2019年高三数学最新信息卷(九)理

2019-2020学年百师联盟高三（上）开学数学试卷（理科）（9月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{x|−3<x≤1}，集合B＝{x|y=√2−x2}，则A∪B＝（）A.[−√2,1]B.(−√2,1]C.[−3, √2)D.(−3, √2]【答案】D【考点】并集及其运算【解析】求出集合的等价条件，结合并集的定义进行求解即可．【解答】B＝{x|y=√2−x2}＝{x|2−x2≥0}＝{x|x2≤2}＝{x|−√2≤x≤√2}，A∪B＝{x|−3<x≤√2}，2. 已知命题P:∀x，y∈(0, 1)，x+y<2，则命题P的否定为()A.∀x，y∈(0, 1)，x+y≥2B.∀x，y∉(0, 1)，x+y≥2C.∃x0，y0∉(0, 1)，x0+y0≥2D.∃x0，y0∈(0, 1)，x0+y0≥2【答案】D【考点】命题的否定【解析】由全称量词命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，￢p(x)，写出即可．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题P的否定为：∃x0，y0∈(0, 1)，x0+y0≥2．故选D.3. 已知实数x，y满足{y≤2x+y≥2x−y+1≤0则3x+2y的最大值为（）A.7B.5C.4D.92【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出已知约束条件对应的可行域，求出直接，代入目标函数，得到结果．【解答】实数x，y满足{y≤2x+y≥2x−y+1≤0对应的可行域如下图所示：由{y=2x−y+1=0解得A(1, 2)，z＝3x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值．当x＝1，y＝2时，z＝3x+2y＝7，故z＝3x+2y的最大值为7，4. 某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为：20∘，50∘和60∘，则抽奖一次中奖的概率为（）A.13 36B.1736C.1936D.59【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由测度比是圆心角的弧度数比求解．【解答】∵一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为：20∘，50∘和60∘，且三等奖对应等圆心角的两个区域，转动一次转盘指针指向位置是等可能的，∴抽奖一次中奖的概率P=20+50+2×60360=190360=1936．5. 已知P为圆(x+1)2+y2＝1上任一点，A，B为直线3x+4y−7＝0上的两个动点，且|AB|＝3，则△PAB面积的最大值为（）A.9B.92C.3 D.32【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】直接利用直线和园的位置关系式，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】根据圆的方程，圆心(−1, 0)到直线3x+4y−7＝0的距离d=√32+42=2，所以圆上的点P到直线的最大距离d max＝2+1＝3，所以S △ABC =12⋅3⋅3=92．6. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A.1升B.32升C.23升D.43升【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a 1，a 2，…，a 7，由题意得a 1+a 2+a 6+a 7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量． 【解答】设竹子自下而上的各节容米量分别为a 1，a 2，…，a 7， 由题意得a 1+a 2+a 6+a 7＝6， 由等差数列的性质得： a 1+a 7＝2a 4＝6，解得第四节竹子的装米量为a 4=32（升）．7. 如图在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设BA →=a →，BC →=b →，则BE →=( )A.12a →+14b →B.13a →+56b →C.23a →+23b →D.12a →+34b →【答案】 D【考点】向量的线性运算性质及几何意义 向量数乘的运算及其几何意义 【解析】取BC 中点F ，由BC ＝2AD 可知AD ＝FC ，从而可得四边形AFCD 为平行四边形，结合向量的基本运算即可求解 【解答】取BC 中点F ，由BC ＝2AD 可知AD ＝FC ， ∴ 四边形AFCD 为平行四边形，则BE →=BC →+CE →=BC →+12FA →=BC →+12(BA →−12BC →)=34BC →+12BA →=12a →+34b →．8. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A.3B.2020C.3030D.1010【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得a1＝0，a2＝3，a3＝−2，a4＝5，a5＝−4，a6＝7…可知a1+a2＝a3+a4＝ (3)当i＝2020时，S＝1010×3＝3030．9. (x2+x)5(x2−2x+1)10的展开式中，含x7项的系数为（）A.100B.300C.500D.110【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得含x7项的系数．【解答】∵(x2+x)5(x2−2x+1)10＝(x2+x)5((x−1)20的展开式中，通项公式为C5r⋅x10−r⋅C20k⋅x20−k⋅(−1)k=C5r⋅C20k⋅(−1)k⋅x30−r−k，r、k∈N，0≤r≤5，0≤k≤20．令30−r−k＝7，求得r＝3、k＝20，或r＝4、k＝19，或r＝5、k＝18，分别代入x7的系数C5r⋅C20k⋅(−1)k，求得含x7项的系数为100，10. 已知函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−√3(ω>0)在[0, π2]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（）A.(103, 143) B.[103, 143] C.[4, 143] D.[4, 143)【答案】D【考点】三角函数中的恒等变换应用函数零点的判定定理【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．【解答】函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−√3=2sin(ωx+π3)−√3，函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−√3(ω>0)在[0, π2]上有且仅有三个零点，就是sin(ωx+π3)=√32在[0, π2]上有且仅有三个解，则ωx+π3=2kπ+π3或2kπ+2π3；∴π3+2π≤ωπ2+π3<2π3+2π，解得ω∈[4,143)．11. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面为直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90∘，AB=23CD，E为PC上靠近点C的三等分点，则三棱锥B−CDE与四棱锥P−ABCD的体积比为（）A.19B.15C.16D.13【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，则三棱锥B−CDE的高为13ℎ，AB＝2a，则CD＝3a，由此能求出三棱锥B−CDE与四棱锥P−ABCD的体积比．