m n m n m 即不等式③成立.从变元个数进行推广可得推广8 设()k i R x i ,,2,1 =∈+，且mi ki nm iki x x 11=+=∑=∑，其中,0,,>∈mn R n m 则.1k x ni ki ≤∑=推广9 设()1,,,2,1,1≤∑=∈=+i ki i i A k i R A x ，且mi i ki nm ii ki x A x A 11=+=∑=∑，其中,0,,>∈mn R n m 则11≤∑=ki ni i x A ④.由于推广8是推广9的特例,故下面证明推广9.证明 令1111k kk km nmn i i ii i i i i i i i A A xA x A x +====∆=-⋅∑∑∑∑1111kkkkm nmn i j ji ij ji j i j A A x A x A x+=====-∑∑∑∑().11∑∑==-⋅=kj mi m jnjjiki x xx A A 由下标的对称性,对换上式的下标,得()∑∑==-=∆kj mj mi ni j i ki x x x A A 11..将上面两式相加,得()()112.kkmm n n ijij i j i j A A xx x x ==∆=--∑∑0>mn ,由幂函数性质知mjmi x x -与nj n i x x -同号,()()0,20,m m n n i j i j i j A A x x x x --≥∴∆≥即∑∑∑∑====+⋅≥∴≥∆k i k i ni i k i mi i ki nm ii i x A x A x A A 1111,0,∑∑==+>=ki mi i ki nm ii x A x A 11,0111≤≤∴∑∑==ki i ki ni i A x A ,即不等式④成立.题13 设1x ，2x ，3x ，1y ，2y ，3y 是实数，且满足1232221≤++x x x ，证明不等式)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .（第十届高二第二试第22题）证法1 当1232221=++x x x 时，原不等式显然成立.当1232221<++x x x 时，可设()()22221231f t x x x t =++-2-()1122331x y x y x y t ++- ()2221231y y y +++-.易知右边()()221122x t y x t y =-+-()()22331x t y t +---.()()()()01233222211≥-+-+-=∴y x y x y x f .()t f 是开口向下的抛物线，()()()2222222112233123123414110t x y x y x y x x x y y y ∴∆=++--++-++-≥即)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .综上，1232221≤++x x x 时，)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .证法2，()3,2,1,=∈+i R y x i i ，1232221≤++x x x ，∴当1232221>++y y y 时，0)1)(1(232221232221≤-++-++y y y x x x ，又0)1(2332211≥-++y x y x y x ，∴求证的不等式成立.当1232221≤++y y y 时，=-++-++)1)(1(232221232221y y y x x x()()()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+---≤------223222123222123222123222121111y y y x x x y y y x x x()2222222233112211223311222x y x y x y x y x y x y ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++---≤---=⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦2332211)1(-++y x y x y x .综上，在题设条件下，总有)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x .证法3 设1232221-++=x x x a ，1122332(1)b x y x y x y =-++-，1232221-++=y y y c ，则由1232221≤++x x x 知0≤a ，从而()222123112233121a b c x x x x y x y x y ++=++--++-21y + 22231y y ++-()()()0233222211≥-+-+-=y x y x y x .()()()0444424222≥++-=---=+--c b a a ac ab a b a ac b,()22420b ac a b -≥+≥，042≥-∴ac b ，即)1)(1()1(2322212322212332211-++-++≥-++y y y x x x y x y x y x . 证法4 设()321,,x x x a =，()321,,y y y b = ，则 ()()332211321321,,,,y x y x y x y y y x x x b a ++==⋅，又 θcos ⋅⋅=⋅b a b aθcos 232221232221⋅++⋅++=y y y x x x .22222211223312312311cos x y x y x y x x x y y y θ∴++-=-++⋅++⋅≥01cos 1232221232221232221232221≥++⋅++-≥⋅++⋅++-y y y x x x y y y x x x θ22222222112233123123(1)(1)x y x y x y x x x y y y ∴++-≥-++++ 222222123123(1)(1)x x x y y y ≥++-++-.证法5 记()321,,x x x A =，()321,,y y y B =，()0,0,0O 为坐标原点，则由OB OA AB -≥, 得()()()222222222112233123123x y x y x y x x x y y y -+-+-≥++-++，整理得 ()222222112233123123110x y x y x y x x x y y y -++≥-++⋅++≥，01123222123222133221≥++++-≥-++∴y y y x x x y x y x y x ，()22222222222222112233123123123123(1)1(1)(1)x y x y x y x x xy y yx x x y y y ∴++-≥-++++≥++-++-.评析 这是一个条件不等式的证明问题.由求证式是ac b ≥2的形式自然联想到二次函数的判别式，构造一个什么样的二次函数是关键.当然是构造()()()()11212322213322112232221-+++-++--++=y y y t y x y x y x t x x x t f ，但只有当 01232221≠-++x x x 时，()t f 才是二次函数，故证法1又分01232221=-++x x x 与01232221≠-++x x x 两类情形分别证明.很显然，等价转化思想、分类讨论思想是证法1的精髓.证法2直接运用基本不等式证明.证法3通过换元后证明042≥-ac b （即求证式），技巧性很强，一般不易想到，读者可细心体会其思路是如何形成的.证法4由求证式中的232221x x x ++,232221y y y ++及332211y x y x y x ++联想到空间向量的模及数量积，因而构造向量解决问题.证法5则从几何角度出发，利用OB OA AB -≥使问题轻松得证.五种证法，从多角度展示了本压轴题的丰富内涵.拓展 本题可作如下推广：推广 1 若()21,1,2,,,1ni i ii x y R i n x=∈=≤∑ ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑===111121221n i i n i i n i i i y x y x . 