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2019上海中学自主招生试卷及答案1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 【答案】3或1-【解析】①0a >时，23231113a a a a a a++=++=； ②0a <时，23231111a a a a a a++=-+-=-； 2、因式分解：332x x -+【答案】()()212x x -+【解析】拆项()()3323222121x x x x x x x x -+=--+=--- ()()()()()()()2211211212x x x x x x x x x =+---=-+-=-+ 3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________【答案】3【解析】设m ，n 分别为20ax ax b ++=与20ax bx b ++=的两个实数根，1m n ⋅=，1n m ∴=，由题意得20am an b ++=①与20an bn b ++=②，将1n m=代入到20an bn b ++=有2110a b b m m++=，变形得20bm bm a ++=③，由①③联立得()()()20b a m b a m a b -+-+-=，讨论：1）0b a -=，0b a =≠时，m ，n 为210x x ++=的实数根，22131024x x x ⎛⎫++=++> ⎪⎝⎭恒成立，所以此种情况无解；2）0b a -≠时，有210m m +-=，有11m m -=-，且222221123m n m m m m ⎛⎫+=+=-+= ⎪⎝⎭4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个【答案】372【解析】设较小的两边为x 、y ，且x y ≤，则最大边为15的三角形有如下情况：15x y ≤≤，15x y +>①1x =时，15y =；②2x =时，15y =，14y =；③3x =时，15y =，14y =，13y =；④4x =时，15y =，14y =，13y =，12y =；⑤5x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =；⑥6x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =；⑦7x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =；⑧8x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =，8y =； ⑨9x =时，15y =，14y =，13y =，12y =，11y =，10y =，9y =； ……共有12345678765432164++++++++++++++=种同理：最大边为14的有1234567+765432156++++++++++++=种 最大边为13的有123456765432149++++++++++++=最大边为12的有12345665432142+++++++++++=最大边为11的有1234565432136++++++++++=最大边为10的有123455432130+++++++++=最大边为9的有12345432125++++++++=最大边为8的有1234432120+++++++=最大边为7的有123432116++++++=最大边为6的有12332112+++++=最大边为5的有123219++++=最大边为4的有12216+++=最大边为3的有1214++=最大边为2的有112+=最大边为1的有1综合共有：1246912162025303642495664=372++++++++++++++种5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________ 【答案】737+6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________【答案】815【解析】利用比例，延长AF 、DC 交于点G ，//AB CD ,::1:4AM MG AE DG ∴== ::1:2AN NG AB DG ∴==:3:2AM NM ∴=，:3:2AM NM ∴=且::2:1DN NB AD BF ==，2224825531515DMN DAN ABD S S S ==⨯=⨯= 7、已知1a >a a x x -+=143a -+- 【解析】8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、1002 【答案】D9、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADEACB 时，AE =_________ 【答案】32或83【解析】进行分类，按照斜A 形分为两类，画图计算可得32或83 10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥【答案】见解析【解析】延长BH ，CP 交于点M ，联结AM ，借用垂直平分线求证AB AM AC ==，从而易得AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？【答案】216个附：无答案试卷题目1、已知0a ≠，求2323a a a a a a++=___________ 2、因式分解：332x x -+3、已知两个二次方程20ax ax b ++=与20ax bx b ++=各取一根，这两根乘积为1，求这两根的平方和为________4、求三边为整数，且最大边小于16的三角形个数为________个5、已知点()3,5C ，()0,1D ，A 、B 两点在x 轴上且2AB =,已知点A 在x 轴右侧，求ABCD C 的最小值为_________6、如图，正方形ABCD 边长为2，点E 、F 分别为AB 、BC 中点，AF 分别交线段DE ，DB 于点M 、N ，求DMN S =__________7、已知1a >，解方程：a a x x -+= 8、已知：()11,2,3,,i x i n <=⋅⋅⋅，且12121000n n x x x x x x ++⋅⋅⋅+=+++⋅⋅⋅+，则n 的最小值为（ ）A 、999B 、1000C 、1001D 、10029、已知：在ABC 中，8AB =，6AC =，点D 、E 分别在AC 、AB 上，且2AD =，当ADE ACB 时，AE =_________10、如图，在ABC ，AB AC =，过点B 在ABC ∠内部作任一射线，作AH ⊥射线于点H ，在图上任取一点P ，使得//HP BC ，且12HP BC =，联结AP 、CP ，求证：AP CP ⊥11、一个正方形每条边上有三个四等分点，由这些四等分点最多可组成多少个三角形？。
自主招生考试数学试题一、选择题（每小题3分）1、已知81cos sin =⋅αα，且︒<<︒9045α，则ααsin cos -的值为（ ） A. 23 B. 23- C. 43 D. 23± 2、若c b a ，，为正数，已知关于x 的一元二次方程02=++c bx ax 有两个相等的实根，则方程()()01212=+++++c x b x a 的根的情况是（ ）A.没有实根B.有两个相等的实根C.有两个不等的实根D.根的情况不确定3、已知半径为1和2的两个圆外切与点P ，则点P 到两圆外公切线的距离为（ ）A. 43B. 34C. 23 D. 3 4、下图的长方体是由A ，B ，C ，D 四个选项中所示的四个几何体拼接而成的，而且这四个几何体都是由4个同样大小的小正方体组成的，那么长方体中，第四部分所对应的几何体应是（ ）二、填空题（每小题4分）5、某次数学测验共有20题，每题答对得5分，不答得0分，答错得－2分，若小丽这次测验得分是质数，则小丽这次最多答对 题6、已知⊙O 的直径AB=20，弦CD 交AB 于G ，AG>BG ，CD=16，AE ⊥CD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则 AE －BF=7、如图，两个反比例函数x k y 1=和xk y 2=在第一象限内的图像依次是1C 和2C ，设点P 在1C 上，PC ⊥x 轴于点C ，交2C 于点A ，PD ⊥x 轴于点D ，交2C 于点B ，则四边形PAOB 的面积为8、若二次方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-==-1)2(122x k y y x 有唯一解，则k 的所有可能取值为 9、设正△ABC 的边长为2，M 是AB 中点，P 是BC 边上任意一点，PA+PM 的最大值和最小值分别为s 和t ，则22t s -=10、在△ABC 中， AC=2011，BC=2010，AB=20112010+，则C A cos sin ⋅=11、已知c b a ，，为实数，且514131=+=+=+c a ac c b bc b a ab ，，，则=++cabc ab abc 12、已知Rt △ABC 的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线2x y =上，且斜边AB 平行于x 轴，设斜边上的高为h ，则h 的取值为13、方程xx x 222=-的正根个数为 14、已知，124=+=+ab n b a ，，若221914919b ab a ++的值为2011，则n=15、任意选择一个三位正整数，其中恰好为2的幂的概率为16、勾股定理有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣。
2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援．4．（3分）关于x、y的方程组有组解．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为40．【解答】解：∵当x＝2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×27+b×25+22+2+12＝﹣8，∴a×27+b×25＝﹣26．当x＝﹣2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×（﹣2）7+b×（﹣2）5+（﹣2）2+（﹣2）+12＝﹣a×27﹣b×25+22﹣2+12＝﹣（a×27+b×25）+4﹣2+12＝26+14＝40．故答案为40．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝3﹣．【解答】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东60度的方向沿直线前往B处救援．【解答】解：如图，连接BC．由题意，可知∠BAS＝90°，AB＝10海里，∠SAC＝30°，AC＝10海里．∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝120°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°．∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°，∴∠NCB＝90°﹣∠BCD＝60°．故答案为60．4．（3分）关于x、y的方程组有2组解．【解答】解：把y＝1两边平方得到y2•x＝1，则x＝y﹣2，把x＝y﹣2代入方程x x﹣y＝y x+y得y﹣2（x﹣y）＝y x+y，当y＝1时，x＝1，当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．经检验方程组的解为或．故答案为2．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是2．【解答】解：（a+b+c）2﹣b2﹣c2+2bc＝20，（a+b+c）2＝（b﹣c）2+20，∵（b﹣c）2≥0，∴（b﹣c）2+20≥20，∵（a+b+c）2≥20．且a、b、c均大于零，∴a+b+c≥2，既a+b+c的最小值是2．故答案为：2．