【解答】设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，则三棱锥B−CDE的高为13ℎ，AB＝2a，则CD＝3a，∴V P−ABCD=13×12×5a×AD×ℎ，V B−CDE=13×12×3a×AD×13ℎ，∴三棱锥B−CDE与四棱锥P−ABCD的体积比为：V B−CDE V P−ABCD =15．12. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，F1，F2为其左、右焦点，线段F2A垂直直线y=bax ，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若F 2B →=BA →，则该双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2C.3D.√3【答案】 A【考点】双曲线的离心率 【解析】可设直线F 2A 的方程为y =−a b(x −c)，与直线y =bax 联立，可得A 的坐标，若F 2B →=BA →，则B 为线段F 2A 的中点，由中点坐标公式可得B 的坐标，代入双曲线的方程，化为c 2＝2a 2，再由离心率公式可得所求值． 【解答】线段F 2A 垂直直线y =ba x ，且F 2(c, 0)， 可设直线F 2A 的方程为y =−ab (x −c)， 与直线y =bax 的交点为A(a 2c, ab c)，若F 2B →=BA →，则B 为线段F 2A 的中点，则B(c 2+a 22c, ab2c )，代入双曲线的方程可得(c 2+a 2)24c 2a 2−a 24c 2=1，化为c 2＝2a 2，即e =c a=√2．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．若复数________． 【答案】 z =2−2i 1+i+2，则|z|＝2√2【考点】 复数的运算 复数的模 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】 ∵ z =2−2i 1+i+2=2(1−i)2(1+i)(1−i)+2=−2i +2，∴ |z|=√22+(−2)2=2√2．在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高．由此判断，来自1班的同学为________． 【答案】 B【考点】进行简单的合情推理【解析】根据题意明确题中的逻辑关系即可．【解答】根据题意可知，B不是来自2班，A不是来自2班，所以C来自2班；又B的成绩比来自2班的同学高，C的成绩比来自3班的同学高，所以B不能来自3班，只能来自1班．数列{a n}中，其前n项和为S n且S n＝2a n−2n+1，则S10＝________．【答案】9217【考点】数列递推式数列的求和【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】数列{a n}中，其前n项和为S n且S n＝2a n−2n+1，①当n＝1时，解得a1＝1．当n≥2时，且S n+1＝2a n+1−2n+1+1，②，②-①得a n+1−2n+1=2a n−2n，整理得a n+12n+1−a n2n=12（常数），故数列{a n2n}是以12为首项12为公差的等差数列，所以a n2n =12+12(n−1)=12n，整理得a n=n⋅2n−1所以S n=1⋅20+2⋅21+⋯+n⋅2n−1①，2S n=1⋅21+2⋅22+⋯+n⋅2n②，①-②得−S n=(1+2+⋯+2n−1)−n⋅2n，整理得S n=(n−1)⋅2n+1，所以S10=9⋅210+1=9216+1=9217．若函数f(x)＝e x−1ax−b在其定义域上的最小值为0，则a2b的最小值为________．【答案】−1 e2【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由题意可得：e x−1a x−b≥0恒成立，转化为：直线y=1ax+b与曲线y＝e x相切．设切点为(x0, e x0)，则e x0=1a x0+b，e x0=1a，可得：a2b=1−x0e x0．令ℎ(t)=1−te t，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】由题意可得：e x−1a x−b≥0恒成立，转化为：直线y=1ax+b与曲线y＝e x相切．设切点为(x0, e x0)，则e x0=1a x0+b，e x0=1a，可得：a2b=1−x0e x0．令ℎ(t)=1−te t ，ℎ′(t)=t−2e t，∴当t＝2时，ℎ(t)取得极小值：−1e2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作（一）必考题：共60分．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a−c)sin A+c sin(A+ B)＝b sin B（1）求B；（2）若a+c＝8，三角形的面积S△ABC＝4√3，求b．【答案】由已知得，(a−c)sin A+c sin C＝b sin B，根据正弦定理得(a−c)a+c2−b2＝0，化简得b2＝a2+c2−ac，由余弦定理得b2＝a2+c2−2ac cos B，所以cos B=12，由0<B<π，得B=π3．由（1）可知B=π3，S△ABC=12ac sin B＝4√3，可得ac＝16，又a+c＝8，解得a＝4，c＝4，所以b2＝a2+c2−2ac cos B＝16，解得b＝4．【考点】正弦定理【解析】（1）根据正弦定理化简已知的式子，再由余弦定理求出cos B，由内角的范围求出B；（2）由三角形的面积公式可求ac的值，结合a+c＝8，解得a，c的值，利用余弦定理可求b．【解答】由已知得，(a−c)sin A+c sin C＝b sin B，根据正弦定理得(a−c)a+c2−b2＝0，化简得b2＝a2+c2−ac，由余弦定理得b2＝a2+c2−2ac cos B，所以cos B=12，由0<B<π，得B=π3．由（1）可知B=π3，S△ABC=12ac sin B＝4√3，可得ac＝16，又a+c＝8，解得a＝4，c＝4，所以b2＝a2+c2−2ac cos B＝16，解得b＝4．如图所示的多面体的底面ABCD 为直角梯形，四边形DCFE 为矩形，且DE ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB =AD =DE =12CD =2，M ，N ，P ．分别为EF ，BF ，BC 的中点，AD ⊥AB（1）求证：．BC ⊥平面MNP ；（2）求直线MN 与平面BCF 所成角的余弦值． 【答案】证明：∵ P ，N 分别是BC ，BF 的中点，∴ PN // CF ，∵ 四边形EDCF 是矩形，∴ DE ⊥CD ， ∵ DE ⊥BC ，∴ DE ⊥平面ABCD ，∴ PN ⊥BC ， 取CD 中点H ，连结PH ，BH ，MH ， 则MH // CF // PN ，∴ M ，N ，P ，H 同在平面MNP 内，在△BHC 中，BH ＝CD −AB ＝2，∠BHC ＝90∘，P 为BC 中点， ∴ HP ⊥BC ，∵ PN ∩HP ＝P ，∴ BC ⊥平面MNP ．由（1）知AD ，DE ，CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2, 2, 0)，C(0, 4, 0)，F(0, 4, 2)，∵ M ，N 分别为EF ，BF 的中点，∴ M(0, 2, 2)，N(1, 3, 1)， ∴ 平面BCF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BF →=−2x +2y =0n →⋅BC →=−2x +2y +2z =0，令x ＝1，得n →=(1, 1, 0)， ∴ cos <n →,MN →>=n →⋅MN →|n →|⋅|MN →|=√63． ∴ MN 与平面BCF 所成角的余弦值为√1−(√63)2=√33．