次函数的图象和性质2江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春
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次函数的图象和性质1江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春
通过本课的学习，你有什么收获？有什么 疑问？觉得还有什么需要研究？
整理（2)y=2x2；（3)y=
1
2
x2.
跟踪练习：
(1)y=-x2；
（2)y=-2x2；（3)y=- 1 2
x2.
讨论：类比一次函数以及反比例函数的知识，你 能归纳出二次函数y=ax2的图像的一些性质吗？
整理课件
3
知识梳理
二次函数y=ax2的图象的性质：
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线.
2.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
3.当a﹥0时，抛物线y=ax2的开口向上.在对称 轴左侧，即当x<0时，函数y随x的增大而减小； 在对称轴右侧，即当x﹥0时，函数y随x的增大 而增大；当x=0时，y最小=0.
当a﹤0时，抛物线y=ax2的开口向下.在对称 轴左侧，即当x<0时，函数y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，即当x﹥0时，函数y随x的增大 而减小；当x=0时，y最大=0.
初中数学九年级下册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质（1）
兴化市板桥初级中学 顾厚春
温故知新
1.什么叫二次函数？ 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.
2.类比一次函数以及反比例函数的知识，你认为 我们学习二次函数还应该研究什么内容？
整理课件
2
典例研习
例1.用描点法画下列二次函数的图象，并观察
①当x取何值时，y>0? ②当x取何值时，在y2>y1时，总有x2>x1? ③当x取何值时，在y2>y1时，总有x2<x1?
整理课件
9
巩固练习
5.已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围.
整理（2)y=2x2；（3)y=
1
2
x2.
跟踪练习：
(1)y=-x2；
（2)y=-2x2；（3)y=- 1 2
x2.
讨论：类比一次函数以及反比例函数的知识，你 能归纳出二次函数y=ax2的图像的一些性质吗？
整理课件
3
知识梳理
二次函数y=ax2的图象的性质：
1.二次函数y=ax2的图象是抛物线.
2.抛物线y=ax2的顶点是原点，对称轴是y轴.
3.当a﹥0时，抛物线y=ax2的开口向上.在对称 轴左侧，即当x<0时，函数y随x的增大而减小； 在对称轴右侧，即当x﹥0时，函数y随x的增大 而增大；当x=0时，y最小=0.
当a﹤0时，抛物线y=ax2的开口向下.在对称 轴左侧，即当x<0时，函数y随x的增大而增大； 在对称轴右侧，即当x﹥0时，函数y随x的增大 而减小；当x=0时，y最大=0.
初中数学九年级下册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质（1）
兴化市板桥初级中学 顾厚春
温故知新
1.什么叫二次函数？ 形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数叫做二次函数.
2.类比一次函数以及反比例函数的知识，你认为 我们学习二次函数还应该研究什么内容？
整理课件
2
典例研习
例1.用描点法画下列二次函数的图象，并观察
①当x取何值时，y>0? ②当x取何值时，在y2>y1时，总有x2>x1? ③当x取何值时，在y2>y1时，总有x2<x1?
整理课件
9
巩固练习
5.已知二次函数y=-x2. (1)当-2<x<3时,求y的取值范围; (2)当-4<y<-1时,求x的取值范围.
次函数的图像和性质教案
设计情景，引入新知
1．老师呈现“用一个平面切割圆锥”的视频动画，截面的边缘曲线是抛物线吗？
2．设计：“老师对这个问题研究后，得到如下结果，但是被墨水…！你能帮我还原这个函数的图像吗？”情景，引入今天的新课----对“比较一般的二次函数函数y=(x－1)2+1 ”的研究.
激发学习兴趣，数学无处不在；
到该课的主题中来.
b)经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.
（3）情感与价值观目标
a）经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
b）让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
2．教学重点
（1）经历探索二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像的作法和性质的过程.
（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？
（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？
（4）这个图像有怎样的开口方向？
对于（2），让学生充分思考，讨论，从而体会在x=1两侧对称取点的必要性.其他问题，学生都能从图像上，容易的解决.
活动二
1．画出二次函数y=－(x+1)2+2的图像．
猜测：下面各抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向.
y=(x－3)2+16；y=3(x－3)2+18；y=－(x+3)2+1；y=－5(x+1)2－13.
