考研数学一(解答题)模拟试卷6(题后含答案及解析)

考研数学一（解答题）模拟试卷6 (题后含答案及解析)

题型有：1.

1． 设总体X的概率密度为其中θ为未知参数且大于零，X1，X2，…，Xn为来自总体X的简单随机样本。(Ⅰ)求θ的矩估计量；(Ⅱ)求θ的最大似然估计量。

正确答案：(Ⅰ)E(X)=∫0∞xf(x) dx=∫0∞令E(X)=，得到矩估计(Ⅱ)对于总体X的样本观测值为x1，x2，…，xn，其似然函数为l(θ)=f(x1；θ)f(x2；θ)…f(xn；θ)=θ2n(x1，x2，…，xn)—3L=ln[l(θ)]=2nlnθ—3ln(x1x2…xn)一得到即最大似然估计量为 涉及知识点：概率论与数理统计

2． 设a为常数，讨论方程ex=ax2的实根个数．

正确答案：当a≤0时，显然无实根．显然，由题意知x=0不是原方程的根，以下讨论当a＞0时的情形，设当x＜0时，f’(x)＞0；当0＜x＜2时，f’(x)＜0；当x＞2时，f’(x)＞0．且 所以当a＞0时，f(x)在区间(一∞，0)上有唯一实零点．又在区间(0，+∞)上， 涉及知识点：一元函数微分学

3． 求解下列方程：(I)求方程xy”=y’lny’的通解；(Ⅱ)求yy”=2(y’2一y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．

正确答案：(I)此方程不显含y．令p=y’，则原方程化为xp’=plnp．当p≠1时，可改写为其通解为ln|lnp|=ln|x|+C，即lnp=C1x，即y’=．这样，原方程的通解即为．其中C1≠0，C2为任意常数．当p=1时，也可以得到一族解y=x+C3．(Ⅱ)此方程不显含x．令p=y’，且以y为自变量，原方程可化为当p≠0时，可改写为解为p一1=C1y2再利用p=y’，以及初始条件，可推出常数C1=1．从而上述方程为变量可分离的方程 y’=1+y2, 其通解为y=tan(x+C2)．再一次利用初始条件y(0)=1，即得所以满足初始条件的特解为 涉及知识点：常微分方程

4． 设D为平面区域：x2+y2≤4，则

正确答案： 涉及知识点：多元函数积分的概念、计算及其应用

5． 设f(x)在区间[0，1]上可导，f(1)=2x2f(x)dx．证明：存在ξ∈(0，1)，使得2f(ξ)+ξf’(ξ)=0．

正确答案：令φ(x)=x2f(x)，由积分中值定理得f(1)=x2f(x)dx=c2f(c)，其中c∈[0，]，即φ(c)=φ(1)，显然φ(x)在区间[0，1]上可导，由罗尔中值定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0．而φ’(x)=2xf(x)+x2f’(x)，所以2ξf(ξ)+ξ

2f’(ξ)=0，注意到ξ≠0，故2f(ξ)+ξf’(ξ)=0． 涉及知识点：高等数学

6． 求由曲线y=4一x2 与x轴围成的部分绕直线x=3旋转一周所成的几何体的体积．

正确答案：取[x，x+dx][一2，2]，则dV=2π(3一x)(4一x2)dx，V=∫－22dV=2π∫－22(3－x)(4－x2)dx=6π∫－22(4－x2)dx=12π∫02(4一x2)dx=12π×=64π． 涉及知识点：高等数学

7． 证明曲线Г：x=aetcost，y=aetsint，z=aet与锥面S：x2+y2=z2的各母线(即锥面上点(x，y，z)与顶点的连线)相交的角度相同，其中a为常数．

正确答案：曲线Г的参数方程满足x2+y2=z2，于是Г在锥面S上，Г上任一点(x，y，z)处的母线方向l={x，y，z}，切向量T={x′，y′，z′}={aet(cost－sint)，aet(cOst+sint)，aet}={x－y，x+y，z}．因此即曲线Г与锥面S的各母线相交的角度相同．

解析：先求Г的切向量T={x′(t)，y′(t)，z′(t)}以及锥面上点(x，y，z)的母线方向，即它与锥的顶点(0，0，0)的连线方向l=(x，y，z)，最后考察cos(T，l)． 知识模块：多元函数微分学

8． 设f(x，y)=，其中D=｛(x，y)｜ a≤x+y≤b｝(0＜a＜b)．

正确答案：令D1={(x，y)｜0≤x≤a，a一x≤y≤b—x}，D2={(x，y)｜a≤x≤b，0≤y≤b—x｝，则f(x，y)dxdy=∫0ae－x∫a－xb－xe－y+∫abe－xdx∫0b－xe－y=∫0ae－x(ex－a—ex－b)dx+∫abe－x(1一ex－b)dx=(a+1)(e－a—e－b)一(b一a)e－b． 涉及知识点：高等数学

9． 设A，B分别为m×n及n×s阶矩阵，且AB=O．证明：r(A)+r(B)≤n．

正确答案：令B=(β1，β2，…，βs)，因为AB=O，所以B的列向量组β1，β2，…，βs为方程组AX=0的一组解，而方程组AX=0的基础解系所含的线性无关的解向量的个数为n－r(A)，所以向量组β1，β2，…，βs的秩不超过n－r(A)，又因为矩阵的秩与其列向量组的秩相等，因此r(B)≤n－r(A)，即r(A)+r(B)≤n． 涉及知识点：线性代数

