通用版2020版高考数学大一轮复习课时作业20函数y=Asinωx+φ的图像及三角函数模型的简单应用理科98
- 格式:docx
- 大小:228.43 KB
- 文档页数:9
第四节函数y =A sin(ωx +φ)的图象及三角函数模型的简单应用1.函数y =A sin(ωx +φ)的有关概念2.用五点法画函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示:用“五点法”作函数y =A sin(ωx +φ)的简图,精髄是通过变量代换,设z =ωx +φ,由z 取0,π2,π,3π2,2π来求出相应的x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象,其中相邻两点的横向距离均为T 4.3.由函数y =sin x 的图象通过变换得到y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的两种方法两种变换的联系与区别联系:两种变换方法都是针对x 而言的,即x 本身加减多少,而不是ωx 加减多少. 区别:先平移变换(左右平移)再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位,而先周期变换(伸缩变换)再平移变换(左右平移),平移的量是⎪⎪⎪⎪φω个单位.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”,错的打“×”)(1)利用图象变换作图时“先平移,后伸缩”与“先伸缩,后平移”中平移的长度一致.( )(2)把函数y =sin x 的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,所得图象对应的函数解析式为y =sin 12x .( )(3)函数y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为T ,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( )(4)由图象求函数解析式时,振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( )答案:(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、选填题1.函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4的振幅、频率和初相分别为( ) A .2,1π,π4B .2,12π,π4 C .2,1π,π8D .2,12π,-π8解析:选A 由振幅、频率和初相的定义可知,函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4的振幅为2,频率为1π,初相为π4. 2.为了得到函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3的图象,可以将函数y =2sin 2x 的图象( ) A .向右平移π6个单位长度B .向右平移π3个单位长度C .向左平移π6个单位长度D .向左平移π3个单位长度解析:选A 函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3=2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π6,可由函数y =2sin 2x 的图象向右平移π6个单位长度得到. 3.用五点法作函数y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π6在一个周期内的图象时,主要确定的五个点是______、______、______、______、______.答案:⎝⎛⎭⎫π6,0 ⎝⎛⎭⎫2π3,1 ⎝⎛⎭⎫7π6,0 ⎝⎛⎭⎫5π3,-1 ⎝⎛⎭⎫13π6,04.函数y =A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ为常数,A >0,ω>0)在闭区间[-π,0]上的图象如图所示,则ω=________.答案:35.将函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数解析式为________.解析:函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的最小正周期为π,将函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的图象向右平移14个周期即π4个单位长度,所得函数为y =2sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π4+π6=2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3. 答案:y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3考点一 函数y =A sin (ωx +φ)的图象及变换[师生共研过关][典例精析]某同学用“五点法”画函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2在某一个周期内的图象时,列表并填入了部分数据,如下表:(1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数f (x )的解析式;(2)将函数y =f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到函数y =g (x )的图象.若函数y =g (x )图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫5π12,0,求θ的最小值;(3)作出函数f (x )在长度为一个周期的闭区间上的图象.[解] (1)根据表中已知数据,解得A =5,ω=2,φ=-π6,数据补全如下表:且函数f (x )的解析式为f (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (2)由(1)知f (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, 则g (x )=5sin ⎝⎛⎭⎫2x +2θ-π6. 因为函数y =sin x 图象的对称中心为(k π,0),k ∈Z , 令2x +2θ-π6=k π,k ∈Z ,解得x =k π2+π12-θ,k ∈Z.由于函数y =g (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫5π12,0成中心对称, 所以令k π2+π12-θ=5π12,k ∈Z , 解得θ=k π2-π3,k ∈Z. 由θ>0可知,当k =1时,θ取得最小值π6.(3)由数据作出函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π12,13π12上的图象如图所示,[解题技法]函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象变换的的注意点常规法主要有两种:先平移后伸缩;先伸缩后平移.值得注意的是,对于三角函数图象的平移变换问题,其平移变换规则是“左加、右减”,并且在变换过程中只变换自变量x ,如果x 的系数不是1,那么需把x 的系数提取后再确定平移的单位和方向.[过关训练]1.(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3,则下面结论正确的是( ) A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2解析:选D 易知C 1:y =cos x =sin ⎝⎛⎭⎫x +π2,把曲线C 1上的各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2的图象,再把所得函数的图象向左平移π12个单位长度,可得函数y =sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π12+π2=sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3的图象,即曲线C 2.故选D. 2.若ω>0,函数y =cos ⎝⎛⎭⎫ωx +π3的图象向右平移π3个单位长度后与函数y =sin ωx 的图象重合,则ω的最小值为________.解析:将函数y =cos ⎝⎛⎭⎫ωx +π3的图象向右平移π3个单位长度,得到函数y =cos ⎝⎛⎭⎫ωx -ωπ3+π3的图象.因为所得函数图象与函数y =sin ωx 的图象重合,所以-ωπ3+π3=3π2+2k π(k ∈Z),解得ω=-72-6k (k ∈Z),因为ω>0,所以当k =-1时,ω取得最小值52.答案:52考点二 由图象求函数y =A sin (ωx +φ)的解析式[师生共研过关][典例精析][例1] 已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π),其部分图象如图所示,则函数f (x )的解析式为( )A .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫12x +π4 B .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫12x +3π4 C .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫14x +3π4 D .f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4 [解析] 由题图可知,函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点⎝⎛⎭⎫-π2,2,最低点⎝⎛⎭⎫3π2,-2, 所以函数的最大值为2,即A =2.由图象可得直线x =-π2,x =3π2为相邻的两条对称轴,所以函数的最小正周期T =2×⎣⎡⎦⎤3π2-⎝⎛⎭⎫-π2=4π, 故2πω=4π,解得ω=12. 所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫12x +φ. 把点⎝⎛⎭⎫-π2,2代入可得2sin ⎣⎡⎦⎤12×⎝⎛⎭⎫-π2+φ=2, 即sin ⎝⎛⎭⎫φ-π4=1,所以φ-π4=2k π+π2(k ∈Z), 解得φ=2k π+3π4(k ∈Z). 又0<φ<π,所以φ=3π4. 所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫12x +3π4. [答案] B[例2] 如果存在正整数ω和实数φ使得函数f (x )=sin 2(ωx +φ)的图象如图所示(图象经过点(1,0)),那么ω的值为________.[解析] 因为f (x )=sin 2(ωx +φ)=12-12cos [2(ωx +φ)],所以函数f (x )的最小正周期T =2π2ω=πω,由题图知T 2<1,且3T 4>1,即43<T <2,所以π2<ω<3π4,又因为ω为正整数,所以ω的值为2.[答案] 2[解题技法]确定函数y =A sin(ωx +φ)+B (A >0,ω>0)的解析式的步骤(1)求A ,B ,确定函数的最大值M 和最小值m ,则A =M -m 2,B =M +m 2.(2)求ω,确定函数的周期T ,则ω=2πT .(3)求φ,常用方法有①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.[过关训练]1.函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f ⎝⎛⎭⎫11π24的值为( )A .-62 B .-32C .-22D .-1解析:选D 由图象可得A =2,最小正周期T =4×⎝⎛⎭⎫7π12-π3=π,则ω=2πT =2.又f ⎝⎛⎭⎫7π12=2sin ⎝⎛⎭⎫7π6+φ=-2,|φ|<π2,得φ=π3,则f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3,f ⎝⎛⎭⎫11π24=2sin ⎝⎛⎭⎫11π12+π3=2sin5π4=-1,故选D. 2.(2018·咸阳三模)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π)的部分图象如图所示,则f (x )的解析式为( )A .f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8+π4B .f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8+3π4C .f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8-π4D .f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8-3π4解析:选D 由图象可得,A =23, T =2×[6-(-2)]=16, 所以ω=2πT =2π16=π8.所以f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫π8x +φ. 由函数的对称性得f (2)=-23, 即f (2)=23sin ⎝⎛⎭⎫π8×2+φ=-23, 即sin ⎝⎛⎭⎫π4+φ=-1, 所以π4+φ=2k π-π2(k ∈Z),解得φ=2k π-3π4(k ∈Z). 因为|φ|<π,所以φ=-3π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫πx 8-3π4. 考点三 三角函数模型及其应用[师生共研过关][典例精析]据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx +φ)+B ⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低为5千元,则7月份的出厂价格为________元.[解析] 作出函数简图如图所示,三角函数模型为: y =f (x )=A sin(ωx +φ)+B , 由题意知:A =2 000,B =7 000, T =2×(9-3)=12, ∴ω=2πT =π6.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点, 则有π6×3+φ=π2,∴φ=0,故f (x )=2 000sin π6x +7 000(1≤x ≤12,x ∈N *).∴f (7)=2 000×sin 7π6+7 000=6 000.故7月份的出厂价格为6 000元. [答案] 6 000[解题技法]三角函数模型在实际应用中的2种类型及其解题策略(1)已知函数模型,利用三角函数的有关性质解决问题,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应关系;(2)把实际问题抽象转化成数学问题,建立三角函数模型,再利用三角函数的有关知识解决问题,其关键是建模.[过关训练]1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫π6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为________.解析:设水深的最大值为M ,由题意结合函数图象可得⎩⎪⎨⎪⎧3+k =M ,k -3=2,解得M =8,即水深的最大值为8.答案:82.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y =a +A cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6)(x =1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高为28 ℃,12月份的月平均气温最低为18 ℃,则10月份的月平均气温为________℃.解析:由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a +A =28,a -A =18,即⎩⎪⎨⎪⎧a =23,A =5,所以y =23+5cos ⎣⎡⎦⎤π6(x -6),令x =10,得y =20.5.答案:20.5考点四 三角函数图象与性质的综合问题[师生共研过关][典例精析]已知函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π3(ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2. (1)求函数f (x )的解析式;(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0,求当m 取得最小值时,g (x )在⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间.[解] (1)由函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2,得函数f (x )的最小正周期T=2×π2=2π2ω,解得ω=1,故函数f (x )的解析式为f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )=3sin ⎣⎡⎦⎤2(x +m )+π3=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2m +π3的图象,根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0, 可得3sin ⎝⎛⎭⎫-2π3+2m +π3=0,即sin ⎝⎛⎭⎫2m -π3=0, 所以2m -π3=k π(k ∈Z),m =k π2+π6(k ∈Z),因为m >0,所以当k =0时,m 取得最小值,且最小值为π6.此时,g (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,7π12, 所以2x +2π3∈⎣⎡⎦⎤π3,11π6. 当2x +2π3∈⎣⎡⎦⎤π3,π2,即x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,-π12时,g (x )单调递增, 当2x +2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2,11π6,即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12,7π12时,g (x )单调递增. 综上,g (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤-π6,-π12和⎣⎡⎦⎤5π12,7π12. [解题技法]三角函数图象和性质综合问题的解题策略 (1)图象变换问题先根据和、差角公式、倍角公式把函数表达式变为正弦型函数y =A sin(ωx +φ)+t 或余弦型函数y =A cos(ωx +φ)+t 的形式,再进行图象变换.(2)函数性质问题求函数周期、最值、单调区间的方法步骤: ①利用公式T =2πω(ω>0)求周期; ②根据自变量的范围确定ωx +φ的范围,根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值,另外求最值时,根据所给关系式的特点,也可换元转化为求二次函数的最值;③根据正、余弦函数的单调区间列不等式求函数y =A sin(ωx +φ)+t 或y =A cos(ωx +φ)+t 的单调区间.[过关训练]2020版高考理科数学人教版一轮复习讲义- 11 - (2019·济南模拟)已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π6+32+b . (1)若函数f (x )的图象关于直线x =π6对称,且ω∈[0,3],求函数f (x )的单调递增区间; (2)在(1)的条件下,当x ∈⎣⎡⎦⎤0,7π12时,函数f (x )有且只有一个零点,求实数b 的取值范围. 解:(1)∵函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π6+32+b ,且函数f (x )的图象关于直线x =π6对称,∴2ω·π6+π6=k π+π2(k ∈Z),且ω∈[0,3],∴ω=1.由2k π-π2≤2x +π6≤2k π+π2(k ∈Z),解得k π-π3≤x ≤k π+π6(k ∈Z),∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π3,k π+π6(k ∈Z). (2)由(1)知f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6+32+b . ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,7π12,∴2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,4π3.当2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,π2,即x ∈⎣⎡⎦⎤0,π6时,函数f (x )单调递增;当2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π2,4π3,即x ∈⎣⎡⎦⎤π6,7π12时,函数f (x )单调递减. 又f (0)=f ⎝⎛⎭⎫π3,∴当f ⎝⎛⎭⎫π3>0≥f ⎝⎛⎭⎫7π12或f ⎝⎛⎭⎫π6=0时,函数f (x )有且只有一个零点,即sin 4π3≤-b -32<sin 5π6或1+32+b =0,∴b ∈⎝⎛⎦⎥⎤-2,3-32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫-52. 故实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤-2,3-32∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫-52.。
