分类讨论思想在解综合题中的应用举例
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分类讨论思想在解综合题中的应用举例在研究某些问题时，要根据题目的条件分各种情况来进行解决．1. 有些概念是分类定义的．如：绝对值的概念是从正数、零、负数三种情况来分别阐明定义的内涵。
2. 有些法则、性质、定理是分类给出的．如不等式的性质，在—个不等号两边周乘以—个不为零的数，这个数是正数，不等号方向不变；如果乘的这个数是负数，不等号方向要改变 .3. 有些方程、不等式、函数解析式的系数是以字母形式给出的，字母取值范围的变化，会引起它们类型及性质的变化。
如 ax2 +bx+c=0 ， (a ， b,c 为常数 ) 当 a=0 且 b ≠ 0 时它是一个一元一次方程：当 a ≠ 0 时，它是一个一元二次方程。
由判别式的取值为正数、零、负数，决定出根的情况 .4. 有些问题图形形状、位置以及它们相对的位置或数量关系有待确定且有多种情况；这类问题往往带有一定的综合性．针对这些情况，首先要根据题目需要，确定讨论对象，做出分类；然后针对这些对象实施分类讨论，对于比较复杂的问题，还要进行逐级的分类；最后，还要对讨论的结果进行归纳，综合得出结论，这就是一种重要的数学思想方法——分类讨论思想．分类讨论的步骤可以概括成：“确定对象、分类讨论、归纳综合”三句话，在分类讨论中，需要做到按照同一个标准分类，“不重复”、“不遗漏”：保证分类讨论的科学性与合理性．例1解关于 x 的方程： a2 x+a=x+1 ．解： a2 x+a=x+1 ．(a2 -1)x=1-a当 a2 -1 ≠ 0 ，即 a ≠± 1 时， x=-；当 a=1 时， x 为任意实数；当 a=-1 时，方程无解．例2已知：的值．分析：运用等比性质求解的时候要注意分母之和不能等于零．解：当 a+b+c ≠ 0 时，由等比性质，得 ( 应用法则时要注意使用条件 )例3如图，直线 y=-x+4 与 x 轴、 y 轴分别交于点 M 、 N ．(1) 求 M 、 N 两点的坐标；(2) 如果点 P 在坐标轴上，以点 P 为圆心，警为半径的圆与直线 y=-x+4 相切，求点 P 的坐标．解： (1) 当 x=0 时， y=4 ．当 y=0 时， -x+4=0, ∴ x=3 ．∴ M(3 ， 0) ， N(0 ， 4)(2) ①当 P1点在了轴上，并且在 N 点的下方时，设⊙ P1与直线 y=-x+4 相切于点 A ，连结 P1 A ，则 P1 A ⊥ MN ．如图①∴∠ P1 AN= ∠ MON=90 °．∵∠ P1 NA= ∠ MNO 中，∴△ P1 AN ∽ AMON, ．在 Rt △ OMN 中， OM=3 ， ON=4 ，∴ MN=5 ．又∵ P1 A =，∴ P1 N=4 ．∴ P1- 点坐标是 (0 ， 0) ．②当 P2点在 x 轴上，并且在 M 点的左侧时，同理可得 P2点坐标是 (0 ， 0) ．③当 P3点在 x 轴上，并且在 M 点的右侧时，设⊙ P3与直线 y=-x+4 相切于点 B ，连结 P3 B ，则P3 B ⊥ MN ．如图∴ OA ∥ P3 B ．∵ OA=P3 B, ∴ P3 M =OM=3 ．∴ OP3 =6, ∴ P3点坐标是 (6 ， 0) ．④当 P4点在 y 轴上，并且在点 N 上方时，同理可得 P4 N=ON=4 ．∴ OP4 =8, ∴ P4点坐标是 (0 ， 8) ．综上， P 点坐标是 (0 ， 0) ， (6 ， 0) ， (0 ， 8) ．例4在平面直角坐标系． xoy 中，以 O 为圆心， 12 为半径，作圆交 x 轴于 E 、 F 两点，交 y 轴于C 、 D 两点， G 为劣 DE 上一点，且 EG=ED(1) 求 G 点的坐标；(2) 求过 G 、 E 、 F 三点抛物线的解析式：(3) 点 A 为 x 轴正半轴上一点，且在圆 O 的外部，过 A 作圆 O 的一条切线 AB ，切点为 B ，交 y 轴正半轴于点 H ，若以点 A 、 O 、 H 为顶点的三角形与三角形 EGF 相似．求 AF 的长．解： (1) 过点 G 作 CG ′⊥ x 轴，垂足为 G ′，由于 EG=ED 又∵ EF 为直径∴∠ GOE=60 °∴ GG ′ =6， OG ′ =6∴ G(-6 ， 6)解后反思：根据题目的叙述，点 G 是在第二象限．线段的长对点的坐标有重大的影响，但决不是说线段的长就对应于点的坐标．要注意在第二象限，点 G 的坐标的符号特征是负、正，因此这一点的坐标应该是(-6 ， 6) ．我们要注意点的位置，确定符号，然后再借助线段长完成点的坐标．(2) 设过 G 、 E 、 F 三点的抛物线的解析式为 y=ax2 +bx+c由已知得： E(-12 ， 0) ， F(12 ， 0) ， G(-6 ， 6)将 G 、 E 、 F 三点的坐标代入 y=ax2 +bx+c∴过 G 、 E 、 F 三点抛物线的解析式为解后反思：在求抛物线解析式的时候，过三点求抛物线的解析式是我们必须掌握的．它是借助设过三点的解析式为 y=ax2+bx+c ，把三点的坐标分别代入，得到一个三元一次方程组．