通用版2020版高考数学大一轮复习课时作业20函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用理科98

第四节函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念2.用五点法画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：用“五点法”作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，精髄是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，3π2，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为T 4.3．由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象的两种方法两种变换的联系与区别联系：两种变换方法都是针对x 而言的，即x 本身加减多少，而不是ωx 加减多少． 区别：先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换)，平移的量是|φ|个单位，而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移)，平移的量是⎪⎪⎪⎪φω个单位．[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．( )(2)把函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、选填题1．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2，1π，π4B ．2，12π，π4 C ．2，1π，π8D ．2，12π，－π8解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的振幅为2，频率为1π，初相为π4. 2．为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度解析：选A 函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6，可由函数y ＝2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到． 3．用五点法作函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π6在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______.答案：⎝⎛⎭⎫π6，0 ⎝⎛⎭⎫2π3，1 ⎝⎛⎭⎫7π6，0 ⎝⎛⎭⎫5π3，－1 ⎝⎛⎭⎫13π6，04.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)在闭区间[－π，0]上的图象如图所示，则ω＝________.答案：35．将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数解析式为________．解析：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的最小正周期为π，将函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度，所得函数为y ＝2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 答案：y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3考点一 函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的图象及变换[师生共研过关][典例精析]某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f (x )的解析式；(2)将函数y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ＞0)个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象．若函数y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12，0，求θ的最小值；(3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象．[解] (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，ω＝2，φ＝－π6，数据补全如下表：且函数f (x )的解析式为f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由(1)知f (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， 则g (x )＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2θ－π6. 因为函数y ＝sin x 图象的对称中心为(k π，0)，k ∈Z ， 令2x ＋2θ－π6＝k π，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12－θ，k ∈Z.由于函数y ＝g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12，0成中心对称， 所以令k π2＋π12－θ＝5π12，k ∈Z ， 解得θ＝k π2－π3，k ∈Z. 由θ＞0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.(3)由数据作出函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12，13π12上的图象如图所示，[解题技法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象变换的的注意点常规法主要有两种：先平移后伸缩；先伸缩后平移．值得注意的是，对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换自变量x ，如果x 的系数不是1，那么需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向．[过关训练]1．(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2解析：选D 易知C 1：y ＝cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2，把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2的图象，再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＋π2＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3的图象，即曲线C 2.故选D. 2．若ω＞0，函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y ＝sin ωx 的图象重合，则ω的最小值为________．解析：将函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx －ωπ3＋π3的图象．因为所得函数图象与函数y ＝sin ωx 的图象重合，所以－ωπ3＋π3＝3π2＋2k π(k ∈Z)，解得ω＝－72－6k (k ∈Z)，因为ω＞0，所以当k ＝－1时，ω取得最小值52.答案：52考点二 由图象求函数y ＝A sin (ωx ＋φ)的解析式[师生共研过关][典例精析][例1] 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)，其部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4 B ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4 C ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫14x ＋3π4 D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 [解析] 由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点⎝⎛⎭⎫－π2，2，最低点⎝⎛⎭⎫3π2，－2， 所以函数的最大值为2，即A ＝2.由图象可得直线x ＝－π2，x ＝3π2为相邻的两条对称轴，所以函数的最小正周期T ＝2×⎣⎡⎦⎤3π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝4π， 故2πω＝4π，解得ω＝12. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋φ. 把点⎝⎛⎭⎫－π2，2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫－π2＋φ＝2， 即sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝1，所以φ－π4＝2k π＋π2(k ∈Z)， 解得φ＝2k π＋3π4(k ∈Z)． 又0＜φ＜π，所以φ＝3π4. 所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x ＋3π4. [答案] B[例2] 如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0))，那么ω的值为________．[解析] 因为f (x )＝sin 2(ωx ＋φ)＝12－12cos [2(ωx ＋φ)]，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω，由题图知T 2＜1，且3T 4＞1，即43＜T ＜2，所以π2＜ω＜3π4，又因为ω为正整数，所以ω的值为2.[答案] 2[解题技法]确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0)的解析式的步骤(1)求A ，B ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m 2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则ω＝2πT .(3)求φ，常用方法有①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．[过关训练]1.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32C ．－22D ．－1解析：选D 由图象可得A ＝2，最小正周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－2，|φ|＜π2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，f ⎝⎛⎭⎫11π24＝2sin ⎝⎛⎭⎫11π12＋π3＝2sin5π4＝－1，故选D. 2．(2018·咸阳三模)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋π4B ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8＋3π4C ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－π4D ．f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4解析：选D 由图象可得，A ＝23， T ＝2×[6－(－2)]＝16， 所以ω＝2πT ＝2π16＝π8.所以f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 由函数的对称性得f (2)＝－23， 即f (2)＝23sin ⎝⎛⎭⎫π8×2＋φ＝－23， 即sin ⎝⎛⎭⎫π4＋φ＝－1， 所以π4＋φ＝2k π－π2(k ∈Z)，解得φ＝2k π－3π4(k ∈Z)． 因为|φ|＜π，所以φ＝－3π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8－3π4. 考点三 三角函数模型及其应用[师生共研过关][典例精析]据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元，则7月份的出厂价格为________元．[解析] 作出函数简图如图所示，三角函数模型为： y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ， 由题意知：A ＝2 000，B ＝7 000， T ＝2×(9－3)＝12， ∴ω＝2πT ＝π6.将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000.故7月份的出厂价格为6 000元． [答案] 6 000[解题技法]三角函数模型在实际应用中的2种类型及其解题策略(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系；(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．[过关训练]1.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为________．解析：设水深的最大值为M ，由题意结合函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧3＋k ＝M ，k －3＝2，解得M ＝8，即水深的最大值为8.答案：82．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y ＝a ＋A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的月平均气温为________℃.解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋A ＝28，a －A ＝18，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝23，A ＝5，所以y ＝23＋5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x －6)，令x ＝10，得y ＝20.5.答案：20.5考点四 三角函数图象与性质的综合问题[师生共研过关][典例精析]已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3(ω＞0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间．[解] (1)由函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期T＝2×π2＝2π2ω，解得ω＝1，故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度得到函数g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0，即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z)，m ＝k π2＋π6(k ∈Z)，因为m ＞0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12， 所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增， 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增． 综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. [解题技法]三角函数图象和性质综合问题的解题策略 (1)图象变换问题先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或余弦型函数y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的形式，再进行图象变换．(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤： ①利用公式T ＝2πω(ω＞0)求周期； ②根据自变量的范围确定ωx ＋φ的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值，另外求最值时，根据所给关系式的特点，也可换元转化为求二次函数的最值；③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋t 或y ＝A cos(ωx ＋φ)＋t 的单调区间．[过关训练]2020版高考理科数学人教版一轮复习讲义- 11 - (2019·济南模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，且ω∈[0,3]，求函数f (x )的单调递增区间； (2)在(1)的条件下，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12时，函数f (x )有且只有一个零点，求实数b 的取值范围． 解：(1)∵函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋32＋b ，且函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，∴2ω·π6＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，且ω∈[0,3]，∴ω＝1.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z)． (2)由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋32＋b . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，7π12，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，4π3.当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤0，π6时，函数f (x )单调递增；当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，4π3，即x ∈⎣⎡⎦⎤π6，7π12时，函数f (x )单调递减． 又f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴当f ⎝⎛⎭⎫π3＞0≥f ⎝⎛⎭⎫7π12或f ⎝⎛⎭⎫π6＝0时，函数f (x )有且只有一个零点，即sin 4π3≤－b －32＜sin 5π6或1＋32＋b ＝0，∴b ∈⎝⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52. 故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－2，3－32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－52.。