§4.4函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用考情考向分析以考查函数y=A sin(ωx+φ)的图象的五点法画图、图象之间的平移伸缩变换、由图象求函数解析式以及利用正弦型函数解决实际问题为主,常与三角函数的性质、三角恒等变换结合起来进行综合考查,加强数形结合思想的应用意识.题型为填空题,中档难度.1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示:3.函数y=sin x的图象经变换得到y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径概念方法微思考1.怎样从y =sin ωx 的图象变换得到y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的图象? 提示 向左平移φω个单位长度.2.函数y =sin(ωx +φ)图象的对称轴是什么? 提示 x =k πω+π2ω-φω(k ∈Z ).题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4的图象是由y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4的图象向右平移π2个单位长度得到的.( √ )(2)将函数y =sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y =sin(ωx -φ)的图象.( × )(3)函数y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为T ,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)函数y =sin x 的图象上各点纵坐标不变,横坐标缩短为原来的12,所得图象对应的函数解析式为y =sin 12x .( × )题组二 教材改编2.[P39T2]为了得到函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象,可以将函数y =2sin2x 的图象向________平移________个单位长度. 答案 右π63.[P40T5]y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x -π3的振幅、频率和初相分别为__________________.答案 2,14π,-π34.[P41T1]如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b ,则这段曲线的函数解析式为__________________________.答案 y =10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,14]解析 从题图中可以看出,从6~14时的是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期,所以A =12×(30-10)=10,b =12×(30+10)=20,又12×2πω=14-6,所以ω=π8. 又π8×10+φ=2π+2k π,k ∈Z ,取φ=3π4, 所以y =10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,14].题组三 易错自纠5.将函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的图象向右平移14个周期后,所得图象对应的函数为________________. 答案 y =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3解析 函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的周期为π,将函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的图象向右平移14个周期,即π4个单位长度, 所得函数为y =2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x -π4+π6=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3.6.y =cos(x +1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________. 答案π2+4解析 相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2,横坐标之差恰为半个周期π,故它们之间的距离为π2+4.7.若函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4的值为________.答案3解析 由题干图象可知A =2,34T =11π12-π6=3π4,∴T =π,∴ω=2,∵当x =π6时,函数f (x )取得最大值,∴2×π6+φ=π2+2k π(k ∈Z ),∴φ=π6+2k π(k ∈Z ),又0<φ<π,∴φ=π6,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+π6=2cos π6= 3.题型一函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换例1已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,-π2<φ<π2 的最小正周期是π,且当x =π6时,f (x )取得最大值2.(1)求f (x )的解析式;(2)作出f (x )在[0,π]上的图象(要列表).解 (1)因为函数f (x )的最小正周期是π,所以ω=2. 又因为当x =π6时,f (x )取得最大值2.所以A =2,同时2×π6+φ=2k π+π2,k ∈Z ,φ=2k π+π6,k ∈Z ,因为-π2<φ<π2,所以φ=π6,所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6.(2)因为x ∈[0,π],所以2x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,13π6,列表如下:描点、连线得图象:引申探究在本例条件下,若将函数f (x )的图象向右平移m (m >0)个单位长度后得到函数y =g (x )的图象,且y =g (x )是偶函数,求m 的最小值.解 由已知得y =g (x )=f (x -m )=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x -m )+π6=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x -⎝ ⎛⎭⎪⎫2m -π6是偶函数,所以2m -π6=π2(2k +1),k ∈Z ,m =k π2+π3,k ∈Z ,又因为m >0,所以m 的最小值为π3.思维升华 (1)y =A sin(ωx +φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z =ωx +φ计算五点坐标.(2)由函数y =sin x 的图象通过变换得到y =A sin(ωx +φ)的图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.跟踪训练1 (1)(2018·南通、泰州模拟)在平面直角坐标系xOy 中,将函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象向右平移φ⎝ ⎛⎭⎪⎫0<φ<π2个单位长度,若平移后得到的图象经过坐标原点,则φ的值为________. 答案π6解析 y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象向右平移φ个单位长度后得到y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -2φ+π3,又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-2φ+π3=0,∴-2φ+π3=k π(k ∈Z ), 又0<φ<π2,∴φ=π6.(2)已知函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6(0<ω<2)满足条件:f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12=0,为了得到函数y =f (x )的图象,可将函数g (x )=cos ωx 的图象向右平移m (m >0)个单位长度,则m 的最小值为________. 答案 1解析 由题意得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-12ω+π6=0,即-12ω+π6=k π(k ∈Z ),则ω=π3-2k π(k ∈Z ),结合0<ω<2,得ω=π3,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x +π6=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2-π3x -π6=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3(x -1),所以只需将函数g (x )=cos π3x 的图象向右至少平移1个单位长度,即可得到函数y =f (x )的图象. 题型二由图象确定y =A sin(ωx +φ)的解析式例2(1)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则y =f ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6取得最小值时x 的集合为________________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x =k π-π3,k ∈Z解析 根据题干所给图象,周期T =4×⎝⎛⎭⎪⎫7π12-π3=π,故π=2πω,∴ω=2,因此f (x )=sin(2x +φ),另外图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫7π12,0,代入有2×7π12+φ=π+2k π(k ∈Z ),再由|φ|<π2,得φ=-π6,∴f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6,当2x +π6=-π2+2k π(k ∈Z ),即x =-π3+k π(k ∈Z )时,y =f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6取得最小值.(2)(2019·江苏省扬州中学月考)函数f (x )=6cos2ωx2+3sin ωx -3(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最高点,B ,C 为图象与x 轴的交点,且△ABC 为正三角形.①求ω的值及函数f (x )的值域;②若f (x 0)=835,且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-103,23,求f (x 0+1)的值. 解 ①由已知可得,f (x )=3cos ωx +3sin ωx =23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π3,∴函数f (x )的值域为[-23,23], ∴正三角形ABC 的高为23,从而BC =4,∴函数f (x )的周期T =4×2=8,即2πω=8,ω=π4.②∵f (x 0)=835,由①有f (x 0)=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0+π3=835,即sin ⎝⎛⎭⎪⎫π4x 0+π3=45,由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-103,23,知π4x 0+π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2,π2,∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0+π3=1-⎝ ⎛⎭⎪⎫452=35. ∴f (x 0+1)=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0+π4+π3=23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0+π3+π4=23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0+π3cos π4+cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x 0+π3sin π4=23⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22+35×22=765.思维升华y =A sin(ωx +φ)中φ的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.跟踪训练2已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)+B ⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后,得到函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,32对称,则m 的最小值为________.答案π12解析 依题意得⎩⎪⎨⎪⎧A +B =332,-A +B =-32,解得⎩⎪⎨⎪⎧A =3,B =32,T 2=πω=2π3-π6=π2, 故ω=2,则f (x )=3sin(2x +φ)+32. 又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+φ+32=332,故π3+φ=π2+2k π(k ∈Z ),即φ=π6+2k π(k ∈Z ).因为|φ|<π2,故φ=π6,所以f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6+32.将函数f (x )的图象向左平移m 个单位长度后,得到g (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+2m +32的图象,又函数g (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,32对称,即h (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6+2m 的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0对称, 故3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π3+π6+2m =0,即5π6+2m =k π(k ∈Z ),故m =k π2-5π12(k ∈Z ).又m >0,所以m 的最小值为π12.题型三 三角函数图象、性质的综合应用命题点1 图象与性质的综合问题例3已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,若f (0)=3,且AB →·BC →=π28-8,B ,C 分别为最高点与最低点.(1)求函数f (x )的单调递增区间; (2)若将f (x )的图象向左平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最大值和最小值.解 (1)由f (0)=3,可得2sin φ=3,即sin φ=32. 又∵|φ|<π2,∴φ=π3.由题意可知,AB →=⎝ ⎛⎭⎪⎫14T ,2,BC →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12T ,-4,则AB →·BC →=T28-8=π28-8,∴T =π.故ω=2,∴f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3.由-π2+2k π≤2x +π3≤π2+2k π,k ∈Z ,解得-5π12+k π≤x ≤π12+k π,k ∈Z ,∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-5π12+k π,π12+k π,k ∈Z . (2)由题意将f (x )的图象向左平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,∴g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6+π3 =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +2π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2, ∴2x +2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3,5π3,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +2π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,32.∴当2x +2π3=2π3,即x =0时,sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +2π3=32,g (x )取得最大值3,当2x +2π3=3π2,即x =5π12时,sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +2π3=-1, g (x )取得最小值-2.命题点2 函数零点(方程根)问题例4已知关于x 的方程2sin 2x -3sin2x +m -1=0在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π上有两个不同的实数根,则m的取值范围是____________. 答案 (-2,-1)解析 方程2sin 2x -3sin2x +m -1=0可转化为m =1-2sin 2x +3sin2x =cos2x +3sin2x=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2,π. 设2x +π6=t ,则t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π,136π,∴题目条件可转化为m 2=sin t ,t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π,136π有两个不同的实数根.∴y =m 2和y =sin t ,t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫76π,136π的图象有两个不同交点,如图:由图象观察知,m 2的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫-1,-12,故m 的取值范围是(-2,-1). 引申探究本例中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m 的取值范围是__________. 答案 [-2,1)解析 由上例题知,m 2的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫-1,12, ∴-2≤m <1,∴m 的取值范围是[-2,1).命题点3 三角函数模型例5据市场调查,某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上,按月呈f (x )=A sin(ωx +φ)+B ⎝⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的模型波动(x 为月份),已知3月份达到最高价9千元,9月份价格最低,为5千元,则7月份的出厂价格为______元.