【考点】直线与平面所成的角 直线与平面垂直 【解析】（1）推导出PN // CF ，DE ⊥CD ，从而DE ⊥平面ABCD ，PN ⊥BC ，取CD 中点H ，连结PH ，BH ，MH ，则MH // CF // PN ，从而HP ⊥BC ，由此能求出BC ⊥平面MNP ． （2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出MN 与平面BCF 所成角的余弦值． 【解答】证明：∵ P ，N 分别是BC ，BF 的中点，∴ PN // CF ，∵ 四边形EDCF 是矩形，∴ DE ⊥CD ， ∵ DE ⊥BC ，∴ DE ⊥平面ABCD ，∴ PN ⊥BC ， 取CD 中点H ，连结PH ，BH ，MH ， 则MH // CF // PN ，∴ M ，N ，P ，H 同在平面MNP 内，在△BHC 中，BH ＝CD −AB ＝2，∠BHC ＝90∘，P 为BC 中点， ∴ HP ⊥BC ，∵ PN ∩HP ＝P ，∴ BC ⊥平面MNP ．由（1）知AD ，DE ，CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2, 2, 0)，C(0, 4, 0)，F(0, 4, 2)，∵ M ，N 分别为EF ，BF 的中点，∴ M(0, 2, 2)，N(1, 3, 1)， ∴ 平面BCF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BF →=−2x +2y =0n →⋅BC →=−2x +2y +2z =0 ，令x ＝1，得n →=(1, 1, 0)， ∴ cos <n →,MN →>=n →⋅MN →|n →|⋅|MN →|=√63． ∴ MN 与平面BCF 所成角的余弦值为(√63)=√33．移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人．已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6．（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由．（2）在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中，每月移动支付的金额如表：现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y 求Y 的分布列及数学期望． 附：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d【答案】根据题意填写列联表如下；计算K 2=200×(30×40−40×90)2120×80×70×130=120091≈13.187>10.828，所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关； 由题意得，在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中， 每月移动支付的金额在2000，3000]内的人数为30人；用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人， 记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ， 则Y 的可能取值为：0，1，2，3； 计算P(Y ＝0)=C 64C 94=542，P(Y ＝1)=C 63⋅C31C 94=1021， P(Y ＝2)=C 62×C32C 94=514， P(Y ＝3)=C 61×C33C 94=121；则Y 的分布列为：数学期望为E(Y)＝0×542+1×1021+2×514+3×121=43．【考点】离散型随机变量的期望与方差 独立性检验（2）由题意知Y 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值． 【解答】根据题意填写列联表如下；计算K 2=200×(30×40−40×90)2120×80×70×130=120091≈13.187>10.828，所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关； 由题意得，在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中， 每月移动支付的金额在2000，3000]内的人数为30人；用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人， 记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ， 则Y 的可能取值为：0，1，2，3； 计算P(Y ＝0)=C 64C 94=542，P(Y ＝1)=C 63⋅C31C 94=1021， P(Y ＝2)=C 62×C32C 94=514， P(Y ＝3)=C 61×C33C 94=121；则Y 的分布列为：数学期望为E(Y)＝0×542+1×1021+2×514+3×121=43．函数f(x)＝a ln x −a 2x−6x(a ∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若a >0，证明：当x ∈(0, 2]时，f(x)<0恒成立． 【答案】 由f(x)＝a ln x −a 2x−6x(x >0)，得f ′(x)=−6x 2+ax+a 2x 2．令f ′(x)＝0，则x =a2或x =−a3．当a ＝0时，f ′(x)＝−6<0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a >0时，a2>0，−a3<0，∴ f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减；证明：当a>0时，由（1）得f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减．∴当a2<2，即0<a<4时，f(x)在(0, 2]存在最大值，此时f(x)max=a2=a ln a2−5a=a(ln a2−5)．∵0<a<4，∴ln a2<ln2<ln e=1，∴a(ln a2−5)<0；当a2≥2，即a≥4时，f(x)在(0, 2]上单调递增，∴f(x)max=f(2)=a(ln2−a2)−12，∵a≥4，ln2<ln e＝1<a2，∴a(ln2−a2)<0，∴a(ln2−a2)<0，综上，当x∈(0, 2]时，f(x)<0恒成立．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）对f(x)求导，令f′(x)＝0，可得x=a2或x=−a3，然后分a＝0，a>0和a<0三种情况求f(x)的单调区间；（2）由（1）可知a>0时，f(x)的单调性，然后分0<a<4和a≥4两种情况分别求出f(x)的最大值，证明f(x)的最大值小于0即可．【解答】由f(x)＝a ln x−a 2x −6x(x>0)，得f′(x)=−6x2+ax+a2x2．令f′(x)＝0，则x=a2或x=−a3．当a＝0时，f′(x)＝−6<0，∴f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a>0时，a2>0，−a3<0，∴f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减；当a<0时，a2<0，−a3，∴f(x)在(0,−a3)上单调递增，在(−a3,+∞)上单调递减．证明：当a>0时，由（1）得f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减．∴当a2<2，即0<a<4时，f(x)在(0, 2]存在最大值，此时f(x)max=a2=a ln a2−5a=a(ln a2−5)．∵0<a<4，∴ln a2<ln2<ln e=1，∴a(ln a2−5)<0；当a2≥2，即a≥4时，f(x)在(0, 2]上单调递增，a∵ a ≥4，ln 2<ln e ＝1<a2，∴ a(ln 2−a2)<0，∴ a(ln 2−a2)<0， 综上，当x ∈(0, 2]时，f(x)<0恒成立．