(小学奥数)几何中的重叠问题
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1. 瞭解容斥原理二量重疊和三量重疊的內容；
2. 掌握容斥原理的在組合計數等各個方面的應用．
一、兩量重疊問題
在一些計數問題中，經常遇到有關集合元素個數的計算．求兩個集合並集的元素的個數，不能簡單地把兩個集合的元素個數相加，而要從兩個集合個數之和中減去重複計算的元素個數，即減去交集的元素個數，用式子可表示成：ABABAB(其中符號“”讀作“並”，相當於中文“和”或者“或”的意思；符號“”讀作“交”，相當於中文“且”的意思．)則稱這一公式為包含與排除原理，簡稱容斥原理．圖示如下:A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB，即陰影面積．圖示如下:A表示小圓部分，B表示大圓部分，C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AB，即陰影面積．
包含與排除原理告訴我們，要計算兩個集合AB、的並集AB的元素的個數，可分以下兩步進行：
第一步：分別計算集合AB、的元素個數，然後加起來，即先求AB(意思是把AB、的一切元素都“包含”進來，加在一起)；
第二步：從上面的和中減去交集的元素個數，即減去CAB(意思是“排除”了重複計算的元素個數)．
二、三量重疊問題
A類、B類與C類元素個數的總和A類元素的個數B類元素個數C類元素個數既是A類又是B類的元素個數既是B類又是C類的元素個數既是A類又是C類的元素個數同時是A類、B類、C類的元素個數．用符號表示為：ABCABCABBCACABC．圖示如下： 教學目標
知識要點
7-7-3.幾何中的重疊問題
1．先包含——AB
重疊部分AB計算了2次，多加了1次；
2．再排除——ABAB
把多加了1次的重疊部分AB減去．
在解答有關包含排除問題時，我們常常利用圓圈圖(韋恩圖)來幫助分析思考．
【例 1】 把長38釐米和53釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長4釐米，焊接後這根鐵條有多長？
【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答
【解析】 因為焊接部分為兩根鐵條的重合部分，所以，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長3853487(釐米)．
【答案】87釐米
【巩固】 把長23釐米和37釐米的兩根鐵條焊接成一根鐵條．已知焊接部分長3釐米，焊接後這根鐵條有多長？
【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答
【解析】 焊接部分為兩根鐵條的重合部分，由包含排除法知，焊接後這根鐵條長：2337357(釐米)．
【答案】57釐米
【例 2】 兩張長4釐米，寬2釐米的長方形紙擺放成如圖所示形狀．把它放在桌面上，覆蓋面積有多少平方釐米？
【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答 例題精講 圖中小圓表示A的元素的個數，中圓表示B的元素的個數，大圓表示C的元素的個數．
1．先包含：ABC
重疊部分AB、BC、CA重疊了2次，多加了1次．
2．再排除：ABCABBCAC
重疊部分ABC重疊了3次，但是在進行ABC
ABBCAC計算時都被減掉了．
3．再包含：ABCABBCACABC． 图32厘米4厘米
【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為2釐米的正方形，如果利用兩個42的長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，被覆蓋面積長方形面積之和-重疊部分．於是，被覆蓋面積4222212(平方釐米)．
【答案】12釐米
【巩固】 如圖3，一張長8釐米，寬6釐米，另一個正方形邊長為6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長為4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．
【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答
图36468
【解析】 兩個圖形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用長方形和正方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在長方形和正方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積長方形面積正方形面積重疊部分．於是，組合圖形的面積：86664468(平方釐米)．
【答案】68平方釐米
【巩固】 一個長方形長12釐米，寬8釐米，另一個長方形長10釐米，寬6釐米，它們中間重疊的部分是一個邊長4釐米的正方形，求這個組合圖形的面積．
【考點】幾何中的重疊問題 【難度】1星 【題型】解答
1064812
【解析】 兩個長方形如圖擺放時出現了重疊(見圖中的陰影部分)，重疊部分恰好是邊長為4釐米的正方形，如果利用兩個長方形面積之和來計算被覆蓋桌面的面積，那麼重疊部分在兩個長方形面積中各被計算了一次，而實際上這部分只需計算一次就可以了．所以，組合圖形的面積長方形面積之和重疊部分．於是，組合圖形的面積12810644140(平方釐米)．
【答案】140平方釐米
【例 3】 三個面積均為50平方釐米的圓紙片放在桌面上(如圖)，三個紙片共同重疊的面積是10平方釐米．三個紙片蓋住桌面的總面積是100釐米．問：圖中陰影部分面積之和是多少？
【考點】幾何中的重疊問題 【難度】2星 【題型】解答
CBA10
【解析】 將圖中的三個圓標上A、B、C．根據包含排除法，三個紙片蓋住桌面的總面積(A圓面積B圓面積C圓面積）（A與B重合部分面積A與C重合部分面積B與C重合部分面積）三個紙片共同重疊的面積，得：100505050A（）（與B重合部分面積A與C重合部分面積B與C重合部分面積10），得到A、B、C三個圓兩兩重合面積之和為：16010060平方釐米，而這個面積對應於圓上的那三個紙片共同重疊的面積的三倍與陰影部分面積的和，即：60103陰影部分面積，則陰影部分面積為：603030(平方釐米)．
【答案】30平方釐米
【巩固】 如圖，已知甲、乙、丙3個圓的面積均為30，甲與乙、乙與丙、甲與丙重合部分的面積分別為6，8，5，而3個圓覆蓋的總面積為73．求陰影部分的面積．
【考點】幾何中的重疊問題 【難度】2星 【題型】解答
【解析】 設甲圓組成集合A，乙圓組成集合B，丙圓組成集合C．
ABC=30，AB=6，BC=8，AC=5，ABC=73，
而ABC=ABCABBCACABC.
有73=30×3-6-8-5+ABC，即ABC=2，即甲、乙、丙三者的公共面積(⑧部分面積)為2．那麼只是甲與乙(④)，乙與丙(⑥)，甲與丙(⑤)的公共的面積依次為6-2=4，8-2=6，5-2=3，所以有陰影部分(①、②、③部分之和)的面積為73-4-6-3-2=58．
【答案】58
【例 4】 如圖，三角形紙板、正方形紙板、圓形紙板的面積相等，都等於60平方釐米．陰影部分的面積總和是40平方釐米，3張板蓋住的總面積是100平方釐米，3張紙板重疊部分的面積是多少平方釐米？
【考點】幾何中的重疊問題 【難度】3星 【題型】解答
【解析】 陰影部分是有兩塊重疊的部分，被計算兩次，而三張紙重疊部分是被計算了三次．所以三張紙重疊部分的面積60310040220（）(平方釐米)．
【答案】20平方釐米
【巩固】 如圖所示，A、B、C分別是面積為12、28、16的三張不同形狀的紙片，它們重疊在一起，露在外面的總面積為38．若A與B、B與C的公共部分的面積分別為8、7，A、B、C這三張紙片的公共部分為3．求A與C公共部分的面積是多少？
【考點】幾何中的重疊問題 【難度】3星 【題型】解答
ABC
【解析】 設A與C公共部分的面積為x，由包含與排除原理可得：
⑴ 先“包含”：把圖形A、B、C的面積相加：12281656，那麼每兩個圖形的公共部分的面積都重複計算了1次，因此要排除掉．
⑵ 再“排除”：5687x，這樣一來，三個圖形的公共部分被全部減掉，因此還要再補回．
⑶ 再“包含”：56873x，這就是三張紙片覆蓋的面積．
根據上面的分析得：5687338x，解得：6x．
【答案】6