推广 2 若()0,,,2,1,≥=∈m n i R y x i i ，∑=≤ni im x12，则⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑∑===m y m x m y x n i i n i i n i i i 121221. 两个推广的证明留给读者.题14 已知0x y z >、、，并且2222222111x y z x y z ++=+++， 求证：2222222111x y z x y z++≤+++. （第一届备选题）证法1 令tan ,tan ,tan x y z αβγ===，且,,αβγ为锐角，则题设可化为222sin sin sin 2αβγ++=，即222c o sc o sc o s 1αβγ++=.由柯西不等式知221=⨯=()()222222sin sin sin cos cos cos αβγαβγ++++()()221sin cos sin cos sin cos sin 2sin 2sin 22ααββγγαβγ⎡⎤≥++=++⎢⎥⎣⎦. ()1sin 2sin 2sin 222αβγ∴++≤.由万能公式得222tan tan tan 21tan 1tan 1tan αβγαβγ++≤+++,即2222.111x y zx y z ++≤+++证法2 构造二次函数()222222222111111111x yz f t t t t x x yy z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222221112111111x y z t t x y z x y z ⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭ 222222111x y z x y z ⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭.()0f t ≥ ，当且仅当,x y z ==取t x y z ===时取等号，0∴∆≤，即222222222222211144111111111x y z x y z x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-++++ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭≤，2222222221111,1,1,111111x y z x x y y z z =-=-=-++++++ 又2222222221112,1,111111x y z x y z x y z ++=∴++=++++++ 222244120111x y z x y z ⎛⎫∴++-⨯⨯≤ ⎪+++⎝⎭， 故2222111x y zx y z ++≤+++.（当且仅当2x y z ===时取等号） 证法32222222111x y z x y z ++=+++， 即2221111112111x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即2221111,111x y z++=+++于是2222222222222111111111111x y z x y z x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++≥++ ⎪ ⎪ ⎪+++++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 即2222111x y zx y z++≤+++. 证法4 令222222,,,111x y z X Y Z x y z===+++则2X Y Z ++=，且 222,,111X Y Zx y z X Y Z ===---，所以2222111x y z x y z ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭2X Y Z x y z ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭22222222233111X Y Z X Y Z X Y Z x y z X Y Z ⎛⎫⎪⎛⎫≤++=++ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝---⎭()()2223X Y Z X Y Z ⎡⎤=++-++⎣⎦ ()221132322 2.33X Y Z ⎡⎤⎛⎫≤-++=-⨯= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭所以2222111x y z x y z ++≤+++. 证法5 设222222222,,,111x a y b z cx a b c y a b c z a b c===+++++++++ 则222222,,,a b c x y z b c a a c b a b c===+-+-+-左边=222222111111x y z x x y y z z+++++ ()()()()()()()()()()()22222122222222362621 2.33b c a c a b a b c a b c a b c a b c a b c a b a c b c b a c a b ca b c a b a c b c b a c a b cab bc ca a b c a b ca b c a b c a b c ⎛⎫+-+-+-=++ ⎪ ⎪++⎝⎭=+-++-++-++≤+-++-++-++=++-++++≤++-++=++证法6 ()222222222222;1111x x xx xxx +≥=++++ 同理222222222222;22.111111y y z zy y y z z z +≥+≥++++++三式相加得2222222221112111111x y z x y z x y z ⎛⎫+++++ ⎪++++++⎝⎭22222,111x y z x y z ⎛⎫≥++ ⎪+++⎝⎭即22222122.111x y z x y z ⎛⎫+⨯≥++ ⎪+++⎝⎭故2222.111x y z x y z ++≤+++ 证法7 2222111x y z x y z ⎛⎫++ ⎪+++⎝⎭2222222222222222111111111111.111111x y z x x y y z z x y z x y z x y z ⎛⎫ ⎪=++ ⎪++++++⎝⎭⎛⎫⎛⎫≤++++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭由已知，易知2222222221111,2,111111x y z x y z x y z ++=++=++++++ 22222222, 2.111111x y z x y zx y z x y z ⎛⎫∴++≤∴++≤ ⎪++++++⎝⎭证法8 由已知，易知222111 1.111x y z ++=+++ 设222111,,,111a b cx a b c y a b c z a b c===+++++++++ 则,,.b c c a a bx y z a b c+++=== 所以222111x y z a b c b c a c a b x y z a b c+++++++=+++++ ()()2.a b c b c c a a b a b c+++++++≤=++证法9 由2222222,111x y z x y z ++=+++易得2221111111x y z++=+++，于是 2222222222222221112111111111y x z y x y z x z x y zx y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++=++++++++ 22222222222222111. 2.111111111111x y z x y z x y z x y z x y z x y z x y z⎛⎫++ ⎪+++⎛⎫⎝⎭≥=++∴++≤ ⎪++++++⎝⎭+++++ 证法10 由2222222,111x y z x y z ++=+++易得2221111111x y z ++=+++. ()2222222112112,1112221x x x x x x x +=≤=+++++同理，()()2222211211,,12122121y z y z y z =+=+++++ 22222231111312 2.1112211122x y z x y z x y z ⎛⎫⎛⎫∴++≤+++=+= ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭2222.111x y zx y z ∴++≤+++ 证法11 由已知，易得2221111111x y z++=+++.