§13.1 邻补角、对顶角(教案)

§13.1邻补⾓、对顶⾓（教案）§13.1 邻补⾓、对顶⾓上海市实验学校东校吴其胜【教学⽬标】1.理解对顶⾓和邻补⾓的概念，能在图形中辨认．2.掌握对顶⾓相等的性质和它的推证过程．3.进⾏说理和表达的基本训练，初步感知形式推理的规则和过程．【教学重点】在较复杂的图形中准确辨认对顶⾓和邻补⾓．【教学难点】对顶⾓性质的证明．【教学流程】⼀、引⼊1.展⽰⼀张浦东新区局部地图.请同学们找⼀找：罗⼭路和张杨路在哪？（我们分别⽤两条直线AB、CD表⽰罗⼭路和张杨路，很显然他们是相交直线）2.两直线相交，有⼏个交点？3.为什么两条直线相交，只有⼀个交点？理由（反证法）：假如两条直线相交有两个交点，那么经过这两个交点就有了两条直线，这与“经过两点只有⼀条直线”相⽭盾.所以两条直线相交，只有⼀个交点，不可能有两个交点.于是我们⽤点O表⽰它们的交点.⼆、思考1.如图，直线AB与CD相交于点O，形成了哪⼏个⼩于平⾓的⾓？（答：形成了4个⼩于平⾓的⾓：∠1 、∠2 、∠3、∠4 ）2.四个⾓两两相配能组成⼏对⾓？各对⾓存在怎样的位置关系？（答：能组成六对⾓：∠1与∠2、∠2与∠3、∠3与∠4、∠4 与∠1、∠1与∠3 、∠2与∠4）下⾯我们⼀起来探索各对⾓存在怎样的位置关系？三、探索1.∠1与∠2的位置关系.⑴填空：∠1的顶点是，边是，∠2的顶点是，边是，它们有⼀个公共顶点是，⼀条公共边是，另⼀条边和互为反向延长线.我们把具有这种位置关系的两个⾓∠1、∠2叫做互为邻补⾓.⑵邻补⾓定义：①有⼀条公共边，它们的另⼀边互为反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓叫做互为邻补⾓.②两条直线相交所得的四个⾓中，不仅有⼀个公共顶点，还有⼀条公共边的两个⾓叫做互为邻补⾓.问题1：图中还有没有其他的邻补⾓？答：有，它们是∠2与∠3 、∠3与∠4、∠4 与∠1 .注意1：邻补⾓是成对存在的，它们互为邻补⾓.⑶∠1与∠2的数量关系.问题2：∠1与∠2有什么数量关系呢？答：∠1+∠2=180° .类似的可以得到：∠2+∠3= ∠3+∠4= ∠4+∠1= 180°邻补⾓的性质：邻补⾓互补⑷互为邻补⾓与互为补⾓的区别与联系.答：互为邻补⾓包括两⾓之间的位置关系与数量关系，即：互为邻补⾓的两个⾓既“相邻”⼜“互补”；⽽互为补⾓仅指两⾓之间的数量关系，即：互为邻补⾓的两个⾓“互补”. 互为邻补⾓的两个⾓⼀定是互为补⾓，互为补⾓的两个⾓不⼀定是互为邻补⾓.2.∠1与∠3的位置关系.⑴填空：∠1的顶点是，边是，∠3的顶点是，边是，它们有⼀个公共顶点是，公共边，∠1的两边和∠3的两边都互为反向延长线.我们把具有这种位置关系的两个⾓∠1、∠3叫做互为对顶⾓.⑵对顶⾓定义：①有⼀个公共顶点，并且⼀个⾓的两边分别是另⼀个⾓的两边的反向延长线，具有这样位置关系的两个⾓叫做互为对顶⾓.②两条直线相交所得的四个⾓中，有⼀个公共顶点，没有公共边的两个⾓叫做互为对顶⾓.