一元二次方程的应用精品PPT课件
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北师大版九年级上册2.6应用一元二次方程(1)课件(共22张PPT)
x +(21−x) =15 ， 解:设乔治得到x元，则少的一笔钱为(20−x)元.
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
2 S△ABC= ×AC⋅BC= ×26×8=24，2
面积的一半，由题意得： 一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．
解得x =9,x =12. 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
2
2
EF AB BF AB BE 300 2x
三、典例分析
(3)求相遇时补给船航行了多少海里？
解：设运动x秒时,它们相距15cm,则CP=xcm,CQ=(21−x)cm，依题意有
解： AB BC, AB / / DF , 解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
北 如图，某海军基地位于A处，其正南方向200海里处有一个重要目标B，在B的正东方向200海里处有一重要目标C.
四、随堂练习
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘，AC=8cm，BC=6cm.点P，Q同时从A，B 两点出发，分别沿AC，BC向终点C移动，它们的速度都是1cm/s，且当其 中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
解：设点P，Q出发x秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC
中一点到达终点时，另一点也随之停止移动.问点P，Q出发几秒后可使
△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半?
即： 1×(8−x)×(6−x)= 1 ×24，
2
2
x2−14x+24=0，
(x−2)(x−12)=0，
x1=12(舍去),x2=2. 答：点P，Q出发2秒后可使△PCQ的面积为Rt△ABC面积的一半.
二、探究新知
一元二次方程应用题(销售利润)PPT课件
由题意得：（10-X）（40+8X）= 432
整理得： X2-5X+4=0 解得： X1=1 X2=4 检验：X1=1 ，X2=4 都是方程的解
答: 小新家每天要盈利432元，
那么每束玫瑰应降价1元或4元。
因式分 解法
如果每束玫瑰盈利10元，平均每天 可售出40束.为扩大销售，经调查 发现，若每束降价1元，则平均每 天可多售出8束. 如果小新家每天 要盈利432元， 同时也让顾客获得 最大的实惠.那么每束玫瑰应降价 多少元？
• （1）要想平均每天销售这种童装上盈利 1200元，那么每件童装应降价多少元？
• （2）用配方法说明：要想盈利最多，每 件童装应降价多少元？
课堂测试
1、某商店经营一批季节性小家电，每个成本40元，经 市场预测，定价为50元，可销售200个，定价每个增加1 元，销售量将减少10个，若商店进货后全部销售完，赚 了2240元，问进货多少个，定价多少?
2、某商店把进价8元的商品按每件10元出售，每天可 销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加 利润，已知这种商品每涨价0.5元，每天的销量就减少 10件，若经营的这种商品要达到每天获利640元，售价 应定为多少元?
课堂测试
• 3、某种服装平均每天可销售20件，每件盈 利44元;若每件降价1元，则每天可多售5件。 如果每天要盈利1600元，每件应降价多少 元？
• 4、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种 贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3 元。为了尽快减少库存，商场决定采取适当 的措施。调查发现，如果这种贺年卡的售价 每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300 张。商场要想平均每天盈利160元，每张贺 年卡应降价多少元？
• 分析：如果设衬衫的单价降ⅹ元，那么商场平均每天可 多售出_2__ⅹ__件。根据相等关系：
八年级数学《一元二次方程应用增长率》课件
5解:__解__这__个__方_程__，__得__x_1=__0_.2__x2=-2.2（不合题意，舍去）
6验: 7答: 平均每个月增长的百分率是20％.
解: 设平均每个月增长的百分率是x.根据题意得:
2500(1+x)2 =3600 整理,得:
(1+x)2= 1.44 解这个方程,得:
x1=0.2=20％ x2=-2.2 (不合题意,舍去)
基本训练
1、某商店6月份的利润是2500元，7月份的 利润增长了20%（增长率）， 7月份的利润 为__2_5_0_0_(1_+_2_0%)
一次增长后的量=原来的量（1+增长率）
2、某商店6月份的利润1_+_x_)__
如果8月份的利润增长保持不变，则8月份的利润 为__2_5_0_0_(1_+_x_)2
4、某农场去年种植西瓜10亩，总产量为20000kg。今 年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产 量增长到60000kg。已知种植面积的增长率是平均亩 产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率。
本节课你有哪些收获？
1.用一元二次方程解应用题的一般步骤 2.用一元二次方程解决增长率问题
3.平均增长(降低）两次率公式 a(1 x)2 b
当堂检测
1、某企业成立3年来，累计向国家上缴利税280万元， 其中第一年上缴40万元，求后两年上缴利税的年平均 增长的百分率。 2、某工厂两年内产值翻了一番，求该厂产值年平均增
长率。
3、有1个人患了流感，经过两轮后，共有100个人患了 流感，那么每轮传染中平均一个人传染多少个人？
2
尝试题 1、某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果
产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长 率.设该果园水果产量的年平均增长率为X，则根 据题意可列方程
6验: 7答: 平均每个月增长的百分率是20％.