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为y≥69．【解答】解：∵当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，a＞0，∴x＝﹣＝≤﹣2，∴p≤﹣8，∴当x＝p时，y＝2p2﹣p2+5＝p2+5，∴对应的y的值的取值范围为：y≥69．故答案为：y≥69．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：设DE，DF分别交AC于N，M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△AMD∽△CMF，∴，∵F是BC的中点，∴AD＝BC＝2FC，∴＝2，同理：△AEN∽△CDN，∵E是AB的中点，∴＝2，∴AN＝MN＝CM＝AC，∵S△ACD＝S正方形ABCD＝×1＝，∴S△DMN＝S△ACD＝×＝，S△ADM＝S△ACD＝×＝，∵，∴S△CFM＝×＝，同理：S△AEN＝，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEN﹣S△CFM﹣S△DMN＝1﹣﹣﹣＝．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝16．【解答】解：设EF＝x，BF＝y，∵FE+EO＝8，∴OE＝8﹣x，而AB＝16，O为边AB的中点，∴OF＝8﹣y，∵EF⊥AB，∴∠OFE＝90°，∴OE2＝OF2+EF2，即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+x2，∴16x＝16y﹣y2，又∵∠ABC＝∠BAD＝90°，即AD∥EF∥BC，∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，∴，，∴①，②，①+②得，，∴AD+BC＝16x •＝16，故答案为：16．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为，，，…，．【解答】解：根据题意，得1 2 34操作次数变化点重合点11由上图表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为，．所以原题答案为，，…，．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．【解答】解：依题设≥M，x≥M，y+≥M，∴，，M，∴M2≤2，y＝，y+＝，∴M＝，M的最大值是．故答案为：．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．【解答】解：先设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；则根据题意有：（x1+x2+x3+x4）÷x2＝1+（x1+x3+x4）÷x2＝N（自然数），即（x1+x3+x4）÷x2＝N﹣1，因为他们的首位数字相同，所以N﹣1应该在3附近，又因为x2＜x3＜x4，所以（x1+x3+x4）÷x2＝4，同理（x1+x2+x4）÷x3＝3，（x1+x2+x3）÷x4＝2；则4x3＝5x2＝3x4；由5x2＝3x4可得2x2＝3（x4﹣x2），因为x4和x2的首位数字相同，所以x4﹣x2最大为99，即x2最大为148，且由4x3＝5x2＝3x4可以知道，x2应该能被12整除，故x2可以为108，120，132，144；进而求出x3为135，150…，x4为180，200…；所以x2只能取为x2＝108，从而x3＝135，x4＝180，x1＝117，即这四个数是117，108，135，180．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．【解答】解：连接OB、OC、OA，如图，∵P A为⊙O的切线，∴OA⊥P A，即∠P AO＝90°，而AH⊥OP，∴∠PHA＝90°，∴Rt△P AH∽Rt△POA，∴P A：PO＝PH：P A，即P A2＝PH•PO，又∵PBC为⊙O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PH•PO＝PB•PC，∴△PBH∽△POC，∴∠PBH＝∠POC，＝，即＝①，∴点H、B、C、O四点共圆，∴∠HOB＝∠HCB，∴△PBO∽△PHC，∴＝，即＝②，由①②得＝，即＝，∴＝＝，∴＝，∴＝＝，∵在Rt△OAP中，∠APO＝30°，则OP＝2OA，∴＝．。
2018年华二附中自招数学试卷及解析1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为 【答案】40【解析】根据题意，将2x =代入到75212ax bx x x ++++有7522222128a b ⋅+⋅+++=-有752226a b ⋅+⋅=-，将2x =-代入到75212ax bx x x ++++有()()752222212261440a b -+-+-+=+=2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a = 【答案】311-【解析】根据题意，122b x x a a +=-=-，121c x x a a⋅==+，()2221212122x x x x x x +=+- ()()22221624a a a a =--+=-+=，计算可得311a =±；根据原有式子2(2)10x a x a +-++=，()()22241850a a a a ∆=--+=-+≥，有411a ≥+或411a ≤-，综上有311a =-3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援 【答案】60°【解析】根据题意画出图形，可以注意到ABC 是一个等腰三角形，所以乙船应该朝北偏东60°方向沿直线前往救援4. 关于x 、y 的方程组1x y x y x yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有组解【答案】2【解析】根据题意1x y x y x y y x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有12y x -=，代入x yx y xy -+=，有22x y x y y y -++=；有1y =或22x y x y -+=+推出得11x y =⎧⎨=⎩或231333x y -⎧=⎪⎨⎪=⎩有2组解 5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是 【答案】25【解析】将a b c ++平方得()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++2222222222222222420a ab ac bc b c a b ab ac bc bc a b ab ac bc ≥+++++≥+++++=++++=有25a b c ++≥6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是 【答案】69y ≥【解析】根据题意有当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，244p p--≥-=，有8p ≤-，当x p =时22225569y p p p =-+=+≥7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是【答案】23【解析】根据题意易得G 、H 为AC 的三等分点，1166AGDCHDAGBBCHABCD SSSSS =====111212AGEBEGHFBFCHABCD SSSSS ===== 则阴影部分面积为11111212126663++++=8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC += 【答案】16 【解析】9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一 次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥， 恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为【答案】2n k （k 为[1,2]n中的奇数） 【解析】10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是【答案】2 【解析】11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.【答案】108A =，135B =，180C =，117D =【解析】先设这4个数为1234,,,x x x x ，且它们的和能被234,,x x x ，另234x x x <<，则根据题意有：()()1234213421x x x x x x x x x N +++÷=+++÷=,N 为自然数，即()13421x x x x N ++÷=-，因为它们的首位数字相同，所以1N -应该在3附近，又因为234x x x <<，所以()13424x x x x ++÷=；12. 如图，已知P A 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.【答案】12【解析】2OP OA=，∴12 HC HBBC-=附录：无答案试卷1. 已知关于x 的多项式75212ax bx x x ++++（a 、b 为常数），且当2x =时，该多项式的值为8-，则当2x =-时，该多项式的值为2. 已知关于x 的方程2(2)10x a x a +-++=的两实根1x 、2x 满足22124x x +=，则实数a =3. 已知当船位于A 处时获悉，在其正东方向相距10海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东 的方向沿直线前往B 处救援4. 关于x 、y 的方程组1x y x yx yy x -+⎧=⎪⎨=⎪⎩有 组解5. 已知a 、b 、c 均大于零，且222420a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是6. 已知二次函数225y x px =-+，当2x ≥-时，y 的值随x 的值增加而增加，那么x p =对应的y 值的取值范围是7. 如图所示，正方形ABCD 的面积设为1，E 和F 分别是AB 和BC 的中点，则图中阴影部分的面积是8. 在直角梯形ABCD 中，90ABC BAD ︒∠=∠=，16AB =，对角线AC 与交BD 于点E ，过E 作EF ⊥AB 于点F ，O 为边AB 的中点，且8FE EO +=，则AD BC +=9. 以下是面点师一个工作环节的数学模型：如图，在数轴上截取从0到1对应的线段，对 折后（坐标1所对应的点与原点重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一 次操作（例如在第一次操作完成后，原来的坐标14，34变成12，原来的12变成1，等等）， 那么原数轴从0到1对应的线段上（除两个端点外）的点，在第n 次操作完成后(1)n ≥，恰好被拉到与1重合的点所对应的坐标为10. 定义min{,,}a b c 表示实数a 、b 、c 中的最小值，若x 、y 是任意正实数，则11min{,,}M x y y x=+的最大值是11. 四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数.12. 如图，已知P A 且圆O 于A ，30APO ︒∠=，AH ⊥PO 于H ，任作割线PBC 交圆O 于点B 、C ，计算HC HBBC-的值.。
