第三章 离散小波变换3.1 尺度与位移的离散化方法减小小波变换系数冗余度的做法是将小波基函数⎪⎭⎫⎝⎛-=a t a t a τψψτ1)(,的τ,a 限定在一些离散点上取值。
1. 尺度离散化：一种最通常的离散方法就是将尺度按幂级数进行离散化，即取mm a a 0=（m 为整数，10≠a ，一般取20=a ）。
如果采用对数坐标，则尺度a的离散取值如图3.1所示。
图3.1 尺度与位移离散方法2. 位移的离散化：当120==a 时，()τψψτ-=t t a )(,。
（1）通常对τ进行均匀离散取值，以覆盖整个时间轴。
（2）要求采样间隔τ满足Nyquist 采样定理，即采样频率大于该尺度下频率通带的2倍。
3. )(,t a τψ=？当m 增加1时，尺度增加一倍，对应的频带减小一半（见图2.2），可见采样频率可以降低一半，即采样间隔可以增大一倍。
因此，如果尺度0=m 时τ的间隔为s T ，则在尺度为m 2时，间隔可取s m T 2。
此时)(,t a τψ可表示为);(2212221,t T n t T n t n m s m m m s m m ψψψ记作⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅- Z n m ∈, 为简化起见，往往把t 轴用s T 归一化，这样上式就变为()n t t m m n m -=--22)(2,ψψ （3.1）4. 任意函数)(t f 的离散小波变换为⎰⋅=Rn m f dt t t f n m WT )()(),(,ψ （3.2）DWT 与CWT 不同，在尺度—位移相平面上，它对应一些如图3.1所示的离散的点，因此称之为离散小波变换。
将小波变换的连续相平面离散化，显然引出两个问题：（1）离散小波变换>=<)(),(),(,t t f n m WT n m f ψ是否完全表征函数)(t f 的全部信息，或者说，能否从函数的离散小波变换系数重建原函数)(t f 。
（2）是否任意函数)(t f 都可以表示为以)(,t n m ψ为基本单元的加权和∑∈=Zn m n m nm t Ct f ,,,)()(ψ如果可以，系数n m C ,如何求？上述两个问题可以归结为一个。
假设条件（1）满足，可合理的选择ψ，并对τ,a 进行适当的离散（即适当的选择s T a ,0），那么一定存在与小波序列n m ,ψ对应的nm ,~ψ序列，使得问题（1）的重建简单地表示为 ∑∈><=Zn m nm nm f t f ,,,~,)(ψψ（3.3） n m ,~ψ称为nm ,ψ的对偶，它可以由一个基本小波)(~t ψ通过位移和伸缩取得： ()n t t m mnm -=--2~2)(~2,ψψ由上式，若存在)()(2R L t g ∈，则有∑>><<=><>=<nm nm n m g f g f f g ,,,,~,,,ψψ =∑>><<nm nm n m g f ,,,),~,(ψψ =∑>><<nm nm n m f g ,,,,~,ψψ =∑>><<nm nm n m f g ,,,,~,ψψ 也即∑><=nm nm n m g g ,,,~,ψψ 故问题（2）也成立，其中>=<nm n m g C ,,~,ψ由于问题（1）和问题（2）是统一的，我们首先来看问题（1），该问题的数学语言描述如下：若小波系数><n m f ,,ψ表征)(t f 的全部信息，则应有 当21f f =时，;,,,2,1>>=<<n m n m f f ψψ Z n m ∈,或当0=f 时，><n m f ,,ψ=0； Z n m ∈,当1f 和2f 很接近时，Z n m n m f ∈><,,1,ψ 和Z n m n m f ∈><,,2,ψ也必然很接近。
用范数的概念来描述，即当21f f -为一个很小的数时，2,,2,1,,∑><-><nm n m n m f f ψψ也必然为一个很小的数，用数学公式来描述：2212,,2,1,,f f B f f nm n m n m -≤><-><∑ψψ ， +∈R B也即22,,,fB f nm n m ≤><∑ψ （3.4a ）若要小波系数><n m f ,,ψ稳定的重建f ，则必须有：当序列Z n m n m f ∈><,,1,ψ 和Z n m n m f ∈><,,2,ψ很接近时，函数1f 和2f 也很接近，即,,2,,2∑><≤nm n m f fA ψ +∈R A （3.4b ）把（3.4a ）和（3.4b ）合到一起。
我们便得到一个合理的离散小波变换，该小波变换对所有)()(2R L t f ∈必须满足下述条件：;,22,,2f B f fA nm n m ≤><≤∑ψ +∈R B A , （3.4c ）满足式（3.4c ）的离散函数序列{}Z n m n m ∈,;,ψ在数学上称为“框架”。