解: 设平均每个月增长的百分率是x.根据题意得:
2500(1+x)2 =3600 整理,得:
(1+x)2= 1.44 解这个方程,得:
x1=0.2=20％ x2=-2.2 (不合题意,舍去)
基本训练
1、某商店6月份的利润是2500元，7月份的 利润增长了20%（增长率）， 7月份的利润 为__2_5_0_0_(1_+_2_0%)
一次增长后的量=原来的量（1+增长率）
2、某商店6月份的利润1_+_x_)__
如果8月份的利润增长保持不变，则8月份的利润 为__2_5_0_0_(1_+_x_)2
4、某农场去年种植西瓜10亩，总产量为20000kg。今 年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产 量增长到60000kg。已知种植面积的增长率是平均亩 产量增长率的2倍，求平均亩产量的增长率。
本节课你有哪些收获？
1.用一元二次方程解应用题的一般步骤 2.用一元二次方程解决增长率问题
3.平均增长(降低）两次率公式 a(1 x)2 b
当堂检测
1、某企业成立3年来，累计向国家上缴利税280万元， 其中第一年上缴40万元，求后两年上缴利税的年平均 增长的百分率。 2、某工厂两年内产值翻了一番，求该厂产值年平均增
长率。
3、有1个人患了流感，经过两轮后，共有100个人患了 流感，那么每轮传染中平均一个人传染多少个人？
2
尝试题 1、某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果
产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长 率.设该果园水果产量的年平均增长率为X，则根 据题意可列方程
一元二次方程的应用课件
34
运用求根公式就可以解每一个具体的一元二 次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次 方程的算法如下：
35
一元二次方程
是否可以
直接用因式分解法或直接开
平方法
写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
解两个一元一次方程
计算b2-4ac
b2-4ac≥0
用求根公式：
x b
b24ac 2a
无实数解
36
38
中考 试题
营销问题
例：课本P30 B4T
例1 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天
可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商 场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可 多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么 每件童装应降价多少元？
27
例6 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2
万册，平均每年增长的百分率是多少？
解: 设平均每年增长的百分率是x.
根据题意，得 5(x+1)2 = 7.2. 整理，得 x2+2x -0.44=0. 解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百
本课内容 一元二次方程的应用 1.3 第一课时
学习目标： 1、能运用一元二次方程解决一些简单
的代数问题 2、一元二次方程的根的判别式的应用
1
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
例2 当y取什么值时，一元二次多项式
运用求根公式就可以解每一个具体的一元二 次方程，取得一通百通的效果，于是解一元二次 方程的算法如下：
35
一元二次方程
是否可以
直接用因式分解法或直接开
平方法
写成一般形式
ax2+bx+c=0(a≠0)
解两个一元一次方程
计算b2-4ac
b2-4ac≥0
用求根公式：
x b
b24ac 2a
无实数解
36
38
中考 试题
营销问题
例：课本P30 B4T
例1 某百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天
可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六一”国际儿童节，商 场决定采取适当的降价措施，扩大销量，增加盈利，减少库存. 经市场调查发现：如果每件童装每降价4元，那么平均每天就可 多售出8件，要想平均每天在销售这种童装上盈利1200元，那么 每件童装应降价多少元？
27
例6 某校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2
万册，平均每年增长的百分率是多少？
解: 设平均每年增长的百分率是x.
根据题意，得 5(x+1)2 = 7.2. 整理，得 x2+2x -0.44=0. 解得，x1=0.2，x2=-2.2（不合题意，舍去）． 答：该校图书馆的藏书平均每年增长的百
本课内容 一元二次方程的应用 1.3 第一课时
学习目标： 1、能运用一元二次方程解决一些简单
的代数问题 2、一元二次方程的根的判别式的应用
1
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
例2 当y取什么值时，一元二次多项式
一元二次方程的应用,免费课件下载PPT
直接开平方法、配方法、公式 法、因式分解法． 2.解方程
(80－2x)(60－2x)＝1500
解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式
x2－70x＋825＝0． (2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825 (3)判断b2－4ac的值 b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0， (4)代入求根公式
练习：一块长方形铁板，长是宽 的2倍，如果在4个角上截去边 长为5cm的小正方形， 然后把 四边折起来，做成一个没有盖 的盒子，盒子的容积是3000 3 cm ，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm
5(2x-10)(x-10)=3000
一次方程组的应用（二）
例1、某农场用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥6千克，就 缺少化肥200千克；若每亩施肥5千克，又剩余300千克。问 该农场有多少麦田？库存化肥多少千克？
设………..x千米…………y小时。
①实际时间 +
②实际时间 +
延误时间（0.5小时） = 计划时间（y小时）
延误时间（0.5小时） = 计划时间（y小时）
实际时间=甲乙两地间的距离 / 速度
