平方根
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南京书立行教育数学课教案
【新知预习】
1. 一个数的平方等于9，这个数是几？在等式a x =2
中 ，已知3-=x ，你能求a 吗？已知5=a ，
你能求x 吗？
2.如果，那么叫做_____________.求一个数的平方根的运算，叫做_________.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的_____________.
3.一个正数a 的正的平方根，记作“a ”，正数a 的负的平方根记作“a -”。
这两个平方根合起来记作“__________”，读作“正，负根号a ”.
要点诠释：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0.
4. 一个正数的平方根有 个，它们是 ；0只有 个平方根，它是 本身；负数 平方根。
5.平方根的性质
二.【效果检测】
1.判断下列说法是否正确： （1）5是25的平方根；（ ） （2）25的平方根是-5；（ ）
（3）0的平方根是0；（ ） （4）1的平方根是1；（ ）（5）（-3）2
的平方根是-3。
（ ） 2.25的平方根记作 ，结果是 ； 361的负的平方根记作 ，结果是 ； 3.计算：○116-= ○209.0 = ③()213-±
= ○44
1
2-
= 2
x a =x a a a a (0)a a ±≥a a a a a a 20||0
00
a a a a a a a >⎧⎪
===⎨⎪-<⎩
()
()2
0a
a
a =≥
掌握用平方运算求一个非负数的平方根
被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，.
【例题讲解】
类型一、平方根和算术平方根的概念
1、下列说法错误的是（ ）
A.5是25的算术平方根
B.l 是l 的一个平方根
C.的平方根是－4
D.0的平方根与算术平方根都是0
【答案】C ；
【解析】利用平方根和算术平方根的定义判定得出正确选项．
A.因为＝5，所以本说法正确；
B.因为±＝±1，所以l 是l 的一个平方根说法正确；
C.因为±
＝±＝±4，所以本说法错误；
D.因为＝0，＝0，所以本说法正确；
【总结升华】此题主要考查了平方根、算术平方根的定义，关键是明确运用好定义解决问题． 举一反三：
【变式】判断下列各题正误，并将错误改正：
（1）没有平方根．（ ） （2）．（ ） （3）的平方根是．（ ） （4）是的算术平方根．（ ） 【答案】√ ；×； √； ×， 提示：（2）；（4）
是的算术平方根． 2、 填空：
（1）是 的负平方根． （2）
表示 的算术平方根，
． （3）
的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ．
62500250=62525= 6.25 2.5=0.06250.25=()2
4-251()
2
4-160±09-164=±21()10-
1
10±2
5
--
425164=254
25
4-1
16
116=1
81
3x =x =2
3x =x =
【思路点拨】（3）
就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2)
(3) (4) 9；±3
【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化.
举一反三：
【变式1】下列说法中正确的有（ ）：
①3是9的平方根． ② 9的平方根是3． ③4是8的正的平方根．④ 是64的负的平方根．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 【答案】B ；
提示：①④是正确的.
【变式2】求下列各式的值：
（1）3 （2） （3） （4） 【答案】（1）15；（2）15；（3）－0.3；（4）
3、使代数式有意义的的取值范围是______________． 【答案】≥；
【解析】＋1≥0，解得≥.
【总结升华】当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 举一反三：
【变式】（2016春•庐江县期末）已知()2
2230x y x y ++
++=，求2x y -的平方根．
【答案】解：，
解得，
∴ 2x y -=1﹣2×（﹣2）=5， ∴5的平方根是±
．
类型二、利用平方根解方程
4、（2015春•鄂州校级期中）求下列各式中的x 值
（1）169x 2
=144
（2）（x ﹣2）2
﹣36=0． 【思路点拨】（1）移项后，根据平方根定义求解；（2）先将（x ﹣2）看成一个整体，移项后，根据平方根
181181
191
911;164
1
38-258136+0.040.25-40.36121
⋅
655
1x +x x 1-x x 1-a a a a
定义求解．
【答案与解析】
解：（1）169x 2
=144， 两边同时除以169，得
开平方，得 x=
（2）（x ﹣2）2
﹣36=0，
移项，得 （x ﹣2）2
=36 开平方，得 x ﹣2=±6， 解得：x=8或x=﹣4．
【总结升华】本题考查了平方根，根据是一个正数的平方根有两个． 类型三、平方根的应用
5、要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？
【答案与解析】
解：设宽为，长为3， 由题意得，·3＝1323 3＝1323
＝－21(舍去) 答：长为63米，宽为21米.
【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数.
【课堂练习】
一.选择题
1. 16的平方根是（ ）
A.－4
B.4
C.± 4
D. 256 2．下列各数中没有平方根的是（ ）
A ．
B ．0
C ．
D ．
3．（2015•江西校级模拟）下列各等式中，正确的是（ ） A ．﹣=﹣3 B ．±
=3 C ．（
）2
=﹣3 D ．
=±3
4. 要使代数式
有意义，则的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
5. 下列语句不正确的是（ ）
A ．0的平方根是0
B ．正数的两个平方根互为相反数
C ．－的平方根是±2
D ．是的一个平方根
6. （2016•杭州模拟）一个正奇数的算术平方根是a ，那么与这个正奇数相邻的下一个正奇数的算术平方根
2144
169
x =
x x x x 2
x 21x =±x ()2
3-813
6-2
2a 2
a
是（ ） A ．2a + B ．2
2a +
C ．22a +
D ．2a ±+
二.填空题
7．计算：（1）______；（2）______；（3）______；
（4）______；（5）______；（6）______． 8.的算术平方根的相反数是________. 9. 的平方根是______；0.0001算术平方根是______；0的平方根是______． 10．的算术平方根是______；的算术平方根的相反数是______．
11．一个数的平方根是±2，则这个数的平方是______． 12．（2015春•日照期末）已知，，则= ．
三.解答题
13．求下列各式中的．
（1）； （2）； （3）．
14．（2015春•江西期中）小丽想在一块面积为36m 2
正方形纸片上，沿着边的方向裁出一块面积为30m 2
的长方形纸片，并且使它的长宽的比为2：1．问：小丽能否用这块正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片，为什么？ 15.（2016秋•天水期中）x ，y 分别为811-的整数部分和小数部分，求22xy y -的值．
【课堂总结】
1．你能说出一些数的平方根与算术平方根吗？ 2．算术平方根与平方根有什么区别与联系？
【课后作业】
见暑假资料（分层练习）
【作业批改】
学案检查+练习批改
121=256-=2
12±=4
3=2
(3)-=1
2
4
-=2511
1
25
2
(4)-81x 2
1431x -=2
410x -=24(2)25x +=。