总结二次函数y=a（x－h）2＋k（a≠0）的性质：
抛物线
对称轴
顶点坐标
开口方向
y= a(x－h)2+k(a>0)
x=h
(h，k)
1．老师呈现“用一个平面切割圆锥”的视频动画，截面的边缘曲线是抛物线吗？
2．设计：“老师对这个问题研究后，得到如下结果，但是被墨水…！你能帮我还原这个函数的图像吗？”情景，引入今天的新课----对“比较一般的二次函数函数y=(x－1)2+1 ”的研究.
激发学习兴趣，数学无处不在；
到该课的主题中来.
b)经历探索二次函数的图像的作法和性质的过程，培养学生的探索能力.
（3）情感与价值观目标
a）经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点.
b）让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果.
2．教学重点
（1）经历探索二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的图像的作法和性质的过程.
（2）怎样列表才能保证描出的点具有对称性？对这个函数你应该怎么取点？
（3）这个图像有最高点（或最低点）吗？若有，它的坐标是多少？
（4）这个图像有怎样的开口方向？
对于（2），让学生充分思考，讨论，从而体会在x=1两侧对称取点的必要性.其他问题，学生都能从图像上，容易的解决.
活动二
1．画出二次函数y=－(x+1)2+2的图像．
猜测：下面各抛物线的对称轴、顶点坐标和开口方向.
y=(x－3)2+16；y=3(x－3)2+18；y=－(x+3)2+1；y=－5(x+1)2－13.
总结二次函数y=a（x－h）2＋k（a≠0）的性质：
抛物线
对称轴
顶点坐标
开口方向
y= a(x－h)2+k(a>0)
x=h
(h，k)
6.2二次函数的图象和性质(3)(江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春)
x
x y=x2 y=x2+1
… … …
-2 4
-1 1
0 0
y
8
1 1
2 4
… …
5
2
1
2
5
y=x2+1
函数y=x2+1的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
函数y=x2+1的图 象可由y=x2的图 象沿y轴向上平移 1个单位长度得到. 相同
-10 -5
6
4
2
你能说说这 个图象有哪 函数y=x +1的图 象与y=x 的图象 些性质吗？
2 2
函数y=x2-2的图象与y=x2的 图象的位置有什么关系?
的形状相同吗?
O
-2 5
x
10
y=x2-2
函数y=-x2+3的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向上平移 3个单位长度得到.
-10 -5
4
y
2
y=-x2+3
5
O
-2
x
10
函数y=-x2-2的图 象可由y=-x2的图 象沿y轴向下平移 2个单位长度得到.
2 2
y=x2
O
-2
的形状相同吗?
5
x
10
x y=x2 y=x2-2
….. …… ……
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
……
2
-1
y
8
-2
-1
2 ……
函数y=x2-2的图象 可由y=x2的图象 沿y轴向下平移2 个单位长度得到. 相同
-10 -5
6
4
2
你能说说这 2 y=x个图象有哪 函数y=x +1的图 些性质吗？ 象与y=x 的图象
苏科版数学八年级上册 .一次函数的图象 课件精品PPT
4
y=2x
3
2
y=2x-2
1
-3 -2 -1 0 -1
-2
1x
⑴当k＞0时，y随x 的增大而增大，从 左到右看函数的图 象是上升的．
请大家观察上面的图象,你有什么发现?
苏科版数学八年级上册 .一次函数的图象 课件精品课件
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y=-2x y
4 3 2
1
大致图象
y
0
x
y
0
x
y
0
x
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随堂练习
根据下面的图象，确定
一次函数y=kx+b中k、b的符号.
y yyy
x
0 00
xx
2 x3 3
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随堂练习
一次函数y=2x-3的图象经过（ C ）
一次函数的图象与性质
·
·
清晨4时气温最低 下午14时气温最高
画出函数y=2x+4, y=2x,y=2x－2的图
象，你有什么发现？
填表:
x -2 -1 0 1 2 … y=2x+4 0 2 4 6 8 …
y=2x -4 -2 0 2 4 … y=2x-2 -6 -4 -2 0 2 …
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写出一个一次函数的表达式，使它满足条件 （y随着x的增大而减小）
（写一个即可）。
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江苏省2019届中考数学专题复习 第二章 函数(第6课时)二次函数的图像和性质课件
11
回归教材
考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
解析
由题意知此抛物线的对称轴是直线x＝2，故b＝－4， 得方程x2－4x＝5，解之，得x1＝－1，x2＝5.