§4.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用考情考向分析以考查函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主，常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查，加强数形结合思想的应用意识．题型为填空题，中档难度．1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径概念方法微思考1．怎样从y ＝sin ωx 的图象变换得到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象？ 提示 向左平移φω个单位长度．2．函数y ＝sin(ωx ＋φ)图象的对称轴是什么？ 提示 x ＝k πω＋π2ω－φω(k ∈Z )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．( √ )(2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)函数y ＝sin x 的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的12，所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 12x .( × )题组二 教材改编2．[P39T2]为了得到函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin2x 的图象向________平移________个单位长度． 答案 右π63．[P40T5]y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为__________________．答案 2，14π，－π34．[P41T1]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]解析 从题图中可以看出，从6～14时的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期，所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20，又12×2πω＝14－6，所以ω＝π8. 又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4， 所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]．题组三 易错自纠5．将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期后，所得图象对应的函数为________________． 答案 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3解析 函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的周期为π，将函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向右平移14个周期，即π4个单位长度， 所得函数为y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＋π6＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.6．y ＝cos(x ＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________． 答案π2＋4解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为π2＋4.7.若函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________．答案3解析 由题干图象可知A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，∴T ＝π，∴ω＝2，∵当x ＝π6时，函数f (x )取得最大值，∴2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∴φ＝π6＋2k π(k ∈Z )，又0<φ<π，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝2cos π6＝ 3.题型一函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，－π2<φ<π2 的最小正周期是π，且当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式；(2)作出f (x )在[0，π]上的图象(要列表)．解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π，所以ω＝2. 又因为当x ＝π6时，f (x )取得最大值2.所以A ＝2，同时2×π6＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6.(2)因为x ∈[0，π]，所以2x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，13π6，列表如下：描点、连线得图象：引申探究在本例条件下，若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝g (x )的图象，且y ＝g (x )是偶函数，求m 的最小值．解 由已知得y ＝g (x )＝f (x －m )＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －m )＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫2m －π6是偶函数，所以2m －π6＝π2(2k ＋1)，k ∈Z ，m ＝k π2＋π3，k ∈Z ，又因为m >0，所以m 的最小值为π3.思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练1 (1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________． 答案π6解析 y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象向右平移φ个单位长度后得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －2φ＋π3，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2φ＋π3＝0，∴－2φ＋π3＝k π(k ∈Z )， 又0<φ<π2，∴φ＝π6.(2)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(0<ω<2)满足条件：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝0，为了得到函数y ＝f (x )的图象，可将函数g (x )＝cos ωx 的图象向右平移m (m >0)个单位长度，则m 的最小值为________． 答案 1解析 由题意得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ω＋π6＝0，即－12ω＋π6＝k π(k ∈Z )，则ω＝π3－2k π(k ∈Z )，结合0<ω<2，得ω＝π3，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－π3x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(x －1)，所以只需将函数g (x )＝cos π3x 的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y ＝f (x )的图象． 题型二由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2(1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z解析 根据题干所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6取得最小值．(2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数f (x )＝6cos2ωx2＋3sin ωx －3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B ，C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形．①求ω的值及函数f (x )的值域；②若f (x 0)＝835，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值． 解 ①由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，∴函数f (x )的值域为[－23，23]， ∴正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，∴函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.②∵f (x 0)＝835，由①有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3＝835，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3＝45，由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知π4x 0＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35. ∴f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3＋π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0＋π3sin π4＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.思维升华y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练2已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，则m 的最小值为________．答案π12解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A ＋B ＝332，－A ＋B ＝－32，解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝3，B ＝32，T 2＝πω＝2π3－π6＝π2， 故ω＝2，则f (x )＝3sin(2x ＋φ)＋32. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＋32＝332，故π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝π6＋2k π(k ∈Z )．因为|φ|<π2，故φ＝π6，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32.将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后，得到g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m ＋32的图象，又函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32对称，即h (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋2m 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称， 故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3＋π6＋2m ＝0，即5π6＋2m ＝k π(k ∈Z )，故m ＝k π2－5π12(k ∈Z )．又m >0，所以m 的最小值为π12.题型三 三角函数图象、性质的综合应用命题点1 图象与性质的综合问题例3已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，若f (0)＝3，且AB →·BC →＝π28－8，B ，C 分别为最高点与最低点．(1)求函数f (x )的单调递增区间； (2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值和最小值．解 (1)由f (0)＝3，可得2sin φ＝3，即sin φ＝32. 又∵|φ|<π2，∴φ＝π3.由题意可知，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14T ，2，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12T ，－4，则AB →·BC →＝T28－8＝π28－8，∴T ＝π.故ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－5π12＋k π≤x ≤π12＋k π，k ∈Z ，∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π12＋k π，π12＋k π，k ∈Z . (2)由题意将f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，∴g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2， ∴2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，32.∴当2x ＋2π3＝2π3，即x ＝0时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝32，g (x )取得最大值3，当2x ＋2π3＝3π2，即x ＝5π12时，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3＝－1， g (x )取得最小值－2.命题点2 函数零点(方程根)问题例4已知关于x 的方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m的取值范围是____________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin2x ＋m －1＝0可转化为m ＝1－2sin 2x ＋3sin2x ＝cos2x ＋3sin2x＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π，∴题目条件可转化为m 2＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π有两个不同的实数根．∴y ＝m 2和y ＝sin t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－12，故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________． 答案 [－2,1)解析 由上例题知，m 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)．命题点3 三角函数模型例5据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低，为5千元，则7月份的出厂价格为______元．答案 6000解析 作出函数简图如图：三角函数模型为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，由题意知A ＝12(9 000－5 000)＝2 000，B ＝7 000，T ＝2×(9－3)＝12，∴ω＝2πT ＝π6.