2020年中考数学压轴题每日一练(含解析)

2020中考数学压轴题题型专练：规律探索题类型一数式规律1. 将一组数2，2，6，22，10，…，210，按下列方式进行排列：2，2，6，22，10；23，14，4，32，25；…若2的位置记为(1，2)，23的位置记为(2，1)，则38这个数的位置记为________．(4，4)【解析】∴当10n －2＝38时，n ＝4，∴38这个数的位置记为(4，4)． 2. 按一定规律排列的一列数：－12，1，－1， ，－911，1113，－1317，…，请你仔细观察，按照此规律方框内的数字应为________．1 【解析】将原来的一列数变形为－12，33，－55， ，－911，1113，－1317，…，观察这列数可得奇数项为负数，偶数项为正数，分子是依次从小到大排列的连续奇数，分母是依次从小到大排列的质数，故方框内填77，故答案为1.3. 观察下列数据：－2，52，－103，174，－265，…，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第11个数据是________．－12211 【解析】∵－2＝－12＋11，52＝ 22＋12，－103＝－32＋13，174＝ 42＋14，－265＝ －52＋15，∴第11个数据是：－112＋111＝－12211.4. 已知a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－a 1，a 3＝ 11－a 2，…，a n ＋1＝ 11－a n(n 为正整数，且t ≠0，1)，则a 2018＝ ________(用含t 的代数式表示)． 1－t 【解析】根据题意得：a 1＝ t t －1，a 2＝ 11－t t －1＝ 1－t ，a 3＝ 11－1＋t ＝ 1t ，a 4＝ 11－1t＝ t t －1， (2018)3＝ 672……2，∴a 2018的值为1－t . 5. 一列数：0，1，2，3，6，7，14，15，30，…，这列数是由小明按照一定规律写下来的，他第一次写下“0，1”，第二次接着写“2，3”，第三次接着写“6，7”，第四次接着写“14，15”，就这样一直接着往下写，那么30后三个连续数应该是________．31，62，63 【解析】通过观察可知，下一组数的第一个数是前一组数的第二个数的2倍，在同一组数中的前后两个数相差1，由此可得30后三个连续数为31，62，63.类型二 图形累加规律1. 如图，用菱形纸片按规律依次拼成如图图案，第1个图案中有5个菱形纸片，第2个图案中有9个菱形纸片，第3个图案中有13个菱形纸片，按此规律，第10个图案中有________个菱形纸片．第1题图41【解析】观察图形发现：第1个图案中有5＝4×1＋1个菱形纸片，第2个图案有9＝4×2＋1个菱形纸片，第3个图案中有13＝4×3＋1个菱形纸片，…，第n个图形中有4n＋1个菱形纸片，故第10个图案中有4×10＋1＝41个菱形纸片．2. 如图，每个图案都由大小相同的正方形组成，按照此规律，第n个图案中这样的正方形的总个数可用含n的代数式表示为________．第2题图n2＋n【解析】由题图知，第1、2、3个图案对应的正方形的个数分别为2＝1×2、6＝2×3、12＝3×4，…，∴第n个图案所对应的正方形的个数为n(n＋1)＝n2＋n.3. 下列图形都是由同样大小的小圆圈按一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有4个小圆圈，第②个图形中一共有10个小圆圈，第③个图形中一共有19个小圆圈，…，按此规律排列下去，第⑦个图形中小圆圈的个数为________．第3题图85【解析】可以分两部分观察，上半部分小圆圈个数为：1＋2＋3＋…＋n ＋n＋1，下半部分小圆圈个数为n2，所以第⑦个图形小圆圈个数为1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋72＝85.4. 如图是用棋子摆成的“T”字图案：从图案中可以看出，第一个“T”字图案需要5枚棋子，第二个“T”字图案需要8枚棋子，第三个“T”字图案需要11枚棋子．则摆成第n个图案需要________枚棋子．第4题图3n＋2【解析】观察图案可知，图案分成两部分，横向的横子数量依次为3，5，7，…，纵向的棋子数量依次为2，3，4，…，∴第n个图案棋子数量为2n＋1＋(n＋1)＝3n＋2.5. 如图，由若干盆花摆成图案，每个点表示一盆花，几何图形的每条边上(包括两个顶点)都摆有n(n≥3)盆花，每个图案中花盆总数为S，按照图中的规律可以推断S与n(n≥3)的关系是________．第5题图n2－n【解析】n＝3时，S＝6＝3×2，n＝4时，S＝12＝4×3，n＝5时，S ＝20＝5×4，…，依此类推，当边数为n时，S＝n(n－1)＝n2－n.类型三图形成倍递变规律1. 如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝33x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()A. (32)2015 B. (32)2016C. (32)2017 D. (32)2018第1题图B【解析】由y＝33x，得直线l的倾斜角为30°，∵点A0坐标为(2，0)，∴OA0＝2，∴OA1＝32OA0＝3，OA2＝32OA1＝32，OA3＝32OA2＝334，OA4＝32OA3＝98，…，∴OA n＝(32)n OA0＝2×(32)n.∴OA2016＝2×(32)2016，A2016A2017＝12×2×(32)2016＝(32)2016.2. 如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y＝x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为(8，4)，则第4个正方形的边长为________，第n个正方形的边长为________．第2题图8，2n-1【解析】∵函数y＝x与x轴正半轴的夹角为45°，∴直线y＝x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形，∵A(8，4)，∴第四个正方形的边长为8，第三个正方形的边长为4，第二个正方形的边长为2，第一个正方形的边长为1，…，第n个正方形的边长为2n－1.3. 如图，在矩形ABCD中，AD＝a，AB＝b，连接其对边中点，得到四个矩形，顺次连接矩形AEFG各边中点，得到菱形I1；连接矩形FMCH对边中点，又得到四个矩形，顺次连接矩形FNPQ各边中点，得到菱形I2，…，如此操作下去，得到菱形I2016，则I2016的面积是________．第3题图(12)4033ab 【解析】由题意得，菱形I 1的面积为：12AG ·AE ＝12×12a ×12b ＝(12)3ab ，菱形I 2的面积为：12FQ ·FN ＝12×(12×12a )×(12×12b )＝(12)5ab ；…；菱形I n 的面积为：(12)2n ＋1ab .∴当n ＝2016时，菱形I 2016的面积为(12)4033ab .4. 如图，已知∠AOB ＝30°，在射线OA 上取点O 1，以O 1为圆心的圆与OB 相切；在射线O 1A 上取点O 2，以O 2为圆心，O 2O 1为半径的圆与OB 相切；在射线O 2A 上取点O 3，以O 3为圆心，O 3O 2为半径的圆与OB 相切；…；在射线O 9A 上取点O 10，以O 10为圆心，O 10O 9为半径的圆与OB 相切．若⊙O 1的半径为1，则⊙O 10的半径长是________．第4题图29 【解析】如解图，作O 1C 、O 2D 、O 3E 分别⊥OB ，∵∠AOB ＝30°，∴OO 1＝2CO 1，OO 2＝ 2DO 2，OO 3＝2EO 3，∵O 1O 2＝DO 2，O 2O 3＝ EO 3，O 1C ＝1，∴O 2D ＝2，O 3E ＝4，∴圆的半径呈2倍递增，∴⊙On 的半径为2n －1CO 1，∵⊙O 1的半径为1，∴⊙O 10的半径长＝ 29.第4题解图类型四图形周期变化规律1. 如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为()A. (1，－1)B. (－1，－1)C. (2，0)D. (0，－2)第1题图B【解析】∵菱形OABC的顶点O(0，0)，点B的坐标是(2，2)，∴BO与x 轴的夹角为45°，∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点D是线段OB的中点，∴点D的坐标是(1，1) ，∵菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，360°÷45°＝8，∴每旋转8秒，菱形的对角线交点就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒时是把菱形绕点O逆时针旋转了7周回到原来位置后，又旋转了4秒，即又旋转了4×45°＝180°，∴点D的对应点落在第三象限，且对应点与点D关于原点O成中心对称，∴第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(－1，－1)．2. 下列一串梅花图案是按一定规律排列的，请你仔细观察，在前2018个梅花图案中，共有________个“”图案．第2题图505【解析】∵2018÷4＝504……2，∴有505个．3. 如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OA1B1C1的两边在坐标轴上，以它的对角线OB1为边作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的对角线OB2为边作正方形OB2B3C3，以此类推…，则正方形OB2017B2018C2018的顶点B2018的坐标是________．第3题图(0，21009)【解析】点B的位置依次落在第一象限、y正半轴、第二象限、x负半轴、第三象限、y负半轴、第四象限、x正半轴…，每8次一循环.2018÷8＝252……2，所以B2018落在y轴正半轴，故B2018的横坐标是0；OB n是正方形的对角线，OB1＝2，OB2＝2＝(2)2，OB3＝22＝(2)3，…，所以OB2018＝(2)2018＝21009，所以B2018的坐标为(0，21009)．4. 如图，正△ABO的边长为2，O为坐标原点，A在x轴上，B在第二象限，△ABO沿x轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得△A1B1O，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是________，翻滚2017次后AB中点M经过的路径长为________．第4题图(5，3)，(134633＋896)π 【解析】如解图，翻滚3次后点B 的对应点是B 3，作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝ 5，B 3E ＝ 3，B 3(5，3)，观察图象可知翻滚3次为一个循环，一个循环点M 的运动路径为MM 1︵、M 1M 2︵、M 2M 3︵，120 ·π ·3180＋120 ·π ·1180＋120 ·π ·1180＝23＋43π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672×23＋43π＋23π3＝ (134633＋896)π.第4题解图。

中考数学每日一练：二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题及答案_2020年压轴题版答案答案2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题~~第1题~~(2020杭州.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC 如图放置，将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°得到平行四边形A ′B ′OC ′．抛物线y ＝﹣x +2x +3经过点A 、C 、A ′三点．（1） 求A 、A′、C 三点的坐标；（2） 求平行四边形ABOC 和平行四边形A′B′OC′重叠部分△C′OD 的面积；（3） 点M 是第一象限内抛物线上的一动点，问点M 在何处时，△AMA′的面积最大？最大面积是多少？并写出此时M 的坐标．考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数图象与坐标轴的交点问题;三角形的面积;平行四边形的性质;相似三角形的判定与性质;~~第2题~~(2020百色.中考模拟) 如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝﹣x +bx+c 的图象与x 轴交于A 、B两点，A 点的坐标为（﹣3，0），B 点在原点的左侧，与y 轴交于点C （0，3），点P 是直线BC 上方的抛物线上一动点（1） 求这个二次函数的表达式；（2） 连接PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP′C （如图1所示），那么是否存在点P ，使四边形POP′C 为菱形？若存在，请此时点P 的坐标：若不存在，请说明理由；（3） 当点P 运动到什么位置时，四边形ABCP 的面积最大，并求出其最大值.考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;待定系数法求二次函数解析式;二次函数的实际应用-动态几何问题;~~第3题~~(2020湖州.中考模拟) 如图， 已知抛物线的对称轴是直线x=3，且与x 轴相交于A ，B 两点（B 点在A 点右侧）与y 轴交于C 点 ．