从梯子的倾斜度谈起

1.1从梯子的倾斜程度谈起（一）一、学情分析本课是九年级下第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》的第一课时，由于学生在前一阶段已经学习过有关直角三角形的知识，但对于直角三角形只能停留在边与边之间的关系（勾股定理）与角与角之间的关系（直角三角形两锐角互余），那么，直角三角形中边与角之间是否也存在着一定的关系呢？本节课首先通过实验的方法，让学生真正领会到直角三角形中边与角之间确实也存在着一定的关系。

二、教学目标分析1. 经历探索直角三角形中边角关系的过程，能够用tanA 表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算；2. 体验数形之间的联系，体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神；3. 积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。

三、教学重难点分析教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系 教学难点：理解正切的意义，并用它来表示两边的比。

四、教学过程分析本节课设计了七个教学环节：课前准备——社会调查、情境引入、统计图的选择、合作学习、练习提高、课堂小结、布置作业。

（一）引入新课♦ 1、直接从梯子的倾斜程度引入新课。

2、分析两幅图的两个问题，让学生学习探索梯子的倾斜程度。

问题：下列2个图中，梯子AB 和EF 哪个更陡？你是怎样判断的？教学目的：引导学生用边之比进行比较，从而引入新课边角关系3、思考♦直角三角形的边与角的关系（1）.Rt △AB 1C 1和Rt△AB 2C 2有什么关系?（3）如果改变B 2在梯子上的位置(如B 3C 3 )呢?5２ ５２.５ Ａ ＢＥＦ 图1 ４1.53.51.3Ａ ＢＥＦ 图2B1 B（4）由此你得出什么结论?教学目的：让学生从实例中发现不同情况中对比梯子的倾斜程度需要除了观察还需要更多其他方法。

4、结论 正切的定义（1）明确各边的名称。

（2）。

（3）明确要求：1）必须是直角三角形；2）是∠A 的对边与∠A 的邻边的比值。

从梯子的倾斜程度谈起教案一、教学目标：1. 让学生了解梯子倾斜程度的概念及其计算方法。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 引导学生发现生活中的数学现象，提高对数学的兴趣。

二、教学内容：1. 梯子倾斜程度的定义及计算方法。

2. 实际生活中的梯子倾斜现象分析。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：梯子倾斜程度的计算方法及应用。