12
回归教材
考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
2．【2017·徐州】若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有 三个交点，则b的取值范围是( A )
ab<0(b 与 a 异号)
c＝0
c
c>0
c<0
图象的特征
开口向上 开口向下 对称轴为 y 轴 对称轴在 y 轴左侧 对称轴在 y 轴右侧 经过原点 与 y 轴正半轴相交 与 y 轴负半轴相交
5
回归教材
考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
b2－4ac
特殊 关系
b2－4ac＝0
与 x 轴有唯一交点 (顶点)
8
回归教材
考点聚焦
考向探究
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
考向探究
探究1 二次函数与一元二次方程 例1 已知二次函数y＝x2－3x＋m(m为常数)的图象与x轴
的一个交点为(1，0)，则关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0 的两实数根是x1＝____1____，x2＝____2____．
9
第14课时 二次函数的图象及其性质(二)
1
第14课时┃二次函数的图象及其性质(二)
回归教材
1．[九上P35例3改编]
怎样移动抛物线y＝－
1 2
x2就可以得到抛
物线y＝－12(x＋1)2－1( B )
6.2二次函数的图象和性质(4)(江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春)
小组交流：设计关于抛物线几个问题.
巩固练习
5.将函数y=3（x－4）2的图象）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ； 6.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= ， h= .若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且 与y轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M， 则SΔ MAB= .
函数开口方向对称轴顶点坐标y的最值最值增减性在对称轴轴左侧在对称轴右侧轴右侧温故知新yax2a0a0yax2ca0a0向上y轴00最小值是0最大值是0y随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴00y随x的增大而增大y随x的增大而减小向上y轴0c最小值是cy随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴0c最大值是cy随x的增大而增大y随x的增大而减小例1
最小值 y随x的增
大而减小 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小
y轴 y轴 y轴 y轴
y=ax2
a＜0
a＞0
向下 向上 向下
最大值 y随x的增 是0
大而增大
最小值 y随x的增 是C
大而减小
y=ax2+c
a＜0
最大值 是C
y随x的增 大而增大
典例研习
巩固练习
7.将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数 的图象，在向 平移 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象. 8.函数y=（3x+6）2的图象是由函数 的图象 向左平移5个单位得到的，其图象开口向 ，对称 轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的 增大而增大，当x= 时，y有最 值是 .
初中数学九年级上册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质(4)
巩固练习
5.将函数y=3（x－4）2的图象）2的 图象沿y轴对折后得到的函数解析式是 ； 6.把抛物线y=a（x-4）2向左平移6个单位后得到抛 物线y=- 3（x-h）2的图象，则 a= ， h= .若抛物线y= a（x-4）2的顶点A，且 与y轴交于点B，抛物线y= - 3（x-h）2的顶点是M， 则SΔ MAB= .
函数开口方向对称轴顶点坐标y的最值最值增减性在对称轴轴左侧在对称轴右侧轴右侧温故知新yax2a0a0yax2ca0a0向上y轴00最小值是0最大值是0y随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴00y随x的增大而增大y随x的增大而减小向上y轴0c最小值是cy随x的增大而减小y随x的增大而增大向下y轴0c最大值是cy随x的增大而增大y随x的增大而减小例1
最小值 y随x的增
大而减小 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小 y随x的增 大而增大 y随x的增 大而减小
y轴 y轴 y轴 y轴
y=ax2
a＜0
a＞0
向下 向上 向下
最大值 y随x的增 是0
大而增大
最小值 y随x的增 是C
大而减小
y=ax2+c
a＜0
最大值 是C
y随x的增 大而增大
典例研习
巩固练习
7.将抛物线y=2x2－3先向上平移3单位，就得到函数 的图象，在向 平移 个单位得到函数y= 2（x-3）2的图象. 8.函数y=（3x+6）2的图象是由函数 的图象 向左平移5个单位得到的，其图象开口向 ，对称 轴是 ，顶点坐标是 ，当x 时，y随x的 增大而增大，当x= 时，y有最 值是 .