22答案答案答案（1） 求抛物线的解析式和A 、B 两点的坐标；（2） 若点P 是抛物线上B 、C 两点之间的一个动点（不与B 、C 重合），则是否存在一点P ，使△PBC 的面积最大．若存在，请求出△PBC 的最大面积；若不存在，试说明理由；（3） 若M 是抛物线上任意一点，过点M 作y 轴的平行线，交直线BC 于点N ，当MN=3时，求M 点的坐标．考点： 待定系数法求一次函数解析式;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数与一次函数的综合应用;二次函数的实际应用-动态几何问题;~~第4题~~(2020乌鲁木齐.中考模拟) 如图，直线y=x+2与抛物线y=ax +bx+6（a≠0）相交于A （）和B （4，6），点P 是线段AB上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴于点D ，交抛物线于点C.（1）求抛物线的解析式；（2） 当C 为抛物线顶点的时候，求的面积.（3） 是否存在质疑的点P ，使 的面积有最大值，若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由.考点： 二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求二次函数解析式;~~第5题~~(2020长春.中考模拟) 在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x -2mx-3m（1） 当m=1时，①抛物线的对称轴为直线①抛物线的对称轴为直线，，②抛物线上一点P 到x 轴的距离为4，求点P 的坐标③当n≤x≤ 时，函数值y 的取值范围是- ≤y≤2-n ，求n 的值（2） 设抛物线y=x -2mx-3m 在2m-1≤x≤2m+1上最低点的纵坐标为y ，直接写出y 与m 之间的函数关系式及m 的取值范围．考点： 二次函数y=ax^2 bx c 的图象;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数y=ax^2+bx+c 的性质练习题答案1.答案：222002.答案：3.答案：4.答案：5.答案：。

2020年江苏中考数学填空压轴题专题一．填空题1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足此条件的点P的坐标是．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是度，阴影部分的面积为．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH ⊥AP交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为cm2．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为cm．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为．21．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是．22．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=4，点E是边BC上一动点，把△DCE 沿DE折叠得△DFE，射线DF交直线CB于点P，当△AFD为等腰三角形时，DP的长为．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE 折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC 沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF 的取值范围为．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．37．在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，点E在边BC上，且BE=2CE，将矩形沿过点E的直线折叠，点C、D的对应点分别为C′、D′，折痕与边AD交于点F，当点B、C′、D′恰好在同一直线上时，AF的长为．38．如图，矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则BP的取值范围是．三．解答题39．如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，m），点B的坐标为（n，﹣n），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y 轴于点C．已知实数m、n（m＜n）分别是方程x2﹣2x﹣3=0的两根．（1）求直线AB和OB的解析式．（2）求抛物线的解析式．（3）若点P为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线PC与抛物线交于D、E两点（点D在y轴右侧），连接OD、BD．问△BOD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值并写出此时点D的坐标；若不存在说明理由．参考答案与试题解析一．填空题（共38小题）1．如图，在直角坐标系中，点A（4，0），点B（0，2），过点A的直线l⊥线段AB，P是直线l上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，把△ACP沿AP翻折180°，使点C落在点D处，且以点A，D，P为顶点的三角形与△ABP 相似，则所有满足此条件的点P的坐标是P（5，2），P（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．【解答】解：∵直线l过点A（4，0），且l⊥AB，∴直线L的解析式为；y=2x﹣8，∠BAO+∠PAC=90°，∵PC⊥x轴，∴∠PAC+∠APC=90°，∴∠BAO=∠APC，∵∠AOB=∠ACP，∴△AOB∽△PCA，∴=，∴==，设AC=m，则PC=2m，∵△PCA≌△PDA，∴AC=AD，PC=PD，∴==，如图1：当△PAD∽△PBA时，则=，则==，∵AB==2，∴AP=4，∴m2+（2m）2=（4）2，∴m=±4，当m=4时，PC=8，OC=8，P点的坐标为（8，8），当m=﹣4时，如图2，PC=8，OC=0，P点的坐标为（0，﹣8），如图3，若△PAD∽△BPA，则==，PA=AB=×2=，则m2+（2m）2=（）2，∴m=±1，当m=1时，PC=2，OC=5，P点的坐标为（5，2），当m=﹣1时，如图4，PC=2，OC=3，P点的坐标为（3，﹣2）；则所有满足此条件的点P的坐标是：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P （3，﹣2）．故答案为：P（5，2 ），p（8，8），P（0，﹣8），P（3，﹣2）．2．若抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），则不等式ax2+bx+c＞0的解集是3＜x＜7．【解答】解：如图所示：∵抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的对称轴为直线x=5，与x轴一交点为A（3，0），∴抛物线与x轴的另一个交点为：（7，0），∴不等式ax2+bx+c＞0的解集是：3＜x＜7．故答案为：3＜x＜7．3．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AC=10，BC=8，AD是∠BAC的平分线，点E是斜边AC上的一点，且AE=AB，沿△DEC的一个内角平分线折叠，使点C落在DE所在直线上，则折痕的长度为和．【解答】解：∵∠ABC=90°，AC=10，BC=8，∴AB==6，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠BAD=∠EAD，在△ABD与△AED中，，∴△ABD≌△AED，∴∠AED=∠B=90°，BD=DE，如图1，过M作MP⊥DE于P，∵EM平分∠PEC，∴∠PEM=45°，∴PE=PM，∵△EC′M是△ECM沿EM折叠得到的，∴EC′=EC=AC﹣AE=4，设PE=PM=x，则PC′=4﹣x，∵tanC=tanC′=，∴，解得：x=，∴EM=PM=；如图2，∵tanC=，∴DE=BD=3，∴CD=C′D=5，∴C′E=2，∵tanC′=tanC=，∴EM=，∴DM===．综上所述：折痕的长度为：和．故答案为：和．4．如图，已知Rt△ABC≌Rt△DEF，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，△DEF绕着斜边AB的中点D旋转，DE、DF分别交AC、BC所在的直线于点P，Q．当△BDQ为等腰三角形时，AP的长为或或．【解答】解：（1）当BD=BQ，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=EF=4，则AB=5，过D作DM⊥BC与M，DN⊥AC于N，如图，∵D为AB的中点，∴DM=AN=AC=，BD=AB=，DN=BM=BC=2，∴BQ=BD=，QM=﹣2=，∴∠3=90°﹣∠B，而∠2+∠3=90°，∴∠2=∠B，又∵Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A=90°﹣∠B，而∠1+∠EDF+∠2=90°，∴∠1=∠B，即∠1=∠2，∴△DQM∽△DPN，∴PN：QM=DN：DM，即PN：=2：，∴PN=，∴AP=+=；（2）当DB=DQ，则Q点在C点，如图，DA=DC=，而Rt△ABC≌Rt△DEF，∴∠EDF=∠A，∴△CPD∽△CDA，∴CP：CD=CD：CA，即CP：=：3，∴CP=，∴AP=3﹣=；（3）当QB=QD，则∠B=∠BDQ，而∠EDF=∠A，∴∠EDF+∠BDQ=90°，即ED⊥AB，如图，∴Rt△APD∽Rt△ABC，∴AP：AB=AD：AC，即AP：5=：3，∴AP=．故答案为或或．5．如图所示，AB=4，AD=3，点E在CD上（不含端点C，D）的任一点，把△EBC沿BE折叠，当点C落在矩形ABCD的对角线上时，CE=．【解答】解：∵AB=4，AD=3，∴BD=5，∵把△EBC沿BC折叠得到△BC′E，∴C′E=CE，BC′=BC=AD=3，∵当点C落在矩形ABCD的对角线上，∴D，C′，B三点共线，∴C′D=2，∠DC′E=90°，∵DE=4﹣CE，∵DE2=DC′2+C′E2，即（4﹣CE）2=22+CE2，∴CE=．故答案为：．6．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=6，AE=4，点F是边BC上一点，将△ABF沿AF折叠，使点B落在BE上的点B′处，射线DC与射线AF相交于点M，若点N是射线AF上一动点，则当△DMN是等腰三角形时，AN的长为2或5或18．【解答】解：由题意可知，AF⊥BE，∴∠BAF+∠ABE=90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠D=90°，∴∠BAF+∠DAM=90°，∴∠DAM=∠ABE，∴△ABE∽△DAM，∴=，∴=，∴DM=8，AM===10，①当MN=MD时，AN=AM﹣DM=10﹣8=2或AN=AM+DM=10+8=18，②当ND=NM时，易知点N是AM中点，所以AN=AM=5，综上所述，当AN=2或5或18时，△DMN是等腰三角形．7．如图，正方形纸片ABCD的边长为1，M、N分别是AD、BC边上的点，且AB∥MN，将纸片的一角沿过点B的直线折叠，使A落在MN上，落点记为A′，折痕交AD于点E，若M是AD边上距D点最近的n等分点（n≥2，且n为整数），则A′N=．【解答】解：∵将纸片的一角沿过点B的直线折叠，A落在MN上，落点记为A′，∴A′B=AB=1，∵AB∥MN，M是AD边上距D点最近的n等分点，∴MD=NC=，∴BN=BC﹣NC=1﹣=，在Rt△A′BN中，根据勾股定理得，A′N2=A′B2﹣BN2=12﹣（）2=，所以，A′N==．故答案为：．8．如图矩形ABCD中，AD=5，AB=7，点E为DC上一个动点，把△ADE沿AE折叠，当点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上时，DE的长为或．【解答】解：如图，连接BD′，过D′作MN⊥AB，交AB于点M，CD于点N，作D′P⊥BC交BC于点P∵点D的对应点D′落在∠ABC的角平分线上，∴MD′=PD′，设MD′=x，则PD′=BM=x，∴AM=AB﹣BM=7﹣x，又折叠图形可得AD=AD′=5，∴x2+（7﹣x）2=25，解得x=3或4，即MD′=3或4．在Rt△END′中，设ED′=a，①当MD′=3时，AM=7﹣3=4，D′N=5﹣3=2，EN=4﹣a，∴a2=22+（4﹣a）2，解得a=，即DE=，②当MD′=4时，AM=7﹣4=3，D′N=5﹣4=1，EN=3﹣a，∴a2=12+（3﹣a）2，解得a=，即DE=．故答案为：或．9．如图，在正方形ABCD中，AB=，点P为边AB上一动点（不与A、B重合），过A、P在正方形内部作正方形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．【解答】解：连接AE，∵四边形ABCD、APEF是正方形，∴A、E、C共线，①当CD=CE=时，AE=AC﹣EC=2﹣，∴AP=AE=﹣1②当ED=EC时，∠DEC=90°，∠EDC=∠ECD=45°，EC=CD=1，∴AE=AC﹣EC=1，∴AP=AE=．∴当△CDE为等腰三角形时，AP=﹣1或．故答案为﹣1或．10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，BC=2．