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分式方程的解法 (优质课)获奖课件

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分式方程的解法 (优质课)获奖课件

分式方程的解法 (优质课)获奖课件

辨析：判断下列各式哪个是分式方程． (1)x＋y＝5；(2)x＋5 2＝2y3－z；(3)1x；(4)x＋y 5＝0；(5)1x ＋2x＝5. 根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5) 是分式方程． 二、探究新知 1．思考：怎样解分式方程呢？
为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题：
15．3 分式方程(2课时)
第1课时 分式方程的解法
1．理解分式方程的意义． 2．理解解分式方程的基本思路和解法． 3．理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式 方程的验根方法．
重点 解分式方程的基本思路和解法． 难点 理解解分式方程时可能无解的原因．
一、复习引入 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以
所以，原分式方程的解为 x＝9.
例 3( 教 材 例 2) 3
（x－1）（x＋2）.
解
方
程
x x－1
－
1
＝
解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得
x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 解得 x＝1.
检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋2)＝0，因此 x＝1 不是
原分式方程的解．
所以，原分式方程无解．
最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间，与以最大航速逆流
航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ [分析]设江水的流速为 x 千米/时，根据题意，得309＋0 v＝
306－0 v.① 方程①有何特点？ [概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像
这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？
注意 一定要用第一个多项式的每一项依次去乘第二个多 项式的每一项，在计算时要注意多项式中每个单项式的符 号．

《分式方程》_课件-完美版

《分式方程》_课件-完美版
小结：工程问题，若没有告诉总工作量，通常设总工作量为1；工程问题的等量关系通 常根据“各分工作量之和等于总工作量”来确定。
【获奖课件ppt】《分式方程》_课件- 完美版 1-课件 分析下 载
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巩固新知
1．解分式方程 x 2 3 ，去分母后的结果是( )
运用新知
例4 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成总工程的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程全部完成.哪个队的施工速度快？ 追问1：工程问题中有哪几个基本量，其关系是什么？通常把工作总量看作多少？ 追问2：由题意可知，甲队的工作效率是多少？若设乙队独做x天完成，则乙队的工作 效率是多少？ 追问3：此题中的等量关系是什么？你能用题中的一句话或一个等式来表示吗？ 追问4：工程类问题常用的等量关系是什么？
x2
x2
A．x＝2＋3
B．x＝2(x－2)＋3
C．x(x－2)＝2＋3(x－2) D．x＝3(x－2)＋2
答案：B
2．解下列方程：(1)
x
1 5
10 x2 25
7
1
6
；(2)
x2
x x2
x x2
x。
答案：(1)无解；(2)x＝3。
【获奖课件ppt】《分式方程》_课件- 完美版 1-课件 分析下 载
此方程中含有分式，即方程的分母中含有未知数，而整式方程的左右两边都是整式。 归纳：分式方程的概念：像这样 分母中含有未知数的方程 叫分式方程。
追问：分式方程与整式方程有何区别？
小结：分式方程中含有分式，即分母中含有未知数的方程；整式方程是指方程的左右 两边都是整式，不含有分式。

分式方程示范课市公开课一等奖省优质课获奖课件

分式方程示范课市公开课一等奖省优质课获奖课件
1、一元一次方程定义：
含有一个未知数而且未知数次数是1方程是一元一次方 程。
2、解一元一次方程步骤：
①去分母 ②去括号 ③移项 ④合并同类项 ⑤系数化为1
第2页
问题
轮船在顺水中航行80千米所需时间和逆水航行60千米 所需时间相同.已知水流速度是3千米/时，求轮船在静水 中速度.
解：设轮船在静水中速度为x千米/时，依据题意 ，得
80 60 x3 x3
第3页
分式方程定义：
分母中含有未知数方程叫分式方程
比如： =5 ，
=2+ 都是分式方程
第4页
以下式子，哪些是分式方程，哪些是整式方程。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
第5页
解分式方程 80 60
x3 x3
解：80（x-3）ຫໍສະໝຸດ 60(x+3) 80x-240=60x+180 20x=420 X=21
第6页
总结： 解分式方程步骤：
1、在分式两边都乘以最简公分母，把 分式方程化为整式方程。 2、解这个整式方程。 3、检验，把所求得整式方程根代入到 最简公分母中，结果不为0是原方程根 ，不然为增根，必须舍去。
第7页
解方程： 1
x 1
2 x2 1
解： 方程两边同乘以（x2-1）,约去分母，得 x+1=2.
解这个整式方程，得 x=1.
检验：把代入到（x+1）（x-1）中为0，方程没有意 义，所以，x=1不是原分式方程解，应该舍去.所以 原分式方程无解.
第8页
课堂练习：
（1） （2） （3） （4）
第9页
拓展延伸
求分式方程 根时m值。
产生增
第10页