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点， 则有π6×3＋φ＝π2，∴φ＝0，故f (x )＝2 000sin π6x ＋7 000(1≤x ≤12，x ∈N *)．∴f (7)＝2 000×sin 7π6＋7 000＝6 000(元)．故7月份的出厂价格为6 000元．思维升华 (1)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题．跟踪训练3(1)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，且过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，则函数f (x )的解析式为______________．答案 f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6解析 根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为22，可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22＋(1＋1)2＝22，解得T ＝4，故ω＝2πT ＝π2，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2＋φ. 又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2，－12，故f (2)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2＋φ＝－sin φ＝－12，又－π2≤φ≤π2，解得φ＝π6，故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2＋π6.(2)(2019·江苏省淮海中学测试)已知函数f (x )＝4sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋ 3.①求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值；②若方程f (x )－t ＝0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π2上有唯一解，求实数t 的取值范围． 解 ①f (x )＝4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3－sin x sin π3＋ 3 ＝2sin x cos x －23sin 2x ＋ 3 ＝sin2x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.因为－π4≤x ≤π6，所以－π6≤2x ＋π3≤2π3，所以－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，所以－1≤f (x )≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1；当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.②因为当－π4≤x ≤π12时，－π6≤2x ＋π3≤π2，所以－1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤2，且单调递增；当π12≤x ≤π2时，π2≤2x ＋π3≤4π3， 所以－3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤2，且单调递减，所以f (x )＝t 有唯一解时对应t 的取值范围是t ∈[－3，－1)或t ＝2.三角函数图象与性质的综合问题例(14分)已知函数f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)．(1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． 规范解答解 (1)f (x )＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4 －sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分]＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3，[5分]于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，[8分]∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，[10分]∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6∈[－1,2]．[12分]故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质．1．(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中，将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象，则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为________． 答案 －12解析 由题意得，将函数y ＝cos2x 的图象向右平移π6个单位长度，得到g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π3＝－12.2．若将函数f (x )＝sin2x ＋cos2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是________． 答案3π8解析 f (x )＝sin2x ＋cos2x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.3．函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)的最小正周期是π，则其图象向右平移π3个单位长度后对应函数的单调递减区间是________________． 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4＋k π，3π4＋k π(k ∈Z )解析 由题意知ω＝2ππ＝2，将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin2x 的图象，由2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2(k ∈Z )，解得所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )．4．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f (x )的单调递增区间为________．答案 [－3＋8k,1＋8k ](k ∈Z )解析 由题图知，T ＝4×(3－1)＝8，所以ω＝2πT ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋φ.把(1,1)代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1，即π4＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x ＋π4.由2k π－π2≤π4x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得8k －3≤x ≤8k ＋1(k ∈Z )，所以函数f (x )的单调递增区间为[8k －3,8k ＋1](k ∈Z )．5．(2018·江苏泰州中学月考)将函数y ＝sin2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)，使得平移后的图象仍过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，32，则φ的最小值为________． 答案π6解析 将y ＝sin2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到y ＝sin2(x －φ)，代入点⎝⎛⎭⎪⎫π3，32得32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－2φ，因为φ>0，所以当2π3－2φ＝π3时，第一个正弦值为32的角，此时φ最小，为π6.6．将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称，则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最小值为________．答案 －32解析 将函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度得到y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ的图象，该图象关于原点对称，即为奇函数，则π3＋φ＝k π(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝－π3，即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，所以当2x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最小值，最小值为－32.7.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.答案3解析 由题干图象知πω＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2.因为2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π＋π4(k ∈Z )，又|φ|<π2，所以φ＝π4，这时f (x )＝A tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.又函数图象过点(0,1)，代入上式得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24＋π4＝ 3.8.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，又x 1，x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫－π6，π3，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.答案32解析 由题图可知，T 2＝π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，又－π6＋π32＝π12，所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12＋φ＝1， 所以2×π12＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，又|φ|<π2，可得φ＝π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由f (x 1)＝f (x 2)，x 1，x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，π3，可得x 1＋x 2＝－π6＋π3＝π6，所以f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6＋π3＝sin 2π3＝32.9．(2018·南京模拟)在同一直角坐标系中，函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈[0,2π])的图象和直线y ＝12的交点的个数是________．答案 2解析 方法一 令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝12，可得x ＋π3＝2k π＋π6或x ＋π3＝2k π＋5π6，k ∈Z ，即x ＝2k π－π6或x ＝2k π＋π2，k ∈Z ，又x ∈[0,2π]，所以x ＝11π6或x ＝π2，故原函数图象与y ＝12的交点的个数是2.方法二 在同一个坐标系下画出这两个函数图象，可得交点个数为2.10．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3，其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，则m的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18 解析 画出函数的图象如图所示．由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，m ，可知5π6≤3x ＋π3≤3m ＋π3，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝cos 5π6＝－32且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9＝cosπ＝－1，要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－32，只要2π9≤m ≤5π18，即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9，5π18.11．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6(其中0<ω<1)，若点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)求ω的值，并求出函数f (x )的单调递增区间； (2)先列表，再作出函数f (x )在区间[－π，π]上的图象．解 (1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )图象的一个对称中心，所以－ωπ3＋π6＝k π(k ∈Z )，ω＝－3k ＋12(k ∈Z )， 因为0<ω<1，所以当k ＝0时，可得ω＝12.所以f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.令2k π－π2≤x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，解得2k π－2π3≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－2π3，2k π＋π3(k ∈Z )．(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6，x ∈[－π，π]， 列表如下：作出函数部分图象如图所示：12．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解 (1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ， 故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0<ω<3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3，当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.13．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值为________． 答案5π6解析 g (x )＝sin[2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32， 所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32， 又－π2<θ<π2，所以θ＝π3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32.又0<φ<π，所以－5π3<π3－2φ<π3，所以π3－2φ＝－4π3.即φ＝5π6.14．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω>0)．由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝12，∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.15．已知函数y ＝M sin(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x ＝13对称．该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，C ＝90°，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________．答案 34解析 依题意知，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形， 因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2， 故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12sin(πx ＋φ)． 又f (x )的图象关于直线x ＝13对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±12. ∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，又0<φ<π， ∴φ＝π6， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝34. 16．已知函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2的图象在y 轴上的截距为1，且关于直线x ＝π12对称，若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使m 2－3m ≥f (x )成立，则实数m 的取值范围为______________．答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12⎝⎛⎭⎪⎫A >0，0<φ<π2的图象在y 轴上的截距为1， ∴A sin φ－12＝1，即A sin φ＝32. ∵函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)－12的图象关于直线x ＝π12对称， ∴2×π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 又0<φ<π2，∴φ＝π3，∴A ·sin π3＝32， ∴A ＝3，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－12. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，4π3， ∴当2x ＋π3＝4π3，即x ＝π2时， f (x )min ＝－32－12＝－2.令m 2－3m ≥－2，解得m ≥2或m ≤1.。