将△ABC绕点C 逆时针旋转α角后得到△A′B′C，当点A的对应点A'落在AB边上时，旋转角α的度数是60度，阴影部分的面积为．【解答】解：∵AC=A′C，且∠A=60°，∴△ACA′是等边三角形．∴∠ACA′=60°，∴∠A′CB=90°﹣60°=30°，∵∠CA′D=∠A=60°，∴∠CDA′=90°，∵∠B′CB=∠A′CB′﹣∠A′CB=90°﹣30°=60°，∴∠CB′D=30°，∴CD=CB′=CB=×2=1，∴B′D==，=×CD×DB′=×1×=，∴S△CDB′S扇形B′CB==，则阴影部分的面积为：﹣，故答案为：﹣．11．如图，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，则BD的长为．【解答】解：作AD′⊥AD，AD′=AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠BAC+∠CAD=∠DAD′+∠CAD，即∠BAD=∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD=CD′．∠DAD′=90°由勾股定理得DD′=，∠D′DA+∠ADC=90°由勾股定理得CD′=，∴BD=CD′=，故答案为：．12．已知如图所示，矩形ABCD，P为BC上的一点，连接AP，过D点做DH ⊥AP交AP与H，AB=2，BC=4，当△CDH为等腰三角形时，则BP=4﹣2、2或2．【解答】解：①当HD=HC时，过点H作HE⊥CD于点E，延长EH交AB于点F，连接DP，如图1所示．∵HD=HC，∴点E为CD的中点，∵EF∥AD，∴FH为△ABP的中位线，∴AH=HP．∵DH⊥AP，∴△DAP为等腰三角形，∴AD=DP．设BP=a，则CP=4﹣a，由勾股定理得：DP2=CD2+CP2，即16=8+（4﹣a）2，解得：a=4﹣2，或a=﹣4﹣2（舍去）；②当DH=DC时，如图2所示．∵DC=AB=2，∴DH=2．在Rt△AHD中，AD=4，DH=2，∴AH==2，∴AH=DH，∴∠DAH=∠ADH=45°．∵AD∥BC，∴∠APB=∠DAH=45°，∵∠B=90°，∴△ABP为等腰直角三角形，∴BP=AB=2；③当CH=CD时，过点C作CE⊥DH于点E，延长CE交AD于点F，如图3所示．∵CH=CD，CE⊥DH，∴DE=HE=DH．∵DH⊥CF，DH⊥AP，∴CF∥AP，∵AF∥CP，∴四边形AFCP为平行四边形，∴AF=CP．∵EF∥AH，DE=HE，∴DF=AF=AD=2，∴BP=BC﹣CP=BC﹣AF=4﹣2=2．综上所述：BP的长度为4﹣2、2或2．故答案为：4﹣2、2或2．13．如图所示，在一张长为4cm、宽为3cm的矩形纸片上，现要剪下一个腰长2cm的等腰三角形（要求：等腰三角形的一个顶点与矩形的一个顶点重合，另两个顶点在矩形的边上），则剪下的等腰三角形面积为2或cm2．【解答】解：如图1，等腰三角形面积为：×2×2=2，如图2，等腰三角形的高为：=，则其面积为：×2×=．故答案为：2或．14．如图，P为正方形ABCD内一点，且PC=3，∠APB=135°，将△APB绕点B 顺时针旋转90°得到△CP′B，连接PP′．若BP的长为整数，则AP=或1．【解答】解：∵△BP'C是由△BPA旋转得到，∴∠APB=∠CP'B=135°，∠ABP=∠CBP'，BP=BP'，AP=CP'，∵∠ABP+∠PBC=90°，∴∠CBP'+∠PBC=90°，即∠PBP'=90°，∴△BPP'是等腰直角三角形，∴∠BP'P=45°，∵∠APB=∠CP'B=135°，∴∠PP'C=90°，设BP=BP'=a，AP=CP'=b，则PP'=a，在RT△PP'C中，∵PP'2+P'C2=PC2，且PC=3，∴CP'==，∵BP的长a为整数，∴满足上式的a为1或2，当a=1时，AP=CP'=，当a=2时，AP=CP'=1，故答案为：或1．15．将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB=AC=6，BC=8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是或4．【解答】解：根据△B′FC与△ABC相似时的对应情况，有两种情况：①△B′FC∽△ABC时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=BF，所以=，解得BF=；②△B′CF∽△BCA时，=，又因为AB=AC=6，BC=8，B′F=CF，BF=B′F，又BF+FC=8，即2BF=8，解得BF=4．故BF的长度是或4．故答案为：或4．16．矩形纸片ABCD中，AB=5，AC=3，将纸片折叠，使点B落在边CD上的B′处，折痕为AE．在折痕AE上存在一点P到边CD的距离与到点B的距离相等，则此相等距离为．【解答】解：如图所示，设PF⊥CD，∵BP=FP，由翻折变换的性质可得BP=B′P，∴FP=B′P，∴FP⊥CD，∴B′，F，P三点构不成三角形，∴F，B′重合分别延长AE，CD相交于点G，∵AB∥CD，∴∠BAG=∠AGD，∵∠BAG=∠B′AG，∴∠AGD=∠B′AG，∴GB′=AB′=AB=5，∵PB′（PF）⊥CD，∴PB′∥AC，∴△ACG∽△PB′G，∵Rt△ACB′中，AB′=AB=5，AC=3，∴B′C==4，∴CB′=5﹣4=1，CG=CB′+B′G=4+5=9，∴△ACG与△PB′G的相似比为9：5，∴AC：PB′=9：5，∵AC=3，∴PB′=．故答案为：．17．如图，Rt△ABC中，BC=AC=2，D是斜边AB上一个动点，把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，当A′D平行于Rt△ABC的直角边时，AD的长为2或2﹣2．【解答】解：Rt△ABC中，BC=AC=2，∴AB=2，∠B=∠A′CB=45°，①如图1，当A′D∥BC，设AD=x，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴∠A′=∠A=∠A′CB=45°，A′D=AD=x，∵∠B=45°，∴A′C⊥AB，∴BH=BC=，DH=A′D=x，∴x+=2，∴x=2﹣2，∴AD=2﹣2；②如图2，当A′D∥AC，∵把△ACD沿直线CD折叠，点A落在同一平面内的A′处，∴AD=A′D，AC=A′C，∠ACD=∠A′CD，∵∠A′DC=∠ACD，∴∠A′DC=∠A′CD，∴A′D=A′C，∴AD=AC=2，综上所述：AD的长为：2或2﹣2．18．如图放置的△OAB1，△B1A1B2，△B2A2B3，…都是边长为2的等边三角形，边AO在y轴上，点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，则A2014的坐标是（2014，2016）．【解答】解：过B1向x轴作垂线B1C，垂足为C，由题意可得：A（0，2），AO∥A1B1，∠B1OC=30°，∴CO=OB1cos30°=，∴B1的横坐标为：，则A1的横坐标为：，连接AA1，可知所有三角形顶点都在直线AA1上，∵点B1，B2，B3，…都在直线y=x上，AO=2，∴直线AA1的解析式为：y=x+2，∴y=×+2=3，∴A1（，3），同理可得出：A2的横坐标为：2，∴y=×2+2=4，∴A2（2，4），∴A3（3，5），…A2014（2014，2016）．故答案为：（2014，2016）．19．如图所示，⊙I是Rt△ABC的内切圆，点D、E、F分别是切点，若∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，则⊙I的周长为2πcm．【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=5cm，BC=4cm，∴AC=3cm，设⊙I的半径为x，∵⊙I是Rt△ABC的内切圆，∴AE=3﹣x，BF=4﹣x，故3﹣x+4﹣x=5，解得：x=1，故⊙I的周长为2πcm．故答案为：2π．20．如图，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点F是边BC上不与点B，C重合的一个动点，直线l垂直平分BF，垂足为D，当△AFC是等腰三角形时，BD的长为或﹣1．【解答】解：∵等腰Rt△ABC中，AB=AC=2，∴BC=2，分两种情况：①当AF=CF时，∠FAC=∠C=45°，∴∠AFC=90°，∴AF⊥BC，∴BF=CF=BC=，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=；②当CF=CA=2时，BF=BC﹣CF=2﹣2，∵直线l垂直平分BF，∴BD=BF=﹣1；故答案为：或﹣121．如图，在△ABC中，BC=6，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是优弧上的一点，且∠EPF=50°，则图中阴影部分的面积是6﹣π．【解答】解：连接AD ，∵BC 是切线，点D 是切点，∴AD ⊥BC ，∴∠EAF=2∠EPF=100°，∴S 扇形AEF ==π，S △ABC =AD•BC=×2×6=6，∴S 阴影部分=S △ABC ﹣S 扇形AEF =6﹣π．故答案为：6﹣π．22．如图，在矩形ABCD 中，AB=6，BC=4，点E 是边BC 上一动点，把△DCE 沿DE 折叠得△DFE ，射线DF 交直线CB 于点P ，当△AFD 为等腰三角形时，DP 的长为 或 ．【解答】解：∵AD=BC=4，DF=CD=AB=6，∴AD ＜DF ，故分两种情况：①如图所示，当FA=FD 时，过F 作GH ⊥AD 与G ，交BC 于H ，则HG ⊥BC ，DG=AD=2，∴Rt△DFG中，GF==4，∴FH=6﹣4，∵DG∥PH，∴△DGF∽△PHF，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=；②如图所示，当AF=AD=4时，过F作FH⊥BC于H，交DA的延长线于G，则Rt△AFG中，AG2+FG2=AF2，即AG2+FG2=16；Rt△DFG中，DG2+FG2=DF2，即（AG+4）2+FG2=36；联立两式，解得FG=，∴FH=6﹣，∵∠G=∠FHP=90°，∠DFG=∠PFH，∴△DFG∽△PFH，∴=，即=，解得PF=﹣6，∴DP=DF+PF=6+﹣6=，故答案为：或．23．如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点0（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为．【解答】解：设⊙A与x轴的另一个交点为D，连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵C（0，5），∴OC=5，∴OD==5，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=cos∠ODC===．故答案为：．24．如图是由射线AB，BC，CD，DE，EA组成的平面图形，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°．【解答】解：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=（180°﹣∠BAE）+（180°﹣∠ABC）+（180°﹣∠BCD）+（180°﹣∠CDE）+（180°﹣∠DEA）=180°×5﹣（∠BAE+∠ABC+∠BCD+∠CDE+∠DEA）=900°﹣（5﹣2）×180°=900°﹣540°=360°．故答案为：360°．25．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的A′处，则AP的长为或．【解答】解：①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=，∴AP=；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴，∴AP===．故答案为：或．26．如图，矩形ABCD中，AD=4，AB=7，点E为DC上一动点，△ADE沿AE 折叠，点D落在矩形ABCD内一点D′处，若△BCD′为等腰三角形，则DE 的长为或．【解答】解：①：CD'=BD'时，如图，由折叠性质，得AD=AD′，∠DAE=∠D′AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，∠ABC=∠DCB=90°，∵△BCD′为等腰三角形，∴D′B=D′C，∠D′BC=∠D′CB，∴∠DCD′=∠ABD′，在△DD′C和△AD′B中，，∴△DD′C≌△AD′B，∴DD′=AD′，∴DD′=AD′=AD，∴△ADD′是等边三角形，∴∠DAD′=60°，∴∠DAE=30°，∴DE=AE，设DE=x，则AE=2x，（2x）2﹣x2=42，解得：x=，即DE=．②：当CD'=CB时，如图，连接AC，由于AD'=4，CD'=4，而AC==＞4+4；故这种情况不存在．③当BD'=BC时，如图过D'作AB的垂线，垂足为F，延长D'F交CD于G，由于AD'=BD'，D'F=D'F；易知AF=BF，从而由勾股定理求得D'F===，又易证△AD'F∽△D'EG，设DE=x，D'E=x，∴，即；解得x=综上，故答案为：或．27．如图，在平面直角坐标系中，点A（0，2），B（﹣2，0），C（2，0），点D是x轴上一个动点，以AD为一直角边在右侧作等腰直角三角形ADE，∠DAE=90°，若△ABD为等腰三角形时点E的坐标为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．【解答】解：连接EC．∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△BAD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE，∴BD=EC．