考研数学(数学二)模拟试卷439(题后含答案及解析)

考研数学（数学二）模拟试卷439 (题后含答案及解析)

题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题

选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1． 设f(x)连续，且，则( )．

A．x=0为极大值点

B．x=0为极小值点

C．(0，f(0))为拐点

D．x=0不是极值点，(0，f(0))也不是拐点

正确答案：B

解析：由∫0xtf(x－t)dtx∫0xf(u)du－∫0xuf(u)du得因为f(x)连续，所以f(0)=0，再由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，f(x)＞0=f(0)，即x=0为f(x)的极小值点，应选(B)．

2． xex+1=的根的个数为( )．

A．没有根

B．恰有一个根

C．恰有两个根

D．有三个根

正确答案：B

解析：令f(x)=xex+1－，由f’(x)=(x+1)ex+1=0得x=－1，f”(x)=(x+2)ex+1，由f”(－1)=1＞0得x=－1为最小值点，最小值为m=f(－1)=＜0，方程xex+1=有且仅有一个根．选(B)．

3． 设函数f(x)是连续且单调增加的奇函数，φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du，则φ(x)是( )．

A．单调增加的奇函数

B．单调减少的奇函数

C．单调增加的偶函数

D．单调减少的偶函数

正确答案：B

解析：φ(x)=∫0x(2u－x)f(x－u)du=2∫0xuf(x－u)du－x∫0xf(x－u)du=－2∫0xuf(x－u)d(x－u)+x∫0xf(x－u)d(x－u)－2∫x0(x－t)f(t)dt+x∫x0f(t)dt=2∫0x(x－t)f(t)dt－x∫0xf(t)dt=2x∫0xf(t)dt－2∫0xxf(t)dt－x∫0xf(t)dt=x∫0xf(t)dt－2∫0xtf(t)dt，因为φ(－x)=－x∫0－xf(t)dt－2∫0－xtf(t)dtx∫0xf(－u)du－2∫0x(－u)f(－u)d(－u)=－x∫0xf(u)du+2∫0xuf(u)du=－φ(x)，所以φ(x)为奇函数；又φ’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)，当x＞0时，φ’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x[f(ξ)－f(x)]≤0(0≤ξ≤x)，当x≤0时，φ’(x)=∫0xf(t)dt－xf(x)=x[f(ξ)－f(x)]≤0(x≤ξ≤

0)，所以φ(x)为单调减少的奇函数，选(B)．

4． 设函数f(x)具有一阶导数，下述结论中正确的是( )．

A．若f(x)只有一个零点，则f’(x)必至少有两个零点

B．若f’(x)至少有一个零点，则f(x)必至少有两个零点

C．若f(x)没有零点，则f’(x)至少有一个零点

D．若f’(x)没有零点，则f(x)至多有一个零点

正确答案：D

解析：若f(x)至少有两个零点，根据罗尔定理，f’(x)至少有一个零点，故若f’(x)没有零点，则f(x)至多一个零点，选(D)．

5． y=的渐近线条数为( )

A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

正确答案：B

解析：因为=∞，所以曲线没有水平渐近线；因为=+∞，所以x=0为铅直渐近线；因为，所以x=2不是铅直渐近线；因为=1，所以y=x+7为曲线的斜渐近线，故曲线有两条渐近线，应选(B)．

6． 设函数y=f(x)的增量函数△y=f(x+△x)－f(x)=+o(△x)，且f(0)=π，则f(－1)为( )．

A．

B．πeπ

C．

D．πe－π

正确答案：C

解析：由△y=+o(△x)得y=f(x)为可导函数，且则y=f(x)==Cearctanx，因为f(0)=π，所以C=π，于是f(x)=πearctanx，故f(－1)=，选(C)．

7． 设A为m×n矩阵，且r(A)=m＜n，则下列结论正确的是( )．

A．A的任意m阶子式都不等于零

B．A的任意m个列向量线性无关

C．方程组AX=b一定有无数个解

D．矩阵A经过初等行变换化为(EmO)

正确答案：C

解析：因为A与都是m行，所以r(A)==m＜n，所以方程组AX=b一定有无数个解，选(C)．

8． 设A，B为三阶矩阵且A不可逆，又AB+2B=O且r(B)=2，则｜A+4E｜=( )．

A．8

B．16

C．2

D．0

正确答案：B

解析：令B=(α1，α2，α3)，由AB+2B=O得Aαi=－2αi(i=1，2，3)，由r(B)=2得λ=－2至少为A的二重特征值，又由r(A)＜3得λ3=0，故λ1=λ2=－2，λ3=0，A+4E的特征值为λ1=λ2=2，λ3=4，故｜A+4E｜=16．选(B)．

