第12讲二次函数图像与性质预习案

第12课时 二次函数的图像与性质（一）【复习目标】1．通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义．2．会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质．3．会用配方法将数字系数的二次函数的解析式化为y ＝a(x －h)2＋k 的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律．【知识梳理】1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______．4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2ba -时，y 有最小值，为_______； 若a_______0，当x ＝2ba-时，y 有最大值，为_______．6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______．7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”．【考点例析】考点一 二次函数的有关概念例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－ 1)D （－2，1）提示由配方可得y＝x2－4x＋5＝(x－2)2＋1，从而求得抛物线的顶点坐标．考点二抛物线的平移例2 将抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( )A．y＝3(x＋2)2＋3 B．y＝3(x－2)2＋3C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3提示由平移规律“上加下减．左加右减”，根据抛物线y＝3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到平移后抛物线的解析式．考点三同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题例 3 在同一坐标系中°一次函数y＝ax＋1与二次函数y＝x2＋a的图象可能是( )提示本题主要考查一次函数和二次函数图象位置的确定，由一次函数y＝ax＋1可知其图象经过(0，1)，与y轴交于正半轴．又二次函数y＝x2＋a．当a>0时，一次函数经过第一、二、三象限，二次函数图象的开口向上，顶点在y轴正半轴上，没有选项符合；当a<0时，一次函数的图象经过第一、二、四象限．二次函数开口向上，顶点在y轴负半轴上，从而确定正确选项．考点四利用二次函数的增减性比较坐标大小例4设A（－2，y1)，B(1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝－(x＋1)2＋m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系为 ( )A．y1>y2>y3B．y1>y3>y2C．y3>y2>y1D．y2>y1>y3提示本题根据二次函数图象在对称轴两边的增减性解题，要注意所有点必须先放在对称轴同一侧，然后进行比较．【反馈练习】1．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是 ( )A．直线y＝12B．直线x＝－12C．y轴D．直线x＝22．已知二次函数y＝2(x－3)2＋1，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝－3；③其图象的顶点坐标为（3，－1）；④当x<3时，y随x的增大而减小．其中说法正确的有 ( )A．1个B．2个C．3个D．4个3．抛物线y＝(x＋2)2－3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是 ( ) A．先向左平移2个单位，再向上平移3个单位B．先向左平移2个单位，再向下平移3个单位C．先向右平移2个单位，再向下平移3个单位D．先向右平移2个单位，再向上平移3个单位4．（2012．上海）将抛物线y＝x2＋x向下平移2个单位．所得新抛物线的解析式是________．5．已知点A(x1，y1)、B（x2，y2）在二次函数y＝（x－1)2＋1的图象上，若x1>x2>1，则y1_______y2．6．已知二次函数y＝－12x2－x＋32．(1)在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；(2)根据图象，写出当y<0时，x的取值范围；(3)若将此图象沿x轴向右平移3个单位，请写出平移后图象所对应的函数关系式．。

初三数学复习教案二次函数的图像与性质初三数学复习教案：二次函数的图像与性质一、引言二次函数是数学中非常重要且常见的一类函数，研究二次函数的图像与性质既有助于我们对函数的理解，也对解决实际问题具有重要意义。

本篇教案将重点介绍二次函数的图像和性质，以帮助初三学生系统复习与掌握这一知识点。

二、二次函数的定义和一般式1. 定义：二次函数是形如 y = ax² + bx + c 的函数，其中a ≠ 0，且 a、b、c 是常数。

2. 一般式：二次函数通常可以用一般式表示，即 y = ax² + bx + c。

三、二次函数的图像1. 抛物线的开口方向：当 a > 0 时，抛物线开口向上；当 a < 0 时，抛物线开口向下。

2. 顶点坐标的求解：二次函数的顶点坐标可以通过公式 x = -b / (2a) 求得。

3. 对称轴和对称性：二次函数的对称轴是经过顶点的一条垂直于 x 轴的直线。

二次函数关于对称轴对称，即对于任意 x，有 f(x) = f(2p - x)，其中 p 为对称轴的横坐标。

4. 零点的求解：二次函数的零点即方程 ax² + bx + c = 0 的解，可以通过求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a) 求得。

四、二次函数的性质1. 判别式：二次函数的判别式Δ = b² - 4ac 反映了二次函数的根的情况。

- 当Δ > 0 时，函数有两个不相等的实根；- 当Δ = 0 时，函数有两个相等的实根；- 当Δ < 0 时，函数无实根。

2. 函数的增减性：当 a > 0 时，二次函数在顶点左侧（对称轴左侧）是单调递增的；当 a < 0 时，二次函数在顶点右侧（对称轴右侧）是单调递增的。

3. 函数的最值：若 a > 0，则二次函数的最小值是顶点的纵坐标；若 a < 0，则二次函数的最大值是顶点的纵坐标。

二次函数的性质与图像教案一、教学目标1. 让学生了解二次函数的定义和标准形式；2. 理解二次函数的性质，包括顶点、开口、对称轴等；3. 掌握二次函数图像的特点，如开口方向、顶点位置等；4. 能够运用二次函数的性质和图像解决实际问题。

二、教学内容1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：顶点、开口、对称轴；3. 二次函数图像的特点：开口方向、顶点位置等；4. 实际问题举例。

三、教学重点与难点1. 重点：二次函数的性质和图像的特点；2. 难点：运用二次函数的性质和图像解决实际问题。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论等教学方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，直观展示二次函数的图像；3. 引导学生通过实际问题，探究二次函数的性质和图像特点。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，引导学生思考二次函数的存在；2. 讲解：讲解二次函数的定义和标准形式，阐述二次函数的性质，如顶点、开口、对称轴等；3. 演示：使用多媒体课件，展示二次函数的图像，让学生直观理解二次函数的性质和图像特点；4. 练习：布置练习题，让学生巩固二次函数的性质和图像知识；5. 讨论：组织学生分组讨论，分享解题心得和实际问题解决方法；6. 总结：总结二次函数的性质和图像特点，强调运用二次函数解决实际问题的重要性。