答案 6000解析 作出函数简图如图:三角函数模型为y =A sin(ωx +φ)+B ,由题意知A =12(9 000-5 000)=2 000,B =7 000,T =2×(9-3)=12,∴ω=2πT =π6.将(3,9 000)看成函数图象的第二个特殊点, 则有π6×3+φ=π2,∴φ=0,故f (x )=2 000sin π6x +7 000(1≤x ≤12,x ∈N *).∴f (7)=2 000×sin 7π6+7 000=6 000(元).故7月份的出厂价格为6 000元.思维升华 (1)研究y =A sin(ωx +φ)的性质时可将ωx +φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.(2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.跟踪训练3(1)已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22,且过点⎝⎛⎭⎪⎫2,-12,则函数f (x )的解析式为______________.答案 f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2+π6解析 根据已知两个相邻最高点和最低点的距离为22,可得⎝ ⎛⎭⎪⎫T 22+(1+1)2=22,解得T =4,故ω=2πT =π2,即f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 2+φ. 又函数图象过点⎝⎛⎭⎪⎫2,-12,故f (2)=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2×2+φ=-sin φ=-12,又-π2≤φ≤π2,解得φ=π6,故f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫πx 2+π6.(2)(2019·江苏省淮海中学测试)已知函数f (x )=4sin x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3+ 3.①求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值;②若方程f (x )-t =0在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π2上有唯一解,求实数t 的取值范围. 解 ①f (x )=4sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x cos π3-sin x sin π3+ 3 =2sin x cos x -23sin 2x + 3 =sin2x +3cos2x =2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.因为-π4≤x ≤π6,所以-π6≤2x +π3≤2π3,所以-12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3≤1,所以-1≤f (x )≤2,当2x +π3=-π6,即x =-π4时,f (x )min =-1;当2x +π3=π2,即x =π12时,f (x )max =2.②因为当-π4≤x ≤π12时,-π6≤2x +π3≤π2,所以-1≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3≤2,且单调递增;当π12≤x ≤π2时,π2≤2x +π3≤4π3, 所以-3≤2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3≤2,且单调递减,所以f (x )=t 有唯一解时对应t 的取值范围是t ∈[-3,-1)或t =2.三角函数图象与性质的综合问题例(14分)已知函数f (x )=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4-sin(x +π).(1)求f (x )的最小正周期;(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )在区间[0,π]上的最大值和最小值. 规范解答解 (1)f (x )=23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2+π4 -sin(x +π)=3cos x +sin x [3分]=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3,[5分]于是T =2π1=2π.[6分](2)由已知得g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π6=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6,[8分]∵x ∈[0,π],∴x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,7π6,∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,1,[10分]∴g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6∈[-1,2].[12分]故函数g (x )在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.[14分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步:(化简)将f (x )化为a sin x +b cos x 的形式;第二步:(用辅助角公式)构造f (x )=a 2+b 2·⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2+b 2+cos x ·b a 2+b 2;第三步:(求性质)利用f (x )=a 2+b 2sin(x +φ)研究三角函数的性质.1.(2018·南通模拟)在平面直角坐标系xOy 中,将函数y =cos2x 的图象向右平移π6个单位长度得到g (x )的图象,则g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为________. 答案 -12解析 由题意得,将函数y =cos2x 的图象向右平移π6个单位长度,得到g (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图象,所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2=cos ⎝⎛⎭⎪⎫π-π3=-12.2.若将函数f (x )=sin2x +cos2x 的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是________. 答案3π8解析 f (x )=sin2x +cos2x =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4,将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4-2φ,且该函数为偶函数, 故2φ+π4=k π(k ∈Z ),所以φ的最小正值为3π8.3.函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6(ω>0)的最小正周期是π,则其图象向右平移π3个单位长度后对应函数的单调递减区间是________________. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4+k π,3π4+k π(k ∈Z )解析 由题意知ω=2ππ=2,将函数f (x )的图象向右平移π3个单位长度后得到函数g (x )=cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π3+π6=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π2=sin2x 的图象,由2k π+π2≤2x ≤2k π+3π2(k ∈Z ),解得所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π+π4,k π+3π4(k ∈Z ).4.函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f (x )的单调递增区间为________.答案 [-3+8k,1+8k ](k ∈Z )解析 由题图知,T =4×(3-1)=8,所以ω=2πT =π4,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +φ.把(1,1)代入,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+φ=1,即π4+φ=π2+2k π(k ∈Z ),又|φ|<π2,所以φ=π4,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4x +π4.由2k π-π2≤π4x +π4≤2k π+π2(k ∈Z ),得8k -3≤x ≤8k +1(k ∈Z ),所以函数f (x )的单调递增区间为[8k -3,8k +1](k ∈Z ).5.(2018·江苏泰州中学月考)将函数y =sin2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0),使得平移后的图象仍过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,32,则φ的最小值为________. 答案π6解析 将y =sin2x 的图象向右平移φ个单位长度(φ>0)得到y =sin2(x -φ),代入点⎝⎛⎭⎪⎫π3,32得32=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3-2φ,因为φ>0,所以当2π3-2φ=π3时,第一个正弦值为32的角,此时φ最小,为π6.6.将函数f (x )=sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后关于原点对称,则函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上的最小值为________.答案 -32解析 将函数f (x )=sin(2x +φ)的图象向左平移π6个单位长度得到y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π6+φ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3+φ的图象,该图象关于原点对称,即为奇函数,则π3+φ=k π(k ∈Z ),又|φ|<π2,所以φ=-π3,即f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3.当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,2x -π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3,所以当2x -π3=-π3,即x =0时,f (x )取得最小值,最小值为-32.7.已知函数f (x )=A tan(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24=________.答案3解析 由题干图象知πω=2×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8-π8=π2,所以ω=2.因为2×π8+φ=k π+π2(k ∈Z ),所以φ=k π+π4(k ∈Z ),又|φ|<π2,所以φ=π4,这时f (x )=A tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4.又函数图象过点(0,1),代入上式得A =1,所以f (x )=tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4.所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π24+π4= 3.8.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,又x 1,x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫-π6,π3,且f (x 1)=f (x 2),则f (x 1+x 2)=________.答案32解析 由题图可知,T 2=π3-⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6=π2,则T =π,ω=2,又-π6+π32=π12,所以f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12,1,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π12+φ=1, 所以2×π12+φ=π2+2k π,k ∈Z ,又|φ|<π2,可得φ=π3,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3.由f (x 1)=f (x 2),x 1,x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,π3,可得x 1+x 2=-π6+π3=π6,所以f (x 1+x 2)=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6+π3=sin 2π3=32.9.(2018·南京模拟)在同一直角坐标系中,函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π3(x ∈[0,2π])的图象和直线y =12的交点的个数是________.答案 2解析 方法一 令sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3=12,可得x +π3=2k π+π6或x +π3=2k π+5π6,k ∈Z ,即x =2k π-π6或x =2k π+π2,k ∈Z ,又x ∈[0,2π],所以x =11π6或x =π2,故原函数图象与y =12的交点的个数是2.方法二 在同一个坐标系下画出这两个函数图象,可得交点个数为2.10.已知函数f (x )=cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π3,其中x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,m ,若f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-32,则m的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9,5π18 解析 画出函数的图象如图所示.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,m ,可知5π6≤3x +π3≤3m +π3,因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=cos 5π6=-32且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π9=cosπ=-1,要使f (x )的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤-1,-32,只要2π9≤m ≤5π18,即m ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π9,5π18.11.已知函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx +π6(其中0<ω<1),若点⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,0是函数f (x )图象的一个对称中心.(1)求ω的值,并求出函数f (x )的单调递增区间; (2)先列表,再作出函数f (x )在区间[-π,π]上的图象.解 (1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫-π6,0是函数f (x )图象的一个对称中心,所以-ωπ3+π6=k π(k ∈Z ),ω=-3k +12(k ∈Z ), 因为0<ω<1,所以当k =0时,可得ω=12.所以f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6.令2k π-π2≤x +π6≤2k π+π2(k ∈Z ),解得2k π-2π3≤x ≤2k π+π3(k ∈Z ),所以函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π-2π3,2k π+π3(k ∈Z ).(2)由(1)知,f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x +π6,x ∈[-π,π], 列表如下:作出函数部分图象如图所示:12.设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π2,其中0<ω<3.已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0. (1)求ω;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4上的最小值.解 (1)因为f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π2,所以f (x )=32sin ωx -12cos ωx -cos ωx =32sin ωx -32cos ωx =3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx -32cos ωx=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0, 所以ωπ6-π3=k π,k ∈Z , 故ω=6k +2,k ∈Z .又0<ω<3, 所以ω=2.(2)由(1)得f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3, 所以g (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4-π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4, 所以x -π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3,当x -π12=-π3,即x =-π4时,g (x )取得最小值-32.13.将函数f (x )=sin(2x +θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫-π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后,得到函数g (x )的图象,若f (x ),g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32,则φ的值为________. 答案5π6解析 g (x )=sin[2(x -φ)+θ]=sin(2x -2φ+θ),若f (x ),g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0,32, 所以sin θ=32,sin(-2φ+θ)=32, 又-π2<θ<π2,所以θ=π3,sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3-2φ=32.又0<φ<π,所以-5π3<π3-2φ<π3,所以π3-2φ=-4π3.即φ=5π6.14.已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f (x )的最小正周期为________. 答案 π解析 f (x )=3sin ωx +cos ωx =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6(ω>0).由2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6=1,得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π6=12,∴ωx +π6=2k π+π6或ωx +π6=2k π+5π6(k ∈Z ).令k =0,得ωx 1+π6=π6,ωx 2+π6=5π6,∴x 1=0,x 2=2π3ω.由|x 1-x 2|=π3,得2π3ω=π3,∴ω=2.故f (x )的最小正周期T =2π2=π.15.已知函数y =M sin(ωx +φ)(M >0,ω>0,0<φ<π)的图象关于直线x =13对称.该函数的部分图象如图所示,AC =BC =22,C =90°,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的值为________.答案 34解析 依题意知,△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形, 因此其边AB 上的高是12,函数f (x )的最小正周期是2, 故M =12,2πω=2,ω=π,f (x )=12sin(πx +φ). 又f (x )的图象关于直线x =13对称,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13=12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+φ=±12. ∴π3+φ=k π+π2,k ∈Z ,又0<φ<π, ∴φ=π6, ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12=12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+π6=34. 16.已知函数f (x )=A sin(2x +φ)-12⎝⎛⎭⎪⎫A >0,0<φ<π2的图象在y 轴上的截距为1,且关于直线x =π12对称,若存在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2,使m 2-3m ≥f (x )成立,则实数m 的取值范围为______________.答案 (-∞,1]∪[2,+∞)解析 ∵函数f (x )=A sin(2x +φ)-12⎝⎛⎭⎪⎫A >0,0<φ<π2的图象在y 轴上的截距为1, ∴A sin φ-12=1,即A sin φ=32. ∵函数f (x )=A sin(2x +φ)-12的图象关于直线x =π12对称, ∴2×π12+φ=k π+π2,k ∈Z , 又0<φ<π2,∴φ=π3,∴A ·sin π3=32, ∴A =3,∴f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π3-12. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2时,2x +π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3,4π3, ∴当2x +π3=4π3,即x =π2时, f (x )min =-32-12=-2.令m 2-3m ≥-2,解得m ≥2或m ≤1.。