∠ABD=∠ACE=45°，∵∠ACB=45°，∴∠ECD=90°，∴点E在过点C垂直x轴的直线上，且EC=DB，①当DB=DA时，点D与O重合，BD=OB=2，此时E（2，2）．②当AB=AD时，BD=CE=4，此时E（2，4）．③当BD=AB=2时，E（2，2）或（2，﹣2），故答案为（2，2）或（2，4）或（2，2）或（2，﹣2）．28．如图，等边△ABC的边长为10，点M是边AB上一动点，将等边△ABC 沿过点M的直线折叠，该直线与直线AC交于点N，使点A落在直线BC上的点D处，且BD：DC=1：4，折痕为MN，则AN的长为7或．【解答】解：①当点A落在如图1所示的位置时，∵△ACB是等边三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠MDN=60°，∵∠MDC=∠B+∠BMD，∠B=∠MDN，∴∠BMD=∠NDC，∴△BMD∽△CDN．∴得==，∵DN=AN，∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=2，CD=8，设AN=x，则CN=10﹣x，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得x=7，∴AN=7；②当A在CB的延长线上时，如图2，与①同理可得△BMD∽△CDN．∴得==，∵BD：DC=1：4，BC=10，∴DB=，CD=，设AN=x，则CN=x﹣10，∴==，∴DM=，BM=，∵BM+DM=10，∴+=10，解得：x=，∴AN=．故答案为：7或．29．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=7，点E为BC上一动点，把△ABE 沿AE折叠，当点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上时，则点B′到BC 的距离为2或1．【解答】解：连接B′D，过点B′作B′M⊥AD于M．∵点B的对应点B′落在∠ADC的角平分线上，∴设DM=B′M=x，则AM=7﹣x，又由折叠的性质知AB=AB′=5，∴在直角△AMB′中，由勾股定理得到：AM2=AB′2﹣B′M2即（7﹣x）2=25﹣x2，解得x=3或x=4，则点B′到BC的距离为2或1．故答案为：2或1．30．如图，在平面直角坐标系中，直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限作正方形ABCD，点D在双曲线上，将正方形ABCD沿x轴正方向平移a个单位长度后，点C恰好也落在此双曲线上，则a的值是2．【解答】解：过点CE⊥y轴于点E，交双曲线于点G，过点D作DF⊥x轴于点F，在y=2x+4中，令x=0，解得：y=4，即B的坐标是（0，4）．令y=0，解得：x=﹣2，即A的坐标是（﹣2，0）．则OB=4，OA=2．∵∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAF=90°，又∵直角△ABO中，∠BAO+∠OBA=90°，∴∠DAF=∠OBA，在△OAB和△FDA中，，∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△BEC，∴AF=OB=EC=4，DF=OA=BE=2，∴D的坐标是（﹣6，2），C的坐标是（﹣4，6）．将点D代入y=得：k=﹣12，则函数的解析式是：y=﹣．∴OE=6，则C的纵坐标是6，把y=6代入y=﹣得：x=﹣2．即G的坐标是（﹣2，6），∴CG=4﹣2=2．∴a=2．故答案为：2．31．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是对角线BD上一动点（不与点B、D重合），将矩形沿过点E的直线MN折叠，使得点A、B的对应点G、F分别在直线AD与BC上，当△DEF为直角三角形时，CN的长为或．【解答】解：分两种情况：①如图所示，当∠DFE=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CFD=∠EFN+∠CFD=90°，∴∠CDF=∠EFN，由折叠可得，EF=EB，∴∠EFN=∠EBN，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴FN==，∴CN=CF+NF=+=；②如图所示，当∠EDF=90°时，△DEF为直角三角形，∵∠CDF+∠CDB=∠CDF+∠CBD=90°，∴∠CDF=∠CBD，又∵∠DCF=∠BCD=90°，∴△DCF∽△BCD，∴=，即=，∴CF=，∴NF==，∴CN=NF﹣CF=﹣=，综上所述，CN的长为或．故答案为：或．32．如图，在△ABC中，AB=BC=4，AO=BO，P是射线CO上的一个动点，∠AOC=60°，则当△PAB为直角三角形时，AP的长为2或2或2．【解答】解：当∠APB=90°时（如图1），∵AO=BO，∴PO=BO，∵∠AOC=60°，∴∠BOP=60°，∴△BOP为等边三角形，∵AB=BC=4，∴AP=AB•sin60°=4×=2；当∠ABP=90°时（如图2），∵∠AOC=∠BOP=60°，∴∠BPO=30°，∴BP===2，在直角三角形ABP中，AP==2，情况二：如图3，∵AO=BO，∠APB=90°，∴PO=AO，∵∠AOC=60°，∴△AOP为等边三角形，∴AP=AO=2，故答案为：2或2或2．33．如图，已知菱形ABCD的边长2，∠A=60°，点E、F分别在边AB、AD上，若将△AEF沿直线EF折叠，使得点A恰好落在CD边的中点G处，则EF=．【解答】解：延长CD，过点F作FM⊥CD于点M，连接GB、BD，作FH⊥AE 交于点H，如图所示：∵∠A=60°，四边形ABCD是菱形，∴∠MDF=60°，∴∠MFD=30°，设MD=x，则DF=2x，FM=x，∵DG=1，∴MG=x+1，∴（x+1）2+（x）2=（2﹣2x）2，解得：x=0.3，∴DF=0.6，AF=1.4，∴AH=AF=0.7，FH=AF•sin∠A=1.4×=，∵CD=BC，∠C=60°，∴△DCB是等边三角形，∵G是CD的中点，∴BG⊥CD，∵BC=2，GC=1，∴BG=，设BE=y，则GE=2﹣y，∴（）2+y2=（2﹣y）2，解得：y=0.25，∴AE=1.75，∴EH=AE﹣AH=1.75﹣0.7=1.05，∴EF===．故答案为：．34．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是BC，DC上的一个动点，以EF为对称轴折叠△CEF，使点C的对称点G落在AD上，若AB=3，BC=5，则CF 的取值范围为≤CF≤3．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C=90°，BC=AD=5，CD=AB=3，当点D与F重合时，CF最大=3，如图1所示：当B与E重合时，CF最小，如图2所示：在Rt△ABG中，∵BG=BC=5，AB=3，∴AG==4，∴DG=AD﹣AG=1，设CF=FG=x，在Rt△DFG中，∵DF2+DG2=FG2，∴（3﹣x）2+12=x2，∴x=，∴≤CF≤3．故答案为≤CF≤3．35．如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，BC=4，∠B=60°，点E是边AB上的一点，点F是边CD上一点，将平行四边形ABCD沿EF折叠，得到四边形EFGC，点A的对应点为点C，点D的对应点为点G，则△CEF的面积．【解答】解：如图1，作CK⊥AB于K，过E点作EP⊥BC于P．∵∠B=60°，∴CK=BC•sin60°=4×=2 ，∵C到AB的距离和E到CD的距离都是平行线AB、CD间的距离，∴点E到CD的距离是2 ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，∠D=∠B，∠A=∠BCD，由折叠可知，AD=CG，∠D=∠G，∠A=∠ECG，∴BC=GC，∠B=∠G，∠BCD=∠ECG，∴∠BCE=∠GCF，在△BCE和△GCF中，，∴△BCE≌△GCF（ASA）；∴CE=CF，∵∠B=60°，∠EPB=90°，∴∠BEP=30°，∴BE=2BP，设BP=m，则BE=2m，∴EP=BE•sin60°=2m×=m，由折叠可知，AE=CE，∵AB=6，∴AE=CE=6﹣2m，∵BC=4，∴PC=4﹣m，在Rt△ECP中，由勾股定理得（4﹣m）2+（﹣m）2=（6﹣2m）2，解得m=，∴EC=6﹣2m=6﹣2×=，∴CF=EC=，=××2 =，∴S△CEF故答案为．36．如图1，在矩形纸片ABCD中，AB=8，AD=10，点E是CD中点，将这张纸片依次折叠两次；第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落到B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG=．【解答】解：如图2中，作NF⊥CD于F．设DM=x，则AM=EM=10﹣x，∵DE=EC，AB=CD=8，∴DE=CD=4，在RT△DEM中，∵DM2+DE2=EM2，∴（4）2+x2=（10﹣x）2，解得x=2.6，∴DM=2.6，AM=EM=7.4，∵∠DEM+∠NEF=90°，∠NEF+∠ENF=90°，∴∠DEM=∠ENF，∵∠D=∠EFN=90°，∴△DME∽△FEN，∴=，∴=，∴EN=，。

教育部2020年中考数学必考压轴题及答案教育部2020年中考数学必考压轴题及答案一、函数与几何综合的压轴题1.如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B相交于E点.已知：A(-2,-6),C(1,-3)求证：E点在y轴上；如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.如果AB位置不变，再将DC水平向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，如图②，求△AE′C的面积S关于k的函数解析式.[解]（1）（本小题介绍二种方法，供参考）方法一：过E作EO′⊥x轴，垂足O′∴AB∥EO′∥DC∴又∵DO′+BO′=DB∴∵AB=6，DC=3，∴EO′=2又∵，∴∴DO′=DO，即O′与O重合，E在y轴上方法二：由D（1，0），A（-2，-6），得DA直线方程：y=2x-2①再由B（-2，0），C（1，-3），得BC直线方程：y=-x-2②联立①②得∴E点坐标（0，-2），即E点在y轴上（2）设抛物线的方程y=ax2+bx+c(a≠0)过A（-2，-6），C（1，-3）E（0，-2）三点，得方程组解得a=-1,b=0,c=-2∴抛物线方程y=-x2-2（3）（本小题给出三种方法，供参考）由（1）当DC水平向右平移k后，过AD与BC的交点E′作E′F⊥x 轴垂足为F。

同（1）可得：得：E′F=2方法一：又∵E′F∥AB，∴S△AE′C=S△ADC-S△E′DC===DB=3+kS=3+k为所求函数解析式方法二：∵BA∥DC，∴S△BCA=S△BDA∴S△AE′C=S△BDE′∴S=3+k为所求函数解析式.证法三：S△DE′C∶S△AE′C=DE′∶AE′=DC∶AB=1∶2同理：S△DE′C∶S△DE′B=1∶2,又∵S△DE′C∶S△ABE′=DC2∶AB2=1∶4∴∴S=3+k为所求函数解析式.2.已知：如图，在直线坐标系中，以点M（1，0）为圆心、直径AC为的圆与y轴交于A、D两点.求点A的坐标；设过点A的直线y＝x＋b与x轴交于点B.探究：直线AB是否⊙M 的切线？并对你的结论加以证明；连接BC，记△ABC的外接圆面积为S1、⊙M面积为S2，若，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过B、M两点，且它的顶点到轴的距离为.求这条抛物线的解析式.解：由已知AM＝，OM＝1，在Rt△AOM中，AO＝，∴点A的坐标为A（0，1）证：∵直线y＝x＋b过点A（0，1）∴1＝0＋b即b＝1∴y＝x＋1令y＝0则x＝－1∴B（—1，0），AB＝在△ABM中，AB＝，AM＝，BM＝2∴△ABM是直角三角形，∠BAM＝90°∴直线AB是⊙M的切线解法一：由⑵得∠BAC＝90°，AB＝，AC ＝2，∴BC＝∵∠BAC＝90°∴△ABC的外接圆的直径为BC，∴而，设经过点B（—1，0）、M（1，0）的抛物线的解析式为：y＝a（＋1）（x－1），（a≠0）即y＝ax2－a，∴－a＝±5，∴a ＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法二：（接上）求得∴h＝5由已知所求抛物线经过点B（—1，0）、M（1、0），则抛物线的对称轴是y轴，由题意得抛物线的顶点坐标为（0，±5）∴抛物线的解析式为y＝a（x－0）2±5又B（－1,0）、M（1,0）在抛物线上，∴a±5＝0，a＝±5∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5解法三：（接上）求得∴h＝5因为抛物线的方程为y＝ax2＋bx＋c（a≠0）由已知得∴抛物线的解析式为y＝5x2－5或y＝－5x2＋5.3.如图，在直角坐标系中，以点P（1，－1）为圆心，2为半径作圆，交x轴于A、B两点，抛物线过点A、B，且顶点C在⊙P上.(1)求⊙P上劣弧的长；(2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否存在一点D，使线段OC与PD互相平分？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由如图，连结PB，过P 作PM⊥x轴，垂足为M.在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,∴∠MPB＝60°，∴∠APB＝120°的长＝（2）在Rt△PMB中，PB=2,PM=1,则MB＝MA＝.