2012年中考复习考点跟踪训练《圆的基本性质》

32.圆的有关性质➢ 知识过关1. 圆有相关概念(1)圆：在一个平面内，线段OA 绕它固定的一个端点O 旋转_____,另一个端点A 所于形成的图形叫做圆，圆心为O ，半径为r 的圆可以看成是所有到定点O 的距离等于____r 的点的集合.(2)弧、弦、等圆、等弧①弧：圆上任意_____的部分叫做弧，大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧； ①弦：连接圆上任意两点的____叫做弦，经过_____的弦叫做直径. ①等圆：能够_____的两个圆叫做等圆；①等弧：在_____或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧. 2. 垂径定理及其推论 (1) 对称性：①圆是中心对称图形，其对称中心是圆心 ①圆是轴对称图形，其对称轴是_______. (2) 垂径定理及其推论①垂径定理：垂直于弦的直径______这条弦，并且平分这条弦所对的______； ①推论：平分弦(非直径)的直径______于弦，并且平分这条弦所对的两条弧.➢ 考点分类考点1 圆心角、弧、弦之间的关系例1如图所示，圆O 通过五边形OABCD 的四个顶点，若D AB=150°，A=65°，D=60°，则的度数为( )A.25°B.40°C.50°D.55°考点2垂径定理及简单应用例2如图所示，水平放置的圆柱形排水管道的截面直径是1m,其中水面的宽AB 为0.8m,则排水管内水的深度为_______m.考点3垂径定理与其他知识的综合运用例3如图，线段AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，点M 是弧CBD 上任意一点，AH ＝2，CH ＝4．（1）求⊙O 的半径r 的长度； （2）求sin ∠CMD ；（3）直线BM 交直线CD 于点E ，直线MH 交⊙O 于点N ，连接BN 交CE 于点F ，求HE •HF 的值．➢ 真题演练1．如图，AB 是⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于点D ，连接AO 并延长，交⊙O 于点E ，连接BE ，DE ．若DE ＝3DO ，AB =4√5，则△ODE 的面积为（ ）A ．4B ．3√2C ．2√5D ．2√62．如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的一个动点，则线段OM 的长的最小值为（ ）A ．3B ．4C ．6D ．83．在正方形网格中，以格点O 为圆心画圆，使该圆经过格点A ，B ，并在点A ，B 的右侧圆弧上取一点C ，连接AC ，BC ，则sin C 的值为（ ）A ．√32B ．12C ．1D ．√224．如图，半径为5的⊙A 与y 轴交于点B （0，2）、C （0，10），则点A 的横坐标为（ ）A ．﹣3B ．3C ．4D ．65．如图，在⊙O 中，直径AB ＝10，CD ⊥AB 于点E ，CD ＝8．点F 是弧BC 上动点，且与点B 、C 不重合，P 是直径AB 上的动点，设m ＝PC +PF ，则m 的取值范围是（ ）A ．8＜m ≤4√5B ．4√5＜m ≤10C ．8＜m ≤10D ．6＜m ＜106．在⊙O 中内接四边形ABCD ，其中A ，C 为定点，AC ＝8，B 在⊙O 上运动，BD ⊥AC ，过O 作AD 的垂线，垂足为E ，若⊙O 的直径为10，则OE 的最大值接近于（ ）A ．52B ．5√23C ．4D ．57．如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，B 是AC ̂的中点，∠OBC ＝50°，则∠AOB 等于 °．8．如图，将半径为rcm 的⊙O 折叠，弧AB 恰好经过与AB 垂直的半径OC 的中点D ，已知弦AB 的长为4√15cm ，则r ＝ cm ．9．如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝120°，C为弧BD的中点，AC交OD于点E，DE ＝1，则AE的长为．10．如图，AB为⊙O的直径，AE为⊙O的弦，C为优弧ABÊ的中点，CD⊥AB，垂足为D．若AE＝8，DB＝2，则⊙O的半径为．11.如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．➢课后练习1．如图，在⊙O中，直径CD垂直弦AB于点E，且OE＝DE．点P为BĈ上一点（点P不与点B，C重合），连接AP，BP，CP，AC，BC．过点C作CF⊥BP于点F．给出下列结论：①△ABC是等边三角形；②在点P从B→C的运动过程中，CFAP−BP的值始终等于√32．则下列说法正确的是（）A．①，②都对B．①对，②错C．