六、教学评估1. 课堂练习：设计一份包含不同难度的练习题，以评估学生对二次函数性质与图像的理解程度。

2. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与情况和合作能力，评估他们对知识点的掌握和运用能力。

3. 课后作业：布置一道综合性的课后作业，要求学生应用二次函数的性质与图像解决实际问题，以评估他们的应用能力。

七、教学资源1. 多媒体课件：制作详细的课件，包括二次函数的图像、性质解释和实际问题示例。

2. 练习题库：准备一份涵盖各种类型题目的题库，用于课堂练习和课后作业。

3. 实际问题案例：收集一些与二次函数相关的实际问题案例，用于教学中的实例分析。

二次函数的性质与图像教案一、教学目标：1. 理解二次函数的定义和标准形式；2. 掌握二次函数的性质，包括对称轴、顶点、开口方向等；3. 能够绘制和分析二次函数的图像；4. 能够应用二次函数解决实际问题。

二、教学内容：1. 二次函数的定义和标准形式；2. 二次函数的性质：对称轴、顶点、开口方向；3. 二次函数的图像：抛物线的基本形状；4. 实际问题中的应用。

三、教学方法：1. 讲授法：讲解二次函数的定义、性质和图像；2. 案例分析法：分析实际问题中的二次函数；3. 互动讨论法：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；4. 实践操作法：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解。

四、教学准备：1. 教学PPT：包含二次函数的定义、性质、图像及实际问题；2. 练习题：用于巩固所学知识；3. 绘图工具：如直尺、圆规等，用于绘制二次函数的图像。

五、教学过程：1. 导入：通过一个实际问题引入二次函数的概念；2. 讲解：讲解二次函数的定义、性质和图像，引导学生理解；3. 案例分析：分析实际问题中的二次函数，让学生学会应用；4. 互动讨论：引导学生参与课堂讨论，巩固知识点；5. 实践操作：让学生动手绘制二次函数的图像，加深理解；6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点；7. 布置作业：让学生通过练习题巩固所学知识。

六、教学评估：1. 课堂问答：通过提问方式检查学生对二次函数定义和性质的理解；2. 练习题：布置针对性的练习题，评估学生对二次函数图像分析的能力；3. 小组讨论：评估学生在团队合作中解决问题的能力；4. 作业反馈：收集学生作业，评估其对课堂所学知识的掌握程度。

七、教学拓展：1. 探讨二次函数在实际生活中的应用，如抛物线镜面、物理运动等；2. 介绍二次函数相关的数学历史故事，激发学生兴趣；3. 引导学生探究二次函数的其它性质，如最大值、最小值等；4. 组织数学竞赛，提高学生的学习积极性。

八、教学反思：1. 反思教学方法：根据学生反馈，调整教学方法，提高教学效果；2. 反思教学内容：确保教学内容符合学生认知水平，适当调整难度；3. 反思教学过程：关注学生在课堂上的参与度，优化教学过程；4. 及时与学生沟通：了解学生的学习需求，调整教学策略。

初中数学总复习第十二讲：二次函数的图象和性质【教学目标】1.理解二次函数的有关概念；2.会确定二次函数表达式；3.能通过图像理解二次函数的性质；4.用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为�＝�(�－ℎ)²＋�的形式，并能由此得到二次函数图像的顶点坐标及开口方向，画出图像的对称轴；5.理解二次函数与一元二次方程之间的内在联系．【教学重难点】教学重点：二次函数的开口、对称轴、顶点、最值、增减性等性质.教学难点：由二次函数的图象得出二次函数的解析式以及相应的性质。

【教学过程】教学环节教学内容设计意图1．二次函数�=− �− 6 2 + 8 的最大值是．2．已知对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于 (1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为．3.当m=时，y=(m+3)x m2+3m+2是二次函数.4．已知二次函数�1 = ��2 + �� + �(�≠ 0)与一次函数�2 = �� + �(�≠ 0) 的图象相交于点A(－2，4)，B(8，2)(如图所示)，则能使�1 > �2成立的�的取值范围是．通过课前小测，了解学一、课前生的学情，便于把握这小测节课的重难点，更好地实现教学目标。

知识点一：二次函数的定义一般地，形如，那么�叫做�的二次函数.例题1（1）二次函数�= �2− 2�− 3,中� = , � = , � = .（2）当�= （）时，�= (� + 3)��2+3�+2是二次函数.解：∵ �� + �� + � = �，∴ �� = �, ��− �且�+ �≠�∴ �= �【教师总结】二次函数两大条件缺一不可：（1）最高次数是二次（2）二次项系数不为零知识点二：二次函数的解析式（1）一般式：（2）顶点式：：（3）交点式：：强化学生对二次函数概二、知念的理解，强调二次函数不能没有二次项，因此二次项系数不能为 0，让学生感受数学的严谨性．识对称轴顶点坐标最值精讲增减性在对称轴左侧y随x的增大而y随x的增大而在对称轴右侧y随x的增大而y随x的增大而学生对于顶点式的性质例题�（1）二次函数�=−�−�� + �的顶点坐标是,最大值是.2 已知对称轴平行于�轴的抛物线与�轴交于1,0 , 3,0两点,则它的对称轴为.独立完成例题 3 的（1）到（2）小题，然后小组校对、讨论，小组展示成果，通过举手反馈该问题的通过率。