2019年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一.填空题1．（3分）若复数z满足1+2i，则z等于．2．（3分）计算：3．（3分）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x2+y2＝．4．（3分）关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为．若D x＝5，则实数m＝．5．（3分）已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是6．（3分）在展开式中，含x的负整数指数幂的项共有项．7．（3分）一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为．8．（3分）连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量（m，n），则与（1，﹣1）的夹角成为直角三角形内角的概率是．9．（3分）已知集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，若A∩B ≠∅，则实数a的取值范围为．10．（3分）在△ABC中，BC，AC＝1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当∠C变化时，线段CD长的最大值为．11．（3分）如图，B是AC的中点，，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且，．有以下结论：①当x＝0时，y∈[2，3]；②当P是线段CE的中点时，，；③若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；④x﹣y的最大值为﹣1；其中你认为正确的所有结论的序号为．12．（3分）对任意实数x和任意，，恒有，则实数a的取值范围为．二.选择题13．（3分）设集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}，B＝{x||x﹣a|＜1}，则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件14．（3分）实数a，b满足a•b＞0且a≠b，由a、b、、按一定顺序构成的数列（）A．可能是等差数列，也可能是等比数列B．可能是等差数列，但不可能是等比数列C．不可能是等差数列，但可能是等比数列D．不可能是等差数列，也不可能是等比数列15．（3分）已知双曲线1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝2px（p＞0）的准线分别交于A、B两点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p＝（）A．1 B．C．2 D．316．（3分）若函数f（x）满足：f（|x|）＝|f（x）|，则称f（x）为“对等函数”，给出以下三个命题：①定义域为R的“对等函数”，其图象一定过原点；②两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；③若定义域是D的函数y＝f（x）是“对等函数”，则{y|y＝f（x），x∈D}⊆{y|y≥0}；在上述命题中，真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3三.解答题17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b＝4，•8．（1）求a2+c2的值；（2）求函数f（B）sin B cos B+cos2B的值域．18．如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC＝AC＝2，AB＝BC，D是PB上一点，且CD⊥平面PAB．（1）求证：AB⊥平面PCB；（2）求二面角C﹣PA﹣B的大小的余弦值．19．某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？20．已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．（I）求抛物线G的方程；（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+（y﹣1）2＝1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；（III）过A、B分别作抛物G的切线l1，l2且l1，l2交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．21．已知数列{a n}是以d为公差的等差数列，{b n}数列是以q为公比的等比数列．（Ⅰ）若数列的前n项和为S n，且a1＝b1＝d＝2，S3＜a1003+5b2﹣2010，求整数q的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；（Ⅲ）若b1＝a r，b2＝a s≠a r，b3＝a t（其中t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数），求证：数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．2019年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）参考答案与解析一.填空题1．【解答】解：∵iz+i∴iz+i＝﹣1+2i∴z＝1+i故答案为：1+i．2．【解答】解：；∴．故答案为：．3．【解答】解：由题意可得：x+y＝20，（x﹣10）2+（y﹣10）2＝8，解得则x2+y2＝208，故答案为：208．4．【解答】解：由题意，D x5，∴m＝﹣2，故答案为﹣2．5．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（﹣1，1）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由A（1，0），∴OB的斜率k＝1AP的斜率k，∴w≤1．则的取值范围是：，．故答案为：，．6．【解答】解：展开式的通项为其中r＝0，1，2 (10)要使x的指数为负整数有r＝4，6，8，10故含x的负整数指数幂的项共有4项故答案为：47．【解答】解：设圆柱的高为：2，由题意圆柱的侧面积为：2×2π＝4π圆柱的体积为：2π12＝2π球的表面积为：4π，球的半径为：1；球的体积为：所以这个圆柱的体积与这个球的体积之比为：故答案为：8．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴（m，n）与（1，﹣1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，]•0，∴m﹣n≥0，即m≥n．当m＝6时，n＝6，5，4，3，2，1；当m＝5时，n＝5，4，3，2，1；当m＝4时，n＝4，3，2，1；当m＝3时，n＝3，2，1；当m＝2时，n＝2，1；当m＝1时，n＝1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P．故答案为：9．【解答】解：分别画出集合A＝{（x，y）||x﹣a|+|y﹣1|≤1}，B＝{（x，y）|（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．如图所示．其中A（a+1，1），B（a﹣1，1），欲使得A∩B≠∅，只须A或B点在圆内即可，∴（a+1﹣1）2+（1﹣1）2≤1或（a﹣1﹣1）2+（1﹣1）2≤1，解得：﹣1≤a≤1或1≤a≤3，即﹣1≤a≤3．故答案为：[﹣1，3]．10．【解答】解：如右图：∵AB＝BD，∴在△ABC中，由正弦定理得，∴BD sin∠ABC＝sin∠ACB，在△BCD中，CD2＝BD2+BC2﹣2BD•BC cos（90°+∠ABC）＝AB2+2+2BD sin∠ABC＝AC2+BC2﹣2AC•BC cos∠ACB+2+2sin∠ACB＝5﹣2cos∠ACB+2sin∠ACB＝5+4sin（∠ACB﹣45°），∴当∠ACB＝135°时CD2最大为9，CD最大值为3，故答案为：3．11．【解答】解：对于①当，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错对于②当当P是线段CE的中点时，故②对对于③x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故③对故答案为②③④12．【解答】解：原不等式等价于（3+2sinθcosθ﹣a sinθ﹣a cosθ）2，θ∈[0，]①，由①得a②，或a③，在②中，，（sinθ+cosθ），显然当1≤x时，f（x）＝x为减函数，从而上式最大值为f（1）＝1，由此可得a；在③中，（sinθ+cosθ），当且仅当sinθ+cosθ时取等号，所以的最小值为，由此可得a，综上，a或a．故答案为：a或a．二.选择题13．【解答】解：根据题意，集合A＝{x|x2﹣5x+4＜0}＝{x|1＜x＜4}＝（1，4），B＝{x||x﹣a|＜1}＝（a﹣1，a+1），若“a∈（2，3）”，可得1＜a﹣1＜2，3＜a+1＜4，必有“B⊆A”，若“B⊆A”，则有，解可得2≤a≤3，“a∈（2，3）”不一定成立；则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的充分不必要条件；故选：A．14．【解答】解：（1）若a＞b＞0则有a＞＞＞b若能构成等差数列，则a+b，得2，解得a＝b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b•，得2，解得a＝b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若b＜a＜0，则有＞a＞＞b若能构成等差数列，则b＝a，得23a﹣b4ab＝9a2﹣6ab+b2得b＝9a，或b＝a（舍）当b＝9a时这四个数为﹣3a，a，5a，9a，成等差数列．于是b＝9a＜0，满足题意但此时•b＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等数列故选：B．15．【解答】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y＝±x又抛物线y2＝2px（p＞0）的准线方程是x，故A，B两点的纵坐标分别是y＝±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y＝±，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p＝2．故选：C．16．【解答】解：①定义域为R的“对等函数”，可令x＝0，即f（0）＝|f（0）|，解得f（0）＝0，或f（0）＝1，故①错误；②两个定义域相同的“对等函数”，设y＝f（x）和y＝g（x）均为“对等函数”，可得f（|x|）＝|f（x）|，g（|x|）＝|g（x）|，设F（x）＝f（x）g（x），即有F（|x|）＝f（|x|）g（|x|）＝|f（x）g（x）|＝|F（x）|，则乘积一定是“对等函数，故②正确”；③若定义域是D的函数y＝f（x）是“对等函数”，可得f（|x|）＝|f（x）|，可取f（x）＝x|x|，x∈R，可得x≥0时，f（x）≥0；x＜0时，f（x）＜0，故③错误．故选：B．三.解答题17．【解答】解：（1）∵•8，∴ac cos B＝8，由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝a2+c2﹣16，∴a2+c2＝32；（2）∵a2+c2≥2ac，∴ac≤16，∵ac cos B＝8，∴cos B，∵B∈（0，π），∴0＜B，∵f（B）sin B cos B+cos2B sin2B（1+cos2B）＝sin（2B），∵＜2B，∴sin（2B）∈[，1]，则f（B）的值域为[1，]．18．【解答】（1）证明：∵PC⊥平面ABC，AB⊂平面ABC，∴PC⊥AB．∵CD⊥平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CD⊥AB．又PC∩CD＝C，∴AB⊥平面PCB．（2）解：取AP的中点O，连接CO、DO．∵PC＝AC＝2，∴C0⊥PA，CO，∵CD⊥平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DO⊥PA．∴∠COD为二面角C﹣PA﹣B的平面角．