构造空间向量 222111,,,111a x y z ⎛⎫= ⎪ ⎪+++⎝⎭ 222222,,,111x y z b x y z ⎛⎫= ⎪ ⎪+++⎝⎭2222222cos ,.111x y z a b a b a b a b a b x y z θ⎛⎫=≤∴≤++ ⎪+++⎝⎭2222222222111111111x y z x x y y z z ⎛⎫=++ ⎪ ⎪++++++⎝⎭ 222222111111x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦222222222111x y z x y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥++ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦122,=⨯= 2222.111x y zx y z ∴++≤+++ 评析 条件不等式证明的关键在于如何利用条件，而当条件难以直接利用或条件式显得相当复杂时，通常应当将条件适当转化，证法1、4、5、8正是通过不同形式的换元，使得问题变得简单易证的.灵活（变形）应用基本不等式（证法6、证法10），柯西不等式（证法3、7），以及一些重要的结论（证法9）也是证明不等式的常用方法.证法2、11分别构造函数、向量加以证明，很富创新性，同时也应纳入我们正常思考的范围.拓展 本赛题可推广为：命题1 若12,,,0,n x x x >…且()22113,1ni i ix n n x ==-≥+∑ 则21 1.1nii ix n x =≤-+∑ 证明 设tan ,1,2,,,0,2i i i x i n παα==<<…则有2222221111tan 1,sin 1,cos 1.11tan nn n ni i i i i i i i i i x n n x αααα======-∴=-=++∑∑∑∑22111tan sin cos .11tan nn ni ii i i i i i ix x αααα=====++∑∑∑ 由柯西不等式得22111sin cos sin cos nn n i i i i i i i αααα===⎛⎫⎛⎫≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑∑()11 1.n n =-=-21 1.1nii ix n x =∴≤-+∑命题2 若12,,,0,n x x x >…且()221,1ni i ix k k x ==≥+∑为常数,n 3,0<k<n 则()21.1nii ix k n k x =≤-+∑ 命题3 若12,,,0,n x x x >…且()221,,1mni mi ix k k n m R x ==<∈+∑ 则()21.1mni mi ix k n k x =≤-+∑ 命题2、3的证明与命题1相仿.命题4 设12,,,0,n x x x >…且221ni i ix k s x ==+∑（,,s k 为正常数3,n ≥ 0k n <<），则()21.nii ik n k x s x s=-≤+∑证明 将题设化为221,1i ni ix s k x s ==+∑作变换()221,2,,i i x t i n s ==…，则题设化为221.1n i i i t k t ==+∑由命题2得()21,1n i i it k n k t =≤-+∑即()21,1ini ix s k n k x s=≤-+∑化简得()()2211,.nni ii i i ik n k x x s k n k s x s x s==-≤-∴≤++∑∑进一步发散思维，还可得到：命题5 设12,,,0,n x x x >…且2211ni i ix k x ==+∑(),3,0,k n k n ≥<<为常数则21.ni i knx n k=≥-∑ 证明 设tan ,i i x α=且i α为锐角()1,2,,i n =….则题设可化为21sin,ni i k α==∑由此得21cos .ni i n k α==-∑由柯西不等式得22222211111cos cos ,cos cos nnn i i i i i i i n αααα===⎡⎤⎛⎫≥=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑∑∑ 即222211sec ,tan ,nn i i i i n n n n k n k αα==≥+≥--∑∑221tan ,ni i n kn n n k n k α=∴≥-=--∑即21.ni i kn x n k=≥-∑ 仿命题4的证法可将命题5推广为：命题6 设12,,,0,n x x x >…且221ni i ix k s x ==+∑（,,s k 为正常数3,n ≥ 0k n <<），则21.ni i sknx n k=≥-∑ 对本赛题的条件再联想，又可推出命题7 设12,,,0,n x x x >…且()221131ni i i x n n x ==-≥+∑,则()211.n ni i x n =≥-∏ 证明 设tan ,i i x α=且i α为锐角()1,2,,i n =….则题设可化为21sin1,ni i n α==-∑由此得21cos 1.ni i α==∑2222221211121cos cos cos cos cos cos 1n n n n αααααα---+++≤-……221cos sin ,11n n n n αα-==--即()222211211cos cos cos sin n n n n αααα---≤…，同理可得 ()22222112211cos cos cos cos sin n n n n n ααααα----≤…，…()22221211cos cos cos sin n n n αααα--≤3….以上n 个式子相乘，得()()()22212121cos cos cos sin sin sin ,nn n n αααααα-≤ …∴有()21tan 1,nn n i n α=≥-∏即()211.nn i i x n =≥-∏仿命题4的证法又可将命题7推广为：命题8 设12,,,0,n x x x >…且()2211,3ni i ix n s n s x ==-≥+∑为常数， 则()211.nnii xs n =≥-⎡⎤⎣⎦∏命题8又可推广为：命题9 设12,,,0,n x x x >…且()113,2,1kni ki ix n n k N k n x ==-≥∈≤≤+∑且 则()11nnki i x n =≥-∏.证明 题设可化为11 1.1nk i i x ==+∑作变换1,1i ki a x =+则题设化为11,ni i a ==∑且111,ki i i ia x a a -=-= 2311111,k na a a a x a a +++-∴==… ()11123231111,kn kn n n a a a a a a x a a -⎡⎤-⎛⎫+++=≥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦……即有()1123111,kn n n a a a x a -⎡⎤-≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦…同理可得()1113221,kn nn a a a x a -⎡⎤-≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦……, ()111211kn n n n n a a a x a --⎡⎤-≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦… .以上n 个式子相乘，得()11nnki i x n =≥-∏.仿命题4的证法，命题9可进一步推广为：命题10 设12,,,0,n x x x > (11)ni ki ix n s x ==-+∑ (),2,s k N k n ∈≤<为正常数且()11.nnki i x s n ==-⎡⎤⎣⎦∏则 题15 求所有的正实数a ，使得对任意实数x 都有22sin 22cos ≤+xxaa（第十一届高二第二试第23题）解法1 原不等式即222sin2sin 21≤+-xxa a①.