又OM=1，∴A（1－，0），B（1＋，0），由抛物线及圆的对称性得知点C在直线PM上，则C(1，－3).点A、B、C在抛物线上，则解之得抛物线解析式为（3）假设存在点D，使OC与PD互相平分，则四边形OPCD为平行四边形，且PC∥OD.又PC∥y轴，∴点D在y轴上，∴OD＝2，即D（0，－2）.又点D（0，－2）在抛物线上，故存在点D（0，－2），使线段OC与PD互相平分.如图，在平面直角坐标系内，Rt△ABC的直角顶点C（0，）在轴的正半轴上，A、B是轴上是两点，且OA∶OB＝3∶1，以OA、OB为直径的圆分别交AC于点E，交BC于点F.直线EF交OC于点Q.求过A、B、C三点的抛物线的解析式；请猜想：直线EF与两圆有怎样的位置关系？并证明你的猜想.在△AOC中，设点M是AC边上的一个动点，过M作MN∥AB交OC于点N.试问：在轴上是否存在点P，使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形？若存在，求出P点坐标；若.[解](1)在Rt△AB C中，OC⊥AB，∴△AOC≌△COB.∴OC2＝OA·OB.∵OA∶OB＝3∶1,C(0,),∴∴OB＝1.∴OA＝3.∴A(-3,0),B(1,0).设抛物线的解析式为则解之，得∴经过A、B、C三点的抛物线的解析式为(2)EF与⊙O1、⊙O2都相切.证明：连结O1E、OE、OF.∵∠ECF＝∠AEO＝∠BFO＝90°,∴四边形EOFC为矩形.∴QE＝QO.∴∠1＝∠2.∵∠3＝∠4,∠2+∠4＝90°，∴EF与⊙O1相切.同理：EF理⊙O2相切.(3)作MP⊥OA于P，设MN＝a,由题意可得MP＝MN＝a.∵MN∥OA,∴△CMN∽△CAO.∴∴解之，得此时，四边形OPMN是正方形.∴∴考虑到四边形PMNO此时为正方形，∴点P在原点时仍可满足△PNN是以MN为一直角边的等腰直角三角形.故轴上存在点P使得△PMN是一个以MN为一直角边的等腰直角三角形且或5.如图，已知点A(0，1)、C(4，3)、E(，)，P是以AC为对角线的矩形ABCD内部(不在各边上)的—个动点，点D在y轴，抛物线y ＝ax2+bx+1以P为顶点．(1)说明点A、C、E在一条条直线上；(2)能否判断抛物线y＝ax2+bx+1的开口方向?请说明理由；(3)设抛物线y＝ax2+bx+1与x轴有交点F、G(F在G的左侧)，△GAO与△FAO的面积差为3，且这条抛物线与线段AE有两个不同的交点．这时能确定a、b的值吗?若能，请求出a、b的值；若不能，请确定a、b的取值范围．(本题图形仅供分析参考用)x+1.将点E的坐标E(，)代入y=x+1中，左边=，右边=×+1=，∵左边=右边，∴点E在直线y=x+1上，即点A、C、E在一条直线上.（2）解法一：由于动点P在矩形ABCD内部，∴点P的纵坐标大于点A的纵坐标，而点A与点P都在抛物线上，且P为顶点，∴这条抛物线有最高点，抛物线的开口向下解法二：∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点P的纵坐标为，且P在矩形ABCD内部，∴1＜＜3，由1＜1—得—＞0，∴a＜0，∴抛物线的开口向下.（3）连接GA、FA，∵S△GAO—S△FAO=3∴GO·AO—FO·AO=3∵OA=1，∴GO—FO=6.设F（x1,0）、G（x2,0），则x1、x2为方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1＜x2，又∵a＜0，∴x1·x2=＜0，∴x1＜0＜x2，∴GO=x2，FO=—x1，∴x2—（—x1）=6，即x2+x1=6，∵x2+x1=—∴—=6，∴b=—6a,∴抛物线解析式为：y=ax2—6ax+1,其顶点P的坐标为（3，1—9a）,∵顶点P在矩形ABCD内部，∴1＜1—9a＜3,∴—＜a＜0.∴x=0或x==6+.当x=0时，即抛物线与线段AE交于点A，而这条抛物线与线段AE有两个不同的交点，则有：0＜6+≤，解得：—≤a＜—综合得：—＜a＜—∵b=—6a，∴＜b＜6.已知两点O(0，0)、B(0，2)，⊙A过点B且与x轴分别相交于点O、C，⊙A被y轴分成段两圆弧，其弧长之比为3∶1，直线l与⊙A切于点O，抛物线的顶点在直线l上运动.求⊙A的半径；若抛物线经过O、C两点，求抛物线的解析式；过l上一点P的直线与⊙A交于C、E两点，且PC＝CE，求点E的坐标；若抛物线与x轴分别相交于C、F两点，其顶点P的横坐标为m，求△PEC的面积关于m的函数解析式.(1)由弧长之比为3∶1，可得∠BAO＝90o再由AB＝AO＝r，且OB＝2，得r＝(2)⊙A的切线l过原点，可设l为y＝kx任取l上一点(b，kb)，由l与y轴夹角为45o可得：b＝－kb或b＝kb，得k＝－1或k＝1，∴直线l的解析式为y＝－x或y＝x又由r＝，易得C(2，0)或C(－2，0)由此可设抛物线解析式为y＝ax(x－2)或y＝ax(x＋2)再把顶点坐标代入l的解析式中得a＝1∴抛物线为y＝x2－2x或y＝x2＋2x ……6分(3)当l的解析式为y＝－x时，由P在l上，可设P(m，－m)(m ＞0)过P作PP′⊥x轴于P′，∴OP′＝|m|，PP′＝|－m|，∴OP＝2m2，又由切割线定理可得：OP2＝PC.PE,且PC＝CE，得PC＝PE＝m＝PP′7分∴C与P′为同一点，即PE⊥x轴于C，∴m＝－2，E(－2，2) (8)分同理，当l的解析式为y＝x时，m＝－2，E(－2，2)(4)若C(2，0)，此时l为y＝－x，∵P与点O、点C不重合，∴m≠0且m≠2，当m＜0时，FC＝2(2－m)，高为|yp|即为－m，∴S ＝同理当0＜m＜2时，S＝－m2＋2m；当m＞2时，S＝m2－2m；∴S＝又若C(－2，0)，此时l为y＝x，同理可得；S＝.如图，直线与函数的交于A、B两点，且与x、y轴分别交于C、D两点．（1）若的面积的倍，求与之间的函数关系式；（2）在（1）的条件下，是否存在和，使得以为直径的圆经过点．若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由．[解]（1）设，(其中)，由，得∴··(····)，，又，∴，即，由可得，代入可得①∴，，∴，即．又方程①的判别式，∴所求的函数关系式为．（2）假设存在,，使得以为直径的圆经过点．则，过、分别作轴的垂线，垂足分别为、．∵与都与互余，∴．∴Rt∽Rt，∴．∴，∴，∴，即②由（1）知，，代入②得，∴或，又，∴或，∴存在,，使得以为直径的圆经过点，且或．8.已知抛物线与x轴交于两点、，与y轴交于点C，且AB=6.（1）求抛物线和直线BC的解析式.（2）在给定的直角坐标系中，画抛物线和直线BC.（3）若过A、B、C三点，求的半径.（4）抛物线上是否存在点M，过点M作轴于点N，使被直线BC 分成面积比为1）由题意得：解得经检验m=1，∴抛物线的解析式为：或：由得，或抛物线的解析式为由得∴A（－50），B（1，0），C（0，－5.设直线BC的解析式为则∴直线BC的解析式为(2)图象略.（3）法一：在中，.又∴的半径法二：由题意，圆心P在AB的中垂线上，即在抛物线的对称轴直线上，设P（－2－hh＞0），连结PB、PC，则，由，即，解得h=2.的半径.法三：延长CP交于点F.为的直径，又又的半径为（4）设MN交直线BC于点E，点M的坐标为则点E的坐标为若则解得（不合题意舍去），若则解得（不合题意舍去），存在点M，点M的坐标为或（15，280）.9.如图，⊙M与x轴交于A、B两点，其坐标分别为、，直径CD⊥x轴于N，直线CE切⊙M于点C，直线FG切⊙M于点F，交CE于G，已知点G的横坐标为3.若抛物线经过A、B、D三点，求m的值及点D的坐标.求直线DF的解析式.是否存在过点G的直线，使它与（1）中抛物线的两个交点的横坐标之和等于4？若存在，请求出满足条件的直线的解析式；若不存在，请说明理由.[解](1)∵抛物线过A、B两点，∴，m=3.∴抛物线为.又抛物线过点D，由圆的对称性知点D为抛物线的顶点. ∴D点坐标为.(2)由题意知：AB=4.∵CD⊥x轴，∴NA=NB=2.∴ON=1.由相交弦定理得：NA·NB=ND·NC，∴NC×4=2×2.∴NC=1.∴C点坐标为.设直线DF交CE于P，连结CF，则∠CFP=90°.∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.∵GC、GF是切线，∴GC=GF.∴∠3=∠4.∴∠1=∠2.∴GF=GP.∴GC=GP.可得CP=8.∴P点坐标为设直线DF的解析式为则解得∴直线DF的解析式为：(3)假设存在过点G的直线为，则，∴.由方程组得由题意得，∴.当时，，∴方程无实数根，方程组无实数解.∴满足条件的直线不存在.10.已知二次函数的图象经过点A（－3，6），并与x轴交于点B （－1，0）和点C，顶点为P.求这个二次函数的解析式，并在下面的坐标系中画出该二次函数的图象；设D为线段OC上的一点，满足∠DPC＝∠BAC，求点D的坐标；在x轴上是否存在一点M，使以M为圆心的圆与AC、PC所在的直线及y轴都相切？如果存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.（1）解：∵二次函数的图象过点A（－3，6），B（－1，0）得解得∴这个二次函数的解析式为：由解析式可求P（1，－2），C（3，0）画出二次函数的（2）解法一：易证：∠ACB＝∠PCD＝45°又已知：∠DPC＝∠BAC∴△DPC∽△BAC∴易求∴∴∴解法二：过A作AE⊥x轴，垂足为E.设抛物线的对称轴交x轴于F.亦可证△AEB∽△PFD、∴.易求：AE＝6，EB＝2，PF＝2∴∴∴（3）存在.（1°）过M作MH⊥AC，MG⊥PC垂足分别为H、G，设AC交y轴于S，CP的延长线交y轴于T∵△SCT是等腰直角三角形，M是△SCT的内切圆圆心，∴MG＝MH＝OM又∵且OM＋MC＝OC∴∴（2°）在x轴的负半轴上，存在一点M′同理OM′＋OC＝M′C，得∴M′即在x轴上存在满足条件的两个点.在平面直角坐标系中，A（－1，0），B（3，0）.（1）若抛物线过A，B两点，且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的顶点坐标；（2）如图，小敏发现所有过A，B两点的抛物线如果与y轴负半轴交于点C，M为抛物线的顶点，那么△ACM与△ACB的面积比不变，请你求出这个比值；（3）若对称轴是AB的中垂线l的抛物线与x轴交于点E，F，与y轴交于点C，过C作CP∥x轴交l于点P，M为此抛物线的顶点.若四边形PEMF是有一个内角为60°的菱形，求次抛物线的解析式.（1），顶点坐标为（1，－4）.（2）由题意，设y＝a（x＋1）（x－3），即y＝ax2－2ax－3a，∴A（－1，0），B（3，0），C（0，－3a），M（1，－4a），∴S△ACB＝×4×＝6，而a＞0，∴S△ACB＝6A、作MD⊥x轴于D，又S△ACM＝S△ACO＋SOCMD－S△AMD＝·1·3a＋（3a＋4a）－·2·4a＝a，∴S△ACM：S△ACB＝1：6.（3）①当抛物线开口向上时，设y＝a（x－1）2＋k，即y＝ax2－2ax＋a＋k，有菱形可知＝，a＋k＞0，k＜0，∴k＝，∴y＝ax2－2ax＋，∴.记l与x轴交点为D，若∠PEM＝60°，则∠FEM＝30°，MD＝DE·tan30°＝，∴k＝－，a＝，∴抛物线的解析式为.若∠PEM＝120°，则∠FEM＝60°，MD＝DE·tan60°＝，∴k＝－，a＝，∴抛物线的解析式为.②当抛物线开口向下时，同理可得，.已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。

2020上海中考数学第18题（填空压轴题）18、已知四边形ABCD 是矩形，AB =6，BC =8，点O 在对角线AC 上，已知圆O 半径为2，且与矩形ABCD 没有公共点，则线段AO 的取值范围是 。

解：如右图所示AO 的下限为10sin 3r DAC ÷∠=如右图所示AO 的下限为20sin 3AC r DAC -÷∠=综上所述：102033AO <<24、在平面直角坐标系中，直线152y x =-+交y 轴于点B ，抛物线2y ax bx=+经过点A .(1)求线段AB 的长.解：直线152y x =-+与y 轴交点为()0,5B ，与x 轴交点为()10,0A则OA =10，OB =52222210552AB AO BO AB =+∴=+=(2)若抛物线经过点C ，点C 在线段AB 上，且BC=5，求抛物线解析式. 解：过C 作CH ⊥x 轴，垂足为H()()()245455554,2,42,410,014244100100521542CH OB CH AC BO AB AC CH CH C C A a a b a b b y x x∴==∴=∴=⎧=-⎪+=⎧⎪⇒⎨⎨+=⎩⎪=-⎪⎩∴=-+则∥又将和代入可得：抛物线解析式为(3)若抛物线顶点在AOB △内，求a 的取值范围. 解：()201001010a b a =+=-由可得，即525250252110D D D bx ax y a a ∴=-==∴<-<∴-<<将代入解析式得：2020上海中考数学第25题（压轴题）25、如图，O 是 ABC ∆的外接圆，且AB AC =，BO 延长线交AC 于D .(1)求证：2A ABD ∠=∠证：联结OA ，OC()12..132321O ABC OA OB OC OAB OCA OA OC OB OAAB CA OAB OCA S S S BAC ∴==∴∠=∠=⎧⎪=⎨⎪=⎩∴≅∴∠=∠∴∠=∠+∠=∠是△的外接圆在△和△中有△△得证(2)如果BDC ∆是等腰三角形，求C ∠的大小 解：1233318023318022.5367.523344BD BCABD A ABD BDC ABD A C AB AC ABC ABC ABC A C C BD CDABD A BDC DBC ABC AB AC C ABC ABC A C αααααααααααααααα=∠=∠=∠=∠+∠=∴∠==∴∠=∠∠+∠+∠=︒∴++=︒∴=︒∠==︒=∠=∠=∠=∴∠=∠==∴∠=∠∠+∠+∠=①若记，由（）得在△中，在中，，②若同①可知，，，在中，180244180184727267.5C BD CD DBC C AB ACABC C C ααααα︒∴++=︒∴=︒∠==︒=∠=∠=∴∠=∠∠=︒︒，③若则又，矛盾，此情况舍去综上所述，或(3)如果AD =2，CD =3，求BC 的长. 解：222222222211224334437325491692556AO BC EA AF BC BD FBAE CAE OA OB AB ACAE BC BE BCAF BCAD AF BC BE AO AO BO a EO a AE a EO Rt AEC AC AE CE Rt BOE OB OE BE a a a a BE ∠=∠==∴⊥=∴==∴=====-=-=∴-=-=∴=联结并延长，交于过做交延长线于由（）得，，且，，设，，在△中，在△中，解得：BC ==∴=。