课题：第十二讲 二次函数教学目标：1.理解二次函数的有关概念，掌握二次函数表达式的两种形式．2.会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．3.会运用配方法或公式法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．4.掌握二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的特征与a ，b ，c 及ac b 42-的符号之间的关系.教学重点与难点：重点：掌握二次函数的图象与性质.难点：会运用配方法或公式法确定二次函数的图象的顶点、开口方向和对称轴，并会求解二次函数的最值问题．课前准备：教师准备：多媒体课件．学生准备：（提前一天布置）①预习新课程初中复习指导丛书55～56页二次函数的图象与性质的知识梳理；②完成新课程初中复习指导丛书57～60页强化训练第1、2、3、7、8题． 教学过程:一、知识梳理，建构网络1. 二次函数的两种形式：⑴ 一般形式： （a , b , c 是常数，a ≠0）.⑵ 顶点式： （a , h , k 是常数，a ≠0）. 2. 二次函数的图象与性质：23. 二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 图象的特征与a ，b ，c 及ac b 42-的符号之间的关系：34.二次函数图象的平移：抛物线2ax y =与k h x a y h x a y +-=-=22)(,)(中a 相同，则图象的形状和大小都相同，只是位置不同，它们之间可以通过适当的平移得到.具体平移方法如下图所示：（口诀“上加下减，左加右减”）2y ax = 2y ax k =+2()y a x h =- 2()y a x h =-+k5.二次函数关系式的确定：⑴ 若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式：y= (a ≠0),将已知三点的坐标代入，求出其 ， ， 的值．⑵ 若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式： y= (a ≠0),将已知条件代入，求出 的值．⑶ 若已知二次函数图象与x 轴的两个交点的坐标为（x 1 , 0）,(x 2 ，0)，则设交点式：y= (a ≠0),将第三点的坐标或其它已知条件代入，求出 的值，最后将关系式化为一般式． 处理方式：利用多媒体出示二次函数的知识点，以问题串的形式让学生回顾,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，需要教师强调的地方教师要结合具体的例子先简单分析，在后面的例题讲解中再着重强调．设计意图：以问题串的形式让学生回顾二次函数的相关知识,如有遗忘，借用课本或同学间交流进行补充，为后面的题组训练打好基础，让学生掌握课堂的主动权，完成知识脉络的梳理后，让学生在小组交流讨论中完成建构并从中感受到知识间的内在联系，感受到数形结合思想，让学生在数学学习活动中完成二次函数的知识要点复习, 为下一步激活运用这些知识打好基础． 二、专题探究，归纳整合 活动内容1：二次函数的表达式向右 向左 平移 单位向左向右 平移 单位（h ＞0） （h ＜0）︱h ︱个 （h ＞0） （h ＜0） ︱h ︱个 向上（k ＞0），向下（k ＞0）平移︱k ︱个单位平移︱k ︱个单位向上（k ＞0），向下（k ＞0）41．抛物线322+-=x x y 的顶点坐标是 ．2．已知对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交与（1 ，0），(3 ，0)两点，则它的对称轴为 ． 处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，理解和认识二次函数的两种表达式之间的相互转化关系，掌握求二次函数顶点坐标的方法．活动内容2：二次函数的图像与性质1．.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式 中错误的是（ ）A ．a ＜0B ．c ＞0C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞02．已知二次函数c bx ax y ++=21（0≠a ）与一次函数)0(2≠+=k m kx y 的图象相交于点A （－2，4），B （8，2）（如图所示），则能使21y y >成立的x 的取值范围是 ．处理方式：学生先讨论交流，然后找两名学生利用展台展示说明解决问题的方法，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，理解和认识二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性及最值等，进而使学生知道从这五个方面探究二次函数的性质．活动内容3：二次函数的图像的平移1．将抛物线2x y =平移得到抛物线2)2(+=x y ，则这个平移过程正确的是（ ） A ．向左平移2个单位 B ．向右平移2个单位 C ．向上平移2个单位 D ．向下平移2个单位 处理方式：学生讨论交流，在复习丛书上完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．设计意图：本题的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，使学生理解和认识抛物线的平移不改变图象的形状和大小都相同，只是位置不同．三、典例精析，方法总结【例1】 若562)1(--+=m m x m y 是二次函数，则m ＝( )A ．7B ．－1C ．－1或7D ．以上都不对．处理方式：让一名学生板演，其余学生认真在练习本上解题，完成后再展示说明，学生之间互相补充．教师适时点评，然后师生共同总结所考察知识点．5设计意图：本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对二次函数的概念有更深层次的理解和认识．【例2】 抛物线c bx ax y ++=2的顶点为D （-1 ，2） ，与x 轴的一个交点A 在点（-3 ，0）和（-2 ，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：① 240b ac -<； ②0a b c ++<；③2c a -=；④方程220ax bx c ++-=有两个相等的 实数根，其中正确结论的个数为 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个处理方式：让一名学生板演，教师巡视，解题后，教师放幻灯片，小组兵教兵校对、更正错误． 点拨：由抛物线与x 轴有两个交点得到b 2﹣4ac ＞0；由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x =﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x 轴的另一个交点在点（0 ，0）和（1 ，0）之间，所以当x =1时，y ＜0，则a +b +c ＜0；由抛物线的顶点为D （﹣1 ，2）得a ﹣b +c=2，由抛物线的对称轴为直线12-=-=abx 得b =2a ，所以c ﹣a =2；根据二次函数的最大值问题，当x =﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x =1时，ax 2+bx +c =2，所以说方程ax 2+bx +c ﹣2=0有两个相等的实数根．设计意图：通过本题的设置，使学生进一步理解二次函数的图象与性质，理解二次函数对称性、增减性以及与方程、不等式的关系．【例3】 已知二次函数c bx ax y ++=2中，函数y 与自变量x 的部分对应值如表：则当y ＜5时，x 的取值范围是 ．处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，由一位同学展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨．点拨：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x =4时，y =5，然后写出y ＜5时，x 的取值范围即可．方法总结：本题考查了二次函数与不等式等有关知识，观察图表得到y =5的另一个x 的值是解题的关键．【例4】 在同一平面直角坐标系内，将函数1422++=x x y 的图象沿x 轴方向向右平移2个单位长度后，再沿y 轴向下平移1个单位长度，得到图象的顶点坐标是（ ）6A.（-1 ，1）B. （1 ，-2）C. （2 ，-2）D. （1 ，-1）方法总结：抛物线的平移可以看作顶点坐标的移动，因此讨论二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的.处理方式：学生先自主思考，然后小组内交流讨论，由一位同学展示思路，全班同学共同反馈，教师点拨，并利用多媒体课件展示方法总结．点拨：二次函数的平移不改变二次项的系数，先把函数1422++=x x y 的图象变成顶点式1)1(22-+=x y ，求得顶点坐标（-1 ，-1），再按照“左加右减，上加下减”的规律，可求得新抛物线的顶点坐标．设计意图：二次函数的图象形状及开口与a 的值有关，抛物线的平移不改变图象的形状和开口的大小都相同，不改变a 的值，只是位置不同，改变的是抛物线的对称轴的位置，顶点坐标的位置．四、回顾反思，提炼升华经过本节课的回顾与复习, 你对这部分知识是否有了新的认识? 你还存在哪些困惑? 和你的同伴交流一下吧！峨山镇中学数学组二次函数的表达式二次函数二次函数图象的平移图象性质交点式y =a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0)y =a (x -h )2+k (a ≠0)一般式y =ax 2+bx +c (a ≠0)顶点式 1.开口方向2.顶点坐标3.对称轴4.增减性5.最值a ＜0开口向下a ＞0开口向上)442(2a b ac a b --，)442(2a b ac a b --，ab x 2-=直线a b x 2-=直线.22的值增大而减小的值随时，＞当的值增大而增大；的值随时，＜当x y abx x y a bx --.22的值增大而增大的值随时，＞当的值增大而减小；的值随时，＜当x y a bx x y a bx --.4422abac y a b x --=有最小值时，当.4422ab ac y a b x --=有最大值时，当上下平移左右平移上加下减左加右减a 看开口c 看与y 轴的交点b 看a 与对称轴b 2-4ac 看与x 轴的交点处理方式：给学生2分钟左右的时间，让学生自主交流课堂活动的经历、感受和收获，然后找3个学生尝试谈谈自己的收获，教师利用课件展示二次函数的知识树．7设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本讲复习的知识进行梳理，培养学生知识归纳与整理的习惯与能力，通过师生共同总结，增强学生认识，加深学生印象，强化学生记忆．五、达标测试，反馈提高1．抛物线23y ax bx =+-经过点（2 ，4），则代数式841a b ++的值为（ ）A ．3B ．9C ．15D ．15-2．将抛物线23y x =向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（ ） A.1)2(32--=x y B.1)2(32+-=x y C.1)2(32-+=x y D.1)2(32++=x y 3．抛物线2y ax bx c =++上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：从上表可知，下列说法中正确的是 ．（填写序号）①抛物线与x 轴的一个交点为（3 ，0）； ②函数2y ax bx c =++的最大值为6；③抛物线的对称轴是12x =；④在对称轴左侧，y 随x 增大而增大．4．二次函数322--=x x y 的图象如图所示． 当y ＜0时，自变量x 的取值范围是．5．已知二次函数342+-=x x y ⑴ 用配方法求其图象的顶点C 的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况； ⑵ 求函数图象与x 轴的交点A ，B 的坐标及△ABC 的面积．处理方式：学生独立完成，对学生错误较多的题目进行讲解．设计意图：设置的当堂检测便于及时获知学生对本讲知识的掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，课后促学必做题：《新课程初中复习指导丛书》 P 57-59第1、4、9、11题.选做题：《新课程初中复习指导丛书》P59-60第12、14题.板书设计：8。