设t a x=2sin2，则化为021≤-+-t at ，其中],1[2s i n 22a a t x ∈=（当1>a ），]1,[2s i n 22a a t x ∈=（当10<<a ）.①式即022≤+-a t t .设a t t t f +-=2)(2，由于)(t f 在1与2a 之间恒小于或等于零，所以0)1(≤f 且0)(2≤a f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>≤+-≤002124a a a a a ，解之，得1215≤≤-a 为所求. 解法2 ∵0>a ，∴22222c o s22s i n12s in 2s i n 2s i2si n2x x xx xx a aaaaa aa-+=+=+≥，又22si n22co s≤+x x a a ，∴1≤a .设)1(2sin 22≤≤=t a a t x ，记t tat f +=)(.依题意，2()f t ≥恒成立，∴m ax )(2t f ≥.t tat f +=)(在区间],[2a a 上单调递减；在区间]1,[a 上单调递增.而1)1(1)(22+=≥+=a f a a a f ，∴2max 1)(a a t f +=（当2a t =时取最大值）,故212≤+a a ，解得1215≤≤-a 为所求. 解法3 原不等式即222sin2sin 21≤+-xxa a.令x a t 2sin 2=，则2≤+t ta①. (1)若1=a ，则1=t ，①式显然成立. (2)若1>a ，则2sin 202a aa x≤≤，即21a t ≤≤，即①式对任意],1[2a t ∈恒成立由函数t t a y +=的图象（图1）及21a a <<，可得211≤+a ，且222≤+aaa ,但这与1>a 矛盾. （3）若10<<a ，则0s i n 222a a a x≤≤，即12≤≤t a .由函数t ta y +=的图象（图2）及12<<a a ，yO12a a a 2ta t y += 图 2xyO1 2a a a 2t a t y +=(1>a )图1(10<<a )x可得222≤+a a a 且211≤+a ，即0)1)(1(2≤-+-a a a 且1≤a ，又10<<a ，解得1215<≤-a . 综合（1）、（2）、（3），可得1215≤≤-a 为所求. 评析 解决本题的关键是如何由22sin22cos ≤+xxa a对任意实数x 恒成立，得到关于a 的不等式.由于x x 2sin 212cos -=，故原不等式即222sin2sin 21≤+-xxa a，亦即222sin 2sin 2≤+xxaaa .令xat 2sin 2=，则原不等式就是2≤+t t a.至此，若去分母，便将原问题转化为二次不等式恒成立的问题；若不去分母，应当有max )(2t t a +≥，可通过函数t tat f +=)(的最大值解决问题.解法1运用函数思想，把二次不等式022≤+-a t t 恒成立问题转化成二次函数a t t t f +-=2)(2的图象恒不在x 轴上方的问题，从而得到关于a 的不等式组，求出了a 的范围.解法2则由a a a x x22s i n 22c o s ≥+及22sin22cos ≤+xx a a ，得1≤a 从而得12≤≤t a .再由函数t tat f +=)(在],[2a a 上单调减，在]1,[a 上单调增，求出了)(t f 的最大值21a a +，由2)(≤t f 恒成立，得212≤+a a，求出了a 的范围.解法3则直接根据函数t tat f +=)(的图象，分1=a ，1>a ，10<<a 三种情形讨论，直观地求出了a 的范围.三种解法，道出了解决恒成立问题中求参数的三种方法：解法1为函数法；解法2为最值法；解法3为图象法.当然，解决恒成立问题决不仅仅是这三种方法，比如，还有分离参数法，变更主元法，运用补集思想等.题16 函数()()122222>-+-=x x x x x f 的最小值为 ( ) A 、-1 B 、1 C 、-2 D 、2（第七届高一培训题第2题）解法1 ()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=11121x x x f .因为两个互为倒数的数，在它们等于1±时，其和可以取到绝对值的最小值.即当11±=-x ，即2=x 或0=x 时，()x f 的绝对值最小.又1x >，故2x =时，()f x 的绝对值最小.又()0>x f ，∴()()12m in ==f x f .选B .解法2 因为1>x ，联想到1sec ≥θ，于是令θ2sec =x ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πθ，则θ2tan 1=-x . ()()()()1tan 1tan 221tan 1tan 21tan 21tan 12111222222=⋅⋅≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=-+-=-+-=θθθθθθx x x x x x f ，当且仅当θθ22tan 1tan =，即2=x 时，()1m in =x f .故选B . 解法3 设()()1222>+-=x x x x ϕ，()()122>-=x x x g .()()()()02442222222≥-=+-=--+-=-x x x x x x x g x ϕ ，()()0>≥∴x g x ϕ.()()1≥∴x g x ϕ，即()1,f x ≥∴()1m in =x f .故选B .解法4 ()()()()11211222222>-+-=-+-=x x x x x x x f .由此联想到万能公式: 22tan2sin 1tan 2ααα=+，故令02tan 1>=-αx ，则()()21tan 120sin 2tan 2f xg αααα+===>， 0sin >∴α.又1sin 1≤≤-α，1sin 0≤<α,1sin 1≥α,即()1≥x f .()1m in =∴x f .故选B . 解法5 1>x ，01>-∴x ，()()()()()11212121212112112=-⋅-≥-+-=-+-=x x x x x x x f 当且仅当()12121-=-x x ，即2=x 时取等号.()1m in =∴x f .故选B . 解法6 1>x ，()()()11222222222222222≥+--=--+-=-+-=∴x x x x x x x x x f ，当2=x 时取等号.故选B .解法7 由22222-+-=x x x y 去分母并整理，得()022222=+++-y x y x .R x ∈ ，()()0224222≥+-+=∆∴y y ，即012≥-y ，1-≤∴y 或1≥y .1>x ，()()()12112>-+-==∴x x x f y ，1≥∴y .当1=y 时，由222212-+-=x x x ，解得()+∞∈=,12x ，()1m in =∴x f .故选B .评析 解法1、6、7都是运用高一知识解决问题的，其余解法都用到了不等式知识，以解法5、6最简捷.解法7运用的是判别式法.运用此法是有前提的，如果将题中限制条件“1>x ”去掉，此法总能解决问题.但有了“1>x ”的限制，此法就不一定能奏效.只有当1=y 时求出的x 的值在1>x 的范围内时，1才是最小值，否则1就不是最小值，应当另寻他法加以解决.事实上，若将此题改为“求函数()()322222≥-+-=x x x x x f 的最小值，”此法就失灵了.因为1=y 时， [)+∞∉=,32x .故y 取不到1，也就谈不上1m in =y 了.若用不等式知识解：()()()221122112221221x x x x y x x x -+-+-===+---，3≥x ，01>-∴x ，()1121212=-⋅-≥∴x x y ，当且仅当()12121-=-x x ，即2=x 时取等号，但[)+∞∉,32，故y 取不到1，同样不能解决问题.此时我们可利用函数单调性解：设213x x <≤，则()()222222222222112121-+---+-=-x x x x x x x f x f ()()()()()()1121221222112222121---+---+-=x x x x x x x x()()()()()()()()()[]()()112112112212121212121212121212212221221--+--=---+--=--+--=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x .213x x <≤ ，021<-∴x x ,()02121>+-x x x x ,011>-∴x ，012>-x ， ()()021<-∴x f x f ，()()21x f x f <，已知函数是[)+∞,3的单调增函数. ()45232232332m in=-⨯+⨯-==∴f y .