4、一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用 相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千 米；若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。问 甲地与桥相距多远？用了多长时间？
得x1＝55，x2＝15
3.列一元一次方程方程解应用题的步骤？ ①审题 ②找等量关系 ③列方程 ④解方程 ⑤答。
• 如图所示，用一块长80cm，宽60cm的 薄钢片，在四个角上截去四个相同的小 正方形，然后做成底面积为1500cm2的 没有盖的长方体盒子．求截去的小正方 形的边长．
(80－2x)(60－2x)＝1500 得x1＝55，x2＝15
(80－2x)(60－2x)＝1500
解(1)先把方程化为一元二次方程的一般形式
x2－70x＋825＝0． (2)确认a，b，c的值 a＝1，b＝－70，c＝825 (3)判断b2－4ac的值 b2－4ac＝702－4×1×825＝1600＞0， (4)代入求根公式
练习：一块长方形铁板，长是宽 的2倍，如果在4个角上截去边 长为5cm的小正方形， 然后把 四边折起来，做成一个没有盖 的盒子，盒子的容积是3000 3 cm ，求铁板的长和宽．
解：设铁板的宽为xcm,则有长为2xcm
5(2x-10)(x-10)=3000
一次方程组的应用（二）
例1、某农场用库存化肥给麦田施肥，若每亩施肥6千克，就 缺少化肥200千克；若每亩施肥5千克，又剩余300千克。问 该农场有多少麦田？库存化肥多少千克？
设………..x千米…………y小时。
①实际时间 +
②实际时间 +
延误时间（0.5小时） = 计划时间（y小时）
延误时间（0.5小时） = 计划时间（y小时）
实际时间=甲乙两地间的距离 / 速度
4、一辆汽车从甲地驶往乙地，途中要过一桥。用 相同时间，若车速每小时60千米，就能越过桥2千 米；若车速每小时50千米，就差3千米才到桥。问 甲地与桥相距多远？用了多长时间？
得x1＝55，x2＝15
3.列一元一次方程方程解应用题的步骤？ ①审题 ②找等量关系 ③列方程 ④解方程 ⑤答。
• 如图所示，用一块长80cm，宽60cm的 薄钢片，在四个角上截去四个相同的小 正方形，然后做成底面积为1500cm2的 没有盖的长方体盒子．求截去的小正方 形的边长．
(80－2x)(60－2x)＝1500 得x1＝55，x2＝15
《一元二次方程的应用》PPT(第2课时)
解：类似于甲种药品成本年平均下降率的计算，由方程 6000 (1 x)2 3600
解方程，得 x1≈0.225， x2≈1.775． 得乙种药品成本年平均下降率为 0.225.
两种药品成本的年平均下降率相等，成本下降额较大的产 品，其成本下降率不一定较大．成本下降额表示绝对变化量， 成本下降率表示相对变化量，两者兼顾才能全面比较对象的变 化状况．
(60－x－40)
100＋x×20 2
＝2
240，
化简，得 x2－10x＋24＝0，
解得 x1＝4，x2＝6； 答：每千克核桃应降价 4 元或 6 元；
(2)由(1)可知每千克核桃可降价 4 元或 6 元，因为要尽 可能让利于顾客，所以每千克核桃应降价 6 元，此时，售
价为 60－6＝54(元)，5640×100%＝90%.
问题3 两年前生产 1 t 甲种药品的成本是 5 000元，生产 1 t 乙种药品的成本是 6 000 元，随着生产技术的进步，现在生 产 1 t 甲种药品的成本是 3 000 元，生产 1 t 乙种药品的成本是 3 600 元，哪种药品成本的年平均下降率较大？
甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000 - 3 000) ÷ 2 = 1 000（元），
2．某糖厂 2014年食糖产量为 a 吨，如果在以后两 年平均减产的百分率为 x，那么预计 2015 年的产量将是
ห้องสมุดไป่ตู้___a_(_1_-x_)__．2016年的产量将是___a_(1___x_)_2_．
问题2 你能归纳上述两个问题中蕴含的共同等量关系吗？ 两年后：
变化后的量 = 变化前的量 1 x2
乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000 - 3 600 )÷ 2 = 1 200（元）．
人教版九年级数学上册《实际问题与一元二次方程》一元二次方程PPT精品课件
答：共有10个队参加了比赛.
当堂小练
3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.
∴每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 54 ×100%=90%.
60
答: 该店应按原售价的九折出售.
课堂小结
增长率问题 平 均 变 化 率 问 题 降低率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为 增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低 后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标
1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程.
（重点）
2.正确分析问题中的数量关系.
（难点）
3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.
新课导入
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
新课讲解
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利 润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意 列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
当堂小练
3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？
解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.
∴每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 54 ×100%=90%.
60
答: 该店应按原售价的九折出售.
课堂小结
增长率问题 平 均 变 化 率 问 题 降低率问题
a(1+x)2=b，其中 a 为增长前的量，x 为 增长率，2 为增长次数，b 为增长后的量.
a(1-x)2=b，其中 a 为降低前的量，x 为降低率，2 为降低次数，b 为降低 后的量.注意 1 与 x 位置不可调换.
第二十一章 一元二次方程
21.3 实际问题与一元二次方程
第1课时
学习目标
1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程.