由（1）AB⊥平面PCB，∴AB⊥BC，又∵AB＝BC，AC＝2，求得BCPB，CD∴∠cos∠COD．19．【解答】解：（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得∴v≥20∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时；（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18﹣x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟，则，∴∴∴∵x∈N+，∴x＝10∴当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟．20．【解答】解：（1）由题知，抛物线的准线方程为y+1＝0， 1所以抛物线C的方程为x2＝4y．（2）当直线AB的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点，故直线AB的斜率一定存在，设直线AB方y＝kx+1交抛物线C于点A（x1，y1），B（x2，y2），由抛物线定义知|AF|＝y1+1，|BF|＝y2+1，所以|AC|＝y1，|BD|＝y2，由得x2﹣4kx﹣4＝0，显然△＞0，则x1+x2＝4k，x1•x2＝﹣4，所以y1•y21，所以|AC|•|BD|为定值1．（3）解：由x2＝4y，y x2，y x，得直线AM方程y x1（x﹣x1）（1），直线BM方程y x2（x﹣x2）（2），由（2）﹣（1）得（x1﹣x2）x，所以x（x1+x2）＝2k，∴y＝﹣1所以点M坐标为（2k，﹣1），点M到直线AB距离d2，弦AB长为|AB|4（1+k2），△ACM与△BDM面积之和，S（|AB|﹣2）•d（2+4k2）×22（1+2k2），当k＝0时，即AB方程为y＝1时，△ACM与△BDM面积之和最小值为2．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，a n＝2n，b n＝2•q n﹣1，所以由S3＜a1003+5b2﹣2010，可得到b1+b2+b3＜a1003+5b2﹣2010⇒b1﹣4b2+b3＜2006﹣2010⇒q2﹣4q+3＜0．解得1＜q＜3，又q为整数，所以q＝2；故答案为2．（Ⅱ）假设数列{b n}中存在一项b k，满足b k＝b m+b m+1+b m+2++b m+p﹣1，因为b n＝2n，∴b k＞b m+p﹣1⇒2k＞2m+p﹣1⇒k＞m+p﹣1⇒k≥m+p（*）又＝2m+p﹣2m＜2m+p，所以k＜m+p，此与（*）式矛盾．所以，这样的项b k不存在；故答案为不存在．（Ⅲ）由b1＝a r，得b2＝b1q＝a r q＝a s＝a r+（s﹣r）d，则又⇒，从而，因为a s≠a r⇒b1≠b2，所以q≠1，又a r≠0，故．又t＞s＞r，且（s﹣r）是（t﹣r）的约数，所以q是整数，且q≥2，对于数列中任一项b i（这里只要讨论i＞3的情形），有b i＝a r q i﹣1＝a r+a r（q i﹣1﹣1）＝a r+a r（q﹣1）（1+q+q2++q i﹣2）＝a r+d（s﹣r）（1+q+q2++q i﹣2）＝a r+[（（s﹣r）（1+q+q2++q i﹣2）+1）﹣1]•d，由于（s﹣r）（1+q+q2++q i﹣2）+1是正整数，所以b i一定是数列{a n}的项．故得证．。
华二附中高三开学考数学试卷2019.03一. 填空题 1. 行列式1958的值为 2. 设集合{1,2,3,4}A =，{2,0,2}B =-，则AB =3. 已知向量{1,5,7}a =-，{2,1,5}b =，则||a b +=4. 如果复数z 满足2220z z -+=，那么||z =5. 椭圆2221x y +=的焦距是6. 掷一颗均匀的骰子，所得点数为质数的概率是 （结果用最简分数表示）7. 若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为8. 从5名男教师和4名女教师中选出4人参加“组团式援疆”工作，且要求选出的4人中 男女教师都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）9. 若两直线1:2l y kx k =++，2:24l y x =-+的交点在第一象限，则正整数k =10. 若321()nx x -的二项式展开式中，常数项为正数，则正整数n 的最小值是 11. 已知122x x ay b++=+（,a b ∈R ）既是奇函数，又是减函数，则a b +=12. 已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ,称l 为Γ的一条“基线”，若l 与Γ有且仅有一个公 共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，则下列曲线中：①arcsin y x =；②y =③211y x =+；④1y x x=-；没有“基线”的是 （写出所有符合要求的曲线编号）二. 选择题13. 已知数列{}n a 的极限是A ，如果数列{}n b 满足66210310nn na nb a n ⎧≤=⎨>⎩，那么数列{}n b 的 极限是（ ）A. 3AB. 2AC. AD. 不存在 14. 已知,x y ∈R ，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ）条件A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分也非必要 15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的鳖臑的个数为（ ）A. 12B. 24C. 48D. 5816. 称()y f x =（x D ∈）“有界”，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，设1()y f x =（x ∈R ）是增函数，2()y f x =（x ∈R ）是周期函数，且对所有x ∈R ，1()0f x >，2()0f x >，已知12()()h f x f x =，下列命题中真命题是（ ） A. 若()h x 是周期函数，则1()f x 有界 B. 若()h x 是周期函数，则2()f x 有界 C. 若1()f x 有界，则()h x 不是周期函数 D. 若2()f x 有界，则()h x 不是周期函数三. 解答题17. 如图，正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6，侧棱长1AA 长为3. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小.18. 已知函数2()sin cos sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A 的对边长2，角B 的对边长3，若()0f A =，求△ABC 的面积.19. 某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示.年份20142015 2016 2017 2018 2019 人数（单位：千人） 208221352203227623392385（1）根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数 量的变化趋势；（2）研究人员用函数0.6544450()2000 4.48781tP t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位 是年，2014年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，设()P t 的反函数为()T x ，求(2400)T的值（精确到0.1），并解释其实际意义.20. 设常数m ≥xOy 中，已知点F ，直线:l y m =，曲线:x Γ=0y m ≤≤），l 与y 轴交于点A ，与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ 与线段AB 上的动点.（1）用m 表示点B 到点F 的距离；（2）若0AP FQ ⋅=且FA FP FQ +=，求m 的值；（3）设m =P 、Q ，使得△FPQ 是等边三角形，求△FPQ 的边长.21. 已知*n ∈N 和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋅⋅⋅≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成，且下列条件同时成立：① 3n 个数1||k k a a +-，1||k n k a a ++-，21||k n k a a ++-（1k n ≤≤）两两不同；② 当1k n ≤≤时，2111||||||k n k k n k k k a a a a a a +++++->->-都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个 “友数列”.（1）若1n =，121x x ==，32x =，43x =，写出{}k x 的全部友数列；（2）已知{}k a 是通项公式为k x k =（131k n ≤≤+）的数列{}k x 的一个友数列，且131n a x +=，求31n a +（用n 表示）；（3）设2n ≥，求所有使得通项公式为kk a q =（131k n ≤≤+）的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的友数列的正实数q 的个数（用n 表示）.参考答案一. 填空题1. 37-2. {2}3. 134.5.6.12 7. 6π 8. 20219. 1 10. 10 11. 1- 12. ②④二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. C三. 解答题17.（1）（2）.18.（1）T π=；（2）S =19.（1）2015201453f f -=，2016201568f f -=，2017201673f f -=，2018201763f f -=，2019201846f f -=，2014年至2018年每年该地人口的增长数量呈先增后减的趋势，每一年人口总数呈逐渐递增的趋势；（2）(2400) 5.5T =，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，即经过半年时间，该地人口数量总人数即增长到2400人.20.（1）||1BF =-；（2）1m =；（3.21.（1）1、1、2、3；（2）31121n a n +≤≤-，31n a +∈*N ；（3）略.。