拓展 本题的函数模型实际就是()()0,0>>+=k x xkx x f ，容易证明，该函数在(0,]k 上单调递减，在[,)k +∞上单调递增.于是关于其最值，我们有下面的定理 已知函数()()0,0>>+=k x xkx x f ，则 ⑴当()k m m x ≤<≥0时，()x f 有最小值k 2；⑵当k n x <≤<0时，()x f 有最小值()n f ；⑶当k p x >≥时，()x f 有最小值()p f ；⑷当()r k q r x q <<≤≤时，()x f 有最小值k 2，且有最大值()(){}r f q f ,max .例如，函数()x x x f 4+=在[)+∞,1上有最小值442=；在(]1,0上有最小值()51411=+=f ；在[)+∞,3上有最小值()3133433=+=f ；在[]3,1上有最小值442=，最大值()(){}5313,5max 3,1max =⎭⎬⎫⎩⎨⎧=f f .题17 已知,,x y z R +∈，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是 （ ） A 、5 B 、6 C 、8 D 、9（第十一届高二第二试第9题、高二培训题第14题） 解法1 ,,x y z R +∈ ，且1231x y z++=，1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫∴++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2323332229,2332y x z x z y x y x z y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法2 由,0a x >时有2a xx a+≥，可知 12313691112222,33369923x y z y z x x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++≥-+-+-=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭923y zx ∴++≥，当且仅当369,,369x y zx y z ===，即3,6,9x y z ===时取等号．故选D ． 解法3 33123123339232323y z y z y z x x x x y z x y z⎛⎫⎛⎫++=++++≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当 12313x y z ===，即3,6,9x y z ===时取等号．故选D ． 解法4 由柯西不等式，1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2123923y z x x y z ⎛⎫≥⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当3,6,9x y z ===时取等号．故选D ． 解法5 利用“三个正数的算术平均值不小于它们的调和平均值”，立得32331233y zx x y z++≥=++，923y z x ∴++≥．当且仅当3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法6 若α、β、γ是长方体一条对角线与相邻三棱所成的角，则222cos cos cos 1αβγ++=．,,x y z R +∈ ，且1231x y z++=，故不妨设2222222212,,a b x a b c y a b c ==++++22223c z a b c=++（其中a 、b 、c 是长方体的长宽高）．则222222222222222222222222323y z a b c a b c a b c b a c a c b x a b c a b a c b c++++++++=++=++++++≥3+2+2+2=9，当且仅当a b c ==，即3,6,9x y z ===时取等号．故选D ．解法7 构造二次函数222123()23y z f t t x t t x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 21232(111)23y z t t x x y z ⎛⎫⎛⎫=++-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()0,0f t ≥∴∆≤ ，即212364023y z x x y z ⎛⎫⎛⎫-++++≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又1231,923y zx x y z ++=∴++≥．故选D ． 解法8 设123123,,m m m x y z ===，则123123111,,,1,23y z x m m m m m m ===++= 123123123111111()923y z x m m m m m m m m m ⎛⎫∴++=++=++++≥ ⎪⎝⎭．故选D ． 评析 解法1、2、3、4、5、8都是利用一些重要的基本不等式解决问题的．解法6、解法7分别通过构造长方体、函数将原问题转化，根据图形特征解决问题．根据解法2的思路，很容易得下面的错误解法：123123,,,,,,,,,2(1),2(2),2(3),2323y z y z x y z R x R x x y z x y z ++∈∴∈∴+≥+≥+≥ 1231232226615,23y z x x y z x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++≥-+-+-=-++=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭min 523y z x ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭．故选A ．错误原因就在于（1）、（2）、（3）式取等号的条件分别是1,2,3x y z ===，而此时1233x y z++=，与已知矛盾．故23y zx ++取不到5． 拓展 本题可作如下推广：推广1 若,,i i i x a R a +∈为常数(1,2,,)i n = ，且12121n na a a x x x +++= ， 则21212min n n x x x n a a a ⎛⎫+++=⎪⎝⎭ ．证明121212121212n n n n n n x x a x x x x a a a a a a a a x x x ⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭212121212n n nn n n x x x a a a n n n a a a x x x ≥⋅⋅⋅= ，当且仅当12121n n a a a x x x n==== 时取等号．21212min n n x x x n a a a ⎛⎫∴+++= ⎪⎝⎭ ．推广2 若,,i i i x a R a +∈为常数(1,2,,)i n = ，且1212n na a a k x x x +++= ， 则21212min n n x x x n a a a k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ ． 证明 121212121n n n n x x x x x x k a a a k a a a ⎛⎫+++=⋅+++⋅ ⎪⎝⎭121212121n n n n x a x x a a k a a a x x x ⎛⎫⎛⎫=⋅++++++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2121212121n n n n n n x x x a a a n n n k a a a x x x k ≥⋅⋅⋅⋅= ，当且仅当1212n n a a a k x x x n ==== 时取等号．21212min n n x x x n a a a k ⎛⎫∴+++= ⎪⎝⎭ ．