湖北省孝感市2008-2009学年高三第二次统一考试理科数学2009.3.22
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湖北省孝感市2008-2009学年高三第二次统一考试数 学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分。
共150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需用改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
答在试题卷上无效。
3.考试结束，监考人员将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目的要求.1．设0＜θ＜π，a ∈R , i i i a 22cos )1)(22(+=-+θ，则θ的值为（ ）A ．23π B ．34π C ．3πD ．4π2．若f (x )=lgx +1,则它的反函数)(1x f -的图象是（ ）3． 函数xx xx x f --+=||)2ln()(2的定义域为（ ）A ．(－1, 2)B ．(－1,0)∪(0, 2)C ．(－1,0)D ．(0, 2) 4．设函数f (x )=tan (ωx +φ)，(ω＞0),条件P ：“f (0)=0”；条件Q ：“ f (x )为奇函数”，则P 是Q 的（ ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件A. B.C.D.5． 非零向量→a =(sin θ,2), →b =(cos θ,1), 若→a 与→b 共线，则tan(θ－π4A ．3 B －3 C ．13 D ．－136．过直线21y x =+上的一点作圆22(2)(5)5x y -++=的两条切线12l l ，，当直线12l l ，关于21y x =+对称时，则直线12l l ，之间的夹角为（ ）A ．30 B. 45 C. 60 D.907．下列命题中正确命题的个数是( )①过空间任意一点有且仅有一个平面与已知平面垂直;②过空间任意一条直线有且仅有一个平面与已知平面垂直;③过空间任意一点有且仅有一个平面与已知的两条异面直线平行; ④过空间任意一点有且仅有一条直线与已知平面垂直; A. 1 B. 2 C. 3 D. 48．如果关于x 的一元二次方程09)3(222=+---b x a x 中，a 、b 分别是两次投掷骰子所得的点数，则该二次方程有两个正根的概率P= （ ） A ．181 B ．91 C ．61 D ．18139．将正方体1111ABC D A B C D -的六个面染色，有4种不同的颜色可供选择，要求相邻的两个面不能染同一颜色，则不同的染色方法有（ ）A ．256种B ．144种C ．120种D ．96种10． 已知双曲线的方程为：2213yx -=，直线m 的的方程为：12x =，过双曲线的右焦点()2,0F 的直线l 与双曲线的右支相交于,P Q ，以PQ 为直径的圆与直线m 相交于,M N ，记劣弧 的长度为n ，则||n PQ 的值为（ ）A ．6πB ．3πC ．2πD ．与直线l 的位置有关二、填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上.MN11．若52()2x x R ⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭的展开式中第三项为320-，则x = . 12．已知矩形A B C D 中，8,6,AB BC ==沿A C 将矩形A B C D 折成一个二面角,B AC D --则四面体A B C D 的外接球的表面积为 . 13．已知点(),P x y 满足202803x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，且点)0M，则OM OP ⋅（O 是坐标原点）的最大值等于 .14．设三个正态分布2111()(0)N μσσ>，、2222()(0)N μσσ>， 和N(233σμ，)（3σ＞0）的密度函数图象如图所示，则 μ1，μ2，μ3按从小到大．．．．的顺序排列是 ； σ1，σ2，σ3按从小到大．．．．的顺序排列是 .15．如图，以)0,0(O 、)0,1(A 为顶点作正1OAP ∆， 再以1P 和A P 1的中点B 为顶点作正21BP P ∆， 再以2P 和B P 2的中点C 为顶点作正32CP P ∆，…， 如此继续下去．有如下结论： ①所作的正三角形的边长构成公比为21的等比数列；②每一个正三角形都有一个顶点在直线2AP （1=x ）上； ③第六个正三角形的不在第五个正三角形边上的顶点6P 的坐标是)36421,6463(；④第n 个正三角形的不在第n －1个正三角形边上的顶点n P 的横坐标是n x ，则1lim =∞→n n x ．其中正确结论的序号是 （把你认为正确结论的序号都填上）．三、解答题：本大题共6个小题，共7５分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．(本小题满分12分)已知向量a =(3cos x , 0),b =(0,sin x ),记函数f (x )=(a +b )2+3sin 2x ,(1)求函数f (x )的最小值及取最小值时x 的集合；(2) 若将函数()f x 的图象按向量d 平移后，得到的图象关于坐标原点中心对称且在[0,π4]上单调递减，求长度最小的d.32)N (17．(本小题满分12分)一个口袋中装有大小相同的n 个红球（n ≥5且n N ∈）和5个白球，一次摸奖从中摸两个球，两个球的颜色不同则为中奖.(1)记三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率为P .