2018年北京成人高考高起点数学(文)真题及答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文史类）第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．若集合{}2A x x =<，{}2,0,1,2B x =-，则A B =I（A ）{}01， （B ）{}-101，，（C ）{}-201，，（D ）{}-1012，，，2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限 （D ）第四象限3．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）．A ．12 B ．56 C ．76 D ．7124．设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad bc =”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件．5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要的贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等i 1-i于．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）．ABC ．D ．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．47. 在平面直角坐标系中，»AB ,»CD,»EF ,¼GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中的一段上，角α是以Ox 为始边，OP 为始边.若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）»AB（B ）»CD（C ）»EF（D ）¼GH8. 设集合(){},|1,4,2A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤，则()A 对任意实数a ，()2,1A ∈ ()B 对任意实数a ，()2,1A ∉()C 当且仅当0a <时，()2,1A ∉ ()D 当且仅当32a ≤时，()2,1A ∉ 二．填空 （9）设向量()1,0a =，()1,b m =-。

2018年普通高等学校招生全国统一考试数 学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A ={x ||x |<2},B ={−2,0,1,2},则（ ）（A ）{0,1}（B ）{−1,0,1} （C ）{−2,0,1,2}（D ）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限（D ）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ）A B =11i-（A ）（B ）（C ） （D ）（4）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例， 为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十 三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于. 若第一个单音的频率f ，则第八个单音频率为（ ） （A（B（C ）（D ）（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（7）在平面坐标系中，是圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角以O 为始边，OP 为终边，若，则P 所在的圆弧是（ ）125676712,,,AB CD EF GH 221x y +=αtan cos sin ααα<<（A ） （B ） （C ）（D ）（8）设集合则（ ） （A ）对任意实数a ， （B ）对任意实数a ，（2,1） （C ）当且仅当a <0时,（2,1） （D ）当且仅当 时,（2,1） 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启封并使用完毕前2018年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合A={(x||x|<2)},B={−2,0,1,2},则A B=（A）{0,1} （B）{−1,0,1}（C）{−2,0,1,2}（D）{−1,0,1,2}（2）在复平面内，复数11i-的共轭复数对应的点位于（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限（3）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（A）12（B）56（C ）76（D ）712（4）设a,b,c,d 是非零实数，则“ad=bc ”是“a,b,c,d 成等比数列”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（5）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122.若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 学科#网 （A ）32f （B ）322f （C ）1252f（D ）1272f（6）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（A ）1 （B ）2 （C ）3（D ）4（7）在平面直角坐标系中，,,,AB CD EF GH 是圆221x y +=上的四段弧（如图），点P 在其中一段上，角α以O x 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（A ）AB（B ）CD（C ）EF（D ）GH（8）设集合{(,)|1,4,2},A x y x y ax y x ay =-≥+>-≤则（A ）对任意实数a ，(2,1)A ∈（B ）对任意实数a ，（2,1）A ∉ （C ）当且仅当a <0时,（2,1）A ∉（D ）当且仅当32a ≤时,（2,1）A ∉ 第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2018北京文一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合A ＝{x ||x |＜2)，B ＝{−2，0，1，2}，则A ∩B ＝A ． {0，1}B ．