2019-2020年高中数学 1.2.2空间中的平行关系第二课时教案 苏教版必修2

空间两条直线所成的角课题：空间两条直线所成的角教学目的：1了解空间两条直线的位置关系、异面直线的作图；空间两条直线所成角的种类；2掌握计算空间两条异面直线的所成角的作图和求解方法----找平行线、作平行线；3培养学生的空间想象能力和数学思维能力。

课型与教法：新授课，讲练结合法教学重点：异面直线的概念、两条异面直线所成的角的概念及求法。

教学难点：两条异面直线所成的角的作图及计算步骤。

教学备品：教学多媒体课件。

教学过程：1课时．45分钟【教学过程】2异面直线的作图技巧；3两条直线所成的角探究；二、揭示课题、探索新知板书：空间两条直线所成的角*创设情境兴趣导入在图9−30所示的长方体中，直线1BC和直线AD 是异面直线，度量1DAD∠，发现它们是相等的．∠和1CBC如果在直线AB上任选一点P，过点P分别作与直线1BC和直线AD平行的直线，那么它们所成的角是否与1CBC∠相等？图9−30经过空间任意一点分别作与两条异面直线平行的２四、运用知识 强化练习111111ABCD A B C D BA CC -如图：正方体求异面直线和所成的角。

五、课时小结：1 本节课我们研究了什么？2 我们学会了什么？3 立体几何计算题的计算步骤有哪些？六、作业设置七、板书设计：课题：……1空间两条直线位置关系2异面直线定义与作图3空间两条直线所成的角4例题5例题２---------总结立体几何计算题的解题步骤。

学生练习：作业例本节课重点和难点内容分别是异面直线所成的角及其计算，从作图到找（作）角，让学生通过相交直线的夹角来类比研究异面直线的夹角。

多媒体课件教学，让学生形象感受到异面直线夹角的形成过程。

在教学过程中，强调了立体几何中计算题的通常解法及步骤。

在教学反馈中，发现有的学生找的角是错误，主要原因是没有抓住和异面直线平行的两条直线的位置等。

在以后的教学中，更加细致的让学生分析例题中将异面直线夹角化为相交直线夹角的过程。

苏教版高中数学必修教案——两个平面平行的判定和性质一、教学目标：1. 让学生理解两个平面平行的概念，掌握两个平面平行的判定方法和性质。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高空间想象力和逻辑思维能力。

3. 通过对两个平面平行的学习，培养学生合作交流、自主探究的学习习惯。

二、教学内容：1. 两个平面平行的概念及定义。

2. 两个平面平行的判定方法。

3. 两个平面平行的性质。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：两个平面平行的判定方法和性质。

2. 教学难点：如何运用判定和性质解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究两个平面平行的判定和性质。

2. 利用多媒体辅助教学，展示空间几何模型，增强学生的空间想象力。

3. 结合实例，让学生在实际问题中运用两个平面平行的判定和性质。

五、教学过程：1. 导入新课：通过生活中的实例，引入两个平面平行的概念。

2. 自主探究：让学生独立思考，探索两个平面平行的判定方法。

4. 教师讲解：讲解两个平面平行的性质，并通过实例进行演示。

5. 练习巩固：布置练习题，让学生运用所学知识解决实际问题。

7. 课后作业：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评价：1. 通过课堂提问、练习题和课后作业，评估学生对两个平面平行判定和性质的理解程度。

2. 观察学生在解决问题时的思维过程，评价其空间想象力和逻辑思维能力。

3. 收集学生的小组讨论意见，了解其在合作交流中的表现。

七、教学拓展：1. 利用信息技术工具，如几何画板，让学生更加直观地观察两个平面平行的判定和性质。

2. 引入相关的数学历史知识，如平面几何的发展，提高学生对数学学科的兴趣。

3. 探讨两个平面平行的判定和性质在其他学科领域的应用，如物理学中的力学问题。

八、教学资源：1. 教材：苏教版高中数学必修教材。

2. 多媒体课件：包括PPT、几何画板演示等。

3. 练习题库：包括课后习题、拓展练习等。

4. 教学视频：关于两个平面平行的讲解和实例分析。

高二年级数学教学案2．两个平面平行文字表述符号表示如果一个平面内有都平行于另一个平面，那么这两个平面若,ba⊂⊂ααββ//,//ba如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么所得的两条交线线平行。

如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它（3）面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义。

拓展：空间中各种平行关系相互转化关系的示意图。

三、例题讲解类型一 平面与平面平行的判定定理的应用1、已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AA 1、CC 1的中点，求证：平面BDF//平面B 1D ，直线PB 、PD 分别与βα,，求PD 的长。

被三个平行平面γβα,,所截，α,于C、PD分别交βACF面积为72，求△BDE 在空间平行的判断与证明时要熟练掌握线线、线面、面面平行关系的相互转化。

高二年级数学教学案①定义：一般地，一条直线和由这条直线出发的两个半平面所，每个半的二面角，②度量：一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面。

=，l的平面角，二面角的来度量，二面角的平面角是多少度，）定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这两个平面。

，那么这两个平面互相垂直。

垂直于另一个平面。

（3三、例题讲解、如图在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为BB1的中点，F为CD的中点，G为AB的中点，求证：平面ADE⊥平面A1FGAB ＝AC ，侧面BB 1C 1C ⊥底面ABCCC 1MA 1，求证：截面MBC 1⊥侧面BB 1C 1C 。

所在的平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 是线AM ⊥平面BDFBCD ，∠ADB ＝60°，E 、F 分别）＜＜1λ ⊥平面ABC。

高中数学苏教版必修2第1章《1.2.2 空间两条直线的位置关系》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
1教学目标
2.1 知识与技能
(1)了解空间中两条直线的位置关系;
(2)理解异面直线的概念,培养学生的空间想象能力;
(3)理解并掌握公理4,并能运用判断空间两直线平行; (4)理解并掌握等角定理。

2.2 过程与方法
(1)师生的共同讨论与讲授法相结合;
(2)让学生在学习过程不断归纳整理所学知识。

2.3 情感、态度与价值观
(1)让学生感受到掌握空间两直线关系的必要性,提高学生的学习兴趣;
(2)通过对比空间和平面两直线间的位置关系之间异同和联系,逐步提高将立体图形转为平面图形的能力;
(3)在学习空间中两直线间的位置关系时,逐步提高辩证唯物主义观点和公理化思想、空间想象能力和思维能力;
(4)通过对等角定理证题思路的分析,帮助同学进一步熟悉分析法、综合法,提高同学的解题能力;使学生认识事物之间的相似性和变异性,培养学生科学的严谨态度。

2学情分析
《空间两条直线的位置关系》是苏教版高中数学必修2第一章第二节内容,空间两条直线的位置关系是在平面中两条直线位置关系以及平面的基本性质的基础上提出来的,它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始,又是学习这些位置关系的基础,使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯,进一步提高学生的空间想象能力,发展推理能力。