①错，②对D．①，②都错2．如图，在半径为5的⊙O 内有两条互相垂直的弦AB 和CD ，AB ＝8，CD ＝8，垂足为E ．则tan ∠OEA 的值是（ ）A ．1B ．√63C ．√156D ．2√1593．如图，四边形ABCD 内接于半径为5的⊙O ，AB ＝BC ＝BE ，AB ⊥BE ，则AD 的长为（ ）A ．5B ．5√2C ．5√3D ．104．如图，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠AOC ＝90°，AB =√2，BC ＝1，则⊙O 的半径为（ ）A ．√3B ．√52C ．√102D ．√2+125．下列说法正确的是（ ）A ．同弧或等弧所对的圆心角相等B ．所对圆心角相等的弧是等弧C ．弧长相等的弧一定是等弧D ．平分弦的直径必垂直于弦6．如图，A ，B 为圆O 上的点，且D 为弧AB 的中点，∠ACB ＝120°，DE ⊥BC 于E ，若AC =√3DE ，则BE CE的值为（ ）A ．3B ．2C ．√33+1D ．√3+17．如图所示，在⊙O 中，BC 是弦，AD 过圆心O ，AD ⊥BC ，E 是⊙O 上一点，F 是AE 延长线上一点，EF ＝AE ．若AD ＝9，BC ＝6，设线段CF 长度的最小值和最大值分别为m 、n ，则mn ＝（ ）A ．100B ．90C ．80D ．708．如图，A ，B 是⊙O 上的点，∠AOB ＝120°，C 是AB̂的中点，若⊙O 的半径为5，则四边形ACBO 的面积为（ ）A ．25B ．25√3C ．25√34D ．25√329．如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是半圆上的一个三等分点，点D 是AĈ的中点，点P 是直径AB 上一点，若⊙O 的半径为2，则PC +PD 的最小值是 ．10．如图，一下水管道横截面为圆形，直径为260cm ，下雨前水面宽为100cm ，一场大雨过后，水面宽为240cm ，则水位上升 cm ．11．如图，在⊙O 中，点C 在弦AB 上，连接OB ，OC ．若OB ＝5，AC ＝1，BC ＝5，则线段OC 的长为 ．12．如图，以G（0，3）为圆心，半径为6的圆与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最大值为．13．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为．14．如图，射线PE平分∠CPD，O为射线PE上一点，以O为圆心作⊙O，与PD边交于点A、点B，连接OA，且OA∥PC．（1）求证：AP＝AO．（2）若⊙O的半径为10，tan∠OPB=12，求弦AB的长．15．如图，在⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，OF⊥CD，垂足为F．设已知BE＝5，AE=12OE，OF＝1，求CD的长．➢冲击A+在Rt①ABC中，①BAC=90°，(1)如图1，D、E分别在BC、BA的延长线上，①ADE=2①CAD，求证：DA=DE；(2)如图2，在(1)的条件下，点F在BD上，①AFB=①EFD，求证：①FAD=①FED(3)如图3，若AB=AC，过点C作CN||AB，连接AN，在AN上取一点G，使GA=AC，连接BG交AC于点H，连接CG，试探究CN、CH、GN之间满足的数量关系式，并给出证明；。

第25课圆的有关性质第一部分讲解部分（一）课标要求1.理解圆、弧、弦、圆心角、圆周角的概念，了解等圆、等弧的概念．2.探索并证明垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧．3.探索圆周角与圆心角及其所对弧的关系，了解并证明圆周角定理及其推论：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径；圆内接四边形的对角互补．（二）知识要点1.圆的有关概念：（1）圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合．（2）连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径．（3）圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．小于半圆周的圆弧叫做劣弧．大于半圆周的圆弧叫做优弧．在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．（4）经过三角形三个顶点可以画一个圆，并且只能画一个，经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形，外心是三角形各边中垂线的交点．