{−1，0，1}C ． {−2，0，1，2}D ． {−1，0，1，2} 【解析】因|x |＜2，故－2＜x ＜2，因此A ∩B ＝{–2，0，1，2}∩(－2，2)＝{0，1}，选A ． 2．在复平面内，复数11－i的共轭复数对应的点位于A ． 第一象限B ． 第二象限C ． 第三象限D ． 第四象限【解析】11－i ＝1＋i 2＝12＋12i ，其共轭复数为12－12i ，对应的点为(12，－12)，故选D ．3．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为A ．12B ．56C ．76D ．712【解析】初始化数值k ＝1，S ＝1，循环结果执行如下：第一次：S ＝1＋(－1)1•12＝12，k ＝2≥3不成立；第二次：S ＝12＋(－1)2•13＝56，k ＝3≥3成立，循环结束，输出S ＝56，故选B ．4． 设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的 A ． 充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ． 既不充分也不必要条件【解析】当a ＝4，b ＝1，c ＝1，d ＝14时，a ，b ，c ，d 不成等比数列，故不是充分条件；当a ，b ，c ，d 成等比数列时，则ad ＝bc ，故是必要条件．综上所述，“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要不充分条件，故选B ．5．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122．若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 A ．32f B ．322f C ．1225f D ．1227f【解析】从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122，第一个单音的频率为f ．由等比数列的定义知，这十三个单音的频率构成一个首项为f ，公比为122的等比数列，记为{a n }．则第八个单音频率为a 8＝f ·(122)8－1＝1227f ．6．某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A ． 1B ． 2C ． 3D ． 4【解析】在正方体中作出该几何体的直观图，记为四棱锥P －ABCD ，如图，由图可知在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为3，是△P AD ，△PCD ，△P AB ．7．在平面直角坐标系中，AB ︵，CD ︵，EF ︵，GH ︵是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段上，角α以Ox 为始边，OP 为终边．若tan α＜cos α＜sin α，则P 所在的圆弧是( )A ．AB ︵B ．CD ︵C ．EF ︵D ．GH ︵【解析】设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数的定义得yx ＜x ＜y ，故－1＜x ＜0，0＜y ＜1．故P 所在的圆弧是EF ︵．8．设集合A ＝{(x ，y )| x －y ≥1，ax ＋y ＞4，x －ay ≤2}，则 A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉AC ．当且仅当a ＜0时，(2，1)∉AD ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A【解析】若(2，1)∈A ，则a ＞32且a ≥0，即若(2，1)∈A ，则a ＞32，此命题的逆否命题为：若a ≤32，则有(2，1)∉A ，故选D ．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )．若a ⊥(m a －b )，则m ＝_________．【解析】由题意得，m a －b ＝(m ＋1，－m )，根据向量垂直的充要条件可得1×(m ＋1)＋0×(－m )＝0，故m ＝－1．10．已知直线l 过点(1，0)且垂直于x 轴．若l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，则抛物线的焦点坐标为_________．【解析】由题意知，a ＞0，对于y 2＝4ax ，当x ＝1时，y ＝±2a ，由于l 被抛物线y 2＝4ax 截得的线段长为4，故4a ＝4，故a ＝1，故抛物线的焦点坐标为(1，0)．11．能说明“若a ﹥b ，则1a ＜1b”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________．【解析】使“若a ﹥b ，则1a ＜1b ”为假命题，则使“若a ＞b ，则1a ≥1b ”为真命题即可，只需取a ＝1，b ＝－1即可满足，故满足条件的一组a ，b 的值为1，－1 (答案不唯一) 12．若双曲线x 2a 2－y 24＝1(a ＞0)的离心率为52，则a ＝_________．【解析】由题意可得，a 2＋4a 2＝(52)2，即a 2＝16，又a ＞0，所以a ＝4．13．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是_________．