华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷2019.03时间：120分钟；满分150分一、填空题： 1. 行列式1958的值为 2. 设集合{1,2,3,4}A =，{2,0,2}B =-，则AB =3. 已知向量{1,5,7}a =-，{2,1,5}b =，则||a b +=4. 如果复数z 满足2220z z -+=，那么||z = 5. 椭圆2221x y +=的焦距是6. 掷一颗均匀的骰子，所得点数为质数的概率是 （结果用最简分数表示）7. 若圆锥的侧面积与底面积之比为2，则其母线与轴的夹角大小为8. 从5名男教师和4名女教师中选出4人参加“组团式援疆”工作，且要求选出的4人中 男女教师都有，则不同的选取方法的种数为 （结果用数值表示）9. 若两直线1:2l y kx k =++，2:24l y x =-+的交点在第一象限，则正整数k =10. 若321()nx x -的二项式展开式中，常数项为正数，则正整数n 的最小值是 11. 已知122x x ay b++=+（,a b ∈R ）既是奇函数，又是减函数，则a b +=12.已知坐标平面上的曲线Γ和直线l ,称l 为Γ的一条“基线”，若l 与Γ有且仅有一个公 共点P ，且Γ除P 之外的所有点都在l 的同侧，则下列曲线中：①arcsin y x =；②y =③211y x =+；④1y x x=-；没有“基线”的是 （写出所有符合要求的曲线编号） 二、选择题：13. 已知数列{}n a 的极限是A ，如果数列{}n b 满足66210310n n na nb a n ⎧≤=⎨>⎩，那么数列{}n b 的 极限是（ ）A. 3A B. 2A C. A D. 不存在14. 已知,x y ∈R ，则“1x >或1y >”是“2x y +>”的（ ）条件A. 充要B. 充分非必要C. 必要非充分D. 既非充分也非必要 15.《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，则以正方体1111ABCD A B C D -的顶点为顶点的鳖臑的个数为（ ）A. 12 B. 24 C. 48 D. 5816. 称()y f x =（x D ∈）“有界”，若存在实数m M ≤，使得对所有x D ∈，都有()m f x M ≤≤，设1()y f x =（x ∈R ）是增函数，2()y f x =（x ∈R ）是周期函数，且对所有x ∈R ，1()0f x >，2()0f x >，已知12()()h f x f x =，下列命题中真命题是（ ）A. 若()h x 是周期函数，则1()f x 有界B. 若()h x 是周期函数，则2()f x 有界C. 若1()f x 有界，则()h x 不是周期函数D. 若2()f x 有界，则()h x 不是周期函数 三、 解答题：17. 如图，正三棱柱111ABC A B C -底面三角形的周长为6，侧棱长1AA 长为3. （1）求正三棱柱111ABC A B C -的体积； （2）求异面直线1A C 与AB 所成角的大小.18. 已知函数2()sin cos sin f x x x x =-. （1）求()f x 的最小正周期；（2）设△ABC 为锐角三角形，角A B 的对边长()0f A =，求△ABC 的面积.19. 某地自2014年至2019年每年年初统计所得的人口数量如表所示.（1）根据表中的数据计算2014年至2018年每年该地人口的增长数量，并描述该地人口数 量的变化趋势；（2）研究人员用函数0.6544450()2000 4.48781t P t e -=++拟合该地的人口数量，其中t 的单位是年，2014年初对应时刻0t =，()P t 的单位是千人，设()P t 的反函数为()T x ，求(2400)T的值（精确到0.1），并解释其实际意义.20. 设常数m ≥xOy 中，已知点F ，直线:l y m =，曲线:x Γ=0y m ≤≤），l 与y 轴交于点A ，与Γ交于点B ，P 、Q 分别是曲线Γ 与线段AB 上的动点.（1）用m 表示点B 到点F 的距离；（2）若0AP FQ ⋅=且FA FP FQ +=，求m 的值；（3）设m =P 、Q ，使得△FPQ 是等边三角形，求△FPQ 的边长.21. 已知*n ∈N 和31n +个实数1231n x x x +≤≤⋅⋅⋅≤，若有穷数列{}k a 由数列{}k x 的项重新排列而成，且下列条件同时成立：① 3n 个数1||k k a a +-，1||k n k a a ++-，21||k n k a a ++-（1k n ≤≤）两两不同；② 当1k n ≤≤时，2111||||||k n k k n k k k a a a a a a +++++->->-都成立，则称{}k a 为{}k x 的一个 “友数列”.（1）若1n =，121x x ==，32x =，43x =，写出{}k x 的全部友数列；（2）已知{}k a 是通项公式为k x k =（131k n ≤≤+）的数列{}k x 的一个友数列，且131n a x +=，求31n a +（用n 表示）；（3）设2n ≥，求所有使得通项公式为kk a q =（131k n ≤≤+）的数列{}k a 不能成为任何数列{}k x 的友数列的正实数q 的个数（用n 表示）.华二附中2019届高三年级第二学期开学考数学试卷参考答案2019.03 一. 填空题1. 37-2. {2}3. 134.5.6.12 7. 6π 8. 20219. 1 10. 10 11. 1- 12. ②④ 二. 选择题13. A 14. C 15. B 16. C 三. 解答题17.（1）（2）1318.（1）T π=；（2）S =19.（1）2015201453f f -=，2016201568f f -=，2017201673f f -=，2018201763f f -=，2019201846f f -=，2014年至2018年每年该地人口的增长数量呈先增后减的趋势，每一年 人口总数呈逐渐递增的趋势；（2）(2400) 5.5T =，其实际意义为：可根据数学模型预测人口数量增长规律，及提供有效依据，即经过半年时间，该地人口数量总人数即增长到2400人.20.（1）||1BF =-；（2）1m =；（3.21.（1）1、1、2、3；（2）31121n a n +≤≤-，31n a +∈*N ；（3）略.。
2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东度的方向沿直线前往B处救援．4．（3分）关于x、y的方程组有组解．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．2018年上海市华师大二附中自主招生数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）已知关于x的多项式ax7+bx5+x2+x+12（a、b为常数），且当x＝2时，该多项式的值为﹣8，则当x＝﹣2时，该多项式的值为40．【解答】解：∵当x＝2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×27+b×25+22+2+12＝﹣8，∴a×27+b×25＝﹣26．当x＝﹣2时，ax7+bx5+x2+x+12＝a×（﹣2）7+b×（﹣2）5+（﹣2）2+（﹣2）+12＝﹣a×27﹣b×25+22﹣2+12＝﹣（a×27+b×25）+4﹣2+12＝26+14＝40．故答案为40．2．（3分）已知关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根x1、x2满足，则实数a＝3﹣．【解答】解：∵关于x的方程x2+（a﹣2）x+a+1＝0的两实根为x1、x2，∴△＝（a﹣2）2﹣4（a+1）≥0，即a（a﹣8）≥0，∴当a≥0时，a﹣8≥0，即a≥8；当a＜0时，a﹣8＜0，即a＜8，所以a＜0．∴a≥8或a＜0，∴x1+x2＝2﹣a，x1•x2＝a+1，∵x12+x22＝4，（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2＝（2﹣a）2﹣2（a+1）＝4，解得a＝3±．∵3＜＜4，∴6＜3+＜7（不合题意舍去），3﹣＜0；∴a＝3﹣．故答案为：a＝3﹣．3．（3分）已知当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距10海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，试问乙船应该朝北偏东60度的方向沿直线前往B处救援．【解答】解：如图，连接BC．由题意，可知∠BAS＝90°，AB＝10海里，∠SAC＝30°，AC＝10海里．∴∠BAC＝∠BAS+∠SAC＝120°，∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝30°．∵AB∥CD，∴∠BCD＝∠B＝30°，∴∠NCB＝90°﹣∠BCD＝60°．故答案为60．4．（3分）关于x、y的方程组有2组解．【解答】解：把y＝1两边平方得到y2•x＝1，则x＝y﹣2，把x＝y﹣2代入方程x x﹣y＝y x+y得y﹣2（x﹣y）＝y x+y，当y＝1时，x＝1，当y≠1，则﹣2（x﹣y）＝x+y，所以y＝3x，x＝，∴＝，解得y＝，∴x＝．经检验方程组的解为或．故答案为2．5．（3分）已知a、b、c均大于零，且a2+2ab+2ac+4bc＝20，则a+b+c的最小值是2．【解答】解：（a+b+c）2﹣b2﹣c2+2bc＝20，（a+b+c）2＝（b﹣c）2+20，∵（b﹣c）2≥0，∴（b﹣c）2+20≥20，∵（a+b+c）2≥20．且a、b、c均大于零，∴a+b+c≥2，既a+b+c的最小值是2．故答案为：2．6．（3分）已知二次函数y＝2x2﹣px+5，当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，那么当x＝p 时，对应的y的值的取值范围为y≥69．【解答】解：∵当x≥﹣2时，y随x的增加而增加，a＞0，∴x＝﹣＝≤﹣2，∴p≤﹣8，∴当x＝p时，y＝2p2﹣p2+5＝p2+5，∴对应的y的值的取值范围为：y≥69．故答案为：y≥69．7．（3分）如图所示，正方形ABCD的面积设为1，E和F分别是AB和BC的中点，则图中阴影部分的面积是．【解答】解：设DE，DF分别交AC于N，M，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AD∥BC，∴△AMD∽△CMF，∴，∵F是BC的中点，∴AD＝BC＝2FC，∴＝2，同理：△AEN∽△CDN，∵E是AB的中点，∴＝2，∴AN＝MN＝CM＝AC，∵S△ACD＝S正方形ABCD＝×1＝，∴S△DMN＝S△ACD＝×＝，S△ADM＝S△ACD＝×＝，∵，∴S△CFM＝×＝，同理：S△AEN＝，∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△AEN﹣S△CFM﹣S△DMN＝1﹣﹣﹣＝．8．（3分）在直角梯形ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝16，对角线AC与交BD于点E，过E作EF⊥AB于点F，O为边AB的中点，且FE+EO＝8，则AD+BC＝16．【解答】解：设EF＝x，BF＝y，∵FE+EO＝8，∴OE＝8﹣x，而AB＝16，O为边AB的中点，∴OF＝8﹣y，∵EF⊥AB，∴∠OFE＝90°，∴OE2＝OF2+EF2，即（8﹣x）2＝（8﹣y）2+x2，∴16x＝16y﹣y2，又∵∠ABC＝∠BAD＝90°，即AD∥EF∥BC，∴△BEF∽△BDA，△AEF∽△ACB，∴，，∴①，②，①+②得，，∴AD+BC＝16x •＝16，故答案为：16．9．（3分）陈老师从拉面的制作受到启发，设计了一个数学问题：如图，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后（点A与B重合）再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作（如在第一次操作后，原线段AB 上的和均变成，变成1，等）．那么在线段AB上（除A，B）的点中，在第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数为，，，…，．【解答】解：根据题意，得1 2 34操作次数变化点重合点11由上图表格，可以推出第n次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数的通式为，．所以原题答案为，，…，．10．（3分）定义min{a，b，c}表示实数a、b、c中的最小值，若x、y是任意正实数，则M ＝min{x，，y}的最大值是．【解答】解：依题设≥M，x≥M，y+≥M，∴，，M，∴M2≤2，y＝，y+＝，∴M＝，M的最大值是．故答案为：．二、解答题（共2小题，满分0分）11．四个不同的三位整数的首位数字相同，并且它们的和能被它们中的三个数整除，求这些数．【解答】解：先设这四个数为x1，x2，x3，x4，且它们的和能被其中的x2，x3，x4整除，x2＜x3＜x4；则根据题意有：（x1+x2+x3+x4）÷x2＝1+（x1+x3+x4）÷x2＝N（自然数），即（x1+x3+x4）÷x2＝N﹣1，因为他们的首位数字相同，所以N﹣1应该在3附近，又因为x2＜x3＜x4，所以（x1+x3+x4）÷x2＝4，同理（x1+x2+x4）÷x3＝3，（x1+x2+x3）÷x4＝2；则4x3＝5x2＝3x4；由5x2＝3x4可得2x2＝3（x4﹣x2），因为x4和x2的首位数字相同，所以x4﹣x2最大为99，即x2最大为148，且由4x3＝5x2＝3x4可以知道，x2应该能被12整除，故x2可以为108，120，132，144；进而求出x3为135，150…，x4为180，200…；所以x2只能取为x2＝108，从而x3＝135，x4＝180，x1＝117，即这四个数是117，108，135，180．12．如图，已知P A切⊙O于A，∠APO＝30°，AH⊥PO于H，任作割线PBC交⊙O于点B、C，计算的值．【解答】解：连接OB、OC、OA，如图，∵P A为⊙O的切线，∴OA⊥P A，即∠P AO＝90°，而AH⊥OP，∴∠PHA＝90°，∴Rt△P AH∽Rt△POA，∴P A：PO＝PH：P A，即P A2＝PH•PO，又∵PBC为⊙O的割线，∴P A2＝PB•PC，∴PH•PO＝PB•PC，∴△PBH∽△POC，∴∠PBH＝∠POC，＝，即＝①，∴点H、B、C、O四点共圆，∴∠HOB＝∠HCB，∴△PBO∽△PHC，∴＝，即＝②，由①②得＝，即＝，∴＝＝，∴＝，∴＝＝，∵在Rt△OAP中，∠APO＝30°，则OP＝2OA，∴＝．。