2.垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧．推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．3.圆心角定理同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等．4.圆周角定理同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半．推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径．推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．5.圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角．（三）考点精讲考点一 ：考查圆的有关概念例1 （2011年四川省凉山州） 如图1，︒=∠100AOB ，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则ACB ∠的度数为（ ）A.50°B.80°或50°C. 130°D. 50°或130°分析：因为点C 的位置有两种可能，既可以在优弧上，也可以在劣弧上，所以要分两种情况讨论．解：当点C 在优弧上时，︒=÷︒=∠502100ACB ；当点C 在劣弧上时，︒=÷︒-︒=∠1302)100360(ACB ．所以本题选择D ．评注：本题中圆上两点把圆分成两部分，导致问题会出现两种不同的结果，这一点在解题时不能忽略．考点二 ：考查垂径定理的应用例2 （2011年浙江省绍兴市）一条排水管的截面如图2所示.已知排水管的截面圆半径10OB =，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，求水面宽A B 的大小．分析：根据垂径定理把已知量与未知量转化到一个直角三角形中后，利用勾股定理来解决问题． 解：因为OC ⊥AB ，由垂径定理，得，AC ＝BC ．在Rt △OBC 中，由勾股定理，得86102222=-=-=OC OB BC ，所以162==BC AB ．评注：垂径定理及其推论是圆的重要性质，它是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆中一些计算和作图问题提供了方法和依据． 考点三：考查弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系例3 （2011年浙江省嘉兴市）如图3，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC 于点D ，连结CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②OE CE =；③△ODE ∽△ADO ；④AB CE CD⋅=22．其中正确结论的序号是 ．分析：根据弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系来对结论逐一判断．解：（1）因为∠COD ＝2∠CAD ＝45°＝∠ACO ，所以AC ∥OD ；（2）在△COD 和△CDE 中，∠DCE 是它们的公共角，∠COD ＝45°＝∠CDE ，所以△C OD ∽△CDE ，所以CD COCE CD=．又因为CO AB 2=，所以AB CE CD ⋅=22．于是本题选择 ①④．图2图3评注：弧、弦、圆心角、圆周角之间的相等或倍分关系是论证同等或等圆中弧相等、角相等、线段相等的主要依据．（四）易错点剖析易错点一 点的位置不唯一出错例题1 △ABC 点是半径为1的圆内接三角形，且3=BC ，求∠A 的度数．解 （1）当点A 在优弧BAC 上时（如图），过圆心O 作OD ⊥BC 于点D ．在Rt △BOD 中，1=OB ，2321==BC BD ，所以23cos ==∠OB ODBOD ，所以︒=∠60BOD ，︒=∠120BOC ，那么︒=∠60A ．（2）当点A 在劣弧BC 上时，即图中点A '的位置时，这时，︒=∠-︒='∠120180A A ．易错剖析 圆中一条弦所对的弧有两条，导致点在弦所对的弧上的位置不唯一，这一点常常被忽视．因此在解决此类问题时，一定要考虑点在优弧上与劣弧上两种情况分析．易错点二 弦的位置不唯一出错例题2 在半径为1的⊙O 中，弦2AB =，3AC =，那么B A C ∠=________．解 （1）当两弦在圆心的一侧时（图1），︒=︒-︒=∠-∠=∠153045CAD BAD BAC ．（2）当两弦在圆心的两侧时（图2），︒=︒+︒=∠+∠=∠753045CAD BAD BAC ． 