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√32，椭圆的左焦点为F 1，短轴的两个端点分别为B 1，B 2，且F 1B 1→⋅F 1B 2→=2． （1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦AM ，AN ，月AM →⋅AN →=0，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点． 【答案】设F 1(−c, 0)，B 1(0, b)，B 2(0, −b)，由题意e =ca =√32，① 由F 1B →⋅F 1B 2→=(c, b)⋅(c, −b)＝c 2−b 2＝2，② 又c 2＝a 2−b 2，③ 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆的标准方程x 24+y 2=1；证明：由题可知，A(0, −2)，则直线AM ，AN 斜率存在且不为0，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为−1k ，设直线AM 方程为y ＝k(x +2)，设M(x M , y M )与椭圆方程联立得{y =k(x +2)x 2+4y 2−4=0 ，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4＝0，Z 则−2x M =16k 2−41+4k 2，则x M =2−8k 21+4k 2， 所以y M ＝k(x M +2)，得y M =4k1+4k 2得M(2−8k 21+4k 2, 4k 1+4k 2)，同理可得（将k 换成−1k ）得N(2k 2−8k 2+4, −4kk 2+4)， 则 k MN =4k 1+4k 2+4kk 2+42−8k 21+4k 2−2k 2−8k 2+4=20k 3+20k −(16k 4−16)=20k(k 2+1)−16(k 2+1)(k 2−1)=−5k4k 2−4，所以直线MN 的方程为y +4kk 2+4=−5k4k 2−4(x −2k 2−8k 2+4)，令y ＝0，则x =16(1−k 2)5(k 2+4)+2k 2−8k 2+4=−6k 2−245(k 2+4)=−65，所以，直线MN 与x 轴的交点为定点(−65, 0)． 【考点】直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）根据椭圆的离心率公式根据向量的坐标运算，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）设直线AM 的方程，与椭圆方程联立，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，求得直线MN 的方程，即可判断直线MN 与x 轴的交点为定点． 【解答】设F 1(−c, 0)，B 1(0, b)，B 2(0, −b)，由题意e =ca =√32，① 由F 1B →⋅F 1B 2→=(c, b)⋅(c, −b)＝c 2−b 2＝2，② 又c 2＝a 2−b 2，③ 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆的标准方程x 24+y 2=1；证明：由题可知，A(0, −2)，则直线AM ，AN 斜率存在且不为0，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为−1k ，设直线AM 方程为y ＝k(x +2)，设M(x M , y M )与椭圆方程联立得{y =k(x +2)x 2+4y 2−4=0 ，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4＝0，Z 则−2x M =16k 2−41+4k2，则x M =2−8k 21+4k 2，所以y M ＝k(x M +2)，得y M =4k1+4k 2 得M(2−8k 21+4k, 4k 1+4k)，同理可得（将k 换成−1k）得N(2k 2−8k +4, −4kk +4)，则 k MN =4k 1+4k 2+4kk 2+42−8k 21+4k 2−2k 2−8k 2+4=20k 3+20k −(16k 4−16)=20k(k 2+1)−16(k 2+1)(k 2−1)=−5k4k 2−4，所以直线MN 的方程为y +4k k 2+4=−5k 4k 2−4(x −2k 2−8k 2+4)，令y ＝0，则x =16(1−k 2)5(k 2+4)+2k 2−8k 2+4=−6k 2−245(k 2+4)=−65，所以，直线MN 与x 轴的交点为定点(−65, 0)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为π4，且过点M(5, a)，曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ（θ为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为5√2时，求直线l 的直角坐标方程．曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ （θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 216+y 29=1．直线l 的倾斜角为π4，且过点M(5, a)，整理得直线的方程为x −y +a −5＝0． 设曲线上点M(4cos θ, 3sin θ)则点M 到直线l 的距离d =2（其中tan φ=34），①当a −5>0时，d max =√2=5√2，解得a ＝10． ②当a −5<0时，d max =√2=√2=5√2解得a ＝0，故直线的方程为x −y +5＝0或x −y −5＝0．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ （θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 216+y 29=1．直线l 的倾斜角为π4，且过点M(5, a)，整理得直线的方程为x −y +a −5＝0．设曲线上点M(4cos θ, 3sin θ)则点M 到直线l 的距离d =√2（其中tan φ=34），①当a −5>0时，d max =√2=5√2，解得a ＝10． ②当a −5<0时，d max =√2=√2=5√2解得a ＝0，故直线的方程为x −y +5＝0或x −y −5＝0．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x +1|−|x −2| （1）求不等式f(x)<−1的解集；（2）若f(x)≤|a −1|的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围． 【答案】f(x)＝|x +1|−|x −2|={−3,x <−12x −1,−1≤x ≤23,x >2 ．∵ f(x)<−1，∴ x <−1或{−1≤x ≤22x −1<−1 ，∴ x <−1或−1≤x <0，∴ x <0， ∴ 不等式的解集为{x|x <0}； 由（1）知，f(x)max ＝3．∵ f(x)≤|a −1|的解集为实数集R ， ∴ f(x)max ≤|a −1|，即|a −1|≥3，∴a的取值范围为(−∞, −2]∪[4, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)<−1，分别解不等式即可；（2）由（1）知f(x)max＝3，然后根据f(x)≤|a−1|的解集为实数集R，可得f(x)max≤|a−1|，再解关于a的不等式即可．【解答】f(x)＝|x+1|−|x−2|={−3,x<−12x−1,−1≤x≤23,x>2．∵f(x)<−1，∴x<−1或{−1≤x≤22x−1<−1，∴x<−1或−1≤x<0，∴x<0，∴不等式的解集为{x|x<0}；由（1）知，f(x)max＝3．∵f(x)≤|a−1|的解集为实数集R，∴f(x)max≤|a−1|，即|a−1|≥3，∴a≥4或a≤−2，∴a的取值范围为(−∞, −2]∪[4, +∞)．。