（重点）
2.正确分析问题中的数量关系.
（难点）
3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题.
新课导入
知识回顾
1.解一元二次方程有哪些方法？
直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．
A．560(1＋x)2＝315
B．560(1－x)2＝315
C．560(1－2x)2＝315
D．560(1－x2)＝315
新课讲解
2 某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利 润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意 列方程为( D ) A．25(1＋x)2＝82.75 B．25＋50x＝82.75 C．25＋25(1＋x)2＝82.75 D．25[1＋(1＋x)＋(1＋x)2]＝82.75
一元二次方程应用题分类讲练优质课件幻灯片课件
x 1 1 97 1 1 97 .
答
:
两条直角边
分别
2 为
1
97
2 cm和
1
97 cm.
常见的图形有下列几种：
练习：
3. 如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最 大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长 方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2， （1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为 45米2的花圃，AB的长是多少米？
答 : 这个两位数为25,或36.
快乐学习 2
数字与方程
3.有一个两位数,它的十位数字与个位数字的和是5.把这个 两位数的十位数字与个位数字互换后得到另一个两位数, 两个两位数的积为736.求原来的两位数.
解 :设这个两位数的个位数字为x,根据题意,得
105 x x10 x 5 x 736.
练习:
2.某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量
为720吨,平均每月增长率是x,列方程( B )
A.500(1+2x)=720
B.500(1+x)2=720
C.500(1+x2)=720
D.720(1+x)2=500
3.某校去年对实验器材的投资为2万元,预计今明
两年的投资总额为8万元,若设该校今明两年在
1 23 2
0(不合题意, 舍去).
答 : 这 次 到 会 的 人 数 为12人 .
开启 智慧
美满生活与方程
2.小明将勤工助学挣得的500元钱按一年定期存入银行,到期后取出 50元用来购买学习用品 剩下的450元连同应得的税后利息又全部按 一年定期存入银行如果存款的年利率保持不变,且到期后可得税后 本息约461元,那么这种存款的年利率大约是多少? (精确到0.01%) .
北师大版九年级上册 2.6 一元二次方程的应用 课件(共21张PPT)
练习：课本53页练习2、3、4
二、利用一元二次方程解决增降率问题
平均增长率公式为b＝__a(1＋x)n__，其中a为起始量，b为终止量，x为平均增长率， n为增长次数．平均降低率公式为b＝__a(1－x)n__，其中a为起始量，b为终止量， x为平均降低率，n为降低次数．
例1、目前我国已建立了比较完善的经济困难学生资助体系．某校去年上半年发给每个经济困难学生389 元，今年上半年发放了438元，设每半年发放的资助金额的平均增长率为x，则下面列出的方程中正确 的是( B ) A．438(1＋x)2＝389 B．389(1＋x)2＝438 C．389(1＋2x)＝438 D．438(1＋2x)＝389
一元二次方程的应用
本讲为一元二次方程的应用，约需2-3课时。主要内容为： 一、列一元二次方程解应用题的方法和步骤 二、利用一元二次方程解决增降率问题 三、利用一元二次方程解决几何问题 四、利用一元二次方程解决利润问题 五、设计了不同类型的检测题，既有和语文学科的结合， 也有与当前疫情有关的题目。
通过已经学过的一元一次方程和二元一次方程组我 们知道，方程是解决实际应用问题的重要方法，利 用一元二次方程怎样解决实际应用问题呢？
(2)设小路宽为 y m，依题意得：(16－y)(12－y)＝12×16×12，解得：y1＝4，y2＝24(不合 题意，舍去)．故小路的宽为 4 m
4、市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间 都赛一场)，计划安排 28 场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？
解：设要邀请 x 支球队参加比赛，由题意，得21x(x－1)＝28，解得：x1＝8，x2＝－7(舍 去)．答：应邀请 8 支球队参加比赛．
列：列代数式表示题中的量，找等量关系，根据等 量关系列方程；
一元二次方程在实际问题中的应用课件
由题可得 ( x + 0.6 + x ) ·( x – 0.4) ÷ 2 = 0.78，
整理：
x²– 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P
1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6
– t )米.
由题可得
(8－t)(6－t)＝ × ×6×8
整理：t²– 14t + 48 = 24
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
针 对 训 练
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠
底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
整理：
x²– 0.1x – 0.9 = 0
解方程得：x1 = 1，x2 = -0.9（舍去）.
则渠深为 1 – 0.4 = 0.6 m.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
5. 如图，在 Rt△ACB 中，∠C = 90°；AC = 30cm，BC = 21 cm. 动点 P
1m/s. 经过几秒△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半？
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
解：设时间为 t 秒，则 Rt△PCQ 两边 PC ，CQ 长分别为 (8 – t )米与 (6
– t )米.
由题可得
(8－t)(6－t)＝ × ×6×8
整理：t²– 14t + 48 = 24
(4) 列：根据等量关系列出一元二次方程；
(5) 解：求方程的解；
(6) 检：检验解是否符合方程，是否符合实际；
(7) 答：写出答案并作答.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
针 对 训 练
1.《九章算术》“勾股”章有一题：“今有二人同所立、甲行率七，乙
行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会. 问甲乙行各几何.”