问题3：图中还有没有其他的对顶⾓？答：有，它们是∠2与∠4 .注意2：对顶⾓是成对存在的，它们互为对顶⾓.⑶∠1与∠3的数量关系.（猜想：∠1=∠3）已知：如图，直线AB、CD相交于点O.说明：∠1=∠3.说理：∵∠1与∠2、∠2与∠3分别是邻补⾓（已知）∴∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°（邻补⾓意义）∴∠1＋∠2＝∠2＋∠3（等量代换）∴∠1＝∠3 （等量减等量，差相等）类似的可以说明：∠2＝∠4对顶⾓的性质：对顶⾓相等四、应⽤例1 如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠AOC＝50°.求∠BOD、∠AOD、∠BOC的度数．解：因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOD与∠AOC是对顶⾓，得：∠BOD＝∠AOC＝50°因为直线AB、CD相交于点O，所以∠AOD与∠AOC是邻补⾓，得：∠AOD＝180°－∠AOD＝180°－50°＝130°因为∠BOC与∠AOD是对顶⾓所以∠BOC＝∠AOD＝130°．例2 如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠BOC．已知∠BOE=65°，求∠AOD、∠AOC的度数．解：因为OE平分∠BOC，所以∠BOE=∠COE＝65°得：∠BOC＝130°．因为直线AB、CD相交于点O，所以∠BOC与∠AOD是对顶⾓所以∠AOD＝∠BOC＝130°E65?OAD CB50?OAD CB⼜因为∠BOC与∠AOC是邻补⾓，所以∠AOC＝180°－∠BOC＝180°－130°＝50°五、反馈课本第40页，练习1、2、3六、⼩结1.今天你有何收获？2.总结邻补⾓和对顶⾓的特征、性质、相同点和不同点.七、作业1.《练习册》13.12.预习13.2.⼋、教学设计说明1．本节课的重点是对顶⾓的概念和性质，这些是重要的基础知识，在以后的学习中常常要⽤到，要求学⽣掌握．对顶⾓的概念是结合图形描述的.这样描述，便于学⽣在图形中辨认.教学中不必让学⽣背这些词句，⽽是让学⽣抓住概念的本质，教给学⽣在图形中如何辨认它们.辨认对顶⾓的要领是：⾸先要有两条直线相交构成四个⾓的前提条件，再找其中有公共顶点但没有公共边（或不相邻）的两个⾓，就是对顶⾓.2．因为本节是由相交线的模型——⽤罗⼭路与张杨路交叉来引⼊的.所以要事先准备好地图，先让学⽣观察地图，对相交线建⽴感性认识，然后再从提供的课件模型来引⼊本节课，激发学⽣的学习兴趣.3．本节课的内容适合启发式教学，教师先拿出相交线的模型，抽象出两条相交直线，再让学⽣观察四个⾓的特征，这四个⾓根据位置关系可以分⼏类，这两类⾓各有什么特征？这些问题都要由⽼师设问、启发，学⽣经过观察、分析、归纳总结出来，让学⽣⾃⼰亲历⼀次发现的过程，有利于学⽣对对顶⾓、邻补⾓的概念和性质的理解.。