课时作业(二十)第20讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.若函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度后得到y=f(x)的图像,则()A.f(x)=-cos 2xB.f(x)=sin 2xC.f(x)=cos 2xD.f(x)=-sin 2x2.要得到函数y=sin-的图像,只需将函数y=sin2x-图像上所有点的横坐标()A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向右平移个单位长度C.缩短为原来的(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度D.缩短为原来的(纵坐标不变),再将得到的图像向右平移个单位长度3.[2018·达州四模]将函数y=3sin的图像向左平移个单位长度,然后再将得到的图像向下平移1个单位长度,则所得图像的一个对称中心为()A.-B.-C.--D.--4.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图K20-1所示,则函数f(x)的解析式为()图K20-1A.f(x)=2sinB.f(x)=2sin-C.f(x)=2sin-D.f(x)=2sin5.[2018·扬州模拟]若将函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图像向左平移个单位长度所得到的图像关于原点对称,则φ= .能力提升6.[2018·厦门质检]如图K20-2所示,函数y=tan的部分图像与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积为()图K20-2A.B.C.πD.2π7.[2018·广州仲元中学月考]函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<在区间上是增函数,则下列说法一定正确的是 ()A.f=-1B.f(x)的最小正周期为C.ω的最大值为4D.f=08.若方程2sin=m在x∈时有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]9.[2018·咸阳三模]已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图K20-3所示,将f(x)的图像向右平移2个单位长度后得到g(x)的图像,则g(x)的解析式为()图K20-3A.g(x)=2sinB.g(x)=-2sinC.g(x)=2cosD.g(x)=-2cos10.[2018·成都三模]将函数f(x)=sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再将所得图像向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,则函数g(x)的单调递增区间为()A.-(k∈Z)B.-(k∈Z)C.-(k∈Z)D.-(k∈Z)11.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像关于点M对称,且点M到该函数图像的对称轴的距离的最小值为,则()A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的初相φ=C.f(x)在区间上是减函数D.将f(x)的图像向左平移个单位长度后与函数y=cos 2x的图像重合12.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图像向左平移个单位长度,得到偶函数g(x)的图像,则φ的最大值是.图K20-413.[2018·北京海淀区模拟]如图K20-4所示,弹簧挂着一个小球做上下运动,小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定:h=sin t+cos t,t∈[0,+∞),则小球在开始运动(即t=0)时h的值为,小球运动过程中最大的高度差为厘米.14.(12分)[2018·齐鲁名校调研]设函数f(x)=A sin(x∈R,A>0,ω>0),若点P(0,1)在f(x)的图像上,且将f(x)的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称.(1)求ω的最小值;(2)在(1)的条件下,求不等式f(x)≤1的解集.15.(13分)[2018·常州模拟]如图K20-5为函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图像的一部分,其中点P是图像的一个最高点,点Q是图像与x轴的一个交点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图像沿x轴向右平移个单位长度,再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的解析式及单调递增区间.图K20-5难点突破16.(5分)[2018·赣州二模]若函数f(x)=3cos2x+-a在区间上有两个零点x1,x2,则x1+x2=()A.B.C.D.2π17.(5分)[2018·丹东质检]若函数f(x)=2sin2x+在区间和上都是单调递增函数,则实数x0的取值范围为()A.B.C.D.课时作业(二十)1.C[解析] 函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度后得到y=sin 2的图像,所以f(x)=cos 2x.2.A[解析] 将函数y=sin-图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 得到y=sin-=sin-的图像,再将得到的图像向左平移个单位长度,得到y=sin-=sin-的图像.故选A.3.C[解析] 由题得,平移后所得图像对应的函数解析式为y=3sin-1.令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),令k=0,可得所得图像的一个对称中心为--,故选C.4.D[解析] 由函数的图像得A=2,T=4×-=π,∴=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).∵f=2sin=2,∴sin=1,则+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,则函数f(x)=2sin.故选D.5.[解析] 将函数f(x)=cos(2x+φ)的图像向左平移个单位长度所得到的图像对应的函数解析式为y=cos=cos.由题意得,函数y=cos为奇函数,∴+φ=+kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=.6.A[解析] 在y=tan中,令x=0,得y=tan=1,所以OD=1.又函数y=tan的最小正周期T=,所以EF=,所以S△DEF=·EF·OD=××1=.故选A.7.C[解析] 由题意知-≤T,所以T≥,所以≤,所以ω≤4,所以选项C一定正确.故选C.8.C[解析] 方程2sin=m可化为sin2x+=,当x∈时,2x+∈.由方程2sin=m在上有两个不等实根,得≤<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2).9.B[解析] 根据函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像,可得A=2,·=6+2,∴ω=.由图像可知,×6+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=π+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴φ=,∴f(x)=2cos.把f(x)的图像向右平移2个单位长度后,可得g(x)=2cos-=2cos=-2sin x的图像,故选B.10.C[解析] 将函数f(x)=sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),可得y=sin 2x的图像,再将所得图像向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin2-=sin-的图像.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数g(x)的单调递增区间为-,k∈Z.故选C.11.D[解析] 因为点M到函数图像的对称轴的距离的最小值为,所以=,即T=π,所以ω==2,选项A不正确;函数f(x)=sin(2x+φ),由f=0得sin=0,所以φ=-+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,选项B不正确;f(x)=sin,当≤x≤时,π≤2x+≤,而函数y=sin x在上不具有单调性,选项C不正确;将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后,得到y=sin=sin=cos 2x的图像,故选项D正确.12.-[解析] 将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图像向左平移个单位长度,得到y=2sin2+φ=2sin的图像,所以g(x)=2sin2x++φ.又g(x)为偶函数,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,又因为φ<0,所以φ的最大值为-.13.4[解析] 由题可得h=sin t+cos t=2=2sin,令t=0,可得h=.由振幅为2,可得小球运动过程中最大的高度差为4厘米.14.解:(1)由题可知,f(0)=A sin=1,所以A=2.因为f=2sin=2sin,且y=fx+的图像关于y轴对称,所以+=kπ+,k∈Z,即ω=3k+1,k∈Z.又ω>0,所以ω的最小值为1.(2)由f(x)=2sin≤1,得2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,所以不等式的解集为xkπ-≤x≤kπ,k∈Z.15.解:(1)由图像可知A=2,T=4×-=4π,∴ω==,∴f(x)=2sin.∵点P是函数f(x)图像的一个最高点,∴2sin=2,∴+φ=+2kπ(k∈Z),又∵|φ|<π,∴φ=-,故f(x)=2sin-.(2)由(1)得,f(x)=2sin-,把函数f(x)的图像沿x轴向右平移个单位,得到y=2sin-的图像,再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=2sin-的图像,∴g(x)=2sin-.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴g(x)的单调递增区间是-(k∈Z).16.C[解析] 当x∈时,2x+∈,令2x+=π,解得x=,所以有x1+x2=,故选C.17.B[解析] 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的两个单调递增区间为-和,因此解得≤x0≤,故选B.。

课时作业20 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及简单三角函数模型的应用＋π4(k ∈Z )，故A 中说法正确．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π8，－π4时，2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π4，－π2，g (x )单调递减，但g (x )为奇函数，故B 中说法不正确．当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－9π8，－7π8时，2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－9π4，－7π4，g (x )单调递增，又g (x )为奇函数，故C 中说法正确．g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z )，故D 中说法正确．答案：B3．[2019·成都检测]已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．现将函数f (x )图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象，则函数g (x )的解析式为( )A ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4B ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π4C ．g (x )＝2cos2xD ．g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4 解析：由图象，知A ＝2，T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8－3π8＝π，所以ω＝2πT ＝2，将点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4＋φ＝－1，即5π4＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，结合|φ|<π2，得φ＝π4，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，所以g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，故选D.答案：D4．[2019·河北、河南重中点学联考]若对于任意x ∈R 都有f (x )＋2f (－x )＝3cos x －sin x ，则函数f (2x )图象的对称中心为( )数f (x )的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，结合选项可知⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，故选A. 答案：A 二、填空题6．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝π4所得线段长为π4，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：依题意πω＝π4，∴ω＝4.∴f (x )＝tan4x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝tanπ＝0.答案：07．[2019·山西省八校第一次联考]已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________.解析：由函数图象得A ＝2，所以y ＝2sin(ωx ＋φ)，因为图象过点(0，－1)，所以sin φ＝－12，因为x ＝0位于图象的单调递减区间，所以φ＝2k π－5π6(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－5π6. 答案：－5π68．[2019·山东省，湖北省部分重点中学二轮质量检测]已知函数f (x )＝sin ωx ＋2cos ωx (ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点之间的距离为2π，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为________．解析：由题意可知，f (x )的最小正周期为4π.∵f (x )＝sin ωx ＋2cos ωx ＝5sin(ωx ＋φ0)(其中tan φ0＝2)， ∴2πω＝4π，解得ω＝12， ∴f (x )＝sin 12x ＋2cos 12x ，x ＋π6－5π6－π20 π2 π 7π6 x －π －2π3－π6π3 5π6 π y－1－2 02－1则函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象如图所示．10．[2017·山东卷]设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0.(1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．解析：(1)因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0＜ω＜3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.。