解方程得：t1 = 2，t2 =12（舍去）.
则经过 2 秒时△PCQ 的面积为 Rt△ACB 面积的一半.
2.6.1 一元二次方程在实际问题中的应用（1）
4. 如图，一条水渠的断面为梯形，已知断面的面积为 0.78m2，上口比渠
底宽 0.6m，渠深比渠底少 0.4m，求渠深.
解：设渠底为 x m，则上口为 (x + 0.6) m，渠深为 (x – 0.4) m，
冀教版九年级数学上册《一元二次方程的应用》PPT教学课件(第1课时)
24.4 一元二次方程的应用
第1课时
学习目标
1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识
方程模型的重要性.（难点）.
2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二
次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点）
新课导入
复习交流
（1）列方程解应用题有哪些步骤？
①审题； ②设出未知数；
③列方程；④解方程；
与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面
积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如
何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
分析:这本书的长宽之比 9 ： 7 正中央的矩形长宽之
比 9 ： 7 ，上下边衬与左右边衬之比 9 ： 7 .
设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬
得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ，
整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.
因为甬路的宽必须小于
40
2
m，即小于20 m，
我们利用“图形经过移动，它的面积
所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，所以x ＝ 2.
大小不会改变”的性质，把纵、横两
答：甬路的宽为2 m.
解:设正方形的边长为 cm,
根据题意,得
(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得1 = 2, 2 = −34(不合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
例3 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上
修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余
第1课时
学习目标
1 经历用一元二次方程解决实际问题的过程，进一步认识
方程模型的重要性.（难点）.
2 掌握面积法建立一元二次方程的数学模型，能运用一元二
次方程解决与面积有关的实际问题.（重、难点）
新课导入
复习交流
（1）列方程解应用题有哪些步骤？
①审题； ②设出未知数；
③列方程；④解方程；
与整个封面长宽比例相同的矩形.如果要使四周的彩色边衬所占面
积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽,左、右边衬等宽,应如
何设计四周边衬的宽度？（精确到0.1cm）
分析:这本书的长宽之比 9 ： 7 正中央的矩形长宽之
比 9 ： 7 ，上下边衬与左右边衬之比 9 ： 7 .
设中央长方形的长和宽分别为9a和7a.由此得到上下边衬
得(40-2x)(26-x)＝ 144×6 ，
整理，得x2-46x+88 ＝ 0，解得x1 ＝ 44， x2 ＝ 2.
因为甬路的宽必须小于
40
2
m，即小于20 m，
我们利用“图形经过移动，它的面积
所以x ＝ 44 不符合题意，舍去，所以x ＝ 2.
大小不会改变”的性质，把纵、横两
答：甬路的宽为2 m.
解:设正方形的边长为 cm,
根据题意,得
(26+2x)(18.5×2+1+2x)=1260.
整理,得x2+32x-68=0.
解这个方程,得1 = 2, 2 = −34(不合题意,舍去).
答:正方形的边长是2 cm.
例3 如图，某小区在一个长为40 m，宽为26 m 的长方形场地ABCD 上
修建三条同样宽的甬路，其中两条与AB 平行，另一条与AD 平行，其余
一元二次方程的应用-ppt课件
难
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
例1
如图，某小区计划在一块长为 20 m，宽为 12 m
题
型 的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余
突
破 部分种花草，若要使花草的面积达到 160 m2，则小路的宽
为 ______ m.
第一课时 几何图形面积问题
［解析］如解析图，设小路的宽为 x m，将小路进行平
重
难
题 移，则其余部分可合成相邻两边的长分别为（20-2x） m，
握手问题、照相问
素之间算一 题、比赛问题（每
次
双循环
每两个元素
之间算两次
两队之间赛一场）
循环次数
n（n-1）
互赠贺卡、比赛问
题（每两队之间赛 n（n-1）
两场）
第三课时 循环问题、销售问题及数字问题
归纳总结
考
点
解决循环问题，首先确定是单循环还是双循环，即确定
清
单 每两个元素之间算一次还是算两次，再代入公式列方程求解
清
单
2 的
26
m）的空旷场地为提前到场的观众设立面积为
300
m
解
读 封闭型矩形等候区．如图，为了方便观众进出，在两边空出
两个宽各为 1 m 的出入口，共用去隔栏绳 48 m．求工作人
员围成的这个矩形的相邻两边的长度.
第一课时 几何图形面积问题
［答案］ 解：设 AB=x m，则 BC=（48-2x+1+1） m，由
重 ■题型一 传播问题
难
例 1 某种病毒传播非常快，如果一个人被传染，经过
题
型 两轮传染后就会有 64 个人被传染．
考
点
清 题意得 x（48-2x+1+1）=300，解得 x1=10，x2=15.当 x=10
《一元二次方程的应用》课件 (同课异构)2022年精品课件
解：设平均每次下调的百分率为x，由题意，得 5(1－x)2，
解得 x1=20%，x2=1.8 〔舍去〕 ∴平均每次下调的百分率为20%.