教学目标：1．理解对顶角和邻补角的概念，能在图形中辨认．2．掌握对顶角相等的性质和它的推证过程．3.通过在图形中辨认对顶角和邻补角，培养学生的识图能力．重点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．难点：在较复杂的图形中准确辨认对顶角和邻补角．教学反思教学过程一、创设情境，引入课题先请同学观察本章的章前图，然后引导学生观察，并回答问题．我（1（21的对∴∠l＝∠3（同角的补角相等）．注意：∠l与∠2互补不是给出的已知条件，而是分析图形得到的；所以括号内不填已知，而填邻补角定义．或写成：∵∠1＝180°－∠2，∠3＝180°－∠2（邻补角定义），∴∠1＝∠3（等量代换）．学生活动：例题比较简单，教师不做任何提示，让学生在练习本上独立完成解题过程，请一个学生板演。

解：∠3＝∠1＝40°（对顶角相等）．∠2＝180°－40°＝140°（邻补角定义）．∠4＝∠2＝140°（对顶角相等）．三、范例学习学生活动：让学生把例题中∠1＝40°这个条件换成其他条件，而结论不变，自编几道题．变式1：把∠l＝40°变为∠2－∠1＝40°变式2：把∠1＝40°变为∠2是∠l的3倍变式3：把∠1＝40°变为∠1：∠2＝2：9四、课堂小结学生表格中的结论均由学生自己口答2.线”,重点1.印象2.3.师生共同给出垂直定义.师生分清“互相垂直”与“垂线”的区别与联系：“互相垂直”指两条直线的位置关系；“垂线”是指其中一条直线对另一条直线的命名。

如果说两条直线“互相垂直”时，其中一条必定是另一条的“垂线”，如果一条直线是另一条直线的“垂线”，则它们必定“互相垂直”。

4.垂直的表示法.垂直用符号“⊥”来表示，结合课本图5.1－5说明“直线AB垂直于直线CD，垂足为O”，则记为AB⊥CD,垂足为O，并在图中任意一个角处作上直角记号,如图.5.简单应用(1)学生观察课本P6图5.1-6中的一些互相垂直的线条,并再举出生活中其他实例.(2)判断以下两条直线是否垂直:①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角;②两条直线相交所成的四个角相等;③两条直线相交,有一组邻补角相等;④两条直线相交,对顶角互补.二、画图实践,探究垂线的性质1.学生用三角尺或量角器画已知直线L的垂线.(1)已知直线L(教师在黑板上画一条直线L),画出直线L的垂线.待学生上黑板画出L的垂线后,教师追问学生:还能画出L的垂线吗?能画几条?通过师生交流,使学生明确直线L的垂线有无数多条,即存在,但有不确定性.教师再问:怎样才能确定直线L的垂线位置?在学生道出:在直线L上取一点A,过点A画L的垂线,并且动手画出图形.(2)2.(1)过点(2)过点(3)过点,,并会度1.教师展示课本图5.1-8,提出问题:要把河中的水引到农田P处,如何挖渠能使渠道最短?学生看图、思考.2.教师以问题串形式,启发学生思考.(1)问题1,上学期我们曾经学过什么最短的知识,还记得吗?学生说出:两点间线段最短.(2)问题2,如果把渠道看成是线段,它的一个端点自然是P,那么另一个端点的位置呢?把江河看成直线L,那么原问题就是怎么的数学问题.问题2使学生能用数学眼光思考:在连接直线L外一点P与直线L上各点的线段中,哪一条最短? 3.教师演示教具,给学生直观的感受.教具如图:在硬纸板上固定木条L,L 外一点P,转动的木条a 一端固定在点P.使木条L 与a 相交,左右摆动木条a,L 与a 的交点A 随之变化,线段PA 长度也随之变化.PA 最短时,a 与L 的位置关系如何?用三角尺检验.4.学生画图操作,得出结论.(1)画出直线L,L 外一点P;(2)过P 点出PO⊥L,垂足为O;(3)点A 1,A 2,A 3……在L 上,连接PA 、PA 2、PA 3……;(4)用叠合法或度量法比较PO 、PA 1、PA 2、PA 3……长短.5.师生交流,得出垂线的另一条性质.教师板书:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简单说成:垂线段最短.(1)(2)1.他线段在图的距离.2.我们来研究那些没有公共顶点的两个角的关系。

人教版七下数学教案相交线教学目标1. 理解相交线的概念，掌握对顶角、邻补角的性质。

2. 能够通过观察、操作，发现相交线中角的关系。

3. 培养学生的空间观念和逻辑推理能力。

教学重点1. 重点对顶角、邻补角的性质及应用。

2. 难点准确辨认对顶角和邻补角，并能进行相关的计算和推理。

教学方法讲授法、讨论法、直观演示法。

教学过程1. 导入同学们，咱们先来看这样一幅图片（展示两条相交的直线），大家想想在咱们的生活中是不是经常能看到这样两条直线相交的情况呀？比如十字路口的两条道路。

那今天咱们就一起来研究研究这种相交的直线。

2. 新课讲授（1）相交线的概念老师在黑板上画出两条相交的直线，然后说：“像这样，两条直线只有一个公共点，就说这两条直线相交，这个公共点叫做交点。

”接着让同学们观察教室中还有哪些地方存在相交线。

（2）对顶角老师指着刚才画的相交线，说：“同学们，看这两条直线相交形成的角，∠1 和∠3，它们的位置有什么特点？”引导同学们观察发现∠1 和∠3 两个角的两边分别互为反向延长线。