《分式方程》优课教学一等奖课件

《分式方程》优课教学一等奖课件

经检验，x=12是原分式方程的根．
答:规定日期是12天．
甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行 车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求 步行的速度和骑自行车的速度．
解:设步行的速度是x km/h．列方程,得
7 19 7 2 x 4x
答:该市今年居民用水的价格为2元/m3．
学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习．甲 同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳216个； 又已知甲每分钟比乙少跳20个，求每人每分钟 各跳多少个．
解：设甲每分钟跳x个,列方程,得
180 216 x x 20
解,得
x＝100
经检验，x=100是原分式方程的根． 所以乙每分钟跳x＋20＝100＋20＝120(个) 答:甲每分钟跳100个,乙每分钟跳120个．
_____________；
40＋x
（3）已知所得的两位数与原两位数的比值是 ，则可以列出方程为
7
4
410 x 7 10x 4 4
甲、乙两人加工同一种服装,乙每天比甲多加工1件，已知乙加工30件服 装所用时间与甲加工25件服装所用时间相同，甲每天加工多少件服装? 如果设 甲每天加工x件服装，那么可列方程：
ImNaoge (√3)
x
2
1
3
0
(4) x 1 1 x
3
2
(√5)
x
1 x
2
0
(√6)
4 1 4x2
1 x 2x2
想一想一元一次方程的解法，并且解方程．
x 2 3x 2 1
3
6
解：去分母（方程两边同乘6）得
2（x－2) －(3x+2) ＝6

分式复习优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件

分式复习优质课市公开课一等奖省优质课获奖课件

1 x2 2x 1
3
x 2x2
2 1
2 x2 1 4x 4
x2
4 (π
x)2
第4页
2.分式基本性质:
分式分子和分母都乘以（或除以）同一个不等 于0整式，分式值不变.
A AM A AM
,
(其中M是不等于0整式)
B BM B BM
第5页
1.以下式子
（1） a x a （1 2）
b x b1
n ；na ,a 0
b ； a 1
ab
（3） x y x； y（4）
xy xy
ba ab ca ac
中正确是
（）
A 、1个 B 、2 个 C、 3 个 D、 4 个
第9页
4b、值若分将别分扩式大为a原ab来b (2a倍、，b均则为分正式数值）为中（字）母a、
A．扩大为原来2倍 B．缩小为原来 1
C．不变
D．缩小为原来 2
x2 y2
B、 x y2
y2 x2 C、 x y
x2 y2 D、 x 2 y xy 2
第13页
1.计算：
第14页
第15页
5. a2 b2 (1 a2 b2 )
a2b ab2
2ab
6. x 3 (x 2 5 )
x2
x2
第16页
3.化简并求值：
x2
x2
2x
x2
x 1 4x 4
x y z
4.分式
,
,
5b2c 10a 2b 2ac
最简公分母是
；
3
y
x 2 y y 3 , xy x 2
最简公分母是
.
第11页
4.什么是最简分式？ 一个分式分子和分母没有公因式时叫做最

分式方程的解法 优质课获奖课件

分式方程的解法 优质课获奖课件

例
3( 教 材 例
2)
x 解 方 程 － 1 ＝ x－1
3 . （x－1）（x＋2） 解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 解得 ＝1. 检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋2)＝0，因此 x＝1 不是 原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．
四、课堂小结
2．例 1
1 10 解方程： ＝ .② x－5 x2－25
解：方程两边同乘(x2－25)，约去分母，得 x＋5＝10. 解这个整式方程，得 x＝5.事实上，当 x＝5 时，原分式 方程左边和右边的分母(x－5)与(x2－25)都是 0， 方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x＝5 不是分式方程的根，应当 舍去，所以原分式方程无解．
通过几个这样的运算例子 ，让学生观察算式与结果间的结 构特征． 归纳：公式 (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 (a－b)2＝a2－2ab＋b2 语言叙述：两个数的和 ( 或差 ) 的平方 ，等于它们的平方和 ， 加上(或减去)它们积的2倍．这两个公式叫做(乘法的)完全平 方公式． 教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一 些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点 的原因． 还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释： (a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2.
(2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式 方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下： 方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得 90(30－ v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得 v＝6. 所以江水的流度为 6 千米/时． [概括]上述解分式方程的过程， 实质上是将方程的两边乘 以同一个整式 ， 约去分母 ， 把分式方程转化为整式方程来 解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．