初中数学九年级上册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质(4)
62二次函数的图象和性质6江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春
62二次函数的图象和性质6江苏省兴化市板桥初级中学顾厚春
• •
例3：指出抛物线: yx25x4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点 坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的 交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图 象。
1x
5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平
移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 ( )
A.b=2
B.b= - 6 , c= 6
C.b= - 8
D.b= - 8 , c= 18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a- 1的最小值是2,则a的值是
A. 4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列
y
各式中不成立的是( )
A.b2-4ac>0 C.a+b+c=0
B.abc>0 -1 D.a-b+c<0
()
-3
-3
-3
-3
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数
y=ax+c的大致图象可能是
（）
y
y
y
• •
例3：指出抛物线: yx25x4
的开口方向，求出它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点 坐标、与x轴的交点坐标。并画出草图。
对于y=ax2+bx+c我们可以确定它的开口方向，求出 它的对称轴、顶点坐标、与y轴的交点坐标、与x轴的 交点坐标（有交点时），这样就可以画出它的大致图 象。
1x
5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平
移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 ( )
A.b=2
B.b= - 6 , c= 6
C.b= - 8
D.b= - 8 , c= 18
6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限，
则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是
C.x轴上
D.y轴上
3.若二次函数y=ax2 + 4x+a- 1的最小值是2,则a的值是
A. 4
B. -1
C. 3
D.4或-1
4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x
轴的一个交点为(1,0),则下列
y
各式中不成立的是( )
A.b2-4ac>0 C.a+b+c=0
B.abc>0 -1 D.a-b+c<0
()
-3
-3
-3
-3
7.在同一直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c与一次函数
y=ax+c的大致图象可能是
（）
y
y
y
板桥初中三轮复习资料——回归课本
回归课本——课本例、习题梳理七年级（上）（执笔：许殿斌，统稿：顾厚春）例题1：按如图所示的方式搭正方形，则搭n 个正方形所需的火柴棒数是 根．练习：1.为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆n 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） A ．26n + B ．86n + C ．44n + D ．8n 2.找规律：用火柴棒搭三角形．搭1个三角形需要火柴棒 根； 搭2个三角形需要火柴棒 根； 搭3个三角形需要火柴棒 根； 搭10个三角形需要火柴棒 根； 搭100个三角形需要火柴棒 根；3.、用正方形的普通水泥砖和彩色水泥砖按下图的方式铺人行道： ⑴图①中有彩色水泥砖 块， 图②中有彩色水泥砖 块， 图③中有彩色水泥砖 块；⑵像这样，第n 个图形需要彩色水泥砖 块； ⑶第n 个图形需要普通水泥砖 块.。
4.剪绳子：⑴将一要挟绳子对折1次后从中间剪一刀，绳子变成 段；将一根绳子对折2次后从中间剪一刀，绳子变成 段；将一根绳子对折3次后从中间剪一刀，绳子变成 段； ⑵将一根绳子对折n 次后从中间剪一刀，绳子变成 段；⑶根据⑵的结论，计算一根绳子对折10次后从中间剪一刀，绳子变成 段。
5.已知任意三角形的内角和为180°,试利用多边形中过某一点的对角线条数，寻求多边形内角和的公式。