推广3 若,,i i i x a R a +∈为常数(1,2,,)i n = ，且1212n na a a k x x x +++= ， 则212min 121()()n n x x x a a a k+++=+++ ． 证明 1212,n na a a k x x x +++=∴运用柯西不等式有 121212121211()()n n n n n a a a x x x x x x k x x x k k x x x ⎛⎫+++=⋅+++⋅=++++++ ⎪⎝⎭ 221212121211()n n n n a a a x x x a a a k x x x k ⎛⎫≥⋅+⋅++⋅=+++ ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当121212n n na a a x x x x x x ===，即1212n na a a x x x ===时取等号．212min 121()()n n x x x a a a k∴+++=+++ . 根据推广1、2，立得本题所求最小值为9．由1231x y z ++=，得111123y zx ++=．根据推广3， 21(111)9231y z x ++≥++=，当且仅当11123y z x ==，即3,6,9x y z ===时取等号． min 923y z x ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭．故选D ．再看一例：例 已知,,x y z R +∈，且2475x y z ++=，求274yx z ++的最小值． 解 由2475x y z ++=，得41495274y x z ++=．根据推广3，2127(4149)2045y x z ++≥++=．当且仅当4149274y x z ==，即2,8x z y ===时取等号．min27204y x z ⎛⎫∴++= ⎪⎝⎭． 题18 设b a y x ,,,为正实数，b a ,为常数，且1=+ybx a ,则y x +的最小值为_______. （第十一届高二培训题第36题）解法1 设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==,sin ,cos 22ααyb xa则=+=+αα22csc sec b a y x αα22cot tanb a b a +++ab b a 2++≥，当αα22cot tan b a =，即4tan baα=时取等号， ab b a y x 2)(m in ++=+∴.解法2 ()22a b a yb xa yb x x y xy a b a b a b a bx y x y x y⎛⎫+=++=+++≥++⋅=++ ⎪⎝⎭, 当且仅当ay bx x y=时取等号,ab b a y x 2)(m in ++=+∴. 解法3 令(,),,,a b m x y n x y ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭则222,m n a b m n m n ⋅=+⋅≥⋅ ，()(a b x y a x y ⎛⎫∴++≥+⎪⎝⎭2)b ，即ab b a y x 2++≥+，当且仅当m、→n 共线，即当(,),a b x y x y λ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，亦即bay x=时取等号，ab b a y x 2)(m in ++=+∴. 解法422()()2a b a b x y x y xy ab a b a bx y xy ⎛⎫⎛⎫+=++≥⋅+⋅=+=++ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当yb yx a x =，即b a y x =22时取等号，ab b a y x 2)(m in ++=+∴.解法5 设k y x =+，即x k y -=，代入1=+ybx a ，得0)(2=+--+ka x k a b x ， +∈R x ，由0≥∆，得b a k +≥ab 2+或ab b a k 2-+≤（舍去）．由0=∆，求得)(b a a x +=，)(b a b x k y +=-=，bay x=∴时，ab b a y x 2)(m in ++=+. 解法6 +∈R b a y x ,,,且1=+y b x a ⇒10<<xa，10<<y b ⇒0>>a x ，0>>b y , 故设μ+=a x ，ν+=b y )0,(>νμ代入1=+ybx a ，得ab =μν（定值），ab b a b a b a y x 22++=++≥+++=+∴μννμ，当且仅当ab==νμ，即baabb ab a y x =++=时取等号，ab b a y x 2)(m in ++=+∴. 解法7 由解法6知0>>a x ，0>>b y ，记y x k +=①，由1=+y b x a ，得ax bx y -=， 代入①可得+-+-=ax aba x k )(ab b a b a 2)(++≥+，当且仅当 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=-0a x a x ab a x ，即x a ab =+时取等号，此时ab b y +=， ∴当bay x=时 ，ab b a y x 2)(m in ++=+.。

第十一届“希望杯”数学竞赛初二第二试参考答案21．∵|a －b |＝ab<1， ∴ a 、b 同号，且a ≠0, b ≠0, ∴ a －b －1＝(a -b )-1<0,∴(a 1－b 1)2)1b a (--=(a 1－b 1)[1-(a -b )]=)]b a (1[aba b ---.① 若a 、b 同为正数，由ab<1，得a >b ，∴ a -b =ab , a 2－ab =b , 解得b =1a a 2+,∴(a 1－b 1)2)1b a (--=)]b a (1[ab a b ---=ab a b -(1－ab )=－2a 1·a ba -=－4a b=－)1a (a 12+.② 若a 、b 同为负数，由ab<1，得b >a ，∴ a -b =－ab , a 2－ab =－b , 解得b =1a a 2-,∴(a 1－b 1)2)1b a (--=)]b a (1[ab a b ---=ab a b(1＋a b )＝3a b a +=32a 1a a a -+=)1a (a 1a 22--.综上所述，当a 、b 同为正数时，原式的结果为－)1a (a 12+；当a 、b 同为负数时，原式的结果为)1a (a 1a 22--A BCD EFͼ6G22．将△ADF 绕A 点顺时针方向旋转90°到△ABG 的位置， ∴ AG ＝AF ，∠GAB ＝∠F AD ＝15°， ∠GAE ＝15°＋30°＝45°， ∠EAF ＝90°－(30°＋15°) ＝45°， ∴∠GAE ＝∠F AE ，又AE ＝AE ， ∴△AEF ≌△AEG ， ∴EF ＝EG ，∠AEF ＝∠AEG ＝60°，在Rt △ABE 中，AB ＝3，∠BAE ＝30°，∴∠AEB ＝60°，BE ＝1，在Rt △EFC 中，∠FEC ＝180°－(60°＋60°)＝60°， EC ＝BC －BE ＝3－1，EF ＝2(3－1)， ∴EG ＝2(3－1)，S △AEG ＝21EG ·AB ＝3－3， ∴S △AEF ＝S △AEG ＝3－3.23．① 将第一个球先放入，有5种不同的的方法，再放第二个球，这时以4种不同的放法，依此类推，放入第三、四、五个球，分别有3、2、1种放法，所以总共有5×4×3×2×1＝120种不同的放法。

