高三理科排列组合

高三数学排列和组合知识点数学作为一门理科学科，其中的排列和组合是高三学生必须掌握的重要知识点。

本文将为大家详细介绍高三数学排列和组合的知识，并提供一些相关例题和解析，帮助大家理解和掌握这一知识点。

一、排列的概念和性质排列是从给定的对象中选出一部分进行有序排列的方式，每个对象只能使用一次。

在排列中，对象的顺序是重要的。

下面是排列的一些基本概念和性质：1. 排列的定义：从n个不同的对象中取出m个进行有序排列，称为从n个对象中取出m个的排列，记作P(n,m)。

2. 排列的计算公式：P(n,m) = n!/(n-m)!3. 重要性质一：对于任意正整数n，有P(n,n) = n!，即n个不同的对象全排列的总数为n的阶乘。

排列数为1。

5. 重要性质三：P(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行排列的方式数为n。

二、组合的概念和性质组合是从给定的对象中选出一部分进行无序组合的方式，每个对象只能使用一次。

在组合中，对象的顺序不重要。

下面是组合的一些基本概念和性质：1. 组合的定义：从n个不同的对象中取出m个进行无序组合，称为从n个对象中取出m个的组合，记作C(n,m)。

2. 组合的计算公式：C(n,m) = n!/[(n-m)!*m!]3. 重要性质一：对于任意正整数n，有C(n,n) = 1，即n个不同的对象全组合的总数为1。

组合数为1。

5. 重要性质三：C(n,1) = n，即从n个对象中取出一个对象进行组合的方式数为n。

三、排列与组合的应用排列和组合在实际生活和数学问题中有着广泛的应用。

下面是一些常见的应用领域：1. 排列的应用：排列在一些需要考虑顺序的情况下很有用，比如密码的穷举破解和赛车比赛的计算等。

2. 组合的应用：组合在一些不考虑顺序的情况下很有用，比如从一组物品中选取特定数量的搭配问题和抽奖活动中奖的计算等。

四、例题和解析下面是一些与排列和组合相关的例题和解析，帮助大家更好地理解和应用这一知识点：例题一：有6个人参加足球比赛，其中3人是A队的球员，3人是B队的球员。

排列组合问题经典题型与通用方法1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例1.,,,,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B在A的右边，则不同的排法有（）A、60种B、48种C、36种D、24种2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（）A、1440种B、3600种C、4820种D、4800种3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例3.A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（,A B可以不相邻）那么不同的排法有（）A、24种 B、60种 C、90种 D、120种4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有（） A、6种 B、9种 C、11种 D、23种5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是（） A、1260种 B、2025种 C、2520种 D、5040种（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有（）A、4441284C C C种 B、44412843C C C种 C、4431283C C A种 D、444128433C C CA种6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（）A、480种B、240种C、120种D、96种7.名额分配问题隔板法:例7：10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数再相加。

尖子生辅导材料6──排列、组合、概率与统计姓名________ 导语:排列、组合、概率、统计是高考热点内容之一，考查方式多样，选择、填空、解答都会出现，难度中等，分值在17分到22分之间，主要考查基本概念、公式以及基本技能、方法，能力要求以分析问题、解决问题的能力为主。

排列组合试题注重分类、分步计数原理的考查，可与概率的计算一起考查；二项式定理的试题通常求展开式中的特定项或特定项的系数、二项式系数、各项系数的和(赋值法)、整除性问题;概率试题有几何概型、古典概型、条件概率，几何概型常与平面几何、定积分等其他知识交汇命题，古典概型常与排列组合交汇命题，有关概率的计算要注意准确理解概率的概念、互斥事件的概率加法公式(含对立事件的概率)、相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的分布列、期望和方差试题常以考生比较熟悉的实际应用题为背景，综合排列组合、概率公式、互斥事件及独立事件等基础知识，考查对随机变量的识别(二项分布、超几何分布)及概率计算能力，解答时要注意分类与整合、转化与化归思想的运用；统计试题主要考查抽样方法、各种统计图表、样本数字特征的计算、用样本来估计总体、茎叶图、回归直线方程、独立性检验等，解答题常把概率与统计相结合命题。