§4.4函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：3．函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象的两种途径知识拓展1．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y ＝sin ωx 到y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴由ωx ＋φ＝k π＋π2，k ∈Z 确定；对称中心由ωx ＋φ＝k π，k ∈Z确定其横坐标．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象是由y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象向右平移π2个单位长度得到的．( √ ) (2)将函数y ＝sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数y ＝sin(ωx －φ)的图象．( × )(3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)由图象求函数解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．( √ ) 题组二 教材改编2．[P55T2]为了得到函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象，可以将函数y ＝2sin 2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度3答案 A3．[P58A 组T3]函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的振幅、频率和初相分别为( ) A ．2,4π，π3B ．2，14π，π3C ．2，14π，－π3D ．2,4π，－π3答案 C解析 由题意知A ＝2，f ＝1T ＝ω2π＝14π，初相为－π3.4．[P62例4]如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近似满足函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b ，则这段曲线的函数解析式为__________________________．答案 y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14] 解析 从图中可以看出，从6～14时的是函数 y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b 的半个周期， 所以A ＝12×(30－10)＝10，b ＝12×(30＋10)＝20， 又12×2πω＝14－6， 所以ω＝π8.又π8×10＋φ＝2π＋2k π，k ∈Z ，取φ＝3π4， 所以y ＝10sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋3π4＋20，x ∈[6,14]． 题组三 易错自纠5．要得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象( ) A ．向左平移π12个单位长度B ．向右平移π12个单位长度3D ．向右平移π3个单位长度答案 B解析 ∵y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3＝sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x －π12， ∴要得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫4x －π3的图象，只需将函数y ＝sin 4x 的图象向右平移π12个单位长度． 6．将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位长度，再向下平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为( ) A ．y ＝sin 2x B ．y ＝sin 2x ＋2 C ．y ＝cos 2x D ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4 答案 A解析 将函数y ＝cos 2x ＋1的图象向右平移π4个单位长度得到y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＋1＝sin 2x ＋1，再向下平移1个单位长度得到y ＝sin 2x ，故选A.7．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0，32； ②f (x )在⎣⎡⎦⎤π12，2π3上是减函数； ③f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12，0；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f ⎝⎛⎭⎫2π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ， 则sin ⎝⎛⎭⎫4π3＋φ＝1或－1.又φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，4π3＋φ∈⎝⎛⎭⎫5π6，11π6， ∴4π3＋φ＝3π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. ①令x ＝0，则f (x )＝32，正确．②令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z ，则k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0，得π6<x <2π3，即f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，2π3上单调递减，而在⎝⎛⎭⎫π12，π6上单调递增，错误． ③令x ＝5π12，则f (x )＝3sin π＝0，正确．④应平移π12个单位长度，错误.题型一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换 典例 已知函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解 (1)y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的振幅A ＝2， 周期T ＝2π2＝π，初相φ＝π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表如下：描点画出图象，如图所示：(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象； 再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象； 再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 思维升华 (1)y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z ＝ωx ＋φ计算五点坐标．(2)由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．跟踪训练 (1)(2018届安阳林州一中调研)将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移m (m >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则m 的最小值为( ) A.5π12 B.π3 C.π12 D.7π12答案 A解析 平移后的函数解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－2m ， 又图象关于y 轴对称，则sin ⎝⎛⎭⎫π3－2m ＝±1， ∴π3－2m ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴m ＝－k π2－π12，k ∈Z ， 又m >0，∴m 的最小值为5π12.(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移π4个单位长度，得到的函数图象的解析式是________．答案 y ＝cos 2x解析 由y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y ＝sin 2x ，再向左平移π4个单位长度得y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4，即y ＝cos 2x . 题型二 由图象确定y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式典例 (1)函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝________________.答案 2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析 由题图可知，A ＝2，T ＝2⎣⎡⎦⎤π3－⎝⎛⎭⎫－π6＝π，所以ω＝2，由五点作图法可知2×π3＋φ＝π2，所以φ＝－π6，所以函数的解析式为y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值时x 的集合为________．答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k π－π3，k ∈Z解析 根据所给图象，周期T ＝4×⎝⎛⎭⎫7π12－π3＝π，故π＝2πω，∴ω＝2，因此f (x )＝sin(2x ＋φ)，另外图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12，0，代入有2×7π12＋φ＝π＋2k π(k ∈Z )，再由|φ|<π2，得φ＝－π6，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，∴f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，当2x ＋π6＝－π2＋2k π(k ∈Z )，即x ＝－π3＋k π(k ∈Z )时，y ＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋π6取得最小值． 思维升华 y ＝A sin(ωx ＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．跟踪训练 (2018·山东重点中学模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，|φ|<π2，ω>0的图象的一部分如图所示，则f (x )图象的对称轴方程是________．答案 x ＝k π2＋π6(k ∈Z )解析 由图象知A ＝2，又1＝2sin(ω×0＋φ)，即sin φ＝12，又|φ|<π2，∴φ＝π6.又11π12×ω＋π6＝2π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 令2x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z )，解得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的对称轴方程为 x ＝k π2＋π6(k ∈Z )．题型三 三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型典例 如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6x ＋φ＋k ，据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为( )A ．5B ．6C ．8D ．10答案 C解析 由题干图得y min ＝k －3＝2，则k ＝5. ∴y max ＝k ＋3＝8.命题点2 函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0在⎝⎛⎭⎫π2，π上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是____________． 答案 (－2，－1)解析 方程2sin 2x －3sin 2x ＋m －1＝0可转化为 m ＝1－2sin 2x ＋3sin 2x ＝cos 2x ＋3sin 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π. 设2x ＋π6＝t ，则t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π， ∴题目条件可转化为m2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π有两个不同的实数根． ∴y 1＝m2和y 2＝sin t ，t ∈⎝⎛⎭⎫76π，136π的图象有两个不同交点，如图：由图象观察知，m2的取值范围是⎝⎛⎭⎫－1，－12， 故m 的取值范围是(－2，－1)． 引申探究本例中，若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”，则m 的取值范围是__________．答案 [－2,1)解析 由上例题知，m2的取值范围是⎣⎡⎭⎫－1，12， ∴－2≤m <1，∴m 的取值范围是[－2,1)． 命题点3 三角函数图象性质的综合典例 (2017·潍坊模拟)已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π3 (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式；(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0，求当m 取得最小值时，g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间． 解 (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2，得函数f (x )的最小正周期为T ＝2×π2＝2π2ω，得ω＝1， 故函数f (x )的解析式为f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2(x ＋m )＋π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2m ＋π3的图象，根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫－π3，0， 可得3sin ⎝⎛⎭⎫－2π3＋2m ＋π3＝0， 即sin ⎝⎛⎭⎫2m －π3＝0， 所以2m －π3＝k π(k ∈Z )，m ＝k π2＋π6(k ∈Z )，因为m >0，所以当k ＝0时，m 取得最小值，且最小值为π6.此时，g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，7π12，所以2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，11π6. 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤π3，π2，即x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，－π12时，g (x )单调递增， 当2x ＋2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2，11π6，即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12，7π12时，g (x )单调递增．综上，g (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π6，7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6，－π12和⎣⎡⎦⎤5π12，7π12. 思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．跟踪训练 (1)已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________． 答案 －45解析 由角φ的终边经过点P (－4,3)， 可得cos φ＝－45，sin φ＝35.根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2，可得周期为2πω＝2×π2， 解得ω＝2，∴f (x )＝sin(2x ＋φ)， ∴f ⎝⎛⎭⎫π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π2＋φ＝cos φ＝－45. (2)若函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)满足f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且函数在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫π3，∴x ＝π6是f (x )图象的一条对称轴，∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝±1，∴π6×ω＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ， ∴ω＝6k ＋2，k ∈Z ，∴T ＝π3k ＋1(k ∈Z )． 