《线性代数》课后习题答案

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第一章行列式

习题1.1

1. 证明：（1）首先证明)3(Q是数域。

因为)3(QQ，所以)3(Q中至少含有两个复数。

任给两个复数)3(3,32211Qbaba，我们有

3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211baabbbaabababbaabababbaababa。

因为Q是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以

)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221121212211QbaabbbaababaQbbaababaQbbaababa。

如果0322ba，则必有22,ba不同时为零，从而0322ba。

又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以

)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Qbabaabbabbaababababababa。

综上所述，我们有)3(Q是数域。

（2）类似可证明)(pQ是数域，这儿p是一个素数。

（3）下面证明：若qp,为互异素数，则)()(qQpQ。

（反证法）如果)()(qQpQ，则qbapQba,，从而有

qabqbapp2)()(222。

由于上式左端是有理数，而q是无理数，所以必有02qab。

所以有0a或0b。

如果0a，则2qbp，这与qp,是互异素数矛盾。如果0b，则有ap，从而有“有理数=无理数”成立，此为矛盾。

所以假设不成立，从而有)()(qQpQ。

同样可得)()(pQqQ。

（4）因为有无数个互异的素数，所以由（3）可知在Q和之间存在无穷多个不同的数域。

2. 解：（1）)1(P是数域，证明略（与上面类似）。

（2）)1(Q就是所有的实部和虚部都为有理数的复数所组成的集合。

而)1()1(C复数域。

（3）)1(Z不是数域，这是因为他关于除法不封闭。例如)1(21Z。

3. 证明：（1）因为KF,都是数域，所以KQFQ,，从而KFQ。故KF含有两个以上的复数。

任给三个数KFcKFba0,,，则有Fcba,,且Kcba,,。因为KF,是数域，所以有Fcaabba,,且Kcaabba,,。所以KFcaabba,,。

所以KF是数域。

（2）KF一般不是数域。例如)3(),2(QKQF，我们有KF3,2，但是KF326。

习题1.2

2. 解：项651456423123aaaaaa的符号为)312645()234516()1(

习题1.3

1．证明：根据行列式的定义111111111=121212()12(1)nnnjjjjjnjjjjaaa1ija 1212()(1)nnjjjjjj=0。

所以上式中(-1)的个数和(+1)的个数一样多，(-1)是由奇排列产生的，而(+1)是由偶排列产生的。同时根据行列式的定义这里包括了所有的n阶排列，故可以得到全体n阶排列中奇排列的个数与偶排列的个数一样多，各占一半。

2．解(1) 19981999200020012002200320042005200632CC19981999120012002120042005121CC199811200111200411=0；

（2）10010220033040043241CCCC1000020003604008下三角形1268=96；

（3）11101101101101112131RRRR111000110101011124R111001110101001132RR1110011100120011

43RR1110011100120003上三角形1113=3；

（4）222222abcaabbcabcccab123RRR2222abcabcabcbbcabcccab

提取公因子111()2222abcbbcabcccab

2131(2)(2)RbRRcR111()0000abcbcacab=3()abc。

（5）7222227222227222227222227512iiCC15222215722215272215227215222712,3,4,5iRRi15222205000005000005000005 上三角形515555535。

3．解：（1）111213212223313233xyxyxyxyxyxyxyxyxy提取每行的公因子123123123123yyyxxxyyyyyy性质40。

（2）左端14,3,2iiCCi2222212325212325212325212325aaaabbbbccccdddd4332CCCC

22222122212221222122aabbccdd=0=右端。

（3）1211121122112111111nnnnnaaaabaaaabaaaab12,iRRin1211211000000000nnaaabbb

上三角形121nbbb。

（4）原式（先依次12211,,,CCCCCCnnnn）=。。。=2,2,nifnif。

（5）原式（先依次12211,,,RRRRRRnnnn）=。。。=2,2,nifnif。

4．解：设展开后的正项个数为x。则由行列式的定义有!2)!(nxxnxD。又因为

D（利用niRRi,,3,2,1）221021001（下三角行列式）12n。所以有2!2,!2211nxnxnn。 5．证明：（1）左端123CCC提取公因子1111111222222233333332abccaababccaababccaab2131CCCC