《分式方程及其解法》优质课一等奖课件

在解分式方程时，如何避免增根和失根的情况？
解答及建议
在解分式方程时，需要注意增根和失根的情况。增根是指在求解过程中多出来的根，而失根则是指在 求解过程中漏掉的根。为了避免这种情况的发生，建议在求解前先对原方程进行变形和化简，确保方 程的准确性。同时，在求解后需要对解进行检验，确保解符合原方程的要求。
能力。
本课程旨在通过系统的教学和训 练，使学生熟练掌握分式方程的 解法，为后续的数学学习打下坚
实的基础。
教学目标与要求
知识与技能
掌握分式方程的基本概念、性质和解 法，能够灵活运用所学知识解决实际 问题。
过程与方法
通过讲解、示范、练习等多种教学方 式，引导学生积极参与、主动思考， 培养学生的自主学习能力和数学思维 能力。
分式方程的实际应用
如何将分式方程应用于实际问题中，并解释其物 理或经济意义，是一个值得思考的方向。
3
分式方程与其他知识点的联系
探索分式方程与其他数学知识点（如数列、概率 统计等）之间的联系，可以进一步加深对数学知 识的理解和应用能力。
THANKS
感谢观看
换元法求解技巧
01
观察分式方程，确定合 适的换元变量。
02
通过换元，将分式方程 化为整式方程或更简单 的分式方程。
03
解整式方程或更简单的 分式方程，得到换元后 的解。
04
将换元后的解代回原方 程，求得原方程的解。
实际应用问题建模与求解
分析实际问题背景，确定问题中的已 知量和未知量。
利用去分母法或换元法求解分式方程 ，得到问题的解。
类型三
复杂分式方程，如
$frac{x+1}{x}
+
frac{x}{x+2}

分式方程 公开课一等奖课件

总结： 1、列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤。 2、列方程的关键是要在准确设元（可直接设，也可设间接） 的前提下找出等量关系。 3、解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系。
4、注意不要漏检验和写答案。
1. A，B两地相距135千米，有大，小两辆汽车从A 地开往B地，大汽车比小汽车早出发5小时，小汽 车比大汽车晚到30分钟.已知大、小汽车速度的比 为2：5，求两辆汽车的速度. 2. 某工人师傅先后两次加工零件各1500个，当第二 次加工时，他革新了工具，改进了操作方法，结 果比第一次少用了 18个小时 .已知他第二次加工效 率是第一次的 2.5 倍，求他第二次加工时每小时加 工多少零件?
50
s s 50 x xv
一项工程，需要在规定日期内完成， 如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队 独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两 队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在 规定日期内完成， 问规定日期是几天？ 解:设规定日期为x天，根据题意列方程
2 x 1. x x3
请同学总结该节 课学习的内容
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附赠 中高考状元学习方法
前
言
高考状元是一个特殊的群体，在许多 人的眼中，他们就如浩瀚宇宙里璀璨夺目 的星星那样遥不可及。但实际上他们和我 们每一个同学都一样平凡而普通，但他们 有是不平凡不普通的，他们的不平凡之处 就是在学习方面有一些独到的个性，又有 着一些共性，而这些对在校的同学尤其是 将参加高考的同学都有一定的借鉴意义。
例2. 从2004年5月起某列车平均提速v千米/时，用
相同的时间，列车提速前行驶s千米，提速后比提速 前多行驶50千米，提速前列车的平均速度为多少？ 解：根据行驶时间的等量关系，得

