天津市红桥区2016-2017学年高二下学期3月月考数学试卷(理科)Word版含解析

天津市红桥区2016-2017学年高二下学期3月月考数学试卷（理科）一、选择题：（每小题5分，共30分）1．若f′（x）=2，则等于（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．13．点P在曲线y=x3﹣x+7上移动，过点P的切线倾斜角的取值范围是（）A．[0，π] B．C． D．4．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）5．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对6．设底部为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（）A． B．C．D．二、填空题：（每空5分，共25分）7．曲线S：y=3x﹣x3的过点A（2，﹣2）的切线的方程是．8．如图是y=f（x）导数的图象，对于下列四个判断：①f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数；④x=3是f（x）的极小值点．其中正确的判断是．（填序号）9．函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为．10．设曲线y=x n+1（n∈N+）在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则log2015x1+log2015x2+…+log2015x2014的值为．11．若函数f（x）=x3﹣x在（a，10﹣a2）上有最小值，则a的取值范围为．三、解答题（本大题共5题，共95分）12．已知函数f（x）=（x∈R），其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．13．（1）若函数f（x）=x3+bx2+cx+d的单调递减区间（﹣1，2）求b，c的值；（2）设，若f（x）在上存在单调递增区间，求a的取值范围；（3）已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a∈R），若函数y=f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t∈[1，2]，函数g（x）=x3+x2[f′（x）+]在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围．14．已知函数f（x）=+lnx．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值．（3）求证：对于大于1的正整数n，ln＞．15．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g（x）=﹣x2+2bx﹣4，若对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数b 的取值范围．16．已知函数f （x ）=lnx+ax 2，g （x ）=+x+b ，且直线y=﹣是函数f （x ）的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的x 1∈[1，]，都存在x 2∈[1，4]，使得f （x 1）=g （x 2），求b 的取值范围．提高题（共20分）17．设函数f （x ）=（1+x ）2﹣2ln （1+x ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若当时，不等式f （x ）＜m 恒成立，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若关于x 的方程f （x ）=x 2+x+a 在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a 的取值范围．天津市红桥区2016-2017学年高二下学期3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（每小题5分，共30分））=2，则等于（）1．若f′（xA．﹣1 B．﹣2 C．1 D．【考点】6F：极限及其运算．【分析】首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解．）=2，由导数的定义【解答】解析：因为f′（x即=2⇒=﹣1所以答案选择A．2．函数f（x）=2x3﹣3x2+a的极大值为6，那么a的值是（）A．5 B．0 C．6 D．1【考点】6C：函数在某点取得极值的条件．【分析】令f′（x）=0，可得 x=0 或 x=6，根据导数在 x=0和 x=6两侧的符号，判断故f （0）为极大值，从而得到 f（0）=a=6．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣3x2+a，导数f′（x）=6x2﹣6x，令f′（x）=0，可得 x=0 或x=1，导数在 x=0 的左侧大于0，右侧小于0，故f（0）为极大值．f（0）=a=6．导数在 x=1 的左侧小于0，右侧大于0，故f（1）为极小值．故选：C．3．点P在曲线y=x3﹣x+7上移动，过点P的切线倾斜角的取值范围是（）A．[0，π] B．C．D．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义，结合二次函数的性质和正切函数的图象和性质即可得到结论．【解答】解：y=x3﹣x+7的导数为y′=3x2﹣1，设P（m，n），可得P处切线的斜率为k=3m2﹣1，则k≥﹣1，由k=tanα，（0≤α＜π且α≠）即为tanα≥﹣1，可得过P点的切线的倾斜角的取值范围是α∈[0，）∪[，π），故选：B．4．已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】构造函数g（x）=f（x）﹣2x﹣4，利用导数研究函数的单调性即可得到结论．