1111122222333332abcbcabcbcabcbc1233C;(1)CCCC2(-1)1112223332abcabcabc=右端。

（2）利用性质5展开。

6．解：（3）与上面3（3）类似可得。

7．解：利用行列式的初等变换及性质5。

8．解：11221100000000011111nnaaaaaa11,2,,1iiCCin

1210000000000001231naaann下三角形121(1)nnnaaa。

9．证明：设原行列式=D。则对D进行依次如下变换后521432314,10,100,10,10iiCCCCCC所得的行列式D′第一列由题设中所给的5个数字构成。从而由行列式的定义可知D′可被23整除。又由行列式的性质知D′D1010。因为23是素数，且1010不可能被23整除，所以D可以被23整除。

习题1.4

1．解：(1) 0000000000xabcydezfghkulv5按第行展开000000xabyvezghku按第4列展开000xabvuyez

按第1列展开0yxuvez=xyzuv； (2) 111123413412412314,3,2iiRRi111112301131131112,3,4iRRi1111012100400400

按第1列展开1210404001.27(4)习题第题3(31)2(1)(1)(4)(4)=16；

(3)方法一010000010000010abcdeedcba按第1列展开100001000010adcba

+511000(1)01000010bcdee第2个行列式按第4列展开

241100(1)010001aee=22ae；

方法二逐次均按第2行展开可得同样结果, 具体解法可参见下例。

(4)逐次按第2行展开 123100010000000000001000nnaaaaa=132010010naaaa=

123111nnaaaaa=2311(1)nnaaaaa；

(5) 123111221232222123222331233110001000111000xxxabcabxxxcxxxabxxxc36C123111222231222123222333231111000000111000xxxabcabcxxxxxxabcxxx35R 123222123222231111222333231111000000000111xxxxxxabcxxxabcabcxxx45R123222123111222231222333231111000000000111xxxxxxabcabcxxxabcxxx

=2123(,,)Dxxx=222313221()()()xxxxxx；

(6) 231111122144188xxx=(1,2,2,)Dx=(2)(2)(1)(22)(21)(21)xxx

212(1)(4)xx；

（7）换行后可得到范德蒙行列式；

（8）先把第一行加到第三行，再提取第三行的公因式，换行后可得到范德蒙行列式。

2．解：(1)

0000000000000000xyxyxxyyx按第1列展开

110000(1)000xyxyxx+100000(1)00000nyxyyxxy

=1(1)nnnxy；

(2) 123123123123111nnnnaaaaaaaaaaaaaaaa12,3,,iRRin1231110010101001naaaa12niiCC

=1+1niia；（此处有笔误）

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线性代数习题及参考答案1

单项选择题

1．设A、B为同阶方阵，则必有___。 D、|AB|=|BA|

2．设n阶方阵A、B、C满足ABC=E，则必有___。 C、BCA=E

3．设A为三阶方阵，且|A|=2，则|-2A|=___。 A、-16

4. 若A为方阵，则A+AT为___。 A、对称矩阵

5. 设方阵A经若干次初等变换变成方阵B，则必成立___。

D、若det(A)=0，则det(B)=0

6. 答案：C

答案：C

判断题

答案：错误

2. 若A2=0，则A=0。答案：错误

3. 若A2=A，则A=0，或A=E。答案：错误

4. 若AB=AC，则B=C。答案：错误

5. 向量组α1=(1,2,3),α2=(1,0,2)与向量组β1=(3,4,8),β2=(2,2,5), β3=(0,2,1)等价。

答案：正确

6. R3的子集合S={(x,y,z)|(x,y,z)∈R3,x+y+z=1}构成向量空间。答案：错误

7. 若向量β可由α1,…,αm线性表出，则α1,…,αm, β线性相关。答案：正确

8. 若存在不全为零的数k1,k2,…,km，使k1α1+ k2α2+…+ kmαm≠0，则α1,…,αm线性无关。答案：错误

9. 若α1,α2,α3线性相关，则α1必可由α2,α3线性表出。答案：错误

10. 若α1,…,αm线性无关，且有k1α1+ k2α2+…+ kmαm=0，则必有k1=…=km=0。

答案：正确

《线性代数》同济大学第四版课后答案

《线性代数》同济⼤学第四版课后答案

线性代数同济⼤学第四版课后答案习题⼀

习题⼀1-5 SslO(3)

1 1 1 a

b c a2 b2 c2

^c^+cc^+ab^-ac^-bc^-cb2 -(a-b)(b-c)(c-a).