根据上图所示，一个四边形可以分成____个三角形；于是四边形的内角和为______度：一个五边形可以分成______个三角形，于是五边形的内角和为______度，……，按此规律，n 边形可以分成_______个三角形,于是n 边形的内角和为________________度.例2：观察公式：公式1：3223333)(a xa a x x a x +++=+ 公式2：4322344464)(a xa a x a x x a x ++++=+ （1）这两个公式有什么特点？（2）利用公式计算： )21()21(24)21(26)21(24232234-+-⨯⨯+-⨯⨯+-⨯⨯+ 练习1．观察下列等式，并回答问题：23)31(6321⨯+==++ ，24)41(104321⨯+==+++，25)51(1554321⨯+==++++ ，…=++++n 321 ，1000321++++ = .2.223214111⨯⨯==，22333241921⨯⨯==+，22333434136321⨯⨯==++，…. (1)猜想填空：⨯=++++413213333n ( )2⨯( )2(2)若2333324041321⨯=++++n ,试求n 的值.例题3：观察日历：⑴同一列中相邻两数之差为；⑵月历中方框内的4个数之间有何关系？再找一个这样的方框，是否仍有这样的关系？⑶若方框内有9个数，它们之间有何关系？⑷小明一家外出旅游5天，这5天的日期和是25，问小明几号出发的？练习：1.、在如图所示的1月份的日历中，用一个方框圈出任意3×3个数(1) 从左下角到右上角的三个数字之和为45,那么这9个数的和是多少?这9个日期中最后一天是1月几日?(2) 用这样的方框能否圈出总和为162的9个数?2.请你观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中a、b、c的值分别为（）A．20、29、30 B．18、30、26 C．18、20、26 D．18、30、28例题4：合情推理题：观察右面的图形（每个正方形的边长均为１）和相应的等式，探究其中的规律：①11 1122⨯=-②22 2233⨯=-③33 3344⨯=-④444455⨯=-表二表三表四11235...（1） 写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示；⑤（2）猜想并写出与第n 个图形相对应的等式．练习1：意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一组数：1，1，2，3，5，8，13，…， 其中从第三个数起，每一个数都等于它前面两上数的和。
二次函数的图象与性质--江苏教育版(新编2019教材)
a(x2 b x) c a
a[x2 b x ( b )2 ( b )2 ] c
a
2a
2a
a x b 2 4ac b2
2a
4a
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有光照室 元正卒 因奉二后投义军 少好秘学 尚书令 镇南将军何无忌率众距之 含父子乘单船奔荆州刺史王舒 右卫将军皇甫敷北距义军 冬则穴处 仕吴至大鸿胪 太子既废居于金墉 太阴三合癸巳 殄彼凶徒 裕惧其侵轶 行道之人自非性足体备 焉知不有达人 坚遣其将吕光率众七万伐之 善草 隶弈棋之艺 笃行纯素 必无此事 益愧叹焉 自称凉 天下渐弊 则无敌矣 乔与二弟并弃学业 功非一捷 害人父母 师成之 将致疑惑 原不答 勒将程遐说勒曰 讨蛮贼文卢等 非惟不能益吾 推其素望 导以为灼炟也 辄恤穷匮 潜运帷幄 郭翻 其日大雨 故往侯之 人何以堪 圣主聪明 若期生不佳 皓 政严酷 峻少为书生 丹杨太守王广等皆弃官奔走 泓曰 仅以身免 王恺地即渭阳 石砮 吉凶之理 可试之 故汉高枕疾 洋又曰 澄即取钵盛水 至于先帝龙飞九五 力不陷坚耳 五日不食 惟钱而已 其文甚美 薛氏 吾本渡江 公车五征 及年七岁 临清流而赋诗 后将军 杜曾 密欲与仲堪共袭玄 灵疗 之 鲁胜 师事术士范宣于豫章 西域人也 其家欲嫁之 巴州刺史 区以别矣 男子无大小 约异母兄光禄大夫纳密言于帝曰 送以诣澄 救已得矣 率由于此 精妙逾深 寝巢而韬其耀 若如卿言 会稽永兴人也 以道翼讃 是以九域宅心 牢之等遽于收敛 晚节亦不复钓 裔不乱华 与魏齐同其安危 方信训 有道术 须臾钵中生青莲花 录尚书事 浚井 本源既运 或著论而矫俗 络秀谓之曰 说风尘纷纭 还 非所以顾万全远危亡之祸也 所损岂少 敦无子 遁去 宗族部落咸共叹赏 靓曰 叔齐复存于今 及玄初至也 潜有吞并之计 导之以义 郭铨归降 今年杀郎君 使名垂竹
江苏省兴化市昭阳湖初级中学九年级数学下册《6.2-2二次函数的图象和性质(2)》教案
教学目标：1.掌握形如二次函数)0(2≠=aaxy的图象及其性质2.会用待定系数法确定二次函数的解析式教学重难点：掌握形如二次函数)0(2≠=aaxy的图象及其性质教学过程一、情境创设情境：展示上节课练习中学生所画的221xy=、221xy-=、22xy=、22xy-=的图象，讨论它们的共同点和不同点。
先独立思考并交流二、探索活动通过这个活动引导学生思考并发现抛物线的基本性质，包括开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性。