试问当n 等于多少时，P 的值最大？ (2)在(1)的条件下，将5个白球全部取出后，对剩下的n 个红球全部作如下标记：记上i 号的有i 个（i =1,2,3,4），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球.ξ表示所取球的标号，求ξ的分布列，期望和方差.18．(本小题满分12分)如图：D 、E 分别是正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱AA 1、B 1C 1的中点，且棱AA 1=8，AB=4， (1)求证：A 1E ∥平面BDC 1(2)在棱AA 1上是否存在一点M ，使二面角M －BC 1－B 1的大小为60°，若存在，求AM 的长，若不存在，说明理由.19．(本小题满分12分) 已知函数f (x )=x ln x (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若k 为正常数，设g(x )= f (x )+ f (k －x )，求函数g(x )的最小值； (3)若a ＞0,b ＞0证明：f (a )+(a +b )ln2≥f (a +b )－f (b )20．(本小题满分13分) 设,A B 分别为椭圆22221x y ab+= ()0,0a b >>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右准线. (1)求椭圆的方程；(2)设点P 为椭圆上不同于,A B 的一个动点，直线,PA PB 与椭圆右准线相交于,M N 两点，证明：以M N 为直径的圆必过椭圆外的一个定点21．(本小题满分14分)已知函数f (x )=12x 2－x +2, 数列{}n a 满足递推关系式：a n +1=f (a n )，1,n n N ≥∈，且11a =.(1)求a 2,a 3,a 4的值；(2)用数学归纳法证明：当n ≥5时，a n ＜2－1n －1；(3)证明：当5n ≥时，有111nk kn a =<-∑.1参 考 答 案一、选择题：1. 2. A 3. C 4 . B 5. 6. C 7. A 8. A 9. D 10. B 二、填空题：11. －2 12. 100π 13. 133 14. μ2＜μ1＜μ3 ； σ1＜σ3＜σ2（第一空3分，第二空2分） 15. ①②③④ 三、解答题：16.(1) ∵f (x )=(a +b )2+3sin 2x =3cos 2x +sin 2x +3sin2x =2cos(2x －π3)+2 …3分∴f (x )≥0,当且仅当2x －π3=2k π+π，即x =k π+2π3k ∈Z 时取到等号.∴ 函数f (x )的最小值是0，此时x 的集合是{x | x =k π+2π3，k ∈Z } …6分(2) 设d =(m ,n )，函数f (x ) 的图象平移后对应的函数为g (x )，则g (x )= 2cos[2(x －m )－π3]+2+n由题意函数g (x )的图象关于坐标原点中心对称，得cos[2(0－m )－π3]=0，且2+n =0，解得m =12k π+π12，k ∈Z ，且n =－2 …8分①当m = k π+π12， k ∈Z 时，g (x )= 2cos(2x －π2)=2sin 2x ，在[0,π4]上单调递增，不符合题意，舍去；②当m = k π+7π12，k ∈Z 时，g (x )= 2cos(2x +π2)=－2sin 2x ，在[0,π4]上单调递减，符合题意. …10分∴d =( k π+7π12,－2)，k ∈Z【若求出的结果是（k π+π12，－2），给10分】∴长度最小的d =( －5π12,－2) …12分17．(1)一次摸奖从5n +个球中任取两个，有25n C +种方法。
它们是等可能的，其中两个球的颜色不同的方法有115n C C 种，一次摸奖中奖的概率P ()()115251054n n C C nCn n +==++ ……2分设每次摸奖中奖的概率为p ，三次摸奖中（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率是()213233(1)1363P P C p p p p p ==⋅⋅-=-+()01p <<，()()291233131P p p p p '=-+=--因而P 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数,P 在1,13⎛⎫⎪⎝⎭上为减函数， ……4分 （用重要不等式确定p 值的参照给分） ∴当13p =时P 取得最大值，即()()101543nP n n ==++，解得20n =或1n =（舍去），则当20n =时，三次摸奖（每次摸奖后放回）恰有一次中奖的概率最大. …6分(2)由(1)可知：记上0号的有10个红球，从中任取一球，有20种取法，它们是等可能的故ξ的分布列是…8分E ξ=0×12+1×120+2×220+3×320×420=32 …10分D ξ=(0－32)2×12+(1－32)2×120+(2－32)2×220+(3－32)2×320+(4－322×420 = 114 …12分18．