【解析】不等式可转化为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1≤y ，y ≤2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，2x －y ≥0，，故满足条件的x ，y 在平面直角坐标系中的可行域如下图令2y －x ＝z ，y ＝12x ＋12z ，由图象可知，当2y －x ＝z 过点P (1，2)时，取最小值，此时z ＝2×2－1＝3，故2y －x 的最小值为3． 14．若ΔABC 的面积为34(a 2＋c 2－b 2)，且∠C 为钝角，则∠B ＝________；ca的取值范围是_______． 【解析】因S ΔABC ＝34(a 2＋c 2－b 2)＝12ca sin B ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝33sin B ，即cos B ＝33sin B ，故tan B＝3，因0＜B ＜π，故B ＝π3，则c a ＝sin C sin A ＝32·1tan A ＋12，故C 为钝角，又B ＝π3，故0＜A ＜π6，故tan A ∈(0，33)，1tan A ∈(3，＋∞)，故ca∈(2，＋∞)． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．设{a n }是等差数列，且a 1＝ln 2，a 2＋a 3＝5ln 2． (1)求{a n }的通项公式； (2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n ．【解析】(1)设{a n }的公差为d ．因为a 2＋a 3＝5ln 2，故2a 1＋3d ＝5ln 2．又a 1＝ln 2，故d ＝ln 2．故a n ＝a 1＋(n －1)d ＝ln 2＋(n －1)ln 2＝n ln 2．(2)因为e a 1＝e ln 2＝2，e a ne a n －1＝e a n －a n －1＝e ln 2＝2，故{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列．故e a 1＋ea 2＋…＋e a n ＝2×1－2n 1－2＝2n ＋1－2． 16．已知函数f (x )＝sin 2x ＋3sin x cos x ．⑴．求f (x )的最小正周期；⑵．若f (x )在区间[－π3，m ]上的最大值为32，求m 的最小值．【解析】⑴．f (x )＝12(1－cos 2x )＋32sin 2x ＝12＋32sin 2x －12cos 2x ＝12＋sin(2x －π6)，故f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π．⑵．由⑴知，f (x )＝12＋sin(2x －π6)．因x ∈[－π3，m ]，故2x －π6∈[－5π6，2m －π6]．要使得f (x )在[－π3，m ]上的最大值为32，即sin(2x －π6)在[－π3，m ]上的最大值为1．故2m －π6≥π2，即m ≥π3．故m 的最小值为π3．点睛：本题主要考查三角函数的有关知识，解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简，化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性，及公式中符号的正负． 17．电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表： 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0．40．20．150．250．20．1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率； (Ⅱ)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(Ⅲ)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0．1，哪类电影的好评率减少0．1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论) 【解析】(Ⅰ)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2000．第四类电影中获得好评的电影部数是200×0．25＝50，故所求概率为502 000＝0．025． (Ⅱ)设“随机选取1部电影，这部电影没有获得好评”为事件B ．没有获得好评的电影共有140×0．6＋50×0．8＋300×0．85＋200×0．75＋800×0．8＋510×0．9＝1628部．由古典概型概率公式得P (B )＝1628/2000＝0．814．(Ⅲ)增加第五类电影的好评率， 减少第二类电影的好评率．点睛：本题主要考查概率与统计知识，属于易得分题，应用古典概型求某事件的步骤：第一步，判断本试验的结果是否为等可能事件，设出事件A ；第二步，分别求出基本事件的总数n 与所求事件A 中所包含的基本事件个数m ；第三步，利用公式P (A )＝mn 求出事件A 的概率．18．(本小题14分)如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，E ，F 分别为AD ，PB 的中点． (Ⅰ)求证：PE ⊥BC ；(Ⅱ)求证：平面P AB ⊥平面PCD ； (Ⅲ)求证：EF ∥平面PCD ．【解析】(1)因为P A ＝PD ，E 为AD 的中点，故PE ⊥AD ．因为底面ABCD 为矩形，故BC ∥AD ．故PE ⊥BC ．(2)因为底面ABCD 为矩形，故AB ⊥AD ．又因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，AB ⊂平面ABCD ，故AB ⊥平面P AD ，且PD ⊂平面P AD ．故AB ⊥PD ．又因为P A ⊥PD ，且P A ∩AB ＝A ，故PD ⊥平面P AB ．又PD ⊂平面PCD ，故平面P AB ⊥平面PCD ．(3)如图，取PC 中点G ，连接FG ，DG ．因为F ，G 分别为PB ，PC 的中点，故FG ∥BC ，FG ＝12BC ．因为ABCD 为矩形，且E 为AD 的中点，故DE ∥BC ，DE ＝12BC ．故DE ∥FG ，DE ＝FG ．故四边形DEFG 为平行四边形．