问题展示解密高考:1. 把红、黑、白、蓝4张纸牌随机地分给甲、乙、丙、丁4个人，每个人分得1张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是( )()A对立事件()B不可能事件()C互斥但不对立事件()D以上均不对5. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表根据上表可得回归方程y bx a=+中的b为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )()A63.6万元()B65.5万元()C67.7万元()D72.0万元6. 将一枚骰子抛掷两次,所得向上点数分别为m和n, 则函数3213y mx nx=-+在[)1,+∞上为增函数的概率是( )1()2A2()3B3()4C5()6D7. 设随机变量ξ 的二项分布为(,)B n pξ~，若12,E Dξξ==4，则p=_____.8. 在区间[2,4]-上随机地取一个数x，若x满足x m≤的概率为56,则m=_______. 9. 从甲、乙等10位同学中任选3位去参加某项活动,则所选3位中有甲但没有乙的概率为______.10.若5234560123456(1)(12),x x a a x a x a x a x a x a x-+=++++++则2a=____.11.某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布2(1000,50)N,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为_______.12.甲罐中有5个红球, 2个白球和3个黑球,乙罐中有4个红球,3个白球和3个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以12A A、和3A表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以B表示由乙罐取出的球是红球的事件,则下列结论中正确的是______(写出所有正确结论的编号).()25P B=①; ()15|11P B A=②; ③事件B与事件1A相互独立;123A A A④、、是两两互斥的事件;⑤()P B的值不能确定,因为它与123A A A、、中哪一个发生有关.13.某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[)40,50、[)50,60、[)60,70、[)70,80、[)80,90、[]90,100.()Ⅰ求图中x的值;()Ⅱ从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为ξ,求ξ的数学期望.14.某饮料公司招聘一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯,其颜色完全相同,并且其中4杯为A饮料,另外4杯为B饮料,公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A饮料.若4杯都选对,则月工资定为3500元;若4杯选对3杯,则月工资定为2800元;否则月工资定为2100元.令X表示此人选对A饮料的杯数.假设次人对A和B两种饮料没有鉴别能力.()Ⅰ求X的分布列; ()Ⅱ求此员工月工资的期望.15.甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜3局者获得比赛的胜利,比赛随即结束,除第五局甲队获胜的概率是12外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是23,假设各局比赛结果相互独立.()Ⅰ分别求甲队以3:0、3:1、3:2胜利的概率;()Ⅱ若比赛结果为3:0或3:1,则胜利方得3分、对方得0分；若比赛结果为3:2,则胜利方得2分、对方得1分，求乙队得分X的分布列及数学期望. 巩固训练:1. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是( )4()9A1()3B2()9C1()9D()Ⅰ求红队至少两名队员获胜的概率;()Ⅱ用ξ表示红队队员获胜的总盘数,求ξ的分布列和数学期望Eξ.8. “中国式过马路”存在很大的交通安全隐患.某调查机构为了解路人对“中国式过马路”的态度是否与性别有关,从马路旁随机抽取30名路人进行了问卷调查,得到了如下列联表:男性女性合计反感10不反感8合计30已知在这30人中随机抽取1人抽到反感“中国式过马路”的路人的概率是8 15.()Ⅰ请将上面的列表补充完整(在答题卡上直接填写结果,不需要写求解过程),并据此资料分析反感“中国式过马路”与性别是否有关?(参考数据:22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++,当2K<2.706时,没有充分的证据判定两变量有关,当2K>2.706时,有90%的把握判定两变量有关,当2K>3.841时,有95%的把握判定两变量有关,当2K>6.635时,有99%的把握判定两变量有关)()Ⅱ若从这30人中的女性路人中随机抽取2人参加一活动,记反感“中国式过马路”的人数为X,求X的分布列和数学期望. 问题展示解密高考答案: 1─6 CDC BBD1.解:错解A剖析:本题错误的原因在于把“互斥”与“对立”混同，二者的联系与区别主要体现在:(1)两事件对立，必定互斥，但互斥未必对立；(2)互斥概念适用于多个事件，但对立概念只适用于两个事件；(3)两个事件互斥只表明这两个事件不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生；而两事件对立则表示它们有且仅有一个发生．事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”是不能同时发生的两个事件，这两个事件可能恰有一个发生，一个不发生，可能两个都不发生.2.解:1,2,3,…,9这9个整数中有5个奇数,4个偶数.要想同时取4个不同的数其和为偶数,则取法有:4个都是偶数:1种;2个偶数,2个奇数:225460C C=种;4个都是奇数:455C=种,∴不同的取法共有66种.3. 解:采用系统抽样方法从960人中抽取32人,将整体分成32组,每组30人,即30=l,第k组的号码为(1)309k-+，令451(1)309750k-+≤≤,而k z∈,解得1625k≤≤,则满足1625k≤≤的整数k有10个.4.解:8418811()()()22r r r r r rrT C x C xx--+==,令404r r-=⇒=,故展开式中的常数项为4458135()28T C==. 【考点定位】本题考查利用二项展开式的通项公式求展开公的常数项.5.解:由表可计算4235742x+++==,49263954424y+++==,因为点7(,42)2在回归直线y bx a=+上,且b为9.4，∴7ˆ429.42a=⨯+, 解得9.1a=,故回归方程为ˆ9.49.1y x=+, 令x=6得ˆy=65.5,选B.6.解:函数3213y mx nx=-+,则22y mx n'=-,而函数3213y mx nx=-+在[)1,+∞上为增函数，等价于在[)1,+∞上220y mx n'=-≥恒成立，等价于2m n≥将一枚骰子抛掷两次,所有事件的基本情况(m，n)：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4)，(1,5),(1,6),(2,1),(2,2)，(2,3)，(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共有36种.其中2m≥n有：(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5),(4,6),(5,1),(5,2)，(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共有30种，设事件“函数3213y mx nx=-+在[)1,+∞上为增函数”为M，则满足条件的概率是305()366P M==7.238.3 9.73010.30 11.3812.②④∴随机变量ξ的分布列是ξ0 1 2P611922122所以ξ的数学期望是691111012112222222E ξ=⨯+⨯+⨯==.由题意,随机变量X 的所有可能的取值为0,1,2,3，根据事件的互斥性得121216(0)()()()27P X P A A P A P A ==+=+=,34(1)()27P X P A ===, 44(2)()27P X P A ===, 4(3)1(0)(1)(2)27P X P X P X P X ==-=-=-==故X 的分布列为X 01 2 3 P 1627 427 427 327所以164437()0123272727279E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.巩固训练答案: 1─3 DBA 4.60915.206.160- 3.解:在区间[,]22ππ-上随机取一个数x ,即[,]22x ππ∈-时,要使cos x 的值介于0到12之间, 需使23x ππ--≤≤或32x ππ≤≤，区间长度为型知cos x 的值介于0到12之间的概率为133ππ=.命题立意::本题考查了三角函数的值域和几何概型问题,由自变量x 的取值范围,得到函数值cos x 的范围,再由长度型几何概型求得.5.提示: 261()x x+的展开式中第1k +项为2(6)123166(0,1,2,,6)k k k k kk T C x x C x k ---+===令12333k k -=⇔=得3x 的系数为3620C =282144(0),13P X ===C C 116821448(1),91P X ===C C C 2621415(2),91P X ===C C所以X 的分布列为:X0 1 2 P413 [来源:学§科§网Z§X§X§K]48911591 X 的数学期望为:448156()012.1391917E X =⨯+⨯+⨯=。