(4)

X v X+ V

解v x+ V X

■

:v+v * V

⼆MvH") i+i:论+i ')+(.r+v) VX-1'34-C T+I)3-.T32

解逆序数为4: 4h 43, 42. 32，3

解逆序数为5: 3 2.3 L 42. 4 1,2 L4

L利⽤对⾓线法则计算下列三阶⾏列式:

2 0 1

-18 3

(1) 1

(1)

■

⽅

沪=3.n (.Y+>)-i^3- 3.T2

=-2(.?+V^

⼯按⾃然数从⼩到⼤为标准次序.求下列各排列的逆序数：(1)1 23 4

(2)4 13 2

(3)34 2 1

(4)24 1 3

(5)1 3 …(2沪1) 2 4 …O);

(6)1 3 ?… (⼒—1) (2?z) (2n-2)…* ⼯

（1）

解逆序数为0

解逆序数为3: 2 1.4 1.4 3-(5)

解逆序数为观驴：32(1 个)

5 2,5 4(2 个)

7 2, 7 4. 7 6(3 个)

(”1)2, 011)4, (”1)6,…为(”1)(”2) (n-1 个)

(6)

解逆序数为乃(『Li):32(1 个)

5 2,5 4(2 ^t) (2n-1)2, (2n-l)4, (”1)6,…、(2/L1)(2/L2)(n-l

个)42(1 个)

6 2,6 4(2 个)

(5)2, (2M)4, (2n)6,…,(2n)(2n-2) (n-1个)

3.写出四阶⾏列式中含有因⼦GU723的项.

解含因⼦①畑的项的⼀般形式为(-])%的冰X町

其中帀是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因⼦a^a23的项分别是(-1 )衍1似23他刃44⼆(⼀1 )^11^32^44=-^!凶曲的轴(⼀1 )%1攸曲琢也⼫(T )%1⼝滋34偽⼫&1也刃曲42?

线性代数课后习题答案全)习题详解

1 线性代数课后习题答案全)习题详解

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）381141102；（2）bacacbcba; （3）222111cbacba；（4）yxyxxyxyyxyx.

解（1）381141102811)1()1(03)4(2)1()4(18)1(2310

=416824=4

（2）bacacbcbacccaaabbbcbabacacb3333cbaabc

（3）222111cbacba222222cbbaacabcabc))()((accbba

（4）yxyxxyxyyxyxyxyxyxyxyyxx)()()(333)(xyxy

33322333)(3xyxxyyxyyxxy

)(233yx

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2 2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；

（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；

（5）1 3 … )12(n 2 4 … )2(n；

（6）1 3 … )12(n )2(n )22(n … 2.

解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1

（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

（5）逆序数为2)1(nn：

3 2 1个

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1 1 线性代数课后题详解

第一章行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：相信自己加油

（1）381141102；（2）bacacbcba

（3）222111cbacba；（4）yxyxxyxyyxyx.

解注意看过程解答（1）381141102811)1()1(03)4(2

)1()4(18)1(2310

=416824

=4

（2）bacacbcbacccaaabbbcbabacacb

3333cbaabc

（3）

222111cbacba222222cbbaacabcabc

))()((accbba

（4）yxyxxyxyyxyx

yxyxyxyxyyxx)()()(333)(xyxy

33322333)(3xyxxyyxyyxxy

)(233yx

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：耐心成就大业

（1）1 2 3 4；（2）4 1 3 2；

（3）3 4 2 1；（4）2 4 1 3；

（5）1 3 … )12(n 2 4 … )2(n；

（6）1 3 … )12(n )2(n )22(n … 2.

解（1）逆序数为0 2 2 （2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1

（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3

（5）逆序数为2)1(nn：

3 2 1个

5 2，5 4 2个

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