四川省泸县第一中学高2020届高2017级高三三诊模拟考试文科数学试题及参考答案解析

四川省泸州市泸县第一中学2020届高三数学三诊模拟试题文一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合，则等于A． B． C． D．2．已知是虚数单位，复数的共轭复数虚部为A． B． C． D．3．在等差数列中，前项和满足，则的值是A．5 B．7 C．9 D．34．军训时，甲、乙两名同学进行射击比赛，共比赛10场，每场比赛各射击四次，且用每场击中环数之和作为该场比赛的成绩．数学老师将甲、乙两名同学的10场比赛成绩绘成如图所示的茎叶图，并给出下列4个结论：（1）甲的平均成绩比乙的平均成绩高；（2）甲的成绩的极差是29；（3）乙的成绩的众数是21；（4）乙的成绩的中位数是18．则这4个结论中，正确结论的个数为A．1 B．2 C．3 D．45．已知向量，若间的夹角为，则A． B． C. D．6．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则A． B． C. D．07.如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为A.2B.C.6D.88.学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为A． B． C． D．9.设变量满足约束条件若目标函数取得最大值时的最优解不唯一，则实数a的值为A. B. C.或 D.或10.已知点F是双曲线 (a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是A. B. C. D.11．点，，，在同一个球面上，，，若球的表面积为，则四面体体积的最大值为A． B． C． D．12．若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是A．（，） B．（， C．，） D．（，）第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知函数是奇函数，且当时，则的值是．14．若，则的值是．15. 在锐角中，角的对边分别为，已知,，则的面积为．16. 已知是抛物线的焦点，为抛物线上的动点，且的坐标为，则的最小值是_____．三．解答题：共70分。

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为，所以，应选答案A。

2. 复数（其中是虚数单位）的虚部为（）A. 1B.C.D. -1【答案】C【解析】因为，所以复数的虚部是，应选答案C。

3. 已知等比数列的公比，，则其前3项和的值为（）A. 24B. 28C. 32D. 16【答案】B【解析】由题意可知，则，前项和，应选答案B。

4. 已知平面向量，，则的值是（）A. 1B. 5C.D.【答案】B【解析】由题意可知，则，应选答案B。

5. 某研究机构对儿童记忆能力和识图能力进行统计分析，得到如下数据：记忆能力识图能力由表中数据，求得线性回归方程，若某儿童的记忆能力为12时，则他的识图能力约为（）A. 9.2 B. 9.8 C. 9.8 D. 10【答案】C【解析】将代入可得，解之得，所以，应选答案C。

6. 已知抛物线的焦点为，过点且倾斜角为的直线与抛物线的准线交于点，则线段的长为（）A. 10B. 6C. 8D. 4【答案】D【解析】由题意可知，直线，令得，即点，所以，应选答案D。

点睛：本题的求解思路是先建立直线的方程，再将其与抛物线的方程联立求得中点坐标，借助题设求得点，借助抛物线的定义求得，结合题设中的答案，选择出正确答案B。

7. 已知函数（）的图象沿轴向左平移个单位后关于轴对称，则函数的一条对称轴是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知函数（）的图象沿轴向左平移个单位后可得，令可得，即，即，注意到，所以，则，由于，所以是其一条对称轴，应选答案B。

点睛：本题的求解思路是先建立直线的方程，再将其与抛物线的方程联立求得中点坐标，借助题设求得点，借助抛物线的定义求得，结合题设中的答案，选择出正确答案B。

8. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列命题中正确的是（）A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则【答案】B【解析】试题分析：B正确，如果一条直线垂直一个平面，那么平行它的直线也跟这个平面垂直.考点：空间点线面位置关系.9. 我国古代数学典籍《九章算术》“盈不足”中有一道两鼠穿墙问题：“今有堩（音gèng，意为道路）厚十尺，两鼠对穿，初日各一尺，大鼠目自倍，小鼠日自半，问几何日相逢？”现有程序框图描述，如图所示，则输出结果的值为（）A. 4B. 5C. 2D. 3【答案】A【解析】当时，，此时；当时，，此时；当时，，此时；当时，，运算程序结束，此时输出，应选答案B。