2. 教学难点：如何将实际生活中的梯子倾斜现象与数学知识相结合。

四、教学方法：1. 讲授法：讲解梯子倾斜程度的定义、计算方法及应用。

2. 案例分析法：分析实际生活中的梯子倾斜现象。

3. 小组讨论法：引导学生分组讨论，发现生活中的数学现象。

五、教学准备：1. 梯子倾斜程度的定义、计算方法及应用的PPT。

2. 实际生活中的梯子倾斜现象的图片或视频。

3. 练习题及答案。

第一章：梯子倾斜程度的定义1.1 引入：展示一张梯子图片，引导学生思考梯子的倾斜程度。

1.2 讲解：解释梯子倾斜程度的定义，即梯子与地面之间的夹角。

1.3 例子：展示实际生活中的梯子倾斜现象，让学生理解梯子倾斜程度的概念。

第二章：梯子倾斜程度的计算方法2.1 引入：提问如何计算梯子的倾斜程度。

2.2 讲解：详细解释梯子倾斜程度的计算方法，即使用三角函数。

2.3 例子：给出一个具体的梯子倾斜角度，让学生计算梯子的倾斜程度。

第三章：实际生活中的梯子倾斜现象3.1 引入：展示一些实际生活中的梯子倾斜现象的图片或视频。

3.2 讲解：分析这些梯子倾斜现象，引导学生运用数学知识解决实际问题。

3.3 练习：让学生分组讨论，发现生活中的数学现象，并分享给大家。

第四章：梯子倾斜程度在实际应用中的重要性4.1 引入：讲解梯子倾斜程度在实际应用中的重要性。

4.2 例子：给出一些实际应用场景，如建筑工人使用梯子时，梯子的倾斜程度对安全的影响。

4.3 练习：让学生举例说明梯子倾斜程度在实际生活中的应用。

5.2 拓展：引导学生思考如何将梯子倾斜程度的知识应用到其他领域，如物理学、工程学等。

《从梯子的倾斜程度谈起》说课稿尊敬的各位老师：你们好！我是八中的数学教师肖婧，这次我说课的内容是北师大版九年级数学下册第一章第一节《从梯子的倾斜程度谈起》。

下面根据我编写的教案，把我对本节课的教学设计进行说明，请各位评委、老师多提宝贵意见。

一、教材分析（一）地位和作用：《从梯子的倾斜程度谈起》是北师大版九年级数学下册第一章第一节，本节内容分二课时完成，本次课设计是第一课时的教学。

本章中介绍的直角三角形中边角之间的关系是现实世界中应用广泛的关系之一。

锐角三角函数是在解决现实问题中有着重要的的作用。

如在测量、建筑、工程技术和物理学中，人们常常遇到距离、高度、角度的计算问题，一般来说，这些实际问题的数量关系往往归结为直角三角形中的边角关系问题。

本节从梯子的倾斜程度谈起，引入了第一个锐角三角函数一一正切。

因为相比之下，正切是生活中用的最多的三角函数概念，如物体的倾斜程度，山的坡度等都往往用正切，而正弦、余弦的概念是由正切类比出来的。

因此，本节内容在教材中处于非常重要的位置。

（二）目标分析依据《数学课程标准》，结合教材分析，确定本节课的教学目标为以下三个方面：生活的联系。

能够用tanA表示直角三角形中两边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，并能够用正切进行简单的计算2•过程与方法目标：经历观察、猜想等数学活动过程，发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点。

体验数形之间的联系，逐步学习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。

体会解决问题的策略的多样性，发展实践能力和创新精神。

3•情感与态度目标：学生在学习中能积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲，形成实事求是的态度以及独立思考的习惯。

（三）教学重点与难点1. 教学重点：①理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系；②会根据正切的定义进行计算求值。

依据《数学课程标准》的要求，本节课需要达到的知识与技能目标就是学习运用理解正切的意义和与现实生活的联系。

从梯子的倾斜程度谈起张玉清内容和内容解析1.内容理解正切的意义和与现实生活的联系2.内容解析本节主要从梯子的倾斜程度谈起，引出第一个三角函数——正切，正切是生活中用得最多的三角函数概念，如刻画物体的倾斜程度、山的坡度等都使用正切。

本节的学习，为正弦和余弦的学习做好铺垫。

基于以上分析，确定本节课的教学重点：理解正切、倾斜程度、坡度的数学意义，密切数学与生活的联系。

二、目标和目标解析1.目标（1）经历探索直角三角形中边角关系的过程.理解正切的意义和与现实生活的联系.（2）能够用tanA表示直角三角形中两直角边的比，表示生活中物体的倾斜程度、坡度等，能够用正切进行简单的计算.2.目标解析从现实情境中探索直角三角形的边角关系，学生更易理解正切的意义和与现实生活的联系，体会数形结合的重要性。

三、教学问题诊断分析本节课是学生第一次接触直角三角形的边角关系，且角的对边和邻边的比是角的正切，而对定义的理解学生不太容易，并且把边找错，所以把定义的理解和应用设计为难点。