第13讲二次函数的图像与性质知识点一：二次函数的概念及解析式关键点拨与对应举例1.一次函数的定义形如y＝ax2＋bx＋c (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数.例：如果函数y=(a－1)x2是二次函数，那么a的取值范围是a≠0.【例题1】（2018•奉贤区一模）下列函数中是二次函数的是（）A．y=2（x﹣1）B．y=（x﹣1）2﹣x2C．y=a（x﹣1）2D．y=2x2﹣1【例题2】函数的图象是抛物线，则m=．知识点二：二次函数的图象与性质3.二次函数的图象和性质图象（1）比较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出草图，描点后比较函数值大小.失分点警示（2）在自变量限定范围求二次函数的最值时，首先考虑对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解.例：当0≤x≤5时，抛物线y=x2+2x+7的最小值为.开口向上向下对称轴x＝2ba-顶点坐标24,24b ac ba a⎛⎫--⎪⎝⎭增减性当x>2ba-时，y随x的增大而增大；当x＜2ba-时，y随x的增大而减小.当x>2ba-时，y随x的增大而减小；当x＜2ba-时，y随x的增大而增大.最值x=2ba-，y最小＝244ac ba-.x=2ba-，y最大＝244ac ba-.考点1 ：二次函数的图像（1）二次函数y=ax2（a≠0）的图象的画法：①列表：先取原点（0，0）然后以原点为中心对称地选取x值求出函数值，列表．②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点．③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点．④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y=ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧．xyy=ax2+bx+c(a＞0)Oxyy=ax2+bx+c(a＜0)O【例题剖析】二次函数的图像基本判断【例题1】（2017•河南模拟）二次函数y=﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y=bx+c的图象不经过第（）象限．A.一B．二C．三D．四【例题2】（2016秋•慈溪市期末）二次函数y=﹣x2﹣2x+3的图象大致是（）A．B．C．D．【例题3】（2016秋•路北区期末）抛物线y=x2，y=﹣3x2，y=﹣x2，y=2x2的图象开口最大的是（）A．y=x2B．y=﹣3x2C．y=﹣x2D．y=2x2【例题4】（2017秋•诸暨市校级期中）函数y=x2+1与y=x2+2的图象的不同之处是（）A．对称轴B．开口方向C．顶点D．形状【例题剖析】二次函数与一次函数的综合图像判断【模型A】【例题1】（2017秋•肇源县期末）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【例题2】在同一坐标系中，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+b的大致图象为（）A．B．C．D．【模型B】【例题1】已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是（）A B C D【例题2】（2017•曲江区校级三模）已知二次函数y=a（x﹣1）2+c的图象如图，则一次函数y=ax+c的大致图象可能是（）A．B．C．D．【例题3】（2017秋•颍州区期中）一次函数y=ax+b（a≠0，b≠0）的图象如图所示，则二次函数y=bx2+a的大致图象是（）A．B．C．D．【模型C】【例题1】当ab＞0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【例题2】（2017•广阳区二模）当ab＜0时，y=ax2与y=ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【例题3】（2016•重庆校级二模）已知正比例函数y=x与二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，则二次函数y=ax2+（b﹣1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【例题4】（2016秋•宁海县期中）已知，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，当x=2时，y的值为．考点2 ：二次函数的性质二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y=ax2的图象向右或向左（右）平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．【例题剖析】二次函数的对称轴【例题1】（2017秋•遵义期末）如图，若抛物线y=ax2+bx+c上的P（3，0），Q两点关于它的对称轴x=1对称，则Q点的坐标为（）A．（﹣4，0）B．（﹣3，0）C．（﹣2，0）D．（﹣1，0）【例题2】（2017•武侯区模拟）二次函数y=2x2+4x﹣3的图象的对称轴为（）A．直线x=2B．直线x=4C．直线x=﹣3D．直线x=﹣1【例题3】（2017秋•潮南区期末）抛物线y=（x+1）2+2的对称轴为，顶点坐标是．【例题剖析】二次函数的顶点【例题1】抛物线y=2x2﹣4的顶点在（）A．x轴上B．y轴上C．第三象限D．第四象限【例题2】（2018•崇明县一模）抛物线y=2（x+3）2﹣4的顶点坐标是（）A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（﹣3，4）D．（﹣3，﹣4）【例题3】（2017•凉山州二模）若k为任意实数，则抛物线y=﹣2（x﹣k）2+k 的顶点在（）A．直线y=x上B．直线y=﹣x上C．x轴上D．y轴上【例题4】如果二次函数y=x2﹣8x+m﹣1的顶点在x轴上，那么m=．【例题5】已知二次函数y=ax2﹣2x﹣2（a≠0）图象的顶点为（1，﹣3），则a 的值为（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【例题6】（2017•宁波）抛物线y=x2﹣2x+m2+2（m是常数）的顶点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【例题剖析】二次函数的增减性【例题1】二次函数y=x2﹣（12﹣k）x+12，当x＞1时，y随着x的增大而增大，当x＜1时，y随着x的增大而减小，则k的值应取（）A．12B．11C．10D．9【例题2】（2016秋•文安县期末）在二次函数y=﹣x2+2x+1的图象中，若y随x的增大而增大，则x的取值范围是（）A．x＞1B．x＜1C．x＞﹣1D．x＜﹣1【例题3】已知二次函数y=﹣3（x﹣h）2+5，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，则有（）A．h≥﹣2B．h≤﹣2C．h＞﹣2D．h＜﹣2【例题剖析】二次函数的性质的综合【例题1】（2017•陕西）已知抛物线y=x2﹣2mx﹣4（m＞0）的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′，若点M′在这条抛物线上，则点M的坐标为（）A．