(弧度制) 精品教案

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厦门市大同中学公开课教案

开课级别： 市级

学 科： 数学

执教班级： 高一（7）班

执教老师： 黄彰颖

开课日期： 2016年5月5日

入档日期 ______年____月____日 - 2 - 厦门市大同中学 数学 学科公开课教案

2015至2016 学年 第 二学期 高一年段 必修4第一章第一节 第2课时

课题 1.1.2 弧度制

教

材 分析

《弧度制》是人教版数学必修四第一章第二节的内容，是三角函数这一章的基础性知识。从内容上来说：其引进了另一种度量角的方法——弧度制，不仅丰富了角的度量方法，还有助于后续的三角函数学习。从结构上来说：弧度把角度单位与长度单位统一起来，为单位圆与正弦、余弦函数的学习打下知识基础；从思想方法来说，弧度制提供了一种新的思想——联系与统一的思想，对于培养学生的思维能力大有裨益。

教材通过类比引出弧度制，给出1弧度的定义，然后通过探究得到弧度制的绝对值公式，并得出弧度制与角度制的换算方法.并在此基础上，通过具体例子，巩固所学的概念和公式，进一步认识引入弧度制的必要性.

【教学重点】

弧度制的定义、弧度制与角度制的换算.，弧长公式及扇形面积公式

【教学难点】

弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系。

教

学

目 标 【目标】

（1）弧度制的定义

（2）弧度制与角度制的换算

（3）弧度制下扇形的相关公式

【目标解析】

目标（1）属于“了解”层次：了解弧度制，建立弧与圆心角的联系，明确在圆中，圆心角与弧之间的一一对应关系.

目标（2）属于“掌握”层次：能准确利用“180”进行弧度制与角度制之间的换算.

目标（3）属于：掌握“层次：掌握在弧度制下的扇形相关公式，并能运用公式解决问题.

教

学

策

略 教法选择 启发法，讲授法，演示法

课堂组织形式 分组合作探究，自主学习

教具及多媒体 实物展台，PPT，圆与角的展示教具 - 3 - 教 学 过 程 安 排（含内容、方法）

环节一：旧知复习，数学史引入，总体感知

问题1：在初中，我们是怎么定义1°的角呢？

【学生活动】独立思考，举手或集体回答得：1度角=1周角的3601

【教师活动】根据学生回答，引入弧度制的数学史背景：

角度制是60进制，源于古巴比伦，为何用60进制，至今还是一个谜，有一种说法是古巴比伦人根据当时天文学研究出来的“黄道12星座”以及“太阳走过天际的一半的路程等于180个太阳的直径”，从而定义圆周是360度。

问题2：角度的衡量单位只有一种吗？

【学生活动】边思考边根据教师的指引回答

【教师活动】角度的度量单位和长度、面积、重量的单位一样，也有很多种，法国人把直角100等分，每份叫做一百分度；苏联将周角的1/6000作为角度单位，英国美国也有将周角的1/6400作为角度单位，这两种单位合称为密位制；《周髀算经》将圆周分为41365份作为单位，进行弧长计算。为了方便，需要一种统一的单位，角度制和弧度制是目前运用最广泛的单位，我们今天即将要学的弧度制则是瑞士伟大的数学家和自然科学家欧拉发明的，将角度和弧长联系起来的一种单位制。

问题3：我们为什么要学习弧度制？

【学生活动】独立思考，在教师引导下即时回答

【教师活动】学习弧度制的原因

1.角度的度量单位多样，需要有统一且便于计算的单位制

2.能和弧长计算紧密联系的：人们探究过和半径相等的弦长所对的圆心角是60°，那么和半径相等的弧长所对的圆心角是多少？可否把这个作为角度定义，来将弧长计算简化呢？

3.认知冲突：桌子的长1米，宽1尺，要计算桌面面积，单位不同计算不便，缺少和谐美，大家习以为常的2130sin，虽然在大家的概念里先入为主，没有什么奇怪，但是等号左边的角度制是60进制，而等号右边则是10进制，其实无异于单位不同，深入计算也会产生一定的不便，需要一个十进制的角度度量单位