2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2﹣1≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，0） B ．[﹣1，0） C ．（﹣2，1） D ．[﹣1，1]2．若2i z=1﹣i ，则z ＝（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i3．已知点A （2，0），动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0，则|PA |的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．44．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（ ） A ．每天新增疑似病例的中位数为2B ．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C ．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D ．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日5．已知曲线f （x ）＝e x +1（其中e 为自然对数的底数）在点（0，f （0））处的切线为l ，命题p ：点（1，3）在直线l 上，命题q ：点（﹣1，2）在直线l 上，则下列命题正确的是（ ）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）6．函数f（x）=3cosx+1x的部分图象大致是（）A．B．C．D．7．等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若a7＝3a4，则S10a4值为（）A．15B．20C．25D．408．函数f（x）是定义在[m﹣2，m]上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（m）的值为（）A．2B．﹣2C．23D．−239．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列命题中正确的是（）A．AC与B1C相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直10．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+l）＝f（l﹣x），且当x≥1时，f（x）是增函数，则a＝f（log32），b＝f（﹣log√312），c＝f（√3）的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c11．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C的准线交于点M，若AB→+AM→=0→，则|AB|的值等于（）A．34p B．2p C．3p D．94p12．已知曲线C：f(x)=sin(4x+π3)，把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，关于g（x）有下述四个结论：（1）函数g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数；（2）当x1，x2∈(−3π4，−π12)，且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），则g(x1+x2)=√32；（3）函数m(x)=g(x−π6)+2g(12x−π6)（其中x∈（0，2π））的最小值为−3√32．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量a→与b→满足a→•b→=−2，且a→•（a→+2b→）＝5，则|a→|＝．14．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若a4=18，S3﹣a1=34，则该数列的公比为．15．已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣2ym＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M的面积为16，则m的值是．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别 选择物理选择历史 总计 男生 50 m 女生 30 n 总计200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由． 附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +d +c +d ．P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82818．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +2b ＝2c cos A ． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√3，求c ．19．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的侧面SAD 是正三角形，AB ∥CD ，且AB ⊥AD ，AB ＝2CD ＝4，E 是SB 中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面SAD ；（Ⅱ）若平面SAD ⊥平面ABCD ，且SB =4√2，求多面体SACE 的体积．20．已知椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，过点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的弦长为1． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx +m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD |的最小值．21．已知函数f （x ）＝x ﹣1+axlnx （a ∈R ）． （Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）函数g （x ）＝m （x +1）+f （x ），当0＜a ≤1时，g （x ）≥0恒成立，求整数m 的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC 心形线．如果以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC 心形线的极坐标方程为ρ√1−|cosθ|sinθ=1． （Ⅰ）求RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P （0，2）与直线l ：{x =−3my =2+4m （m 为参数），若直线l 与RC 心形线交于两点M ，N ，求|PM ||PN |的值．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分） 23．已知f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|的最小值为m ． （I ）求m 的值；（II ）当a +b +c =m3时，证明：（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．参考答案一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}，B ＝{x |x 2﹣1≤0}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣2，0）B ．[﹣1，0）C ．（﹣2，1）D ．[﹣1，1]【分析】求出集合A ，B ，由此能求出A ∩B ． 解：∵集合A ＝{x |﹣2＜x ＜0}， B ＝{x |x 2﹣1≤0}＝{x |﹣1≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝{x |﹣1≤x ＜0}＝[﹣1，0）． 故选：B ． 2．若2i z=1﹣i ，则z ＝（ ）A ．1+iB ．1﹣iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 解：由2i z=1﹣i ，得z =2i 1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i ，故选：D ．3．已知点A （2，0），动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0，则|PA |的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．√2D ．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．解：作出动点P （x ，y ）满足{x −y ≤0y ≥0对应的平面区域，由图象可知点A 到直线y ＝x 的距离最小， 此时d =2=√2， 即|PA |的最小值为√2， 故选：C ．4．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日【分析】根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案解：对于A，每天新增疑似病例依次为0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，5，则中位数为2，故A正确；对于B，由统计知识得样本容量为18，故B正确；对于C，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例有4月21日、23日、24日、25日、26日、27日、29日、30日、5月1日、2日、3日、4日、5日，共13天，故C正确；对于D，样本应该是4月18日至5月5日每天新增确诊病例人数，故D错误；故选：D．5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【分析】先求出函数f（x）＝e x+1的导数，然后求出切线方程，再分别判断命题p和q 的真假，进一步结合选项得到答案即可．解：由f（x）＝e x+1，得f'（x）＝e x，∴曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线斜率k＝f'（0）＝1，又f（0）＝2，曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+2，当x＝1时，y＝3，故命题p是真命题，当x＝﹣1时，y＝1，命题q是假命题，∴结合选项可知p∧（￢q）为真命题．故选：A．6．函数f（x）=3cosx+1x的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的性质采用排除法．解：因为f（﹣x）=3cos(−x)+1−x=−f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除D，又当x 小于0趋近于0时，f （x ）＜0，故排除B ， 又f （﹣π）=3cos(−π)+1−π=2π＞0，据此排除C ．故选：A ．7．等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若a 7＝3a 4，则S 10a 4值为（ ） A ．15B ．20C ．25D ．40【分析】a 7＝3a 4，可得a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=−32d ．d ≠0．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出S 10a 4．解：∵a 7＝3a 4，∴a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=−32d ．d ≠0．则S 10a 4=10a 1+10×92d a 1+3d=5(−3d+9d)−32d+3d =20，故选：B ．8．函数f （x ）是定义在[m ﹣2，m ]上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （m ）的值为（ ） A ．2B ．﹣2C ．23D ．−23【分析】由已知奇函数的定义域关于原点对称可求m ，然后结合已知函数解析式及奇函数的性质代入可求．解：由奇函数的定义域关于原点对称可得，m ﹣2+m ＝0即m ＝1，∵当x ＜0时，f （x ）＝3x ﹣1，则f （m ）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣（13−1）=23．故选：C ．9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列命题中正确的是（ ）A ．AC 与B 1C 相交直线且垂直 B ．AC 与A 1D 是异面直线且垂直 C ．BD 1与BC 是相交直线且垂直D ．AC 与BD 1是异面直线且垂直【分析】分别求出AC 与B 1C 、AC 与A 1D 、BD 1与BC 所成角判断A 、B 、C 错误；证明AC 与BD 1垂直判断D 正确． 解：如图，连接AB 1，可得△AB 1C 为正三角形，可得AC 与B 1C 是相交直线且成60°角，故A 错误；∵A 1D ∥B 1C ，∴AC 与A 1D 是异面直线且成60°角，故B 错误； BD 1与BC 是相交直线，所成角为∠D 1BC ，其正切值为√2，故C 错误；连接BD ，可知BD ⊥AC ，则BD 1⊥AC ，可知AC 与BD 1是异面直线且垂直，故D 正确． 故选：D ．10．定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （x +l ）＝f （l ﹣x ），且当x ≥1时，f （x ）是增函数，则a ＝f （log 32），b ＝f （﹣log √312），c ＝f （√3）的大小关系正确的是（ ） A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】根据题意，函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 392），b ＝f （log 34），c ＝f （log 33√3），只要分析清楚3√3，92，4大小，即可得出结论．解：根据题意，函数f （x ）满足f （x +l ）＝f （l ﹣x ），即函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，若当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数； a ＝f （log 32）＝f （2﹣log 32）＝f （log 392）b ＝f （﹣log √312）＝f （log √32）＝f （3log √3）＝f （2log 32）＝f （log 34），c ＝f （√3）＝f （log 33√3），因为32＞23所以3＞21.5＞2√2，两边取对数ln 3＞1.5ln 2＞√2ln 2， 所以ln3ln2＞1.5＞√2，所以√2ln 3＞2ln 2， 所以3√2＞4， 所以3√3＞3√2＞4，要分析3√3与92大小，只需确定√3ln 3与ln 92的大小，也就是√3ln 3与2ln 3﹣ln 2的大小，即ln 2与2ln 3−√3ln 3＝（2−√3）ln 3的大小， 需分析2−√3与ln3ln2的大小，而2−√3=2+√3，ln3ln2=log 23∈（1，2），所以2+√3＞log 23， 所以3√3＞92，所以3√3＞92＞4，所以log 33√3＞log 392＞log 34＞1，所以f （log 33√3）＞f （log 392）＞f （log 34），所以c ＞a ＞b ， 故选：C ．11．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，与C 的准线交于点M ，若AB →+AM →=0→，则|AB |的值等于（ ） A ．34pB ．2pC ．3pD ．94p【分析】由AB →+AM →=0→可得A 为MB 的中点，根据抛物线的性质和相似三角形性质数形结合即可求解解：因为AB →+AM →=0→，可得A 为BM 的中点，则AA′BB′=12，设|AF |＝t ，则|AA ′|＝|AF |＝t ， |BB ′|＝|BF |＝2t ，故|FF′||BB′|=p2t=4t6t，即有t=34p，所以|AB|＝|AF|+|BF|＝3t＝3×34p=94p，故选：D．12．已知曲线C：f(x)=sin(4x+π3)，把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，关于g（x）有下述四个结论：（1）函数g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数；（2）当x1，x2∈(−3π4，−π12)，且x1≠x2时，g（x1）＝g（x2），则g(x1+x2)=√32；（3）函数m(x)=g(x−π6)+2g(12x−π6)（其中x∈（0，2π））的最小值为−3√32．其中正确结论的个数为（）A．1B．2C．3D．0【分析】利用函数图象的伸缩变换求得g（x）．由x的范围求得2x+π3的范围判断（1）；求出函数在给出定义域内的对称轴方程，得到x1+x2的值，进一步求出g（x1+x2）判断（2）；求出函数m（x），利用导数求最值判断（3）．解：曲线C：f（x）＝sin（4x+π3）．把C上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g（x）的图象，则g（x）＝sin（2x+π3）．（1）当x∈(−1112π，−512π)时，2x+π3∈(−3π2，−π2)，则g（x）在(−1112π，−512π)上是减函数，故（1）正确；（2）当x∈(−3π4，−π12)时，2x+π3∈(−7π6，π6)，由2x+π3=−π2，得一条对称轴方程为x =−5π12． 又x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），∴x 1+x 2=−5π6， 则g （x 1+x 2）＝g （−5π6）＝sin （−5π3+π3）＝﹣sin 4π3=√32，故（2）正确； （3）m(x)=g(x −π6)+2g(12x −π6)=sin[2（x −π6）+π3]+2sin[2（12x −π6）+π3]＝sin2x +2sin x ，x ∈（0，2π）．则m ′（x ）＝2cos2x +2cos x ＝2（2cos 2x +cos x ﹣1）＝2（cos x +1）（2cos x ﹣1）， 令m ′（x ）＝0，解得x =π3或x =5π3或x ＝π， 可得m （x ）在（0，π3），（5π3，2π）上单调递增，在（π3，5π3）上单调递减．∴当x =5π3时f （x ）取得最小值为sin 10π3+2sin 5π3=−3√32，故（3）正确． ∴正确命题的个数是3个． 故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上） 13．已知平面向量a →与b →满足a →•b →=−2，且a →•（a →+2b →）＝5，则|a →|＝ 3 ． 【分析】a →•（a →+2b →）可整理为|a →|2﹣4＝5，解得即可．解：a →•（a →+2b →）＝|a →|2+2a →⋅b →=|a →|2﹣4＝5，解得|a →|2＝9，所以|a →|＝3， 故答案为：3．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为12．【分析】利用等比数列通项公式、前n 项和公式列出方程组，能求出该数列的公比． 解：∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=18，S 3﹣a 1=34， ∴q ＞0，且q ≠1， ∴{a 1q 3=18a 1(1−q 3)1−q−a 1=34，由q ＞0，解得该数列的公比q =12． 故答案为：12．15．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2﹣2ym ＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M 的面积为16，则m 的值是 4 ．【分析】化双曲线方程为标准方程，得到双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点坐标，再由三角形面积公式求解． 解：由双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0），得x 2m−y 2m=1，∴a ＝b =√m ，双曲线的渐近线方程为y ＝±x ，圆x 2+y 2﹣2ym ＝0化为x 2+（y ﹣m ）2＝m 2， 如图：联立{y =x x 2+y 2−2ym =0，解得B （m ，m ），同理解得A （﹣m ，m ）．∴几何图形M 的面积为12×2m ×m =m 2=16，即m ＝4（m ＞0）． 故答案为：4．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为 √6π8．【分析】由题意画出图形，可得焊接成的正三棱锥的所有棱长都为1，然后放置在棱长为√22的正方体中，求出正方体的对角线长，进一步得到外接球的半径，代入球的体积公式得答案． 解：如图，分别取AB ，BC ，AC 的中点D ，E ，F ，连接DE ，EF ，DF ，沿DE ，EF ，DF ，剪开，把三角形DEF 作为底面， 可得正三棱锥P ﹣DEF ，则三棱锥P ﹣DEF 的所有棱长相等，等于1． 把P ﹣DEF 放置在棱长为√22的正方体中， 则正方体的外接球即为该三棱锥外接球．外接球的半径为12√(√22)2+(√22)2+(√22)2=√64．则该三棱锥外接球的体积为43π×(√64)3=√68π．， 故答案为：√6π8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 m 女生3060n总计90 110 200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +d +c +d ． P （K 2≥k 0）0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据分层抽样得到抽取的200名学生中女生人数和男生人数，即为m ，n 的值；（Ⅱ）根据题目所给的数据填写2×2列联表计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（Ⅰ）因为高一年级有2000名学生，其中女生900人，所以采用分层抽样的方法抽取的200名学生中女生人数为：9002000×200=90人，男生200﹣90＝110人，所以m ＝110，n ＝90；（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 110 女生 30 60 90 总计90110200则K 的观测值：K 2=200×(60×60−50×30)2110×90×90×110≈8.999，由于8.999＞7.879，∴有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a +2b ＝2c cos A ． （Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√3，求c ．【分析】（Ⅰ）结合正弦定理和a +2b ＝2c cos A ，将边化为角，得sin A +2sin B ＝2sin C cos A ，再结合A +B +C ＝π与正弦的两角和公式化简可得cosC =−12，由于C ∈（0，π），所以C =2π3；（Ⅱ）S△ABC=12absinC=12×1×b×sin2π3=√3，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C代入已知数据进行运算即可得解．解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin A+2sin B＝2sin C cos A，而sin B＝sin（A+C）＝sin A cos C+cos A sin C，所以sin A+2sin A cos C＝0，又因为sin A≠0，所以cosC=−1 2，由于C∈（0，π），所以C=2π3．（Ⅱ）因为△ABC的面积为√3，所以S△ABC=12absinC=12×1×b×sin2π3=√3，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C=1+16−2×1×4×cos 2π3=21，故c=√21．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD ＝4，E是SB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且SB=4√2，求多面体SACE的体积．【分析】（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，证明四边形EFDC是平行四边形，得出EC ∥FD，CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，证明SG⊥平面ABCD，求出点E到平面ABCD的距离，计算多面体SACE的体积．解：（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，因为E是SB中点，所以EF∥AB，且AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥DC，EF＝DC，即四边形EFDC是平行四边形，所以EC∥FD，又因为EC⊄平面SAD，FD⊂平面SAD，所以CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，因为SAD是正三角形，所以SG⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以SG⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，所以AB⊥SA，故SA=√SB2−AB2=4，SG=2√3，因为E是SB中点，所以点E到平面ABCD的距离等于12 SG，所以多面体SACE的体积为：V SACE＝V S﹣ABCD﹣V S﹣ACD﹣V E﹣ABC=13S ABCD⋅SG−13S△ACD⋅SG−13S△ABC⋅12SG =13×2√3(2+42×4−12×4×2−12×4×4×12) =8√33．20．已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx +m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD |的最小值．【分析】（Ⅰ）通过离心率以及通径，求解a ，b ，然后求出椭圆方程． （Ⅱ）把y ＝kx +m （k ＞0）代入x 24+y 2=1得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），利用韦达定理设出M ，N ，利用|CM |＝|DN |，结合y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，求出CD ，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题可知：e =c a =√32=√1−b 2a2，2b2a =1， 所以a ＝2，b ＝1， 则椭圆E 的方程为x 24+y 2=1；（Ⅱ）把y ＝kx +m （k ＞0）代入x 24+y 2=1得（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2﹣4＝0，设D （x 1，y 1），C （x 2，y 2），则x 1+x 2=−8km 1+4k2，x 1x 2=4m 2−41+4k2，又M(−mk ，0)，N （0，m ），因|CM |＝|DN |，所以x M ﹣x 1＝x 2﹣x N ，即x M +x N ＝x 1+x 2， 所以−8km 1+4k2=−mk ，因为y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ， 所以m ≠0，又k ＞0， 则k =12，故x 1+x 2＝﹣2m ，x 1x 2=2m 2−2，因为直线y ＝kx +m （k ＞0）与线段F 1F 2及椭圆的短轴分别交于不同两点，所以−√3≤−2m ≤√3，即−√32≤m ≤√32，且m ≠0，所以|CD|=√1+k 2|x 1−x 2|=√52√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√52√(−2m)2−4(2m 2−2)=√5(2−m 2)，因为−√32≤m ≤√32，且m ≠0，所以当m=√32或m=−√32时，|CD|的最小值为52．21．已知函数f（x）＝x﹣1+axlnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）函数g（x）＝m（x+1）+f（x），当0＜a≤1时，g（x）≥0恒成立，求整数m 的最小值．【分析】（Ⅰ）求导，然后分a＝0，a＞0及a＜0三种情况讨论f′（x）＞0的解集即可得出结论；（Ⅱ）问题等价于m≥1−axlnx−xx+1在x＞0且0＜a≤1上恒成立，令h(x)=1−axlnx−xx+1，当x≥1时，易知只需m≥0，当0＜x＜1时，通过放缩思想可知只需m(1+1x)+lnx−1x+1≥0，构造函数p(x)=m(1+1x)+lnx−1x+1，然后分m≥2，m＝1及m＝0讨论即可得出答案．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f′（x）＝1+alnx+a＝a（lnx+1）+1，当a＝0时，f（x）＝x﹣1，故函数的单调递增区间为（0，+∞）；当a＞0时，由f′（x）＞0得x＞e−1a−1，故函数f（x）的单调递增区间为(e−1a−1，+∞)；当a＜0时，由f′（x）＞0得0＜x＜e−1a−1，故函数f（x）的单调递增区间为(0，e−1a−1)；（Ⅱ）因为g（x）≥0，则m（x+1）+axlnx+x﹣1≥0，因为x＞0，所以m≥1−axlnx−xx+1，令h(x)=1−axlnx−xx+1，（i）当x≥1时，因为0＜a≤1，则﹣axlnx≤0，因此1﹣x﹣axlnx≤0，故只需m≥0；（ii）当0＜x＜1时，因为0＜a≤1，则﹣axlnx≤﹣xlnx，所以h(x)≤1−xlnx−xx+1≤m，即m(1+1x)+lnx−1x+1≥0，构造函数p(x)=m(1+1x)+lnx−1x+1，则p′(x)=x−m+1x2，当m≥2时，p（x）在（0，1）上递减，p（x）min＝p（1）＝2m＞0；当m＝1时，p（x）＝lnx+2，则p(13)=−3+2=−1＜0，不合题意；当m＝0时，p(x)=lnx−1x+1，则p(1e)=−e＜0，不合题意；综上可知，整数m的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC 心形线．如果以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC 心形线的极坐标方程为ρ√1−|cosθ|sinθ=1．（Ⅰ）求RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P （0，2）与直线l ：{x =−3m y =2+4m（m 为参数），若直线l 与RC 心形线交于两点M ，N ，求|PM ||PN |的值．【分析】（Ⅰ）把已知等式两边平方，对θ分类去绝对值，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得RC 心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）化直线的参数方程为普通方程，可知直线与RC 心形线右侧相交，化直线方程为参数方程的标准形式，代入RC 心形线的直角坐标方程，化为关于t 的一元二次方程，利用根与系数的关系求|PM ||PN |的值．解：（Ⅰ）由ρ√1−|cosθ|sinθ=1，得ρ2（1﹣|cos θ|sin θ）＝1，①当θ∈[−π2，π2]时，①化为ρ2﹣ρ2cos θsin θ＝1，即x 2+y 2﹣xy ＝1（x ≥0）； 当θ∈（π2，3π2）时，①化为ρ2+ρ2cos θsin θ＝1，即x 2+y 2+xy ＝1（x ＜0）．综上，RC 心形线的直角坐标方程为x 2+y 2﹣|x |y ＝1；（Ⅱ）由直线l ：{x =−3m y =2+4m（m 为参数），消去参数m ，可得4x +3y ﹣6＝0． 化为{x =−35t y =2+45t （t 为参数），代入x 2+y 2﹣xy ＝1（x ≥0）， 得3725t 2+2225t +3=0．设M 、N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1t 2=7537． ∴|PM ||PN |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|=7537．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|的最小值为m ．（I ）求m 的值；（II ）当a +b +c =m 3时，证明：（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163． 【分析】（Ⅰ）写出分段函数解析式，作出图象，由图可得函数的最小值m ； （Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m 值代入a +b +c =m 3，得a +b +c ＝1，然后利用柯西不等式证明（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163． 【解答】（Ⅰ）解：f （x ）＝|2x ﹣4|+|x +1|={−3x +3，x ≤−1−x +5，−1＜x ＜23x −3，x ≥2，作出该函数的图象如图：由图可知，函数的最小值m ＝3；（Ⅱ）证明：由柯西不等式可得：（1+1+1）[（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2]≥（a +1+b +1+c +1）2，∵a +b +c ＝1，∴（a +1）2+（b +1）2+（c +1）2≥163， 当且仅当a ＝b ＝c =13时取等号，∴（a +1）2+（b +l ）2+（c +l ）2≥163．。