故EF ∥DG ．又因为EF ⊄平面PCD ，DG ⊂平面PCD ，故EF ∥平面PCD ．点睛：证明面面关系的核心是证明线面关系，证明线面关系的核心是证明线线关系．证明线线平行的方法：(1)线面平行的性质定理；(2)三角形中位线法；(3)平行四边形法．证明线线垂直的常用方法：(1)等腰三角形三线合一；(2)勾股定理逆定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)菱形对角线互相垂直．19．设函数f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ．(Ⅰ)若曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线斜率为0，求a ； (Ⅱ)若f (x )在x ＝1处取得极小值，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)因为f (x )＝[ax 2－(3a ＋1)x ＋3a ＋2]e x ，故f ′(x )＝[ax 2－(a ＋1)x ＋1]e x ．f ′(2)＝(2a －1)e 2，由题设知，f ′(2)＝0，即(2a －1)e 2＝0，解得a ＝12．(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)得f ′(x )＝(ax －1)(x －1)e x．若a ＞1，则当x ∈(1a ，1)时，f ′(x )＜0；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0．故f (x )在x ＝1处取得极小值．若a ≤1，则当x ∈(0，1)时，ax －1≤x －1＜0，故f ′(x )＞0．故1不是f (x )的极小值点．综上可知，a 的取值范围是(1，＋∞)．法二：f ′(x )＝(ax －1)(x －1)e x ．(1)当a ＝0时，令f ′(x )＝0得x ＝1．f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意．x (－∞，1) 1 (1，＋∞)f ′(x )＋−f (x )↗极大值↘(2)当a ＞0时，令f ′(x )＝0得，x 1＝1a ，x 2＝1．①当x 1＝x 2，即a ＝1时，f ′(x )＝(x －1)2e x ≥0，故f (x )在R 上单调递增，故f (x )无极值，不合题意． ②当x 1＞x 2，即0＜a ＜1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意．③当x 1＜x 2，即a ＞1时，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )在x ＝1处取得极小值，即a ＞1满足题意．(3)当a ＜0时，令f ′(x )＝0得x 1＝1a ，x 2＝1．f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：故f (x )在x ＝1处取得极大值，不合题意． 综上所述，a 的取值范围为(1，＋∞)．点睛：导数类问题是高考数学中的必考题，也是压轴题，主要考查的形式有以下四个：①考查导数的几何意义，涉及求曲线切线方程的问题；②利用导数证明函数单调性或求单调区间问题；③利用导数求函数的极值最值问题；④关于不等式的恒成立问题．解题时需要注意的有以下两个方面：①在求切线方程问题时，注意区别在某一点和过某一点解题步骤的不同；②在研究单调性及极值最值问题时常常会涉及到分类讨论的思想，要做到不重不漏；③不等式的恒成立问题属于高考中的难点，要注意问题转换的等价性．20．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为63，焦距为22．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A ，B ．(Ⅰ)求椭圆M 的方程； (Ⅱ)若k ＝1，求|AB |的最大值；(Ⅲ)设P (－2，0)，直线P A 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点Q (－74，12)共线，求k ．【解析】(Ⅰ)由题意得，2c ＝22，故c ＝2，又e ＝c a ＝63，故a ＝3，故b 2＝a 2－c 2＝1，故椭圆M 的标准方程为x 23＋y 2＝1．(Ⅱ)设直线AB 的方程为y ＝x ＋m ，将y ＝x ＋m 代入x 23＋y 2＝1并消去y 得，4x 2＋6mx ＋3m 2－3＝0，则Δ＝48－12m 2＞0，即m 2＜4，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－3m 2，x 1x 2＝34(m 2－1)，则|AB |2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝32(4－m 2)，易得当m 2＝0时，|AB |2max ＝6，故|AB |的最大值为6．(Ⅲ)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，则x 21＋3y 21＝3①，x 22＋3y 22＝3②，又P (－2，0)，故可设k 1＝k P A ＝y 1x 1＋2，直线P A 的方程为y ＝k 1(x ＋2)，将y ＝k 1(x ＋2)代入x 23＋y 2＝1并消去y 得，(1＋3k 21)x 2＋12k 21x ＋12k 21－3＝0，则x 1＋x 3＝－12k 21/(1＋3k 21)，即x 3＝－12k 21/(1＋3k 21)－x 1，又k 1＝y 1x 1＋2，代入①式可得，x 3＝－(7x 1＋12)/(4x 1＋7)，故y 3＝y 1/(4x 1＋7)，故C (－(7x 1＋12)/(4x 1＋7)，y 1/(4x 1＋7))，同理可得D (－(7x 2＋12)/(4x 2＋7)，y 2/(4x 2＋7))．故QC →＝(x 3＋74，y 3－14)，QD uuu r ＝(x 4＋74，y 4－14)，因Q ，C ，D 三点共线，故(x 3＋74)(y 4－14)－(x 4＋74)(y 3－14)＝0，将点C ，D 的坐标代入化简可得y 1－y 2x 1－x 2＝1，即k ＝1．。