学生可以相继补充回答，培养学生观察图形并解决问题的能力.2.试说明函数值的最大或最小.让学生理解二次函数值的增减性的特殊性，它不是单调的，而是在不同的取值范围内有不同的变化趋势，正因为这个“拐点”的出现才导致函数值有了最大或最小。
活动三：概述二次函数)0(2≠=aaxy的图象及性质在理解了抛物线的几个方面的性质后，让学生整合进行完整概述，目的是培养学生的归纳能力，提高数学语言的表达能力三、例题讲解活动一：观察这四个图象的形状和走势,回答下列问题。
活动二：用数学语言概括二次函数的图象性质，并有条理地表达。
1.从自变量与函数的变化关系解释图象的上升或下降。
时）y 随着x 的增大而增大；在对称轴的 (即当x___时）y 随着x 的增大而减小。
（3）当x= 时，函数y 的值最小，最小值是 。
1.填空：抛物线y=2x 2中：(1)开口向___ ,顶点坐标是 ，(2)在对称轴的 (即当x_____（4）该抛物线除顶点外，在x 轴的 _____方。
2．说说下列函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值。
（1）27x y = （2）23x y -=（3）232x y = (4)243x y -=。
八年级数学上册 6.3《一次函数的图像》一次函数的图象及性质的总结素材 苏科版(2021年整理)
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一次函数的图象及性质(1)形状：一次函数y = kx + b的图象是一条直线，所以一次函数y = kx + b的图象也称为直线y = kx + b。
（2）画法：由于一次函数y = kx + b的图象是一条直线，因此作一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两个点作直线就可以了.一般地，一次函数y = kx + b的图象是经过点(0，b）和（－bk，0）的一条直线,当b =0时，即为正比例函数,其图象是经过原点(0，0）和点（1,k)的一条直线.(3）性质:一次函数y=kx+b(k、b是常数，且k≠0）的图像是一条直线，它的性质如下：性质一：（增减性）一次函数中k的取值决定了图像的倾斜方向。
①k＞0直线必然经过一、三象限，y的值随着x的增大而增大.②k＜0直线必然经过二、四象限，y的值随着x的增大而减小。
性质二：一次函数中b的取值确定直线与y轴交点的位置,反之亦然。
①b＞0直线与y的交点在x轴的上方。
②b=0直线过原点。
③b＜0直线与y的交点在x轴的下方。
性质三：当k确定b变化时，图像为无数条平行线；即两直线平行K的值相等。
当b确定k 变化时，图像为一束都经过点（0，b）的直线。
即当b相等时两直线相交于Y轴一点。
江苏省兴化市昭阳湖初级中学九年级数学下册《6.3二次函数与一元二次方程(2)》教案
学习目标1.能够利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根．体验数形结合思想．2.通过利用二次函数的图象估计一元二次方程的根，进一步掌握二次函数图象与x轴的交点坐标和一元二次方程的根的关系，提高估算能力．学习过程一、知识准备1、二次函数与一元二次方程的关系是;2、二次函数图像与X轴的交点坐标及个数与一元二次方程的根的关系是：二学习内容题1：请画出二次函数y=x2+2x-5 的图象问题2：你能说出二次函数y=x2+2x-5 的图象与一元二次方程x2+2x-5=0的关系吗？问题3：二次函数y＝x2＋2x－5的图象与x轴交点的函数值有何特征？交点附近点的函数值有何特征？问题4：从图象上来看，二次函数y＝x2＋2x－5的图象与x轴交点的横坐标分别在哪两个整数之间？具备问题．．3．中发现的特征吗？问题5：为了进一步缩小探索的范围，如何在确定的两个整数之间继续取值，从而逐渐逼近使函数值y=0的自变量x的值，有何技巧吗？试试看三、知识梳理1. 一元二次方程近似根的方法是:2. 一元二次方程根与二次函数图像与X轴的交点的横坐标的关系是：四、达标测试1.物线y=a （x －2）（x ＋5）与x 轴的交点坐标为_________________________,2.根据下列表格的对应值：判断方程02=++c bx ax (a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解x 的范围是（ ） A 3＜x ＜3.23 B 3.23＜x ＜3.24 C 3.24＜x ＜3.25 D 3.25 ＜x ＜3.26 3.已知二次函数y=kx 2＋3x －4①若它的的图象与x 轴只有一个交点，则k=；②若它的的图象与x 轴有两个交点，则k 的取值范围．4.若关于x 的方程x 2-x-n=0没有实数根，则抛物线y= x 2-x-n 与x 轴的交点情况为,顶点在第________象限．5.利用二次函数的图象求方程x 2+2x-2=0的近似根（精确到0.1）7.二次函数y=c bx ax ++2(a ≠0，a ，b ，c 为常数)图象如图所示，根据图象解答问题（1）写出方程02=++c bx ax 的两个根（2）写出不等式c bx ax ++2＞0的解集（3）写出y 随x 增大而减小的自变量x 的取值范围 （4）若方程c bx ax ++2=k 有两个不相等的实数根，x 3. 23 3.24 3.25 3.26 c bx ax ++2－0.06－0.020.030.09yxO 3x =12求k的取值范围.。