易错剖析 已知两弦的长，但它们的位置没有确定，因为它们位置可能位于圆心的同侧，也可能位于圆心的异侧，所以，本题存在两种情况，解题时容易忽视其中的一种情形．（五）真题演练1.（2011年福建省三明市）如图1，AB 是⊙O 的直径，C ，D 两点在⊙O 上，若∠C ＝40°，则∠ABD 的度数为（ ）A ．40°B ．50°C ．80°D ．90°2．（2011年安徽省）如图2，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB=CD ，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是_________.3．（2011年甘肃省兰州市）如图3，线段OB 是⊙O 的半径，点C 、点D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度．4．（2011年深圳市）如图4，在⊙O 中，圆心角∠AOB ＝120°，弦AB ＝23cm ，则OA ＝___________cm ．5．（2011年江苏省扬州市）如图5，O ⊙的弦C D 与直线径A B 相交，若50B A D ∠=°，则A C D ∠=___________°.第二部分 练习部分1.（2011重庆市潼南）如图，AB 为⊙O 的直径，点C 在⊙O 上,∠A =30°,则∠B 的度数为（ ）A ．15°B . 30°C . 45° D. 60°2.（2011广东肇庆）如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点，若∠BAD ＝105°，则∠DCE的大小是（）A．115°B．105°C．100°D．95°3.（2011江苏南通）如图，⊙O的弦AB＝8，M是AB的中点，且OM＝3，则⊙O的半径等于（）A.8B. 2C. 10D. 54.（2011四川内江）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O的半径OC为2，则弦BC的长为（）A．1 B．3C．2 D．235.（2011四川成都）如图，若AB是⊙0的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的大小是（）A．116°B．32°C．58°D．64°6.（2011山东泰安）如图，⊙O的弦AB垂直平分半径OC，若AB=6，则⊙O的半径为（）A. 2B.2 2C.22D.627.（2011广东湛江）如图，A、B、C是O上的三点，30BAC︒∠=，则B O C∠=度．8.（2011台湾全区）如图，△ABC 的外接圆上，AB 、BC 、CA 三弧的度数比为12:13:11．自BC 上取一点D ，过D 分别作直线AC 、直线AB 的并行线，且交BC 于E 、F 两点，则∠EDF 的度数 ．9.（2011内蒙古乌兰察布）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ，如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 ．A .70︒B . 35︒C . 30︒D . 20︒10.（2011甘肃兰州）如图，OB 是⊙O 的半径，点C 、D 在⊙O 上，∠DCB=27°，则∠OBD= 度．11.（2011四川广安）如图，若⊙O 的半径为13cm ，点P 是弦A B 上一动点，且到圆心的最短距离为5 cm ，则弦A B 的长为________cm ．12.（2011江西）如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为23，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点（B ，C 两点除外）． （1）求∠BAC 的度数；（2）求△ABC 面积的最大值.．（参考数据：sin60°=23，cos30°=23，tan30°=33.）★“真题演练”答案★1．B ．提示：根据圆周角，圆心角，等腰三角形的性质解决问题.2. 5．提示：作OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，易证四边形OMEN 是正方形．由于CD=CE+ED=4，所以CN=2，EN=CN －CE=1，则ON=1，再连接OC ，使用勾股定理即可求出OC=5．3. 63°．提示：∠DOB=2∠DCB=54°，△OBD 是等腰三角形，得∠OBD=（180°－54°）÷2=63°．4. 4 ．提示：根据弦的性质、直角三角形的知识求解．5.40．提示：0000=90905040ACD ABD BAD ∠∠=-∠=-=．★“练习部分”答案★1．D 提示：由AB 是直径，得∠C=90°．而∠A =30°，所以∠B=60°．2．B 提示：由“圆内接四边形对角互补”可知，∠BAD ＋∠BCD ＝180°．