问题4：在角度制下，扇形的弧长公式是什么？

【学生活动】独立思考，在教师引导下得出答案：180rnl

【教师活动】引导学生得出公式

环节二：材料聚类辨析，小组探究（一放） 教学设计意图及反思

通过问题串，复习相关旧知识，并通过数学史的引入，让学生体会到学习弧度制的深层原因，并同时激发学生学习的兴趣

- 4 - 【教师活动】启发提问：可否利用这个学过的弧长公式，发现一些规律，从而利用弧长来定义角度，而产生新的角度单位呢？那么我们就先通过简单的计算来看看能不能发现什么规律？

【学生活动】分组讨论，探索研究

探究1：角度为30，60的圆心角，当半径1,2,3,4r时，分别计算对应的弧长l，计算后你们能发现什么规律？有没有什么比值或者量是不变的？

30， 1r时，3011801806nrl，6rl

2r时，3021801803nrl，6rl

3r时，3031801802nrl，6rl

4r时，30421801803nrl，6rl

60，1r时，6011801803nrl，3rl

2r时，60221801803nrl，3rl

3r时，603180180nrl，3rl

4r时，60441801803nrl，3rl

发现结论：圆心角不变则比值不变，这个比值与弧长和半径的大小无关，只和角度大小有关。（抽取两个小组分享他们的发现）

因此比值的大小只与角的大小有关，我们可以利用这个比值来度量角，这就是度量角的另外一种单位制——弧度制（客观性，有理可循）。

环节三：归纳概括（新概念和新公式），初步巩固及总结（一收）

【教师活动】弧度制的定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号1 rad表示，读作1弧度。这种以弧度为单位来度量角的制度叫做弧度制。

如图， 角在形成过程中，射线上的任意一点在旋转过程中，走过的弧长以及圆弧所在圆的半径虽然不同，但是走过的角度是相同的（几何画板展示）

【学生活动】即时回答：弧长分别为r,2r,半圆，一个圆所对的圆心角的弧度数，可以发现圆心角弧度数等于弧长和半径的比值，得出结论rl

【教师活动】几何画板展示问题，并顺便说明正角的弧度数为正，负角弧度数为负，零角的弧度数为0.

【教师活动】提问：弧度制与角度制相比，不同之处在哪里？

（教师引导学生进行小结）

【学生活动】在教师的引导下，整理得： 教师提供的素材，通过小组探究讨论，让学生有充足的时间空间自主完成知识建构

让学生体会数学中下定义本质上是抓住事物的本质，而事物的本质则是变化过程中的不变性.

通过具体图象，以形助数，直观定义新概念。

- 5 - 1.定义方式不同：弧度制是以“弧度”为单位的度量角的单位制，角度制是以“度”为单位来度量角的单位制；1弧度1；

2. 进位制不同：弧度制是十进制，而角度制是六十进制.

环节四：新知探究（弧度制与角度制的换算），完善概念（二放二收）

【教师活动】提问：弧度制与角度制都是角的度量单位，那么它们之间是如何换算的？

利用刚才我们得出圆周角360°的弧度数是2，我们先根据简单的倍数关系完成例题1的表格。

【学生活动】思考，集体完成例题1的表格

例1：填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：

【教师活动】刚才填写的都是特殊角的弧度数，因为都和360°有比较方便约分的关系可以直接得到，并且弧度单位rad一般情况下可以省略不写。那么我们拓展到一般情况，请大家思考1()rad多少角度？1多少弧度？小组讨论一下，看是否能够得到正确的结论。

【学生活动】小组讨论，得到）（1801rad，rad1801

【教师活动】不难发现，只要抓住180rad这个关键，就可以进行角度和弧度之间的转换，并板书演示换算过程的格式。

环节五：例题分析，概念应用（三放）

【学习内容】巩固新知，典例解析：

例1:把下列角度化成弧度，把弧度化成角度：

（1）12 （2）2 （3）-5.3

（4）01440 （5）0'6730 （6）0252

答案：（1）15° （2）360 （3）630

（4）8 （5）83 （6）57

【学生活动】根据换算公式完成例题2

【教师活动】展示学生的练习，校对，检查学生的掌握情况,即时利用学生的错误巩固新知。 度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360

弧度 0 6 4 3 2 32 43 65  32 2 两种单位的区别比较，加深对弧度制的认识，呼应环节一的问题.

从特殊到一般，让学生直接体验归纳的过程

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通过弧度制和角度值换算的探究，训练学生的思维能力，培养学生转化和化归的数学思想，并通过小组探究，让学生充分思考，进一步完善概念。