课时作业(二十)第20讲函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用时间/ 45分钟分值/ 100分基础热身1.若函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度后得到y=f(x)的图像,则()A.f(x)=-cos 2xB.f(x)=sin 2xC.f(x)=cos 2xD.f(x)=-sin 2x2.要得到函数y=sin-的图像,只需将函数y=sin2x-图像上所有点的横坐标()A.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度B.伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向右平移个单位长度C.缩短为原来的(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移个单位长度D.缩短为原来的(纵坐标不变),再将得到的图像向右平移个单位长度3.[2018·达州四模]将函数y=3sin的图像向左平移个单位长度,然后再将得到的图像向下平移1个单位长度,则所得图像的一个对称中心为()A.-B.-C.--D.--4.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<的部分图像如图K20-1所示,则函数f(x)的解析式为()图K20-1A.f(x)=2sinB.f(x)=2sin-C.f(x)=2sin-D.f(x)=2sin5.[2018·扬州模拟]若将函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图像向左平移个单位长度所得到的图像关于原点对称,则φ= .能力提升6.[2018·厦门质检]如图K20-2所示,函数y=tan的部分图像与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积为()图K20-2A.B.C.πD.2π7.[2018·广州仲元中学月考]函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-<φ<在区间上是增函数,则下列说法一定正确的是 ()A.f=-1B.f(x)的最小正周期为C.ω的最大值为4D.f=08.若方程2sin=m在x∈时有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,]9.[2018·咸阳三模]已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图K20-3所示,将f(x)的图像向右平移2个单位长度后得到g(x)的图像,则g(x)的解析式为()图K20-3A.g(x)=2sinB.g(x)=-2sinC.g(x)=2cosD.g(x)=-2cos10.[2018·成都三模]将函数f(x)=sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再将所得图像向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,则函数g(x)的单调递增区间为()A.-(k∈Z)B.-(k∈Z)C.-(k∈Z)D.-(k∈Z)11.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像关于点M对称,且点M到该函数图像的对称轴的距离的最小值为,则()A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的初相φ=C.f(x)在区间上是减函数D.将f(x)的图像向左平移个单位长度后与函数y=cos 2x的图像重合12.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图像向左平移个单位长度,得到偶函数g(x)的图像,则φ的最大值是.图K20-413.[2018·北京海淀区模拟]如图K20-4所示,弹簧挂着一个小球做上下运动,小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定:h=sin t+cos t,t∈[0,+∞),则小球在开始运动(即t=0)时h的值为,小球运动过程中最大的高度差为厘米.14.(12分)[2018·齐鲁名校调研]设函数f(x)=A sin(x∈R,A>0,ω>0),若点P(0,1)在f(x)的图像上,且将f(x)的图像向左平移个单位长度后,所得的图像关于y轴对称.(1)求ω的最小值;(2)在(1)的条件下,求不等式f(x)≤1的解集.15.(13分)[2018·常州模拟]如图K20-5为函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图像的一部分,其中点P是图像的一个最高点,点Q是图像与x轴的一个交点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图像沿x轴向右平移个单位长度,再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的解析式及单调递增区间.图K20-5难点突破16.(5分)[2018·赣州二模]若函数f(x)=3cos2x+-a在区间上有两个零点x1,x2,则x1+x2=()A.B.C.D.2π17.(5分)[2018·丹东质检]若函数f(x)=2sin2x+在区间和上都是单调递增函数,则实数x0的取值范围为()A.B.C.D.课时作业(二十)1.C[解析] 函数y=sin 2x的图像向左平移个单位长度后得到y=sin 2的图像,所以f(x)=cos 2x.2.A[解析] 将函数y=sin-图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变), 得到y=sin-=sin-的图像,再将得到的图像向左平移个单位长度,得到y=sin-=sin-的图像.故选A.3.C[解析] 由题得,平移后所得图像对应的函数解析式为y=3sin-1.令2x+=kπ(k∈Z),得x=-(k∈Z),令k=0,可得所得图像的一个对称中心为--,故选C.4.D[解析] 由函数的图像得A=2,T=4×-=π,∴=π,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+φ).∵f=2sin=2,∴sin=1,则+φ=+2kπ,k∈Z,∴φ=2kπ+,k∈Z.∵|φ|<,∴φ=,则函数f(x)=2sin.故选D.5.[解析] 将函数f(x)=cos(2x+φ)的图像向左平移个单位长度所得到的图像对应的函数解析式为y=cos=cos.由题意得,函数y=cos为奇函数,∴+φ=+kπ,k∈Z,∴φ=+kπ,k∈Z,又0<φ<π,∴φ=.6.A[解析] 在y=tan中,令x=0,得y=tan=1,所以OD=1.又函数y=tan的最小正周期T=,所以EF=,所以S△DEF=·EF·OD=××1=.故选A.7.C[解析] 由题意知-≤T,所以T≥,所以≤,所以ω≤4,所以选项C一定正确.故选C.8.C[解析] 方程2sin=m可化为sin2x+=,当x∈时,2x+∈.由方程2sin=m在上有两个不等实根,得≤<1,即1≤m<2,∴m的取值范围是[1,2).9.B[解析] 根据函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像,可得A=2,·=6+2,∴ω=.由图像可知,×6+φ=π+2kπ,k∈Z,解得φ=π+2kπ,k∈Z,又∵|φ|<π,∴φ=,∴f(x)=2cos.把f(x)的图像向右平移2个单位长度后,可得g(x)=2cos-=2cos=-2sin x的图像,故选B.10.C[解析] 将函数f(x)=sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),可得y=sin 2x的图像,再将所得图像向右平移个单位长度,得到函数g(x)=sin2-=sin-的图像.令2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,可得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数g(x)的单调递增区间为-,k∈Z.故选C.11.D[解析] 因为点M到函数图像的对称轴的距离的最小值为,所以=,即T=π,所以ω==2,选项A不正确;函数f(x)=sin(2x+φ),由f=0得sin=0,所以φ=-+kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,选项B不正确;f(x)=sin,当≤x≤时,π≤2x+≤,而函数y=sin x在上不具有单调性,选项C不正确;将函数f(x)的图像向左平移个单位长度后,得到y=sin=sin=cos 2x的图像,故选项D正确.12.-[解析] 将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图像向左平移个单位长度,得到y=2sin2+φ=2sin的图像,所以g(x)=2sin2x++φ.又g(x)为偶函数,所以+φ=+kπ,k∈Z,即φ=-+kπ,k∈Z,又因为φ<0,所以φ的最大值为-.13.4[解析] 由题可得h=sin t+cos t=2=2sin,令t=0,可得h=.由振幅为2,可得小球运动过程中最大的高度差为4厘米.14.解:(1)由题可知,f(0)=A sin=1,所以A=2.因为f=2sin=2sin,且y=fx+的图像关于y轴对称,所以+=kπ+,k∈Z,即ω=3k+1,k∈Z.又ω>0,所以ω的最小值为1.(2)由f(x)=2sin≤1,得2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,解得kπ-≤x≤kπ,k∈Z,所以不等式的解集为xkπ-≤x≤kπ,k∈Z.15.解:(1)由图像可知A=2,T=4×-=4π,∴ω==,∴f(x)=2sin.∵点P是函数f(x)图像的一个最高点,∴2sin=2,∴+φ=+2kπ(k∈Z),又∵|φ|<π,∴φ=-,故f(x)=2sin-.(2)由(1)得,f(x)=2sin-,把函数f(x)的图像沿x轴向右平移个单位,得到y=2sin-的图像,再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的(纵坐标不变),得到g(x)=2sin-的图像,∴g(x)=2sin-.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),∴g(x)的单调递增区间是-(k∈Z).16.C[解析] 当x∈时,2x+∈,令2x+=π,解得x=,所以有x1+x2=,故选C.17.B[解析] 由2kπ-≤2x+≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,所以函数f(x)的两个单调递增区间为-和,因此解得≤x0≤,故选B.。
课时作业20 函数y=Asin(ωx+φ)的图象及简单三角函数模型的应用+π4(k ∈Z ),故A 中说法正确.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-5π8,-π4时,2x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-5π4,-π2,g (x )单调递减,但g (x )为奇函数,故B 中说法不正确.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-9π8,-7π8时,2x ∈⎝⎛⎭⎪⎫-9π4,-7π4,g (x )单调递增,又g (x )为奇函数,故C 中说法正确.g (x )图象的对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫k π2,0(k ∈Z ),故D 中说法正确.答案:B3.[2019·成都检测]已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示.现将函数f (x )图象上的所有点向右平移π4个单位长度后得到函数g (x )的图象,则函数g (x )的解析式为( )A .g (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4B .g (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +3π4C .g (x )=2cos2xD .g (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4 解析:由图象,知A =2,T =4×⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8-3π8=π,所以ω=2πT =2,将点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8,-2代入f (x )=2sin(2x +φ)得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π4+φ=-1,即5π4+φ=2k π+3π2(k ∈Z ),结合|φ|<π2,得φ=π4,所以f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4,所以g (x )=f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4,故选D.答案:D4.[2019·河北、河南重中点学联考]若对于任意x ∈R 都有f (x )+2f (-x )=3cos x -sin x ,则函数f (2x )图象的对称中心为( )数f (x )的一个单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,5π12,结合选项可知⎝ ⎛⎭⎪⎫-π12,π3⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π12,5π12,故选A. 答案:A 二、填空题6.函数f (x )=tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y =π4所得线段长为π4,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=________.解析:依题意πω=π4,∴ω=4.∴f (x )=tan4x .∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4=tanπ=0.答案:07.[2019·山西省八校第一次联考]已知函数y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则φ=________.解析:由函数图象得A =2,所以y =2sin(ωx +φ),因为图象过点(0,-1),所以sin φ=-12,因为x =0位于图象的单调递减区间,所以φ=2k π-5π6(k ∈Z ),又-π<φ<0,所以φ=-5π6. 答案:-5π68.[2019·山东省,湖北省部分重点中学二轮质量检测]已知函数f (x )=sin ωx +2cos ωx (ω>0)的图象与x 轴的两个相邻交点之间的距离为2π,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2的值为________.解析:由题意可知,f (x )的最小正周期为4π.∵f (x )=sin ωx +2cos ωx =5sin(ωx +φ0)(其中tan φ0=2), ∴2πω=4π,解得ω=12, ∴f (x )=sin 12x +2cos 12x ,x +π6-5π6-π20 π2 π 7π6 x -π -2π3-π6π3 5π6 π y-1-2 02-1则函数f (x )在区间x ∈[-π,π]上的图象如图所示.10.[2017·山东卷]设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π2,其中0<ω<3,已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0.(1)求ω;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4上的最小值.解析:(1)因为f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π2,所以f (x )=32sin ωx -12cos ωx -cos ωx =32sin ωx -32cos ωx =3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx -32cos ωx =3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π3.由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0,所以ωπ6-π3=k π,k ∈Z ,故ω=6k +2,k ∈Z . 又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3,所以g (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4-π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12.。