四、教学过程设计1.创设情境，引入新课 选哪个梯子好呢？10m 1m 5m 10m情景引入：小蜗牛摘葡萄（1）（2）哪个梯子更陡？问题1 游戏规则如下：最快取到葡萄的选手获胜.如果你是参赛选手，你会选择哪个梯子？为什么？问题2 我们来观察一下，你会发现两个梯子的倾斜程度是不一样的，哪个梯子更陡些？你是怎样判断的?设计意图：创设新颖的问题情境，使学生对所学内容——“梯子的倾斜程度”有初步的了解.激发学生的求知欲望，调动学生的积极性，培养学生的数学建模能力2.动手操作，合作探究活动一“高等底不等的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？”看图，并回答下面的几个问题:(1)在图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?你有几种判断方法?活动二“底等高不等的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？”(2) 在下图中，梯子AB和EF哪个更陡?你是怎样判断的?设计意图：由学生熟悉的全等知识入手，由特殊到一般去探索新知识，使新知识顺利纳入旧知识结构中，顺利完成新旧知识的同化和顺应.活动三“底与高都不相等的两个梯子，哪一个倾斜程度较大？（3）哪个梯子更陡？（4）你能证明为什么角度一定，对边与邻边的比值一定吗？3.正切的定义如图，在Rt△ABC中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与邻边之比便随之确定，这个比叫做∠A的正切(tangent)，记作tanA，即tanA= .（强调∠A的邻边为直角边）4.坡度的定义坡面与水平面夹角称为坡角。