答案与提示提示：1．由.0〉-a b 且.0≥a 则,0≥〉a b 得0〉+b a ， 又∵0〉-a b ，∴ 0〈-b a ∴ 原式＝||||b a b a +--＝.2)()(a b a b a -=+--- ∴ 选C2．①②③显然不成立，对于④， ∵.043)21(122〉+-=-+a a a ∴对于一切实数④式成立，故选 A3．原方程整理成2)2(+=+m x m m 该方程有唯一解的条件是,0)2(≠+m m ∴0≠m 且,2-≠m 选D4．原方程整理成2)1(a x a -=-，∵方程的解是负数，∴ 01〉-a 且,02≠a 即1〈a 且0≠a ，∴选C5．原方程整理成0)1()1(=---+--y x b y x a ，对于b a ,的每一组值，上述方程都有公共解，∴ ⎩⎨⎧=---=--0101y x y x 解得⎩⎨⎧-==10y x ∴选B6．设,20012000,20002001==b a 则,1000110001,++==b a N b a M1000110001++-=-b a b a N M .)10001()(10001)10001()10001()10001(+-=++-+=b b b a b b a b b a ∵ ,b a 〈 ∴ ,,0N M N M 〈〈- 故选C7．由,322〈b a 得 ,322b a 〈 2222222)(363963)()3(b a b ab a b ab a b a b a +---++=-++ ＝,0)()3(2222〉+-b a a b ∴,3)()3(22〉++b a b a 选B8．∵ [],1)(=+++b b b a a a ∴ ,0123=-+++b ab b a a ∴ 0)()1(23=+++-b ab b a a ∴ 0)1)(1(2=+-++b a a a ∵a 为正数， ∴,012〉++a a ∴,1,01=+=-+b a b a 故选 C9．若5个数中有4个为0，设它们是a ，0，0，0，0，其中0≠a ，则当0〈a 时，,00.00〈+++a 不合题意。

1、第一届希望杯初二第1试试题2、第一届希望杯初二第2试试题3、第二届希望杯初二第1试试题4、第二届希望杯初二第2试试题5、第三届希望杯初二第1试试题6、第三届希望杯初二第2试试题7、第四届希望杯初二第1试试题8、第四届希望杯初二第2试试题9、第五届希望杯初二第1试试题10、第五届希望杯初二第2试试题11、第六届希望杯初二第1试试题12、第六届希望杯初二第2试试题13、第七届希望杯初二第1试试题14、第七届希望杯初二第2试试题15、第八届希望杯初二第1试试题16、第八届希望杯初二第2试试题17、第九届希望杯初二第1试试题18、第九届希望杯初二第2试试题19、第十届希望杯初二第1试试题20、第十届希望杯初二第2试试题21、第十一届希望杯初二第1试试题22、第十一届希望杯初二第2试试题23、第十二届希望杯初二第1试试题24、第十二届希望杯初二第2试试题25、第十三届希望杯初二第1试试题26、第十三届希望杯初二第2试试题27、第十四届希望杯初二第1试试题28、第十四届希望杯初二第2试试题28、第十五届希望杯初二第1试试题30、第十五届希望杯初二第2试试题31、第十六届希望杯初二第1试试题32、第十六届希望杯初二第2试试题33、第十七届希望杯初二第1试试题34、第十七届希望杯初二第2试试题35、第十八届希望杯初二第1试试题36、第十八届希望杯初二第2试试题37、第十九届希望杯初二第1试试题38、第十九届希望杯初二第2试试题39、第二十届希望杯初二第1试试题40、第二十届希望杯初二第2试试题41、第二十一届希望杯初二第1试试题42、第二十一届希望杯初二第2试试题43、第二十二届希望杯初二第1试试题44、第二十二届希望杯初二第2试试题45、第二十三届希望杯初二第1试试题46、第二十三届希望杯初二第2试试题希望杯第一届（1990年）初中二年级第一试试题一、选择题:（每题1分，共10分）1．一个角等于它的余角的5倍，那么这个角是 ( )A ．45°.B ．75°.C ．55°.D ．65°2．2的平方的平方根是 ( )A ．2.B ．2. C ．±2. D ．43．当x=1时，a 0x 10-a 1x 9+a 0x 8-a 1x 7-a 1x 6+a 1x 5-a 0x 4+a 1x 3-a 0x 2+a 1x 的值是( ) A ．0B ．a 0.C ．a 1D ．a 0-a 14. ΔABC,若AB=π27则下列式子成立的是( )A ．∠A ＞∠C ＞∠B;B ．∠C ＞∠B ＞∠A;C ．∠B ＞∠A ＞∠C;D ．∠C ＞∠A ＞∠B 5．平面上有4条直线，它们的交点最多有( ) A ．4个B ．5个.C ．6个.D ．76．725-的立方根是[ ] （A ）12-. （B ）21-.（C ）)12(-±. （D ）12+.7．把二次根式a a 1-⋅化为最简二次根式是[ ](A) a . (B)a -. (C) a --. (D) a -8．如图1在△ABC 中，AB=BC=CA ，且AD=BE=CF ，但D ，E ，F 不是AB ，BC ，CA 的中点．又AE ，BF ，CD 分别交于M ，N ，P ，如果把找出的三个全等三角形叫做一组全等三角形，那么从图中能找出全等三角形( ) A ．2组B ．3组.C ．4组D ．5组。

历年初中希望杯数学竞赛试题大全 ][真诚为您服务试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第2· 2009年第20届“次· 161· [4-30]★详细简介请参考下载页]· [竞赛 2试试题届“希望杯”全国数学邀请赛初一第年第· 200920 次· 153· [4-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛数学大赛初赛试卷（扫描版）届5“希望杯”年湖北省黄冈市第· 2009 · 76次· [4-17]★详细简介请参考下载页]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1· 2009年第20届“希望杯次· 133· [4-7]对不起，尚无简介☆]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初一第1届“希望杯”20· 2009年第· 122次· [4-7]详细简介请参考下载页★]· [竞赛全国数学邀请赛初二训练题”第十四届“希望杯·次· 44· [9-9]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初一第19· 2008年第届次· 203· [9-4]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1”“19· 2008年第届希望杯全国数学邀请赛初一第试试题次· 169· [9-4]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第219年第届“希望杯”· 2008 次· 156· [9-2]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“· 2008年第19届· 146次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第18· 2007年第· 101次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1全国数学邀请赛初二第试试题”“18· 2007年第届希望杯次· 95· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题”全国数学邀请赛初二第2· 2006年第17届“希望杯次· 76· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第届· 2006年第17 · 76次· [9-2]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第2希望杯· 2005年第16届“”次· 65· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题全国数学邀请赛初二第届· 2005年第16“希望杯”次· 52· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题全国数学邀请赛初二第希望杯”2· 2004年第15届“次· 47· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第115届“希望杯”年第· 2004 次· 38· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 2试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第届· 2003年第14“次· 30· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题希望杯届“”全国数学邀请赛初二第年第· 200314 · 26次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题全国数学邀请赛初二第希望杯届年第· 200213“”· 31次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第1”年第13届“希望杯· 