空间直线的三种位置关系在现实中大量存在,学生对他们已有一定的感性认识。

其中,相交直线和平行直线都是共面直线,学生对它们已经很熟悉,异面直线的概念学生比较生疏。

3重点难点
重点:异面直线的概念;公理4及等角定理;
难点:等角定理的推导及应用。

空间两条直线的位置关系教材分析本节内容选自苏教版普通高中课程标准实验教科书数学必修二空间中直线与直线的位置关系是立体几何中最根本的位置关系，学生在前面已经学习了平面的相关概念及性质, 这为本节内容作了一个铺垫异面直线是立体几何中十分重要的概念．研究空间点、直线和平面之间的各种位置关系必须从异面直线开始．直线的异面关系是本节的重点和难点异面直线的定义与其他概念的定义不同，它是以否认形式给出的，因此异面直线的判定以及它的证明方法也就与众不同公理4是空间等角定理的根底，而等角定理又是定义两异面直线所成角的根底，准确掌握各个知识点之间的相互关系，才能把握好两异面直线所成角的概念学情分析知识技能根底：学生在初中已经学过平面中两条直线的位置关系，直观认识了角、平行与垂直，而在前面一节已经学过平面的相关概念和性质，这为本节课的学习奠定了良好的知识技能根底学生活动经验根底：在前面知识的学习过程中，学生已经经历了一些探索、发现的数学活动经验，学会借助长方体模型来研究空间几何问题，并初步学习了在直观认识的根底上进行简单的论证，但由于学生的根底知识储藏不够，在论证的过程中会存在一些问题，教学过程中要注意引导教学目标1正确理解空间中两条直线的位置关系，特别是两直线的异面关系2以公理4和等角定理为根底，正确理解两异面直线所成角的概念以及会求两条异面直线所成的角的大小3进一步培养学生的空间想象能力，渗透化归思想以及培养学生有根有据、实事求是等严肃的科学态度和品质教学重点异面直线的概念以及异面直线所成的角教学重点异面直线的判定及异面直线所成角的求解教学过程导入新课复习回忆平面内两条直线的位置关系，并提出问题：空间中两条直线的位置关系有哪些呢？给出一组生活中的事物图片，从实物抽象出直线，发现空间中存在既不平行又不相交的直线推进新课教师说明这一种直线位置关系叫做异面直线，并让学生归纳异面直线的概念，在学生归纳的过程中教师适时引导新知探究一异面直线1提出问题①什么叫做异面直线？②总结空间中直线与直线的位置关系③两异面直线的画法活动：先让学生思考问题并动手画图，教师再进行归纳总结讨论结果：①异面直线是指不同在任何一个平面内的两条直线关键词是“任何〞②空间两条直线的位置关系有且只有三种:相交、平行和异面，并从共面情况和公共点个数对这三种位置关系进行分析，相交直线和平行直线在同一个平面内，异面直线不同在任何一个平面内；相交直线有且只有一个公共点，平行直线和异面直线没有公共点③学生画图，教师再次强调画两条异面直线时为了突出异面直线不共面的特点，作图时通常用一个或两个平面衬托，如下列图：由异面直线的第一种画法引导学生归纳出：平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线教师指出这是异面直线的判定，学生从直观上容易感觉出这两条直线是异面直线，但在论证上可能缺乏思路,教师适时引导学生逆向思维加以证明2稳固练习判断：〔1〕直线和m 是异面直线吗？〔2〕假设，那么是异面直线〔3〕不同在平面，那么是异面直线设计意图：主要让学生掌握异面直线的概念，以到达教学目标1，同时到达设置此内容为教学重点的目的新知探究二 平行公理〔公理4〕探究：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行，在空间中，是否也有类似的规律？思考：如图，在长方体中，β m m m吗？通过观察得出结论：再联系其他相应实例归纳出公理4公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行符号表示为：a∥b,b∥ca∥c强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用公理4的作用：判断空间两条直线平行的依据新知探究三等角定理〔1〕提出问题我们知道，在平面内两条相交直线成4个角，其中不大于的角称为它们的夹角。

A B 1B C 1CE 1ED 1DA 1§1.2.2 空间两条直线的位置关系(1)教学目标：1．了解空间两条直线的三种位置关系2．掌握公理4，并能熟练运用公理4证明两直线平行 3．了解等角定理，并能简单运用定理证明空间两角相等教学重点：空间两直线的三种位置关系；等角定理及公理4及其简单应用．教学难点：等角定理及公理4的简单应用．教学过程：1．问题情境(1)情境：回顾平面内两条直线的位置关系：平行和相交． (2)问题：在空间中，两直线的位置关系又有几种呢？ 2．空间两直线的位置关系 (1)异面直线的概念不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．公理4：平行于同一直线的两条直线互相平行．（也即空间平行线的传递性） 推理模式：//,////a b b c a c ⇒．思考：经过直线外一点，有几条直线和这条直线平行？（答案：有且只有一条）． 4．等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等． 已知：BAC ∠和B A C '''∠的边//,//AB A B AC A C ''''，并且方向相同， 求证：BAC B A C '''∠=∠．证明：在BAC ∠和B A C '''∠的两边分别截取 ,AD A D AE A E ''''==， ∵//,AD A D AD A D ''''=，∴A D DA ''是平行四边形，∴//,AA DD AA DD ''''=，同理//,AA EE AA EE ''''=， ∴//,EE DD EE DD ''''=，即D E ED ''是平行四边形，∴ED E D ''=，∴ADE A D E '''∆≅∆，所以，BAC B A C '''∠=∠．思考：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角的关系如何呢？ 答案：相等或互补 5．例题讲解EDBC B 1C 1D 1A 1AFDA B C EG HADBCB 1A 1C 1D 1E 1E 例1．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知,EF 分别是,AB BC 的中点， 求证：11//EF AC ．证明：连结AC ，在ABC ∆中，,E F 分别是,AB BC 的中点， ∴//EF AC ，又∵1111////,AA BB BB CC ==，∴11//AA CC =， ∴四边形11AAC C 是平行四边形，∴11//AC AC ， 所以，11//EF AC ． 例2．已知,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的中点，求证：四边形EFGH 是平行四边形． 证明：连结,AC BD ，∵,E F 是ABC ∆的边,AB BC 上的中点，∴//EF AC ， 同理，//HG AC ，∴//EF HG ，同理，//EH FG ，所以，四边形EFGH 是平行四边形．思考：空间中“两组对边分别平行”，“一组对边平行且相等”，“两组对边都相等”的四边形是否为平行四边形？为什么？(前两种成立，后一种不成立) 提高：若,,,E F G H 分别是空间四边形四条边,,,AB BC CD DA 的点，且AE AHm AB AD==， CF CGn CB CD==，什么时候四边形EFGH 是平行四边形？梯形？菱形？ 例3．如图，已知1,E E 是正方体1111ABCD A B C D -的棱11,AD A D 的中点，求证：111C E B CEB ∠=∠．分析：设法证明1111//,//E C EC E B EB 即可．证明：连结1EE ，∵1,E E 分别是棱11,AD A D 的中点，∴11//A E AE =， ∴四边形11A E EA 是平行四边形，∴11//A A E E =． 又∵11//A A B B =，∴11//E E B B =，故四边形11EE B B 是平行四边形． ∴11//E B EB ，同理11//E C EC ， 又∵111C E B ∠、CEB ∠两边的方向相同，所以，111C E B CEB ∠=∠．6．课堂小结(1) 空间两直线的三种位置关系：平行、相交、异面； (2) 公理4及等角定理的简单应用．C B AD C B A D C B A Dabab b a §1.2.2 空间两条直线的位置关系(2)教学目标：1．掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面2．掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较特殊的异面直线所成的角3．体会空间问题化归为平面问题求解的策略教学重点：异面直线的判定、异面直线所成角的寻求及其计算教学难点：异面直线概念的理解教学过程：1．问题情境(1) 垂直于同一直线的两条直线，有几种位置关系？(三种：平行、相交、异面) (2) 已知,a b 是异面直线，,a c 是异面直线，那么,b c 也是异面直线吗？ (不一定，可以相交、平行或异面)(3) 长方体ABCD A B C D ''''-中，直线AB 与1AC 具有怎样的位置关系？为什么？(异面) 学生尝试证明直线AB 与1AC 是异面直线． 教师引导：用反证法．2．异面直线的判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．推理模式：,,,A B l B l ααα∉∈⊂∉⇒AB 与l 是异面直线．(两内两外) 证明 ：假设 直线AB 与l 共面，∵,,B l B l αα∈⊂∉，∴点B 和l 确定的平面为α，∴直线AB 与l 共面于α，∴A α∈，与A α∉矛盾， 所以，AB 与l 是异面直线．3．异面直线的画法4．异面直线所成角设a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O ，作直线//a a '，//b b '，我们把直线a '和b 'c b OaQ NP MA DB CA'D'B'C'说明：○1为了简便，点O 通常取在异面直线的一条上； ○2异面直线所成角的范围(0,90]θ∈︒︒．5．例题讲解例1．判断下列命题是否正确，并说明理由． (1)空间两条直线可以确定一个平面．(不正确) (2)垂直于两条异面直线的直线只有一条．(不正确) (3)垂直于同一条直线的两条直线平行．(不正确)(4)直线a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 平行．(正确) (5)直线a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 相交．(不正确) (6)直线a 与b 异面，b 与c 异面，则a 与c 异面．(不正确)(7)一条直线于两条平行线中的一条垂直，必和另一条也垂直．(正确)注：与两条异面直线都垂直且相交的直线称为这两条异面直线的公垂线，公垂线有且只有一条．例2．如图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，,M P 是直线a 上的两点，,N Q 分别是,b c 上的一点．求证：MN 和PQ 是异面直线．证：(法一)假设MN 和PQ 不是异面直线， 则MN 与PQ 在同一平面内，设为α，∵,,,M P a M P α∈∈，∴a α⊂，又O a ∈，∴O α∈，∵,,N O b N b α∈∈∈，∴b α⊂， 同理c α⊂，∴,,a b c 共面于α，与已知,,a b c 不共面相矛盾， 所以，MN 和PQ 是异面直线．(法二)：∵a c O = ，∴直线,a c 确定一平面设为β， ∵,P a Q c ∈∈，∴,P Q ββ∈∈， ∴PQ β⊂且,M M PQ β∈∉，又,,a b c 不共面，N b ∈，∴N β∉， 所以，MN 与PQ 为异面直线．例3．正方体ABCD A B C D ''''-中．(1)正方体的哪些棱所在的直线与直线BC '是异面直线？ (2)求异面直线AA '与BC 所成的角． (3)求异面直线BA '与CC '所成的角． (4)求异面直线BC '与AC 所成的角．(5)已知,E F 分别为,CC AD '的中点，求异面直线 A F '与BE 所成角．(6)已知,,,M N P Q 分别为,,,A D A B AB BB '''''的中点，求异面直线MN 与PQ 所成角．解：(1)正方体的12条棱中，除去与BC '相交的6条棱，其余6条棱：,,,,,A A A B A D DA DC DD '''''' 都与直线BC '是异面直线． (2) 90︒；说明一：○1若两条异面直线所成角是直角，则称这两条异面直线互相垂直，用符号表示为a b⊥．○2还有哪些棱所在的直线与直线AA'垂直呢？(答案：还有直线,,,,,,AB CD DA A B B C C D D A''''''''与直线AA'垂直)(3)45︒；(4)60︒；(5) 90︒；(6) 60︒．说明二：○1作异面直线所成角时，点O的选取的原则是尽量要使求角方便．○2求异面直线所成角的一般步骤是：“作—证—算—答”．例4．空间四边形ABCD中，AD BC==,E F分别是,AB CD的中点，1EF=，求异面直线,AD BC所成的角．解：取BD中点G，连结,,EG FG EF，∵,E F分别是AB∴//,//,EG AD FG BC且11,222EG AD FG BC====∴异面直线,AD BC所成的角即为,EG FG所成的角，在EGF∆中，222EG FG EF+=，∴90EGF∠=︒，异面直线,AD BC所成的角为90︒．思考：EF与()12AD BC+的大小关系是什么？答：()12EF AD BC EG FG<+=+练习：(1)空间四边形ABCD中，边长与对角线的长都相等，,E F分别是,AB CD的中点，，求异面直线,EF AD所成的角．(45︒)(2)在空间四边形ABCD中，8AB CD==，,M N分别是,BC AD的中点，如异面直线AB与CD成60︒角，求MN的长．(60MPN∠=︒或120︒，4MN=或6．课堂小结(1)判断两直线是否异面的一般方法是：○1利用反证法；○2用判定定理．(2)求异面直线所成角的一般步骤是：“作—证—算—答”．。