§4.4函数y=A sin(ωx+φ)的图象及应用1.y=A sin(ωx+φ)的有关概念2.用五点法画y=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,x∈R)一个周期内的简图时,要找五个特征点如下表所示:3.函数y =sin x 的图象经变换得到y =A sin(ωx +φ)(A >0,ω>0)的图象的两种途径知识拓展1.函数y =A sin(ωx +φ)+k 图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.2.由y =sin ωx 到y =sin(ωx +φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度.3.函数y =A sin(ωx +φ)的对称轴由ωx +φ=k π+π2,k ∈Z 确定;对称中心由ωx +φ=k π,k ∈Z确定其横坐标.题组一 思考辨析1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)y =sin ⎝⎛⎭⎫x -π4的图象是由y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π4的图象向右平移π2个单位长度得到的.( √ ) (2)将函数y =sin ωx 的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度,得到函数y =sin(ωx -φ)的图象.( × )(3)函数y =A cos(ωx +φ)的最小正周期为T ,那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.( √ ) (4)由图象求函数解析式时,振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.( √ ) 题组二 教材改编2.[P55T2]为了得到函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3的图象,可以将函数y =2sin 2x 的图象( ) A .向右平移π6个单位长度B .向右平移π3个单位长度C .向左平移π6个单位长度3答案 A3.[P58A 组T3]函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫12x -π3的振幅、频率和初相分别为( ) A .2,4π,π3B .2,14π,π3C .2,14π,-π3D .2,4π,-π3答案 C解析 由题意知A =2,f =1T =ω2π=14π,初相为-π3.4.[P62例4]如图,某地一天从6~14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b ,则这段曲线的函数解析式为__________________________.答案 y =10sin ⎝⎛⎭⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,14] 解析 从图中可以看出,从6~14时的是函数 y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期, 所以A =12×(30-10)=10,b =12×(30+10)=20, 又12×2πω=14-6, 所以ω=π8.又π8×10+φ=2π+2k π,k ∈Z ,取φ=3π4, 所以y =10sin ⎝⎛⎭⎫π8x +3π4+20,x ∈[6,14]. 题组三 易错自纠5.要得到函数y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象( ) A .向左平移π12个单位长度B .向右平移π12个单位长度3D .向右平移π3个单位长度答案 B解析 ∵y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3=sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫x -π12, ∴要得到y =sin ⎝⎛⎭⎫4x -π3的图象,只需将函数y =sin 4x 的图象向右平移π12个单位长度. 6.将函数y =cos 2x +1的图象向右平移π4个单位长度,再向下平移1个单位长度后得到的函数图象对应的表达式为( ) A .y =sin 2x B .y =sin 2x +2 C .y =cos 2x D .y =cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4 答案 A解析 将函数y =cos 2x +1的图象向右平移π4个单位长度得到y =cos 2⎝⎛⎭⎫x -π4+1=sin 2x +1,再向下平移1个单位长度得到y =sin 2x ,故选A.7.设函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2<φ<π2的图象关于直线x =2π3对称,它的周期是π,则下列说法正确的是________.(填序号) ①f (x )的图象过点⎝⎛⎭⎫0,32; ②f (x )在⎣⎡⎦⎤π12,2π3上是减函数; ③f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎫5π12,0;④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y =3sin ωx 的图象. 答案 ①③解析 ∵周期为π,∴2πω=π,∴ω=2,∴f (x )=3sin(2x +φ),f ⎝⎛⎭⎫2π3=3sin ⎝⎛⎭⎫4π3+φ, 则sin ⎝⎛⎭⎫4π3+φ=1或-1.又φ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,4π3+φ∈⎝⎛⎭⎫5π6,11π6, ∴4π3+φ=3π2,∴φ=π6,∴f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6. ①令x =0,则f (x )=32,正确.②令2k π+π2<2x +π6<2k π+3π2,k ∈Z ,则k π+π6<x <k π+2π3,k ∈Z .令k =0,得π6<x <2π3,即f (x )在⎝⎛⎭⎫π6,2π3上单调递减,而在⎝⎛⎭⎫π12,π6上单调递增,错误. ③令x =5π12,则f (x )=3sin π=0,正确.④应平移π12个单位长度,错误.题型一 函数y =A sin(ωx +φ)的图象及变换 典例 已知函数y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. (1)求它的振幅、周期、初相;(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象;(3)说明y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象可由y =sin x 的图象经过怎样的变换而得到. 解 (1)y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的振幅A =2, 周期T =2π2=π,初相φ=π3.(2)令X =2x +π3,则y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3=2sin X . 列表如下:描点画出图象,如图所示:(3)方法一 把y =sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度,得到y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象; 再把y =sin ⎝⎛⎭⎫x +π3的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),得到y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象; 最后把y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变),即可得到y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象. 方法二 将y =sin x 的图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变),得到y =sin 2x的图象;再将y =sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度,得到y =sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x +π6=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象; 再将y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象上所有点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变),即得到y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象. 思维升华 (1)y =A sin(ωx +φ)的图象可用“五点法”作简图得到,可通过变量代换z =ωx +φ计算五点坐标.(2)由函数y =sin x 的图象通过变换得到y =A sin(ωx +φ)图象有两条途径:“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.跟踪训练 (1)(2018届安阳林州一中调研)将函数y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图象向右平移m (m >0)个单位长度,所得函数图象关于y 轴对称,则m 的最小值为( ) A.5π12 B.π3 C.π12 D.7π12答案 A解析 平移后的函数解析式为y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3-2m , 又图象关于y 轴对称,则sin ⎝⎛⎭⎫π3-2m =±1, ∴π3-2m =k π+π2,k ∈Z ,∴m =-k π2-π12,k ∈Z , 又m >0,∴m 的最小值为5π12.(2)把函数y =sin x 的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图象向左平移π4个单位长度,得到的函数图象的解析式是________.答案 y =cos 2x解析 由y =sin x 图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图象的解析式为y =sin 2x ,再向左平移π4个单位长度得y =sin 2⎝⎛⎭⎫x +π4,即y =cos 2x . 题型二 由图象确定y =A sin(ωx +φ)的解析式典例 (1)函数y =A sin(ωx +φ)的部分图象如图所示,则y =________________.答案 2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6 解析 由题图可知,A =2,T =2⎣⎡⎦⎤π3-⎝⎛⎭⎫-π6=π,所以ω=2,由五点作图法可知2×π3+φ=π2,所以φ=-π6,所以函数的解析式为y =2sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (2)已知函数f (x )=sin(ωx +φ) ⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则y =f ⎝⎛⎭⎫x +π6取得最小值时x 的集合为________.答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x =k π-π3,k ∈Z解析 根据所给图象,周期T =4×⎝⎛⎭⎫7π12-π3=π,故π=2πω,∴ω=2,因此f (x )=sin(2x +φ),另外图象经过点⎝⎛⎭⎫7π12,0,代入有2×7π12+φ=π+2k π(k ∈Z ),再由|φ|<π2,得φ=-π6,∴f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6,∴f ⎝⎛⎭⎫x +π6=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6,当2x +π6=-π2+2k π(k ∈Z ),即x =-π3+k π(k ∈Z )时,y =f ⎝⎛⎭⎫x +π6取得最小值. 思维升华 y =A sin(ωx +φ)中φ的确定方法(1)代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.(2)五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.跟踪训练 (2018·山东重点中学模拟)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,|φ|<π2,ω>0的图象的一部分如图所示,则f (x )图象的对称轴方程是________.答案 x =k π2+π6(k ∈Z )解析 由图象知A =2,又1=2sin(ω×0+φ),即sin φ=12,又|φ|<π2,∴φ=π6.又11π12×ω+π6=2π,∴ω=2,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6, 令2x +π6=π2+k π(k ∈Z ),解得x =k π2+π6(k ∈Z ),∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6的对称轴方程为 x =k π2+π6(k ∈Z ).题型三 三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型典例 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫π6x +φ+k ,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A .5B .6C .8D .10答案 C解析 由题干图得y min =k -3=2,则k =5. ∴y max =k +3=8.命题点2 函数零点(方程根)问题典例 已知关于x 的方程2sin 2x -3sin 2x +m -1=0在⎝⎛⎭⎫π2,π上有两个不同的实数根,则m 的取值范围是____________. 答案 (-2,-1)解析 方程2sin 2x -3sin 2x +m -1=0可转化为 m =1-2sin 2x +3sin 2x =cos 2x +3sin 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6,x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π. 设2x +π6=t ,则t ∈⎝⎛⎭⎫76π,136π, ∴题目条件可转化为m2=sin t ,t ∈⎝⎛⎭⎫76π,136π有两个不同的实数根. ∴y 1=m2和y 2=sin t ,t ∈⎝⎛⎭⎫76π,136π的图象有两个不同交点,如图:由图象观察知,m2的取值范围是⎝⎛⎭⎫-1,-12, 故m 的取值范围是(-2,-1). 引申探究本例中,若将“有两个不同的实数根”改成“有实根”,则m 的取值范围是__________.答案 [-2,1)解析 由上例题知,m2的取值范围是⎣⎡⎭⎫-1,12, ∴-2≤m <1,∴m 的取值范围是[-2,1). 命题点3 三角函数图象性质的综合典例 (2017·潍坊模拟)已知函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π3 (ω>0)的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2.(1)求函数f (x )的解析式;(2)若将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0,求当m 取得最小值时,g (x )在⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间. 解 (1)函数f (x )的图象与x 轴相邻两个交点的距离为π2,得函数f (x )的最小正周期为T =2×π2=2π2ω,得ω=1, 故函数f (x )的解析式为f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3. (2)将f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度得到函数g (x )=3sin ⎣⎡⎦⎤2(x +m )+π3=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2m +π3的图象,根据g (x )的图象恰好经过点⎝⎛⎭⎫-π3,0, 可得3sin ⎝⎛⎭⎫-2π3+2m +π3=0, 即sin ⎝⎛⎭⎫2m -π3=0, 所以2m -π3=k π(k ∈Z ),m =k π2+π6(k ∈Z ),因为m >0,所以当k =0时,m 取得最小值,且最小值为π6.此时,g (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,7π12,所以2x +2π3∈⎣⎡⎦⎤π3,11π6. 当2x +2π3∈⎣⎡⎦⎤π3,π2,即x ∈⎣⎡⎦⎤-π6,-π12时,g (x )单调递增, 当2x +2π3∈⎣⎡⎦⎤3π2,11π6,即x ∈⎣⎡⎦⎤5π12,7π12时,g (x )单调递增.综上,g (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π6,7π12上的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤-π6,-π12和⎣⎡⎦⎤5π12,7π12. 思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题. (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.(3)研究y =A sin(ωx +φ)的性质时可将ωx +φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行解题.跟踪训练 (1)已知角φ的终边经过点P (-4,3),函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2,则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________. 答案 -45解析 由角φ的终边经过点P (-4,3), 可得cos φ=-45,sin φ=35.根据函数f (x )=sin(ωx +φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π2,可得周期为2πω=2×π2, 解得ω=2,∴f (x )=sin(2x +φ), ∴f ⎝⎛⎭⎫π4=sin ⎝⎛⎭⎫π2+φ=cos φ=-45. (2)若函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6(ω>0)满足f (0)=f ⎝⎛⎭⎫π3,且函数在⎣⎡⎦⎤0,π2上有且只有一个零点,则f (x )的最小正周期为________. 答案 π解析 ∵f (0)=f ⎝⎛⎭⎫π3,∴x =π6是f (x )图象的一条对称轴,∴f ⎝⎛⎭⎫π6=±1,∴π6×ω+π6=π2+k π,k ∈Z , ∴ω=6k +2,k ∈Z ,∴T =π3k +1(k ∈Z ). 又f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上有且只有一个零点, ∴π6≤T 4≤π2-π6,∴2π3≤T ≤4π3, ∴2π3≤π3k +1≤4π3(k ∈Z ),∴-112≤k ≤16, 又∵k ∈Z ,∴k =0,∴T =π.三角函数图象与性质的综合问题典例 (12分)已知函数f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π4·cos ⎝⎛⎭⎫x 2+π4-sin(x +π). (1)求f (x )的最小正周期;(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度,得到函数g (x )的图象,求函数g (x )在区间[0,π]上的最大值和最小值.思维点拨 (1)先将f (x )化成y =A sin(ωx +φ)的形式再求周期;(2)将f (x )解析式中的x 换成x -π6,得g (x ),然后利用整体思想求最值.规范解答解 (1)f (x )=23sin ⎝⎛⎭⎫x 2+π4cos ⎝⎛⎭⎫x 2+π4-sin(x +π)=3cos x +sin x [3分] =2sin ⎝⎛⎭⎫x +π3,[5分] 于是T =2π1=2π.[6分](2)由已知得g (x )=f ⎝⎛⎭⎫x -π6=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π6,[8分] ∵x ∈[0,π],∴x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,7π6, ∴sin ⎝⎛⎭⎫x +π6∈⎣⎡⎦⎤-12,1,[10分] ∴g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x +π6∈[-1,2].[11分] 故函数g (x )在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.[12分]解决三角函数图象与性质的综合问题的一般步骤 第一步:(化简)将f (x )化为a sin x +b cos x 的形式;第二步:(用辅助角公式)构造f (x )=a 2+b 2·⎝⎛⎭⎪⎫sin x ·a a 2+b 2+cos x ·b a 2+b 2;第三步:(求性质)利用f (x )=a 2+b 2sin(x +φ)研究三角函数的性质; 第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范.1.(2017·全国Ⅰ)已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3,则下面结论正确的是( ) A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2 答案 D解析 因为y =sin ⎝⎛⎭⎫2x +2π3=cos ⎝⎛⎭⎫2x +2π3-π2=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,所以曲线C 1:y =cos x 上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到曲线y =cos 2x ,再把得到的曲线y =cos 2x 向左平移π12个单位长度,得到曲线y =cos 2⎝⎛⎭⎫x +π12=cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6.