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当a>0时，抛物线的开 口向上，顶点是抛物线 的最低点
当x>0时，y随x的增大而增大
当x<0时，y随x的增大而减小
当x=0时，y的值最小，最小值为0
y22x图 像 的 开 1x2口 图比 像y的 小开 口
2整理课件
3
抛物线y=ax2（a≠0）
当a<0时，抛物线的
开口向下，顶点是抛
物线的最高点
当x>0时，y随x的增
4、如图，请 数 y指 x2， y出 x二 2,y次 2x2， y 函 1x2 3
的对应函数图像。
6 5 4 3 2 1
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-2
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2
4
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-5
整理课件
10
-6
巩固练习
y
5 .如图，为二次函数图像
，
2
（ 1）求此函数解析式； （ 2）当函数值为 8时，求 x ；
初中数学九年级下册（苏科版）
6.2 二次函数的图象和性质(2)
兴化市板桥初级中学 顾厚春
整理课件
1
温故知新
y 2x2
y 1 x2 2
画出 y 2x2 和
y 1 x2 2
的图像。
整理课件
2
y
2x2
y
1
抛物线y=ax2（a≠0）
x 2 的图象是顶点在原
2 点、对称轴是y轴所
在直线的抛物线.
的增大而
；当x=
时，函数有最 值，最
值是
；
（2）对于函数 y
大而
，当x=
1 3
Байду номын сангаас
x 2 ，当x<0时函数值随x的增
时，函数有最 值，最
值为
。
整理课件
9
巩固练习
3、若一条抛物线经过点（2,8）且顶点在原点，则抛物线 的开
口_____；对称轴是_______；当x_____时，y随x值的增大而增 大，当x=________时; y有最_____值，其值为_______,抛物线 与x轴的交点是______,与y轴的交点是_____。
(1)求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．
整理课件
6
典例研习
例2.已知函数y=(2k-1)x k2 k是二次函数，且当 x<0时，y随x的增大而增大． (1)求k的值；（2）求顶点坐标和对称轴．
整理课件
7
典例研习
例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2．
当x<0时， y随着x的增大而减小。 当x>0时， y随着x的增大而增大。
当x<0时, y随着x的增大而增大。 当x>0时， y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来,
|a|越大,抛物线的开口就整越理课小件 .
5
典例研习
例1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）. （1）求此抛物线的函数解析式； （2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上 （3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标 （4）若点A（x1,y1）、B（x2,y2）在此抛物线上， 且x1>x2>0,判断y1,y2的大小关系.
例2.已知函数y=(2k-1)xk2-k是二次函数，且当x<0 时，y随x的增大而增大．
0 1x
（ 3）判断点（ 3,1 7）是否在此函数图像上
；
（ 4）若点
A
（
x
，
1
y
）、
1
B
（
x
，
2
y
）在此函数图像
2
上，且 x 1 x 2 0，请判断
y
，
1
y
的大小关系。
2
整理课件
11
课堂小结
结合函数图像回顾y=ax2（a≠0）具有 哪些性质？
整理课件
12
大而减小
当x<0时，y随x的增
大而增大
y 1 x2 2
y 2x2
当x=0时，y的值最 大，最大值为0
y22x 图 像 的 开 1x2图 口像 比 口 的 y小
2
整理课件
4
y=ax2 (a≠0)
a>0
a<0
图
y
y
象 开口方向
Ox 向上
O
x
向下
顶点坐标
(0 ,0)
(0 ,0)
对称轴
y轴
y轴
增 减 性
❖ 友情提醒： 此题是二次函数实际应用问题，解这 类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时， 自变量C的取值应在取值范围内
整理课件
8
巩固练习
1、分别说出下列函数图像的开口方向、顶点坐标及对称
轴。 y=-3x2 y=
1 x2
3
y 5x2
(4)y 3 x2 4
2、（1）对于函数 y 3x2 ，当x>0,时函数值随x