又因为∠DCE ＋∠BCD ＝180°，所以∠BAD ＋∠BCD ＝180°，所以∠DCE ＝∠BAD ＝105°．3．D 提示：连接OA ，由OM 平分弦AB ，得OM ⊥AB 在Rt △OAM 中，3=OM ，4=AM ，由色股定理，得5=OA ．4．D 提示：过O 点作OD ⊥BC ，垂足为D ．因为︒=∠=∠1202BAC BOC ，所以︒=∠30OBD ，所以121==OB OD ，由勾股定理，得31222=-=BD ，所以322==BD BC ．5．B 提示：由AB 是直径，得∠ADB=90°，所以︒=︒-︒=∠-︒=∠32589090ABD BAD ．又因为∠BCD 与∠BAD 是同弧所对的圆周角，所以︒=∠=∠32BAD BCD ．6．A 提示：连接OA 构造一个直角三角形，它的一条直角边是AB 长的一半，另一条直角边是半径的一半，由勾股定理列一元二次方程求解半径即可．7.60提示：因为∠BAC 与∠BOC 分别是弧BC 所对的圆周角和圆心角，所以︒=︒⨯=∠=∠603022BAC BOC ．8．65 提示：因为︒=÷⨯++︒=∠65213111312360A ．由两直线平行，内错角相等，得与分别有两对角相等，再由三角形内角和等于180°，得它们的另一组角相等，即︒=∠=∠65A EDF ．9．35°提示：因为直径AB 垂直于弦CD ，所以弧BC 与弧BD 相等，所以︒=∠=∠3521BOC A ． 10．63°提示：由“同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半”，得︒=︒⨯=∠=∠542722DCB DOB ，又由OD OB =，得ODB OBD ∠=∠，所以︒=︒-︒=∠63254180OBD ．11．24提示：过点O 作OD ⊥BC 于点D ．由垂线段最短，得cm OD 5=，由勾股定理，得cm AD 12=，由垂径定理，得cm AD AB 242==．12.提示：（1）过点O 作OD ⊥BC 于点D, 连接OC ．因为OC =2，所以sin D O C ∠=C D O C ，即sin D O C ∠=32，所以∠DOC =60°．又OD ⊥BC ，所以∠BAC =∠DOC =60°．（2）当点A 是 BAC 的中点时，△ABC 面积的最大值．因为∠BAC =60°，所以△ABC 是等边三角形，在Rt △ADC 中，AC =23，DC =3,所以AD =22AC DC -=22(23)3-=3．所以△ABC 面积的最大值为23×3×12=33．。

《圆的基本性质》的知识点及典型例题知识框图1、过一点可作个圆。

过两点可作个圆，以这两点之间的线段的上任意一点为圆心即可。

过三点可作个圆。

过四点可作个圆。

2、垂径定理：垂直于弦的直径，并且平分垂径定理的逆定理1：平分弦（）的直径垂直于弦，并且平分垂径定理的逆定理2：平分弧的直径3、圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的，所对的圆心角定理的逆定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么都相等。

注解：在由“弦相等，得出弧相等”或由“弦心距相等，得出弧相等”时，这里的“弧相等”是指对应的劣弧与A B，那么所求的是弧长劣弧相等，优弧与优弧相等。

在题目中，若让你求⌒4.圆周角性质:①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半.②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角.④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角.练习一、 填空题：1、 如图，在⊙O 中，弦AB ∥OC ，115AOC ∠=︒，则BOC ∠=_________2、如图，在⊙O 中，AB 是直径，15C ∠=︒，则BAD ∠=__________3、如图，点O 是ABC ∆的外心，已知40OAB ∠=︒，则ACB ∠=___________（1题图） （2题图） （3题图） （4题图） 4、如图，AB 是⊙O 的直径，弧BC=弧BD ，25A ∠=︒，则BOD ∠= ．（5题图） （6题图） （7题图） 5、如图，⊙O 的直径为8，弦CD 垂直平分半径OA ，则弦CD ＝ ．6、已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是 ．