2002 次· 23· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第· 2001年第12届· 17次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第112年第届“希望杯”· 2001 · 17次· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题2“届希望杯”全国数学邀请赛初二第11· 2000年第次· 15· [9-1]★详细简介请参考下载页]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1“· 2000年第11届希望杯次· 15· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第210届“希望杯”· 1999年第次· 13· [9-1]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题1希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1999年第10届“次· 15· [9-1]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第9· 1998年第届次· 11· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1”“9· 1998年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试试题次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第28年第届“希望杯”· 1997 次· 13· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 1试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第“· 1997年第8届· 10次· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 2试试题”届“希望杯全国数学邀请赛初二第7· 1996年第· 11次· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1全国数学邀请赛初二第试试题”“7· 1996年第届希望杯次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初二第2· 1995年第6届“次· 14· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第16届“希望杯”· 1995年第次· 14· [8-29]★详细简介请参考下载页]· [竞赛 2试试题希望杯”全国数学邀请赛初二第5· 1994年第届“次· 12· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“届希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1994年第5 · 12次· [8-29]（每一、选择题 :年第五届希望杯全国数学邀请赛1994 初中二年级第一试试题 [] Ax 1.303小题分，共分）使等式成立的的值是．是]· [竞赛试试题初二第2”年第4届“希望杯全国数学邀请赛· 1993 次· 9· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第14届“希望杯”· 1993年第次· 10· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题2希望杯”全国数学邀请赛初二第· 1992年第3届“次· 11· [8-29]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 1试试题“希望杯”全国数学邀请赛初二第3· 1992年第届次· 9· [8-29]详细简介请参考下载页★]· [竞赛 2”“2· 1991年第届希望杯全国数学邀请赛初二第试试题· 14次· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1年第· 19912届“希望杯次· 12· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初二第21届“希望杯”· 1990年第· 13次· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”全国数学邀请赛初二第1希望杯· 1990年第1届“次· 11· [8-28]分，（每题1 ”全国数学邀请赛初二第一试一、选择题:“1990年第一届希望杯() 倍，那么这个角是 1．一个角等于它的余角的5分）共10]竞赛· [ 2试试题全国数学邀请赛初一第希望杯届年第· 200718“”· 94次· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题全国数学邀请赛初一第118届“希望杯”· 2007年第次· 42· [8-28]详细简介请参考下载页★]· [竞赛试试题”希望杯全国数学邀请赛初一第2· 2006年第17届“次· 41· [8-28]详细简介请参考下载页★]竞赛· [ 试试题1希望杯”全国数学邀请赛初一第“· 2006年第17届次· 43· [8-28]试第1全国数学邀请赛初一希望杯年第十七届2006“”……中考资源网，竞赛试题任你选！更多数学竞赛试题请点击。

第十一届“希望杯”全国数学邀请赛(高二)第二试2000年4月23日 上午8：30—10：30一、选择题（每小题6分，共60分）1、函数f ( x ) = log 13( 2 x 2 + 2 + 1 ) x 是（ ）（A ）偶函数 （B ）奇函数 （C ）奇且偶函数 （D ）非奇非偶函数 2、△ABC 中，BC = 6，BC 上的高为4，则AB ∙ AC 的最小值是（ ）（A ）24 （B ）25 （C ） （D ）263、If l 1 : x + 3 y – 7 = 0 , l 1 : k x – y – 2 = 0 and positive x – axis and positive y – axis make a quadrilateral , which has a circumcircle , then k =（ ）（A ）– 6 （B ）– 3 （C ）3 （D ）6 （英汉小字典：positive 正的；quadrilateral 四边形；circumcircle 外接圆） 4、直线y = x + 3和曲线 –||4x x +29y= 1的交点的个数是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 5、若f ( x + y ) = f ( x ) ∙ f ( y )，且f ( 1 ) = 2，则(2)(1)f f +(4)(3)f f +(6)(5)f f + … +(2000)(1999)f f =（ ）（A ）1999 （B ）2000 （C ）2001 （D ）20026、定义在R 上的偶函数f ( x )在[ 0，+ ∞ )上是增函数，且f (13) = 0，则不等式f ( log 18x ) > 0的解是（ ） （A ）(12，1 ) （B ）( 2，+ ∞ ) （C ）( 0，12)∪( 2，+ ∞ ) （D ）(12，1 )∪( 2，+ ∞ )7、将圆x 2 + ( y – 1 ) 2 = 1的中心到直线y = k x 的距离记为d = f ( k )，给出以下三个判断： ⑴数列{ n f ( n ) }是递增数列；⑵数列{21()f n }的前n 项和是2(237)6n n n ++；⑶ lim n →+∞(1(1)f n +–1()f n ) – 1 = 1其中，正确的个数是（ ）（A ）3 （B ）2 （C ）1 （D ）08、设计一条隧道，要使高3.5米，宽3米的巨型载重车辆能通过，隧道口的纵断面是抛物线状的拱，拱宽是拱高的4倍，那么拱宽的最小整数值是（ ）（A ）14 （B ）15 （C ）16 （D ）17 9、已知x 、y 、z ∈R +，且1x+2y+3z= 1，则x +2y +3z 的最小值是（ ）。