然后告诉同学们像这样的两个角就叫做对顶角。

再让同学们找找图中还有哪些对顶角。

（3）邻补角接着，老师又指着图中的∠1 和∠2，问同学们：“那∠1 和∠2 又有什么特点呢？”引导同学们发现∠1 和∠2 有一条公共边，另一边互为反向延长线。

告诉同学们这样的两个角叫做邻补角，并让同学们找找图中还有哪些邻补角。

（4）对顶角、邻补角的性质老师引导同学们通过测量等方法，发现对顶角相等，邻补角互补。

然后进行逻辑推理证明这些性质。

3. 课堂练习老师在黑板上出几道关于对顶角和邻补角的题目，让同学们上台来做，其他同学在下面自己做。

做完后，老师进行讲解和纠错。

4. 小组讨论让同学们分组讨论生活中还有哪些对顶角和邻补角的例子，然后每组派代表发言。

5. 课堂总结老师和同学们一起回顾本节课所学的知识，强调重点和难点。

6. 布置作业让同学们完成课本上的相关练习题。

《对顶角》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）学生能够理解对顶角的概念，准确识别对顶角。

（2）学生能够掌握对顶角的性质，并能运用对顶角的性质进行简单的几何推理和计算。

2、过程与方法目标（1）通过观察、比较、操作等活动，培养学生的观察能力、抽象概括能力和逻辑思维能力。

（2）经历探究对顶角性质的过程，体会从特殊到一般、转化等数学思想方法。

3、情感态度与价值观目标（1）在合作交流中，培养学生的团队合作精神和创新意识。

（2）通过解决实际问题，让学生感受数学与生活的紧密联系，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重难点1、教学重点对顶角的概念和性质。

2、教学难点对顶角性质的推理和应用。

三、教学方法讲授法、探究法、练习法相结合。

四、教学过程1、导入新课通过展示生活中常见的交叉路口、剪刀等图片，引导学生观察两条直线相交的情况，引出本节课的主题——对顶角。

2、讲授新课（1）对顶角的概念教师展示两条相交直线的图形，引导学生观察相交直线形成的角，并指出其中相对的角。

然后给出对顶角的定义：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角。

（2）对顶角的识别让学生观察一些相交直线的图形，判断哪些角是对顶角，并说明理由。

通过练习，加深学生对对顶角概念的理解。

（3）对顶角的性质引导学生用量角器测量相交直线中对顶角的度数，然后让学生猜想对顶角的大小关系。

接着，教师通过几何画板进行演示，验证学生的猜想，得出对顶角相等的性质。

3、例题讲解出示一些简单的几何图形，让学生运用对顶角的性质解决问题。

例如，已知一个角的度数，求其对顶角的度数；或者已知两个角是对顶角，求其中一个角的度数。

4、课堂练习安排适量的练习题，让学生巩固所学知识。

练习内容包括判断对顶角、利用对顶角性质计算角度等。

5、课堂小结（1）回顾对顶角的概念和性质。

（2）总结本节课所学的数学思想方法，如从特殊到一般、转化等。

6、布置作业（1）书面作业：课本上的相关习题。

相交线与平行线教案（一）相交线1、邻补角和对顶角（1）邻补角的定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线，这种关系的两个角称为邻补角（2）邻补角的性质：邻补角互补（3）对顶角：两条直线相交，有一个公共点，没有公共边的两个角，称为对顶角（4）对顶角的性质：对顶角相等2、垂线（1）垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角为直角，就说这两条直线垂直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，用符号“⊥”表示，如AB⊥CD读作“AB垂直于CD”，它们的交点叫做垂足。