7、如图，在⊙O 中，∠B=50º，∠C=20º，则∠BOC 的=____________8、在半径为5cm 的圆中，两条平行弦的长度分别为6cm 和8cm ，则这两条弦之间的距离为 9、在半径为1的⊙O 中，弦AB 、AC 分别是3和2，则∠BAC 的度数为__________________10、如图，某花园小区一圆形管道破裂，修理工准备更换一段新管道，现在量得污水水面宽度为80cm ，水面到管道顶部距离为20cm ，则修理工应准备内直径是_________cm 的管道．．半径为5cm 的圆O中有一点P ，OP=4，则过P 的最短弦长_________，最长弦是__________，二、 选择题：12．如图，矩形与⊙O 相交，若AB=4，BC=5，DE=3，则EF 的长为（ ）A ． 3.5B ． 6.5C ． 7D ． 813、如图，AB 是⊙O 的直径，AD=DE ，AE 与BD 交于点C ，则图中与∠BCE 相等的角有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个B OCAO ABCDOABCD BOACDBOACOABPABCON M OFEDC B A1、已知如图,AB 为⊙O 的弦,半径OE 、OF 分别交AB 于点C 、D ，且AC=BD 。

考点跟踪训练26 圆的基本性质一、选择题1．(2011·上海)矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝3 5，点P 在边AB 上，且BP ＝3AP ，如果圆P 是以点P 为圆心，PD 为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A. 点B 、C 均在圆P 外B. 点B 在圆P 外、点C 在圆P 内C. 点B 在圆P 内、点C 在圆P 外 D ．点B 、C 均在圆P 内 答案 C解析 如图，AB ＝8，BP ＝3AP ，得BP ＝6，AP ＝2.在Rt △APD 中，PD ＝ 3 52＋22＝7>BP ，所以点B 在圆P 内；在Rt △BPC 中，PC ＝ 3 52＋62＝9>PD ，所以点C 在圆P 外．2．(2011·凉山)如图，∠AOB ＝100°，点C 在⊙O 上，且点C 不与A 、B 重合，则∠ACB 的度数为( )A ．50°B ．80°或50°C ．130°D ．50° 或130° 答案 D解析 当点C 在优弧上，∠ACB ＝12∠AOB ＝50°；当点C 在劣弧上，∠ACB ＝180°－50°＝130°.综上，∠ACB ＝50°或130°.3．(2011·重庆)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠OCB ＝40°，则∠A 的度数等于( )A ．60°B ．50°C ．40°D ．30° 答案 B解析 在△OBC 中，OB ＝OC ，∠OCB ＝40°， ∴∠BOC ＝180°－2×40°＝100°.∴∠A ＝12∠BOC ＝12×100°＝50°.4．(2011·绍兴)一条排水管的截面如图所示．已知排水管的截面圆半径OB ＝10，截面圆圆心O 到水面的距离OC 是6，则水面宽AB 是( )A ．16B ．10C ．8D ．6 答案 A解析 在Rt △OBC 中，OB ＝10，OC ＝6，∴BC ＝102－62＝8. ∵OC ⊥AB ， ∴AC ＝BC.∴AB ＝2BC ＝2×8＝16.5．(2011·嘉兴)如图，半径为10的⊙O 中，弦AB 的长为16，则这条弦的弦心距为( ) A ．6 B ．8 C ．10 D ．12 答案 A解析 作弦心距OC ，得AC ＝BC ＝12×16＝8.连接AO ，在Rt △AOC 中，OC ＝102－82＝6.二、填空题6．(2011·扬州)如图，⊙O 的弦CD 与直径AB 相交，若∠BAD ＝50°，则∠ACD ＝__________度．答案 40解析 ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB ＝90°.∴∠B ＝90°－∠BAD ＝90°－50°＝40°. ∴∠ACD ＝∠B ＝40°.7．(2011·安徽)如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB ＝CD ，已知CE ＝1，ED ＝3，则⊙O 的半径是________________．答案5解析 画OM ⊥AB ，ON ⊥CD ，垂足分别为M 、N ，连接OD.∵AB ＝CD ， ∴OM ＝ON.易证四边形OMEN 是正方形．∵CN ＝DN ＝12CD ＝12×(1＋3)＝2，∴EN ＝CN －CE ＝2－1＝1. ∴ON ＝1.∴在Rt △DON 中，OD ＝12＋22＝ 5.8．(2011·杭州)如图，点A 、B 、C 、D 都在⊙O 上，CD 的度数等于84°，CA 是∠OCD 的平分线，则∠ABD ＋∠CAO ＝________.答案 48°解析 ∵OA ＝OC ， ∴∠CAO ＝∠ACO. 又∵∠ABD ＝∠ACD ，∴∠ABD ＋∠CAO ＝∠ACD ＋∠ACO ＝∠DCO.