（1，﹣5）B．（3，﹣13）C．（2，﹣8）D．（4，﹣20）【例题2】（2017•南雄市模拟）对于二次函数y=2（x﹣1）2﹣8，下列说法正确的是（）A．图象的开口向下B．当x=﹣1时，取得最小值为y=﹣8C．当x＜1时，y随x的增大而减小D．图象的对称轴是直线x=﹣1【例题3】关于二次函数y=2x2+3，下列说法中正确的是（）A．它的开口方向是向下B．当x＜﹣1时，y随x的增大而减小C．它的顶点坐标是（2，3）D．当x=0时，y有最大值是3【例题4】对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．4【练习1】（2017•大石桥市校级一模）已知二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：则下列判断中正确的是（）x…﹣2012…y…7﹣1﹣2﹣1…A．抛物线开口向下B．抛物线的对称轴是y轴C．x＜1时，y随x的增大而减小D．抛物线与y轴交于正半轴【练习2】（2016秋•杭州期末）对于二次函数y=﹣（x﹣4）2+5的图象，有下列说法：①其图象开口向上；②对称轴是直线x=4；③顶点坐标是（﹣4，5）；④与y轴的交点坐标是（0，3），其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【练习3】（2017秋•天津月考）已知二次函数y=（x﹣）2+1，下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x=﹣；③其图象顶点坐标为（，﹣1）；④当x＜时，y随x的增大而减小．则其中说法正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个系数a、b、c a决定抛物线的开口方向及开口大小当a＞0时，抛物线开口向上；当a＜0时，抛物线开口向下.某些特殊形式代数式的符号：①a±b+c即为x=±1时，y的值；②4a±2b+c即为x=±2时，y的值.③2a+b的符号，需判断对称轴－b/2a与1的大小.若对称轴在直线x=1的左边，则－b/2a＞1，再根据a的符号即可得出结果.④2a－b的符号，需判断对称轴与－1的大小.a、b决定对称轴（x=－b/2a）的位置当a，b同号，－b/2a＜0，对称轴在y轴左边；当b＝0时，－b/2a=0，对称轴为y轴；当a，b异号，－b/2a＞0，对称轴在y轴右边．c决定抛物线与y轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.b2－4ac决定抛物线与x轴的交点个数b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点;b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点;b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点知识点四：二次函数与一元二次方程以及不等式5.二次函数与一元二次方程二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的根.当Δ＝b2－4ac＞0，两个不相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＝0，两个相等的实数根；当Δ＝b2－4ac＜0，无实根例：已经二次函数y=x2－3x+m(m为常数)的图象与x轴的一个交点为（1,0），则关于x的一元二次方程x2－3x+m=0的两个实数根为2,1.6.二次函数与不等式抛物线y= ax2＋bx＋c＝0在x轴上方的部分点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；在x轴下方的部分点的纵坐标均为负，所对应的x的值就是不等式ax2＋bx＋c＜0的解集.【例题1】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对于下列结论：①a ＜0；②b＜0；③c＞0；④2a+b=0；⑤a﹣b+c＜0，其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【例题2】（2017秋•遵义期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac，②abc＜0；③a＞c；④4a﹣2b+c＜0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例题3】（2017秋•定边县期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④当x＜时，y随x的增大而减小；⑤a+b+c＞0．其中正确的有（）A．5个B．4个C．3个D．2个【例题4】（2017•黔东南州）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=﹣1，给出下列结论：①b2=4ac；②abc＞0；③a＞c；④4a﹣2b+c＞0，其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【例题5】（2017•资阳）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点和该抛物线与y轴的交点在一次函数y=kx+1（k≠0）的图象上，它的对称轴是x=1，有下列四个结论：①abc＜0，②a＜﹣，③a=﹣k，④当0＜x＜1时，ax+b＞k，其中正确结论的个数是（）A．4B．3C．2D．1【例题6】（2017•黔南州）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，以下结论：①abc＞0；②4ac＜b2；③2a+b＞0；④其顶点坐标为（，﹣2）；⑤当x＜时，y随x的增大而减小；⑥a+b+c＞0正确的有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【练习1】（2017•济南）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（﹣2，0），（x0，0），1＜x0＜2，与y轴的负半轴相交，且交点在（0，﹣2）的上方，下列结论：①b＞0；②2a＜b；③2a﹣b﹣1＜0；④2a+c＜0．其中正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．4【练习2】（2017•遵义）如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴l如图所示．则下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c=0；③2a+c＜0；④a+b＜0，其中所有正确的结论是（）A．①③B．②③C．②④D．②③④【练习3】（2017•烟台）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x=1，下列结论：①ab＜0；②b2＞4ac；③a+b+2c＜0；④3a+c＜0．其中正确的是（）A．①④B．②④C．①②③D．①②③④【练习4】（2017•南充）二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，且a≠0）的图象如图所示，下列结论错误的是（）A．4ac＜b2B．abc＜0C．b+c＞3a D．