1.2.2空间中的平行关系(一)【学习要求】1．掌握空间中两条直线的位置关系．2．理解并掌握基本性质4及等角公理．【学法指导】通过平行直线、基本性质4及等角定理的学习，进一步加深对空间两直线位置关系的理解及运用；通过在平面上画出直线的位置关系，培养空间想象能力.填一填：知识要点、记下疑难点1．基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．2．等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且方向相同，那么这两个角相等．3．空间四边形：顺次连接不共面的四点A，B，C，D所构成的图形，叫做空间四边形．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在平面上，我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”，在空间中，结论是否仍然成立呢？探究点一平行直线问题1在初中平行直线是怎样定义的？答：我们把在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线．问题2初中学过的平行公理的内容是什么？答：过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．问题3空间中两条直线有几种位置关系？分别是哪几种？答：空间两条直线的位置关系有且只有三种：问题4在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行．在空间中，是否有类似的规律？现在请大家看一看我们的教室，找一下有无不在同一平面内的三条直线两两平行的.答：教室里的地面和墙面相交的两条平行线与墙面和天花板相交的直线不在同一平面内，且三条直线两两平行．小结：基本性质4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．基本性质4通常又叫做空间平行线的传递性．问题5基本性质4有什么作用？如何用符号语言表示基本性质4?答：基本性质4作用：判断空间两条直线平行的依据．符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c，若a∥c，b∥c，则a∥b.例1在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知E，F分别是AB, BC 的中点，求证：EF∥A1C1.证明：如图，连接AC，在△ABC中，E, F分别是AB, BC 的中点，所以EF∥AC.又因为AA1∥BB1且AA1＝BB1，BB1∥CC1且BB1＝CC1，所以AA1∥CC1且AA1＝CC1.即四边形AA1C1C是平行四边形，所以AC∥A1C1，从而EF∥A1C1.小结：本题主要考查两条直线平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由基本性质4证明．跟踪训练1已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E、F分别为AA1、CC1的中点．求证：BF∥ED1.证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1、GE.∵F为CC1的中点，∴BG=C1F. ∴四边形BGC1F为平行四边形．∴BF∥GC1.又∵EG∥A1B1，A1B1∥C1D1，∴EG∥D1C1. ∴四边形EGC1D1为平行四边形．∴ED1∥GC1.∴BF∥ED1.探究点二等角定理问题1观察图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC 与∠A′B′C′的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？答：从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＝∠A′B′C′.小结：本题主要考查两条直线的平行的判定，关键是寻找直线平行的条件，可由平行线公理证明．问题2试一试，如何证明等角定理呢？已知：如图所示，∠BAC和∠B′A′C′的边AB∥A′B′，AC∥A′C′，且射线AB与A′B′同向，射线AC与A′C′同向．求证：∠BAC＝∠B′A′C′.证明：对于∠BAC和∠B′A′C′在同一平面内的情形，用初中所学的知识容易证明．下面证明两个角不在同一平面内的情形．分别在∠BAC的两边和∠B′A′C′的两边上截取线段AD，AE和A′D′，A′E′，使AD＝A′D′，AE＝A′E′.因为AD綊A′D′，所以AA′D′D是平行四边形．可得AA′綊DD′.同理可得AA′綊EE′. 于是DD′綊EE′，因此DD′E′E 是平行四边形．可得DE ＝D′E′. 于是△ADE ≌△A′D′E′，因此∠BAC ＝B′A′C′.问题3 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，并且对应边的方向都相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？答：这两个角相等．如图，过∠2的一边作∠1的一边的平行线，则∠1与∠3的对应边分别平行且方向相同，所以∠1＝∠3，而∠2与∠3是内错角，所以∠2＝∠3，因此∠1＝∠2.问题4 空间中，如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应平行，如果一组对应边方向相同，另一组对应边方向相反，那么这两个角的大小关系如何？为什么？答：这两个角互补．因为延长一个角的一边，则这个角的补角与另一个角的两条对应边分别平行，且方向相反，所以一个角的补角与另一个角相等，所以这两个角互补．问题5 想一想，由等角定理能推出什么结论？答：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等．例2 如图，已知E ，E 1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点．求证：∠C 1E 1B 1 ＝ ∠CEB. 证明：由于E ，E1分别是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱AD, A 1D 1的中点，所以EE 1∥DD 1，且EE 1＝DD 1，又因DD 1∥CC 1且DD 1＝CC 1， 所以EE 1∥CC 1且EE 1＝CC 1，所以四边形EE 1C 1C 是平行四边形． 所以E 1C 1∥EC.同理可得E 1B 1∥EB ， 所以由等角定理知∠C 1E 1B 1＝∠CEB.小结：有关证明角相等问题，一般采用下面三种途径：①利用等角定理及其推论；②利用三角形相似；③利用三角形全等．本例是通过第一种途径来实现的．请同学们利用第三种途径给予证明．跟踪训练2 已知棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱CD 、AD 的中点．求证：(1)四边形MNA 1C 1是梯形； (2)∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.证明：(1)如图，连接AC ，在△ACD 中，∵M 、N 分别是CD 、AD 的中点，∴MN 是三角形的中位线， ∴MN//AC ，MN ＝12AC. 由正方体的性质得：AC//A 1C 1，AC ＝A 1C 1.∴MN//A 1C 1，且MN ＝12A 1C 1，即MN≠A 1C 1， ∴四边形MNA 1C 1是梯形． (2)由(1)可知MN//A 1C 1， 又∵ND//A 1D 1， ∴∠DNM 与∠D 1A 1C 1相等或互补．而∠DNM 与∠D 1A 1C 1均是直角三角形的一个锐角， ∴∠DNM ＝∠D 1A 1C 1.探究点三 空间四边形的有关概念问题1 阅读教材40页，你能说出什么是空间四边形？什么是空间四边形的顶点？什么是空间四边形的边？空间四边形的对角线？答：顺次连接不共面的四点A 、B 、C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形；四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线问题2 你能画出一个空间四边形，并指出空间四边形的对角线吗？答：如图，是一个空间四边形， AC 、BD 是它的对角线.问题3 空间四边形的常见画法经常用一个平面衬托，你能画出吗？答： 如下图中的两种空间四边形ABCD 和ABOC.例3 如图所示，空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点． 求证：四边形EFGH 是平行四边形.证明：连接BD ， 因为EH 是△ABD 的中位线，所以EH ∥BD ，且EH ＝12BD. 同理FG ∥BD ， 且FG ＝12BD. 因为EH ∥FG ， 且EH ＝ FG ,所以四边形EFGH 为平行四边形.跟踪训练3 在例3中，如果再加上条件AC ＝BD ，那么四边形EFGH 是什么图形？解：四边形EFGH 是菱形．证明如下：由例3可知四边形EFGH 为平行四边形，连接AC ，由题意知HG 为△ADC 的中位线，所以HG ＝12AC ， 又因为EH 是△ABD 的中位线，EH ＝12BD ，由AC ＝BD 知，HG ＝EH.所以四边形EFGH 是菱形. 练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列结论正确的是 ( )A ．若两个角相等，则这两个角的两边分别平行B ．空间四边形的四个顶点可以在一个平面内C ．空间四边形的两条对角线可以相交D ．空间四边形的两条对角线不相交解析： 空间四边形的四个顶点不在同一平面上，所以它的对角线不相交，否则四个顶点共面，故选D.2．下面三个命题， 其中正确的个数是 ( )①三条相互平行的直线必共面；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角都是直角，则这个四边形是圆的内接四边形．A ．1个B ．2个C ．3个 D. 一个也不正确解析： 空间中三条平行线不一定共面，故①错；当把正方形沿对角线折成空间四边形，这时满足两组对边分别相等，也满足有一组对角都是直角，故②、③都错，故选D.课堂小结：1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．另外，我们解决空间有关线线问题时，不要忘了我们生活中的模型，比如说教室就是一个长方体模型，里面的线线关系非常丰富，我们要好好地利用它，它是我们培养空间想象能力的好工具．3．注意：等角定理的逆命题不成立．。