a - -1. a + a -1 = 4 , a 2 + a -2 =14 , 四校自招-数学·华二卷 a 4 + a -4 = 194学而思高中部 胡晓晨老师 2. S = 1 ⨯(6 ⨯ 3) ⨯(6 ⨯ 4) = 216ABC 2 5 5 25【高中知识点】解三角形——三角形面积公式a 2 +b 2 3. a 2 a 2 + b 2+ = 4 , b 22 2 + = 2 , a 2 b 2 b 4 + a 4 = 2a 2b 2 ,a 2 =b 2若 a = b , ( b )2013 ( a )2014 = 0a b若 a = -b , ( b )2013 ( a )2014 = -2 a bans 0 或-24. 第五列B+A=D ，结合第一列A+B=D ，可得第二列B+C=B 没有进位∴ C = 0∴ A+B=D 也没有进位，算式即A B B 0 B+ B 0 A D AD B D D D 而 A ≥ 1, B ≥ 1，且 A ≠ B∴ D = A + B ≥ 3D 可取到3, 4,,9 ，共 7 个值5. 40 ⨯ 20 ⨯10= 2100 ⨯ 40 【注】我觉得答案也可以是-40 cm ，砖扔到鱼缸里，鱼缸就被砸破了 6. 连 BF , JH ，过 H 作 HM ⊥ AJ 于 M ，则FBE ≌HJM∴ MJ = BE∴ AJ - DH = AJ - AM = MJ = BE∴ AJ = DH + BE = JE + BE = BJ∴ AJ = 1 2b3 ∴ ∠GJA = 60︒ ∴ ∠IJE = 30︒ 设 IJ = x ，则 BE = x ， JE = 3 x ， BJ = x +2 3 x = 1 2 2∴ x = 2 - 7. 题目不全8. 【注】题目表述应为内切球，不是内切圆大正方体边长2 cm, 其内切球直径2 cm ，也作为小正方体的外接球2∴小正方体边长cm小正方体表面积6⨯( 2 )2 = 8 cm 23【高中知识点】立体几何——正方体与球(a - b )2 + (b - c )2 + (c - a )2 9. = 16 + 36 +100 = 8 +18 + 50 = 762 210. 1- 4 ⨯ 4 = 75 6 15【高中知识点】概率——对立事件发生的概率11. (-8, 4)12. 【注】题目应当补充条件：行驶的时间刚好为整数（单位：小时）(100c +10b + a ) - (100a +10b + c ) = 55t即99(c - a ) = 55t9(c - a ) = 5t∴ c - a = 5,t = 9∴ a = 1, c = 6∴ b = 033 3 a 2 + b 2 + c 2 = 3713. (2x 2 - 3)(7 x - 4) + (-5x + 2) = 14 x 3 -8x 2 - 26 x +1414. 【注】题目意思应表述为，最大的正整数最大值可能为多少 ans 35 ；可构造出11个数分别为1, 1, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 11, 3515. 设 AD = 1 , DC = 2 ，则 AE = 1 ,DF = 2AD = 2 , 3AF = ,EF = AF - AE = - 1 = 23 31⨯ 2 ∴ S DEF S ABCD = 2 3 = 1 = 3 2 2 3 6二、16. C17. x 0 > -118. 4【高中知识点】解析几何——点的轨迹问题19. 设 BC = x ，则S = (x - a )3b -(x - 4b )a = (3b - a )x + ab ，当a = 3b 时， S 不变ans B三、20. 1 x - 2 = a + 32若 a + 3 < 0 ，即a < -3 ，原方程无解若 a + 3 = 0 ，即a = -3，原方程即 1 x - 2 = 0 ， x = 4 2若 a + 3 > 0 ，即a > -3，原方程即 1 x - 2 = ±(a + 3) ， x = 2a +10 或-2a - 22【高中知识点】绝对值不等式⎩ ⎩ OE ⎬OA = ⎬O C21. ⑴设购进甲、乙两种手机分别 x , y 台，则⎧0.4x + 0.25y = 15.5⎨0.03x + 0.05y = 2.1⎧x = 20解得⎨ y = 30答：购进甲手机20 台，乙手机30 台⑵设增加购进乙手机数量为a 台，则甲手机减少 a 台，则2(20 - a ) ⨯ 0.4 + (30 + a ) ⨯ 0.25 ≤ 162解得a ≤ 10(20 - a) ⨯ 0.03 + (30 + a ) ⨯ 0.05 = 0.035a + 2.1 ≤ 2.452 ∴当a = 10 时，利润最大，此时乙手机共40 台，甲手机共15 台答：购进甲手机15 台，乙手机40 台，可达到利润最大，最大为2.45 万元22. ⑴设OD 与 AC 交于点 E ，连OC则 AC ⊥ CB ⎫⇒ OE ⊥ AC ⇒ EA = EC ⇒ DA = DC⎭DA = DC ⎫ ⇒DAO ≌DCO ⇒ ∠DCO = ∠DAO = 90︒⎭∴ DC 为切线，即 DE 为切线⑵ CE= 2 ，则 DC = 1DE 3 DE 3∠ODA = ∠ODE ⇒ OA= DA = DC = 1设OA = x ，则OE = 3x∴ OB = x , BE = 2xOE DE DE 3CE 为切线， ∠ECB = ∠CAE ⇒ ECB ∽EAC∴ EC = EB= CBEA EC AC 设CB = a ，则CA = ⇒ EC = 2 2x ⇒ 2aCB = 2CA 2CB 2 + CA 2 = AB 23 n 2 (n +1)2 + n 2 + (n +1)2 n 2 (n +1)2 + 2n (n +1) +1 (n (n +1) +1)22 ∴ a 2 + 2a 2 = 4x 2 ⇒ a = 2 x ⇒ cos ∠ABC = CB = CA 2 x3 = 32x 323.⑴-1 = -1 = -1n (n +1) = -1 = n (n +1) +1 -1 = 1= 1 -1n (n +1)n (n +1) n (n +1) n (n+1)n n +1⑵原式 = (1+1- 1) + (1 + 1 - 1) ++ (1+ 1 - 1 ) = 9 + (1 - 1 ) = 992 23 【高中知识点】数列——裂项求和9 10 10 1024. ⑴ y = -x 2 - 2x + 3⑵①PDE 为直角三角形，且∠P = ∠BAC = 45︒∴ PE = 2PD = 2DE∴ C PDE = PE + DE + PD = ( +1)PE设 P (m , -m 2 - 2m + 3) ，易求得直线 AB 解析式为 y = x + 3则 E (m , m + 3)∴ PE = -m 2 - 3m = -(m + 3)2 + 92 4∴当m =- 3 时， PE 取到最大值 9 ， C = ( +1)PE 取到最大值 9( 2 +1)2 此时 P (-3 , 15)2 44 PDE 4②若 N 在对称轴上，则 PF = 2 ，即-m 2 - 2m + 3 = 2∴ m = -1± 又-3 < m < 0∴ m = -1-∴ P (-1- 2, 2)若点 M 在对称轴上，则 AF + PF = 2∴ 3+ m - m 2 - 2m + 3 = 21+ 1 + n 2 1 (n +1)2 2 2217 -1 ∴ m = -1± 172又-3 < m < 0∴ m =-1- 17 2∴ -m 2 - 2m + 3 =17 -12∴ P (-1- 17 , ) 2 2【试卷总结与分析】1. 高中知识点分析从涉及到的重要高中知识点来说，二附中的考察并无明显针对性（例如上中的考点，明显针对不等式） 本卷中考到的解三角形、概率、立体几何、解析几何、数列等等，涉及到的也非常非常浅，而且考试足以通过初中知识解决2. 初高衔接知识点分析高中知识中，代数与几何所占比重差异巨大，代数大约占到 95%，几何大约 5%想打好初高衔接基础，建议把精力全部放在代数，这其中又主要以①代数式变换（因式分解、配方、根式与分式的化简计算）②解方程③二次函数的图像与性质为主这在本试卷中，体现的非常非常明显，也说明了参加二附中的考试，并不需要超前学习很多，在初中知识的延展范围内，牢牢地打好基础即可考到的初高衔接的知识题目如第一、1, 3, 9, 12, 17第 20, 23 题等，全部都在考察“解方程”，“代数式变换”，“二次函数性质”这也与高中数学以代数为主切合因此，二附中的选拔主线便是——让代数功底强的学生占据主要优势3. 初中知识点分析初中知识以几何为主，但本卷中几何考到的并不多，考察了基本的知识与应用 如第 2, 5, 6 题（本题难度较大，来源是 2014 年美国数学竞赛十二年级试题）第 15 题第二 16, 19 题, 第 22 题数论知识考察也少，如第4, 12 题建议考生无需花太大精力，若已有基本的数论组合知识，可放心应考；若考生完全没有接触过，建议尽快补充知识，否则会在这方面的考题吃亏。
2019年上海市浦东新区华师大二附中高考数学模拟试卷（5月份）一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1. 设集合A ={x |x 2-5x +4＜0}，B ={x ||x -a |＜1}，则“a ∈（2，3）”是“B ⊆A ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 2. 实数a ，b 满足a •b ＞0且a ≠b ，由a 、b 、a+b 2、√ab 按一定顺序构成的数列（ ）A. 可能是等差数列，也可能是等比数列B. 可能是等差数列，但不可能是等比数列C. 不可能是等差数列，但可能是等比数列D. 不可能是等差数列，也不可能是等比数列3. 已知双曲线x 2a2-y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的两条渐近线与抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为√3，则p =（ ）A. 1B. 32C. 2D. 34. 若函数f （x ）满足：f （|x |）=|f （x ）|，则称f （x ）为“对等函数”，给出以下三个命题：①定义域为R 的“对等函数”，其图象一定过原点；②两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；③若定义域是D 的函数y =f （x ）是“对等函数”，则{y |y =f （x ），x ∈D }⊆{y |y ≥0}； 在上述命题中，真命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（本大题共12小题，共36.0分） 5. 若复数z 满足∣∣∣z1−ii ∣∣∣=-1+2i ，则z 等于______． 6. 计算：n →∞limCn 38n 3+1=______7. 某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则x 2+y 2=______． 8. 关于x ，y 的二元一次方程的增广矩阵为(32111m )．若D x =5，则实数m =______．9. 已知实数x 、y 满足不等式组{2x −y −2≥0x −y ≥0y ≥0，则w =y−1x+1的取值范围是______10. 在(√x −12x )10展开式中，含x 的负整数指数幂的项共有______项．