a＜b【练习5】（2017•安顺）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出下列四个结论：①4ac﹣b2＜0；②3b+2c＜0；③4a+c＜2b；④m（am+b）+b＜a（m ≠﹣1），其中结论正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点3 ：二次函数图像上的点的坐标特征二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，顶点坐标是（﹣，）．①抛物线是关于对称轴x=﹣成轴对称，所以抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数函数关系式．顶点是抛物线的最高点或最低点．②抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．③抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，设两个交点分别是（x1，0），（x2，0），则其对称轴为x=．【例题剖析】二次函数的坐标点特征【例题1】抛物线y=2（x+1）2﹣2与y轴的交点的坐标是（）A．（0，﹣2）B．（﹣2，0）C．（0，﹣1）D．（0，0）【例题2】若抛物线y=ax2（a≠0）过点（﹣1，3），则a等于（）A．3B．﹣3C．﹣D．【例题3】抛物线y=﹣2（x﹣1）2﹣3与y轴的交点坐标为（）A．（0，3）B．（0，﹣5）C．（1，﹣3）D．（﹣1，﹣3）【例题4】抛物线y=ax2+bx﹣3经过点（2，4），则代数式8a+4b+1的值为（）A．3B．9C．15D．﹣15【例题剖析】二次函数的坐标特征应用【例题1】已知A（﹣1，y1）、B（2，y2）、C（﹣3，y3）在函数y=﹣5（x+1）2+3的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（）A．y1＜y2＜y3B．y1＜y3＜y2C．y2＜y3＜y1D．y3＜y2＜y1【例题2】（2017秋•余姚市期末）已知：点（﹣1，y1），（0，y2），（4，y3）都在抛物线y=ax2﹣2ax+5（a＞0）上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＞y2＞y3B．y3＞y1＞y2C．y2＞y1＞y3D．y2＞y3＞y1【例题3】设点A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3）是抛物线y=﹣2（x﹣1）2+m上的三点，则y1、y2、y3的大小关系正确的是（）A．y2＞y3＞y1B．y1＞y2＞y3C．y3＞y2＞y1D．y1＞y3＞y2【例题4】（2017•连云港）已知抛物线y=ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（）A．y1＞0＞y2B．y2＞0＞y1C．y1＞y2＞0D．y2＞y1＞0【例题5】（2017•姑苏区校级二模）若点A（﹣4，y1），B（﹣1，y2），C（1，y3）在抛物线y=﹣（x+2）2﹣1上，则（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3C．y3＜y2＜y1D．y3＜y1＜y22.解析式（1）三种解析式：①一般式：y=ax2+bx+c①顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中二次函数的顶点坐标是（h,k）;①交点式：y=a(x－x1)(x－x2),其中x1,x2为抛物线与x轴交点的横坐标.（2）待定系数法：巧设二次函数的解析式；根据已知条件，得到关于待定系数的方程（组）；解方程（组），求出待定系数的值，从而求出函数的解析式.若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线与x轴的两个交点坐标，可设交点式.【例题1】（2018•静安区一模）已知：二次函数图象的顶点坐标是（3，5），且抛物线经过点A（1，3）．（1）求此抛物线的表达式；（2）如果点A关于该抛物线对称轴的对称点是B点，且抛物线与y轴的交点是C点，求△ABC的面积．【例题2】（2017秋•荔湾区期末）已知抛物线y=x2+mx+n的图象经过点（﹣3，0），点（1，0）（1）求抛物线解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．【例题3】已知二次函数y=（m﹣2）x2+（m+3）x+m+2的图象过点（0，5）．（1）求m的值，并写出二次函数的解析式；（2）求出二次函数图象的顶点坐标和对称轴．【例题4】已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A（3，0），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标．【例题5】已知抛物线y=x2﹣bx+2经过点A（﹣2，8）．（1）求此抛物线的函数解析式，并写出此抛物线的对称轴．（2）判断点B（﹣1，﹣4）是否在此抛物线上．知识点三 ：二次函数的平移4.平移与解析式的关系注意：二次函数的平移实质是顶点坐标的平移，因此只要找出原函数顶点的平移方式即可确定平移后的函数解析式失分点警示：抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左右平移易弄反.例：将抛物线y =x 2沿x 轴向右平移2个单位后所得抛物线的解析式是y =（x －2）2．【例题1】 将抛物线y=（x +m ）2向右平移2个单位后，对称轴是y 轴，那么m的值是 ．【例题2】 抛物线y=2x 2+4向左平移2个单位长度，得到新抛物线的表达式为 ．【例题3】 把抛物线y=3x 2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的解析式是 ．【例题4】 如果将抛物线y=x 2﹣2x ﹣1向上平移，使它经过点A （0，3），那么所得新抛物线的表达式是 ．平移|k |个单位平移|h |个单位向上(k ＞0)或向下(k ＜0)向左(h ＜0)或向右(h ＞0)y =a (x －h )2＋k 的图象y =a (x －h )2的图象y =ax 2的图象第13讲二次函数的应用知识点一：二次函数的应用关键点拨实物抛物线一般步骤若题目中未给出坐标系，则需要建立坐标系求解，建立的原则：①所建立的坐标系要使求出的二次函数表达式比较简单；①使已知点所在的位置适当（如在x轴，y轴、原点、抛物线上等），方便求二次函数丶表达式和之后的计算求解.①据题意，结合函数图象求出函数解析式；①确定自变量的取值范围；①根据图象，结合所求解析式解决问题.实际问题中求最值①分析问题中的数量关系，列出函数关系式；②研究自变量的取值范围；③确定所得的函数；① 检验x的值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值；⑤解决提出的实际问题.解决最值应用题要注意两点：①设未知数，在“当某某为何值时，什么最大（最小）”的设问中，“某某”要设为自变量，“什么”要设为函数；①求解最值时，一定要考虑顶点（横、纵坐标）的取值是否在自变量的取值范围内.结合几何图形①根据几何图形的性质，探求图形中的关系式；②根据几何图形的关系式确定二次函数解析式；③利用配方法等确定二次函数的最值，解决问题由于面积等于两条边的乘积，所以几何问题的面积的最值问题通常会通过二次函数来解决.同样需注意自变量的取值范围.。