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上有且只有一个零点， ∴π6≤T 4≤π2－π6，∴2π3≤T ≤4π3， ∴2π3≤π3k ＋1≤4π3(k ∈Z )，∴－112≤k ≤16， 又∵k ∈Z ，∴k ＝0，∴T ＝π.三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值．思维点拨 (1)先将f (x )化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式再求周期；(2)将f (x )解析式中的x 换成x －π6，得g (x )，然后利用整体思想求最值．规范解答解 (1)f (x )＝23sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4－sin(x ＋π)＝3cos x ＋sin x [3分] ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，[5分] 于是T ＝2π1＝2π.[6分](2)由已知得g (x )＝f ⎝⎛⎭⎫x －π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6，[8分] ∵x ∈[0，π]，∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， ∴sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，[10分] ∴g (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6∈[－1,2]．[11分] 故函数g (x )在区间[0，π]上的最大值为2，最小值为－1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步：(化简)将f (x )化为a sin x ＋b cos x 的形式；第二步：(用辅助角公式)构造f (x )＝a 2＋b 2·⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2＋b 2＋cos x ·b a 2＋b 2；第三步：(求性质)利用f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)研究三角函数的性质； 第四步：(反思)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．1．(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3，则下面结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 答案 D解析 因为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3－π2＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以曲线C 1：y ＝cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线y ＝cos 2x ，再把得到的曲线y ＝cos 2x 向左平移π12个单位长度，得到曲线y ＝cos 2⎝⎛⎭⎫x ＋π12＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.故选D. 2．(2018·洛阳统考)若将函数f (x )＝sin 2x ＋cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y 轴对称，则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f (x )＝sin 2x ＋cos 2x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4－2φ，且该函数为偶函数， 故2φ＋π4＝k π(k ∈Z )，所以φ的最小正值为3π8.3．(2017·衡水中学模拟)若函数y ＝sin(ωx －φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π3答案 A解析 由题图可知，T ＝2⎣⎡⎦⎤π6－⎝⎛⎭⎫－π3＝π， 所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝⎛⎭⎫2×π6－φ＝0， 所以π3－φ＝k π(k ∈Z )，即φ＝π3－k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3，故选A.4．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A ．－ 3 B.33C ．1 D. 3答案 D解析 由已知得T ＝π2，∴ω＝2.∴f ⎝⎛⎭⎫π6＝tan π3＝ 3. 5．(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度，所得函数图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 B解析 依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6， 因为函数f (x －a )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π6的图象关于y 轴对称， 所以sin ⎝⎛⎭⎫－a －π6＝±1，a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，因此正数a 的最小值是π3，故选B.6．函数f (x )＝sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|＜π2的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数，则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为( ) A ．－32 B ．－12C.12D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度，得g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π3的图象， 因为是奇函数，所以φ＋π3＝k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π3，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 所以当x ＝0时，f (x )取得最小值－32. 7．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为________． 答案 6，π6解析 由题意知1＝2sin φ，得sin φ＝12，又|φ|<π2，得φ＝π6.而此函数的最小正周期T ＝2ππ3＝6.8．(2017·河南洛阳统考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω>0，0<φ<π2的部分图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝⎛⎭⎫π3，－1，则f (x )＝_______.答案 2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6解析 由已知得T 2＝π3，∴T ＝2π3，又T ＝2πω，∴ω＝3.∵f (0)＝1，∴sin φ＝12，又∵0<φ<π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6(经检验满足题意)． 9．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的值域是____________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－32，3 解析 f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6 ＝3cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫ωx －π6 ＝3cos ⎝⎛⎭⎫ωx －2π3， 所以ω＝2，则f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6， ∴－32≤f (x )≤3.10．(2018·长春调研)已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，x ∈R .若函数f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为________． 答案π2解析 f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4， 因为f (x )在区间(－ω，ω)内单调递增，且函数图象关于直线x ＝ω对称，所以f (ω)必为一个周期上的最大值，所以有ω·ω＋π4＝2k π＋π2，k ∈Z ，所以ω2＝π4＋2k π，k ∈Z .又ω－(－ω)≤2πω2，即ω2≤π2，即ω2＝π4， 所以ω＝π2.11．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0，图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3，5. (1)求函数的解析式；(2)求函数f (x )的单调递增区间．解 (1)依题意得A ＝5，周期T ＝4⎝⎛⎭⎫π3－π12＝π， ∴ω＝2ππ＝2.故y ＝5sin(2x ＋φ)，又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12，0， ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6＋φ＝0， 由已知可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2，∴φ＝－π6，∴y ＝5sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. (2)由－π2＋2k π≤2x －π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π6＋k π≤x ≤π3＋k π，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π6，k π＋π3(k ∈Z )．12．(2017·合肥质检)已知函数f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值；(2)求函数f (x )在[0，π]上的单调递减区间． 解 (1)f (x )＝4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＋a ＝4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx ＋12cos ωx ＋a ＝23sin ωx cos ωx ＋2cos 2ωx －1＋1＋a ＝3sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋1＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1＋a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＝1时， f (x )取得最大值2＋1＋a ＝3＋a .又f (x )最高点的纵坐标为2，∴3＋a ＝2，即a ＝－1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π， ∴f (x )的最小正周期为T ＝π， ∴2ω＝2πT＝2，ω＝1.(2)∵x ∈[0，π]，∴2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6. 当2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π2，3π2， 即x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3时，f (x )单调递减，∴f (x )在[0，π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6，2π3.13．将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后，得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32，则φ的值为________． 答案5π6解析 g (x )＝sin [2(x －φ)＋θ]＝sin(2x －2φ＋θ)， 若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0，32， 所以sin θ＝32，sin(－2φ＋θ)＝32， 又－π2<θ<π2，所以θ＝π3，sin ⎝⎛⎭⎫π3－2φ＝32. 又0<φ<π，所以－5π3<π3－2φ<π3，所以π3－2φ＝－4π3.即φ＝5π6.14．(2018·太原模拟)已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，x ∈R .在曲线y ＝f (x )与直线y ＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为π3，则f (x )的最小正周期为________．答案 π解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)． 由2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝1，得sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6＝12， ∴ωx ＋π6＝2k π＋π6或ωx ＋π6＝2k π＋5π6(k ∈Z )．令k ＝0，得ωx 1＋π6＝π6，ωx 2＋π6＝5π6，∴x 1＝0，x 2＝2π3ω.由|x 1－x 2|＝π3，得2π3ω＝π3，∴ω＝2.故f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.15．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到的图象解析式为___________________．答案 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析 由34T ＝11π12－π6，得T ＝π，于是ω＝2.由图象知A ＝1.根据五点作图法有ω·π6＋φ＝π2，解得φ＝π6，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.将y ＝f (x )的图象向右平移π6个单位长度后，得到图象的解析式为y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6. 16．(2017·山东)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值． 解 (1)因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2， 所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝⎛⎭⎫12sin ωx －32cos ωx ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0， 所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，故ω＝6k ＋2，k ∈Z .又0＜ω＜3， 所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 所以g (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫x －π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎡⎦⎤－π3，2π3， 当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。