2020年中考数学压轴题每日一练（4.18）一、选择题1．如图，点A、B是反比例函数y＝（k≠0）图象上的两点，延长线段AB交y轴于点C，且点B为线段AC中点，过点A作AD⊥x轴于点D，点E为线段OD的三等分点，且OE＜DE．连接AE、BE，若S△ABE＝7，则k的值为（）A．﹣12 B．﹣10 C．﹣9 D．﹣62．如图，正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，OE ＝2，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE，CF．则线段OF长的最小值（）A．2B．+2 C．2﹣2 D．5二、填空题3．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．4．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于cm．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象大致如图：（1）a＝，b＝；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）当△PCD的面积是△ABP的面积的时，求y的值．6．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+P A的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1．【分析】设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），由AB＝BC，推出B（，），根据点B在y＝上，推出•＝k，可得mn＝3k，连接EC，OA．因为AB＝BC，推出S△AEC＝2•S△AEB＝14，根据S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，构建方程即可解决问题；【解答】解：设A（m，），C（0，n），则D（m，0），E（m，0），∵AB＝BC，∴B（，），∵点B在y＝上，∴•＝k，∴k+mn＝4k，∴mn＝3k，连接EC，OA．∵AB＝BC，∴S△AEC＝2•S△AEB＝14，∵S△AEC＝S△AEO+S△ACO﹣S△ECO，∴14＝•（﹣m）•+•n•（﹣m）﹣•（﹣m）•n，∴14＝﹣k﹣+，∴k＝﹣12．故选：A．2．【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由条件可得OM＝5，根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值．【解答】解：如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，∵∠EDF＝∠ODM＝90°，∴∠EDO＝∠FDM，∵DE＝DF，DO＝DM，∴△EDO≌△FDM（SAS），∴FM＝OE＝2，∵正方形ABCD中，AB＝2，O是BC边的中点，∴OC＝，∴OD＝，∴OM＝，∵OF+MF≥OM，∴OF≥．故选：D．二、填空题3．如图，等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝，E、F为边AC、BC上的两个动点，且CF＝AE，连接BE、AF，则BE+AF的最小值为．【分析】如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．想办法证明AF＝DE＝EH，BE+AF的最小值转化为EH+EB 的最小值．【解答】解：如图，作点C关于直线AB的对称点D，连接AD，BD，延长DA到H，使得AH＝AD，连接EH，BH，DE．∵CA＝CB，∠C＝90°，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵C，D关于AB对称，∴DA＝DB，∠DAB＝∠CAB＝45°，∠ABD＝∠ABC＝45°，∴∠CAD＝∠CBD＝∠ADC＝∠C＝90°，∴四边形ACBD是矩形，∵CA＝CB，∴四边形ACBD是正方形，∵CF＝AE，CA＝DA，∠C＝∠EAD＝90°，∴△ACF≌△DAE（SAS），∴AF＝DE，∴AF+BE＝ED+EB，∵CA垂直平分线段DH，∴ED＝EH，∴AF+BE＝EB+EH，∵EB+EH≥BH，∴AF+BE的最小值为线段BH的长，BH＝＝，∴AF+BE的最小值为，故答案为．4．如图，正方形ABCD的边长为3cm，E为CD边上一点，∠DAE＝30°，M为AE的中点，过点M作直线分别与AD、BC相交于点P、Q．若PQ＝AE，则AP等于2或1cm．【分析】根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，由ABCD为正方形，得到AD＝DC＝PN，在直角三角形ADE中，利用锐角三角函数定义求出DE的长，进而利用勾股定理求出AE的长，根据M为AE中点求出AM的长，利用HL得到三角形ADE与三角形PQN全等，利用全等三角形对应边，对应角相等得到DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ ＝30°，再由PN与DC平行，得到∠PF A＝∠DEA＝60°，进而得到PM垂直于AE，在直角三角形APM中，根据AM的长，利用锐角三角函数定义求出AP的长，再利用对称性确定出AP′的长即可．【解答】解：根据题意画出图形，过P作PN⊥BC，交BC于点N，∵四边形ABCD为正方形，∴AD＝DC＝PN，在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，AD＝3cm，∴tan30°＝，即DE＝cm，根据勾股定理得：AE＝2cm，∵M为AE的中点，∴AM＝AE＝cm，在Rt△ADE和Rt△PNQ中，，∴Rt△ADE≌Rt△PNQ（HL），∴DE＝NQ，∠DAE＝∠NPQ＝30°，∵PN∥DC，∴∠PF A＝∠DEA＝60°，∴∠PMF＝90°，即PM⊥AF，在Rt△AMP中，∠MAP＝30°，cos30°＝，∴AP＝＝＝2cm；由对称性得到AP′＝DP＝AD﹣AP＝3﹣2＝1cm，综上，AP等于1cm或2cm．故答案为：1或2．三、解答题5．如图，矩形ABCD中，AB＝a，BC＝b，动点P从A点出发，按A→B→C的方向在AB 和BC上移动，记P A＝x，点D到直线P A的距离为y，且y关于x的函数图象大致如图：（1）a＝3，b＝4；（2）求y关于x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；（3）当△PCD的面积是△ABP的面积的时，求y的值．【分析】（1）根据函数的图象，即可得出a、b的值；（2）分点P在线段AB上跟点P在线段BC上讨论，依据相似三角形的性质，即可得出y与x之间的关系；（3）由等高三角形的面积比等于底边长之比，可得出BP的长，根据勾股定理得出x的值，代入到（2）中的关系式中即可求出y的值．【解答】解：（1）当点P在线段AB上时，D到AB的距离为AD，由函数图象可看出，AD＝4，即BC＝b＝4，当点P运动到线段BC上时，D到AB的距离出现变化，由函数图象可看出，AB＝3＝a．故答案为：3；4．（2）①当点P在线段AB上时，有0≤AP≤AB，即0≤x≤3，此时y＝4．②当点P在线段BC上时，连接AC，过点D作DE⊥AP于点E，如图，由勾股定理可得：AC＝＝5．∵此时P点过B点向C点运动，∴AB＜AP≤AC，即3＜x≤5．∵AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，又∵∠ABP＝∠DEA＝90°，∴△DAE∽△APB，∴＝，即＝，∴y＝．综合①②得：y＝．（3）∵△PCD的面积是△ABP的面积的，且两三角形等高，∴BP＝3PC，∵BP+PC＝BC＝4，∴BP＝3，由勾股定理可得：x＝＝3，将x＝3代入，得y＝＝2．故当△PCD的面积是△ABP的面积的时，y的值为2．6．如图，以D为顶点的抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于点A，B（3，0），交y轴于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+P A的值最小，求点P的坐标；（3）在x轴上是否存在一点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据点B，C的坐标，利用待定系数法可求出抛物线的解析式；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点A的坐标，由点B，C的坐标可得出直线BC的解析式，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3），由两地之间线段最短可得出当A，P，O′共线时，PO+P A取最小值，由点O′，A的坐标可求出该最小值，由点A，O′的坐标，利用待定系数法可求出直线AO′的解析式，联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，通过解方程组可求出点P的坐标；（3）由点B，C，D的坐标可得出BC，BD，CD的长，由CD2+BC2＝BD2可得出∠BCD＝90°，由点A，C的坐标可得出OA，OC的长度，进而可得出＝，结合∠AOC＝∠DCB＝90°可得出△AOC∽△DCB，进而可得出点Q与点O重合时△AQC∽△DCB；连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q，则△ACQ∽△AOC∽△DCB，由相似三角形的性质可求出AQ的长度，进而可得出点Q的坐标．综上，此题得解．【解答】解：（1）将B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴点A的坐标为（﹣1，0）．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．如图1，作O关于BC的对称点O′，则点O′的坐标为（3，3）．∵O与O′关于直线BC对称，∴PO＝PO′，∴PO+P A的最小值＝PO′+P A＝AO′＝＝5．设直线AO′的解析式为y＝kx+m，将A（﹣1，0），Q′（3，3）代入y＝kx+m，得：，解得：，∴直线AO′的解析式为y＝x+．联立直线AO′和直线BC的解析式成方程组，得：，解得：，∴点P的坐标为（，）．（3）∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴点D的坐标为（1，4）．又∵点C的坐标为（0，3），点B的坐标为（3，0），∴CD＝＝，BC＝＝3，BD＝＝2，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°．∵点A的坐标（﹣1，0），点C的坐标为（0，3），∴OA＝1，OC＝3，∴＝＝．又∵∠AOC＝∠DCB＝90°，∴△AOC∽△DCB，∴当Q的坐标为（0，0）时，△AQC∽△DCB．如图2，连接AC，过点C作CQ⊥AC，交x轴与点Q．∵△ACQ为直角三角形，CO⊥AQ，∴△ACQ∽△AOC．又∵△AOC∽△DCB，∴△ACQ∽DCB，∴＝，即＝，∴AQ＝10，∴点Q的坐标为（9，0）．综上所述：当Q的坐标为（0，0）或（9，0）时，以A，C，Q为顶点的三角形与△BCD相似．。