成都2017届第三次高考模拟文科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在一次抛硬币实验中，甲、乙两人各抛一次硬币一次，设命题p 是“甲抛的硬币正面向上”，q 是“乙抛的硬币正面向上”，则命题“至少有一人抛的硬币是正面向下”可表示为（ ） A ．()()p q ⌝∨⌝ B ．()p q ∨⌝ C ．()()p q ⌝∧⌝ D ．()p q ⌝∨2.已知集合{}{}2|02,|10A x x B x x =<<=-<，则A B =U （ ） A ． ()1,1- B ．()1,2- C ．()1,2 D ．()0,1 3.若1122aii i+=++，则a =（ ） A ．5i -- B ．5i -+ C ．5i - D ． 5i +4.设()f x 是定义在R 上周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()2f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．14-B ． 12- C. 14 D ．125.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．3612π+B ．3616π+ C. 4012π+ D ．4016π+ 6.设D 为ABC ∆中BC 边上的中点，且O 为AD 边的中点，则（ ）A ．3144BO AB AC =-+u u u r u u u r u u u r B ． 1144BO AB AC =-+u u u r u u ur u u u rC. 3144BO AB AC =-u u u r u u u r u u u r D ．1124BO AB AC =--u u u r u u ur u u u r7.执行如图的程序框图，则输出x 的值是（ ）A ． 2016B ．1024 C.12D ．-1 8. 函数()()2sin 4cos 1f x x x =-g 的最小正周期是（ ） A ．23π B ． 43π C. π D ．2π 9. 等差数列{}n a 中的24030a a 、是函数()3214613f x x x x =-+-的两个极值点，则()22016log a =（ ）A ．2B ．3 C. 4 D ．510. 已知()00,P x y 是椭圆22:14x C y +=上的一点，12,F F 是C 的两个焦点，若120PF PF <u u u r u u u u r g ，则0x 的取值范围是（ ） A ．2626⎛ ⎝⎭ B ．2323⎛ ⎝⎭ C. 33⎛ ⎝⎭ D ．66⎛ ⎝⎭ 11. 已知函数()221f x x ax =-+对任意(]0,2x ∈恒有()0f x ≥成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．[]1,1- C. (],1-∞ D ．5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12.设集合()()()()()()2222436,|34,,|3455A x y x y B x y x y ⎧⎫⎧⎫=-+-==-+-=⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭，(){},|234C x y x y λ=-+-=，若()A B C φ≠U I ，则实数λ的取值范围是（ ） A ．25652⎤⎤⎥⎥⎣⎦⎣⎦U B ．25⎤⎥⎣⎦C. []2524,6⎤⎥⎣⎦U D ．{}652⎤⎥⎣⎦U第Ⅱ卷二、填空题：本大题共四小题，每小题5分13.已知向量1,2a b ==r r ，且()21b a b +=r r r g ，则向量,a b r r的夹角的余弦值为 ．14.若,m n 满足101040m n a m n n -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2u m n =-的取值范围是 ．15.直线1y kx =+与曲线3y x ax b =++相切于点()1,2A ，则b a -= .16.已知函数()11,112,1x x x f x x e x +⎧->⎪=-⎨⎪-≤⎩，若函数()()2h x f x mx =--有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是 ．三、解答题 （共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC ∆中，角,,A B C 所对应的边分别为,,a b c ，已知4B π=，cos cos20A A -=.（1）求角C ；（2）若222b c a bc +=-+，求ABC S ∆.18.某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家里和品种乙）进行田间实验.选取两大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙. （1）假设2n =，求第一大块地都种植品种甲的概率；（2）试验时每大块地分成8小块，即8n =，试验结束后得到的品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量（单位：2/kg hm ）如下表：品种甲 403 397 390 404 388 400 412 406 品种乙 419 403 412 418 408 423 400 413根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？ 19. 如图三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，1B C 的中点为O ，且AO ⊥平面11BB C C ．（1）证明：1B C AB ⊥；（2）若011,60AC AB CBB ⊥∠=，1BC =，求三棱柱111ABC A B C -的高．20.如图，椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直径交椭圆于,A B 两点.当直线AB 经过椭圆的一个顶点时，其倾斜角为60°.（1）求该椭圆的离心率；（2）设线段AB 的中点为G ，AB 的中垂线与x 轴和y 轴分别交于,D E 两点．记GFD ∆的面积为1S ，OED ∆（O 为原点）的面积为2S ，求12S S 的取值范围． 21. 已知函数()1ln f x x ax a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（,0a R a ∈≠且）． （1）讨论()f x 的单调区间；（2）若直线y ax =的图象恒在函数()y f x =图象的上方，求a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系下，知圆:cos sin O ρθθ=+和直线)2:sin 0,0242l πρθρθπ⎛⎫-=≥≤≤ ⎪⎝⎭． （1）求圆O 与直线l 的直角坐标方程；（2）当()0,θπ∈时，求圆O 和直线l 的公共点的极坐标． 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()2321f x x x =++-． （1）求不等式()5f x ≤的解集；（2）若关于x 的不等式()1f x m <-的解集非空，求实数m 的取值范围．试卷答案一、选择题1-5: ABDCC 6-10: ADAAA 11、12：CA二、填空题13. 4-14. 1,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15. 5 16. (]{}{},06m e ∈-∞-U U 三、解答题17. 解：（1）因为cos cos20A A -=，所以22cos cos 10A A --=，解得1cos 2=-，cos 1A =（舍去）． 所以23A π=，又4B π=，所以12C π=． （2）因为23A π=，所以222222cos a b c bc A b c bc =+-=++，又222b c a bc +=-+， 所以22a a =+，所以2a =，又因为sin sinsin 1234C πππ⎛⎫==-=⎪⎝⎭，由sin sin c a C A =得3c =，所以1sin 123ABC S ac B ∆==-g ．18.解：（1）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，令事件A = “第一大块地都种品种甲”．从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；()()()1,2,1,3,1,4，()2,3，()2,4，()3,4．而事件A 包含1个基本事件：()1,2．所以()16P A =； （2）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14033973904043884004124064008x =+++++++=甲， ()()()()2222222213310412012657.258S =+-+-++-+++=甲， 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：()14194034124184084234004134128x =+++++++=乙， ()()()()22222222217906411121568S =+-+++-++-+=乙， 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙．19.解：（1）连接1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥． 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，故1B C ⊥平面ABO ．由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥． （2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连接AD ．作OH AD ⊥，垂足为H ．由于BC AO ⊥，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥．又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC ，因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得OD =．由于1AC AB ⊥，所以11122OA B C ==．由OH AD OD OA =g g ，且4AD ==，得14OH =．又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为7故三棱柱111ABC A B C -的距离为7． 20.解：（1）由题意，当直线AB 经过椭圆的顶点()0,b 时，其倾斜角为60°．设(),0F c -，则0tan 60b c ==222a b c -=，所以2a c =．所以椭圆的离心率为12c e a ==． （2）由（1）知，椭圆的方程可表示为2222143x y c c+=．设()()1122,,,A x y B x y ．根据题意，设直线AB 的方程为()y k x c =+，将其带入2223412x y c +=，整理得()2222224384120k x ck x k c c +++-=，则()21212122286,24343ck ckx x y y k x x c k k -+=+=++=++，22243,443ck ck G kk ⎛⎫- ⎪+⎝⎭． 因为GD AB ⊥，所以2223431443Dckk k ck x k +⨯=---+，2243D ck x k -=+．因为GFD OED ∆∆:，所以2122299GD S S k OD ==+，由题意，()0,k ∈∞，∴()290,k ∈∞，所以12S S 的取值范围是()9,+∞． 21.解：（1）()f x 的定义域为1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，且()2111a x f x a ax x a'=-=-++． ①当0a <时，∵1x a >-，∴1ax <-，∴()0f x '>，函数在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭是增函数； ②当0a >时，10ax +>，在区间1,0a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上，()0f x '>；在区间()0,+∞上，()0f x '<． 所以()f x 在区间1,0a ⎛⎫-⎪⎝⎭上是增函数；在区间()0,+∞上是减函数． （2）当0a <时，取1x e a=-，则1111201f e a e ae ae a e a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=->>-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不合题意．当0a >时，令()()h x ax f x =-，则()12ln h x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭． 问题转化为()0h x >恒成立时a 的取值范围．由于()1212211a x a h x a x x a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭'=-=++，所以在区间11,2a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上，()0h x '<；在区间1,2a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上，()0h x '>．所以()h x 的最小值为12h a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以只需102h a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即1112ln 022a a a a ⎛⎫⎛⎫---+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭g ，所以1ln12a <-，所以2ea >． 22.解：（1）圆:cos sin O ρθθ=+，即2cos sin ρρθρθ=+，故圆O 的直角坐标方程为：220x y x y +--=，直线:sin 4l πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭sin cos 1ρθρθ-=，则直线的直角坐标方程为：10x y -+=．（2）由（1）知圆O 与直线l 的直角坐标方程，将两方程联立得22010x y x y x y ⎧+--=⎨-+=⎩解得01x y =⎧⎨=⎩．即圆O 与直线l 的在直角坐标系下的公共点为()0,1，转化为极坐标为1,2π⎛⎫⎪⎝⎭． 23.解：（1）原不等式为：23215x x ++-≤， 当32x ≤-时，原不等式可转化为425x --≤，即7342x -≤≤-； 当3122x -<<时，原不等式可转化为45≤恒成立，所以3122x -<<； 当12x ≥时，原不等式可转化为425x +≤，即1324x ≤≤． 所以原不等式的解集为73|44x x ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭． （2）由已知函数()342,2314,22142,2x x f x x x x ⎧--≤-⎪⎪⎪=-<<⎨⎪⎪+≥⎪⎩，可得函数()y f x =的最小值为4，所以24m ->，解得6m >或2m <-．。