高考数学排列组合解题技巧总结一、定义排列：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中任取m个元素的一个排列.组合：一般地，从n个不同元素中任取m(m≤n)个元素，并成一组，叫做从n个不同元素中任取m个元素的一个排列.二、学习指导1、排列组合的本质区别在于对所取出的元素是作有序排列还是无序排列。

组合问题可理解为把元素取出后放到某一集合中去，集合中的元素是无序的.2、较复杂的排列组合问题一般是先分组，再排列。

必须完成所有的分组再排列，不能边分组边排列.3、排列组合问题的常见错误是重复和遗漏。

弄清问题的实质，适当的分类，合理的分步是解决这个错误的关键，采用不同的思路检验结果是否一致是解决这个错误的技巧.4、“正难则反”是处理问题常用的策略.三、常用方法1、合理选择主元例1. 公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？例2. 公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？分析：例1中将5名乘客看作5个元素，3个空位看作3个位置，则问题变为从5个不同的元素中任选3个元素放在3个位置上，共有$A_5^3$种不同坐法。

例2中再把乘客看作元素问题就变得比较复杂，将5个空位看作元素，而将乘客看作位置，则例2变成了例1，所以在解决排列组合问题时，合理选择主元，就是选择合适解题方法的突破口。

2、“至少”型组合问题用隔板法对于“至少”型组合问题，先转化为“至少一个”型组合问题，再用n个隔板插在元素的空隙（不包括首尾）中，将元素分成n＋1份。

例5. 4名学生分6本相同的书，每人至少1本，有多少种不同分法？解：将6本书分成4份，先把书排成一排，插入3个隔板，6本书中间有5个空隙，则分法有:$C_5^3$（种）3、注意合理分类元素（或位置）的“地位”不相同时，不可直接用排列组合数公式，则要根据元素（或位置）的特殊性进行合理分类，求出各类排列组合数。