利用导数研究函数的零点

高中数学学科

利用导数研究函数零点问题

考点一研究函数零点个数

[典例](2018·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝1

3x3－a(x2＋x＋1)．

(1)若a＝3，求f(x)的单调区间；

(2)证明：f(x)只有一个零点．

[解](1)当a＝3时，f(x)＝1

3x3－3x2－3x－3，

f′(x)＝x2－6x－3.

令f′(x)＝0，解得x＝3－23或x＝3＋23.

当x∈(－∞，3－23)∪(3＋23，＋∞)时，f′(x)>0；

当x∈(3－23，3＋23)时，f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间为(－∞，3－23)，(3＋23，＋∞)，单调递减区间为(3－23，

3＋23)．

(2)证明：因为x2＋x＋1>0，

所以f(x)＝0等价于x3

x2＋x＋1－3a＝0.

设g(x)＝x3

x2＋x＋1－3a，

则g′(x)＝x2x2＋2x＋3

x2＋x＋12≥0，

仅当x＝0时，g′(x)＝0，

所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．

故g(x)至多有一个零点，从而f(x)至多有一个零点．

又f(3a－1)＝－6a2＋2a－1

3＝－

6a－162－1

6<0，f(3a＋1)＝1

3>0，

故f(x)有一个零点．

综上，f(x)只有一个零点．

[对点训练]

设函数f(x)＝lnx＋m

x，m∈R.

(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；高中数学学科

(2)讨论函数g(x)＝f′(x)－x

3零点的个数．

解：(1)由题意知，当m＝e时，f(x)＝lnx＋e

x(x>0)，

则f′(x)＝x－e

x2，

∴当x∈(0，e)时，f′(x)<0，f(x)在(0，e)上单调递减；

当x∈(e，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(e，＋∞)上单调递增，

∴当x＝e时，f(x)取得极小值f(e)＝lne＋e

e＝2，

∴f(x)的极小值为2.

(2)由题意知g(x)＝f′(x)－x

3＝1

x－m

x2－x

3(x>0)，

令g(x)＝0，得m＝－1

3x3＋x(x>0)．

导数与函数的零点、图象的交点问题

1.已知函数4322411 043fxxaxaxaa

（Ⅰ）求函数yfx的单调区间；

（Ⅱ）若函数yfx的图象与直线1y恰有两个交点，求a的取值范围．

2.已知函数4321942fxxxxcx有三个极值点．

（Ⅰ）证明：275c；

（Ⅱ）若存在实数c，使函数fx在区间2aa,上单调递减，求a的取值范围．

3.已知3x是函数2()ln(1)10fxaxxx的一个极值点．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；

（Ⅲ）若直线yb与函数()yfx的图像有3个交点，求b的取值范围．

4.设函数3222()1,()21,fxxaxaxgxaxx其中实数0a．

（Ⅰ）若0a，求函数()fx的单调区间；

（Ⅱ）当函数()yfx与()ygx的图象只有一个公共点且()gx存在最小值时，记()gx的最小值为()ha，求()ha的值域；

（Ⅲ）若()fx与()gx在区间(,2)aa内均为增函数，求a的取值范围．

5.已知函数3()fxxx．

（Ⅰ）求曲线()yfx在点(())Mtft，处的切线方程；

（Ⅱ）设0a，如果过点()ab，可作曲线()yfx的三条切线，证明：()abfa．

6.已知函数331,5fxxaxgxfxax，其中'fx是的导函数.

（Ⅰ）对满足11a的一切a的值，都有0gx，求实数x的取值范围；

（Ⅱ）设2am，当实数m在什么范围内变化时，函数yfx的图象与直线3y只有一个公共点

7.已知()fx是二次函数，不等式()0fx的解集是(0,5),且()fx在区间1,4上的最大值是12。

（I）求()fx的解析式；

（II）是否存在自然数,m使得方程37()0fxx在区间(,1)mm内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由.

导数及其应用

专题五：利用导数研究函数零点问题

一、知识储备

1、利用导数确定函数零点的常用方法

(1)图象法：根据题目要求画出函数的图象，标明函数极(最)值的位置，借助数形结合的思想分析问题（画草图时注意有时候需使用极限）．

(2)利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．

2、利用函数的零点求参数范围的方法

(1)分离参数(()agx)后，将原问题转化为()ygx的值域(最值)问题或转化为直线ya与()ygx的图象的交点个数问题(优选分离、次选分类)求解；

(2)利用函数零点存在定理构建不等式求解；

(3)转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解．

二、例题讲解

1．（2022·重庆市秀山高级中学校高三月考）已知函数()eexxfxx.

（1）求函数()fx的单调区间和极值；

（2）讨论函数()()()gxfxaaR的零点的个数.

【答案】（1）单调递减区间是(,2)，单调递增区间是(2,)，极小值为21e，无极大值；（2）详见解析.

【分析】

（1）利用导数求得fx的单调区间，进而求得极值.

（2）由（1）画出fx大致图象，由此对a进行分类讨论，求得gx的零点个数.

【详解】

（1）函数()fx的定义域为R，且()(2)exfxx，

令()0fx得2x，则()fx，()fx的变化情况如下表示：

x (,2) 2 (2,)

()fx  0 

()fx 单调递减 21e 单调递增

∴()fx得单调递减区间是(,2)，单调递增区间是(2,).

当2x，()fx有极小值为21(2)ef，无极大值.

（2）令()0fx有1x：当1x时，()0fx；当1x时，()0fx，且()fx经过212,eA，(1,0)B，(0,1)C.

利用导数研究函数零点

1基本概念

导数：导数是表征函数变化程度的量，它表示的是其中一个点处的函数的变化率，也就是函数有关特定点x的可微分量。函数的导数是一种可以表征函数中其中一点处的变化程度的量，它用关于特定点x的可微分量表示。

函数零点：函数零点是指函数的其中一点x处的值y=f(x)为0，即该点的图形落在x轴上。

(1)已知函数与其导数

若已知函数的表达式及其导数，可采用二分法或迭代法求解其极值点和零点。

(2)只知道函数的图像

当我们只知道函数的图像时，无法直接求出函数的零点，可以用平行移动法求解。即，把一条平行于函数图像的直线，按一定的间隔移动，当该直线与函数图像相交时，再移动该直线，直到直线的间隔非常小或者变成零时，就可以求出函数的零点。

(3)利用导数求零点

函数f(x)连续可导，当其导数f'(x)=0时，就一定有f(x)=0，即函数f(x)的其中一处的值转变为0，可把f'(x)=0作为限制性条件来求出f(x)=0的解，而此时的解就是函数的零点。

(4)利用导数求函数极值 函数f(x)当其导数f'(x)=0时，不一定有f(x)=0，即函数f(x)的其中一处的值转变为0，而此时的解，可能在该点处极大或极小。