3.2 小波框架与离散小波变换的逆变换3.2.1 小波框架（1）小波框架的定义当由基本小波)(t ψ经伸缩和位移引出的函数族()s j j k j kT t a a t -=--020,)(ψψ； Z k j ∈, （3.5）具有下述性质时：;,22,2f B f fA jkk j ≤><≤∑∑ψ ∞<<<B A 0 （3.6）便称{}Z k j k j t ∈,,)(ψ构成了一个小波框架，称上式为小波框架条件，其频域表示为 ∑∈≤ψ≤Zj j,)2(2βωα ∞<<<βα0 （3.7）（2）小波框架的性质1）满足小波框架条件的)(,t k j ψ，其基本小波)(t ψ必定满足容许性条件。
但是并不是满足容许性条件的小波，在任意离散间隔s T 及尺度基数0a 下都满足小波框架的条件。
2）小波函数的对偶函数()k t t j jk j -=--2~2)(~2,ψψ也构成一个框架，其框架的上、下界是)(,t k j ψ框架上、下界的倒数：22,21~,1f B f f Aj kkj ≤><≤∑∑ψ （3.8）3）离散小波变换具有非伸缩和时移共变性。
4）离散小波变换仍然具有冗余度。
3.2.2 离散小波变换的逆变换与重建核问题1. 离散小波变换的逆变换如离散小波序列{}Z k j k j t ∈,,)(ψ，构成一个框架，其上、下界分别为A 和B ，则当B A =时（紧框架），由框架概念可知离散小波变换的逆变换为)(),(1)(~)(,)(,,,,1t k j WT A t t f A t f k j k j fk j jk j ψψψ∑∑⋅=><=- （3.9） 当B A ≠，而A ，B 比较接近时，作为一阶逼近，可取)(2)(~,,t BA t kj k j ψψ+= （3.10） 则重建公式近似为)(),(2)(~)(,)(,,,,t k j WT B A t t f t f k j kj f kj jk j ψψψ∑∑⋅+≈><= （3.11） 逼近误差的范数为f BA B A f R R f +-=⋅=由上式可见，A 与B 愈接近，逼近误差就愈小。
为了保证k j ,ψ能构成一个重建误差较小的框架就必须对基本小波在τ,a 轴上的采样间隔提出更高要求：0a 不一定等于2，s T 也不一定等于1，以便于使A 和B 接近于相等，可以想像，当尺度间隔愈密，位移间隔τ∆愈小。
离散栅格愈接近于覆盖整个τ-a 半平面，A B /就愈接近于1.关于B A 、与τ∆、0a ，以及）（ωψ间的关系的部分结论如下：如{}Z n m n m ∈,,ψ是一个框架，则框架的上界A 、下界B 满足下面的不等式：B d a A ≤ψ∆≤⎰∞+∞-ωωωτπ2)(log （3.12）特别对紧框架有：ωωωτπ⎰∞+∞-ψ∆=d a A 2)(log （3.13）举例：将Marr 小波离散化为小波框架。
Marr 小波是常用的一种连续小波形式。
若将Marr 小波的尺度及位移分别离散化为()τψψ∆-=--k t a a t j j k j 020,)(则可证明，)(,t k j ψ构成了一个)(2R L 空间的小波框架，其框架的上界A 、下界B 同τ∆、0a 之间的关系如表3.1表示。
表3.1 Marr 小波框架上、下界同0a 和τ∆之间的关系由表3.1可知： 1）当20=a 时，取;75.0<∆τ20=a 时，取;1<∆τ302=a 时，取1<∆τ或402=a 时，取;1<∆τ均可使B A ≈，可近似为紧框架。
此时采用重建公式（3.9）可较精确地重构原函数。
2） 0a 一定时，A B /的值随τ∆增大而增大。
3）给定一个0a 值，只要τ∆足够小，总可以得到一个近似紧的小波框架。
4）20=a ，1=∆τ时，B A ≠，不是紧框架。
2. 重建核公式（1）正交性：只有当1==B A 时，框架)(,t k j ψ变为正交基，此时经框架变换后的信息无任何冗余。
但在其他情况下，框架)(,t k j ψ并不正交，具有一定的相关性。
因此经框架处理后所含的信息是有冗余的。
（2）紧框架情况下的小波变换系数的相关性： 将离散小波变换的逆变换公式（3.9）重写如下：)(),(1)(,,t k j WT A t f k j kj f ψ∑=（3.14） 其中⎰⋅=Rk j f dt t t f k j WT )()(),(,ψ （3.15a ）则⎰⋅=Rk j f dt t t f k j WT )()(),(00,00ψ （3.15b ）将式（3.14）代入式（3.15b ）得⎰∑∑=R k j j k j kf f dt t t k j WT A k j WT )(])(),([1),(00,,00ψψ∑∑∑⎰∑=⋅=j kf k j j R k j kf k j WT k j k j K A dt t t k j WT A )],(),;,([1])()(),([100,,00ψψψ （3.16）其中>=<⋅=⎰)(),()()(),;,(0000,,,,00t t dt t t k j k j K k j k j k j Rk j ψψψψψ （3.17）分析说明：(1)与连续情况一样，式（3.16）给出任意一点),(00k j 处小波变换之值与栅格上其他各点小波变换系数之间的内在联系，称它为重建核方程，称ψK 为重建核，由小波框架本身决定。