【解答】解：设g（x）=f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）=f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）=2，∴g（﹣1）=f（﹣1）+2﹣4=4﹣4=0，则∵函数g（x）单调递增，∴由g（x）＞g（﹣1）=0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B5．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m为常数）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函数在[﹣2，2]上的最小值是（）A．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不对【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】先求导数，根据单调性研究函数的极值点，在开区间（﹣2，2）上只有一极大值则就是最大值，从而求出m，通过比较两个端点﹣2和2的函数值的大小从而确定出最小值，得到结论．【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∵f（x）在（﹣2，0）上为增函数，在（0，2）上为减函数，∴当x=0时，f（x）=m最大，∴m=3，从而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．∴最小值为﹣37．故选：A6．设底部为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为（）A． B．C．D．【考点】RI：平均值不等式；LE：棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设底边边长为a，高为h，利用体积公式V=Sh= a2×h，得出 h=，再根据表面积公式得S=+a2，最后利用基本不等式求出它的最大值及等号成立的条件即得．【解答】解：设底边边长为a，高为h，则V=Sh= a2×h，∴h=，表面积为S=3ah+a2=+a2=++a2≥3=定值，等号成立的条件，即a=，故选C．二、填空题：（每空5分，共25分）7．曲线S：y=3x﹣x3的过点A（2，﹣2）的切线的方程是y=﹣2或y=﹣9x+16 ．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义：切点处的导数值是切线的斜率，利用点斜式方程求出切线方程，代入A，求出k，即可求出切线方程．【解答】解：f′（x）=﹣3x2+3．设切线的斜率为k，切点是（x，y），则有y=3x﹣x3，k=f′（x）=﹣3x2+3，∴切线方程是y﹣（3x﹣x3）=（﹣3x2+3）（x﹣x），A（2，﹣2）代入可得﹣2﹣（3x﹣x3）=（﹣3x2+3）（2﹣x），∴x3﹣3x2+4=0解得x=﹣1，或x=2，k=0，或k=﹣9．∴所求曲线的切线方程为：y=﹣2或y=﹣9x+16，故答案为：y=﹣2或y=﹣9x+16．8．如图是y=f（x）导数的图象，对于下列四个判断：①f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数；②x=﹣1是f（x）的极小值点；③f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数；④x=3是f（x）的极小值点．其中正确的判断是②③．（填序号）【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】通过图象，结合导函数的符号，根据函数单调性，极值和导数之间的关系，逐一进行判断，即可得到结论．【解答】解：由导函数的图象可得：①由表格可知：f（x）在区间[﹣2，﹣1]上是减函数，因此不正确；②x=﹣1是f（x）的极小值点，正确；③f（x）在[﹣1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，正确；④当2＜x＜4时，函数f（x）为减函数，则x=3不是函数f（x）的极小值，因此④不正确．综上可知：②③正确．故答案为：②③9．函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】利用导数判断单调区间，导数大于0的区间为增区间，导数小于0的区间为减区间，所以只需求导数，再解导数小于0即可．【解答】解：函数y=3x2﹣2lnx的定义域为（0，+∞），求函数y=3x2﹣2lnx的导数，得，y′=6x﹣，令y′＜0，解得，0＜x＜，∴x∈（0，）时，函数为减函数．∴函数y=3x2﹣2lnx的单调减区间为故答案为10．设曲线y=x n+1（n ∈N +）在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则log 2015x 1+log 2015x 2+…+log 2015x 2014的值为 ﹣1 ．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程；4H ：对数的运算性质．【分析】要求log 2015x 1+log 2015x 2+…+log 2015x 2014，需求x 1•x 2•…•x 2014的值，只须求出切线与x 轴的交点的横坐标即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．【解答】解：对y=x n+1（n ∈N *）求导，得y′=（n+1）x n ， 令x=1得在点（1，1）处的切线的斜率k=n+1，在点（1，1）处的切线方程为y ﹣1=k （x n ﹣1）=（n+1）（x n ﹣1），不妨设y=0，，则x 1•x 2•x 3…•x n =×…×=，从而log 2015x 1+log 2015x 2+…+log 2015x 2014 =log 2015（x 1•x 2…x 2014）=．故答案为：﹣1．11．若函数f （x ）=x 3﹣x 在（a ，10﹣a 2）上有最小值，则a 的取值范围为 [﹣2，1） ．