〔2〕小华准备到李伟处购置5吨该蔬菜，因数量多， 李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打 九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试 问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
120 120 3. x x2
两边同乘x(x+2)，整理，得，
x2+2x－80=0.
解这个方程，得，
x1=-10，x2=8. 经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不
符合题意，所以取x=8.
答：原来这组学生是8人.
方法点拨
解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是 否为增根，还要考虑它是否符合题意.
讲授新课
一 平均变化率问题与一元二次方程
探究归纳
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的本钱是5000元，随着生产
技术的进步，去年生产1吨甲种药品的本钱是4650 元，
那么下降率是7% .如果保持这个下降率，那么现
在生产1吨甲种药品的本钱是
元.
下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的本钱是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,那么去年生产1吨甲种药品 的本钱是5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，那么 现在生产1吨甲种药品的本钱5是000(1-x)2 元.
解：设正方体的棱长为x㎝,那么x 3 27, 这就是要求一个数,使它的立方等于27. 因为 33 2 7 , 所以 x=3. 正方体的棱长为3㎝.
想一想 (1)什么数的立方等于-8？ -2 (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又
解得 x1=20%，x2=1.8 〔舍去〕 ∴平均每次下调的百分率为20%.
〔2〕小华准备到李伟处购置5吨该蔬菜，因数量多， 李伟决定再给予两种优惠方案以供选择：方案一，打 九折销售；方案二，不打折，每吨优惠现金200元.试 问小华选择哪种方案更优惠？请说明理由.
120 120 3. x x2
两边同乘x(x+2)，整理，得，
x2+2x－80=0.
解这个方程，得，
x1=-10，x2=8. 经检验x1=-10，x2=8都是原方程的根，但x1=-10不
符合题意，所以取x=8.
答：原来这组学生是8人.
方法点拨
解分式方程应用题时，所得根不仅要检验根是 否为增根，还要考虑它是否符合题意.
讲授新课
一 平均变化率问题与一元二次方程
探究归纳
填空：
1. 前年生产1吨甲种药品的本钱是5000元，随着生产
技术的进步，去年生产1吨甲种药品的本钱是4650 元，
那么下降率是7% .如果保持这个下降率，那么现
在生产1吨甲种药品的本钱是
元.
下降率= 下降前的量-下降后的量 下降前的量
2. 前年生产1吨甲种药品的本钱是5000元，随着生产 技术的进步，设下降率是x,那么去年生产1吨甲种药品 的本钱是5000(1-x) 元，如果保持这个下降率，那么 现在生产1吨甲种药品的本钱5是000(1-x)2 元.
解：设正方体的棱长为x㎝,那么x 3 27, 这就是要求一个数,使它的立方等于27. 因为 33 2 7 , 所以 x=3. 正方体的棱长为3㎝.
想一想 (1)什么数的立方等于-8？ -2 (2)如果问题中正方体的体积为5cm3，正方体的边长又
初中数学《一元二次方程的应用》公开课课件
根据本节课所学从情景剧 中自己提炼出一个数学问 题并加以解决。
10(1+x)2=40
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
当堂检测
今年，我市某中学响应习“足球进校园”的号召， 开设了“足球大课间”活动，现需要购进100个某品 牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球2022年 单价为200元，2024年单价为162元． 求2022年到2024年该品牌足球单价平均每年降低的 百分率
解：设这种环保汽车的数量平均每年 增长的百分率为x。 由题意得，325（1+x）2=637 解得：x1=0.4 =40％，
x2=-2.4(不合题意，舍去) 答：这种环保汽车的数量平均每年 增长的百分率为40％
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
尝试解决
0＜降低率＜ 1
3. 开发区某商厦某服装超市一款秋装搞促销，衣服的原价为 100元，连续两次降价后为81元，求这款衣服平均每次降低的百 分率.
解：设平均每次降低的百分率为x 由题意得
100（1-x）2 =81 解得：x1=0.1=10%
x2=1.9(不合题意，舍去) 答：平均每次降低的百分率为10%.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
归纳总结
（1）增长问题 设基数为a，平均增长率为x，则一次增长后的值为 a(1+x) 。
5月份每份小饼的售价为 5(1+20%) 6 元； 6月份每份小饼的售价为 7.2 元。
6(1+20%)=5(1+20%)(1+20%) =5(1+20%)2 2.今年4月份烧烤小饼5元一份，非常畅销，于是店家决定涨 价销售，若平均每月增长率为x，则: 5月份每份小饼的售价为 5(1+x) 元； 6月份每份小饼的售价为 5(1+x)2 元。（填含x的式子）
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2、当k取何值时，关于x的一元二次方程 kx2 - 4kx k - 5 0有两个相等的实数根？ 3、若关于x的方程mx2 - 4x 4 0有实数根， 求m的取值范围.