(3) 连接 OB ，则 OB ⊥ AH ，由已知有∠ GFE=30 °，∠ GEF=60 °要使以点 A 、 O 、 H 为顶点的三角形与三角形 EGF 相似，必须满足∠ HAO=30 °或∠ HAO=60 °①若∠ HAO=30 °，则 OA=2OB=24∴ AF=24-12=12②若∠ HAO=60 °，则 OB=OAsin60 °， OA=8∴ AF=8-12例5已知抛物线经过 O(0 ， 0) 、 B(1 ， 1) 两点，且解析式的二次项系数为 -(a>0) ．(1) 求该抛物线的解析式 ( 系数用含 a 的代数式表示 ) ；(2) 已知点 A(0 ， 1) ，若抛物线与射线 AB 相交于点 M ，与 x 轴相交于点 N( 异于原点 ) ，求点 M ． N 的坐标 ( 用含 a 的代数式表示 ) ；(3) 在 (2) 的条件下，当 a 在什么范围内取值时， ON+BM 的值为常数 ? 当 a 在什么范围内取值时，ON-BM 的值也为常数 ?解： (1) 设所求函数的解析式为 y=-x2 +bx+c∵抛物线经过 O(0 ， 0) 、 B(1 ， 1) 两点，∴所求的解析式为： y=-x2 +(1+)x.(2) ∵点 M 在射线 AB 上，∴点 M 的纵坐标为 1 ，当 y=1 时，有 -x2 +(1+)x=1 ，解之，得 x1 =a ， x2 =1∴点 M 的坐标为 (a ， 1) ．∵点 N 在 z 轴上，∴点 N 的纵坐标为 0 ．当 y=0 时，有 -x2 +(1+)x=0 ²解之，得 x1 =0 ， x2 =a+1 ．∵点 N 异于原点，∴点 N 的坐标为 (a+1 ， 0) ．(3) ∵ ON=a+1 ， BM=|a-1| ．∴ ON+BM=a+1+|1-a|=∴当 0<a ≤ 1 时， ON+BM 为常数 2 ．∴ ON+BM=a+1-|1-a|=∴当 a ≥ 1 时， ON-BM 为常数 2 ．例6已知函数 y=x2 +kx-3 图像的顶点为 C ，并与 x 轴相交于两点 A 、 B ，且 AB=4 ．(1) 求实数 k 的值；(2) 若 P 为上述抛物线上的一个动点 ( 除点 C 外 ) ，求使 S△ ABP= S△ ABC成立的点 P 的坐标．解： (1) 设 y=x2 +kx-3 与 x 轴交于 A(x1， 0) ， B(x2， 0) ，则 x1 +x2 =-k1 ， x1² x2 =-3 ．AB=|x1 -x2 |=4 ．∴ (x1 -x2 )2=16 ，即 (x1 +x2 )2 -4x1 x2 =16 ．∴ k2 +12=16 ．∴ k=2 ，或 k=-2 ．(2)y=x2± 2x-3 ，顶点 C 为 (-1 ， -4) 或 (1 ， -4)∴ C 到 x 轴的距离为 4 ．设抛物线上一点 P(x ， y) ，使 S△ ABP=S△ ABC，又 P 不与 C 重合，∴ y=4 ．∴ x2± 2x-3=4 ，即 x2± 2x-7=0x=-1 ± 2或 x=1 ± 2∴ P 点的坐标为 (-1+2， 4) ， (-1-2， 4)(1+2， 4) ， (1-2， 4)例7已知：△ ABC 的两边 AB ， AC 的长是关于 x 的方程 x2 -(2k+3)x+k 2 +3k+2=0 的两个实根， BC=5 ．(1)k 为何值时，△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形 ?(2)k 为何值时，△ ABC 是等腰三角形，并求出它的周长．解： ( 观察题目结构先求出方程的两个根 )x2 -(2k+3)x+k2 +3k+2=0［ x-(k+1) ］［ x-(k+2) ］ =0∴ x1 =k+1 ， x2 =k+2 ．∴ x1≠ x2．即 AB ≠ AC ．我们利用 BC=5 ，来解决下面两个问题：(1) 当△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形时，由勾股定理得 (k+1)2 +(k+2)2 =52．k2 +3k-10=0 ．解出： k1 =2 ， k2 =-5 ．要使 k+1>0 ，即 k>-1 ， k=-5 不符合题意，舍去．∴当 k=2 时，△ ABC 是以 BC 为斜边的直角三角形．(2) 当△ ABC 为等腰三角形时，有以下两种情况：①当 AB=BC 时， k+1=5 ，解出 k=4 ， AC=l+2=6 ，此时△ ABC 的周长为 16 ：②当 AC=BC 时， k+2=5 ，解出 k=3 ， AB=k+1=4 ，此时△ ABC 的周长为 14 ．∴当 k=4 时等腰三角形 ABC 的周长为 16当 k=3 时等腰三角形 ABC 周长为 14 ．当一个三角形是直角三角形，或者是等腰三角形的时候，应该指出哪是直角、底角：当直角三角形没有指出哪个角是直角时，要讨论；当等腰三角形没有明确指出哪个角是底角、腰、底边时，也要分类讨论．这就是由图形的形状引发的讨论．在运用定理性质、概念解题的时候，要针对具体情况去分析．当涉及到点的位置、图形的形状、三角形对应顶点没有指出的时候等等，要根据图形的不确定性来进行讨论，从而使解题的思路更加简洁、解法更加准确．。