11. 一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为______．12. 连续投骰子两次得到的点数分别为m ，n ，作向量a⃗ =（m ，n ），则a ⃗ 与b ⃗ =（1，-1）的夹角成为直角三角形内角的概率是______．13. 已知集合A ={（x ，y ）||x -a |+|y -1|≤1}，B ={（x ，y ）|（x -1）2+（y -1）2≤1}，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围为______．14. 在△ABC 中，BC =√2，AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当∠C 变化时，线段CD 长的最大值为______．15. 如图，B 是AC 的中点，BE⃗⃗⃗⃗⃗ =2OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，P 是平行四边形BCDE 内（含边界）的一点，且OP⃗⃗⃗⃗⃗ =xOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +yOB ⃗⃗⃗⃗⃗ (x ，y ∈R)．有以下结论： ①当x =0时，y ∈[2，3]；②当P 是线段CE 的中点时，x =−12，y =52；③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段；④x -y 的最大值为-1；其中你认为正确的所有结论的序号为______．16. 对任意实数x 和任意θ∈[0，π2]，恒有(x +3+2sinθcosθ)2+(x +asinθ+acosθ)2≥18，则实数a 的取值范围为______．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）17. 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若b =4，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8．（1）求a 2+c 2的值；（2）求函数f （B ）=√3sin B cosB+cos 2B 的值域．18. 如图，三棱锥P -ABC 中，PC ⊥平面ABC ，PC =AC =2，AB =BC ，D 是PB上一点，且CD ⊥平面PAB ． （1）求证：AB ⊥平面PCB ；（2）求二面角C -PA -B 的大小的余弦值．19. 某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度； （2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？20.已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，点P（m，4）到其准线的距离等于5．（I）求抛物线G的方程；（II）如图，过抛物线G的焦点的直线依次与抛物线G及圆x2+（y-1）2=1交于A、C、D、B四点，试证明|AC|•|BD|为定值；（III）过A、B分别作抛物G的切线l1，l2且l1，l2交于点M，试求△ACM与△BDM面积之和的最小值．21.已知数列{a n}是以d为公差的等差数列，{b n}数列是以q为公比的等比数列．（Ⅰ）若数列的前n项和为S n，且a1=b1=d=2，S3＜a1003+5b2-2010，求整数q的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试问数列中是否存在一项b k，使得b k恰好可以表示为该数列中连续p（p∈N，p≥2）项的和？请说明理由；（Ⅲ）若b1=a r，b2=a s≠a r，b3=a t（其中t＞s＞r，且（s-r）是（t-r）的约数），求证：数列{b n}中每一项都是数列{a n}中的项．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据题意，集合A={x|x2-5x+4＜0}={x|1＜x＜4}=（1，4），B={x||x-a|＜1}=（a-1，a+1），若“a∈（2，3）”，可得1＜a-1＜2，3＜a+1＜4，必有“B⊆A”，若“B⊆A”，则有，解可得2≤a≤3，“a∈（2，3）”不一定成立；则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的充分不必要条件；故选：A．根据题意，先表示出集合A、B，进而分析可得：若“a∈（2，3）”，必有“B⊆A”，而若“B⊆A”，则“a∈（2，3）”不一定成立；由充分必要条件的定义，分析可得答案．本题考查充分必要条件的判定及应用，关键求出集合B，2.【答案】B【解析】解：（1）若a＞b＞0则有a ＞＞＞b若能构成等差数列，则a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则a•b=•，得=2，解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若b＜a＜0，则有＞a ＞＞b若能构成等差数列，则+b=a+，得2=3a-b于是b＜3a4ab=9a2-6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列．于是b=9a＜0，满足题意但此时•b＜0，a•＞0，不可能相等，故仍无法构成等数列故选：B．由实数a，b满足a•b＞0且a≠b，分a，b＞0和a，b＜0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b 、、按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b 的值，最后综合讨论结果，可得答案．本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键．3.【答案】C【解析】解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=-，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选：C．求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．4.【答案】B【解析】解：①定义域为R的“对等函数”，可令x=0，即f（0）=|f（0）|，解得f（0）=0，或f（0）=1，故①错误；②两个定义域相同的“对等函数”，设y=f（x）和y=g（x）均为“对等函数”，可得f（|x|）=|f（x）|，g（|x|）=|g（x）|，设F（x）=f（x）g（x），即有F（|x|）=f（|x|）g（|x|）=|f（x）g（x）|=|F（x）|，则乘积一定是“对等函数，故②正确”；③若定义域是D的函数y=f（x）是“对等函数”，可得f（|x|）=|f（x）|，可取f（x）=x|x|，x∈R，可得x≥0时，f（x）≥0；x＜0时，f（x）＜0，故③错误．故选：B．可令x=0，即f（0）=|f（0）|，解得f（0）可判断①；设y=f（x）和y=g（x）均为“对等函数”，运用新定义，计算可判断②；可取f（x）=x|x|，x∈R，求得f（x）的值域，即可判断③．本题考查函数的新定义的理解和运用，考查反例法、特值法和逻辑推理，属于中档题．5.【答案】1+i【解析】解：∵=iz+i∴iz+i=-1+2i∴z=1+i故答案为：1+i．利用行列式展开法则和复数的性质进行求解．本题考查行列式运算法则，解题时要注意复数运算性质的合理运用．6.【答案】148【解析】解：；∴=．故答案为：．根据组合数公式即可求出，从而得出=．考查组合数公式，以及数列极限的求法，型极限的求法．7.【答案】208【解析】解：由题意可得：x+y=20，（x-10）2+（y-10）2=8，解得则x2+y2=208，故答案为：208．利用平均数、方差的概念列出关于x、y 的方程组，求解即可．本题考查统计的基本知识，样本平均数与样本方差的概念以及求解方程组的方法，比较简单．8.【答案】-2【解析】解：由题意，D x==5，∴m=-2，故答案为-2．由题意，D x==5，即可求出m的值．本题考查x，y的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础．9.【答案】[−12，1)．【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（-1，1）连线的斜率的取值范围．由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由A（1，0），∴OB的斜率k=1AP的斜率k=，∴-≤w≤1．则的取值范围是：．故答案为：．画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．10.【答案】4【解析】解：展开式的通项为其中r=0，1，2 (10)要使x的指数为负整数有r=4，6，8，10故含x的负整数指数幂的项共有4项故答案为：4利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为负整数，得到r的值，求出含x的负整数指数幂的项数．本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．11.【答案】3：2【解析】解：设圆柱的高为：2，由题意圆柱的侧面积为：2×2π=4π圆柱的体积为：2π12=2π球的表面积为：4π，球的半径为：1；球的体积为：所以这个圆柱的体积与这个球的体积之比为：=故答案为：设出圆柱的高，求出圆柱的体积，圆柱的表面积，转化为球的表面积，求出球的半径，然后求出球的体积，可得二者体积之比．本题考查球的体积、表面积；圆柱的表面积、体积；考查计算能力，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手．12.【答案】712【解析】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数6×6，∵m＞0，n＞0，∴=（m，n）与=（1，-1）不可能同向．∴夹角θ≠0．∵θ∈（0，]•≥0，∴m-n≥0，即m≥n．当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1．∴满足条件的事件数6+5+4+3+2+1∴概率P==．故答案为：由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题．向量知识，向量观点在数学．物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点．13.【答案】[-1，3]【解析】解：分别画出集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．如图所示．其中A（a+1，1），B（a-1，1），欲使得A∩B≠∅，只须A或B点在圆内即可，∴（a+1-1）2+（1-1）2≤1或（a-1-1）2+（1-1）2≤1，解得：-1≤a≤1或1≤a≤3，即-1≤a≤3．故答案为：[-1，3]．先分别画出集合A={（x，y）||x-a|+|y-1|≤1}，B={（x，y）|（x-1）2+（y-1）2≤1}，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆．再结合题设条件，欲使得A∩B≠∅，只须A或B点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可．本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．14.【答案】3【解析】解：如右图：∵AB=BD，∴在△ABC 中，由正弦定理得，∴BDsin∠ABC=sin∠ACB，在△BCD中，CD2=BD2+BC2-2BD•BCcos（90°+∠ABC）=AB2+2+2BDsin∠ABC=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB+2+2sin∠ACB=5-2cos∠ACB+2sin∠ACB=5+4sin（∠ACB-45°），∴当∠ACB=135°时CD2最大为9，CD最大值为3，故答案为：3．