2020年高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．[﹣1，0）C．（﹣2，1）D．[﹣1，1]2．若2??=1﹣i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．已知点A（2，0），动点P（x，y）满足{-??≤??≥??，则|PA|的最小值为（）A．1B．2C．√??D．44．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）6．函数f（x）=3+1的部分图象大致是（）A．B．C．D．7．等差数列{a n}的公差不为零，其前n项和为S n，若a7＝3a4，则104值为（）A．15B．20C．25D．408．函数f（x）是定义在[m﹣2，m]上的奇函数，当x＜0时，f（x）＝3x﹣1，则f（m）的值为（）A．2B．﹣2C．23D．-239．正方体ABCD﹣A1B1C1D1，下列命题中正确的是（）A．AC与B1C相交直线且垂直B．AC与A1D是异面直线且垂直C．BD1与BC是相交直线且垂直D．AC与BD1是异面直线且垂直10．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x+l）＝f（l﹣x），且当x≥1时，f（x）是增函数，则a＝f（log32），b＝f（﹣log√12），c＝f（√）的大小关系正确的是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．b＞a＞c11．已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l交C于A，B两点，与C 的准线交于点M ，若→+→=??→，则|AB |的值等于（）A ．34B ．2pC ．3pD ．94??12．已知曲线：??(??)=(????+3)，把C 上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，关于g （x ）有下述四个结论：（1）函数g （x ）在(-1112??，-512??)上是减函数；（2）当，????∈(-3??4，-??12)，且x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），则(??+????)=√32；（3）函数()=??(??-6)+(12??-??6)（其中x ∈（0，2π））的最小值为-3√32．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量→与→满足??→???→=-2，且??→?（??→+2??→）＝5，则|??→|＝．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为．15．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝m （m ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2﹣2ym ＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M 的面积为16，则m 的值是．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别选择物理选择历史总计男生50m 女生30n 总计200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a+d+c+d ．P （K 2≥k 0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k 02.7063.8415.0246.6357.87910.82818．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+2b ＝2ccosA ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√，求c ．19．如图，四棱锥S ﹣ABCD 的侧面SAD 是正三角形，AB ∥CD ，且AB ⊥AD ，AB ＝2CD＝4，E 是SB 中点．（Ⅰ）求证：CE ∥平面SAD ；（Ⅱ）若平面SAD ⊥平面ABCD ，且=??√??，求多面体SACE 的体积．20．已知椭圆??：22+??22=??(??＞??＞??)的左右焦点为F 1，F 2，离心率为√32，过点F 2且垂直于x 轴的直线被椭圆E 截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线y ＝kx+m （k ＞0）交椭圆E 于点C ，D 两点，与线段F 1F 2和椭圆短轴分别交于两个不同点M ，N ，且|CM |＝|DN |，求|CD|的最小值．21．已知函数f（x）＝x﹣1+axlnx（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；（Ⅱ）函数g（x）＝m（x+1）+f（x），当0＜a≤1时，g（x）≥0恒成立，求整数m 的最小值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC心形线．如果以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为ρ√??-||=1．（Ⅰ）求RC心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P（0，2）与直线l：{=-=??+（m为参数），若直线l与RC心形线交于两点M，N，求|PM||PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|的最小值为m．（I）求m的值；（II）当a+b+c=3时，证明：（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．参考答案一、选择题：本大题共有12个小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2﹣1≤0}，则A∩B＝（）A．（﹣2，0）B．[﹣1，0）C．（﹣2，1）D．[﹣1，1]【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜0}，B＝{x|x2﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝{x|﹣1≤x＜0}＝[﹣1，0）．故选：B．2．若2??=1﹣i，则z＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i 【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由2??=1﹣i，得z=2??1-??=2??(1+??)(1-??)(1+??)=-??+??，故选：D．3．已知点A（2，0），动点P（x，y）满足{-??≤??≥??，则|PA|的最小值为（）A．1B．2C．√??D．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用点到直线的距离公式即可得到结论．解：作出动点P（x，y）满足{-??≤??≥??对应的平面区域，由图象可知点A到直线y＝x的距离最小，此时d=2√2=√??，即|PA|的最小值为√??，故选：C．4．新冠肺炎疫情暴发以来，在以习近平同志为核心的党中央领导下，全党全军全国各族人民众志成城，共克时艰，疫情防控取得了阶段性成效，彰显了中国特色社会主义制度的优越性．下面的图表给出了4月18日至5月5日全国疫情每天新增病例的数据统计情况．下列说法中不正确的是（）A．每天新增疑似病例的中位数为2B．在对新增确诊病例的统计中，样本容量为18C．每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例的天数为13天D．在对新增确诊病例的统计中，样本是4月18日至5月5日【分析】根据折线图以及相关统计信息逐一分析即可得到答案解：对于A，每天新增疑似病例依次为0，0，0，0，1，1，2，2，2，2，2，2，3，3，3，3，3，5，则中位数为2，故A正确；对于B，由统计知识得样本容量为18，故B正确；对于C，每天新增确诊与新增疑似病例之和不超过20例有4月21日、23日、24日、25日、26日、27日、29日、30日、5月1日、2日、3日、4日、5日，共13天，故C正确；对于D，样本应该是4月18日至5月5日每天新增确诊病例人数，故D错误；故选：D．5．已知曲线f（x）＝e x+1（其中e为自然对数的底数）在点（0，f（0））处的切线为l，命题p：点（1，3）在直线l上，命题q：点（﹣1，2）在直线l上，则下列命题正确的是（）A．p∧（￢q）B．（￢p）∧q C．（￢p）∨q D．（￢p）∧（￢q）【分析】先求出函数f（x）＝e x+1的导数，然后求出切线方程，再分别判断命题p和q 的真假，进一步结合选项得到答案即可．解：由f（x）＝e x+1，得f'（x）＝e x，∴曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线斜率k＝f'（0）＝1，又f（0）＝2，曲线f（x）＝e x+1在点（0，f（0））处的切线方程为y＝x+2，当x＝1时，y＝3，故命题p是真命题，当x＝﹣1时，y＝1，命题q是假命题，∴结合选项可知p∧（￢q）为真命题．故选：A．6．函数f（x）=3+1的部分图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据函数的性质采用排除法．解：因为f（﹣x）=3(-??)+1-??=-f（x），所以函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除D，又当x 小于0趋近于0时，f （x ）＜0，故排除B ，又f （﹣π）=3(-??)+1-??=2??＞0，据此排除C ．故选：A ．7．等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若a 7＝3a 4，则104值为（）A ．15B ．20C ．25D ．40【分析】a 7＝3a 4，可得a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=-32d ．d ≠0．再利用通项公式求和公式代入化简即可得出104．解：∵a 7＝3a 4，∴a 1+6d ＝3（a 1+3d ），化为：a 1=-32d ．d ≠0．则104=10??1+10×９2????1+3??=5(-3??+9??)-32??+3??=20，故选：B ．8．函数f （x ）是定义在[m ﹣2，m]上的奇函数，当x ＜0时，f （x ）＝3x﹣1，则f （m ）的值为（）A ．2B ．﹣2C ．23D ．-23【分析】由已知奇函数的定义域关于原点对称可求m ，然后结合已知函数解析式及奇函数的性质代入可求．解：由奇函数的定义域关于原点对称可得，m ﹣2+m ＝0即m ＝1，∵当x ＜0时，f （x ）＝3x﹣1，则f （m ）＝f （1）＝﹣f （﹣1）＝﹣（13-??）=23．故选：C ．9．正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，下列命题中正确的是（）A ．AC 与B 1C 相交直线且垂直B ．AC 与A 1D 是异面直线且垂直C ．BD 1与BC 是相交直线且垂直D ．AC 与BD 1是异面直线且垂直【分析】分别求出AC 与B 1C 、AC 与A 1D 、BD 1与BC 所成角判断A 、B 、C 错误；证明AC 与BD 1垂直判断D 正确．解：如图，连接AB 1，可得△AB 1C 为正三角形，可得AC 与B 1C 是相交直线且成60°角，故A 错误；∵A 1D ∥B 1C ，∴AC 与A 1D 是异面直线且成60°角，故B 错误；BD 1与BC 是相交直线，所成角为∠D 1BC ，其正切值为√??，故C 错误；连接BD ，可知BD ⊥AC ，则BD 1⊥AC ，可知AC 与BD 1是异面直线且垂直，故D 正确．故选：D ．10．定义在实数集R 上的函数f （x ）满足f （x+l ）＝f （l ﹣x ），且当x ≥1时，f （x ）是增函数，则a ＝f （log 32），b ＝f （﹣log √??12），c ＝f （√）的大小关系正确的是（）A ．a ＞b ＞cB ．b ＞c ＞aC ．c ＞a ＞bD ．b ＞a ＞c【分析】根据题意，函数f （x ）的图象关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 392），b ＝f （log 34），c ＝f （log 33√），只要分析清楚3√，92，4大小，即可得出结论．解：根据题意，函数f （x ）满足f （x+l ）＝f （l ﹣x ），即函数f （x ）的图象关于直线x＝1对称，若当x ≥1时，f （x ）是增函数，则函数f （x ）在（﹣∞，1]上为减函数；a ＝f （log 32）＝f （2﹣log 32）＝f （log 392）b ＝f （﹣log √??12）＝f （√2）＝f （323√3）＝f （2log 32）＝f （log 34），c ＝f （√??）＝f （log 33√），因为32＞23所以3＞21.5＞2√??，两边取对数ln 3＞1.5ln 2＞√ln 2，所以32＞1.5＞√，所以√ln 3＞2ln 2，所以3√??＞4，所以3√??＞3√??＞4，要分析3√与92大小，只需确定√l n 3与ln 92的大小，也就是√ln 3与2ln3﹣ln 2的大小，即ln 2与2ln 3-√??ln 3＝（2-√??）ln 3的大小，需分析12-√3与32的大小，而12-√3=2+√??，32=log 23∈（1，2），所以2+√??＞log 23，所以3√＞92，所以3√??＞92＞4，所以log 33√＞log 392＞log 34＞1，所以f （log 33√）＞f （log 392）＞f （log 34），所以c ＞a ＞b ，故选：C ．11．已知点F 为抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点F 的直线l 交C 于A ，B 两点，与C 的准线交于点M ，若→+→=??→，则|AB |的值等于（）A ．34??B ．2pC ．3pD ．94??【分析】由→+→=??→可得A 为MB 的中点，根据抛物线的性质和相似三角形性质数形结合即可求解解：因为→+→=??→，可得A 为BM 的中点，则′′=12，设|AF |＝t ，则|AA ′|＝|AF |＝t ，|BB ′|＝|BF |＝2t ，故|′｜|′｜=??2??=4??6??，即有t =34p ，所以|AB |＝|AF |+|BF |＝3t ＝3×34p =94p ，故选：D ．12．已知曲线??：??(??)=(????+3)，把C 上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，关于g （x ）有下述四个结论：（1）函数g （x ）在(-1112，-512??)上是减函数；（2）当，????∈(-3??4，-??12)，且x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），则(+????)=√32；（3）函数()=??(??-6)+(12??-??6)（其中x ∈（0，2π））的最小值为-3√32．其中正确结论的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．0【分析】利用函数图象的伸缩变换求得g （x ）．由x 的范围求得2x+3的范围判断（1）；求出函数在给出定义域内的对称轴方程，得到x 1+x 2的值，进一步求出g （x 1+x 2）判断（2）；求出函数m （x ），利用导数求最值判断（3）．解：曲线C ：f （x ）＝sin （4x+3）．把C 上各点横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，则g （x ）＝sin （2x+3）．（1）当x ∈(-1112??，-512??)时，2x+3∈(-3??2，-??2)，则g （x ）在(-1112??，-512??)