（2）垂线的性质：①在同一平面内，经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。

②连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，简述为垂线段最短。

（3）点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度。

垂线的画法：①已知直线l，有多少条直线与已知直线l垂直？——无数条②过点A画直线BD的垂线B ·A DA .D 图1 B在学生画出垂线的基础上，教师总结出用直角三角板画垂线的基本方法，强调用两条直角边“一贴”：贴住已知直线，“一靠”：靠住已知点再画线，并引导学生思考：这样画出的为何是已知直线的垂线?3、同位角、内错角、同旁内角（1）同位角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角分别在两条直线的相同一侧，并且在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同位角。

（2）内错角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在两条直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，那么这两个角叫内错角。

（3）同旁内角：两条直线被第三条直线所截，如果两个在两条直线之间，并且分别在第三条直线的同旁，那么这两个角叫同旁内角（二）平行线1、平行线定义（1）在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

用符号“∥”表示，如AB∥CD读作“AB平行于CD”（2）平行公理：经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行。

（3）平行公理的推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

O 4321D CB AO 4321D C B A 邻补角、对顶角 姓名：一、探究新知，讲授新课1、邻补角的概念：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做互为邻补角。

图中，∠AOC 有两个邻补角：∠AOD 和∠COB 。

（注：补角只注重数量关系两角之和是180°，即无论是否有公共边均可，但邻补角还要注重位置上的关系)。

2、邻补角的性质：一个角与它的邻补角的和等于180°。

3、对顶角的概念：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角。

如图，两条直线相交，构成两对对顶角。

∠1与∠3为一对对顶角，∠2与∠4为一对对顶 注意：1。

对顶角一定相等，但是相等的角不一定是对顶角。

2．.对顶角必须有共同顶点。

3．对顶角是成对出现的。

4、对顶角的性质：对顶角相等。

∵直线AB,CD 相交于点O ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4(对顶角相等)。

4、证明对顶角性质：对顶角相等。

因为∠1＋∠_____＝180°（ ）∠2＋∠_____＝180°（ ） 所以∠1＝∠3 （ ） 二、基础练习：1、判断下列图中是否存在对顶角.2、作图题：请画出∠ABC 的对顶角3、一个角的邻补角最多有_______个，一个角的补角可以有_______个。

4、作图题：请画出∠ABC 的邻补角212121CA BCA B三、例题讲解例一：如图，已知直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC ＝50°，求∠BOD 、∠AOD 、∠BOC 的度数. 解：例二：如图，直线AB 、CD 相交于点O ，OE 平分∠BOC.已知 ∠BOE=65°,求∠AOD 、∠AOC 的度数. 解：四、巩固练习1、图中是对顶角的是( )．2如图，∠1的邻补角是( )． 2题图 (A)∠BOC(B)∠BOC 和∠AOF (C)∠AOF(D)∠BOE 和∠AOF3.下列说法中，正确的个数为 （ ）⑴有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角；⑵相等的两个角是对顶角； ⑶如果两个角是对顶角，那么这两个角相等；⑷如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这两个角互为对顶角； ⑸如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角； A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个4.下列四个说法中，正确的说法有 （ ）⑴相等且互补的两个角都是直角； ⑷一个角的两个邻补角是对顶角； ⑵两个角互补，则它们的角平分线的夹角为直角； ⑶两个角互为邻补角，则它们角平分线的夹角为直角； A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个50︒OADCBE65︒O ADCBF 134A BCDOE5265、平面上三条直线两两相交最多能构成对顶角的对数是（ ）.A 、7B 、6C 、5D 、46、已知∠1与∠2是邻补角，∠2是∠3的邻补角，那么∠1与∠3的关系是（ ）.A 、对顶角B 、相等但不是对顶角C 、邻补角D 、互补但不是邻补角 7、如图，直线AB 、CD 相交于O 点，∠AOE ＝90°．∠1和∠2互为______角；∠1和∠4互为______角；∠2和∠3互为_______角； 8、邻补角的平分线构成 ° 角，对顶角的平分线构成 °角。