课后限时集训(二十)(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．(2018·天津高考)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5的图像向右平移π10个单位长度，所得图像对应的函数( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增加的B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0上是减少的C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2上是增加的D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，π上是减少的 A [y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π5＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π10，将其图像向右平移π10个单位长度，得到函数y ＝sin2x 的图像．由2k π－π2≤2x ≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π4≤x ≤k π＋π4，k ∈Z .令k ＝0，可知函数y ＝sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上是增加的．故选A ．]2．为了得到函数y ＝sin 3x ＋cos 3x 的图像，可以将函数y ＝2cos 3x 的图像( ) A ．向右平移π12个单位B ．向右平移π4个单位C ．向左平移π12个单位D ．向左平移π4个单位A [由于y ＝sin 3x ＋cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4，y ＝2cos 3x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π2，因此只需将y ＝2cos 3x 的图像向右平移π12个单位，即可得到y ＝2sin3x －π12＋π2＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π4的图像．]3．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图像如图所示，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )A ．－62 B ．－32 C ．－22D ．－1 D [由图像可得A ＝2，最小正周期T ＝4×7π12－π3＝π，则ω＝2πT ＝2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6＋φ＝－2，得φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2sin 11π12＋π3＝2sin 5π4＝－1，选项D 正确．]4．电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I ＝A sin(ωx ＋φ)A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2的图像如图所示，则当t ＝1100秒时，电流强度是( )A ．－5安B ．5安C ．53安D ．10安A [由图像知A ＝10，周期T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫4300－1300＝150，则ω＝100π，将点⎝⎛⎭⎪⎫1300，10代入I ＝10sin(100πt ＋φ)得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1，则π3＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z . 所以φ＝2k π＋π6，k ∈Z ，又0＜φ＜π2知，φ＝π6.所以I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt ＋π6，当t ＝1100时，I ＝10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π6＝－5.故选A ．]5．(2019·西安模拟)将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3图像上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin 2x 的图像上，则( )A ．t ＝12，s 的最小值为π6B ．t ＝32，s 的最小值为π6C ．t ＝12，s 的最小值为π3D ．t ＝32，s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，t 在函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图像上，所以t ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4－π3＝sinπ6＝12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ，12.因为P ′在函数y ＝sin 2x 的图像上，所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－s ＝12，即cos 2s ＝12，所以2s ＝2k π＋π3或2s ＝2k π＋53π，即s ＝k π＋π6或s ＝k π＋5π6(k ∈Z )，所以s 的最小值为π6.]二、填空题6．将函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π6个单位长度．得到y ＝sin x 的图像，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.22[y ＝sin x 错误!y ＝sin 错误! ――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x ＋π6， 即f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π6，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π6＝sin π4＝22.]7．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，y ＝f (x )的部分图像如图，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝________.3 [由题图可知，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8－π8＝π2，所以ω＝2，所以2×π8＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )．又|φ|＜π2，所以φ＝π4.又f (0)＝1，所以A tan π4＝1，得A ＝1，所以f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋π4＝tan π3＝ 3.]8．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y ＝a ＋A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －(x ＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ℃，12月份的月平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________ ℃.20.5 [依题意知，a ＝28＋182＝23，A ＝28－182＝5，∴y ＝23＋5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x －， 当x ＝10时，y ＝23＋5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4＝20.5.] 三、解答题9．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图像．[解] (1)振幅为2，最小正周期T ＝π，初相为－π4.(2)图像如图所示．10．如图所示，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图像，且图像的最高点为S (3，23)，赛道的后一部分为折线段MNP ，求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离．[解] 依题意，有A ＝23，T4＝3，又T ＝2πω，所以ω＝π6，所以y ＝23sin π6x ，x ∈[0,4]，所以当x ＝4时，y ＝23sin 2π3＝3， 所以M (4,3)，又P (8,0)， 所以MP ＝－2＋－2＝42＋32＝5(km)，即M ，P 两点间的距离为5 km.B 组 能力提升1．(2019·孝义模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R 的水车，一个水斗从点A (33，－3)出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时60秒．经过t 秒后，水斗旋转到P 点，设P 的坐标为(x ，y )，其纵坐标满足y ＝f (t )＝R sin(ωt ＋φ)(t ≥0，ω＞0，|φ|＜π2)．则下列叙述错误的是( )A ．R ＝6，ω＝π30，φ＝－π6B ．当t ∈[35,55]时，点P 到x 轴的距离的最大值为6C ．当t ∈[10,25]时，函数y ＝f (t )是减少的D ．当t ＝20时，|PA |＝6 3C [由题意，R ＝27＋9＝6，T ＝60＝2πω，∴ω＝π30，当t ＝0时，y ＝f (t )＝－3，代入可得－3＝6sin φ，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π6.故A 正确；f (t )＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t －π6，当t ∈[35,55]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，53π，∴点P 到x 轴的距离的最大值为6，B 正确；当t ∈[10,25]时，π30t －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16π，2π3，函数y ＝f (t )不单调，C 不正确；当t ＝20时，π30t －π6＝π2，P 的纵坐标为6，|PA |＝27＋81＝63，D 正确，故选C.]2．(2019·大同模拟)函数f (x )＝33·sin ωx (ω＞0)的部分图像如图所示，点A ，B 是图像的最高点，点C 是图像的最低点，且△ABC 是等边三角形，则f (1)＋f (2)＋f (3)的值为( )A ．92 B.932C ．93＋1D.3＋2D [由题意知，AB ＝T ，则32T ＝63， ∴T ＝12，由T ＝2πω＝12得ω＝π6.∴f (x )＝33sin π6x ，∴f (1)＋f (2)＋f (3) ＝33sinπ6＋33sin 2π6＋33sin 3π6＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32＋1＝3＋2，故选D.]3．(2019·辽宁五校联考)设ω＞0，函数y ＝2cos ωx ＋π5的图像向右平移π5个单位长度后与函数y ＝2sin ωx ＋π5的图像重合，则ω的最小值是________．52 [函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5的图像向右平移π5个单位长度后，得y ＝2cos ωx －π5＋π5＝2cos ωx ＋π5－π5ω的图像，由已知得cos ωx ＋π5－π5ω＝sin ωx ＋π5，所以sin π2＋ωx ＋π5－π5ω＝sin ωx ＋π5，所以π2＋ωx ＋π5－π5ω＋2k π＝ωx ＋π5，k ∈Z ，所以ω＝52＋10k ，k ∈Z ，又因为ω＞0，所以ω的最小值为52.]4．(2017·山东高考)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π2，其中0<ω<3，已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图像向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图像，求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4上的最小值．[解] (1因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π2，所以f (x )＝32sin ωx －12cos ωx －cos ωx ＝32sin ωx －32cos ωx ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx －32cos ωx＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，所以ωπ6－π3＝k π，k ∈Z ，所以ω＝6k ＋2，k ∈Z . 又0<ω<3，所以ω＝2.(2)由(1)得f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，所以g (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4， 所以x －π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3.当x －π12＝－π3，即x ＝－π4时，g (x )取得最小值－32.。

第6讲 函数y ＝Asin （ωx ＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用[基础达标]1．函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的简图是( )解析：选A.令x ＝0，得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－32，排除B ，D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝0，排除C.2．(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能的值为( )A ．3π4B ．π4C ．0D ．－π4解析：选 B.令y ＝f (x )＝sin(2x ＋φ)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8＋φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋φ，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π8为偶函数，所以π4＋φ＝k π＋π2，所以φ＝k π＋π4，k∈Z ，所以当k ＝0时，φ＝π4.故φ的一个可能的值为π4.故选B. 3．(2019·湖州市高三期末考试)若把函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向左平移π4个单位，沿y 轴向下平移1个单位，然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变)，得到函数y ＝sin x 的图象，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1C ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4－1D ．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π2－1解析：选B.函数y ＝sin x 的图象，把图象上每个点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标保持不变)，得到y ＝sin 2x ，沿y 轴向上平移1个单位，得到y ＝sin 2x ＋1，图象沿x 轴向右平移π4个单位，得到函数y ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋1＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＋1.故选B.4．(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ≠0，ω>0，－π2<φ<π2在x ＝2π3时取得最大值，且它的最小正周期为π，则( )A ．f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B ．f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是减函数C ．f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12，0D ．f (x )的图象的一条对称轴是x ＝5π12解析：选C.因为函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的最小正周期为π， 所以T ＝2πω＝π，所以ω＝2，即函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又因为函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)在x ＝2π3时取得最大值，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3＋φ＝±1，即2×2π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )，又因为－π2<φ<π2，所以φ＝π6，所以f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，其中A <0；对于选项A ，因为f (0)＝A sin π6＝A 2≠12，所以选项A 不正确；对于选项B ，因为函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的单调递增区间满足：π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3上是增函数，所以选项B 不正确；对于选项C ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0，所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，即选项正确；对于选项D ，因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12＋π6＝0， 所以x ＝5π12不是f (x )的图象的一条对称轴，即选项D 错误．故选C.5．