分式方程教育课件市公开课一等奖省优质课获奖课件

探究分式方程无解原因：由变形后方程解出根， 使分式方程中分母等于0，从而使分式方程无意义．
增根概念：假如由变形后方程求出根不适合原方 程，那么这个根就叫做原分式方程增根．
第3页
10.5 分式方程（2）
探究活动
1．你认为在解方程中，哪一步变形可能会 产生增根？
增根产生原因：在分式方程两边同乘了值为0 代数式.
一元一次方程
求出根
看求出根是否使 最简公分母值等于0
等于0
不等于0
是增根，所以原方程无解．
是原方程根．
第7页
10.5 分式方程（2）
课堂反馈
解以下方程：
（1）
4＋x x－1
－5＝
2x x－1
；
（2）
1 x－2
＝
1－x 2－x
－3
；
（3）
3＝ 6 x＋1 x2－1
．
第8页
10.5 分式方程（2）
第9页
10.5 分式方程（2）
课前导学
怎样解方程
5 x－4 x－2
＝
4 x＋10 3 x－6
－1
解：方程两边同乘3(x-2)，得
3(5x-4)=4x+10-3(x-2).
解得x=2.
x－2
、4 x＋10 3 x－6
分母都为0，没有意义.
第2页
10.5 分式方程（2）
为何x＝2不是原方程解？
解这个方程，得
x=-3 检验：当x=-3时，x(x+1)=6≠0，
x=-3是原方程解. （2）方程两边同乘(x+2)(x-2)，得
(x-2)2-(x+2)2=16
解这个方程，得 x=-2
检验：当x=-2时， (x+2)(x-2)=0,x=-2 是增根，原方程无解.