上是减函数，故（1）正确；（2）当x ∈(-3??4，-??12)时，2x +3∈(-7??6，??6)，由2x +??3=-??2，得一条对称轴方程为x =-5??12．又x 1≠x 2时，g （x 1）＝g （x 2），∴??+????=-5??6，则g （x 1+x 2）＝g （-5??6）＝sin （-5??3+??3）＝﹣sin 4??3=√32，故（2）正确；（3）()=??(??-6)+(12??-??6)=sin[2（x -6）+??3]+2sin[2（12??-??6）+??3]＝sin2x+2sin x ，x ∈（0，2π）．则m ′（x ）＝2cos2x+2cosx ＝2（2cos 2x+cosx ﹣1）＝2（cosx+1）（2cosx ﹣1），令m ′（x ）＝0，解得x=3或x =5??3或x ＝π，可得m （x ）在（0，3），（5??3，2π）上单调递增，在（??3，5??3）上单调递减．∴当x =5??3时f （x ）取得最小值为sin10??3+2sin5??3=-3√32，故（3）正确．∴正确命题的个数是3个．故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题纸上）13．已知平面向量→与→满足??→???→=-2，且??→?（??→+2??→）＝5，则|??→|＝3．【分析】→（??→+2→）可整理为|??→|2﹣4＝5，解得即可．解：→（??→+2→）＝|??→|2+2??→→=|??→|2﹣4＝5，解得|??→|2＝9，所以|→|＝3，故答案为：3．14．已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4=18，S 3﹣a 1=34，则该数列的公比为12．【分析】利用等比数列通项公式、前n 项和公式列出方程组，能求出该数列的公比．解：∵正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4=18，S 3﹣a 1=34，∴q ＞0，且q ≠1，∴{????=181(1-??3)1-??-??=34，由q ＞0，解得该数列的公比q =12．故答案为：12．15．已知双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0）的渐近线与圆x2+y2﹣2ym＝0有交点，若连接所有交点的线段围成的几何图形M的面积为16，则m的值是4．【分析】化双曲线方程为标准方程，得到双曲线的渐近线方程，与圆的方程联立，求得交点坐标，再由三角形面积公式求解．解：由双曲线C：x2﹣y2＝m（m＞0），得2-??2??=??，∴a＝b=√??，双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆x2+y2﹣2ym＝0化为x2+（y﹣m）2＝m2，如图：联立{=??+????-=??，解得B（m，m），同理解得A（﹣m，m）．∴几何图形M的面积为12××??=??=，即m＝4（m＞0）．故答案为：4．16．已知一块边长为2的正三角形铝板（如图），请设计一种裁剪方法，用虚线标示在图中，沿虚线裁剪，可焊接成一个正三棱锥（底面是正三角形且顶点在底面的射影在底面三角形的中心的三棱锥），且它的全面积与原三角形铝板的面积相等（不计焊接缝的面积），则该三棱锥外接球的体积为√6??8．【分析】由题意画出图形，可得焊接成的正三棱锥的所有棱长都为1，然后放置在棱长为√22的正方体中，求出正方体的对角线长，进一步得到外接球的半径，代入球的体积公式得答案．解：如图，分别取AB，BC，AC的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，沿DE，EF，DF，剪开，把三角形DEF作为底面，可得正三棱锥P﹣DEF，则三棱锥P﹣DEF的所有棱长相等，等于1．把P﹣DEF放置在棱长为√22的正方体中，则正方体的外接球即为该三棱锥外接球．外接球的半径为12√(√22)+(√22)??+(√22)??=√64．则该三棱锥外接球的体积为43×(√64)=√68??．，故答案为：√6??8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．某省从2021年开始，高考采用取消文理分科，实行“3+1+2”的模式，其中的“1”表示每位学生必须从物理、历史中选择一个科目且只能选择一个科目．某校高一年级有2000名学生（其中女生900人）．该校为了解高一年级学生对“1”的选课情况，采用分层抽样的方法抽取了200名学生进行问卷调查，如表是根据调查结果得到的2×2列联表．性别选择物理选择历史总计男生6050m女生3060n总计90110200（Ⅰ）求m ，n 的值；（Ⅱ）请你依据该列联表判断是否有99.5%的把握认为选择科目与性别有关？说明你的理由．附：K 2=(-)2(??+??)(??+??)(??+??)(??+??)，其中n ＝a+d+c+d ．P （K 2≥k 0）0.1000.0500.0250.0100.0050.001k 02.7063.8415.0246.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）根据分层抽样得到抽取的200名学生中女生人数和男生人数，即为m ，n的值；（Ⅱ）根据题目所给的数据填写2×2列联表计算K 的观测值K 2，对照题目中的表格，得出统计结论．解：（Ⅰ）因为高一年级有2000名学生，其中女生900人，所以采用分层抽样的方法抽取的200名学生中女生人数为：9002000×=90人，男生200﹣90＝110人，所以m ＝110，n ＝90；（Ⅱ）根据题目所给数据得到如下2×2的列联表：性别选择物理选择历史总计男生6050110女生306090总计90110200则K 的观测值：K 2=200×(60×60-50×30)2110×90×90×110≈8.999，由于8.999＞7.879，∴有99.5%的把握认为选择科目与性别有关．18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a+2b ＝2ccosA ．（Ⅰ）求C ；（Ⅱ）若a ＝1，△ABC 的面积为√，求c ．【分析】（Ⅰ）结合正弦定理和a+2b ＝2ccosA ，将边化为角，得sinA+2sin B ＝2sinCcosA ，再结合A +B+C ＝π与正弦的两角和公式化简可得=-12，由于C ∈（0，π），所以??=2??3；（Ⅱ）△=12=12×??×??×2??3=√??，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2abcosC代入已知数据进行运算即可得解．解：（Ⅰ）由正弦定理得，sinA+2sinB＝2sinCcosA，而sin B＝sin（A+C）＝sinA cosC+cosA sinC，所以sin A+2sinAcosC＝0，又因为sinA≠0，所以=-12，由于C∈（0，π），所以=2??3．（Ⅱ）因为△ABC的面积为√??，所以△=12=12×??×??×2??3=√??，解得b＝4，由余弦定理知，c2＝a2+b2﹣2ab cos C=??+-??×??×??×2??3=，故??=√．19．如图，四棱锥S﹣ABCD的侧面SAD是正三角形，AB∥CD，且AB⊥AD，AB＝2CD ＝4，E是SB中点．（Ⅰ）求证：CE∥平面SAD；（Ⅱ）若平面SAD⊥平面ABCD，且=??√??，求多面体SACE的体积．【分析】（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，证明四边形EFDC是平行四边形，得出EC ∥FD，CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，证明SG⊥平面ABCD，求出点E到平面ABCD的距离，计算多面体SACE的体积．解：（Ⅰ）取SA的中点F，连接EF，因为E是SB中点，所以EF∥AB，且AB＝2EF，又因为AB∥CD，AB＝2CD，所以EF∥DC，EF＝DC，即四边形EFDC是平行四边形，所以EC∥FD，又因为EC?平面SAD，FD?平面SAD，所以CE∥平面SAD；（Ⅱ）取AD中点G，连接SG，因为SAD是正三角形，所以SG⊥AD，因为平面SAD⊥平面ABCD，且交线为AD，所以SG⊥平面ABCD，因为AB⊥AD，所以AB⊥平面SAD，所以AB⊥SA，故=√-??=??，=??√??，因为E是SB中点，所以点E到平面ABCD的距离等于12，所以多面体SACE的体积为：V SACE＝V S﹣ABCD﹣V S﹣ACD﹣V E﹣ABC=13??-13??△-13??△?12=13×??√??(2+42×??-12×??×??-12×??×??×12)=8√33．20．已知椭圆??：22+??22=??(??＞??＞??)的左右焦点为F1，F2，离心率为√32，过点F2且垂直于x轴的直线被椭圆E截得的弦长为1．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线y＝kx+m（k＞0）交椭圆E于点C，D两点，与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，且|CM|＝|DN|，求|CD|的最小值．【分析】（Ⅰ）通过离心率以及通径，求解a，b，然后求出椭圆方程．（Ⅱ）把y＝kx+m（k＞0）代入24+??=??得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，设D（x1，y1），C（x2，y2），利用韦达定理设出M，N，利用|CM|＝|DN|，结合y＝kx+m （k＞0）与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，求出CD，转化求解即可．解：（Ⅰ）由题可知：==√32=√??-??22，2??2=??，所以a＝2，b＝1，则椭圆E的方程为24+??=??；（Ⅱ）把y＝kx+m（k＞0）代入24+??=??得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，设D（x1，y1），C（x2，y2），则??+????=-81+4??2，????????=4??2-41+4??2，又??(-，??)，N（0，m），因|CM|＝|DN|，所以x M﹣x1＝x2﹣x N，即x M+x N＝x1+x2，所以-81+4??2=-??，因为y＝kx+m（k＞0）与线段F1F2和椭圆短轴分别交于两个不同点M，N，所以m≠0，又k＞0，则=12，故x1+x2＝﹣2m，????????=-??，因为直线y＝kx+m（k＞0）与线段F1F2及椭圆的短轴分别交于不同两点，所以-√??≤-≤√??，即-√32≤??≤√32，且m≠0，所以||=√??+??|??-????|=√52√(????+????)??-??????=√52√(-)-??(??-??)=√??(??-????)，因为-√32≤??≤√32，且m≠0，所以当=√32或??=-√32时，|CD|的最小值为52．21．已知函数f （x ）＝x ﹣1+axlnx （a ∈R ）．（Ⅰ）求函数f （x ）的单调增区间；（Ⅱ）函数g （x ）＝m （x+1）+f （x ），当0＜a ≤1时，g （x ）≥0恒成立，求整数m的最小值．【分析】（Ⅰ）求导，然后分a ＝0，a ＞0及a ＜0三种情况讨论f ′（x ）＞0的解集即可得出结论；（Ⅱ）问题等价于≥1--??+1在x ＞0且0＜a ≤1上恒成立，令??(??)=1--????+1，当x ≥1时，易知只需m ≥0，当0＜x ＜1时，通过放缩思想可知只需(+1)+-1??+≥??，构造函数()=??(??+1)+-1??+??，然后分m ≥2，m ＝1及m ＝0讨论即可得出答案．解：（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），f ′（x ）＝1+alnx +a ＝a （lnx +1）+1，当a ＝0时，f （x ）＝x ﹣1，故函数的单调递增区间为（0，+∞）；当a ＞0时，由f ′（x ）＞0得＞??-1-??，故函数f （x ）的单调递增区间为(??-1??-??，+∞）；当a ＜0时，由f ′（x ）＞0得＜??＜??-1-??，故函数f（x ）的单调递增区间为(??，??-1??-??)；（Ⅱ）因为g （x ）≥0，则m （x+1）+axlnx +x ﹣1≥0，因为x ＞0，所以≥1--??+1，令??(??)=1--????+1，（i ）当x ≥1时，因为0＜a ≤1，则﹣axlnx ≤0，因此1﹣x ﹣axlnx ≤0，故只需m ≥0；（ii ）当0＜x ＜1时，因为0＜a ≤1，则﹣axlnx ≤﹣xlnx ，所以()≤1--??+1≤??，即(+1)+-1??+??≥??，构造函数??(??)=??(??+1)+-1??+??，则??′(??)=??-??+12，当m ≥2时，p （x ）在（0，1）上递减，p （x ）min ＝p （1）＝2m ＞0；当m ＝1时，p （x ）＝lnx +2，则??(13)=-??+??=-??＜??，不合题意；当m ＝0时，()=-1+??，则??(1??)=-??＜??，不合题意；综上可知，整数m 的最小值为2．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．（本题满分10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图就是在平面直角坐标系的“茹茹心形曲线”，又名RC心形线．如果以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，其RC心形线的极坐标方程为ρ√??-||=1．（Ⅰ）求RC心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）已知P（0，2）与直线l：{=-=??+（m为参数），若直线l与RC心形线交于两点M，N，求|PM||PN|的值．【分析】（Ⅰ）把已知等式两边平方，对θ分类去绝对值，结合极坐标与直角坐标的互化公式可得RC心形线的直角坐标方程；（Ⅱ）化直线的参数方程为普通方程，可知直线与RC心形线右侧相交，化直线方程为参数方程的标准形式，代入RC心形线的直角坐标方程，化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系求|PM||PN|的值．解：（Ⅰ）由ρ√-||=1，得ρ2（1﹣|cosθ|sinθ）＝1，①当θ∈[-2，2]时，①化为ρ2﹣ρ2cosθsinθ＝1，即x2+y2﹣xy＝1（x≥0）；当θ∈（2，3??2）时，①化为ρ2+ρ2cosθsinθ＝1，即x2+y2+xy＝1（x＜0）．综上，RC心形线的直角坐标方程为x2+y2﹣|x|y＝1；（Ⅱ）由直线l：{=-=??+（m为参数），消去参数m，可得4x+3y﹣6＝0．化为{=-35??=??+45??（t为参数），代入x2+y2﹣xy＝1（x≥0），得3725+2225??+??=??．设M、N对应的参数分别为t1，t2，则????=7537．∴|PM||PN|＝|t1||t2|＝|t1t2|=7537．[选修4-5：不等式选讲]（本题满分0分）23．已知f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|的最小值为m．（I）求m的值；（II）当a+b+c=3时，证明：（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．【分析】（Ⅰ）写出分段函数解析式，作出图象，由图可得函数的最小值m；（Ⅱ）把（Ⅰ）中求得的m值代入a+b+c=3，得a+b+c＝1，然后利用柯西不等式证明（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＝|2x﹣4|+|x+1|={-+??，??≤-?? -??+??，-??＜??＜??-??，??≥??，作出该函数的图象如图：由图可知，函数的最小值m＝3；（Ⅱ）证明：由柯西不等式可得：（1+1+1）[（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2]≥（a+1+b+1+c+1）2，∵a+b+c＝1，∴（a+1）2+（b+1）2+（c+1）2≥163，当且仅当a＝b＝c=13时取等号，∴（a+1）2+（b+l）2+（c+l）2≥163．。