【方法一】(1)证明：在线段BC 1上取中点F ，连结EF 、DF 则由题意得EF ∥DA 1，且EF =DA 1，∴四边形EFDA 1是平行四边形∴A 1E ∥FD ，又A 1E ⊄平面BDC 1，FD ⊂平面BDC 1∴A 1E ∥平面BDC 1 …6分 (2)由A 1E ⊥B 1C 1，A 1E ⊥CC 1，得A 1E ⊥平面CBB 1C 1，过点E 作EH ⊥BC 1于H ，连结A 1H ，则∠A 1HE 为二面角A 1－BC 1－B 1的平面角 …8分 在Rt △BB 1C 1中，由BB 1=8，B 1C 1=4，得BC 1边上的高为855EH=455又A 1E=23,∴tan ∠A 1HE=A 1E EH =152＞3∴∠A 1HE ＞60°， …11分 ∴M 在棱AA 1上时，二面角M －BC 1－B 1总大于60°，故棱AA 1上不存在使二面角M －BC 1－B 1的大小为60°的点M. …12分【方法二】建立如图所示的空间直角坐标系，题意知B(－2,0,0), D(2,40),A 1(2,8,0), C 1(0,8,23)，B 1(－2,8,0), E(－1,8,3), DB =(－4,－4,0), 1DC =(－2,4,23),E A 1=(－3,0, 3),B A 1=(－4,－8, 0), 11C A =(－2,0, 23),1BB =(0,8,0),1BC =(2,8, 23).(1)证明：∵E A 1=2(DB +1DC )∴A 1E ∥平面BDC 1…6分(2)设1n =（x ,y ,1）为平面A 1BC 1的一个法向量，则011=⋅B A n ，且0111=⋅C A n ，即⎩⎨⎧=-⋅=--⋅)032,0,2()1,,(0)0,8,4()1,,(y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-==233y x ∴1n =（3,23-,1），同理，设2n =（x ,y ,1）为平面B 1BC 1的一个法向量，则012=⋅B B n ，且012=⋅BC n ，即⎩⎨⎧=⋅=-⋅)032,8,2()1,,(0)0,8,0()1,,(y x y x解得⎩⎨⎧=-=03y x 11∴2n =（－3,0,1），∴cos<1n ,2n >=131433)1,0,3()1,23,3(+⋅++-⋅-=－192∴二面角A 1－BC 1－B 1为arccos19192. 即arctan152,又∵152＞ 3 ∴二面角A 1－BC 1－B 1大于60°， ∴M 在棱AA 1上时，二面角M －BC 1－B 1总大于60°，故棱AA 1上不存在使二面角M －BC 1－B 1的大小为60°的点M. …12分19. (1)解：∵)(x f '= ln x +1，解)(x f '＞0，得x ＞1e ；解)(x f '＜0，得0＜x ＜1e ，∴f (x )的单调递增区间是(1e ,+∞)，单调递减区间是(0, 1e ). …3分(2) ∵g(x )= f (x )+ f (k －x )=x ln x +(k －x )ln(k －x ),定义域是(0, k ) ∴)(x g '= ln x +1－[ln (k －x )+1]= lnxk －x …5分由)(x g '＞0，得k 2＜x ＜k ，由)(x g '＜0，得0＜x ＜k2，∴函数g(x )在(0, k 2) 上单调递减；在(k2, k )上单调递增， …7分故函数g(x )的最小值是：y min =g (k 2)=k ln k2. …8分(3)∵a ＞0,b ＞0∴在(2)中取x =2a a +b k =2,可得f (2a a +b )+ f (2－2a a +b )≥2ln1⇒ f (2a a +b f (2ba +b)≥0⇒2a a +b ln 2a a +b +2b a +b ln 2ba +b≥0⇒a ln a +b ln b +(a +b )ln2－(a +b )ln(a +b )≥0 ⇒ f (a )+(a +b )ln2≥f (a +b )－f (b ) …12分20．(1)由题意，知a =2c ，a 2c =4，解得a =2,c =1,∴b =3，故椭圆方程为13422=+y x …5分(2)设P(2cos θ, 3sin θ),M(4,m ),N(4,n ),则A(－2,0),B(2,0), 由A 、P 、M 三点共线，得m =θθcos 1sin 33+ …7分由B 、P 、N 三点共线，得n =1cos sin 3-θθ, …9分以MN 为直径的圆的方程为(x －4)(x －4)+(y －θθcos 1sin 33+)(y －1cos sin 3-θθ整理得：(x －4)2+y 2－(θθcos 1sin 33++1cos sin 3-θθ)y －9=0 …12分解⎩⎨⎧==-+-009)4(22y y x 得⎩⎨⎧==01y x (舍去)或⎩⎨⎧==07y x∴以M N 为直径的圆必过椭圆外的一个定点(7,0),命题成立. …13分【由对称性先猜出在x 轴上存在符合要求的定点，再求出该点，结果正确的，给13分.】 21．(1)根据11a =及21122n n n a a a +=-+计算易得128217,813,23432===a a a …3分(2)证明：①2512172172171217()22(1)21281281282128a =-+=--⋅， 而25639128217)128217211(128217⋅=⋅-＞41，故5a ＜2－41，即当5n =时，结论成立. …5分 ②假设结论对(5)n k k =≥成立，即121k a k <--.因为2113(1)22n n a a +=-+≥23，而函数213()(1)22f x x =-+在1x >时为增函数，所以 212113111(21)2221212(1)k a k k k k+<--+=-+<----，即当1n k =+时结论也成立. 综合①、②可知，不等式121n a n <--对一切5n ≥都成立. …9分(3) 由21122n n n a a a +=-+可得111122nn n a a a +=---，而11a =，于是 …11分111111111111()122222nnk k kk k n n a a a a a a ==+++=-=-=------∑∑于是当5n ≥时，112n a n+<-，故112n n a +<-，所以1111112nk kn n a a =+=-<--∑.…14分命题人：赵文耀 冯志勇 审题人：陈根成。