【考点】6E ：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】由题意求导f′（x ）=x 2﹣1=（x ﹣1）（x+1）；从而得到函数的单调性，从而可得﹣2≤a ＜1＜10﹣a 2；从而解得．【解答】解：∵f （x ）=x 3﹣x ， ∴f′（x ）=x 2﹣1=（x ﹣1）（x+1）；故f （x ）=x 3﹣x 在（﹣∞，﹣1）上是增函数， 在（﹣1，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数；f （x ）=x 3﹣x=f （1）=﹣； 故x=1或x=﹣2； 故﹣2≤a ＜1＜10﹣a 2；解得，﹣2≤a＜1故答案为：[﹣2，1）．三、解答题（本大题共5题，共95分）12．已知函数f（x）=（x∈R），其中a∈R．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（2）当a≠0时，求函数f（x）的单调区间与极值．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求出导函数，得到f′（2），再求出f（2），直接写切线方程的点斜式；（Ⅱ）求出原函数的导函数，由a＜0，解出导函数大于0和小于0的x的范围，则答案可求．【解答】解：（Ⅰ）由，当a=1时，f（x）=，f'（x）=．f（2）=，则切点为（2，）．f'（2）=﹣，则切线斜率为﹣，用点斜式得切线方程为：y﹣=﹣（x﹣2），即6x+25y﹣32=0；（Ⅱ）由，得f'（x）==．当a＜0时，由﹣2（ax+1）（x﹣a）＞0，解得：．由﹣2（ax+1）（x﹣a）＜0，解得：x＜a或x＞﹣．∴递减区间是（﹣∞，a），（﹣，+∞），递增区间是（a，﹣）．极小值是f （a ）=1，极大值是f （﹣）=﹣a 2．13．（1）若函数f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的单调递减区间（﹣1，2）求b ，c 的值；（2）设，若f （x ）在上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（3）已知函数f （x ）=alnx ﹣ax ﹣3（a ∈R ），若函数y=f （x ）的图象在点（2，f （2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意t ∈[1，2]，函数g （x ）=x 3+x 2[f′（x ）+]在区间（t ，3）上总不是单调函数，求m 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为3x 2+2bx+c=0的两根分别为﹣1，2，根据根与系数的关系求出a ，b 的值即可；（2）函数f （x ）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x ）＞0在（，+∞）上有解，只需f′（）＞0即可，根据一元二次函数的性质即可得到结论；（3）求出函数g （x ）的导数，问题转化为m+4＜﹣3t ，根据函数的单调性求出m 的范围即可．【解答】解：（1）∵f （x ）=x 3+bx 2+cx+d ， ∴f'（x ）=3x 2+2bx+c ，因为f （x ）=x 3+bx 2+cx+d 的单调递减区间（﹣1，2）， 所以方程f'（x ）=3x 2+2bx+c=0的两根分别为﹣1，2，即1=﹣，﹣2=，所以；（2）∵f （x ）=﹣x 3+x 2+2ax ， ∴函数的导数为f′（x ）=﹣x 2+x+2a ，若函数f （x ）在（，+∞）上存在单调递增区间，即f′（x ）＞0在（，+∞）上有解 ∵f′（x ）=﹣x 2+x+2a ，∴只需f′（）＞0即可，由f′（）=﹣++2a=2a+＞0，解得a＞﹣，当a=﹣时，f′（x）=﹣x2+x﹣=﹣（3x﹣2）（3x﹣1），则当x＞时，f′（x）＜0恒成立，即此时函数f（x）在（，+∞）上为减函数，不满足条件．（3）由f′（2）=﹣=1，a=﹣2，∴f（x）=﹣2lnx+2x﹣3，∴g（x）=x3+（+2）x2﹣2x，∴g′（x）=3x2+（m+4）x﹣2，令g′（x）=0得，△=（m+4）2+24＞0，故g′（x）=0两个根一正一负，即有且只有一个正根，∵函数g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，∴g′（x）=0在（t，3）上有且只有实数根，∵g′（0）=﹣2＜0，∴g′（t）＜0，g′（3）＞0，∴m＞﹣，（m+4）t＜2﹣3t2，故m+4＜﹣3t，而y=﹣3t在t∈[1，2]单调减，∴m＜﹣9，综合得﹣＜m＜﹣9．14．已知函数f（x）=+lnx．（1）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求正实数a的取值范围；（2）当a=1时，求f（x）在上的最大值和最小值．（3）求证：对于大于1的正整数n，ln＞．【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6B：利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）f（x）在[1，+∞）上为增函数，等价于即ax﹣1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，分离参数后化为函数的最值即可求解；（2）先求出函数的导函数以及导数为0的根，进而求出其在[，2]上的单调性即可求f（x）在[，2]上的最大值和最小值．（3）由（1）知f （x）=在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=，则x＞1，故f （x）＞f （1）=0，即f （）=+ln=﹣+ln＞0即可．【解答】解：（1）解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=，依题意：对x∈[1，+∞）恒成立，即：ax﹣1≥0对x∈[1，+∞）恒成立，也即：a对x∈[1，+∞）恒成立，∴a，即a≥1；（2）（Ⅱ）当a=1时，f'（x）=．