在△ABC中，由正弦定理得BDsin∠ABC=sin∠ACB，在△BCD，△ABC中由余弦定理可得CD2=BD2+BC2-2BD•BCcos（90°+∠ABC）=AC2+BC2-2AC•BCcos∠ACB+2+2sin∠ACB，可化为5+4sin（∠ACB-45°），由此可求答案．该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角函数的恒等变换，属中档题．15.【答案】②③④【解析】解：对于①当，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1≤y≤3，故①错对于②当当P是线段CE的中点时，==故②对对于③x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P 的轨迹是线段，故③对故答案为②③④利用向量共线的充要条件判断出①错，③对；利用向量的运算法则求出，求出x，y判断出②对．本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件．16.【答案】a≤√6或a≥72【解析】解：原不等式等价于（3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ）2，θ∈[0，]①，由①得a≥②，或a≤③，在②中，，=（sinθ+cosθ）+，显然当1≤x≤时，f（x）=x+为减函数，从而上式最大值为f（1）=1+=，由此可得a ；在③中，=（sinθ+cosθ）+=，当且仅当sinθ+cosθ=时取等号，所以的最小值为，由此可得a，综上，a或a．故答案为：a或a ．原不等式等价于（3+2sinθcosθ-asinθ-acosθ）2，θ∈[0，]，从而可得a≥，或a≤，于是问题转化为求函数的最值问题加以解决，对上述分式进行合理变形，利用函数单调性、基本不等式即可求得最值．本题考查函数恒成立问题，转化为函数最值问题是解决该类题目的常用方法，解决本题的关键是先对不等式进行等价变形去掉x ，变为关于θ的恒等式处理． 17.【答案】解：（1）∵BA ⃗⃗⃗⃗⃗ •BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =8，∴ac cos B =8，由余弦定理得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =a 2+c 2-16， ∵b =4，∴a 2+c 2=32；（2）∵a 2+c 2≥2ac ， ∴ac ≤16， ∵ac cos B =8， ∴cos B =8ac ≥12， ∵B ∈（0，π）， ∴0＜B ≤π3，∵f （B ）=√3sin B cosB+cos 2B =√32sin2B +12（1+cos2B ）=sin （2B +π6）+12，∵π6＜2B +π6≤5π6， ∴sin （2B +π6）∈[12，1]， 则f （B ）的值域为[1，32]． 【解析】（1）利用平面向量的数量积运算法则化简•=8，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及b 的值代入计算即可求出a 2+c 2的值；（2）由基本不等式求出ac 的范围，根据accosB=8表示出cosB ，由ac 的范围求出cosB 的范围，进而利用余弦函数性质求出B 的范围，f （B ）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，由B 的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f （B ）的范围．此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键． 18.【答案】（1）证明：∵PC ⊥平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，∴PC ⊥AB ．∵CD ⊥平面PAB ，AB ⊂平面PAB ，∴CD ⊥AB ．又PC ∩CD =C ，∴AB ⊥平面PCB ．（2）解：取AP 的中点O ，连接CO 、DO ． ∵PC =AC =2，∴C 0⊥PA ，CO =√2，∵CD ⊥平面PAB ，由三垂线定理的逆定理，得DO ⊥PA ． ∴∠COD 为二面角C -PA -B 的平面角． 由（1）AB ⊥平面PCB ，∴AB ⊥BC ， 又∵AB =BC ，AC =2，求得BC =√2 PB =√6，CD =2√33∴sin∠COD =CDCO =√63cos ∠COD =√33．【解析】（1）要证AB ⊥平面PCB ，只需证明直线AB 垂直平面PCB 内的两条相交直线PC 、CD 即可； （2）取AP 的中点O ，连接CO 、DO ；说明∠COD 为二面角C-PA-B 的平面角，然后解三角形求二面角C-PA-B 的大小的余弦值．本题考查直线与平面垂直的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．19.【答案】解：（1）设内环线列车的平均速度为v 千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得309v ×60≤10∴v ≥20∴要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时；（2）设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入（18-x ）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t 1，t 2分钟， 则t 1=3025x ×60=72x，t 2=3030(18−x)×60=6018−x ∴|t 1−t 2|=|72x−6018−x|≤1∴{x 2+114x −1296≤0x 2−150x+1296≤0∴150−√173162≤x ≤−114+√181802∵x ∈N +，∴x =10∴当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟． 【解析】（1）设内环线列车的平均速度为v 千米/小时，根据内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得，从而可求内环线列车的最小平均速度；（2）设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入（18-x ）列列车运行，分别求出内、外环线乘客最长候车时间，，根据，解不等式，即可求得结论．本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题，解题的关键是正确求出乘客最长候车时间．20.【答案】解：（1）由题知，抛物线的准线方程为y +1=0，p2=1所以抛物线C 的方程为x 2=4y ．（2）当直线AB 的斜率不存在时，直线与抛物线只有一个交点， 故直线AB 的斜率一定存在，设直线AB 方y =kx +1交抛物线C 于点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 由抛物线定义知|AF |=y 1+1，|BF |=y 2+1， 所以|AC |=y 1，|BD |=y 2， 由{y =kx +1x 2=4y得x 2-4kx -4=0， 显然△＞0，则x 1+x 2=4k ，x 1•x 2=-4， 所以y 1•y 2=x 12⋅x 2216=1，所以|AC |•|BD |为定值1．（3）解：由x 2=4y ，y =14x 2，y =12x ，得直线AM 方程y -14x 12=12x 1（x -x 1）（1）， 直线BM 方程y -14x 22=12x 2（x -x 2）（2）， 由（2）-（1）得12（x 1-x 2）x =14x 12-14x 22，所以x =12（x 1+x 2）=2k ，∴y =-1 所以点M 坐标为（2k ，-1）， 点M 到直线AB 距离d =√1+k 2=2√1+k 2，弦AB 长为|AB |=√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+k 2√16k 2+16=4（1+k 2）， △ACM 与△BDM 面积之和，S =12（|AB |-2）•d =12×（2+4k 2）×2√1+k 2=2（1+2k 2）√1+k 2， 当k =0时，即AB 方程为y =1时，△ACM 与△BDM 面积之和最小值为2． 【解析】（1）第一小题较为简单，因为抛物线是标准方程，只须求参数P ；（2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定点；（3）欲求面积之和的最小值，利用直线AB 的斜率作为自变量，建立函数模型，转化成求函数的最值问题．新课标下的圆锥曲线题一般是压轴题，主要考查椭圆或抛物线的有关知识，本题主要考查直线、圆、抛物线等基础知识，考查运算求解能力、探究能力、分析问题和解决问题的能力，背景新颖，综合要求高．数学中的最值与定值问题，历来是高考的热点．求解定值与最值的基本策略有二：一是从几何角度考虑，当题目中的条件和结论明显体现几何特征及意义时，可用图形性质来解；二是从代数角度考虑，当题中的条件和结论体现出一种明显的函数关系时，可通过建立目标函数，求其目标函数的最值．21.【答案】解：（Ⅰ）由题意知，a n =2n ，b n =2•q n -1，所以由S 3＜a 1003+5b 2-2010，可得到b 1+b 2+b 3＜a 1003+5b 2-2010⇒b 1-4b 2+b 3＜2006-2010⇒q 2-4q +3＜0．解得1＜q ＜3，又q 为整数，所以q =2； 故答案为2．（Ⅱ）假设数列{b n }中存在一项b k ，满足b k =b m +b m +1+b m +2++b m +p -1， 因为b n =2n ，∴b k ＞b m +p -1⇒2k ＞2m +p -1⇒k ＞m +p -1⇒k ≥m +p （*）又b k =2k =b m +b m+1+b m+2++b m+p−1=2m +2m+1++2m+p−1=2m (2p −1)2−1=2m +p -2m ＜2m +p ，所以k ＜m +p ，此与（*）式矛盾． 所以，这样的项b k 不存在；故答案为不存在．（Ⅲ）由b 1=a r ，得b 2=b 1q =a r q =a s =a r +（s -r ）d ， 则d =a r (q−1)s−r又b 3=b 1q 2=a r q 2=a t =a r +(t −r)d ⇒a r q 2−a r =(t −r)⋅a r (q−1)s−r，从而a r (q +1)(q −1)=a r (q −1)⋅t−rs−r ，因为a s ≠a r ⇒b 1≠b 2，所以q ≠1，又a r ≠0，故q =t−rs−r −1．又t ＞s ＞r ，且（s -r ）是（t -r ）的约数，所以q 是整数，且q ≥2，对于数列中任一项b i （这里只要讨论i ＞3的情形）， 有b i =a r q i -1=a r +a r （q i -1-1）=a r +a r （q -1）（1+q +q 2++q i -2） =a r +d （s -r ）（1+q +q 2++q i -2）=a r +[（（s -r ）（1+q +q 2++q i -2）+1）-1]•d ，由于（s -r ）（1+q +q 2++q i -2）+1是正整数，所以b i 一定是数列{a n }的项． 故得证． 【解析】（Ⅰ）由等差等比数列的表达式a n=2n，b n=2•q n-1，代入S3＜a1003+5b2-2010直接求解即得到答案．（Ⅱ）可以先假设数列{b n}中存在一项b k，满足b k=b m+b m+1+b m+2++b m+p-1，再根据已知的条件去验证，看是否能找出矛盾．如果没有矛盾即存在，否则这样的项b k不存在；（Ⅲ）由已知条件b1=a r，得b2=b1q=a r q=a s=a r+（s-r）d，和等差等比数列的性质，由数学归纳法求证数列中每一项是否都是数列中的项．此题主要考查等差等比数列的性质的应用，以及数学归纳法在数列中的应用，题目较为复杂，需要一步一步的分析求解，计算量要求较高，属于难题．。