1.2.2空间中的平行关系(三)【学习要求】1．掌握平面与平面的位置关系，会判断平面与平面的位置关系．2．学会用图形语言、符号语言表示平面间的位置关系．3．掌握空间中面面平行的判定定理及性质定理，并能应用这两个定理解决问题．【学法指导】通过观察空间中平面与平面平行所用到的实物及模型，归纳抽象出两平面平行的判定定理，进一步得到面面平行的性质定理，培养空间问题平面化的思想及数学中化归与转化的思想方法.填一填：知识要点、记下疑难点1．平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α∥β.2．面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3．判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．4．面面平行的性质定理：(1)如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面．(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]通过前面的学习，对直线与平面的平行的判定有了一个明确的认识，那么空间中两个平面的平行如何判定呢？若两平面平行又有怎样的性质哪？本节我们就来研究这些问题．探究点一平面与平面之间的位置关系问题1拿出两本书，看作两个平面，上下、左右移动和翻转，它们之间的位置关系有几种？答：从实验中可以看出，两个平面之间的位置关系只有平行或相交．问题2两个平面平行是如何定义的？答：平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α∥β.问题3如何画两个平行平面？答：在画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的相邻两边分别画成平行线．小结：两个平面之间的位置关系有且只有以下两种：(1)两个平面平行——没有公共点；(2)两个平面相交——有一条公共直线．问题4平面与平面平行的符号语言和图形语言分别怎样表达？答：平面与平面平行的符号语言是α∥β；图形语言是：问题5已知α，β，直线a，b，且α∥β，a⊂α，b⊂β，则直线a与直线b具有怎样的位置关系？答：平行或异面探究点二平面与平面平行的判定问题1生活中有没有平面与平面平行的例子呢？答：教室的天花板与地面给人平行的感觉，前后两块黑板也是平行的．问题2三角板或课本的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板或课本所在平面与桌面平行吗？答：通过试验得出不一定平行．问题3因为两条相交直线确定唯一一个平面，这启示我们尝试用两条相交直线来讨论平面的平行问题．当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行，情况又如何呢？答：当三角板或课本的两条邻边所在直线分别与桌面平行时，这个三角板或课本所在平面与桌面平行．小结：面面平行的判定定理：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面叫做平行平面. 记作α∥β.这个定理可简单记为线面平行，则面面平行．问题4如何用符号及图形表达平面与平面平行的判定定理？答：符号表示：a⊂β，b⊂β，a∩b＝A，a∥α，b∥α⇒α∥β. 图形表示：问题5如何证明面面平行的判定定理？已知：a，b⊂α，a∩b＝A，a，b∥β.求证：α∥β.证明：假设α∩β＝c.∵a∥β，a⊂α，∴a∥c.同理b∥c.于是在平面内过点A有两条直线与c平行，这与平行公理矛盾，假设不成立．∴α∥β.问题6如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行吗？为什么？答：平行．因相交直线中的一条平行于另一个平面内的一条直线，由直线与平面平行的判定定理知，这条直线平行于另一个平面，同理相交直线中的另一条直线也平行于另一个平面，即一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，所以由平面与平面平行的判定定理知，这两个平面平行．小结：判定定理的推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．例1 如图，已知三棱锥P —ABC 中，D ，E ，F 分别是PA ，PB ，PC 的中点，求证：平面DEF ∥平面ABC. 证明： 在△PAB 中，因为D ，E 分别是PA ，PB 的中点，所以DE ∥AB ，又知DE ⊄平面ABC ，因此DE ∥平面ABC ，同理EF ∥平面ABC ，又因为DE∩EF ＝E ，所以平面DEF ∥平面ABC.小结：证明面面平行常用面面平行的判定定理及其推论，面面平行的定义也可以判定面面平行，但不常用．跟踪训练1 如图，在长方体ABCD —A′B′C′D′中，求证：平面C′DB ∥平面AB′D′.证明： ∵AB ∥DC ∥D′C′，∴ABC′D′是平行四边形，∴BC′∥AD′.又∵BC′⊄平面AB′D′，AD′⊂平面AB′D′，∴BC′∥平面AB′D′.同理：C′D ∥平面AB′D′，∵BC′∩C′D ＝C′，∴平面C′DB ∥平面AB′D′.探究点三 平面与平面平行的性质问题1 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面有什么位置关系？答： 如果两个平面平行，那么一个平面内的直线与另一个平面平行．问题2 如果两个平面平行，两个平面内的直线有什么位置关系？答：借助长方体模型，如右图，B′D′所在的平面A′C′与平面AC 平行，所以B′D′与平面AC 没有公共点．因此，直线B′D′与平面AC 内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线．问题3 在长方体ABCD —A′B′C′D′中，平面AC 内哪些直线与直线B′D′平行呢？如何找到它们呢？答： 平面AC 内的直线只要与直线B′D′共面就平行．在平面AC 中，与BD 平行的直线也平行直线B′D′. 问题4 当第三个平面和两个平行平面都相交时，两条交线有什么关系？答： 两条交线平行．小结： 面面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．问题5 你能写出面面平行的性质定理的已知与求证，并给出证明吗？答：已知 如下图，平面α，β，γ满足α∥β，α∩γ＝a ，β∩γ＝b.求证 a ∥b.证明： ∵α∩γ＝a ，β∩γ＝b ，∴a ⊂α，b ⊂β.因α∥β，∴a ，b 没有公共点．又因为a ，b 同在平面γ内，所以a ∥b.问题6 如何用符号语言表示面面平行的性质定理？这个定理的作用是什么？答： ⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∩γ＝a β∩γ＝b ⇒a ∥b ； 定理的作用是由面面平行证明线线平行．例2 已知：平面α∥平面β∥平面γ，两条直线l ，m 分别与平面α，β，γ相交于点A ，B ，C 和点D ，E ，F.求证：AB BC ＝DE EF. 证明：连接DC ，设DC 与平面β相交于点G ，则平面ACD 与平面α，β分别相交于直线AD ，BG .平面DCF 与平面β，γ分别相交于直线GE ，CF.因为α∥β，β∥γ.所以BG ∥AD ，GE ∥CF.于是，得AB BC ＝DG GC ，DG GC ＝DE EF. 所以AB BC ＝DE EF. 小结：由本例题可以得出一个重要结论：两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例．跟踪训练2 求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．已知：如图所示，α∥β，AB ∥CD ，且A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β.求证：AB ＝CD.证明：因为AB ∥CD ，所以过AB ，CD 可作平面γ，且平面γ与平面α和β分别相交于AC 和BD.因为α∥β，所以BD ∥AC. 因此，四边形ABDC 是平行四边形． 所以AB ＝CD.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．下列说法正确的是(C)A．如果两个平面有三个公共点，那么它们重合B．过两条异面直线中的一条可以作无数个平面与另一条直线平行C．在两个平行平面中，一个平面内的任何直线都与另一个平面平行D．如果两个平面平行，那么分别在两个平面中的两条直线平行解析：由两平面平行的定义知：一平面内的任何直线与另一平面均无交点，所以选C.2．直线l∥平面α，直线m∥平面α，直线l与m相交于点P，且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是(B) A．相交B．平行C．异面D．不确定解析：因l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β. 又因l∥α，m∥α，l∩m＝P，所以β∥α.3．已知A、B是平面α外的两点，则过A、B与α平行的平面有__0或1____个．解析：当直线AB与平面α相交时，不存在过A、B与平面α平行的平面；当直线AB∥α时，有且只有一个平面过A、B与平面α平行．课堂小结：1．证明平面与平面平行的一般思路为：要证面面平行，只要证线面平行，而要证线面平行，只要证线线平行．在立体几何中，往往通过线线、线面、面面间的位置关系的转化使问题得到解决．2．两个平面平行具有如下的一些性质：(1)如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都与另一个平面平行；(2)如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行；(3)如果一条直线和两个平行平面中的一个相交，那么它也和另一个平面相交；(4)夹在两个平行平面间的所有平行线段相等．3．证明面面平行，常用平行公理、三角形中位线定理、构造平行四边形等来证明．。