填空题

9． 设f(x)在(－∞，+∞)内可导，且=e2，则a=________．

正确答案：1

解析：由微分中值定理得f(x)－f(x一1)=f’(ξ)，其中x－1＜ξ＜x，

10． 设f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为=________．

正确答案：

解析：

11． xy”－y’=x2的通解为________．

正确答案：

解析：由xy”－y’=x2，得由y’=x2+C1x，得原方程的通解为

12． 设=0，且F(u，v)连续可偏导，则=________．

正确答案：z

解析：

13． =________．

正确答案：

解析：

14． 设A为三阶矩阵，A的三个特征值为λ1=－2，λ2=1，λ3=2，A*是A的伴随矩阵，则A11+A22+A33=________．

正确答案：-4

解析：因为A的特征值为λ1=－2，λ2=1，λ3=2，所以A*的特征值为μ

1=2，μ2=－4，μ3=－2，于是A11+A22+A33=tr(A*)=μ1+μ2+μ3=2－4－2=－4．

解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15． 求极限

正确答案：由(1+x)a=1+ax+ +o(x2)得

16． 设函数f(x)和g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)内可导，且f(a)=g(b)=0，g’(x)＜0，试证明存在ξ∈(a，b)使

正确答案：令φ(x)=f(x)∫xbg(t)dt+g(x)∫axf(t)dt，显然函数φ(x)在区间[a，b)]上连续，函数φ(x)在区间(a，b)内可导，且 φ’(x)=[f’(x)∫xbg(t)dt－f(x)g(x)]+[g(x)f(x)+g’(x)∫axf(t)dt] =f’(x)∫xbg(t)dt+g’(x)∫axf(t)dt，另外又有φ(a)=φ(b)=0． 所以根据罗尔定理可知存在ξ∈(a，b)使φ’(ξ)=0，即

f’(ξ)∫ξbg(t)dt+g’(ξ)∫aξf(t)dt=0，由于g(b)=0及g’(x)＜0，所以区间(a，b)内必有g(x)＞0，从而就有∫ξbg(t)dt＞0，于是有

17． 设(Ⅰ)用变换x=t2将原方程化为y关于t的微分方程；(Ⅱ)求原方程的通解．

正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ)特征方程为λ2－λ－6=0，特征值为λ1=－2，λ2=3，

18． 设直线y=ax+b为曲线y=ln(x+2)的切线，若y=ax+b，x=0，x=4及曲线y=ln(x+2)围成的图形面积最小，求a，b的值．

正确答案：设直线y=ax+b为曲线y=ln(x+2)在点(x0，ln(x0+2))处的切线，当x0∈(－2，2)时，S’(x0)＜0，当x0＞2时，S’(x0)＞0，则x0=2为S(x0)的最小点，从而当时，y=ax+b，x=0，x=4及曲线y=ln(x+2)围成的图形面积最小．

19． 求二重积分｜x2+y2－x｜dxdy，其中D={(x，y)｜0≤y≤1－x，0≤x≤1}．

正确答案：在区域D内作圆x2+y2－x，将区域D分为D1，D2，则第一卦限的角平分线将D1分为D11及D12，

20． 设z=z(x，y)由3x2－2xy+y2－yz－z2+22=0确定的二元函数，求其极值．

正确答案：3x2－2xy+y2－yz－z2+22=0对x，y求偏导得当(x，y)=(－1，－3)时，将x=－1，y=－3，z=－4，代入得因为AC－B2=＞0且A＜0，所以(－1，－3)为z=z(x，y)的极大点，极大值为z=－4；当(x，y)=(1，3)时，将x=1，y=3，z=4，代入得因为AC～B2=＞0且A＞0，所以(1，3)为z=z(x，y)的极小点，极

小值为z=4．

21． 设f(x)在[1，+∞)上连续且可导，若曲线y=f(x)，直线x=1，x=t(t＞1)与x轴围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体的体积为且f(2)=，求函数y=f(x)的表达式．

正确答案：由旋转体的体积公式得V(t)=π∫1tf2(u)du，由已知条件得π∫1tf2(u)du=[t2f(t)－f(1)]，即3∫1tf2(u)du=t2f(t)－f(1)．等式两边对t求导得3f2(t)=2tf(t)+t2f’(t)，于是有x2y’=3y2－2xy，变形得

22． 设已知AX=B有解．(Ⅰ)求常数a，b；(Ⅱ)求X．

正确答案：(Ⅰ)因为AX=B有解，所以r(AB)=r(A)，(Ⅱ)令X=(X1，X2)，B=(b1，b2)，

23． 设二次型f(x1，x2，x3)=5x12+ax22+3x32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的矩阵合同于(Ⅰ)求常数a的值；(Ⅱ)用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)为标准形．

正确答案：(Ⅰ)(Ⅱ)由｜λE－A｜==λ(λ－4)(λ－9)=0得λ1=0，λ2=4，λ3=9．则f(x1，x2，x3)=XTAXYT(QTAQ)Y=4y22+9y32．