三轮压轴每日一练：《反比例函数综合》1．如图，直线y ＝mx +6与反比例函数y ＝（x ＞0）的图象交于点A （，n ）与x 轴交于点B （﹣3，0），M 为该图象上任意一点，过M 点作x 轴的平行线交y 轴于点P ，交AB 于点N ．（1）求m 、n 的值和反比例函数的表达式；（2）若点P 为MN 中点时，求△AMN 的面积．2．如图直线y 1＝﹣x +4，y 2＝x +b 都与双曲线y ＝交于点A （1，3），这两条直线分别与x 轴交于B ，C 两点．（1）求k 的值；（2）直接写出当x ＞0时，不等式x +b ＞的解集；（3）若点P 在x 轴上，连接AP ，且AP 把△ABC 的面积分成1：2两部分，则此时点P 的坐标是 ．3．如图，直线l1：y＝kx+b与双曲线y＝（x＞0）交于A，B两点，与x轴交于点C，与y 轴交于点E，已知点A（1，3），点C（4，0）．（1）求直线l1和双曲线的解析式；（2）将△OCE沿直线l1翻折，点O落在第一象限内的点H处，求点H的坐标；（3）如图，过点E作直线l2：y＝3x+4交x轴的负半轴于点F，在直线l2上是否存在点P，使得S△PBC ＝S△OBC？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；如果不存在，请说明理由．4．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点P（﹣2，3），AB⊥x 轴于点E，正比例函数y＝（m﹣1）x的图象与反比例函数y＝的图象相交于A，P两点．（1）求m，n的值与点A的坐标；（2）求cos∠ABP的值．5．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象交反比例函数的图象于点A（2，﹣4）和点B（n，﹣2），交x轴于点C．（1）求这两个函数的表达式；（2）求△AOB的面积；（3）请直接写出不等式的解集．6．如图，反比例函数y＝经过点A，且点A的坐标为（1，2）．（1）求反比例函数的解析式；（2）点C在y轴的正半轴上，点D在x轴的正半轴上，直线CD经过点A，直线CD交反比例函数图象于另一点B，若OC＝OD，求点B的坐标．7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与y轴交于点C，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，OA＝4，cos∠AOM＝，点B的横坐标为．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接MC，在x轴上找一点P，使△PMC的面积与四边形AMCO的面积相等，求P的坐标．8．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝（m ≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点．点D为x轴负半轴上一点，连接AO，延长AO交反比例函数于点E，连接BE．已知AO＝4，tan∠AOD＝2，∠ACO＝45°．（1）求反比例函数和直线AB的解析式；（2）求△ABE的面积．9．已知：在矩形AOBC中，OB＝4，OA＝3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y＝（k＞0）的图象与AC边交于点E．（1）记S＝S△OEF ﹣S△ECF，当S取得最大值时，求k的值；（2）在（1）的条件下，若直线EF与x轴、y轴分别交于点M，N，求EM•FN的值．10．如图，在平面直角坐标系xOy中，次函数y＝﹣x+5的图象与反比例函数y＝（k＞0）的图象相交于A，B两点，与x轴相交于点C，连接OB，且△BOC的面积为．（1）求反比例函数的表达式；（2）将直线AB向下平移，若平移后的直线与反比例函数的图象只有一个交点，试说明直线AB向下平移了几个单位长度？11．如图，一次函数y＝kx+b的图象分别交x轴、y轴于C，D两点，交反比例函数y＝图象于A（，4），B（3，m）两点．（1）求直线CD的表达式；（2）点E是线段OD上一点，若S△AEB＝，求E点的坐标；（3）请你根据图象直接写出不等式kx+b≤的解集．12．九年级数学兴趣小组组织了以“等积变形”为主题的课题研究．第一学习小组发现：如图（1），点A、点B在直线l1上，点C、点D在直线l2上，若l1∥l2，则S△ABC＝S△ABD；反之亦成立．第二学习小组发现：如图（2），点P是反比例函数y＝上任意一点，过点P作x轴、y 轴的垂线，垂足为M、N，则矩形OMPN的面积为定值|k|．请利用上述结论解决下列问题：（1）如图（3），四边形ABCD、与四边形CEFG都是正方形点E在CD上，正方形ABCD边长为2，则S△BDF＝．（2）如图（4），点P、Q在反比例函数y＝图象上，PQ过点O，过P作y轴的平行线交x轴于点H，过Q作x轴的平行线交PH于点G，若S△PQG ＝8，则S△POH＝，k＝．（3）如图（5）点P、Q是第一象限的点，且在反比例函数y＝图象上，过点P作x轴垂线，过点Q作y轴垂线，垂足分别是M、N，试判断直线PQ与直线MN的位置关系，并说明理由．13．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOD的顶点O与坐标原点重合，点B在y轴的正半轴上，点A在反比例函数的图象上，点D的坐标为（8，6）．（1）求反比例函数的表达式；（2）E是x轴正半轴上的动点，过点E作x轴的垂线交线段OA于点M，交双曲线于点P，在E点运动过程中，M点正好是线段EP中点时，求点E的坐标．14．小明在课外研究中，设计如下题目：直线y＝kx+b过点A（6，0），B（0，3），直线y ＝kx+b与曲线y＝交于点C（4，n）．（1）求直线和曲线的关系式．（2）小明发现曲线y＝关于直线y＝x对称，他把曲线y＝与直线y ＝x的交点P叫做曲线的顶点（图2），①直接写出P点的坐标．②若点D从P点出发向上运动，运动到PD＝PC时停止，求此时△PCD的面积．15．如图，定义：若双曲线y＝（k＞0）与它的其中一条对称轴y＝x相交于M，N两点，则线段MN的长度为双曲线y＝（k＞0）的对径．（1）双曲线y＝的对径是．（2）若双曲线y＝（k＞0）的对径是4，求k的值．（3）正方形AOCB的边长为4，（2）中双曲线与线段BC交于点D，与线段AB相交于点E，直线y＝﹣x+b过点D与线段AB相交于点F，连接OF、OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．16．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，6），AB⊥x轴于点，反比例函数的图象的一支分别交AO，AB于点C，D，延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E，已知D的纵坐标为．（1）求反比例函数的解析式及直线OA的解析式；（2）连接BC，已知E（﹣4，﹣3），求S△CEB（3）若在x轴上有两点M（m，0），N（﹣m，0），将直线OA绕点O旋转，仍与交于C，E，能否构成以E，M，C，N为顶点的四边形为菱形，如果能请求出m的值，如果不能说明理由．参考答案1．解：（1）将点B的坐标代入y＝mx+6并解得：m＝2；故直线的表达式为y＝2x+6；将点A的坐标代入上式得：n＝2×+6＝+3，则点A（，）代入y＝得，k＝×（+3）＝4，故反比例函数表达式为y＝；（2）设点M在y＝上，则点M（t，），点P为MN中点，点N在直线y＝2x+6上，则点N（﹣t，6﹣2t），∵MN∥x轴，故＝6﹣2t，解得：t＝1或2，当t＝1时，点M、N的坐标分别为（1，4）、（﹣1，4），则点P（0，4），则MN＝1+1＝2，△AMN的面积＝×MN×（y A﹣y P）＝×2×（+3﹣4）＝﹣1，当t＝2时，同理可得：△AMN的面积＝2+2，故△AMN的面积为﹣1或2+2．2．解：（1）将点A的坐标代入y＝得，k＝xy＝1×3＝3；（2）从图象看，x＞0，当不等式x+b＞时，x＞1；（3）将点A的坐标代入y2＝x+b得，3＝+b，解得：b＝，y 2＝x+，令y2＝0，则x＝﹣3，即点C（﹣3，0），y 1＝﹣x+4，令y1＝0，则x＝4，即点B（4，0），则BC＝7，AP把△ABC的面积分成1：2两部分，则点P把BC分成1：2两部分，即PB＝BC或BC，即BP＝或，设点P的横坐标为x，则4﹣x＝或，解得：x＝或﹣故点P的坐标为：（﹣，0）或（，0）；故答案为：（﹣，0）或（，0）．3．解：（1）将A（1，3），C（4，0）代入y＝kx+b，得，解得：，∴直线l的解析式为y＝﹣x+4．1将A（1，3）代入y＝（x＞0），得m＝3，∴双曲线的解析式为y＝（x＞0）；（2）将x＝0代入y＝﹣x+4，得y＝4，∴E（0，4）．∴△COE是等腰直角三角形．∴∠OCE＝∠OEC＝45°，OC＝OE＝4．由翻折得△CEH≌△CEO，∴∠COE＝∠CHE＝∠OCH＝90°．∴四边形OCHE是正方形．∴H（4，4）；（3）存在，理由：如图，过点O作直线m∥BC交直线l于点P′，2于点P，在x轴取点H，使OC＝CH（即等间隔），过点H作直线n∥BC交直线l2S△PBC ＝S△OBC，根据同底等高的两个三角形面积相等，则点P（P′）为所求点．直线BC表达式中的k值为﹣1，则直线m、n表达式中的k值也为﹣1，故直线m的表达式为：y＝﹣x①，直线l2的表达式为：y＝3x+4②，联立①②并解得：x＝﹣1，y＝1，故点P′（﹣1，1）；设直线n的表达式为：y＝﹣x+s，而点H（8，0），将点H的坐标代入上式并解得：s＝8，故直线n的表达式为：y＝﹣x+8③，联立②③并解得：x＝1，y＝7，故点P的坐标为（1，7）；综上，点P的坐标为（﹣1，1）或（1，7）．4．解：（1）将点P的坐标代入正比例函数y＝（m﹣1）x表达式得，3＝﹣2（m﹣1），解得：m＝﹣；将点P的坐标代入反比例函数y＝得，n+1＝﹣6，解得：n＝﹣7；则正比例函数的表达式为：y＝﹣x①，反比例函数表达式为：y＝﹣②，联立①②并解得：x＝±2（舍去2），故点A（2，﹣3）；（2）∵点A（2，﹣3），∴OE＝2，AE＝3，则OA＝＝，在△AOE中，sin∠EAO＝＝＝，在Rt△ABP中，cos∠ABP＝sin∠BAP＝sin∠EAO＝．5．解：（1）把A（2，﹣4）的坐标代入得：4﹣2m＝﹣8，反比例函数的表达式是y＝﹣；把B（n，﹣2）的坐标代入y＝﹣得：﹣2＝﹣，解得：n＝4，∴B点坐标为（4，﹣2），把A（2，﹣4）、B（4，﹣2）的坐标代入y＝kx+b并解得：k＝1，b＝﹣6，∴一次函数表达式为y＝x﹣6；（2）当y＝0时，x＝0+6＝6，∴OC＝6，∴△AOB的面积＝×6×4﹣×6×2＝6；（3）由图象知，0＜x＜2或x＞4．6．解：（1）将点A的坐标代入函数表达式得：2＝，解得：k＝2，故反比例函数的解析式为：y＝；（2）设直线CD的表达式为：y＝ax+b，设OD＝OC＝m，则点C、D的坐标分别为：（0，m）、（m，0），将点C、D的坐标代入一次函数表达式得：，解得：，故直线CD的表达式为：y＝﹣x+m，将点A的坐标代入上式得：2＝﹣1+m，解得：m＝3，故直线CD的表达式为：y＝﹣x+3，联立直线CD和反比例函数表达式得：，解得：，，故点B（2，1）．7．解：（1）cos∠AOM＝，则∠AOM＝30°，则点A（﹣2，2），则m＝﹣4，故反比例函数的表达式为：y＝﹣，点B的横坐标为，则点B（，﹣4），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b并解得：k＝﹣，b＝﹣2，故点C（0，﹣2），则一次函数的表达式为：y＝﹣x﹣2；（2）AM＝2＝OC，且AM∥OC，则四边形AMCO为平行四边形，①当点P在x轴右侧时，OP＝OM时，△PMC的面积与四边形AMCO的面积相等，故点P（2，0）；②当点P在x轴左侧时，OP＝2OM时，△PMC的面积与四边形AMCO的面积相等，故点P（﹣4，0）；综上，点P（2，0）或（﹣4，0）．8．解：（1）tan∠AOD＝2，则sin∠AOD＝，则AH ＝AO sin ∠AOD ＝×＝8，同理OH ＝4，故点A （﹣4，8），则点E （4，﹣8） 故反比例函数表达式为：y ＝﹣…①；∵∠ACO ＝45°，则一次函数表达式为：y ＝﹣x +b ， 将点A 的坐标代入上式并解得：b ＝4， 故直线AB 的表达式为：y ＝﹣x +4…②；（2）联立①②并解得：x ＝﹣4或8，故点B （8，﹣4）， 令y ＝﹣x +4＝0，则x ＝4，故点C （4，0），而点E （4，﹣8）， 故CE ⊥x 轴，故△ABE 的面积＝×CE ×（x B ﹣x A ）＝×8×（8+4）＝48． 9．解：（1）∵OB ＝4，OA ＝3，且E 、F 为反比例函数图象上的两点， ∴E ，F 两点坐标分别为E （，3），F （4，）， 如图，连接OE 、OF ，∴S △ECF ＝（3﹣），∴S △EOF ＝S 矩形AOBC ﹣S △AOE ﹣S △BOF ﹣S △ECF ＝3×4﹣××3﹣4×﹣S △ECF ，∴S △ECF ＝12﹣k ﹣S △ECF ，∴S ＝S △OEF ﹣S △ECF ＝12﹣k ﹣2S △ECF ＝12﹣k ﹣2×（3﹣），∴S ＝﹣k 2+k ．当k ＝﹣＝6时，S 有最大值，即S 取得最大值时k ＝6．（2）∵k＝6，∴E（2，3），F（4，），∴EC＝2，FC＝，EF＝，设∠CEF＝α，则sinα＝＝，cosα＝＝，∴EM•FN＝•＝25．10．解：（1）一次函数y＝﹣x+5中，令y＝0，解得x＝5，∴C（5，0），∴OC＝5，作BD⊥OC于D，∵△BOC的面积为，∴OC•BD＝，即BD＝，∴BD＝1，∴点B的纵坐标为1，代入y＝﹣x+5中，求得x＝4，∴B（4，1），∵反比例函数y＝（k＞0）的图象经过B点，∴k＝4×1＝4，∴反比例函数的解析式为y＝；（2）将直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度得直线解析式为y＝﹣x+5﹣m，∵直线AB向下平移m（m＞0）个单位长度后与反比例函数的图象只有一个公共交点，∴＝﹣x+5﹣m，整理得x2+（m﹣5）x+4＝0，△＝（m﹣5）2﹣4×1×4＝0，解得m＝9或m＝1，即m的值为1或9．11．（1）把点A（，4）代入中，得：，解得n＝6∴反比例函数的解析式为，将点B（3，m）代入得m＝2，∴B（3，2）设直线AB的表达式为y＝kx+b，则有，解得∴直线CD的表达式为；（2）设E点的坐标为（0，b）令x＝0，则y＝6∴D点的坐标为（0，6）DE＝6﹣b∵S△DEB ﹣S△DEA＝S△AEB∴，解得：b＝1，∴E点的坐标为（0，1）；（3）不等式kx+b≤的解集是．12．解：（1）连接CF，∵四边形ABCD与四边形CEFG都是正方形，∴CF∥BD，△CBD与△FBD同底等高，∴S△BDF ＝S△BDC＝S正方形ABCD＝2；（2）设P（x，y），则k＝xy，根据题意，得GQ＝﹣2x，PG＝2y，∴S△PQG＝×GQ×PG＝8，即•（﹣2x）•2y＝8，解得xy＝﹣4，即k＝﹣4，S △POH ＝×OH ×PH ＝﹣xy ＝2；（3）PQ ∥MN ．理由：作PA ⊥y 轴，QB ⊥x 轴，垂足为A ，B ，连接PN ，MQ ， 根据双曲线的性质可知，S 矩形AOMP ＝S 矩形BONQ ＝k ， ∴S 矩形ANCP ＝S 矩形BMCQ ，可知S △NCP ＝S △MCQ ， ∴S △NPQ ＝S △MPQ ， ∴PQ ∥MN ．故本题答案为：（1）2，（2）2，﹣4． 13．