高中空间中的平行关系教案在高中数学的立体几何部分，平行关系的探究是基础而重要的一环。

它不仅关系到学生对空间直观的理解，也是后续学习的重要基础。

今天，我们就来设计一份高中空间中的平行关系教案范本，以帮助教师更好地展开教学活动。

#### 教学目标1. 理解并掌握直线与平面、平面与平面之间平行关系的定义及性质。

2. 能够运用公理、定理判断和证明空间中的平行关系。

3. 培养学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

#### 教学内容- 直线与平面平行的判定及其性质。

- 平面与平面平行的判定及其性质。

- 平行关系的证明方法。

#### 教学过程**导入新课：**开始上课时，通过提问学生日常生活中关于平行现象的实例，如铁轨、桥梁等，引出平行线和平行面的概念。

**讲解新知：**- 首先，明确直线与平面平行的定义，即直线与平面不相交的情况。

- 其次，介绍直线与平面平行的判定方法，例如利用已知的平行线或使用反证法。

- 然后，阐述平面与平面平行的定义，即两个平面不相交的状态。

- 接着，讨论平面与平面平行的判定方法，包括利用公共线的性质等。

**课堂练习：**- 提供若干个直线与平面平行的判断题供学生练习，加深对知识点的理解。

- 设计一道平面与平面平行的题目，让学生尝试证明两平面的平行关系。

**小组合作：**- 分组进行讨论，每组给出一个生活中的例子，说明其中包含的平行关系，并尝试用所学的知识解释其原因。

**总结提升：**- 归纳本节课所学的平行关系的特点和证明方法。

- 强调空间想象力和逻辑推理能力在解决平行关系问题中的重要性。

#### 作业布置- 要求学生独立完成几个直线与平面、平面与平面平行的问题，作为课后练习。

- 鼓励学生在生活中寻找平行关系的实例，并尝试给出数学上的解释。

#### 教学反思- 分析学生在课堂上的表现，了解他们对平行关系的理解程度。

- 思考如何进一步提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

- 根据学生的反馈调整教学方法，确保每个学生都能掌握平行关系的相关知识。

2、要求学生完成第五题
学生先列式后思考:要求平均每班借书多少本?应先算什么?怎样列出综合算式?
3、要求学生完成第六题
学生先算，再比较
说说你发现了什么？
3、算一算，比一比
用自己的语言总结规律
学生思考独立完成。
学生思考后独立完成并交流。
学生计算并交流。
学生计算并交流规律。
三、巩固练习。
让学生完成课堂作业：第三题
让学生感知明确有小括号的混合运算的运算顺序。组织讨论在自学过程中你明白了什么？学到了什么？
问：有小括号的混合运算的运算顺序先算什么后算什么，并让学生完成“试一试”，
学生讨论：解决例题中的问题。
学生交流自己的想法
学生交流。
学生同桌讨论运算顺序并指名交流。
学生独立完成。
三、巩固练习。
1、要求学生完成“想想做做”第1题；任意选择2题完成在自己的本子上，然后集体校对；
评讲思考题。
让学生自己尝试通过同桌讨论来解决问题；并交流解决的方法，形成一定的认知水平。
学生独立做在课堂作业本上，然后交流评讲。
同桌讨论并汇报。
四、评价总结。
今天的练习，你又获得了什么？在以后学习中要注意些什么？
学生自己总结。
教后反思：
设计理念：通过生活中的实例，理解用小括号的必要性和作用。
教学步骤
教师活动
学生活动
一、导入新课。
1、谈话导入，同学们，昨天杭老师到大润发大卖场买了一件80元的衬衫，我一共带了100元，你们帮老师算算剩下的钱我还可以买5元一双的袜子几双？
2、根据学生可能列出的算式进行灵活的引入，同学们都是用分步的方法进行计算的，那么我们能否用一个算式来解决这个问题呢？今天我们将学习新的知识，板书课题。

空间中直线与直线之间的位置关系（第二课时）异面直线所成的角教材版本人民教育出版社普通高中课程标准实验教科书A版数学必修2教材分析空间中直线与直线的位置关系是在平面中两条直线位置关系及平面的基本性质的基础上提出来的。

