y∈S2*为局中人I和Ⅱ的混合策略,(x,y)为混合局势,
局中人I的赢得函数为 E(x,y)xTAy aix jiyj
称G* ={S1*,S2*,E}为对策G的混合扩充. i j
A
12
设 mm ax E i(x n ,y)mE i(x n *,y)
x S 1 * y S2 *
y S2 *
mm inE a(x,x y)mE a(x,x y*)
注意:G在纯策略下解存在时,定义4中的
VG ;Gai在j 混合策略意义下的解(x*,y*)
存在时,VG=E(x*,y*).
例4. 解矩阵对策 中
3 G6={S1 ,S2 ;A },其
A
5
4
A
14
局中人I取纯策略αi时,其赢得函数为 E(i,y)=∑aijyj ,
局中人Ⅱ取纯策略βj时,其赢得函数为 E(x,j)=∑aijxi .
人I以概率xi≥0取纯策略αi,局中人Ⅱ以概率yj≥0取
纯策略βj ,且
m
xi
1.记,
n
yj 1
i1
j1
m
S 1 {x(x1,x2, ,xm ) E mxi0 , xi1 }
i 1
n
S2 {y(y1,y2, ,yn) E nyj0, yj1 }
j 1
则S1* ,S2*分别称为局中人I和Ⅱ的混合策略集.称x∈S1*,
A
24
推论.如果纯策略α1被纯策略α2 , … αm的凸线 性组合所优超,则定理10的结论仍成立.
由上两式得
E(x,y)=∑E(i,y)xi
(5)
E(x,y)=∑E(x,j)yj . (6)
定理3.设x∈S1*,y∈S2*,则(x*,y*)是G的解的充要条 件是: 对任意i=1,2,…,m 和 j=1,2,…,n,有