解：（1）过点D 作x 轴的垂线，垂足为F ， ∵点D 的坐标为（8，6）， ∴OF ＝8，DF ＝6， ∴OD ＝10， ∴AD ＝10，∴点A 坐标为（8，16）， ∴k ＝xy ＝8×16＝128， ∴反比例函数表达式为；（2）∵点A 坐标为（8，16）， ∴OA 的表达式为y ＝2x ，设E 点坐标为（m ，0），则M 点坐标（m ，2m ），F 点坐标，∵M 点正好是线段EP 中点， ∴P （m ，4m ）， ∴，解得：，∴．14．解：（1）将点A、B的坐标代入直线表达式得：，解得：，故直线表达式为：y＝﹣x+3，当x＝4时，y＝﹣x+3＝﹣2+3＝1＝n，故点C（4，1）；将点C的坐标代入曲线的表达式得：1＝，解得：m＝4，故曲线的表达式为：y＝；（2）①联立曲线和直线y＝x表达式得：解得：，（舍去），故点P（2，2）；②设直线CD与y＝x交于点H，如下图，曲线y＝关于直线y＝x对称，且PD＝PC，则点C、D关于直线y＝x对称，故CD⊥PH，∵直线y＝x的倾斜角为45°，则直线CD与直线AO的夹角为45°，故设直线CD的表达式为：y＝﹣x+t，将点C的坐标代入上式并解得：t＝5，故直线CD的表达式为：y＝﹣x+5，联立y＝x和y＝﹣x+5并解得：x＝，y＝，故点H（，），则PH＝＝，同理可得：CH＝，点C、D关于y＝x对称，则CD＝2CH＝2DH，△PCD的面积＝CD×PH＝CH×PH＝×＝．15．解：（1）过A点作AC⊥x轴于C，如图1，解方程组，得：，，∴A点坐标为（1，1），B点坐标为（﹣1，﹣1），∴OC＝AC＝1，∴OA＝OC＝，∴AB＝2OA＝2，∴双曲线y＝的对径是2；故答案为：；（2）∵双曲线与对称轴由y＝x均关于原点对称，设点M坐标为M（a，a）（a＞0），则点N坐标为N（﹣a，﹣a），∴MN＝2OM＝2a＝4，∴a＝2，∴点M坐标为．代入得，即k＝12．（3）∵正方形ABCD，边长为4，∴A（0，4），C（4，0），B（4，4），∵双曲线与BC交于D，∴D（4，3），∵双曲线与AB交于E点，∴E（3，4），∴，BE＝1，∵直线过点D（4，3），∴b＝5，∴，∴F（2，4），取BC中点H，连接EH，并延长交x轴于G点，连接OH，在△EBH与△GCH中，∴△EHB≌△GHC（ASA），∴BE＝CG＝1，∴OE＝OG＝5，EH＝HG，∴∠EOH＝∠HOC，∵A（0，4），F（2，4），∴，∵HC＝2，OC＝4，∴，∴tan∠AOF＝tan∠HOC，∴，即．16．解：（1）∵点A的坐标为（a，6），AB⊥x轴于B，∴AB＝6，∵，∴OB＝8，∴点D在反比例函数的图象上，∴，∴反比例函数的解析式为设直线OA的解析式y＝bx，∴8b＝6解得：；∴直线OA的解析式为；（2）由（1）知C（4，3），E（﹣4，﹣3），B（8，0）∴＝；（3）因为CE所在直线OA不可能与x轴垂直，即CE不能与MN垂直所以E，M，N，C为顶点的四边形不能是菱形；。

中考数学每日一练：探索图形规律练习题及答案_2020年压轴题版答案答案答案答案2020年中考数学：数与式_代数式_探索图形规律练习题~~第1题~~(2019寿阳.中考模拟) 一种长方形餐桌的四周可坐6人用餐，现把若干张这样的餐桌按如图方式拼接.若用餐的人数有90人，则这样的餐桌需________张.考点： 探索图形规律;~~第2题~~(2019高阳.中考模拟) 如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是（ ） A . B . C . D .考点： 探索图形规律;~~第3题~~(2019.中考模拟) 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究各种多边形数，比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似的，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数位正方形数（四边形数）．（1） 请你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数为；（2） 试证明：当k 为正整数时，k （k+1）（k+2）（k+3）+1必须为正方形数；（3） 记第n 个k 变形数位N （n ，k ）（k≥3）．例如N （1，3）＝1，N （2，3）＝3，N （2，4）＝4．①试直接写出N （n ，3）N （n ，4）的表达式；②通过进一步的研究发现N （n ，5）＝ n ﹣ n ，N （n ，6）＝2n ﹣n ，…，请你推测N （n ，k ）（k≥3）的表达式，并由此计算N （10，24）的值．考点： 探索图形规律;完全平方公式及运用;~~第4题~~(2019.中考模拟) 平面上有n 个点（n≥3，n 为自然数），其中任何三点不在同一直线上．证明：一定存在三点，以这三点作为顶点的三角形中至少有一个内角不大于 ．考点： 探索图形规律;22答案~~第5题~~(2019昌图.中考模拟)在中， 作BC边的三等分点，使得： ：2，过点作AC 的平行线交AB于点 ，过点作BC 的平行线交AC于点，作边的三等分点 ，使得： ：2，过点 作AC 的平行线交AB 于点 ，过点 作BC 的平行线交于点 ；如此进行下去，则线段的长度为________.考点： 探索图形规律;平行四边形的判定与性质;2020年中考数学：数与式_代数式_探索图形规律练习题答案1.答案：2.答案：C3.答案：4.答案：5.答案：。

2020年中考数学压轴题一、选择题1．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）A．B．C．D．第1题第2题2．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是（）A．≤m≤B．﹣﹣5≤m≤+5C．﹣2≤m≤+2D．﹣﹣2≤m≤+2二、填空题18．如图，点G是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点G作EF∥AB交AD于E，交BC 于F，若EG＝5，BF＝2，则图中阴影部分的面积为．第3题第4题24．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B 两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：①abc＞0；②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；③m+n＝1；④m＜﹣1；⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）三、解答题5．如图，已知点A（1，0），B（0，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点．（1）若F为CD上一动点，求出当△DEF与△COD相似时点F的坐标；（2）过E作x轴的垂线l，在直线l上是否存在一点Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．【答案与解析】一、选择题1．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】A．∵EF∥AB，∴＝，故本选项正确，B．∵DE∥BC，∴＝，∵EF∥AB，∴DE＝BF，∴＝，∴＝，故本选项正确，C．∵EF∥AB，∴＝，∵CF≠DE，∴≠，故本选项错误，D．∵EF∥AB，∴＝，∴＝，故本选项正确，故选：C．2．【分析】作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y＝﹣x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．【解答】解：如图，作等边三角形ABE，∵A（﹣3，0），B（3，0），∴OA＝OB＝3，∴E在y轴上，当E在AB上方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y＝﹣x+m，∵OA＝3，∴OE＝3，设⊙Q的半径为x，则x2＝32+（3﹣x）2，解得x＝2，∴EQ＝AQ＝PQ＝2，∴OQ＝，由直线y＝﹣x+m可知OD＝OC＝m，∴DQ＝m﹣，CD＝m，∵∠ODC＝∠P1DQ，∠COD＝∠QP1D，∴△QP1D∽△COD，∴＝，即＝，解得m＝+2，当E在AB下方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P2重合时m的值最小，当P与P2重合时，同理证得m＝﹣﹣2，∴m的取值范围是﹣﹣2≤m≤+2，故选：D．二、填空题3．【分析】由矩形的性质可证明S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，即可求解．【解答】解：作GM⊥AB于M，延长MG交CD于N．则有四边形AEGM，四边形DEGN，四边形CFGN，四边形BMGF都是矩形，∴AE＝BF＝2，S△ADB＝S△DBC，S△BGM＝S△BGF，S△DEG＝S△DNG，∴S矩形AEGM＝S矩形CFGN＝2×5＝10，∴S阴＝S矩形CFGN＝5，故答案为：5．4．【分析】由图象分别求出a＞0，c＝﹣2，b＝﹣a＜0，则函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2，则对称轴x＝，由开口向上的函数的图象开口与a的关系可得：当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，依据这个性质判断m的取值情况．【解答】解：由图象可知，a＞0，c＝﹣2，∵对称轴x＝﹣＝，∴b＝﹣a＜0，∴abc＞0；∴①正确；A、B两点关于x＝对称，∴m+n＝1，∴③正确；a＞0时，当a变大，函数y＝ax2﹣ax﹣2的开口变小，则AB的距离变小，∴⑤不正确；若m＜﹣1，n＞2，由图象可知n＞1，∴④不正确；当a＝1时，对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，当a＞1时，函数开口变小，则有m＞﹣1的时候，∴②不正确；故答案①③．三、解答题5．【分析】（1）当△DEF∽△COD时，＝，DF＝DE cos∠CDO＝，据此求出EF的长度和点F的坐标即可；（2）首先以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝；然后求出点P的坐标是多少；设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，据此求出a的值是多少，进而求出Q点坐标是多少即可．【解答】解：（1）∵A（1，0），B（0，3），∴OA＝1，OB＝3，∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，∴OC＝1，OD＝3，∴C（0，1），D（﹣3，0），如图1，当△DEF∽△COD时，＝∴EF＝，∴F（﹣1，）；当△DEF∽△COD时，DF＝DE cos∠CDO＝，作FK⊥OD于K，则FK＝DF sin∠CDO＝，DK＝DF cos∠CDO＝，∴F（﹣，）；（2）如图2，以CD为直径作圆，设其圆心为P，交直线a于点Q、Q′，连接PQ，P Q′，由圆周角定理，可得∠CQO＝∠CQ′O＝∠CDO，在Rt△CDO中，由勾股定理可得CD＝，则PQ＝CD＝，又∵P为CD中点，P（﹣，），设Q（﹣1，a），则（）2+（a﹣）2＝，解得a＝2或﹣1，∴Q（﹣1，2）或（﹣1，﹣1）．6．【分析】（1）利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）作PF∥BO交AB于点F，证△PFD∽△OBD，得比例线段，则PF取最大值时，求得的最大值；（3）（i）点F在y轴上时，P在第一象限或第二象限，如图2，3，过点P作PH⊥x轴于H，根据正方形的性质可证明△CPH≌△FCO，根据全等三角形对应边相等可得PH＝CO＝2，然后利用二次函数解析式求解即可；（ii）点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，可得PS＝PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，可得PN＝PM，则P点的横纵坐标相等，可求出P点坐标．由此即可解决问题．【解答】解：（1）直线y＝x+4与坐标轴交于A、B两点，当x＝0时，y＝4，x＝﹣4时，y＝0，∴A（﹣4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入解析式得，，解得，，∴抛物线的解析式为；（2）如图1，作PF∥BO交AB于点F，∴△PFD∽△OBD，∴，∵OB为定值，∴当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中﹣4＜x＜0，则F（x，x+4），∴PF＝＝，∵且对称轴是直线x＝﹣2，∴当x＝﹣2时，PF有最大值，此时PF＝2，；（3）∵点C（2，0），∴CO＝2，（i）如图2，点F在y轴上时，若P在第二象限，过点P作PH⊥x轴于H，在正方形CPEF中，CP＝CF，∠PCF＝90°，∵∠PCH+∠OCF＝90°，∠PCH+∠HPC＝90°，∴∠HPC＝∠OCF，在△CPH和△FCO中，，∴△CPH≌△FCO（AAS），∴PH＝CO＝2，∴点P的纵坐标为2，∴，解得，，x＝﹣1+（舍去）．∴，如图3，点F在y轴上时，若P在第一象限，同理可得点P的纵坐标为2，此时P2点坐标为（﹣1+，2）（ii）如图4，点E在y轴上时，过点PK⊥x轴于K，作PS⊥y轴于S，同理可证得△EPS≌△CPK，∴PS＝PK，∴P点的横纵坐标互为相反数，∴，解得x＝2（舍去），x＝﹣2，∴，如图5，点E在y轴上时，过点PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，同理可证得△PEN≌△PCM，∴PN＝PM，∴P点的横纵坐标相等，∴，解得，（舍去），∴，综合以上可得P点坐标为，，．。