高数基础+第五章

第五讲
二 重 积 分
【题型一】 与二重积分概念和性质有关的题
【例 1】设 I1 cos x 2 y 2 d , I 2 cos( x 2 y 2 )d , I 3 cos( x 2 y 2 ) 2 d ,
D D D
其中 D {( x, y ) | x y 1} ,则 (A) I 3 I 2 I1 (B) I1 I 2 I 3 (C) I 2 I1 I 3 (D) I 3 I1 I 2
2
2
【详解】在相同的积分区域上比较被积函数的大小，利用二重积分性质可比较二重积分大小。 在区域 D {( x, y ) x 2 y 2 1} 上，除原点 x y 0 及边界 x y 1 外，有
2 2 2 2
x2 y 2 x 2 y 2 ( x2 y 2 )2
D r , | 0 , 0 r cos , 2
1 1 即是由 x y 2 与 x 轴在第一象限所围成的 2 4
平面图形,如右图. 由于 D 的最左边点的横坐标是 0 ,最右点的横坐标是 1,
2
y
1 2
O
79
[ x e
D
5 y
e sin y 1]dxdy = 1dxdy 9 。
D
x
【例 10】设区域 D 为 x 2 y 2 R 2 ,则
(
D
x2 y 2 )d = a 2 b2
.
解法 1
(
D
2 2 R cos x2 y2 sin 2 3 R 4 1 1 ) d d ( ) d ( 2 2). 2 2 2 2 0 0 4 a a b a b b
1 x 1 3
1
2
0
x 2 y dy
x 2 sin t
2 1 2 1 (2 x 2 ) 2 dx | x |3 dx 3 1 3 1

4 1 5 4 4 cos 4 tdt . 0 3 3 2 3
82
xyd
D
.

2 2sin
详解: 原式 d


4

0
r cos r sin rdr
80


2 2sin 0

2
1 sin cos r 4 4
4
2
d 4 cos sin 5 d 4 sin 5 d sin
|1 x dx


解
1 y sin y 1 sin y dxdy dy dx 2 0 y y 0 [sin y y sin y ]dy 1 sin 1 y D
【例 7】计算

D
x 2 y 2 dxdy ,其中 D 由曲线 x 2 y 2 2ay (a 0) 所围成.
2 2
而在 0 u 1 内， cos u 是严格单调减函数，
2 2 2
于是 cos x y cos( x y ) cos( x y ) 因此
2
2
cos
D
x 2 y 2 d
cos( x
D
2
y 2 )d
cos( x
D
2
y 2 ) 2 d ，故应选(A).
x y y y y
x
dy dy
1 4 0
1 4 0
f ( x, y)dx
1 2 1 4
1 2 1 4
dy f ( x, y )dx
y
1 2 y
f ( x, y )dx dy 1 f ( x, y )dx .
2
cos

【例 3】累次积分 (A) (C)
【题型二】
2 y 2 y
更换二重积分的次序
x2 2 x 2 0
【例 2】 ．交换下列积分次序: (1)

1
0
dy
f ( x, y )dx dx f ( x, y )dy dx
0 0 1
1
2
f ( x, y )dy
(2)

1 2 0
dx
x2
1 0
x
f ( x, y )dy 2 dx 2 f ( x, y )dy
解法 2 由于积分域 D : x 2 y 2 R 2 关于直线 y x 对称，则
x2 y2 y2 x2 ( 2 2 )d ( 2 2 )d . b b D a D a
从而有
(
D
1 1 1 x2 y2 1 2 )d [左端 + 右端] ( 2 2 ) ( x 2 y 2 )d 2 2 a 2 b D a b

【例 11】计算 函数. 解 而
R 1 1 1 2 R 4 1 1 ( 2 2 ) d 3 d ( 2 2) 0 2 a 4 a b 0 b
x[1 yf ( x
D
2
2
y 2 )]d ,其中 D 是由 y x 3 , y 1, x 1 围成的区域, f (u ) 为连续
x[1 yf ( x
D
y 2 )]dxdy xdxdy xyf ( x 2 y 2 )dxdy .
D D
xyf ( x
D
2
y 2 )dxdy 0 ，
（利用奇偶性）
1 1 2 2 xdxdy dx xdy ，则 原式 . 1 x3 5 5 D

4 4
6
4 sin 6 6

6

4

2 2 7 1 12 ． 3 2
【题型四】 利用对称性简化二重积分的计算
【例 9】设 D : x 2 y 2 9 ,求 解:
[ x e
D
5 y
e x sin y 1]dxdy .
D
2 x2 1 x
, y x 2 围成的闭区域.
2
xyd x 2) 2 x 4 )dx . 2 8
1 y 0 y
xyd xyd xyd dy
D D1 D2
xydx dy

2 a sin 0
解

D
x 2 y 2 dxdy d
0
2 d
8a 3 3 sin d 3 0

8a 3 cos 3 32 3 ( cos ) 0 a . 3 3 9
2 2
【例 98】（11,2）设平面区域 D 由直线 y x, 圆 x y 2 y 及 y 轴所组成，则二重积分
1 2
1
x
下边界方程是 y 0 , 上边界的方程是 y 的直角坐标表示是
x x 2 ,从而 D
x x 2 , 故(D)正确.
D
x, y | 0 x 1,0 y

【题型三】
【例 4】计算 解 1. 解 2.
二重积分的基本计算方法
2
xyd ，其中 D : y x
1
4
y
y2
xydx
45 . 8
【例 5】计算
y
D
1 x 2 y 2 d ,其中 D : y x , x 1 和 y 1 所围成闭区域.
2 2 1 1 2 2
3 1 2 2 2 解： y 1 x y d dx y 1 x y dy (1 x y ) 1 1 x 3 D 1 1 1 | x |3 1 dx . 1 3 2 sin y 【例 6】计算 d ,其中 D 由 y x 和 y x 围成. y D 1

2 0
d
0
f (r cos , r sin )rdr 可以写成
（B） (D)
(
)

1
0
dy
y y2
0
f ( x, y )dx

1
0
dy
0
1 y 2
0
f ( x, y )dx

1
0
dx f ( x, y )dy
0
1

1
0
dx
x x2
f ( x, y )dy
【解析】由题设知,积分区域在极坐标系 x r cos , y r sin 中是
【题型五】 分段函数二重积分的计算
【例 12】计算

D
y x 2 dxdy ，其中 D : x 1,0 y 2 .
81
【详解】

D
y x 2 dxdy y x 2 dxdy x 2 y dxdy
D1 D2 1 x2
dx 2 y x 2 dy dx