从梯子的倾斜程度谈起11从梯子的倾斜程度谈起(二)教学目标(一)教学知识点1经历探索直角三角形中边角关系的过程，理解正弦和余弦的意义2能够运用sinA、sA表示直角三角形两边的比3能根据直角三角形中的边角关系，进行简单的计算4理解锐角三角函数的意义(二)能力训练要求1经历类比、猜想等过程发展合情推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点2体会数形结合的思想，并利用它分析、解决问题，提高解决问题的能力(三)情感与价值观要求1积极参与数学活动，对数学产生好奇心和求知欲2形成合作交流的意识以及独立思考的习惯教学重点1理解锐角三角函数正弦、余弦的意义，并能举例说明2能用sinA、sA表示直角三角形两边的比3能根据直角三角形的边角关系，进行简单的计算教学难点用函数的观点理解正弦、余弦和正切教学方法探索——交流法教具准备多媒体演示教学过程Ⅰ创设情境，提出问题，引入新[师]我们在上一节曾讨论过用倾斜角的对边与邻边之比刻画梯子的倾斜程度，并且得出了当倾斜角确定时，其对边与斜边之比随之确定也就是说这一比值只与倾斜角有关，与直角三角形的大小无关并在此基础上用直角三角形中锐角的对边与邻边之比定义了正切现在我们提出两个问题：[问题1]当直角三角形中的锐角确定之后，其他边之间的比也确定吗?[问题2]梯子的倾斜程度与这些比有关吗?如果有，是怎样的关系? Ⅱ讲授新1正弦、余弦及三角函数的定义多媒体演示如下内容：想一想：如图(1)直角三角形AB11和直角三角形AB22有什么关系?(2) 有什么关系? 呢?(3)如果改变A2在梯子A1B上的位置呢?你由此可得出什么结论?(4)如果改变梯子A1B的倾斜角的大小呢?你由此又可得出什么结论? 请同学们讨论后回答[生]∵A11⊥B1，A22⊥B2，∴A11//A22∴Rt△BA11∽Rt△BA22 (相似三角形对应边成比例)由于A2是梯子A1B上的任意—点，所以，如果改变A2在梯子A1B 上的位置，上述结论仍成立由此我们可得出结论：只要梯子的倾斜角确定，倾斜角的对边与斜边的比值，倾斜角的邻边与斜边的比值随之确定也就是说，这一比值只与倾斜角有关，而与直角三角形大小无关[生]如果改变梯子A1B的倾斜角的大小，如虚线的位置，倾斜角的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值随之改变[师]我们会发现这是一个变化的过程对边与斜边的比值、邻边与斜边的比值都随着倾斜角的改变而改变，同时，如果给定一个倾斜角的值，它的对边与斜边的比值，邻边与斜边的比值是唯一确定的这是一种什么关系呢?[生]函数关系[师]很好!上面我们有了和定义正切相同的基础，接着我们类比正切还可以有如下定义：(用多媒体演示)在Rt△AB中，如果锐角A确定，那么∠A的对边与斜边的比、邻边与斜边的比也随之确定如图，∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正弦(sine)，记作sinA，即sinA＝∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦(sine)，记作sA，即sA=锐角A的正弦、余弦和正切都是∠A的三角函数(trignetrifuntin) [师]你能用自己的语言解释一下你是如何理解“sinA、sA、tanA都是之A的三角函数”呢?[生]我们在前面已讨论过，当直角三角形中的锐角A确定时∠A的对边与斜边的比值，∠A的邻边与斜边的比值，∠A的对边与邻边的比值也都唯一确定在“∠A的三角函数”概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<A<90°；三个比值是因变量当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应2梯子的倾斜程度与sinA和sA的关系[师]我们上一节知道了梯子的倾斜程度与tanA有关系：tanA的值越大，梯子越陡由此我们想到梯子的倾斜程度是否也和sinA、sA有关系呢?如果有关系，是怎样的关系?[:zu][生]如图所示，AB＝A1B1，在Rt△AB中，sinA= ，在Rt△A1B1中，sinA1=∵＜,即sinA<sinA1，而梯子A1B1比梯子AB陡，所以梯子的倾斜程度与sinA有关系sinA的值越大，梯子越陡正弦值也能反映梯子的倾斜程度[生]同样道理sA= sA1＝,∵AB=A1B1 ＞即sA>sA1，所以梯子的倾斜程度与sA也有关系sA的值越小，梯子越陡[师]同学们分析得很棒，能够结合图形分析就更为妙哉!从理论上讲正弦和余弦都可以刻画梯子的倾斜程度，但实际中通常使用正切3例题讲解多媒体演示[例1]如图，在Rt△AB中，∠B=90°，A＝200sinA＝06，求B的长分析：sinA不是“sin”与“A”的乘积，sinA表示∠A所在直角三角形它的对边与斜边的比值，已知sinA＝06，＝06解：在Rt△AB中，∠B＝90°，A＝200sinA＝06，即= 06，B＝A×06＝200×06=120思考：(1)sA＝?(2)sin＝？s＝?(3)由上面计算，你能猜想出什么结论?解：根据勾股定理，得AB＝=160在Rt△AB中，B＝90°sA＝＝08，sin= =08，s＝＝06，由上面的计算可知sinA＝s＝6，sA＝sin＝08因为∠A+∠＝90°，所以，结论为“一个锐角的正弦等于它余角的余弦”“一个锐角的余弦等于它余角的正弦”[例2]做一做：如图，在Rt△AB中，∠=90°，sA＝，A＝10，AB等于多少?sinB呢?sB、sinA呢?你还能得出类似例1的结论吗?请用一般式表达分析：这是正弦、余弦定义的进一步应用，同时进一步渗透sin(90°-A)＝sA，s (90°-A)=sinA解：在Rt△AB中，∠＝90°，A=10，sA＝，sA＝,∴AB= ,sinB＝根据勾股定理，得B2＝AB2-A2＝( )2-102=∴B＝∴sB＝,[sinA＝可以得出同例1一样的结论∵∠A+∠B=90°，∴sinA：sB=s(90-A)，即sinA＝s(90°-A)；sA＝sinB＝sin(90°-A)，即sA＝sin(90°-A)Ⅲ随堂练习多媒体演示1在等腰三角形AB中，AB=A＝，B=6，求sinB，sB，tanB分析：要求sinB，sB，tanB，先要构造∠B所在的直角三角形根据等腰三角形“三线合一”的性质，可过A作AD⊥B，D为垂足解：过A作AD⊥B，D为垂足∴AB=A，∴BD=D= B=3在Rt△ABD中，AB＝，BD=3，∴AD＝4sinB＝sB＝,tanB=2在△AB中，∠＝90°，sinA＝，B=20，求△AB的周长和面积解：sinA= ，∵sinA= ，B＝20，∴AB＝＝＝2在Rt△B中，A＝=1，∴AB的周长＝AB+A+B＝2+1+20＝60，△AB的面积：A×B= ×1×20＝10[:中考资网ZU]3(2003年陕西)(补充练习)在△AB中∠=90°，若tanA= ，则sinA=解：如图，tanA= =设B=x，A=2x，根据勾股定理，得AB=∴sinA=Ⅳ时小结本节我们类比正切得出了正弦和余弦的概念，用函数的观念认识了三种三角函数，即在锐角A的三角函数概念中，∠A是自变量，其取值范围是0°<∠A<90°；三个比值是因变量当∠A确定时，三个比值分别唯一确定；当∠A变化时，三个比值也分别有唯一确定的值与之对应类比前一节的内容，我们又进一步思考了正弦和余弦的值与梯子倾斜程度之间的关系以及用正弦和余弦的定义解决实际问题Ⅴ后作业习题1、2第1、2、3、4题Ⅵ活动与探究已知：如图，D是Rt△AB的斜边AB上的高，求证：B2＝AB•BD(用正弦、余弦函数的定义证明) [过程]根据正弦和余弦的定义，在不同的直角三角形中，只要角度相同，其正弦值(或余弦值)就相等，不必只局限于某一个直角三角形中，在Rt△AB中，D⊥AB所以图中含有三个直角三角形例如∠B既在Rt△BD中，又在Rt△AB中，涉及线段B、BD、AB，由正弦、余弦的定义得sB＝，sB=[结果]在Rt△AB中，sB＝又∵D⊥AB∴在Rt△DB中，sB＝∴= B2＝AB•BD板书设计§112 从梯子倾斜程度谈起(二)1正弦、余弦的定义在t△AB中，如果锐角A确定sinA＝[sA＝2梯子的倾斜程度与sinA和sA有关吗?sinA的值越大，梯子越陡sA的值越小，梯子越陡3例题讲解4随堂练习。