当x∈[，1）时，f'（x）＜0，故f（x）在x∈[，1）上单调递减；当x∈[1，2]时，f'（x）＞0，f（x）在x∈[1，2]上单调递增．∴f（x）在x∈[，2]上有唯一极小值点，故f（x）min =f（x）极小值=f（1）=0，又f （）﹣f （2）=﹣2ln2=＞0，∴f （）＞f （2），∴[f （x）]max=f （）=1﹣ln2；（3）由（1）知f （x）=在[1，+∞）上为增函数，当n＞1时，令x=，则x＞1，故f （x）＞f （1）=0，即f （）=+ln=﹣+ln＞0，∴ln＞15．已知函数f（x）=lnx﹣．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）设g （x ）=﹣x 2+2bx ﹣4，若对任意x 1∈（0，2），x 2∈[1，2]，不等式f （x 1）≥g （x 2） 恒成立，求实数b 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；3R ：函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）求f′（x ），在函数定义域内利用导数与函数单调性关系解不等式f′（x ）＞0，f′（x ）＜0即可．（Ⅱ）由题意不等式f （x 1）≥g （x 2）恒成立，可转化为f （x ）min ≥g （x ）max ，或分离出参数后再求函数最值．【解答】解：（Ⅰ）f （x ）=lnx ﹣x+﹣1的定义域是（0，+∞）．f′（x ）==，由x ＞0及f′（x ）＞0得1＜x ＜3；由x ＞0及f′（x ）＜0得0＜x ＜1或x ＞3， 故函数f （x ）的单调递增区间是（1，3）；单调递减区间是（0，1），（3，+∞）． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，3）上单调递增，所以当x ∈（0，2）时，，对任意x 1∈（0，2），x 2∈[1，2]，不等式f （x 1）≥g （x 2）恒成立，问题等价于﹣≥g （x ）对任意x ∈[1，2]恒成立，即恒成立．不等式可变为b ，因为x ∈[1，2]，所以，当且仅当，即x=时取等号．所以b，故实数b 的取值范围是（]．16．已知函数f （x ）=lnx+ax 2，g （x ）=+x+b ，且直线y=﹣是函数f （x ）的一条切线． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）对任意的x 1∈[1，]，都存在x 2∈[1，4]，使得f （x 1）=g （x 2），求b 的取值范围．【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程；6B ：利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）设直线y=﹣与f （x ）相切于点（x 0，lnx 0+ax 02）（x 0＞0），求得f （x ）的导数，由已知切线方程，可得切线的斜率为0，及f （x 0）=﹣，解方程可得a 的值；（Ⅱ）由题意可得f （x ）在[1，]的值域包含于g （x ）在[1，4]的值域．运用导数，求得单调性，可得值域，再由不等式解得即可．【解答】解：（Ⅰ）设直线y=﹣与f （x ）相切于点（x 0，lnx 0+ax 02）（x 0＞0），f′（x ）=+2ax=，依题意得，解得，所以a=﹣，经检验：a=﹣符合题意；（Ⅱ）由（Ⅰ）得f （x ）=lnx ﹣x 2，所以f′（x ）=﹣x=，当x ∈（1，]时，f′（x ）＜0，所以f （x ）在[1，]上单调递减，所以当x ∈[1，]时，f （x ）min =f （）=﹣e ，f （x ）max =f （1）=﹣，，当x ∈（1，4]时，g′（x ）＞0，所以g （x ）在[1，4]上单调递增，所以当x ∈（1，4]时，g （x ）min =g （1）=2+b ，，依题意得，即有，解得．提高题（共20分）17．设函数f （x ）=（1+x ）2﹣2ln （1+x ）． （Ⅰ）求f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若当时，不等式f （x）＜m恒成立，求实数m的取值范围；（Ⅲ）若关于x的方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，求实数a的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）已知f（x）=（1+x）2﹣2ln（1+x）求出函数的导数f′（x），然后令f′（x）=0，解出函数的极值点，最后根据导数判断函数的单调性，从而求解；（Ⅱ）由题意当时，不等式f （x）＜m恒成立，只要求出f（x）的最大值小于m就可以了，从而求出实数m的取值范围；（Ⅲ）已知方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，整理移项得方程g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，利用函数的增减性得根，于是有，从而求出实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）函数的定义域为（﹣1，+∞）．∵，由f′（x）＞0，得x＞0；由f′（x）＜0，得﹣1＜x＜0．∴f（x）的递增区间是（0，+∞），递减区间是（﹣1，0）．（Ⅱ）∵由，得x=0，x=﹣2（舍去）由（Ⅰ）知f（x）在上递减，在[0，e﹣1]上递增．高三数学（理科）答案第3页（共6页）又，f（e﹣1）=e2﹣2，且．∴当时，f（x）的最大值为e2﹣2．故当m＞e2﹣2时，不等式f（x）＜m恒成立．（Ⅲ）方程f（x）=x2+x+a，x﹣a+1﹣2ln（1+x）=0．记g（x）=x﹣a+1﹣2ln（1+x），∵，由g′（x）＞0，得x＞1或x＜﹣1（舍去）．由g′（x）＜0，得﹣1＜x＜1．∴g（x）在[0，1]上递减，在[1，2]上递增．为使方程f（x）=x2+x+a在区间[0，2]上恰好有两个相异的实根，只须g（x）=0在[0，1]和（1，2]上各有一个实数根，于是有∵2﹣2ln2＜3﹣2ln3，∴实数a的取值范围是2﹣2ln2＜a≤3﹣2ln3．。