故选D. 2.(2018·洛阳统考)若将函数f (x )=sin 2x +cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是( ) A.π8 B.π4 C.3π8 D.5π4答案 C解析 f (x )=sin 2x +cos 2x =2cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4,将函数f (x )的图象向右平移φ个单位长度后所得图象对应的函数为y =2cos ⎝⎛⎭⎫2x -π4-2φ,且该函数为偶函数, 故2φ+π4=k π(k ∈Z ),所以φ的最小正值为3π8.3.(2017·衡水中学模拟)若函数y =sin(ωx -φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,|φ|<π2在区间⎣⎡⎦⎤-π2,π上的图象如图所示,则ω,φ的值分别是( )A .ω=2,φ=π3B .ω=2,φ=-2π3C .ω=12,φ=π3D .ω=12,φ=-2π3答案 A解析 由题图可知,T =2⎣⎡⎦⎤π6-⎝⎛⎭⎫-π3=π, 所以ω=2πT =2,又sin ⎝⎛⎭⎫2×π6-φ=0, 所以π3-φ=k π(k ∈Z ),即φ=π3-k π(k ∈Z ),而|φ|<π2,所以φ=π3,故选A.4.函数f (x )=tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y =2所得线段长为π2,则f ⎝⎛⎭⎫π6的值是( ) A .- 3 B.33C .1 D. 3答案 D解析 由已知得T =π2,∴ω=2.∴f ⎝⎛⎭⎫π6=tan π3= 3. 5.(2017·昆明市两区七校模拟)将函数f (x )=3sin x -cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a >0)个单位长度,所得函数图象关于y 轴对称,则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2 D.2π3答案 B解析 依题意得f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -π6, 因为函数f (x -a )=2sin ⎝⎛⎭⎫x -a -π6的图象关于y 轴对称, 所以sin ⎝⎛⎭⎫-a -π6=±1,a +π6=k π+π2,k ∈Z ,即a =k π+π3,k ∈Z ,因此正数a 的最小值是π3,故选B.6.函数f (x )=sin(2x +φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象向左平移π6个单位长度后所得函数图象的解析式是奇函数,则函数f (x )在⎣⎡⎦⎤0,π2上的最小值为( ) A .-32 B .-12C.12D.32答案 A解析 由函数f (x )的图象向左平移π6个单位长度,得g (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +φ+π3的图象, 因为是奇函数,所以φ+π3=k π,k ∈Z ,又因为|φ|<π2,所以φ=-π3,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3. 又x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,所以2x -π3∈⎣⎡⎦⎤-π3,2π3, 所以当x =0时,f (x )取得最小值-32. 7.已知简谐运动f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫π3x +φ⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1),则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为________. 答案 6,π6解析 由题意知1=2sin φ,得sin φ=12,又|φ|<π2,得φ=π6.而此函数的最小正周期T =2ππ3=6.8.(2017·河南洛阳统考)函数f (x )=2sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示,已知图象经过点A (0,1),B ⎝⎛⎭⎫π3,-1,则f (x )=_______.答案 2sin ⎝⎛⎭⎫3x +π6解析 由已知得T 2=π3,∴T =2π3,又T =2πω,∴ω=3.∵f (0)=1,∴sin φ=12,又∵0<φ<π2,∴φ=π6,∴f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫3x +π6(经检验满足题意). 9.已知函数f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6(ω>0)和g (x )=3cos(2x +φ)的图象完全相同,若x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,则f (x )的值域是____________. 答案 ⎣⎡⎦⎤-32,3 解析 f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6 =3cos ⎣⎡⎦⎤π2-⎝⎛⎭⎫ωx -π6 =3cos ⎝⎛⎭⎫ωx -2π3, 所以ω=2,则f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6, ∵x ∈⎣⎡⎦⎤0,π2,∴-π6≤2x -π6≤5π6, ∴-32≤f (x )≤3.10.(2018·长春调研)已知函数f (x )=sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .若函数f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y =f (x )的图象关于直线x =ω对称,则ω的值为________. 答案π2解析 f (x )=sin ωx +cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π4, 因为f (x )在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数图象关于直线x =ω对称,所以f (ω)必为一个周期上的最大值,所以有ω·ω+π4=2k π+π2,k ∈Z ,所以ω2=π4+2k π,k ∈Z .又ω-(-ω)≤2πω2,即ω2≤π2,即ω2=π4, 所以ω=π2.11.已知函数y =A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12,0,图象上与点P 最近的一个最高点是Q ⎝⎛⎭⎫π3,5. (1)求函数的解析式;(2)求函数f (x )的单调递增区间.解 (1)依题意得A =5,周期T =4⎝⎛⎭⎫π3-π12=π, ∴ω=2ππ=2.故y =5sin(2x +φ),又图象过点P ⎝⎛⎭⎫π12,0, ∴5sin ⎝⎛⎭⎫π6+φ=0, 由已知可得π6+φ=k π,k ∈Z ,∵|φ|<π2,∴φ=-π6,∴y =5sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. (2)由-π2+2k π≤2x -π6≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π6+k π≤x ≤π3+k π,k ∈Z ,故函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π6,k π+π3(k ∈Z ).12.(2017·合肥质检)已知函数f (x )=4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6+a (ω>0)图象上最高点的纵坐标为2,且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求a 和ω的值;(2)求函数f (x )在[0,π]上的单调递减区间. 解 (1)f (x )=4cos ωx ·sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6+a =4cos ωx ·⎝⎛⎭⎫32sin ωx +12cos ωx +a =23sin ωx cos ωx +2cos 2ωx -1+1+a =3sin 2ωx +cos 2ωx +1+a =2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π6+1+a . 当sin ⎝⎛⎭⎫2ωx +π6=1时, f (x )取得最大值2+1+a =3+a .又f (x )最高点的纵坐标为2,∴3+a =2,即a =-1. 又f (x )图象上相邻两个最高点的距离为π, ∴f (x )的最小正周期为T =π, ∴2ω=2πT=2,ω=1.(2)∵x ∈[0,π],∴2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π6,13π6. 当2x +π6∈⎣⎡⎦⎤π2,3π2, 即x ∈⎣⎡⎦⎤π6,2π3时,f (x )单调递减,∴f (x )在[0,π]上的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤π6,2π3.13.将函数f (x )=sin(2x +θ)⎝⎛⎭⎫-π2<θ<π2的图象向右平移φ(0<φ<π)个单位长度后,得到函数g (x )的图象,若f (x ),g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0,32,则φ的值为________. 答案5π6解析 g (x )=sin [2(x -φ)+θ]=sin(2x -2φ+θ), 若f (x ),g (x )的图象都经过点P ⎝⎛⎭⎫0,32, 所以sin θ=32,sin(-2φ+θ)=32, 又-π2<θ<π2,所以θ=π3,sin ⎝⎛⎭⎫π3-2φ=32. 又0<φ<π,所以-5π3<π3-2φ<π3,所以π3-2φ=-4π3.即φ=5π6.14.(2018·太原模拟)已知函数f (x )=3sin ωx +cos ωx (ω>0),x ∈R .在曲线y =f (x )与直线y =1的交点中,若相邻交点距离的最小值为π3,则f (x )的最小正周期为________.答案 π解析 f (x )=3sin ωx +cos ωx =2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6(ω>0). 由2sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6=1,得sin ⎝⎛⎭⎫ωx +π6=12, ∴ωx +π6=2k π+π6或ωx +π6=2k π+5π6(k ∈Z ).令k =0,得ωx 1+π6=π6,ωx 2+π6=5π6,∴x 1=0,x 2=2π3ω.由|x 1-x 2|=π3,得2π3ω=π3,∴ω=2.故f (x )的最小正周期T =2π2=π.15.函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示,则将y =f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,得到的图象解析式为___________________.答案 y =sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6 解析 由34T =11π12-π6,得T =π,于是ω=2.由图象知A =1.根据五点作图法有ω·π6+φ=π2,解得φ=π6,所以f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.将y =f (x )的图象向右平移π6个单位长度后,得到图象的解析式为y =sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x -π6+π6=sin ⎝⎛⎭⎫2x -π6. 16.(2017·山东)设函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6+sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π2,其中0<ω<3.已知f ⎝⎛⎭⎫π6=0. (1)求ω;(2)将函数y =f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图象向左平移π4个单位长度,得到函数y =g (x )的图象,求g (x )在⎣⎡⎦⎤-π4,3π4上的最小值. 解 (1)因为f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π6+sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π2, 所以f (x )=32sin ωx -12cos ωx -cos ωx=32sin ωx -32cos ωx =3⎝⎛⎭⎫12sin ωx -32cos ωx =3sin ⎝⎛⎭⎫ωx -π3. 由题设知f ⎝⎛⎭⎫π6=0, 所以ωπ6-π3=k π,k ∈Z ,故ω=6k +2,k ∈Z .又0<ω<3, 所以ω=2.(2)由(1)得f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以g (x )=3sin ⎝⎛⎭⎫x +π4-π3=3sin ⎝⎛⎭⎫x -π12. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤-π4,3π4, 所以x -π12∈⎣⎡⎦⎤-π3,2π3, 当x -π12=-π3,即x =-π4时,g (x )取得最小值-32.。
课后限时集训(二十)(建议用时:60分钟) A 组 基础达标一、选择题1.(2018·天津高考)将函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π5的图像向右平移π10个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上是增加的B .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,0上是减少的C .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4,π2上是增加的D .在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2,π上是减少的 A [y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π5=sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π10,将其图像向右平移π10个单位长度,得到函数y =sin2x 的图像.由2k π-π2≤2x ≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π4≤x ≤k π+π4,k ∈Z .令k =0,可知函数y =sin 2x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,π4上是增加的.故选A .]2.为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2cos 3x 的图像( ) A .向右平移π12个单位B .向右平移π4个单位C .向左平移π12个单位D .向左平移π4个单位A [由于y =sin 3x +cos 3x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π4,y =2cos 3x =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π2,因此只需将y =2cos 3x 的图像向右平移π12个单位,即可得到y =2sin3x -π12+π2=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π4的图像.]3.函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0,ω>0,|φ|<π2的部分图像如图所示,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24的值为( )A .-62 B .-32 C .-22D .-1 D [由图像可得A =2,最小正周期T =4×7π12-π3=π,则ω=2πT =2.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫7π6+φ=-2,得φ=π3,则f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24=2sin 11π12+π3=2sin 5π4=-1,选项D 正确.]4.电流强度I (安)随时间t (秒)变化的函数I =A sin(ωx +φ)A >0,ω>0,0<φ<π2的图像如图所示,则当t =1100秒时,电流强度是( )A .-5安B .5安C .53安D .10安A [由图像知A =10,周期T =2⎝ ⎛⎭⎪⎫4300-1300=150,则ω=100π,将点⎝⎛⎭⎪⎫1300,10代入I =10sin(100πt +φ)得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3+φ=1,则π3+φ=2k π+π2,k ∈Z . 所以φ=2k π+π6,k ∈Z ,又0<φ<π2知,φ=π6.所以I =10sin ⎝⎛⎭⎪⎫100πt +π6,当t =1100时,I =10sin ⎝⎛⎭⎪⎫π+π6=-5.故选A .]5.(2019·西安模拟)将函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3图像上的点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,t 向左平移s (s >0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y =sin 2x 的图像上,则( )A .t =12,s 的最小值为π6B .t =32,s 的最小值为π6C .t =12,s 的最小值为π3D .t =32,s 的最小值为π3A [因为点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,t 在函数y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π3的图像上,所以t =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4-π3=sinπ6=12.所以P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4,12.将点P 向左平移s (s >0)个单位长度得P ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-s ,12.因为P ′在函数y =sin 2x 的图像上,所以sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4-s =12,即cos 2s =12,所以2s =2k π+π3或2s =2k π+53π,即s =k π+π6或s =k π+5π6(k ∈Z ),所以s 的最小值为π6.]二、填空题6.将函数f (x )=sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,-π2≤φ≤π2图像上每一点的横坐标缩短为原来的一半,纵坐标不变,再向右平移π6个单位长度.得到y =sin x 的图像,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=________.22[y =sin x 错误!y =sin 错误! ――→纵坐标不变横坐标变为原来的2倍y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫12x +π6, 即f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π6,∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+π6=sin π4=22.]7.已知函数f (x )=A tan(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2,y =f (x )的部分图像如图,则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24=________.3 [由题图可知,T =2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8-π8=π2,所以ω=2,所以2×π8+φ=k π+π2(k ∈Z ).