yxOyx O二次函数的图像和性质复习课（一）一、复习目标1.掌握并理解二次函数的性质。

2.会用二次函数的性质解决相关的问题。

二、复习重、难点重点：二次函数的性质及应用。

难点：综合应用二次函数的性质解题。

三、课前准备重点知识扫描1.二次函数的定义：形如 （a 、b 、c 为常数，a ）的函数是二次函数。

2.二次函数的图像：它是一条 ，图像是 对称图形。

3．二次函数的图像和性质4．求二次函数的解析式的方法（1）若知道抛物线上任意三个点的坐标，则设为一般式： ， （2）若知道抛物线的顶点坐标（h , k ），则设为顶点式： ，二次函数顶点式： )0()(2≠+-=a k h x a y一般式:)0(2≠++=a c bx ax y图 象a ＞0a ＜0 a ＞0a ＜0开 口对称轴 直线 x ＝ 直线 x ＝ 顶点坐标( , )( , )最 值当x ＝ 时，=最小y当x ＝ 时，=最大y当x ＝ 时，=最小y当x ＝ 时，=最大y增减性当x 时y 随x 的增大而减小；当x 时y 随x 的增大而增大。

当x 时y 随x 的增大而增大； 当x 时y 随x 的增大而减小。

当x 时y 随x 的增大而减小； 当x 时y 随x 的增大而增大。

当x 时y 随x 的增大而增大； 当x 时y 随x 的增大而减小。

（3）若知道抛物线与x 轴的两个交点的坐标（1x ，0），（2x ，0），则设为交点式：)0)()((21≠--=a x x x x a y5．抛物线的平移6．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图像特征与系数a 、b 、c 及ac b 42-的关系项目字母字母符号 图像特征 aa ＞0 开口向上 a ＜0开口向下 bb=0对称轴是y 轴a 、b 同号 对称轴在y 轴左侧 左同 右异a 、b 异号对称轴在y 轴右侧cc=0 经过原点 c ＞0 与y 轴的正半轴相交 c ＜0与y 轴的负半轴相交 ac b 42-ac b 42-=0与x 轴有唯一交点（顶点）ac b 42-＞0与x 轴有两个交点 ac b 42-＜0与x 轴有没有交点四、考点剖析考点1：二次函数的定义例1.下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个考点2：二次函数的图像和性质的应用例2.已知点A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数y=（x －1）2+m 的图象上，若x 1＞x 2＞1，则y 1 y 2考点3：二次函数图像的平移例3．抛物线23y x =向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是( )（Ａ）23(1)2y x =-- （Ｂ）23(1)2y x =+- （C ）23(1)2y x =++ （D ）23(1)2y x =-+ 考点4：二次函数的图像与系数关系例4．如图为二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象，则下列说法：①b c ＞0 ②2a+b=0 ③a+b+c＞0 ④ac b 42-﹤0其中正确的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 考点5：求二次函数的解析式例5．一条抛物线经过(－2，0)，(1，0)两点，与y 轴的交点为(0，4)，求抛物线的解析式．五、变式训练1．二次函数22(1)3y x =-+的图象的最低点的坐标是（ ）A .（1,3）B .（－1,3）C .（1,－3）D .（－1,－3）2．如图所示的抛物线是二次函数2231y ax x a =-+-的图象，那么a 的值是 ．3.如图是二次函数2y=ax +bx+c 的部分图象，由图象可知不等式2ax +bx+c<0的解集是 。