从梯子的倾斜程度谈起教学反思恩格斯说，数学是研究现实世界的数量关系和空间形式的科学。

数学与现实生活和人类社会息息相关，它源于生活，又服务于社会生活和生产实践。

在数学教学中，力求从学生熟悉的生活情形和社会现实动身，选择学生周围感爱好的事物，提出有关的数学问题，以激发学生学习数学的爱好和动力，培养他们联系实际，分析问题，解决问题的能力。

本节课的设计是从现实情形入手，以人们熟知的梯子的倾斜程度展开问题的讨论，通过实验，让学生从实践问题中选择处理加工信息与数据，把握数学认识结构，用数学的观点和方法去分析问题，解决问题，因此本节课提出的问题是：如何来判定梯子的倾斜程度？而让学生讨论的结果是：梯子的倾斜程度不仅与梯子的倾斜角的大小有关还与梯子与地面和墙面形成的两条边有关系。

那个结果也确实是我们本节课教学的目的：如何把生活知识转化成数学问题来解决。

我还设计本节课课堂教学方法以实验讨论为主，通过对小组式研究性学习，教师给出几幅不同且有对比价值的图，让学生利用观看、类比等活动探究梯子的倾斜程度与哪几个量有关系？同时设计如此的问题串：你是如何样判定出来的？你能用语言来描述吗？你能用数学知识来说明吗？找到运用数学说明现实生活的方法，探究出解决问题的一样规律，同时提高应用意识和能力。

为下面给出正切的定义做好铺垫，突破本节课的重点和难点。

这节课是概念探究型课，探究归纳概念的给出是重点而运用定义解决问题也是重点，因此本节课的另一任务是学以致用，建立数学模型解决问题，让学生体验学习中的成功与欢乐，在本节课的教学设计中我认为较突出的一点是为了让学生更准确的体会梯子的倾斜程度，与梯子与墙面地面形成的垂直高度和水平距离的比值有关系，我设计了如此一个环节让学生自己摆梯子，如何样摆梯子更陡？通过动手动脑实践加深了学生的明白得和体验，为本节课的难点做好了铺垫，更好的完成本节课的教学。

反思二：从梯子的倾斜程度谈起教学反思回想自己对三角函数的认识，只是明白它也以运算，而关于它还有其他什么用处，在没讲这节课之前确实不明白。