10． 一商店经销某种商品，每周进货量X与顾客对该种商品的需求量Y是相互独立的随机变量，且都服从区间[10，20]上的均匀分布．商店每售出一单位商品可得利润1 000元；若需求量超过了进货量，商店可从其他商店调剂供应，这时每单位商品获利润500元，试计算此商店经销该种商品每周所得利润的期望值．

正确答案：设T为一周内所得利润，则 涉及知识点：概率与数理统计

11． I=(x+y+z)dV，其中Ω：x2+y2+z2≤2az，≤z(a＞0)．

正确答案：Ω关于yz平面与zx平面均对称用球坐标变换，球面x2+y2+z2=2az与锥面的球坐标方程分别为ρ=2acosφ，φ=．Ω的球坐标表示D：0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2acosφ，于是 涉及知识点：多元函数积分的概念、计算及其应用

12． 设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：(Ⅰ)U=XY的概率密度fU(u)；(Ⅱ)V=|X－Y|的概率密度fV(v)．

正确答案：由于X与Y相互独立且密度函数已知，因此我们可以用两种方法：分布函数法与公式法求出U、V的概率密度．(Ⅰ)分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度f(x，y)=fX(x)fY(y)所以U=XY的分布函数为(如图3．3)FU(u)=P{XY≤u}=f(x，y)dxdy．当u≤0时，FU(u)=0；当u≥1时，FU(u)=1；当0＜u＜1时，FU(u)=∫0udu∫01dy+∫u1dx∫0u／xdy=u+∫u1u／xdx=u－ulinu．综上得(Ⅱ)公式法．记Z=X－Y=X+(－Y)，其中X与(－Y)独立，概率密度分别为由卷积公式得Z的概率密度fZ(z)=∫－∞+∞(z－y)f－Y(y)dy=∫－10fX(z－y)dyV=|X－Y|=|Z|的分布函数为FV(v)=P{|Z|≤v}，易得当v≤0时，FV(v)=0；当v＞0时，FV(v)=P{－v≤Z≤v}=∫－vv(z)dz；由此知，当0＜v＜1时，FV(v)=∫－v0(x+1)+∫0v(1－z)=2v－v2；当v≥1时，FV(v)=∫－v－10dz+∫－10(z+1)dz+∫01(1－z)dz+∫1v0dz=1．综上得FV(v) 涉及知识点：概率论与数理统计

13． 设由自动生产线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(μ，1)，内径小于10或大于12为不合格品，其余为合格产品．销售合格品获利，销售不合格产品亏损，已知销售利润T(单位：元)与销售零件的内径X有如下关系：问平均内径μ取何值时，销售一个零件的平均利润最大?

正确答案：E(T)=－1×P(X＜10)+20×P(10≤X≤12)－5P(X＞12)=－Ф(10－μ)+20[Ф(12－μ)－Ф(10－μ)]－5[1－Ф(12－μ)]=25Ф(12－μ)－21Ф(10－μ)－5≈10．9，所以当μ≈10．9时，销售一个零件的平均利润最大． 涉及知识点：概率统计

14． 编号为1，2，3的三个球随意放入编号为1，2，3的三个盒子中，每盒仅放一个球，令求(X1，X2)的联合分布。

正确答案：先求出Xi的分布，而后再求得联合分布的部，从而求得联合分布。 如果将3个数的任一排列作为一个基本事件，则基本事件总数为3!=6，P{X1=1}=P{1号球落入1号盒}=，P{X1=0}=1-，同理，P{X2=1}=，P{X2=0}=又P{X1=1，X2=1}=P{1号球落入1号盒，2号球落入2号盒}=，依次可求得(X1，X2)的联合分布为 涉及知识点：概率论与数理统计

有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验，从中任取10件，经检验无次品则接收这批产品，次品数大于2，则拒收；否则做第二次检验．其做法

是从中再任取5件，仅当5件无次品时接收这批产品，若产品的次品率为10％，求：

15． 这批产品经第一次检验能接收的概率.

正确答案：P{产品经第一次检验能接收}=(0．9)10=0．3486. 涉及知识点：函数、极限、连续

16． 需做第二次检验的概率.

正确答案：P{需做第二次检验}=C101×(0．9)9×(0．1)+C102×(0．9)8×(0．1)2≈0．5811. 涉及知识点：函数、极限、连续

17． 这批产品进入第二次检验后，能够被接收的概率.

正确答案：这批产品进入第二次检验后，能够被接收的概率为p3=(0．9)5=0．590 5. 涉及知识点：函数、极限、连续

18． 这批产品需进行第二次检验且能被接收的概率.

正确答案：这批产品需进行第二次检验且能被接收的概率为p4=0．581 1×0．590 5=0．343 1 涉及知识点：函数、极限、连续

19． 这批产品能够被接收的概率.

正确答案：这批产品能够被接收的概率为p5=0．348 6+0．343 1=0.6917.

涉及知识点：函数、极限、连续

20． 作x2＋(y－3)2＝1的图形，并求出两个y是x的函数的单值支的显函数关系.

正确答案：根据隐函数x2＋(x－3)2＝1的表达式，如图1-9可知该函数图形是以(0，3)为圆心，半径为1的圆：x2＋(x－3)2＝1，(x－3)2＝1－x2 涉及知识点：综合