九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教学教案（通用3篇）九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教学篇1【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＞0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＞0)的图象和性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＞0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图，同学之间交流讨论，达到对二次函数y=ax2(a＞0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学生的积极性.【教学重点】1.会画y=ax2(a＞0)的图象.2.理解,掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象及性质探究过程和方法的体会教学过程.一、情境导入，初步认识问题1 请同学们回忆一下一次函数的图象、反比例函数的图象的特征是什么?二次函数图象是什么形状呢?问题2 如何用描点法画一个函数图象呢?【教学说明】①略；②列表、描点、连线.二、思考探究，获取新知探究1 画二次函数y=ax2(a＞0)的图象.画二次函数y=ax2的图象.【教学说明】①要求同学们人人动手,按“列表、描点、连线”的步骤画图y=x2的图象，同学们画好后相互交流、展示，表扬画得比较规范的同学.②从列表和描点中,体会图象关于y轴对称的特征.③强调画抛物线的三个误区.误区一:用直线连结,而非光滑的曲线连结,不符合函数的变化规律和发展趋势.如图(1)就是y=x2的图象的错误画法.误区二：并非对称点,存在漏点现象,导致抛物线变形.如图(2)就是漏掉点(0,0)的y=x2的图象的错误画法.误区三:忽视自变量的取值范围,抛物线要求用平滑曲线连点的同时,还需要向两旁无限延伸,而并非到某些点停止.九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教学教案篇2 【知识与技能】1.会用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象.2.会用配方法求抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标、开口方向、对称轴、y随x的增减性.3.能通过配方求出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的最大或最小值；能利用二次函数的性质求实际问题中的最大值或最小值.【过程与方法】1.经历探索二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的作法和性质的过程，体会建立二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)对称轴和顶点坐标公式的必要性.2.在学习y=ax2+bx+c(a≠0)的性质的过程中，渗透转化（化归）的思想.【情感态度】进一步体会由特殊到一般的化归思想,形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】①用配方法求y=ax2+bx+c的顶点坐标；②会用描点法画y=ax2+bx+c的图象并能说出图象的性质.【教学难点】能利用二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴和顶点坐标公式，解决一些问题，能通过对称性画出二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象.一、情境导入，初步认识请同学们完成下列问题.1.把二次函数y=-2x2+6x-1化成y=a(x-h)2+k的形式.2.写出二次函数y=-2x2+6x-1的开口方向，对称轴及顶点坐标.3.画y=-2x2+6x-1的图象.4.抛物线y=-2x2如何平移得到y=-2x2+6x-1的图象.5.二次函数y=-2x2+6x-1的y随x的增减性如何？【教学说明】上述问题教师应放手引导学生逐一完成，从而领会y=ax2+bx+c与y=a(x-h)2+k的转化过程.二、思考探究，获取新知探究1 如何画y=ax2+bx+c图象，你可以归纳为哪几步？学生回答、教师点评：一般分为三步：1.先用配方法求出y=ax2+bx+c的对称轴和顶点坐标.2.列表,描点,连线画出对称轴右边的部分图象.3.利用对称点,画出对称轴左边的部分图象.探究2 二次函数y=ax2+bx+c图象的性质有哪些？你能试着归纳吗？九年级数学下册《二次函数的图像与性质》教学教案篇3 【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图【教学重点】①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图象和性质的真正理解，从而产生对数学的兴趣，调动学习的积极性.【教学重点】①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质.【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.【知识与技能】1.会用描点法画函数y=ax2(a＜0)的图象，并根据图象认识、理解和掌握其性质.2.体会数形结合的转化,能用y=ax2(a＜0)的图象与性质解决简单的实际问题.【过程与方法】经历探索二次函数y=ax2(a＜0)图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数的经验，培养观察、思考、归纳的良好思维习惯.【情感态度】通过动手画图,同学之间交流讨论,达到对二次函数y=ax2(a≠0)图【教学重点】①会画y=ax2(a<0)的图象；②理解、掌握图象的性质. 【教学难点】二次函数图象的性质及其探究过程和方法的体会.。

九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案标题：九年级下册《二次函数的图像与性质》数学教案
一、教学目标
1. 知识目标：理解并掌握二次函数的概念、图像及其性质。

2. 技能目标：能够通过描点法绘制二次函数图像，通过观察图像判断函数的性质。

3. 情感态度价值观目标：培养学生分析问题、解决问题的能力，提高他们对数学的兴趣。

二、教学重难点
1. 教学重点：理解和掌握二次函数的图像和性质。

2. 教学难点：通过图像理解和应用二次函数的性质。

三、教学方法
采用启发式教学法、讲授法和实践操作法相结合的方式进行教学。

四、教学过程
1. 导入新课：通过复习一次函数的知识，引导学生思考如何将一次函数推广到二次函数，激发学生的学习兴趣。

2. 新课讲解：
(1) 二次函数的概念和表达式；
(2) 二次函数的图像：a>0, a=0, a<0三种情况下的图像特征；
(3) 二次函数的性质：顶点坐标、对称轴、开口方向等。

3. 实践操作：让学生分组合作，通过描点法绘制不同类型的二次函数图像，并讨论其性质。

4. 总结反馈：教师总结本节课的主要内容，对学生的表现进行反馈。

五、作业布置
设计一些习题，包括画图题和计算题，以帮助学生巩固所学知识。

六、教学反思
在教学结束后，反思本节课的教学效果，找出存在的问题，以便改进。