2019 年新课标全国 3 卷高三最新信息卷理科数学（一）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019 吉·林实验中学]在复平面内与复数2iz 所对应的点关于实轴对称的点为 A ，则A 对应的复数为1 i（）A ．1 i B．1 i C． 1 i D． 1 i 【答案】B【解析】复数2i 2i 1 iz 1 i ，复数的共轭复数是 1 i ，1 i 1 i 1 i就是复数2iz 所对应的点关于实轴对称的点为 A 对应的复数，故选B．1 i2．[2019 哈·六中] 0 x 3 是x 1 2 成立的（）A ．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解x 1 2 得到 1 x 3 ，假设0 x 3 ，一定有 1 x 3 ，反之不一定，故0 x 3 是x 1 2 成立的充分不必要条件．故答案为 A ．3．[2019 衡·阳联考]比较甲、乙两名学生的数学学科素养的各项能力指标值（满分为 5 分，分值高者为优），绘制了如图 1 所示的六维能力雷达图，例如图中甲的数学抽象指标值为4，乙的数学抽象指标值为5，则下面叙述正确的是（）A ．乙的逻辑推理能力优于甲的逻辑推理能力B．甲的数学建模能力指标值优于乙的直观想象能力指标值C．乙的六维能力指标值整体水平优于甲的六维能力指标值整体水平D．甲的数学运算能力指标值优于甲的直观想象能力指标值【答案】C【解析】对于选项 A ，甲的逻辑推理能力指标值为4，优于乙的逻辑推理能力指标值为3，所以该命题是假命题；对于选项B，甲的数学建模能力指标值为3，乙的直观想象能力指标值为5，所以乙的直观想象能力指标值优于甲的数学建模能力指标值，所以该命题是假命题；对于选项C，甲的六维能力指标值的平均值为1234 3 45 3 46 6，乙的六维能力指标值的平均值为1 6 5 4 3 5 4 3 4，因为2364，所以选项 C 正确；对于选项D，甲的数学运算能力指标值为4，甲的直观想象能力指标值为5，所以甲的数学运算能力指标值不优于甲的直观想象能力指标值，故该命题是假命题．故选C．4．[2019 西·安中学]若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A ．12B．32C．34D．64【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，即2c a ，所以离心率 e ca12，故选A．log x, x 125．[2019 郑·州一中]已知函数 f x 11 x，则不等式 f x 1的解集为（）, x 1A ．,2 B．,0 1,2 C．0,2 D．,0 1,2 【答案】D【解析】当x 1时， f x 1，即为l og x 1，解得1 x 2 ；2当x 1时， f x 1，即为 111 x，解得x 0 ，综上可得，原不等式的解集为,0 1,2 ，故选D．π6．[2019 烟·台一模]将函数 f x sin x 0, 的图象向右平移2 π个单位长度后，所得图象关6于y 轴对称，且π 1f ，则当取最小值时，函数 f x 的解析式为（）2πA ． f x sin 2x B． f x sin 2x6 π6πC． f x sin 4x D．f x sin 4x6 π6【答案】Cπ【解析】将函数sin 0,f x x 的图象向右平移2 π个单位长度后，6可得πy sin x 的图象，6∵所得图象关于y 轴对称，∴ππk ，k Z．π6 2∵π1f sin πsin ，即2sin12，则当取最小值时，π，6∴ππk ，取k 1，可得 4 ，π6 3π∴函数 f x 的解析式为 f x sin 4x ，故选C．67．[2019 聊·城一模]数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有刍甍（méng），下广三丈，袤（mào）四丈；上袤二丈，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长4 丈；上棱长 2 丈，高 1 丈，问它的体积是多少？”．现将该楔体的三视图给出，其中网格纸上小正方形的边长为 1 丈，则该楔体的体积为（单位：立方丈）（）A ．5.5 B．5 C．6 D．6.5【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱柱，截去两个三棱锥，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的体积为1 1 1V V三棱柱V三棱锥（立方丈）．2 3 1 4 2 3 1 1 52 3 22x y 08．[2019 哈·六中]实数x ，y 满足不等式组2x y 0，若z 3x y 的最大值为5，则正数m 的值为（）y y m 0A ．2 B．12C．10 D．110【答案】A【解析】先由2x y 02x y 0画可行域，发现y 0 ，所以y y m 0 可得到y m，且m 为正数．画出可行域为△AOB （含边界）区域．z 3x y ，转化为y 3x z，是斜率为3的一簇平行线，z 表示在y 轴的截距，由图可知在A点时截距最大，解y 2xy mmx，得 2y mm，即,A m ，2此时3mz m 5 ，解得m 2 ，故选 A 项．max29．[2019 ·镇海中学]已知正项等比数列a n 满足a7 a6 2a5 ，若存在两项a m ，a n ，使得 2a a 16a ，则m n 11 9m n的最小值为（）A ．32B．114C．83D．103【答案】B【解析】设正项等比数列a的公比为q ，且q 0 ，n由a7 a6 2a5 ，得a q a6 6 2a6q，化简得 2 2 0q q ，解得q 2 或q 1 （舍去），因为 2a a 16a ，所以m n 1m 1 n 1 2a1q a1q 16a1 ，则m n 2q 16 ，解得m n 6 ，所以19 1 1 9 1 n 9m 1 n 9m 8m n 10 10 2m n 6 m n 6 m n 6 m n 3，当且仅当n 9mm n时取等号，此时n 9mm nm n 6，解得mn3292，因为m ，n 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1 9 8 m n 3，验证可得，当m 2 ，n 4 时，19m n取最小值为114，故选B．10．[2019 聊·城一模]如图，圆柱的轴截面为正方形ABCD ，E 为弧BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（）A ．33B．55C．306D．66【答案】D【解析】取BC 的中点H ，连接EH ，AH ，EHA 90 ，设AB 2 ，则BH HE 1，AH 5 ，所以AE 6 ，连接ED ，ED 6 ，因为BC∥AD ，所以异面直线AE与BC 所成角即为EAD ，在△EAD中，cos 6 4 6 6EAD ，故选D．6 2 2 611．[2019 天·津毕业]已知双曲线2 2x y2 2 1 a 0,b 0a b，过原点的直线与双曲线交于A，B 两点，以AB 为直径的圆恰好过双曲线的右焦点 C ，若△ABC 的面积为 22a ，则双曲线的渐近线方程为（）A ．2y x B．y 2x C．23y x D．y 3x3【答案】B【解析】以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 C ，以AB为直径的圆的方程为 2 2 2x y c ，由对称性知△ABC 的面积12S 2S 2 ch ch 2a△，OBC2即h22ac，即 B 点的纵坐标为y22ac，则由222 2a 2x cc，得22 42a 4a2 2 2x c c2c c，2c4 44a 4a2 2c c2 2a b因为点 B 在双曲线上，则 1，即2 2 4c 4a 4a2 2 2 2 2a c c c a1，即2 2 2c 4a a1 12 2 2 2a c c a，即2 2 2c4a c2 2 2 2a c c a1，即2 2c4a2 2 2a c a1，即2 2 2 2c 4a c a12 2 2 2a c a a，得 24 2 24a c a ，即 2 2 22a c a ，得2 23a c ，得c 3a ，b 2a ．b则双曲线的渐近线方程为y x 2xa，故选B．12．[2019 ·上高二中]定义：若数列a n 对任意的正整数n ，都有a a d d为常数，则称a n 为“绝n 1 n对和数列”，d 叫做“绝对公和”．已知“绝对和数列”a n 中，a1 2，绝对公和为3，则其前2019 项的和S的最小值为（）2019A ．2019 B．3010 C．3025 D．3027【答案】C【解析】依题意，要使其前2019 项的和S2019 的最小值只需每一项的值都取最小值即可，∵a1 2，绝对公和 d 3 ，∴a2 1或a2 1（舍），∴a3 2 或a3 2（舍），∴a4 1或a4 1（舍），，2, n 1∴满足条件的数列a n 的通项公式a2, n为大于1的奇数n，1, n为偶数∴所求值为a1 a2 a3 a4 a5 a2018 a20192019 12 1 2 30252，故选C．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2019 呼·和浩特质检]在2x51x的展开式中， 2x 的系数为______．【答案】801 x 5的展开式中，通项公式r315 r5 r r 52r r rT C 2x 1 2 C xr 1 5 5x【解析】2x，令35 r 2，解得r 2 ．22x 的系数3 22 C 80 ，故答案为80．514．[2019 衡·水二中]已知函数f x2sin x tan x, x 0e 2x , x 0，则25πf f _____．4【答案】 13e【解析】因为25π25π25π 1 32f sin tan 1 ，4 4 4 2 2所以33 1232f e e ．故答案为32 e13e．15．[2019 福·建联考]在边长为 2 的等边三角形ABC 中，BC 2BD ，则向量BA 在AD 上的投影为______．【答案】 3【解析】BC 2BD ， D 为BC 的中点，1AD AB AC ，21 1 1BA AD AB BA AC BA 2 2 2 cos120 3，2 2 211122AD AB AC2AB AC442223，222则向量BA在AD上的投影为B A ADAD 333，故答案为3．