《一元二次方程根与系数的关系》教学设计
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课 题 课 题22.2.4一元二次方程根与系数的关系
教材分析 本节课在教材中是初中数学八年级第一学期一元二次方程中的重要内容之一，它是在研究一元二次方程的求根公式之后对于一元二次方程根与系数关系的进一步的拓展与研究。
学情分析 本节课从探究一元二次方程根与系数问题出发，让学生经历研究到加以验证的过程，再通过一些例题和作业的练习对这个关系式加以增强与巩固。让他们能够通过独立思考与合作探究的过程养成分析问题解决问题的能力并且同时培养学生的团队合作精神。
教学目标 知识与技能：巩固一元二次方程的解法、根的判别式等知识，掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用，会运用根与系的关系解决相关数学问题和实际问题。
过程与方法：：培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力。
情感、态度与价值观：渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神和全面辩证地认识事物的能力。
教学重点 根与系数的关系的推导、运用。
教学难点 正确归纳、理解、运用根与系数的关系，培养学生探索和发现意识。
教学方法 自主学习、合作探究与教师引导相结合
学习方法 通过观察、比较、思考、探索、交流、应用等活动，灵活地运用旧知识去研究新问题
教学准备 课件
课时安排 一课时
教学过程
一、回顾旧知：
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程根的情况怎样确定？
4.求一个一元二次方程，使它的两个根分别为
①2和3;②-4和7;③3和-8;④-5和-2
①(x-2)(x-3)=0 x2-5x+6=0
②(x+4)(x-7)=0 x2-3x-28=0
③(x-3)(x+8)=0 x2+5x-24=0
④(x+5)(x+2)=0 x2+7x+10=0
思考：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？
二、探究新知：
1、根与系数关系：
（1）关于x的方程220(40)xpxqpqq、为常数，p的两根1x，2x与系数p，q的关系是：
12xxp， 12xxq。
引导学生用文字语言来描述一下这两个关系式。并思考：如果一元二次方程二次项的系数不为1，根与系数之间又有怎样的关系呢？
填写下表：
方程 两个根 两根之和 两根之积
1x 2x 1x+2x 1x.2x
3x2-4x+1=0
2x2-x-1=0
2、猜想：形如20(0)axbxca的方程，如果240bac，两根1x，2x，与各项系数a、b、c之间有何关系。
然后教师归纳，可以先将方程转化为二次项系数为1的一元二次方程，再利用上面的结论来研究，即：对于方程20(0)axbxca
∵0a
∴20bcxxaa
∴12bxxa，12cxxa
对于这个结论我们又应该如何证明呢？引导学生利用求根公式给出证明。
3、证明：∵20(0)axbxca，当240bac时根为：
242bbacxa
设2142bbacxa，2242bbacxa，则
∴2212442222bbacbbacbbxxaaaa
2222122244(4)42244bbacbbacbbacaccxxaaaaa
由此得出一元二次方程根与系数的关系：如果一元二次方程20(0)axbxca，有两根1x，2x，则1x+2x=—b/a, 1x.2x=c/a.也称韦达定理。
学生思考、归纳并回答下列问题：
（1）你认为什么是根与系数的关系？根与系数的关系有什么作用？
（2）运用根与系数的关系要注意些什么？ （师点拨） 01322xx
三、应用举例
例1、不解方程，口答下列方程的两根和与两根积：
（1）2310xx （2）22350xx （3）21203xx
（4）2263xx （5）2x2=5
例2、已知方程2290xkx的一个根是－3，求另一根及k的值。
先让学生求解，再让学生代表介绍解法。教师展示：
从上面的两种解法中引导学生谈谈有什么启示？
例3、已知2220050xx、是方程的两个实数根，求23的值。
分析：因为、是原方程的两个实数根，故都满足原方程，将代入原方程可得2222005022005，所以，而223(2)()，利用根与系数的关系可知2，从而可求23的值。
四、巩固练习：
1、已知方程2290xkx的两根互为相反数，求k的值。
2、已知关于x的方程230xxm的一个根是另一个根的2倍，求m的值。 2221229032(3)(3)90332390332332xkxkkkxxxxk解法一：∵方程的一个根为∴ ∴，把代入原方程得： 解之得：＝，＝∴，方程的另一个根为1111,9332232xkxxxk解法二：设方程的另一个根为由根与系数的关系可知：＝，（）＝∴＝，＝3222222200502220050220053(2)()xx解：∵ 、是方程的两根。由根与系数的关系可知： +，∴ ∴ =2005+(-2) =2003
3、备选题：关于x的方程22(21)20xkxk两实数根的平方和等于11，求k的值。
五、归纳小结：
1、这节课我们学习了什么知识？有何作用？
2、运用本节课所学知识解决问题时要注意些什么？
根与系数关系使用的前提是：
（1）是一元二次方程，即0a。
（2）方程为一般形式。即形如：20axbxc。
（3）判别式大于等于零，即240bac。
3、这节课我们学到了解决数学哪些方法？运用了哪些数学思想？
作业设计 1、若方程241xx的两个根为1x，2x，则1x，2x的值是 。
2、已知ab，是方程220090xx的两个实数根，则22aab的值为 。
3、若方程22310xx＝的两根为1x，2x，则1211xx的值为 。
4、关于x的一元二次方程2210xmxm的两个实数根分别是12xx、，且22127xx，求212()xx的值。
板书设计 课题
1、对于20(0)axbxca的方程，若240bac，两根为1x，2x。
那么12bxxa，12cxxa
2、根与系数关系使用的前提是：
（1）是一元二次方程，即0a。
（2）方程为一般形式。即形如：20axbxc。
（3）判别式大于等于零，即240bac。
教学反思