在△CDO 中，OC ＝OD ，∠COD=====mCD ＝84°，∴∠DCO ＝180°－84°2＝48°，即∠ABD ＋∠CAO ＝48°.9．(2011·威海)如图，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E ，若AE ＝5，BE ＝1，CD ＝4 2，则∠AED ＝___________.答案 30°解析 连接DO ，画OF ⊥CD ，垂足是F.∴CF ＝DF ＝12CD ＝12×4 2＝2 2.∵AB ＝AE ＋BE ＝5＋1＝6，∴DO ＝12AB ＝3.在Rt △DFO 中，OF ＝32－ 2 22＝1，在Rt △OFE 中，OE ＝3－1＝2，OF ＝1.∴∠AED ＝30°.10．(2011·舟山)如图，AB 是半圆直径，半径OC ⊥AB 于点O ，AD 平分∠CAB 交弧BC于点D ，连接CD 、OD ，给出以下四个结论：①AC ∥OD ；②CE ＝OE ；③△ODE ∽△ADO ；④2CD 2＝CE ·AB.其中正确结论的序号是_______．答案 ①④解析 ∵OC ⊥AB ，∴A C ＝B C ＝90°. ∵AD 平分∠CAD ，∴∠CAD ＝∠BAD ，CD ＝BD ＝45°. ∴∠CAB=====m 12BC ＝45°，∠DOB=====mBD ＝45°，∴∠CAD ＝∠DOB ，AC ∥OD ；在△ACO 中，AC>AO ，AE 平分∠CAO ，∴CE ≠EO ； 由AC ∥OD ，得△ODE ∽△CAE ，而∠CAD ＝∠BAO ，∠ACE ≠∠AOD ，∠AEC ≠∠AOD.∴△ACE 与△ADO 不相似，即△ODE 与△ADO 不相似；连接BD ，有BD ＝CD ，可求得∠B ＝67.5°，又∵∠CED ＝∠AEO ＝67.5°，∴∠B ＝∠CED.又∵∠CDE ＝∠DOB ＝45°，∴△CDE ∽△DOB ，CD DO ＝CE DB ，CD ·DB ＝CE ·DO ，∴CD 2＝CE ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AB ，即2CD 2＝CE ·AB.故结论①、④正确． 三、解答题11．(2011·上海)如图，点C 、D 分别在扇形AOB 的半径OA 、OB 的延长线上，且OA ＝3，AC ＝2，CD 平行于AB ，并与A B 相交于点M 、N.(1)求线段OD 的长；(2)若tan ∠C ＝12，求弦MN 的长．解 (1)∵CD ∥AB ，∴∠OAB ＝∠C ，∠OBA ＝∠D. ∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA. ∴∠C ＝∠D. ∴OC ＝OD.∵OA ＝3，AC ＝2， ∴OC ＝5. ∴OD ＝5.(2)过点O 作OE ⊥CD ，E 为垂足，连接OM.在Rt △OCE 中，OC ＝5，tan ∠C ＝12，设OE ＝x ，则CE ＝2x.由勾股定理得x 2＋(2x)2＝52，解得x 1＝5，x 2＝－5(舍去)．∴OE ＝ 5.在Rt △OME 中，OM ＝OA ＝3，∴ME ＝OM 2－OE 2＝32－52＝2.∴MN ＝2ME ＝4.12．(2011·江西)如图，已知⊙O 的半径为2，弦BC 的长为2 3，点A 为弦BC 所对优弧上任意一点(B 、C 两点除外)．(1)求∠BAC 的度数；(2)求△ABC 面积的最大值．(参考数据：sin60°＝32，cos30°＝32，tan30°＝33.)解 (1) 解法一：连接OB 、OC ，过O 作OE ⊥BC 于点E(如图)．∵OE ⊥BC ，BC ＝2 3， ∴BE ＝EC ＝ 3.在Rt △OBE 中，OB ＝2，∵sin ∠BOE ＝BE OB ＝32，∴∠BOE ＝60°， ∴∠BOC ＝120°，∴∠BAC ＝12∠BOC ＝60°.解法二：连接BO 并延长，交⊙O 于点D ，连接CD.(如图)∵BD 是直径，∴BD ＝4，∠DCB ＝90°. 在Rt △DBC 中，sin ∠BDC ＝BC BD ＝2 34＝32，∴∠BDC ＝60°，∴∠BAC ＝∠BDC ＝60°.(2)因为△ABC 的边BC 的长不变，所以当BC 边上的高最大时，△ABC 的面积最大，此时点A 落在优弧BC 的中点处．如图，过O 作OE ⊥BC 于E ，延长EO 交⊙O 于点A ，则A 为优弧BC 的中点．连接AB 、AC ，则AB ＝AC ，∠BAE ＝12∠BAC ＝30°.在Rt △ABE 中，∵BE ＝3，∠BAE ＝30°，∴AE ＝BEtan 30°＝3，∴S △ABC ＝12×2 3×3＝3 3.答：△ABC 面积的最大值是3 3. 13．(2011·德州) ●观察计算当a ＝5，b ＝3时， a ＋b2与ab 的大小关系是__________________；当a ＝4，b ＝4时， a ＋b2与ab 的大小关系是__________________．