(2019·杭州中学高三月考)将函数y ＝2sin(ωx －π4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位后，所得的两个图象的对称轴重合，则ω的最小值为( )A ．12B ．1C ．2D ．4解析：选C.把函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 1＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ω－14π， 向右平移π4个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为y 2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －ω＋14π. 因为所得的两个图象对称轴重合，所以ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π①，或ωx ＋ω－14π＝ωx －ω＋14π＋k π，k ∈Z ②.解①得ω＝0，不合题意；解②得ω＝2k ，k ∈Z . 所以ω的最小值为2.故选C.6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2的图象如图所示，则函数y ＝f (x )＋ω图象的对称中心的坐标为( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23k π＋π24，32(k ∈Z )B ．⎝⎛⎭⎪⎫3k π－3π8，23(k ∈Z )C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π＋5π8，32(k ∈Z )D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k ∈Z )解析：选D.由题图可知T 2＝15π8－3π8＝3π2，所以T ＝3π，又T ＝2πω，所以ω＝23，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ，因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π，2，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝2，所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又因为|φ|<π2，所以φ＝π4.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π4.由23x ＋π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝32k π－3π8(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )＋23图象的对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π－3π8，23(k ∈Z )．7．(2019·金丽衢十二校联考)若函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π2，f (x )的最小正周期为π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________．解析：由原函数的最小正周期为π，得到ω＝2(ω>0)，又由f (0)＝3且|φ|<π2得到φ＝π3.答案：2π38．某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：选用一个函数来近似描述收购价格y (元/斤)与相应月份x 之间的函数关系为________． 解析：设y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)，由题意得A ＝1，B ＝6，T ＝4，因为T ＝2πω，所以ω＝π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ＋6. 因为当x ＝1时，y ＝6，所以6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2k π，k ∈Z ，可取φ＝－π2，所以y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －π2＋6＝6－cos π2x .答案：y ＝6－cos π2x9．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图象如图所示，已知图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1，则f (x )＝________．解析：因为图象经过点A (0，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，－1， A ，B 两个点的纵坐标互为相反数，从点A 到点B 经过半个周期，所以π3＝T 2＝πω，解得ω＝3.又因为图象经过点A (0，1)，f (x )＝2sin(ωx ＋φ)， 所以1＝2sin φ，即sin φ＝12，所以由0<φ<π及函数的图象可得φ＝π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6. 答案：2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋π6 10．函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是________．解析：由题图可知，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，N (x N ，－1)，所以OM →·ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N －1＝0，解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝3.答案：311．如图，某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足y ＝A sin(ωt ＋φ)＋b (A >0，ω>0，0<φ<π)．(1)求解析式；(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20－52，20＋52]之间为最佳营业时间，那么该行业在6～14时，最佳营业时间为多少小时．解：(1)由图象知A ＝10，12·2πω＝14－6，所以ω＝π8，所以y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 8＋φ＋b .① y max ＝10＋b ＝30，所以b ＝20.当t ＝6时，y ＝10代入①得φ＝3π4，所以解析式为y ＝10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20，t ∈[6，14]．(2)由题意得，20－52≤10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4＋20≤20＋52，即－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t ＋3π4≤22，所以k π－π4≤π8t ＋3π4≤k π＋π4，k ∈Z .即8k －8≤t ≤8k －4，因为t ∈[6，14]，所以k ＝2，即8≤t ≤12， 所以最佳营业时间为12－8＝4小时．12．已知函数f (x )＝2sin x ＋6cos x (x ∈R )． (1)若α∈[0，π]且f (α)＝2，求α；(2)先将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到的图象关于直线x ＝3π4对称，求θ的最小值．解：(1)f (x )＝2sin x ＋6cos x＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3.由f (α)＝2，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝22，即α＋π3＝2k π＋π4或α＋π3＝2k π＋3π4，k ∈Z .于是α＝2k π－π12或α＝2k π＋5π12，k ∈Z .又α∈[0，π]，故α＝5π12.(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再将y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度，得到y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象．由于y ＝sin x 的图象关于直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )对称，令2x －2θ＋π3＝k π＋π2， 解得x ＝k π2＋θ＋π12，k ∈Z . 由于y ＝22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2θ＋π3的图象关于直线x ＝3π4对称，令k π2＋θ＋π12＝3π4，解得θ＝－k π2＋2π3，k ∈Z . 由θ>0可知，当k ＝1时，θ取得最小值π6.[能力提升]1．已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同，则函数f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为( )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，34B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，34C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34 解析：选D.由T ＝2π2ω＝πω，又f (x )的最大值为2，所以πω＝2，即ω＝π2，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx －π4.当2k π－π2≤πx －π4≤2k π＋π2，即2k －14≤x ≤2k ＋34，k ∈Z 时函数f (x )单调递增，则f (x )在[－1，1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，34.2．(2019·杭州市七校联考)已知函数y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象与直线y ＝m 有三个交点，其交点的横坐标分别为x 1，x 2，x 3(x 1<x 2<x 3)，那么x 1＋2x 2＋x 3的值是( )A ．3π4B ．4π3C ．5π3D ．3π2解析：选C.由函数y ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，7π6的图象可得，当x ＝π6和x ＝2π3时，函数分别取得最大值和最小值，由正弦函数图象的对称性可得x 1＋x 2＝2×π6＝π3，x 2＋x 3＝2×2π3＝4π3.故x 1＋2x 2＋x 3＝π3＋4π3＝5π3，故选C.3．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx (ω>0)，若方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为________．解析：因为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3，方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3＝－12在(0，π)上有且只有四个实数根．故ωx －π3＝－π6＋2k π或ωx －π3＝7π6＋2k π，k ∈Z .所以x ＝π6ω＋2k πω或x ＝3π2ω＋2k πω，k ∈Z .设直线y ＝－1与y ＝f (x )在(0，＋∞)上从左到右的第4个交点为A ，第5个交点为B ，则x A ＝3π2ω＋2πω，x B ＝π6ω＋4πω.因为方程f (x )＝－1在(0，π)上有且只有四个实数根，所以x A <π≤x B ，即3π2ω＋2πω<π≤π6ω＋4πω，计算得出72<ω≤256. 答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤72，2564．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位，再向下平移2个单位，得到g (x )的图象，若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]，则2x 1－x 2的最大值为________．解析：函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的图象向左平移π12个单位， 可得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象，再向下平移2个单位，得到g (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－2的图象， 若g (x 1)g (x 2)＝16，且x 1，x 2∈[－2π，2π]， 则g (x 1)＝g (x 2)＝－4， 则2x ＋π3＝－π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝－5π12＋k π，k ∈Z ，由x 1，x 2∈[－2π，2π]， 得x 1，x 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－17π12，－5π12，7π12，19π12，当x 1＝19π12，x 2＝－17π12时，2x 1－x 2取最大值55π12，故答案为55π12.答案：55π125．(2019·温州中学高三模考)已知函数f (x )＝sin x 3cos x3＋3cos 2x3.(1)求函数f (x )图象对称中心的坐标；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角为B ，求f (B )的取值范围． 解：(1)f (x )＝12sin 2x 3＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋cos 2x 3＝12sin 2x 3＋32cos 2x 3＋32＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＋32，由sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋π3＝0即2x 3＋π3＝k π(k ∈Z )得x ＝3k －12π，k ∈Z ，即对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k －12π，0，k ∈Z .(2)由已知b 2＝ac ，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，所以12≤cos B <1，0<B≤π3，π3<2B 3＋π3≤5π9，因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3－π2>⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π9－π2，所以sin π3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3≤1，所以3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3＋π3＋32≤1＋32，即f (B )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3，1＋32. 6．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋b (ω>0，－π2<φ<π2)相邻两对称轴间的距离为π2，若将f (x )的图象先向左平移π12个单位，再向下平移1个单位，所得的函数g (x )为奇函数． (1)求f (x )的解析式，并求f (x )的对称中心；(2)若关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，求实数m 的取值范围．解：(1)由题意可得T 2＝πω＝π2，所以ω＝2，f (x )＝sin(2x ＋φ)＋b ，所以g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12＋φ＋b －1 ＝sin(2x ＋π6＋φ)＋b －1.再结合函数g (x )为奇函数，可得π6＋φ＝k π，k ∈Z ，且b －1＝0，再根据－π2<φ<π2，可得φ＝－π6，b ＝1，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋1，g (x )＝sin 2x . 令2x －π6＝n π，n ∈Z ，可得x ＝n π2＋π12，所以f (x )的对称中心⎝⎛⎭⎪⎫n π2＋π12，1(n ∈Z )．(2)由(1)可得g (x )＝sin 2x ，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上，2x ∈[0，π]，令t ＝g (x )，则t ∈[0，1]．由关于x 的方程3[g (x )]2＋m ·g (x )＋2＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有两个不相等的实根，可得关于t 的方程3t 2＋m ·t ＋2＝0在区间(0，1)上有唯一解．令h (t )＝3t 2＋m ·t ＋2，因为h (0)＝2>0，则满足h (1)＝3＋m ＋2<0，或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝m 2－24＝0，0<－m6<1， 解得m <－5或m ＝－2 6.。