16．[2019德·州一模]已知函数22f x x ax，2g x4a ln x b，设两曲线y f x，y g x有公共点P，且在P点处的切线相同，当a0,时，实数b的最大值是______．【答案】2e【解析】设P x0,y0，f x2x2a，g x24ax．由题意知，f x0g x0，f x0g x0，即22x02ax04a ln x0b，①2x2a24ax，②解②得：x a或x02a（舍），代入①得：22b3a4a ln a，a0,，b6a8a ln a4a2a14ln a，11当a0,e4时，b0；当a e,时，b0．411b e43e4eln e42e．故答案为2e．实数b的最大值是三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019甘·肃联考]在△ABC中，3sin A2sin B，tanC35．（1）求cos2C；（2）若AC BC1，求△ABC的周长．【答案】（1）1718；（2）511．【解析】（1）∵tanC35，∴cos1C，∴62117cos2C21．618（2）设△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为 a ，b ，c ．∵3sin A 2sin B ，∴3a 2b ，∵AC BC b a 1 ，∴ a 2 ，b 3 ．由余弦定理可得 2 2 2c a b 2ab cosC 13 2 11，则c 11，△ABC 的周长为 5 11 ．18．（12 分）[2019 保·山统测]某市移动公司为了提高服务质量，决定对使用 A ，B 两种套餐的集团用户进行调查，准备从本市n n *N个人数超过1000 人的大集团和8 个人数低于200 人的小集团中随机抽取若干4个集团进行调查，若一次抽取 2 个集团，全是小集团的概率为．15（1）求n的值；（2）若取出的 2 个集团是同一类集团，求全为大集团的概率；（3）若一次抽取 4 个集团，假设取出小集团的个数为X ，求X 的分布列和期望．【答案】（1）n 7 ；（2）37；（3）详见解析．【解析】（1）由题意知共有n 8 个集团，取出 2 个集团的方法总数是 2C n ，8其中全是小集团的情况有 2C ，故全是小集团的概率是82C 56 482C n n 8 n 7 158，整理得到n 7 n 8 210 ，即 2n 15n 154 0 ，解得n 7 ．（2）若 2 个全是大集团，共有 2C 21 种情况；7若2 个全是小集团，共有 2C 28种情况，8故全为大集团的概率为21 3 21 28 7．（3）由题意知，随机变量的可能取值为0，1，2，3，4，计算0 4C C 18 7P X 0 ；4C 39151 3C C 88 7P X 1 ；4C 39152 2C C 288 7P X 2 ；4C 65153 1C C 568 7P X 3 ；4C 195154 0C C 28 7P X 4 ，4C 3915故X 的分布列为：X 0 1 2 3 41 39839286556195239P数学期望为182856232E X01234．393965195391519．（12分）[2019·河南名校]如图所示的三棱柱ABC A1B1C1中，AA1平面ABC，AB BC，BC BB，B1C的中点为O，若线段A1C1上存在点P使得PO平面AB1C．331（1）求AB；（2）求二面角A B C A的余弦值．11【答案】（1）62；（2）63．【解析】（1）方法一：设AB的长为t，依题意可知BA，BC，B B两两垂直，分别以BC，BB1，BA的方1向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示．则A0,0,t，C3,0,0，B10,1,0，C13,1,0，31O,,0，A10,1,t，22因此B1C3,1,0，AC3,0,t，A1C13,0,t．设A1P A1C13,0,t，易求得点P的坐标为3,1,t t，所以31OP3,,t t．22因为OP平面ABC，所以111OP B C3301221OP AC33t t102．6t2解之得，所以AB的长为262．3方法二：如图，在平面B CC B内过点O作B1C的垂线分别交BC和B1C1于M，N，连接PN，11在平面ABC内过点M作BC的垂线交AC于R，连接OR．依题意易得，R M∥A B∥PN R，M，N，P，O五点共面．11因为PO平面ABC，所以1RM ONPO RO RMO ONP△△．①MO PN在3△中，ON B1O tan30，BON13OB23B N，因此N为线段B1C1靠近C1的三等分点．11cos303由对称性知，M为线段BC靠近B的三等分点，因此2RM AB，31PN AB．3代入①，得3336 AB OM ON．2232（2）由（1）方法一可知，316OP,,是平面626AB C的一个法向量且16B1C3,1,0，B1A10,0,．2设平面A B C的法向量为n，则11nnB C1B A11n可以为1,3,0．23cos OP,n O POPnn232263．因为二面角A B C A为锐角，故所求二面角A B1C A1的余弦值为1163．20．（12分）[2019烟·台一模]已知F为抛物线2C:y2px p0的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B 两点．当直线与x轴垂直时，AB4．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线l相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA，PM，PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．【答案】（1）2y4x；（2）P1,2．p【解析】（1）因为,0F，在抛物线方程22y2px中，令px，可得y p．2于是当直线与x轴垂直时，AB2p4，解得p2．所以抛物线的方程为24y x．（2）因为抛物线24y x的准线方程为x1，所以M1,2．设直线AB的方程为y x1，联立24y x消去x，得y x12440y y．设A x1,y1，B x2,y2，则y1y24，y1y24．若点P x0,y0满足条件，则2k PM k PA k PB，即2y2y y y y 00102x1x x x x 00102，因为点P，A，B均在抛物线上，所以2yx，42y1x，142y2x．24代入化简可得2y22y y y001222y4y y y y y y0012012，将y1y24，y1y24代入，解得y02．将y02代入抛物线方程，可得x01．于是点P1,2为满足题意的点．21．（12分）[2019济·南模拟]已知函数a2f x xln x x a1x，其导函数f x的最大值2为0．（1）求实数a的值；（2）若f x1f x21x1x2，证明：x1x22．【答案】（1）a1；（2）见解析．【解析】（1）由题意，函数f x的定义域为0,，其导函数f x lnx a x1，记h x f x，则h x1axx．当a0时，h x 1axx0恒成立，所以h x在0,上单调递增，且h10．所以x1,，有h x f x0，故a0时不成立；当a0时，若x0,1a，则h x1axx0；若x1a,，则h x1axx0．所以h x在0,1a 单调递增，在1a,单调递减．所以1h x h lna a10maxa．令g a lna a1，则g a11a1a a．当0a1时，g a0；当a1时，g a0．所以g a在0,1的单减，在1,单增．所以g a g10，故a1．（2）当a1时，12f x xlnx x，则f x1lnx x．2由（1）知f x1lnx x0恒成立，所以12f x xlnx x在0,上单调递减，2且1f1，f x1f x212f1，2不妨设0x x，则120x1x，12欲证x1x22，只需证x22x1，因为f x在0,上单调递减，则只需证f x2f2x1，又因为f x1f x21，则只需证1f x1f2x1，即f2x1f x11．令F x f x f2x（其中x0,1），且F11．所以欲证f2x1f x11，只需证F x F1，x0,1，由F x f x f2x1lnx x1ln2x2x，整理得F x lnx ln2x21x，x0,1，221xF x0，x0,1，x2x所以F x lnx ln2x21x在区间0,1上单调递增，所以x0,1，F x lnx ln2x21x F10，所以函数F x f x f2x在区间0,1上单调递减，所以有F x F1，x0,1，故x1x22．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·宝鸡模拟]点P是曲线22C1:x2y4上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点P逆时针旋转90得到点Q，设点Q的轨迹为曲线C．2（1）求曲线C，1C的极坐标方程；2π（2）射线03与曲线C1，C2分别交于A，B两点，设定点M2,0，求△MAB的面积．【答案】（1）C1:4cos，C2:4sin；（2）33．【解析】（1）曲线C1的圆心为2,0，半径为2，把互化公式代入可得：曲线C1的极坐标方程为4cos．ππ设Q,，则P,，则有4cos4sin22．所以曲线C的极坐标方程为4sin．2（2）M到射线ππ的距离为d2sin3，33ππAB4sin cos231，B A33则1S AB d33．223．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·上饶二模]已知函数f x ax1a0．（1）若不等式f x2的解集为A，且A2,2，求实数a的取值范围；（2）若不等式123f x f xa a2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）3,2；（2）1,22．【解析】（1）ax12，2ax12，13xa a ，A13,a a．A2,2，3a 1a22，3a，a的取值范围232,．（2）由题意3ax1x1恒成立，设h x ax1x1，2a1x,x1h x1a x2,1x 1a，a1x,x 1 a①0a1时，由函数单调性h x h a，min113a1，212a1，②a1时，h x hmin 1a1a a，aa132，1a2，综上所述，a的取值范围12,2．。