又|φ|<π2,所以φ=π4.又f (0)=1,所以A tan π4=1,得A =1,所以f (x )=tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4, 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π24=tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12+π4=tan π3= 3.]8.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y =a +A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x -(x =1,2,3,…,12)来表示,已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温值为________ ℃.20.5 [依题意知,a =28+182=23,A =28-182=5,∴y =23+5cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6x -, 当x =10时,y =23+5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6×4=20.5.] 三、解答题9.已知函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π4+1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相;(2)画出函数y =f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π2上的图像.[解] (1)振幅为2,最小正周期T =π,初相为-π4.(2)图像如图所示.10.如图所示,某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道,赛道的前一部分为曲线段OSM ,该曲线段为函数y =A sin ωx (A >0,ω>0),x ∈[0,4]的图像,且图像的最高点为S (3,23),赛道的后一部分为折线段MNP ,求A ,ω的值和M ,P 两点间的距离.[解] 依题意,有A =23,T4=3,又T =2πω,所以ω=π6,所以y =23sin π6x ,x ∈[0,4],所以当x =4时,y =23sin 2π3=3, 所以M (4,3),又P (8,0), 所以MP =-2+-2=42+32=5(km),即M ,P 两点间的距离为5 km.B 组 能力提升1.(2019·孝义模拟)水车在古代是进行灌溉引水的工具,是人类的一项古老的发明,也是人类利用自然和改造自然的象征.如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点A (33,-3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时60秒.经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设P 的坐标为(x ,y ),其纵坐标满足y =f (t )=R sin(ωt +φ)(t ≥0,ω>0,|φ|<π2).则下列叙述错误的是( )A .R =6,ω=π30,φ=-π6B .当t ∈[35,55]时,点P 到x 轴的距离的最大值为6C .当t ∈[10,25]时,函数y =f (t )是减少的D .当t =20时,|PA |=6 3C [由题意,R =27+9=6,T =60=2πω,∴ω=π30,当t =0时,y =f (t )=-3,代入可得-3=6sin φ,∵|φ|<π2,∴φ=-π6.故A 正确;f (t )=6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π30t -π6,当t ∈[35,55]时,π30t -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π,53π,∴点P 到x 轴的距离的最大值为6,B 正确;当t ∈[10,25]时,π30t -π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤16π,2π3,函数y =f (t )不单调,C 不正确;当t =20时,π30t -π6=π2,P 的纵坐标为6,|PA |=27+81=63,D 正确,故选C.]2.(2019·大同模拟)函数f (x )=33·sin ωx (ω>0)的部分图像如图所示,点A ,B 是图像的最高点,点C 是图像的最低点,且△ABC 是等边三角形,则f (1)+f (2)+f (3)的值为( )A .92 B.932C .93+1D.3+2D [由题意知,AB =T ,则32T =63, ∴T =12,由T =2πω=12得ω=π6.∴f (x )=33sin π6x ,∴f (1)+f (2)+f (3) =33sinπ6+33sin 2π6+33sin 3π6=33×⎝ ⎛⎭⎪⎫12+32+1=3+2,故选D.]3.(2019·辽宁五校联考)设ω>0,函数y =2cos ωx +π5的图像向右平移π5个单位长度后与函数y =2sin ωx +π5的图像重合,则ω的最小值是________.52 [函数y =2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +π5的图像向右平移π5个单位长度后,得y =2cos ωx -π5+π5=2cos ωx +π5-π5ω的图像,由已知得cos ωx +π5-π5ω=sin ωx +π5,所以sin π2+ωx +π5-π5ω=sin ωx +π5,所以π2+ωx +π5-π5ω+2k π=ωx +π5,k ∈Z ,所以ω=52+10k ,k ∈Z ,又因为ω>0,所以ω的最小值为52.]4.(2017·山东高考)设函数f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π2,其中0<ω<3,已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0. (1)求ω;(2)将函数y =f (x )的图像上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移π4个单位,得到函数y =g (x )的图像,求g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4上的最小值.[解] (1因为f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π6+sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π2,所以f (x )=32sin ωx -12cos ωx -cos ωx =32sin ωx -32cos ωx =3⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx -32cos ωx=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx -π3. 由题设知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0,所以ωπ6-π3=k π,k ∈Z ,所以ω=6k +2,k ∈Z . 又0<ω<3,所以ω=2.(2)由(1)得f (x )=3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3,所以g (x )=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π4-π3=3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π4,3π4, 所以x -π12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π3,2π3.当x -π12=-π3,即x =-π4时,g (x )取得最小值-32.。
第6讲 函数y =Asin (ωx +φ)的图象及三角函数模型的简单应用[基础达标]1.函数y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤-π2,π上的简图是( )解析:选A.令x =0,得y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=-32,排除B ,D.由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-π3=0,f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6=0,排除C.2.(2019·温州瑞安七中高考模拟)函数y =sin(2x +φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后,得到一个偶函数的图象,则φ的一个可能的值为( )A .3π4B .π4C .0D .-π4解析:选 B.令y =f (x )=sin(2x +φ),则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π8=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π8+φ=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π4+φ,因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π8为偶函数,所以π4+φ=k π+π2,所以φ=k π+π4,k∈Z ,所以当k =0时,φ=π4.故φ的一个可能的值为π4.故选B. 3.(2019·湖州市高三期末考试)若把函数y =f (x )的图象沿x 轴向左平移π4个单位,沿y 轴向下平移1个单位,然后再把图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y =sin x 的图象,则y =f (x )的解析式为( )A .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4+1 B .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π2+1C .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π4-1D .y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x +π2-1解析:选B.函数y =sin x 的图象,把图象上每个点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标保持不变),得到y =sin 2x ,沿y 轴向上平移1个单位,得到y =sin 2x +1,图象沿x 轴向右平移π4个单位,得到函数y =sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4+1=sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π2+1.故选B.4.(2019·宁波市余姚中学高三期中)已知函数f (x )=A sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎪⎫A ≠0,ω>0,-π2<φ<π2在x =2π3时取得最大值,且它的最小正周期为π,则( )A .f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫0,12B .f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,2π3上是减函数C .f (x )的一个对称中心是⎝⎛⎭⎪⎫5π12,0D .f (x )的图象的一条对称轴是x =5π12解析:选C.因为函数f (x )=A sin(ωx +φ)的最小正周期为π, 所以T =2πω=π,所以ω=2,即函数f (x )=A sin(2x +φ),又因为函数f (x )=A sin(2x +φ)在x =2π3时取得最大值,所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×2π3+φ=±1,即2×2π3+φ=±π2+2k π(k ∈Z ),又因为-π2<φ<π2,所以φ=π6,所以f (x )=A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,其中A <0;对于选项A ,因为f (0)=A sin π6=A 2≠12,所以选项A 不正确;对于选项B ,因为函数f (x )=A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的单调递增区间满足:π2+2k π≤2x +π6≤3π2+2k π, 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6,2π3上是增函数,所以选项B 不正确;对于选项C ,因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12=A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12+π6=0,所以f (x )的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12,0,即选项正确;对于选项D ,因为f ⎝⎛⎭⎪⎫5π12=A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×5π12+π6=0, 所以x =5π12不是f (x )的图象的一条对称轴,即选项D 错误.故选C.5.(2019·杭州中学高三月考)将函数y =2sin(ωx -π4)(ω>0)的图象分别向左、向右各平移π4个单位后,所得的两个图象的对称轴重合,则ω的最小值为( )A .12B .1C .2D .4解析:选C.把函数y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π4(ω>0)的图象向左平移π4个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y 1=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝⎛⎭⎪⎫x +π4-π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx +ω-14π, 向右平移π4个单位长度后,所得图象对应的函数解析式为y 2=2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π4-π4=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -ω+14π. 因为所得的两个图象对称轴重合,所以ωx +ω-14π=ωx -ω+14π①,或ωx +ω-14π=ωx -ω+14π+k π,k ∈Z ②.解①得ω=0,不合题意;解②得ω=2k ,k ∈Z . 所以ω的最小值为2.故选C.6.已知函数f (x )=2sin(ωx +φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0,|φ|<π2的图象如图所示,则函数y =f (x )+ω图象的对称中心的坐标为( )A .⎝ ⎛⎭⎪⎫23k π+π24,32(k ∈Z )B .⎝⎛⎭⎪⎫3k π-3π8,23(k ∈Z )C .⎝ ⎛⎭⎪⎫12k π+5π8,32(k ∈Z )D .⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π-3π8,23(k ∈Z )解析:选D.由题图可知T 2=15π8-3π8=3π2,所以T =3π,又T =2πω,所以ω=23,所以f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x +φ,因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫38π,2,所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4+φ=2,所以π4+φ=2k π+π2(k ∈Z ),所以φ=2k π+π4(k ∈Z ).又因为|φ|<π2,所以φ=π4.所以f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x +π4.由23x +π4=k π(k ∈Z ),得x =32k π-3π8(k ∈Z ),则函数y =f (x )+23图象的对称中心的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32k π-3π8,23(k ∈Z ).7.(2019·金丽衢十二校联考)若函数f (x )=2sin(ωx +φ),x ∈R ,其中ω>0,|φ|<π2,f (x )的最小正周期为π,且f (0)=3,则ω=________,φ=________.解析:由原函数的最小正周期为π,得到ω=2(ω>0),又由f (0)=3且|φ|<π2得到φ=π3.答案:2π38.某地农业监测部门统计发现:该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现.下表是今年前四个月的统计情况:选用一个函数来近似描述收购价格y (元/斤)与相应月份x 之间的函数关系为________. 解析:设y =A sin(ωx +φ)+B (A >0,ω>0),由题意得A =1,B =6,T =4,因为T =2πω,所以ω=π2,所以y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x +φ+6. 因为当x =1时,y =6,所以6=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2+φ+6,结合表中数据得π2+φ=2k π,k ∈Z ,可取φ=-π2,所以y =sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x -π2+6=6-cos π2x .答案:y =6-cos π2x9.函数f (x )=2sin(ωx +φ)(ω>0,0<φ<π)的图象如图所示,已知图象经过点A (0,1),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,-1,则f (x )=________.解析:因为图象经过点A (0,1),B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,-1, A ,B 两个点的纵坐标互为相反数,从点A 到点B 经过半个周期,所以π3=T 2=πω,解得ω=3.又因为图象经过点A (0,1),f (x )=2sin(ωx +φ), 所以1=2sin φ,即sin φ=12,所以由0<φ<π及函数的图象可得φ=π6,所以f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x +π6. 答案:2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x +π6 10.函数y =sin(ωx +φ)在一个周期内的图象如图所示,M 、N 分别是最高点、最低点,O 为坐标原点,且OM →·ON →=0,则函数f (x )的最小正周期是________.解析:由题图可知,M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1,N (x N ,-1),所以OM →·ON →=⎝ ⎛⎭⎪⎫12,1·(x N ,-1)=12x N -1=0,解得x N =2,所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2-12=3.答案:311.如图,某地一天6~14时的温度变化曲线近似满足y =A sin(ωt +φ)+b (A >0,ω>0,0<φ<π).(1)求解析式;(2)若某行业在当地需要的温度在区间[20-52,20+52]之间为最佳营业时间,那么该行业在6~14时,最佳营业时间为多少小时.解:(1)由图象知A =10,12·2πω=14-6,所以ω=π8,所以y =10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πt 8+φ+b .① y max =10+b =30,所以b =20.当t =6时,y =10代入①得φ=3π4,所以解析式为y =10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t +3π4+20,t ∈[6,14].