分式方程应用题省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件

第1页
复习： 解分式方程普通步骤是什么？
去分母
分式方程
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
a是分式 最简公分母不为0 方程解
最简公分母为0
a不是分式 方程解
第2页
解分式方程普通步骤：
1. 在方程两边都 乘以最简公分母，约去分母， 化成整式方程.
2. 解这个整式方程. 3. 把整式方程根代入最简公分母，看结果是不 是为零，使最简公分母为零根是原方程增根，必须舍 去. 4. 写出原方程根.
求他步行40千米用多少小时?
解：设步行每小时行x千米，骑车每小时行（x+8)千米，则
12 36 x x8
解得x=4 经检验x=4是方程解。 40÷4=10(小时） 答：他步行40千米用10个小时。
第14页
3、A，B两地相距135千米，两辆汽车从A地开往B地，
大汽车比小汽车早出发5小时，小汽车比大汽车晚到30
m1+m2
(a1、a2分别表示甲、乙两种糖果单价，m1、m2分
别表示甲、乙两种糖果质量千克数)。已知a1=30元/千
克，a2=20元/千克。现在单价为24元/千克这种混合糖
果100千克，商场想经过增加甲种糖果，把单价提升
10%，问应加入甲种糖果多少千克？你能帮商场算出
结果吗？
单价 =
总价格 总质量
第18页
两人每小时各加工零件个数.
解：设乙每小时加工x个，甲每小时加工（x-5）个，则
180 240 x5 x
解得x=20 检验：x=20时x(x-5) ≠0,x=20是原分式方程解。
x-5=15 答：乙每小时加工20个，甲每小时加工15个。
第10页
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4．验根的方法： 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根
是否使原分式方程中的分式的分母为零．有时为了简便起
见，也可将它代入所乘的整式(即最简公分母)，看它的值 是否为零．如果为零，即为增根．
如例1中的x＝5，代入x2－25＝0，可知x＝5是原分式方
程的增根．
三、举例分析 2 3 例 2(教材例 1) 解方程 ＝x. x－3 解：方程两边乘 x(x－3)，得 2x＝3x－9. 解得 x＝9. 检验：当 x＝Байду номын сангаас 时，x(x－3)≠0. 所以，原分式方程的解为 x＝9.
如何计算？小组讨论，你从计算过程中发现了什么？ 由于(a＋b)(p＋q)和(ap＋aq＋bp＋bq)表示同一个量，
即有(a＋b)(p＋q)＝ap＋aq＋bp＋bq.
二、探索新知 (一)探索法则
根据乘法分配律，我们也能得到下面等式：
在学生发言的基础上，教师总结多项式与多项式的乘法法 则并板书法则． 让学生体会法则的理论依据：乘法对加法的分配律． 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个 多项式的每一项，再把所得的积相加． (二)例题讲解与巩固练习 1．教材例6计算： (1)(3x＋1)(x＋2)； (2)(x－8y)(x－y)； (3)(x＋y)(x2－xy＋y2)．
15．3
分式方程(2课时)
分式方程的解法
第1课时
1．理解分式方程的意义． 2．理解解分式方程的基本思路和解法． 3．理解解分式方程时可能无解的原因 ，并掌握解分式 方程的验根方法．
重点 解分式方程的基本思路和解法．
难点
理解解分式方程时可能无解的原因．
一、复习引入 问题：一艘轮船在静水中的最大航速为 30 km/h，它以 最大航速沿江顺流航行 90 km 所用时间， 与以最大航速逆流 航行 60 km 所用的时间相等，江水的流速为多少？ 90 [分析]设江水的流速为 x 千米/时， 根据题意， 得 ＝ 30＋v 60 .① 30－v 方程①有何特点？ [概括]方程①中含有分式，并且分母中含有未知数，像 这样的方程叫做分式方程． 提问：你还能举出一个分式方程的例子吗？
例
3( 教 材 例
2)
x 解 方 程 － 1 ＝ x－1
3 . （x－1）（x＋2） 解：方程两边乘(x－1)(x＋2)，得 x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3. 解得 x＝1. 检验：当 x＝1 时，(x－1)(x＋2)＝0，因此 x＝1 不是 原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．
四、课堂小结
1．分式方程：分母中含有未知数的方程． 2．解分式方程的一般步骤如下：
五、布置作业 教材第154页习题15.3第1题．
本节课的重点是探究分式方程的解法，我首先举一道一元 一次方程复习其解法，然后通过解一道分式方程，启发引 导学生参照一元一次方程的解法，由学生自己探索、归纳 分式方程的解法，使学生的思维得到发挥，但要提醒学生 注意对增根的理解．
14．1
14．1.4
整式的乘法
整式的乘法(4课时)
第2课时 多项式乘多项式
经历探索多项式乘法法则的过程，理解多项式乘法法则， 灵活运用多项式乘以多项式的运算法则．
重点 多项式乘法的运算． 难点
探索多项式乘法的法则 ，注意多项式乘法的运算
中“漏项”、“负号”的问题．
一、情境导入 教师引导学生复习单项式×多项式运算法则． 整式的乘法实际上就是： 单项式×单项式； 单项式×多项式； 多项式×单项式． 组织讨论：问题 为了扩大街心花园的绿地面积，把一块 原长a m，宽p m的长方形绿地，加长了b m，加宽了q m．你 能用几种方法求出扩大后的绿地面积？
2．计算下列各题： (1)(x＋2)(x＋3)； (2)(a－4)(a＋1)； 1 1 (3)(y－ )(y＋ )； 2 3 3 (4)(2x＋4)(6x－4)； (5)(m＋3n)(m－3n)； (6)(x＋2)2. 3．某零件如图所示，求图中阴影部分的面积 S.
解分式方程的步骤：
在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘一个
含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原 分式方程的解(或根)，这种根通常称为增根．因此，在解 分式方程时必须进行检验．
3．那么，可能产生“增根”的原因在哪里呢？
解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式 子(最简公分母)．方程①两边乘(30＋v)(30－v)，得到整式方 程，它的解v＝6.当v＝6时，(30＋v)(30－v)≠0，这就是说， 去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式 方程的解与①的解相同． 方程②两边乘(x－5)(x＋5)，得到整式方程，它的解x＝5. 当x＝5时，(x－5)(x＋5)＝0，这就是说，去分母时，②两边 乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现 分母为0的现象，因此这样的解不是②的解．
辨析：判断下列各式哪个是分式方程． x＋2 2y－z 1 y 1 (1)x＋y＝5；(2) 5 ＝ 3 ；(3)x；(4) ＝0；(5)x x＋5 ＋2x＝5. 根据定义可得：(1)(2)是整式方程，(3)是分式，(4)(5) 是分式方程． 二、探究新知 1．思考：怎样解分式方程呢？ 为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题： (1)回顾一下解一元一次方程时是怎么去分母的，从中 能否得到一点启发？
2．例 1
1 10 解方程： ＝ .② x－5 x2－25
解：方程两边同乘(x2－25)，约去分母，得 x＋5＝10. 解这个整式方程，得 x＝5.事实上，当 x＝5 时，原分式 方程左边和右边的分母(x－5)与(x2－25)都是 0， 方程中出现的 两个分式都没有意义，因此，x＝5 不是分式方程的根，应当 舍去，所以原分式方程无解．
(2)有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式 方程呢？ [可先放手让学生自主探索，合作学习并进行总结] 方程①可以解答如下： 方程两边同乘以(30＋v)(30－v)，约去分母，得 90(30－ v)＝60(30＋v)． 解这个整式方程，得 v＝6. 所以江水的流度为 6 千米/时． [概括]上述解分式方程的过程， 实质上是将方程的两边乘 以同一个整式 ， 约去分母 ， 把分式方程转化为整式方程来 解．所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母．