●探究证明如图所示，△ABC 为圆O 的内接三角形，AB 为直径，过C 作CD ⊥AB 于D ，设AD ＝a ，BD ＝b.(1)分别用a 、b 表示线段OC 、CD ；(2)探求OC 与CD 表达式之间存在的关系(用含a 、b 的式子表示)． ●归纳结论根据上面的观察计算、探究证明，你能得出a ＋b2与ab 的大小关系是：________________________.●实践应用要制作面积为1平方米的长方形镜框，直接利用探究得出的结论，求出镜框周长的最小值．解 观察计算： a ＋b 2>ab ；a ＋b2＝ab. 探究证明：(1)∵AB ＝AD ＋BD ＝2OC ，∴OC ＝a ＋b2.∵AB 为⊙O 直径， ∴∠ACB ＝90°.∵∠A ＋∠ACD ＝90°，∠ACD ＋∠BCD ＝90°， ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ACD ∽△CBD. ∴AD CD ＝CD BD . 即CD 2＝AD ·BD ＝ab ， ∴CD ＝ab.(2)当a ＝b 时，OC ＝CD, a ＋b2＝ab ；a ≠b 时，OC>CD, a ＋b2>ab.结论归纳： a ＋b2≥ab.实践应用：设长方形一边长为x 米，则另一边长为1x 米，设镜框周长为l 米，则l ＝2(x ＋1x ) ≥4x ·1x＝4 . 当x ＝1x，即x ＝1(米)时，镜框周长最小．此时四边形为正方形时，周长最小为4 米．14．(2011·肇庆)已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，AB 为直径，∠CBA 的平分线交AC 于点F ，交⊙O 于点D ，DE ⊥AB 于点E ，且交AC 于点P ，连接AD.(1)求证：∠DAC ＝∠DBA ； (2)求证：P 是线段AF 的中点；(3)若⊙O 的半径为5，AF ＝152，求tan ∠ABF 的值．解 (1)证明：∵BD 平分∠CBA ，∴∠CBD ＝∠DBA.∵∠DAC 与∠CBD 都是弧CD 所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠CBD. ∴∠DAC ＝∠DBA.(2)证明：∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°. 又∵DE ⊥AB 于点E ，∴∠DEB ＝90°.∴∠ADE ＋∠EDB ＝∠ABD ＋∠EDB ＝90°. ∴∠ADE ＝∠ABD ＝∠DAP.∴PD ＝PA.又∵∠DFP ＋∠DAC ＝∠ADE ＋∠PDF ＝90°， 且∠ADE ＝∠DAC ，∴∠PDF ＝∠PFD ，∴PD ＝PF.∴PA ＝PF ，即P 是线段AF 的中点．(3)解：∵∠DAF ＝∠DBA ，∠ADB ＝∠FDA ＝90°， ∴△FDA ∽△ADB ， ∴AD DB ＝AF AB. ∴在Rt △ABD 中，tan ∠ABD ＝AD DB ＝AF AB ＝15210＝34，即tan ∠ABF ＝34.15．(2011·广州)如图1，⊙O 中AB 是直径，C 是⊙O 上一点，∠ABC ＝45°，等腰直角三角形DCE 中∠DCE 是直角，点D 在线段AC 上．(1)证明：B 、C 、E 三点共线；(2)若M 是线段BE 的中点，N 是线段AD 的中点，证明：MN ＝2OM ；(3)将△DCE 绕点C 逆时针旋转α(00<α<900)后，记为△D 1CE 1(图2)，若M 1是线段BE 1的中点，N 1是线段AD 1的中点，M 1N 1＝2OM 1是否成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．解 (1)证明：∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ ∠ACB ＝90°. ∵ ∠DCE ＝90°，∴∠ACB ＋∠DCE ＝180°， ∴ B 、C 、E 三点共线．(2)证明：如图，连接ON 、AE 、BD ，延长BD 交AE 于点F.∵ ∠ABC ＝45°，∠ACB ＝90°，∴ BC ＝AC. 又∠ACB ＝∠DCE ＝90°，DC ＝EC ， ∴ △BCD ≌△ACE.∴ BD ＝AE ，∠DBC ＝∠CAE.∴∠DBC ＋∠AEC ＝∠CAE ＋∠AEC ＝90°. ∴ BF ⊥AE.∵ AO ＝OB ，AN ＝ND ，∴ ON ＝12BD ，ON ∥BD.∵ AO ＝OB ，EM ＝MB ，∴ OM ＝12AE ，OM ∥AE.∴ OM ＝ON ，OM ⊥ON. ∴ ∠OMN ＝45°.又 cos ∠OMN ＝OMMN ，∴ MN ＝2OM.(3) M 1N 1＝2OM 1成立，证明同(2)．。