它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学习这些位置关系的基础，是我们研究的重点。

教学目标［知识与技能］理解空间两异面直线所成角的定义、范围，并会作出、求出两异面直线所成角。

［过程与方法］在学习的过程中培养学生的识图、作图能力、在习题讲解中，培养学生的空间想象能力以及解决问题和分析问题的能力。

［情感、态度与价值观］在对学生进行创造性思维培养的同时，激发学生对科学文化知识的探求热情和逻辑清晰的辩证主义观点。

教学重点：对异面直线所成角的定义的理解和应用。

教学难点：如何在实际问题中求出异面直线所成的角。

教学过程：一、新课引入利用多媒体课件引入新课：两异面直线所成的角二、讲授新课（一）、异面直线所成的角的定义1、实验：黑板上画有两条能相交的直线ａ、ｂ（但交点在黑板外）．不许延长黑板上的线段，问如何能做出ａ、ｂ所成的角的大小？2、实验：现在有两条异面直线ａ、ｂ，它们之间有一定的角度关系，你用什么方法可以度量它们的角度。

3、异面直线所成的角的定义已知异面直线a、b，在空间中任取一点O，过点O分别作a′∥a，b′∥b，则a′，b′所成的锐角（或直角）叫做两条异面直线所成的角．问题：由于点O可以任意选取，那么按此方法做出的角能有多少个？它们的大小有什么关系？注意：（1）异面直线所成的角只和两条异面直线的位置有关，而和点O位置的选择无关。

（2）注意把握异面直线所成角的范围，即0°＜α≤90°（3）异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直。

今后再说两条直线互相垂直时，它们可能相交，也可能异面。

（二）异面直线所成角的求法[典例剖析]：例题1：如图：已知正方体ABCD--A1B1C1D1，1直线BA1和CC1的夹角是多少？2哪些棱所在直线与直线AA1垂直？3直线BA1和AC的夹角是多少？4直线BD1和AC的夹角是多少？AC A1总结： 异面直线所成角的求法1直接找平行线； 2已知中点做中位线；3补形法 。

1.2.2　空间两条直线的位置关系（2）教学目标：1．深化对异面直线定义的理解；2．理解异面直线所成角的定义和范围，能通过平移的方法将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角；3．进一步体会空间问题平面化的解题策略．教材分析及教材内容的定位：两条直线异面是空间两条直线重要一种位置关系．异面直线所成的角反映了两条异面直线的相互倾斜程度．通过平移，我们将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角，公理4为平移前后两条直线保持位置上的平行提供保证，等角定理则为平移后保持角的大小不变提供理论基础．异面直线所成的角的定义不仅体现了空间问题平面化的解题策略，也给出了探求异面直线所成角的具体方法．另外，异面直线所成的角是空间角的重要一种，它的平面化的探求过程也为后面学习线面所成的角以及二面角提供了思想基础．教学重点：异面直线所成角的定义．教学难点：将异面直线所成的角转化成两条相交直线所成的角．教学方法：13． 如图在正方体中和对角线C 1A 异面的棱有哪几条？二、学生活动1．回忆空间两条直线的位置关系有哪些？什么叫异面直线？（进一步理解异面直线定义的实质）2．每两位同学一组，把桌面作为平面α，一位同学持一支笔在桌面上移动表示平面内一条直线l ，另一位同学持一支笔（表示另一条直线m ）使其一端经过桌面上一点B ，观察并思考什么情况下直线l 和直线m 是异面直线？（由此引导学生得出异面直线的判定定理）3．借助合作构建异面直线的模型，思考如何刻画异面直线间的相互倾斜程度？平面内两条直线的相互倾斜程度是用什么来刻画的？（由此导出异面直线所成角的定义）4．利用异面直线的模型，思考如何将空间角转化成平面角？如何平移两条异面直线成为相交直线？（由此得出探求异面直线所成角的一般步骤）三、建构数学1．异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线；2．异面直线的直观图画法：通常把一条直线画在一个平面内，另一条直线在平面外（如下图所示）．3．异面直线的判定定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线．符号表示：若l ⊂α，A ∉α，B ∈α，B ∉l ，则直线AB 与l 是异面直线．（可以引导学生用反证法给予证明）4．两条异面直线所成的角的定义：如下图所示，a ，b 是两条异面直线，在空间中任选一点O ，过O 点分别作 a ，b 的平行线 a ′和 b ′，则这两条直线a ′和 b ′所成的锐角θ（或直角），称为异面直线a ，b 所成的角．若两条异面直线所成角为90°，则称它们互相垂直．异面直线a 与b 垂直也记作a ⊥b ．异面直线所成角θ的取值范围： ．(0,90]︒︒（3）求直线A 1B 与直线B 1C 所成的角的度数．例2　空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是对角线BD ，AC 的中点，（1）若BC ＝AD ＝2EF ，求直线EF 与AD 所成角的大小．（2）若AB ＝8，CD ＝6，EF ＝5，求AB 与CD 所成角的大小．（3）已知不共面的三直线a ，b ，c 相交于点O ，M ，P 是a 上两点，N ，Q 分别在b ，c 上 ．求证：MN ，PQ 异面．BCDA EFC1A。

1.2.2 空间两条直线的位置关系（1）教学目标：1．了解空间两条直线的位置关系；2．理解并掌握公理4及等角定理；3．初步培养学生空间想象能力，抽象概括能力，让学生初步了解将空间问题平面化是处理空间问题的基本策略.教材分析及教材内容的定位：本节课是研究空间线线位置关系的基础，异面直线的定义是本节课的重点和难点.公理4是等角定理的基础，而等角定理是后面学习异面直线所成角的理论基础，也是判断空间两角相等的重要方法.空间问题平面化是立体几何的核心思想之一，而这个思想的形成需要一个过程，本节课需要对此进行渗透.因此本节课具有承上启下的作用.教学重点：异面直线的定义，公理4及等角定理．教学难点：异面直线的定义，等角定理的证明，空间问题平面化思想的渗透.教学方法：变式：如图E 、F 、G 、H 是平面四边形ABCD 四边中点，四边形EFGH 的形状是平行四边A B CDB A 1C 1B 1D 1A B C D E F形吗？为什么？如果将ABCD 沿着对角线BD 折起就形成空间四边形ABCD ，那么四边形EFGH 的形状还是平行四边形吗？例2 如图在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，已知E 1，E 分别为A 1D 1，AD 的中点，求证：∠C 1E 1B 1＝∠CEB ．2．练习.（1）若两直线a 和b 没有公共点，则a 与b 的位置关系________________． （2）直线a 和b 分别是长方体的两个相邻的面的对角线所在直线，则a 和b 的位置关系是_________．（3）如果OA ∥O 1A 1，OB ∥O 1B 1，∠AOB ＝40o，则∠A 1O 1B 1＝ ．（4）如图已知AA 1，BB 1，CC 1不共面，AA 1 BB 1，BB 1 CC 1，求证：△ABC ≌△A 1B 1C 1．A B CD E F GHA B CDE F G H折叠E 1E A 1C 1B 1D 1 ABCD∥ ∥。