巴市一中2016-2017学年第一学期月考2019-2020年高三9月月考数学（理）试题 含答案出题人: 吴 亭说明: 1.本试卷分第I 卷和第II 卷两部分,共150分，考试时间120分钟； 2.考试结束，只交答题卡。

第I 卷（选择题 共60分）一、选择题（5分×12=60分）每小题给出的四个选项只有一项正确 1．已知函数f （x ）=x-11定义域为M ，g （x ）=ln （1+x ）定义域 为N ，则M ∩N 等于（ ）A ．{x |x >-1}B ．{x |x <1}C ．{x |-1<x <1}D ．φ 2．下列函数中，与函数x y =相同的是( ) A ．2x y =B ．x y 10lg =C ．2)(x y = D ．x y lg 10=3． 已知函数⎩⎨⎧≤>=0,20,log )(3x x x x f x，则))91((f f 等于（ ） A.4 B. 41-C. 4-D. 414．在,cos cos ABC A B A B ∆><中是的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件 5．已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β=() A. π4B.π3C. 5π12D.π66．函数的部分图象如图所示，则将y=f （x ）的图象向右平移个单位后，得到的函数图象的解析式为（ ）A ．y=sin2xB ．C ．D ．y=cos2x7.由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12B ．1C.32D. 38.函数()[]()cos 2,x f x x ππ=∈-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．9.函数3()log 5f x x x =+-的一个零点所在的区间为（ ） A ．（0，1） B ．（1，2） C ．（2，3） D ．（3，4）10．若方程()20f x -=在(,0)-∞内有解，则()y f x =的图象是（ ）11.已知点P 是曲线2ln y x x =-上的一个动点，则点P 到直线 :2l y x =-的距离的最小值为（ ）A ．1BC ．2D 12.过点A (2，1)作曲线f (x )＝x 3－3x 的切线最多有 ( )A ．3条B ．2条C ．1条D ．0条第II 卷（非选择题 共90分）二、填空题（5分×4=20分）13．已知命题.,:,:22y x y x q y x y x p ><-<->则若；命题则若在命题①q p q p q p q p ∨⌝⌝∧∨∧）④（③②);(;;中，真命题是 ； 14．已知函数)(x f 是），（∞+∞-上的偶函数，若对于0≥x ， 都有 (2)(),f x f x +=且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则 =+-)2011()2010(f f ；15.在⊿ABC 中,三边a,b,c 所对的角分别为A,B,C,若a 2+b 2=2ab+c 2,则角C 为 ；16．若tan 20sin 203m +=，则m 的值为 . 三、解答题 （12+12+12+12+12+10=70分）17．已知函数2)(23-=+++=x c bx ax x x f 在处取得极值，并且它的 图象与直线33+-=x y 在点（1，0）处相切，求函数)(x f 的表达式. 18.已知函数()4cos sin()16f x x x π=⋅+-。