2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={0，1}，B={x|x2+x﹣2=0}，则A∪B=（）A．∅B．{1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣1，0，1，2}2．（5分）已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．23．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．84．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好5．（5分）已知平面下列=（﹣2，3），=（1，2），向量λ+与垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．47．（5分）高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．98．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣ C．D．﹣9．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A（0，﹣），若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|=（）A．B．C．D．10．（5分）已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：①函数f（x）的值域为[﹣2，0]；②x=为函数f（x）的一条对称轴；③∃β∈R，f（x+β）为奇函数；④∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④11．（5分）如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π12．（5分）在递减等差数列{a n}中，a1a3=﹣4，若a1=13，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若2x=10，则x﹣log25的值为．14．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．15．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+3，其中b，c∈R，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y=0，则f（2）=．16．（5分）如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的周长的最大值为．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若a=2，b=，求c的长．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF的中点．（1）求三棱锥M﹣CDE的体积；（2）求证：DM⊥平面ACE．19．（12分）几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）的被调查人中随机选取两人进行调查，求恰好这两人都支持发展共享单车的概率．参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆E的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆E上任意一点到两个焦点的距离之和为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l：y=2x+m与椭圆E相交于M，N两点，求△MON面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＞﹣x+1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，在（1）的条件下，试判断g（x）在[1，e2]上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．2017年四川省成都市高考数学三诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）设集合A={0，1}，B={x|x2+x﹣2=0}，则A∪B=（）A．∅B．{1}C．{﹣2，0，1}D．{﹣1，0，1，2}【解答】解：集合A={0，1}，B={x|x2+x﹣2=0}={x|x=﹣2或x=1}={﹣2，1}，则A∪B={﹣2，0，1}．故选：C．2．（5分）已知复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A，B，线段AB的中点C对应的复数为z，则|z|=（）A．B．5 C．2 D．2【解答】解：复数z1=2+6i，z2=﹣2i，若z1，z2在复平面内对应的点分别为A（2，6），B（0，﹣2），线段AB的中点C（1，2）对应的复数为z=1+2i，则|z|==．故选：A．3．（5分）在等比数列{a n}中，a1=2，公比q=2，若a m=a1a2a3a4（m∈N*），则m=（）A．11 B．10 C．9 D．8【解答】解：a m=a1a2a3a4=a14qq2q3=2426=210=2•2m﹣1，∴m=10，故选：B．4．（5分）AQI是表示空气质量的指数，AQI指数值越小，表明空气质量越好，当AQI指数值不大于100时称空气质量为“优良”．如图是某地4月1日到12日AQI指数值的统计数据，图中点A表示4月1日的AQI指数值为201，则下列叙述不正确的是（）A．这12天中有6天空气质量为“优良”B．这12天中空气质量最好的是4月9日C．这12天的AQI指数值的中位数是90D．从4日到9日，空气质量越来越好【解答】解：这12天中，空气质量为“优良”的有95，85，77，67，72，92，故A正确；这12天中空气质量最好的是4月9日，AQI指数值为67，故正确；这12天的AQI指数值的中位数是=90，故正确；从4日到9日，空气质量越来越好，不正确，4月9日，AQI指数值为67，故选D．5．（5分）已知平面下列=（﹣2，3），=（1，2），向量λ+与垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【解答】解：∵=（﹣2，3），=（1，2），向量λ+与垂直，∴（﹣2λ+1，3λ+2）•（1，2）=﹣2λ+1+2（3λ+2）=4λ+5=0，解得：λ=﹣．故选：D．6．（5分）已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0），直线l：y=2x﹣2，若直线l平行于双曲线C的一条渐近线且经过C的一个顶点，则双曲线C的焦点到渐近线的距离为（）A．1 B．2 C．D．4【解答】解：根据题意，双曲线C的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），其焦点在x轴上，其渐近线方程y=±x，又由直线l平行于双曲线C的一条渐近线，则有=2，直线l：y=2x﹣2与x轴交点坐标为（1，0），即双曲线C的一个顶点坐标为（1，0），即a=1，则b=2a=2，故双曲线C的焦点到渐近线的距离为2；故选：B．7．（5分）高三某班15名学生一次模拟考试成绩用茎叶图表示如图1，执行图2所示的程序框图，若输入的a i（i=1，2，…，15）分别为这15名学生的考试成绩，则输出的结果为（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：由算法流程图可知，其统计的是成绩大于等于110的人数，所以由茎叶图知：成绩大于等于110的人数为9，因此输出结果为9．故选：D．8．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，如图，在鳖臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，则异面直线AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．﹣ C．D．﹣【解答】解：如图所示，分别取AB，AD，BC，BD的中点E，F，G，O，则EF∥BD，EG∥AC，FO⊥OG，∴∠FEG为异面直线AC与BD所成角．设AB=2a，则EG=EF=a，FG==a，∴∠FEG=60°，∴异面直线AC与BD所成角的余弦值为，故选：A．9．（5分）已知抛物线C：y2=4x的焦点为F，点A（0，﹣），若线段FA与抛物线C相交于点M，则|MF|=（）A．B．C．D．【解答】解：由题意，F（1，0），|AF|=2，设|MF|=d，则M到准线的距离为d，M的横坐标为d﹣1，由三角形相似，可得，∴d=，故选A．10．（5分）已知函数f（x）=2cos22x﹣2，给出下列命题：①函数f（x）的值域为[﹣2，0]；②x=为函数f（x）的一条对称轴；③∃β∈R，f（x+β）为奇函数；④∃α∈（0，），f（x）=f（x+2α）对x∈R恒成立，其中的真命题有（）A．①②B．③④C．②③D．①④【解答】解：由题意，f（x）=2cos22x﹣2=cos4x﹣1；对于①，cos4x∈[﹣1，1]，∴cos4x﹣1∈[﹣2，0]，∴函数f（x）的值域为[﹣2，0]，①正确；对于②，x=时，f（）=cos﹣1=﹣1，∴x=不是函数f（x）的一条对称轴，∴②错误；对于③，∵f（x）=cos4x﹣1的图象如图所示，；函数f（x+β）的图象是f（x）的图象向左或向右平移|β|个单位，它不会是奇函数的，故③错误；对于④，f（x）=f（x+2α），∴cos4x﹣1=cos（4x+8α）﹣1，∴8α=2kπ，∴α=，k∈Z；又α∈（0，），α=或，④正确．综上，真命题是①④．故选：D．11．（5分）如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直角三角形、等腰三角形和等边三角形，若该三棱锥的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A．27πB．48πC．64πD．81π【解答】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，棱锥的高VA=4，棱锥底面ABC 是边长为6的等边三角形，作出直观图如图所示：∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴外接球的球心D在底面ABC的投影为△ABC的中心O，过D作DE⊥VA于E，则E为VA的中点，连结OA，DA，则DE=OA==2，AE=VA=2，DA为外接球的半径r，∴r==4，∴外接球的表面积S=4πr2=64π．故选C．12．（5分）在递减等差数列{a n}中，a1a3=﹣4，若a1=13，则数列{}的前n项和的最大值为（）A． B． C．D．【解答】解：设公差为d，则d＜0，∵a1a3=﹣4，a1=13，∴13（13+2d）=（13+d）2﹣4，解得d=﹣2或d=2（舍去），∴a n=a1+（n﹣1）d=13﹣2（n﹣1）=15﹣2n，当a n=15﹣2n≥0时，即n≤7.5，当a n=13﹣2n≤0时，即n≥6.5，+1∴当n≤7是，a n＞0∴==（﹣）∴数列{}的前n项和为（﹣+﹣+…+﹣）=（﹣﹣），当n=6时，最大，最大值为（﹣+1）=故选：D二、填空题（本小题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）若2x=10，则x﹣log25的值为1．【解答】解：2x=10，则x=log210则x﹣log25=log210﹣log25=log22=1，故答案为：114．（5分）若变量x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣3．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，A（0，3），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线y=3x﹣z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣3．故答案为：﹣3．15．（5分）已知函数f（x）=x3+bx2+cx+3，其中b，c∈R，若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为3x+y=0，则f（2）=﹣1．【解答】解：∵f'（x）=3x2+2bx+c，∴k=f'（1）=3+2b+c=﹣3①，又∵f（1）=﹣3，∴﹣3=4+b+c②，由①②解得：b=1，c=﹣8，∴f（x）=x3+x2﹣8x+3，∴f（2）=8+4﹣16+3=﹣1，故答案为﹣1．16．（5分）如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的周长的最大值为10．【解答】解：如图所示，分别过C，D，作CF⊥AB，DE⊥AB，垂足为F，E；则四边形CDEF为矩形；设∠EOD=θ∈；可得：CD=2OE=4cosθ，ED=2sinθ，AE=2﹣2cosθ；∴BC=AD==2；∴梯形的周长=4+4cosθ+4=8+4（）+4；令=t∈，则：f（t）=﹣8t2+8t+8=；∴t=时，梯形的周长取最大值10．故答案为：10．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2c﹣a=2bcosA．（1）求角B的大小；（2）若a=2，b=，求c的长．【解答】解：（1）∵2c﹣a=2bcosA，由正弦定理可得2sinC﹣sinA=2sinBcosA，∵sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，∴2sinAcosB+2cosAsinB﹣sinA=2sinBcosA∴2sinAcosB=sinA∵sinA≠0，∴cosB=，∴B=，（2）由余弦定理可得b2=a2+c2﹣2accosB∴7=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣3=0，解得c=3或c=﹣1（舍去），∴c=3．18．（12分）如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，DE=2，M为线段BF的中点．（1）求三棱锥M﹣CDE的体积；（2）求证：DM⊥平面ACE．【解答】解：（1）设AC∩BD=O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，，0），D（﹣1，0，0），E（﹣1，0，2），M（1，0，1），=（0，0，2），=（1，，0），=（2，0，1），∵=0，∴DE⊥DC，===2，∴S△DEC设平面DEC的法向量=（x，y，z），则，取x=，得=（），∴M到平面DEC的距离h===，∴三棱锥M﹣CDE的体积：V===．证明：（2）A（0，﹣，0），=（0，2，0），=（﹣1，，2），=0，=﹣2+2=0，∴AC ⊥DM ，AE ⊥DM ，∵AC ∩AE=A ，∴DM ⊥平面ACE ．19．（12分）几个月前，成都街头开始兴起“mobike”、“ofo”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后一公里的出行难题，然而，这种模式也遇到了一些让人尴尬的问题，比如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．为此，某机构就是否支持发展共享单车随机调查了50人，他们年龄的分布及支持发展共享单车的人数统计如表：（1）由以上统计数据填写下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）的被调查人中随机选取两人进行调查，求恰好这两人都支持发展共享单车的概率．参考数据：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d ．【解答】解：（1）的2×2列联表：K2=≈2.38＞2.706，∴能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否支持发展共享单车有关系；（2）若对年龄在[15，20）的被调查人中随机选取两人进行调查，有=36种方法，恰好这两人都支持发展共享单车，有=10种方法，所以恰好这两人都支持发展共享单车的概率为．20．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，椭圆E的短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，且椭圆E上任意一点到两个焦点的距离之和为2．（1）求椭圆E的标准方程；（2）若直线l：y=2x+m与椭圆E相交于M，N两点，求△MON面积的最大值．【解答】解：（1）设椭圆E的方程为，焦距为2c，由题意可知，解得a=，b=1，∴椭圆E的标准方程为=1．（2）联立方程组，消元得：9x2+8mx+2m2﹣2=0，∵椭圆与直线交于M，N两点，∴△=64m2﹣36（2m2﹣2）=72﹣8m2＞0，∴﹣3＜m＜3．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，∴MN=•=•=•，又原点O到直线l的距离d=，∴S=•MN•d=•×==，△MON令f（m）=9m2﹣m4=﹣（m2﹣）2+，∵﹣3＜m＜3，∴0≤m2＜9，∴当m2=时，f（m）取得最大值，∴S的最大值为=．△MON21．（12分）已知函数f（x）=lnx+﹣1，a∈R．（1）若关于x的不等式f（x）＞﹣x+1在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（2）设函数g（x）=，在（1）的条件下，试判断g（x）在[1，e2]上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）=lnx+﹣1，a∈R．关于x的不等式f（x）＞﹣x+1在[1，+∞）上恒成立，∴，（x＞0），∴，∴a＞﹣x2﹣xlnx+2x，令g（x）=﹣x2﹣xlnx+2x，则g′（x）=﹣2x﹣lnx﹣1+2=﹣2x﹣lnx+1，g''（x）=﹣2﹣=﹣，x∈[1，+∞），∴g′（x）单调递减，又g′（1）=﹣1，∴g′（x）＜0，x∈[1，+∞），∴g（x）在[1，+∞）上单调递减，g（x）max=g（1）=1，∴a＞1，即a的取值范围是[1，+∞）．（2）==，g′（x）==，由g′（x）=0，得2x﹣xlnx﹣2a=0，即2a=2x﹣xlnx，令h（x）=2x﹣xlnx，则h′（x）=2﹣lnx﹣1=1﹣lnx=0，x=e，x∈[1，e2]，∴h（x）在[1，e]上单调递增，（1，e2]上单调递减‘h（1）=2h（e）=eh（e2）=0’∴0＜a＜∴g（x）在[1，e2]上不存在极值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2，在以极点为直角坐标原点O，极轴为x轴的正半轴建立的平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；（2）在平面直角坐标系中，设曲线C经过伸缩变换φ：得到曲线C′，若M（x，y）为曲线C′上任意一点，求点M到直线l的最小距离．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=2，化为直角坐标方程：x2+y2=4．直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t化为普通方程：y=x+3．（2）曲线C经过伸缩变换φ：，即，代入曲线C的方程可得：4（x′）2+（y′）2=4，即得到曲线C′：=1．若M（x，y）为曲线C′上任意一点，设M（co sθ，2sinθ），点M到直线l的距离d==≥=，当且仅当sin（θ﹣φ）=1时取等号．因此最小距离为：．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣a|，a∈R．（1）当a=1时，求不等式f（x）+|2x﹣5|≥6的解集；（2）若函数g（x）=f（x）﹣|x﹣3|的值域为A，且[﹣1，2]⊆A，求a的取值范围．【解答】解：（1）a=1时，|x﹣1|+|2x﹣5|≥6，x≤1时：1﹣x﹣2x+5≥6，解得：x≤0，∴x≤0，1＜x＜2.5时：x﹣1﹣2x+5≥6，解得：x≤﹣1，不成立；x≥2.5时：x﹣1+2x﹣5≥6，解得：x≥4，∴x≥4，故不等式的解集是{x|x≥4或x≤0}；（2）g（x）=|x﹣a|﹣|x﹣3|，a≥3时：g（x）=，∴3﹣a≤g（x）≤a﹣3，∵[﹣1，2]⊆A，∴，解得a≥5；a＜3时，a﹣3≤g（x）≤3﹣a，∴，解得：a≤1；综上：a≤1或a≥5．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。