2019-2020年高中数学 1.2.3空间中的垂直关系第二课时教案苏教版必修2教学目标：1、平面与平面垂直的概念2、平面与平面垂直的判定与性质教学重点：平面与平面垂直的判定与性质教学过程：（一）两平面垂直的概念（二）平面与平面垂直的判定：如果一平面经过另一个平面的垂线，则两个平面互相垂直（三）平面与平面垂直的性质：（1）平面与平面垂直，则在第一个平面内垂直与交线的直线垂直于第二个平面（2）平面与平面垂直，过一个平面内一点垂直于另一个平面的直线在第一个平面内且垂直与交线（四）例子与练习例1求证：若两相交平面垂直于同一平面，那么，其交线也垂直于这个平面.已知：平面、、，，且求证：证明：方法一：设，在内作，由平面与平面垂直的性质可得：因为所以同理故方法二：设，在内作直线，在内作直线由平面与平面垂直的性质得：，故又因为 ,得因为，故所以例2如图，△ABC为正三角形，CE⊥平面ABC，BD//CE且CE=CA=2BD,M是EA的中点.求证:（1）=（2）平面BDM⊥平面ECA证明：（1）如图设为的中点，连结、. 因为△ABC为正三角形，所以又因为，所以且故四边形是平行四边形，由于，所以平面所以平面所以故 =（2）由（1）知平面，平面BDM所以平面BDM⊥平面ECA课堂练习：教材第59页练习A、B小结：本节课学习了平面与平面垂直的判定与性质课后作业：教材第60页习题1-2A：16BMD CEAN2019-2020年高中数学 1.2.3组合（一）学案 新人教A 版选修2-3基础梳理1．组合的概念．(1)从n 个不同元素中，任取m (m ≤n )个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个组合，记作C mn ．(2)如果两个组合中的元素完全相同，不管他们的顺序如何都是相同的组合． 如果两个组合中的元素不完全相同(即使只有一个元素不同)，就是不同的组合． (3)组合与排列问题共同点是都要“从n 个不同元素中，任取m 个元素”，不同点是前者“不管怎样顺序并成一组”，而后都要“按照一定顺序排成一列”．2．组合数公式及性质．(1)从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数．用符号C mn 表示．C m n＝A mn A m m ＝n （n －1）（n －2）…（n －m ＋1）m ！这里m 、n ∈N *，并且m ≤n ，组合数公式可以用阶乘表示为： C mn ＝n ！m ！（n －m ）！规定：C 0n ＝1(2)组合数的性质： ①C m n ＝C n －mn ； ②C m n ＋1＝C m n ＋C m －1n ． 自测自评1．给出下列问题：①从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法？②有4张电影票，要在7人中确定4个去观看，有多少种不同的选法？③某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，则不同的结果有多少种？ 其中组合问题的个数是(C )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C.①与顺序有关，是排列问题；②③均与顺序无关，是组合问题．故选C.2．若C x 6＝C 26，则x 的值是2或4．3．正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有(D )A ．20条B ．15条C ．12条D ．10条注意组合数中字母的取值范围【典例】 已知1C m 5－1C m 6＝710C m 7，则m ＝________________________________________________________________________.解析：依题意，m 的取值范围是{m |0≤m ≤5，m ∈N *}．原等式化为m ！·（5－m ）！5！－m ！·（6－m ）！6！＝7m ！·（7－m ）！10×7！，化简得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21或m ＝2.因为0≤m ≤5，m ∈N *，所以m ＝21应舍去，所以m ＝2.【易错剖析】运用组合数公式时，必须注意其中对字母取值范围的限制．本题中，在求出m ＝21和m ＝2之后，有时容易忽视了m 的取值范围，而没有舍去m ＝21，导致结果错误．基础巩固1．若C x6＝C 26，则x 的值为(C )A ．2B ．4C ．4或2D ．3解析： 由组合数性质知x ＝2或x ＝6－2＝4，故选C.2．甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有(C )A ．36种B ．48种C ．96种D ．192种解析：甲选修2门有C 24＝6种选法，乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法原理可知，共有6×4×4＝96种选法．3．某校一年级有5个班，二年级有8个班，三年级有3个班，分年级举行班与班之间的篮球单循环赛，总共需进行比赛的场数是(A )A ．C 25＋C 28＋C 23B ．C 25C 22C 23C ．A 25＋A 28＋A 23D ．C 2164．按ABO 血型系统学说，每个人的血型为A 、B 、O 、AB 四种之一，依血型遗传学，当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时，子女一定不是O 型，若某人的血型为O 型，则父母血型所有可能情况有______种．解析：父母应为A 、B 或O ，C 13·C 13＝9(种)． 答案：9能力提升5.集合M ＝{x |x ＝C n4，n ≥0且n ∈N }，集合Q ＝{1，2，3，4}，则下列结论正确的是(D ) A ．M ∪Q ＝{0，1，2，3，4} B ．Q ⊆M C ．M ⊆Q D ．M ∩Q ＝{1，4}解析：由C n 4知，n ＝0，1，2，3，4，又C 04＝1，C 14＝4，C 24＝4×32＝6，C 34＝C 14＝4，C 44＝1.∴M ＝{1，4，6}．故M ∩Q ＝{1，4}．6．从6名男生和2名女生中选出3名志愿者，其中至少有1名女生的选法共有(A ) A ．36种 B ．30种 C ．42种 D ．60种解析： 法1(直接法) 选出的3名志愿者中含1名女生有C 12·C 26种选法，含2名女生有C 22·C 26种选法，∴共有C 22C 26＋C 22C 16＝36种选法．法2(间接法) 若选出的3名全是男生，则有C 36种选法，∴至少有一名女生的选法数为C 38－C 36＝36种．7．方程C x 17－C x 16＝C 2x ＋216的解集是________．解析：因为C x 17＝C x 16＋C x －116，所以C x －1 16＝C 2x ＋216，由组合数公式的性质，得x －1＝2x ＋2或x －1＋2x ＋2＝16，得x 1＝－3(舍去)，x 2＝5.答案：{5}8．从一组学生中选出4名学生当代表的选法种数为A ，从这组学生中选出2人担任正、副组长的选法种数为B ，若B A ＝213，则这组学生共有________人．解析：设有学生n 人，则A 2n C 4n ＝213，解之得n ＝15.答案：159．解不等式：2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1.解析：因为2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1，所以2C 3x ＋1<3C 2x ＋1，所以2×（x ＋1）x （x －1）3×2×1＜3×（x ＋1）x 2×1，所以x －13<32，所以x ＜112， 因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x ＋1≥2，所以x ≥2，所以2≤x <112，又x ∈N *，所以x ＝2，3，4，5.所以不等式的解集为{2，3，4，5}．10．平面内有10个点，其中任何3个点不共线，以其中任意2个点为端点． (1)线段有多少条？ (2)有向线段有多少条？解析：(1)所求线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的组合，共有C 210＝10×92×1＝45(条)．即以10个点中的2个点为端点的线段共有45条．(2)所求有向线段的条数，即为从10个元素中任取2个元素的排列，共有A 210＝10×9＝90(条)．即以10个点中的2个点为端点的有向线段共有90条．。