练习 P22
1. 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-6与一元
一次多项式3x-2的值相等？ 答： x 2 2 2 .
2. 当t取什么值，关于x的一元二次方程
因此
y
22228
22 4
7 12 7
从 (y-而5)2+当9y2的y 值1等2 7于4或0． y 12 7 时，
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
二、一元二次方程的根的判别式的应用
例3 当 t 取什么值时，关于 x 的一元二次方程
x2+(x+t)2= 1 t2+2t-1，
2
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
的菱形，如图1-5所示. 菱形的水平方向的对角线
比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积
是护窗正面矩形面积的
1 5
．
（1）求菱形的两条对角线的长度；
（2）求组成菱形的每一根铁条的长度．
图 1-5
分析
本题的等量关系是： 菱形的面积= 菱形两对角线乘积的一半 .
解（: 1）设菱形的竖直方向的对角线长为x cm，则它的水
例4 一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽为100cm的矩形
，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图1-5所示.菱形的水平 方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护 窗正面矩形面积的 ． （1）求菱形的两条对角线的长度； （2）求组成菱形的每一根铁条的长度．
例5 如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在
13 2
从 x2-而x-2与当2xx-1的32值 相123等或．x 32
13 时，
2
例2 当y取什么值时，一元二次多项式
(y-5)2+9y2的值等于40？
解: (y-5)2+ 9y2=40
原方程可以写成 2y2-2y-3=0.
这里 a=2，b=-2，c=-3， b2-4ac=(-2)2-4×2×(-3)=4+24=28，
盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm
， 原根方据程题可意以，写可成以列x2出-3方4x程+1(8490=-02.x)(28-2x)=364． 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189 = 4(172-189)=4×(289-189)=400，
平方向的对角线长为(x+20)cm，根据题意，可
以列出方程
1 2
x(
x
20)
15120100.
原方程可以写成 x2+20x-4800=0，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这里 a=1，b=20，c=-4800， b2-4ac = 202-4×1×(-4800)
=400+4×4800=400 ×(1+48)=400×49，
因此
x
20 40049 21
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
解: x2-x-2=2x-1.
原方程可以写成 x2-3x-1=0.
这里 a=1，b=-3，c=-1， b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13，
因此
x 3211332
解: 原 这方 里程可ab=2以-24，写acb成==2(2t2，xt)2c2+-=24t12×xt+22-×122t(t2+-1212，tt+2-12=t+0.1)
=
4t2-8(
1 2
t2-2t+1)
= 4t2-4t2+16t -8 =16t -8.
（1）当b2-4ac=16t -8>0，即t >12 时，原方程有两 个不相等的实数根；
20 207 2
1070.
从而 x1=60，x2=-80（不合题意，舍去）．
即菱形的竖直方向的对角线长为60 cm，于是它的 水平方向的对角线长为80 cm．
解:（2）由于菱形的两条对角线互相垂直平分，因
此菱形的边长为
1
2
60
1
80
2
9001600
2500 50(cm).
2
2
即组成菱形的每一根铁条的长度为50 cm.
本课内容 1.3
一元二次方程的应用
第一课时
学习目标： 1、能运用一元二次方程解决一些简单
的代数问题 2、一元二次方程的根的判别式的应用
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
例2 当y取什么值时，一元二次多项式
(y-5)2+9y2的值等于40？
例5 如图1-6，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩
形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方 形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面 积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长.
x3421400342201710.
图 1-6
分析
本题的等量关系是：
底面长×宽 =
364
.
解:（1）设截去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体
因此 从而
x1=27，x2=7 ．
如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下 角和右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这 超过了矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题意，应 当舍去．
答：截去的小正方形的边长为7 cm．
1 5结论
从例4和例5可以看出，在运用一元二次方程解 实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否 符合实际情况．
（2）当b2-4ac=16t
-8=0，即t
=
1 2
时，原方程有两
个相等的实数根；
（3）当b2-4ac=16t 实数根.
-8<0，即t<
1 2
时，原方程没有
小结：
做此类题的方法：
1、分辨未知数和参数。 2、判断方程是一元二次方程（a≠0）
还是一元一次方程(a=0,b ≠0)。 3、根据根的情况列式
1、当m为何值时，关于x的二次三项 式x2 2(m - 4)x (m2 6m 2) 是完全平方式？
x2 4
1 2
x
t
2
1
.
有两个相等的实数根？
答： t 2 .
作业
P27 A 1T 2T B 1T
第二课时
说一说
菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？
菱形的面积等于它的两 条对角线长的乘积的一半．
例4
一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽
为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成
练习 P22
1. 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-6与一元
一次多项式3x-2的值相等？ 答： x 2 2 2 .