四川泸州市2017年高三第三次教学质量诊断性考试数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设全集U ＝R ，集合{|(1)(3)0} {|10}A x x x B x x =+-<=-，≥，则图中阴影部分所表示的集合为 (A){|1x x -≤或3}x ≥ (B){|1x x <或3}x ≥ (C){|1}x x ≤ (D){|1}x x -≤2．已知等差数列{}n a 中，1510a a +=，则47a =，则数列{}n a 的公差为(A) 2 (B) 3 (C) 4(D) 53．在集合{|00}x x a a >，≤≤中随机取一个实数m ，若||2m <的概率为13，则实数a 的值为(A) 5 (B) 6 (C) 9(D) 124．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图相同，其上部分是半圆，下部分是边长为2的正方形；俯视图是边长为2的正方形及其外接圆．则该几何体的体积为 (A)2π43+(B)4+(C)8+(D)8+5．双曲线E ：22221x y a b-=(0a >，0b >)的一个焦点F 到E ，则E 的离心率是(B)32(C) 2 (D) 36．定义在R 上的函数()f x 满足2log (8)0()(1)0x x f x f x x -⎧=⎨->⎩，，，，≤则(3)f = (A) 3 (B) 2 (C)2log 9 (D)2log 77．已知MOD 函数是一个求余函数，记MOD()m n ，表示m 除以n 的余数，例如MOD(83)2=，．右图是某个算法的程序框图，若输入m 的值为48时，则输出i 的值为 (A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 108．已知函数()sin()6f x x ωπ=+（其中0ω>）图象的一条对称轴方程为12x π=，则ω的最小值为 (A) 2(B) 4 (C) 10 (D) 169．已知01c <<，1a b >>，下列不等式成立的是(A)a b c c >(B)c c a b <(C)a ba cb c>-- (D)log log a b c c >10．对于两条不同的直线m ，n 和两个不同的平面αβ，，以下结论正确的是(A) 若m α⊂，n ∥β，m ，n 是异面直线，则αβ，相交 (B) 若m α⊥，m β⊥，n ∥α，则n ∥β (C) 若m α⊂，n ∥α，m ，n 共面于β，则m ∥n (D) 若m α⊥，n ⊥β，α，β不平行，则m ，n 为异面直线11．抛物线24y x =的焦点为F ，点(53)A ，，M 为抛物线上一点，且M 不在直线AF 上，则M AF ∆周长的最小值为(A) 10(B) 11(C) 12(D)6+12．如图，在直角梯形ABCD 中，AB AD ⊥，AB ∥DC ，2AB =，1AD DC ==，图中圆弧所在圆的圆心为点C ，半径为12，且点P 在图中阴影部分（包括边界）运动．若AP xAB yBC =+，其中x y ∈R ，，则4x y -的最大值为(A)3(B)3+ (C) 2(D)3+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知24113log log a a+=，则a =． 14.设不等式组020x y x y +≥⎧⎪≤⎨⎪≥⎩表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是． 15.若函数2,2()log ,2a x x f x x x -<⎧=⎨≥⎩，（0a >且1a ≠）的值域是[1,)+∞，则实数a 的取值范围是．16.已知数列{}n a 的前n 项和11()22n n n S a -=--+（*n N ∈），则数列{}n a 的通项公式n a =．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos b c b A =-. （1）求证：2A B =；（2）若53b c =，a =BC 边上的高.18. 甲，乙两台机床同时生产一种零件，其质量按测试指标划分：指标大于或等于100为优品，大于等于90且小于100为合格品，小于90为次品，现随机抽取这两台车床生产的零件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计甲机床、乙机床生产的零件为优品的概率；（2）甲机床生产一件零件，若是优品可盈利160元，合格品可盈利100元，次品则亏损20元；假设甲机床某天生产50件零件，请估计甲机床该天的日利润（单位：元）；（3）从甲、乙机床生产的零件指标在[90,95)内的零件中，采用分层抽样的方法抽取5件，从这5件中任选2件进行质量分析，求这2件都是乙机床生产的概率.19. 如图，在梯形ABCD 中，//AB DC ，1AD AB BC ===，3ADC π∠=，平面ACFE ⊥平面ABCD ，四边形ACFE 是矩形，1AE =，点M 在线段EF 上.（1）当FMEM为何值时，//AM 平面BDF ？证明你的结论； （2）求三棱锥E BDF -的体积E BDF V -.20. 设1F 是椭圆2222:1x y C a b+=（0a b >>）的左焦点，M 是C 上一点，且1MF 与x 轴垂直，若132MF =，椭圆的离心率为12. （1）求椭圆C 的方程；（2）以椭圆C 的左顶点A 为Rt ABD ∆的直角顶点，边,AB AD 与椭圆C 交于,B D 两点，求ABD ∆面积的最大值.21. 已知函数()(1)x f x e a x =++（其中e 为自然对数的底数）（1）设过点(0,0)的直线l 与曲线()f x 相切于点00(,())x f x ，求0x 的值；（2）函数2()()(1)g x f x ax ex =-++的的导函数为'()g x ，若'()g x 在(0,1)上恰有两个零点，求a 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，曲线122cos :sin x C y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）经伸缩变换''2xx y y⎧=⎪⎨⎪=⎩后的曲线为2C ，以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）,A B 是曲线2C 上两点，且3AOB π∠=，求OA OB +的取值范围.23.选修4-5：不等式选讲已知函数()12f x x x a =+++，若()f x 的最小值为2. （1）求实数a 的值；（2）若0a >，且,m n 均为正实数，且满足m n a +=，求22m n +的最小值.试卷答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