2019年第一学期徐汇区高三年级数学学科学习能力诊断卷 （理科试卷）（考试时间：120分钟，满分150分）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、方程4220x x+-=的解是 。

2、设集合{}|0,|12x A x B x x x ⎧⎫=>=<⎨⎬-⎩⎭，则A B ⋃= 。

3、已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 。

4、若3sin 5θ=-，则行列式cos sin sin cos θθθθ= 。

5、已知向量(2,3),(4,7)a b ==-，则向量b 在向量a 的方向上的投影为 。

6、已知无穷等比数列{}n a 的各项和为4，则首项1a 的取值范围是 。

7、若函数()()(2)f x x a bx a =++（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为(,4]-∞，则该函数的解析式()f x = 。

8、一颗骰子投两次, 记第一次得到的数值为a , 第二次得到的数值为b , 将它们作为关于x y 、的二元一次方程组322ax by x y +=⎧⎨+=⎩，的系数, 则方程组有唯一解的概率为 。

（用数字作答）9、已知函数()y f x =存在反函数1()y fx -=，若函数(1)y f x =+的图象经过点(3,1)，则函数1()y f x -=的图象必经过点 。

10、若函数)1lg()(2--=ax x x f 在区间),1(+∞上是增函数，则a 的取值范围是 。

11、若2010220100122010(13)()x a a x a x a x x R -=++++∈，则20101222010333a a a +++= 。

12、已知x 是1，2，3，x ，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，2,x y -这四个数据的平均数为1，则1y x-的最小值为 。