2. 当t取什么值，关于x的一元二次方程
因此
y
22228
22 4
7 12 7
从 (y-而5)2+当9y2的y 值1等2 7于4或0． y 12 7 时，
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
二、一元二次方程的根的判别式的应用
例3 当 t 取什么值时，关于 x 的一元二次方程
x2+(x+t)2= 1 t2+2t-1，
2
（1）有两个不相等的实数根？ （2）有两个相等的实数根？ （3）没有实数根？
的菱形，如图1-5所示. 菱形的水平方向的对角线
比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积
是护窗正面矩形面积的
1 5
．
（1）求菱形的两条对角线的长度；
（2）求组成菱形的每一根铁条的长度．
图 1-5
分析
本题的等量关系是： 菱形的面积= 菱形两对角线乘积的一半 .
解（: 1）设菱形的竖直方向的对角线长为x cm，则它的水
例4 一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽为100cm的矩形
，在中间有一个由4根铁条组成的菱形，如图1-5所示.菱形的水平 方向的对角线比竖直方向的对角线长20cm，并且菱形的面积是护 窗正面矩形面积的 ． （1）求菱形的两条对角线的长度； （2）求组成菱形的每一根铁条的长度．
例5 如图1-6，一块长和宽分别为40cm，28cm的矩形铁皮，在
13 2
从 x2-而x-2与当2xx-1的32值 相123等或．x 32
13 时，
2
例2 当y取什么值时，一元二次多项式
(y-5)2+9y2的值等于40？
解: (y-5)2+ 9y2=40
原方程可以写成 2y2-2y-3=0.
这里 a=2，b=-2，c=-3， b2-4ac=(-2)2-4×2×(-3)=4+24=28，
盒子的底面边长分别为(40-2x)cm，(28-2x)cm
， 原根方据程题可意以，写可成以列x2出-3方4x程+1(8490=-02.x)(28-2x)=364． 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189 = 4(172-189)=4×(289-189)=400，
平方向的对角线长为(x+20)cm，根据题意，可
以列出方程
1 2
x(
x
20)
15120100.
原方程可以写成 x2+20x-4800=0，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
这里 a=1，b=20，c=-4800， b2-4ac = 202-4×1×(-4800)
=400+4×4800=400 ×(1+48)=400×49，
因此
x
20 40049 21
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
解: x2-x-2=2x-1.
原方程可以写成 x2-3x-1=0.
这里 a=1，b=-3，c=-1， b2-4ac=(-3)2-4×1×(-1)=9+4=13，
因此
x 3211332
解: 原 这方 里程可ab=2以-24，写acb成==2(2t2，xt)2c2+-=24t12×xt+22-×122t(t2+-1212，tt+2-12=t+0.1)
=
4t2-8(
1 2
t2-2t+1)
= 4t2-4t2+16t -8 =16t -8.
（1）当b2-4ac=16t -8>0，即t >12 时，原方程有两 个不相等的实数根；
20 207 2
1070.
从而 x1=60，x2=-80（不合题意，舍去）．
即菱形的竖直方向的对角线长为60 cm，于是它的 水平方向的对角线长为80 cm．
解:（2）由于菱形的两条对角线互相垂直平分，因
此菱形的边长为
1
2
60
1
80
2
9001600
2500 50(cm).
2
2
即组成菱形的每一根铁条的长度为50 cm.
本课内容 1.3
一元二次方程的应用
第一课时
学习目标： 1、能运用一元二次方程解决一些简单
的代数问题 2、一元二次方程的根的判别式的应用
一、建立一元二次方程模型解数与代数问题
例1 当x取什么值时，一元二次多项式x2-x-2与
一元一次多项式2x-1的值相等？
例2 当y取什么值时，一元二次多项式
(y-5)2+9y2的值等于40？
例5 如图1-6，一块长和宽分别为40 cm，28 cm的矩
形铁皮，在它的四角截去四个全等的小正方 形，折成一个无盖的长方体盒子，使它的底面 积为364 cm2. 求截去的小正方形的边长.
x3421400342201710.
图 1-6
分析
本题的等量关系是：
底面长×宽 =
364
.
解:（1）设截去的小正方形的边长为x cm，则无盖长方体
因此 从而
x1=27，x2=7 ．
如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下 角和右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这 超过了矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题意，应 当舍去．
答：截去的小正方形的边长为7 cm．
1 5结论
从例4和例5可以看出，在运用一元二次方程解 实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否 符合实际情况．
（2）当b2-4ac=16t
-8=0，即t
=
1 2
时，原方程有两
个相等的实数根；
（3）当b2-4ac=16t 实数根.
-8<0，即t<
1 2
时，原方程没有
小结：
做此类题的方法：
1、分辨未知数和参数。 2、判断方程是一元二次方程（a≠0）
还是一元一次方程(a=0,b ≠0)。 3、根据根的情况列式
1、当m为何值时，关于x的二次三项 式x2 2(m - 4)x (m2 6m 2) 是完全平方式？
x2 4
1 2
x
t
2
1
.
有两个相等的实数根？
答： t 2 .
作业
P27 A 1T 2T B 1T
第二课时
说一说
菱形的面积与它的两条对角线长有什么关系？
菱形的面积等于它的两 条对角线长的乘积的一半．
例4
一种铁栅栏护窗的正面是高为120cm、宽
为100cm的矩形，在中间有一个由4根铁条组成