2020届四川省泸县一中2017级高三三诊模拟考试理科综合试卷★祝考试顺利★可能用到的相对原子质量：C-12 N-14 O-16 S-32 C1-35.5 Ba-137 Cu-64 Na-23第I卷选择题（126分）一、选择题：本题共13小题,每小题6分,共78分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1．下列有关生物学实验的叙述,不正确的是A．观察植物细胞的质壁分离及其复原的实验中,为遵循对照原则需设置空白对照B．观察DNA、RNA在细胞中的分布实验,可选洋葱鳞片叶内表皮细胞做材料C．提取绿叶中色素和检测花生子叶切片中脂肪时均需酒精,但使用目的不同D．观察线粒体和叶绿体的形态和分布时,要确保被观察细胞保持生活状态2．膜蛋白对质膜功能的实现非常重要,下列不属于膜蛋白功能的是A．控制某些分子和离子的出入B．催化化学反应的进行C．构成细胞膜结构的基本骨架D．识别细胞外化学物质3．科研人员为探究生长素对根尖生长的影响,以琼脂块和水稻根尖为材料进行了如下实验。

下列有关叙述正确的是脂块)A．第2组与第4组说明单侧光照引起根尖生长素分布不均匀B．第3组实验的目的是确定琼脂块对根尖生长无影响C．第5组根尖的生长状况应该是“向贴琼脂块对侧生长”D．根尖背光弯曲生长说明生长素对根尖生长的抑制作用4．下面有关ATP与酶的叙述,错误的是A．有些酶的元素组成与ATP相同B．酶在催化反应前后化学性质不变。

C．ATP水解所释放的能量和ATP合成所吸收的能量,两者在数值上相等,在形式上相同D．不是所有的一种酶都是只能催化一种底物的反应,还可能催化少数几种相似底物的反应5．20世纪初莱文和琼斯发现DNA由六种小分子组成：脱氧核糖、磷酸和四种碱基（A、G、T、C）,如图表示四种碱基的分子结构。

下面相关叙述不正确的是A．四种碱基的元素组成不全相同B．在DNA分子的一条链中,碱基A与T以2个氢键相连,G与C以3个氢键相连C．四种碱基都位于DNA双螺旋结构的内侧D．嘧啶都只有一个六环,而嘌呤都由一个六环和一个五环构成6．下列古诗与生物学原理不符的是古诗生物学原理A “停车坐爱枫林晚,霜叶红于二月花。