1.2.2空间中的平行关系(二)【学习要求】1．掌握直线与平面的三种位置关系，会判断直线与平面的位置关系．2. 学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系．3．掌握空间中平面与平面的位置关系．【学法指导】通过观察图形，借助已有知识，在发现中学习，增强学习的积极性，进而掌握直线与平面平行的判定定理，初步了解空间中平面互相转化的数学思想．填一填：知识要点、记下疑难点1．直线a和平面α只有一个公共点A，叫做直线与平面相交，这个公共点叫做直线与平面的交点；直线a与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行 .2．线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．3．线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]在直线与平面的位置关系中，平行关系在实际生活中应用最为广泛，如何判别线面平行？线面平行后又有什么性质哪？本节我们就来研究这个问题．探究点一空间中直线与平面之间的位置关系问题1一支笔所在的直线和一个作业本所在平面有几种位置关系？答：有三种位置关系：(1)直线在平面内；(2)直线与平面相交；(3)直线与平面平行．问题2如图，线段A′B所在直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的六个面所在平面有几种位置关系？答：线段A′B在平面A′ABB′内，与平面D′DCC′平行，与其余四个面相交．小结：直线与平面的位置关系有且只有三种：即：直线在平面内，直线与平面相交，直线与平面平行．其中直线与平面相交或平行的情况，统称为直线在平面外，记作a⊄α.例1下列命题中正确的个数是()①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α.②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线平行．③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行．④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点．A．0 B．1 C．2 D．3解析：如右图借助长方体模型来看上述问题是否正确．问题①不正确，相交时也符合；问题②不正确，如右图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；问题③不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；问题④正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点．所以选B. 答案 B 小结：根据直线与平面公共点的个数的多少，可以判断直线与平面的位置关系，有一个公共点是相交，两个以上是直线在平面内，没有公共点是直线与平面平行．跟踪训练1已知直线a在平面α外，则()A．a∥αB．直线a与平面α至少有一个公共点C．a∩α＝A D．直线a与平面α至多有一个公共点解析：因已知直线a在平面α外，所以a与平面α的位置关系为平行或相交，因此断定a∥α或断定a与α相交都是错误的，但无论是平行还是相交，直线a与平面α至多有一个公共点是正确的，故选D.探究点二直线与平面平行的判定问题1将课本的一边紧贴桌面，转动课本，课本的上边缘与桌面的关系如何呢？答：因为没有公共点，所以课本的上边缘与桌面是平行的．问题2我们知道门扇是平行的，当门扇绕着一边转动时，此时门扇转动的一边与门框所在的平面有怎样的关系？为什么？答：平行．因为当门扇绕着一边转动时，另一边始终与门框所在的平面没有公共点．问题3如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b.这两条直线共面吗？直线a与平面α相交吗？答：两条直线共面，直线a与平面α不相交．小结：线面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．可以简单说成：线线平行⇒线面平行．问题4 如何用符号语言表达直线与平面平行的判定定理？答： ⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂平面αb ⊄平面αa ∥b ⇒b ∥平面α. 问题5 如何证明直线与平面平行的判定定理？已知 l ⊄α，m ⊂α，l ∥m ，求证 l ∥α.证明：如果一条直线l 和平面α相交，则l 和α一定有公共点，可设l∩α＝P.再设l 与m 确定的平面为β，则依据平面基本性质3，点P 一定在平面α与平面β的交线m 上．于是l 和m 相交，这和l ∥m 矛盾，所以可以断定l 与α不可能有公共点．即l ∥α.探究点三 直线与平面平行的性质问题1 如果一条直线与平面平行，那么这条直线是否与这个平面内的所有直线都平行？这条直线与这个平面内的多少条直线平行？答：如果一条直线与平面平行，这条直线不会与这个平面内的所有直线都平行，但在这个平面内却有无数条直线与这条直线平行．问题2 如果一条直线a 与平面α平行，在什么条件下直线a 与平面α内的直线平行呢？为什么？答：由于a 与平面α内的任何直线无公共点，所以过直线a 的某一平面，若与平面α相交，则直线a 就平行于这条交线．下面我们来证明这一结论．如图，已知a ∥α，a ⊂β，α∩β＝b.求证：a ∥b. 证明： 因为α∩β＝b ，所以b ⊂α.因为a ∥α，所以a 与b 无公共点． 又因为a ⊂β，b ⊂β，所以a ∥b.小结：线面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．简记为：线面平行则线线平行．问题3 线面平行性质定理如何用符号语言表示？线面平行性质定理有何用途？答： 符号表示： ⎭⎪⎬⎪⎫l ∥αl ⊂βα∩β＝m ⇒l ∥m 可证明两直线平行．例2 已知空间四边形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，求证：EF ∥平面BCD.证明: 连接BD ，在△ABD 中，因为E ，F 分别是AB ，AD 的中点， 所以EF ∥BD ，又因为BD ⊂平面BCD ， EF ⊄平面BCD ， 所以EF ∥平面BCD.小结: 证明线面平行的方法：(1)定义法：直线与平面没有公共点；(2)判定定理：(线线平行⇒线面平行)；用判定定理证明线面平行时，在寻找平行直线时，可以通过三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的判定等来完成．跟踪训练2 如图，平面α，β，γ两两相交，a ，b ，c 为三条交线，且a ∥b. 那么，a 与c ，b 与c 有什么关系？为什么？解: a 与c ，b 与c 的关系为：a ∥b ∥c. 因为γ∩α＝a ，β∩γ＝b ，α∩β＝c ，且a ∥b ，由b ⊂β，a ⊄β，得a ∥β； 又a ⊂α，a ⊄β，β∩α＝c ，得a ∥c ，所以a ∥b ∥c.例3 求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内． 已知: l ∥α，点P ∈α，P ∈m ，m ∥l. 求证: m ⊂α.证明：设l 与P 确定的平面β，且α∩β＝m′，则l ∥m′，又知l ∥m ，m∩m′＝P ，由平行公理可知，m 与m′重合．所以m ⊂α.小结:平面外的一条直线只要和平面内的任一条直线平行，则就可以得到这条直线和这个平面平行；但是若一条直线与一个平面平行，则这条直线并不是和平面内的任一条直线平行，它只与该平面内与它共面的直线平行．跟踪训练3 如图所示的一块木料中，棱BC 平行于面A′C′.(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC 将木料锯开，应怎样画线？ (2)所画的线与平面AC 是什么位置关系？解: (1)如图，在平面A′C′，过点P 作直线EF ，使EF ∥B′C′，并分别交棱A′B′，C′D′于点E ，F.连接BE ，CF.则EF 、BE 、CF 就是应画的线．(2)因为棱BC 平行于平面A′C′， 平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC ∥B′C′.由(1)知，EF ∥BC ，因此， ⎭⎪⎬⎪⎫EF∥BC EF⊄平面AC BC⊂平面AC ⇒EF ∥平面AC.BE 、CF 显然都与平面AC 相交.练一练：当堂检测、目标达成落实处1．已知直线a∥平面α，直线b⊂α，则a与b的位置关系是(D)A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．直线l与平面α不平行，则(C)A．l与α相交B．l⊂αC．l与α相交或l⊂αD．以上结论都不对3．已知直线l∥平面α，l⊂平面β，α∩β＝m，则直线l，m的位置关系是(B)A．相交B．平行C．异面D．相交或异面解析：由直线与平面平行的性质定理知l∥m.课堂小结：1．直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a⊄α，a∥b，b⊂α，则a∥α.使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．2．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：。

1.2.2空间中的平行关系（2）教学目标：1、直线与平面平行的概念2、直线与平面平行的判定与性质 教学重点：直线与平面平行的判定与性质 教学过程：（一） 复习公理一:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在这个平面内（二） 按直线与平面的公共点的个数给直线与平面的位置关系分类：1、直线与平面有且只有一个公共点——相交；2、直线与平面无公共点——平行；3、直线与平面有无数个公共点——直线在平面内.（三） 直线与平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么平面外的直线与这个平面平行.——线线平行，线面平行.(此定理的证明方法是反证法应讲明证明方法步骤：反设、归谬、结论)（四） 直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线与这两个平面的交线平行.——线面平行，线线平行.（五） 例子与练习例1、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）A.一条直线不相交B.两条直线不相交C.任意一条直线都不相交D.无数条直线都不相交解析：直线与平面平行，那么直线与平面内的任意直线都不相交，反之亦然；故应选C例2、“平面内有无穷条直线都和直线l 平行”是“α//l ”的（ ）.A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.即不充分也不必要条件解析：如果直线在平面内，直线可能与平面内的无穷条直线都平行，但直线不与平面平行，应选B例3、已知：正方形ABCD 与正方形ABEF 不共面，AN =DM . 求证：MN //平面BCE . 证法一：如图，连结AM 并延长交BC 于G ， 则NE AN =MB DM =MGAM ，所以EG MN //. 又MN ⊄平面BCE , EG ⊂平面BCE .故MN //平面BCE . A B CD E F M N G证法二：如图，过N 作直线NH //EB 交直线AB 于H连结MH . 因为HA BH =NA EN =MD BM , 所以 HM //AD //BC, 于是 平面MHN //平面CBE. MN 平面MHN,所以 MN //平面BCE . 卡片:判断直线与平面平行常用的方法有:(1)根据直线与平面平行的定义;(2)根据直线与平面平行的判定定理;(3)若两平面平行,那么其中一个平面内的任意直线平行与另一平面.(此条可讲完下节后补充)课堂练习：教材第47页 练习A1.2.3、B小结：本节课学习了直线与平面平行的概念,直线与平面平行的判定与性质 课后作业：教材第60页 习题1-2A ：7、9. A B C D E F M N H。