高考数学题型归纳：立体几何题型解题方法

高考专家指导：数学立体几何的题型及解题方法_答题技巧

立体几何

高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道, 解答题1道), 共计总分27分左右,考查的知识点在20个以内. 选择填空题考核立几中的计算型问题, 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然, 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实施,立体几何考题正朝着"多一点思考,少一点计算"的发展.从历年的考题变化看, 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证,角与距离的探求是常考常新的热门话题.

知识整合

1．有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决"平行与垂直"的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握立体几何中解决问题的规律--充分利用线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)相互转化的思想，以提高逻辑思维能力和空间想象能力．

2． 判定两个平面平行的方法：

（1）根据定义--证明两平面没有公共点；

（2）判定定理--证明一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面；

（3）证明两平面同垂直于一条直线。

3．两个平面平行的主要性质：

⑴由定义知：两平行平面没有公共点。

⑴由定义推得：两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。

⑴两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。

⑴一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。

⑴夹在两个平行平面间的平行线段相等。

⑴经过平面外一点只有一个平面和已知平面平行。

以上性质⑴、⑴、⑴、⑴在课文中虽未直接列为"性质定理"，但在解题过程中均可直接作为性质定理引用。

立体几何

重要定理：

1）直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这两条直线垂直于这个平面.

2）直线和平面平行性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.

3）平面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行.

4）两个平面垂直性质判定：如果一个平面与一条直线垂直，那么经过这条直线的平面垂直于这个平面.

两个平面垂直性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线也垂直于另一个平面.

5）推论：如果两个相交平面都垂直于第三平面，则它们交线垂直于第三平面.

证明：如图，找O作OA、OB分别垂直于21,ll，

因为OBPMOAPM,,,则OBPMOAPM,.

一：夹角问题

① 异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的取值范围依次.

② 直线的倾斜角、到的角、与的夹角的取值范围依次是．

异面直线所成角：范围：]90,0(

（1）平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线构成三角形；解三角形求出角。(常用到余弦定理abcba2cos222)

（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系；

(3)向量法。转化为向量的夹角ACABACABcos (计算结果可能是其补角)

直线与平面所成的角 ＝时，∥或0bob

斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角，它的三条边分别是平面的垂线段、斜线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段，垂足和斜足的连线，是产生线面角的关键；

向量法：设直线l的方向向量为lr，平面的法向量为nr，l与所成的角为，lr与nr的夹角为，则有sincoslnlnrrrr的求法

必修二立体几何部分基本题型的方法归纳

一． 空间几何体的基本概念与性质

题型一：概念辨析

练习1. 下列说法正确的是（ ）

A 有一个面是多边形，其余各面是三角形的多面体是棱锥

B 有两个面互相平行，其余各面均为梯形的多面体是棱台

C 有两个面互相平行，其余各面均为平行四边形的多面体是棱柱

D 棱柱的两个底面互相平行，侧面均为平行四边形

练习2.下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（ ）

A.圆柱 B.圆锥 C.球 D.圆台

练习3.如图，一个封闭的立方体，它的六个表面各标有A,B,C,D,E,F这六个字母之一，现放置成如图的三种不同的位置，则字母A,B,C对面的字母分别为（ ）

A) D ,E ,F B) F ,D ,E

C) E, F ,D D) E, D,F

练习4.水平桌面上放置着一个容积为V的密闭长方体玻璃容器ABCD﹣A1B1C1D1，其中装有的水，给出下列操作与结论：

①把容器一端慢慢提起，使容器的一条棱AD保持在桌面上，这个过程中，水的形状始终是柱体；

②在①中的运动过程中，水面始终是矩形；

③把容器提离桌面，随意转动，水面始终过长方体内一个定点；

④在③中水与容器的接触面积始终不变．以上说法正确的是（ ）

A． ①②③④ B． ①②③ C． ①②④ D． ①②

题型二：有关几何体的计算

练习1. （2011•番禺区）设M是正四面体ABCD的高线AH上一点，连接MB、MC，若∠BMC=90°，则的值为（ ）

A． B． C． D． 1

练习2．（2006•浙江）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（ ）

A． 2 B． C． D．

练习3.圆台的上下底半径为2,4，母线长为6，求圆台的高

1 2014-2020学年高考空间几何题型汇总

一．选择题（共13小题）

1．已知△ABC是面积为的等边三角形，且其顶点都在球O的球面上．若球O的表面积为16π，则O到平面ABC的距离为（ ）

A． B． C．1 D．

2．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（ ）

A．α内有无数条直线与β平行

B．α内有两条相交直线与β平行

C．α，β平行于同一条直线

D．α，β垂直于同一平面

3．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

4．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为（ ）

A． B． C． D．

5．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为（ ）

A．90π B．63π C．42π D．36π

6．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的

2 余弦值为（ ）

A． B． C． D．

7．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）

A．20π B．24π C．28π D．32π

8．一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（ ）

A． B． C． D．

9．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）

A．36π B．64π C．144π D．256π

10．如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）