(2)由题意得,20-52≤10sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t +3π4+20≤20+52,即-22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8t +3π4≤22,所以k π-π4≤π8t +3π4≤k π+π4,k ∈Z .即8k -8≤t ≤8k -4,因为t ∈[6,14],所以k =2,即8≤t ≤12, 所以最佳营业时间为12-8=4小时.12.已知函数f (x )=2sin x +6cos x (x ∈R ). (1)若α∈[0,π]且f (α)=2,求α;(2)先将y =f (x )的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),再将得到的图象上所有点向右平行移动θ(θ>0)个单位长度,得到的图象关于直线x =3π4对称,求θ的最小值.解:(1)f (x )=2sin x +6cos x=22⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x +32cos x =22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π3.由f (α)=2,得sin ⎝⎛⎭⎪⎫α+π3=22,即α+π3=2k π+π4或α+π3=2k π+3π4,k ∈Z .于是α=2k π-π12或α=2k π+5π12,k ∈Z .又α∈[0,π],故α=5π12.(2)将y =f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变),得到y =22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象,再将y =22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3图象上所有点的横坐标向右平行移动θ个单位长度,得到y =22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -2θ+π3的图象.由于y =sin x 的图象关于直线x =k π+π2(k ∈Z )对称,令2x -2θ+π3=k π+π2, 解得x =k π2+θ+π12,k ∈Z . 由于y =22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -2θ+π3的图象关于直线x =3π4对称,令k π2+θ+π12=3π4,解得θ=-k π2+2π3,k ∈Z . 由θ>0可知,当k =1时,θ取得最小值π6.[能力提升]1.已知函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx -π4(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f (x )在[-1,1]上的单调递增区间为( )A .⎝ ⎛⎦⎥⎤-12,34B .⎣⎢⎡⎭⎪⎫-12,34C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-12,34 D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14,34 解析:选D.由T =2π2ω=πω,又f (x )的最大值为2,所以πω=2,即ω=π2,所以f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx -π4.当2k π-π2≤πx -π4≤2k π+π2,即2k -14≤x ≤2k +34,k ∈Z 时函数f (x )单调递增,则f (x )在[-1,1]上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤-14,34.2.(2019·杭州市七校联考)已知函数y =4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6,x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,7π6的图象与直线y =m 有三个交点,其交点的横坐标分别为x 1,x 2,x 3(x 1<x 2<x 3),那么x 1+2x 2+x 3的值是( )A .3π4B .4π3C .5π3D .3π2解析:选C.由函数y =4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,7π6的图象可得,当x =π6和x =2π3时,函数分别取得最大值和最小值,由正弦函数图象的对称性可得x 1+x 2=2×π6=π3,x 2+x 3=2×2π3=4π3.故x 1+2x 2+x 3=π3+4π3=5π3,故选C.3.已知函数f (x )=sin ωx -3cos ωx (ω>0),若方程f (x )=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,则实数ω的取值范围为________.解析:因为f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π3,方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π3=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx -π3=-12在(0,π)上有且只有四个实数根.故ωx -π3=-π6+2k π或ωx -π3=7π6+2k π,k ∈Z .所以x =π6ω+2k πω或x =3π2ω+2k πω,k ∈Z .设直线y =-1与y =f (x )在(0,+∞)上从左到右的第4个交点为A ,第5个交点为B ,则x A =3π2ω+2πω,x B =π6ω+4πω.因为方程f (x )=-1在(0,π)上有且只有四个实数根,所以x A <π≤x B ,即3π2ω+2πω<π≤π6ω+4πω,计算得出72<ω≤256. 答案:⎝ ⎛⎦⎥⎤72,2564.将函数f (x )=2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π6的图象向左平移π12个单位,再向下平移2个单位,得到g (x )的图象,若g (x 1)g (x 2)=16,且x 1,x 2∈[-2π,2π],则2x 1-x 2的最大值为________.解析:函数f (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π6的图象向左平移π12个单位, 可得y =2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3的图象,再向下平移2个单位,得到g (x )=2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x +π3-2的图象, 若g (x 1)g (x 2)=16,且x 1,x 2∈[-2π,2π], 则g (x 1)=g (x 2)=-4, 则2x +π3=-π2+2k π,k ∈Z ,即x =-5π12+k π,k ∈Z ,由x 1,x 2∈[-2π,2π], 得x 1,x 2∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫-17π12,-5π12,7π12,19π12,当x 1=19π12,x 2=-17π12时,2x 1-x 2取最大值55π12,故答案为55π12.答案:55π125.(2019·温州中学高三模考)已知函数f (x )=sin x 3cos x3+3cos 2x3.(1)求函数f (x )图象对称中心的坐标;(2)如果△ABC 的三边a ,b ,c 满足b 2=ac ,且边b 所对的角为B ,求f (B )的取值范围. 解:(1)f (x )=12sin 2x 3+32⎝ ⎛⎭⎪⎫1+cos 2x 3=12sin 2x 3+32cos 2x 3+32=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3+π3+32,由sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x 3+π3=0即2x 3+π3=k π(k ∈Z )得x =3k -12π,k ∈Z ,即对称中心为⎝⎛⎭⎪⎫3k -12π,0,k ∈Z .(2)由已知b 2=ac ,cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,所以12≤cos B <1,0<B≤π3,π3<2B 3+π3≤5π9,因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3-π2>⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π9-π2,所以sin π3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3+π3≤1,所以3<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B 3+π3+32≤1+32,即f (B )的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤3,1+32. 6.已知函数f (x )=sin(ωx +φ)+b (ω>0,-π2<φ<π2)相邻两对称轴间的距离为π2,若将f (x )的图象先向左平移π12个单位,再向下平移1个单位,所得的函数g (x )为奇函数. (1)求f (x )的解析式,并求f (x )的对称中心;(2)若关于x 的方程3[g (x )]2+m ·g (x )+2=0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有两个不相等的实根,求实数m 的取值范围.解:(1)由题意可得T 2=πω=π2,所以ω=2,f (x )=sin(2x +φ)+b ,所以g (x )=sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x +π12+φ+b -1 =sin(2x +π6+φ)+b -1.再结合函数g (x )为奇函数,可得π6+φ=k π,k ∈Z ,且b -1=0,再根据-π2<φ<π2,可得φ=-π6,b =1,所以f (x )=sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x -π6+1,g (x )=sin 2x . 令2x -π6=n π,n ∈Z ,可得x =n π2+π12,所以f (x )的对称中心⎝⎛⎭⎪⎫n π2+π12,1(n ∈Z ).(2)由(1)可得g (x )=sin 2x ,在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上,2x ∈[0,π],令t =g (x ),则t ∈[0,1].由关于x 的方程3[g (x )]2+m ·g (x )+2=0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0,π2上有两个不相等的实根,可得关于t 的方程3t 2+m ·t +2=0在区间(0,1)上有唯一解.令h (t )=3t 2+m ·t +2,因为h (0)=2>0,则满足h (1)=3+m +2<0,或⎩⎪⎨⎪⎧Δ=m 2-24=0,0<-m6<1, 解得m <-5或m =-2 6.。
计时双基练二十 函数y =Asin (ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用A 组 基础必做1.把函数y =sin x 的图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,再把所得函数图像向左平移π4个单位,得到的函数图像的解析式是( )A .y =cos 2xB .y =-sin 2xC .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x -π4 D .y =sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x +π4解析 由y =sin x 图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半,纵坐标保持不变,所得图像的解析式为y =sin 2x ,再向左平移π4个单位得y =sin 2x +π4,即y =cos 2x 。
答案 A2.(2016·上饶模拟)已知函数y =A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x +φ(A >0)在一个周期内的图像如图所示,其中P ,Q 分别是这段图像的最高点和最低点,M ,N 是图像与x 轴的交点,且∠PMQ =90°,则A 的值为( )A. 3B. 2 C .1D .2解析 依题意QM =QN =12PQ ,又∠PMQ =90°,可得△MNQ 是等边三角形,又由于MN 等于半个周期长,MN =12×2ππ2=2。
所以A =32×2=3。
答案 A3.为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2cos 3x 的图像( ) A .向右平移π4个单位B .向左平移π4个单位C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位解析 y =sin 3x +cos 3x =2cos ⎝⎛⎭⎪⎫3x -π4 =2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x -π12,因此需将函数y =2cos 3x 的图像向右平移π12个单位。
故选C 。
答案 C4.(2016·青岛模拟)函数f (x )=A sin(ωx +φ)其中A >0,|φ|<π2的图像如图所示,为了得到g (x )=sin 2x 的图像,则只需将f (x )的图像( )A .向右平移π6个长度单位B .向左平移π6个长度单位C .向右平移π3个长度单位D .向左平移π3个长度单位解析 由已知中函数f (x )=A sin(ωx +φ)的图像过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3,0和点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12,-1,易得:A =1,T =4⎝⎛⎭⎪⎫7π12-π3=π,即ω=2,即f (x )=sin(2x +φ),将点⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12,-1代入可得,7π6+φ=3π2+2k π,k ∈Z 。
添加微信:gzxxzlk 或扫描下面二维码输入高考干货 领取更多资料资料正文内容下拉开始>>课时作业(二十) 第20讲 函数y=A sin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用时间 / 45分钟 分值 / 100分 基础热身1.若函数y=sin 2x 的图像向左平移π4个单位长度后得到y=f (x )的图像,则 ( )A .f (x )=-cos 2xB .f (x )=sin 2xC .f (x )=cos 2xD .f (x )=-sin 2x2.要得到函数y=√3sin (x -π12)的图像,只需将函数y=√3sin 2x-π3图像上所有点的横坐标( )A .伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移π4个单位长度 B .伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再将得到的图像向右平移π4个单位长度C .缩短为原来的12(纵坐标不变),再将得到的图像向左平移5π24个单位长度 D .缩短为原来的12(纵坐标不变),再将得到的图像向右平移5π24个单位长度3.[2018·达州四模] 将函数y=3sin (2x +π3)的图像向左平移π6个单位长度,然后再将得到的图像向下平移1个单位长度,则所得图像的一个对称中心为( ) A .(-π3,0) B .(-π6,0) C .(-π3,-1) D .(-π6,-1)4.已知函数f (x )=A sin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2的部分图像如图K20-1所示,则函数f (x )的解析式为 ( )图K20-1A.f(x)=2sin(12x+π6)B.f(x)=2sin(12x-π6)C.f(x)=2sin(2x-π6)D.f(x)=2sin(2x+π6)5.[2018·扬州模拟]若将函数f(x)=cos(2x+φ)(0<φ<π)的图像向左平移π12个单位长度所得到的图像关于原点对称,则φ= .能力提升6.[2018·厦门质检]如图K20-2所示,函数y=√3tan(2x+π6)的部分图像与坐标轴分别交于点D,E,F,则△DEF的面积为()图K20-2A.π4B.π2C.πD.2π7.[2018·广州仲元中学月考]函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,-π2<φ<π2在区间(π4,π2)上是增函数,则下列说法一定正确的是 ()A.f(π4)=-1 B.f(x)的最小正周期为π2C.ω的最大值为4D.f(3π4)=08.若方程2sin(2x+π6)=m在x∈[0,π2]时有两个不等实根,则m的取值范围是()A.(1,√3)B.[0,2]C.[1,2)D.[1,√3]9.[2018·咸阳三模]已知函数f(x)=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像如图K20-3所示,将f(x)的图像向右平移2个单位长度后得到g(x)的图像,则g(x)的解析式为()图K20-3A.g(x)=2√3sinπx8B.g(x)=-2√3sinπx8C.g(x)=2√3cosπx8D.g(x)=-2√3cosπx810.[2018·成都三模]将函数f(x)=sin x的图像上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),再将所得图像向右平移π6个单位长度,得到函数g(x)的图像,则函数g(x)的单调递增区间为()A.[2xπ-π12,2xπ+5π12](k∈Z)B.[2xπ-π6,2xπ+5π6](k∈Z)C.[xπ-π12,xπ+5π12](k∈Z)D.[xπ-π6,xπ+5π6](k∈Z)11.设函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的图像关于点M(π3,0)对称,且点M到该函数图像的对称轴的距离的最小值为π4,则()A.f(x)的最小正周期为2πB.f(x)的初相φ=π6C.f(x)在区间[π3,2π3]上是减函数D.将f(x)的图像向左平移π12个单位长度后与函数y=cos 2x的图像重合12.将函数f(x)=2sin(2x+φ)(φ<0)的图像向左平移π3个单位长度,得到偶函数g(x)的图像,则φ的最大值是.图K20-413.[2018·北京海淀区模拟]如图K20-4所示,弹簧挂着一个小球做上下运动,小球在t秒时相对于平衡位置的高度h(厘米)由如下关系式确定:h=√2sin t+√2cos t,t∈[0,+∞),则小球在开始运动(即t=0)时h的值为,小球运动过程中最大的高度差为厘米.14.(12分)[2018·齐鲁名校调研]设函数f(x)=A sin(2xx+π6)(x∈R,A>0,ω>0),若点P(0,1)在f(x)的图像上,且将f(x)的图像向左平移π6个单位长度后,所得的图像关于y轴对称.(1)求ω的最小值;(2)在(1)的条件下,求不等式f(x)≤1的解集.15.(13分)[2018·常州模拟]如图K20-5为函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)图像的一部分,其中点P(4π3,2)是图像的一个最高点,点Q(π3,0)是图像与x轴的一个交点.(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将函数f(x)的图像沿x轴向右平移π3个单位长度,再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变),得到函数g(x)的图像,求函数g(x)的解析式及单调递增区间.图K20-5难点突破16.(5分)[2018·赣州二模]若函数f(x)=3cos2x+π6-a在区间[0,π2]上有两个零点x1,x2,则x1+x2=()A.π3B.2π3C.5π6D.2π17.(5分)[2018·丹东质检]若函数f(x)=2sin2x+π6在区间[0,x03]和[2x0,7π6]上都是单调递增函数,则实数x0的取值范围为()A.[π6,π2]B.[π3,π2]C.[π6,π3]D.[π4,3π8]课时作业(二十)1.C[解析] 函数y=sin 2x的图像向左平移π4个单位长度后得到y=sin 2(x+π4)的图像,所以f(x)=cos 2x.2.A [解析] 将函数y=√3sin (2x -π3)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=√3sin (12×2x -π3)=√3sin (x -π3)的图像, 再将得到的图像向左平移π4个单位长度,得到y=√3sin (x -π3+π4)=√3sin (x -π12)的图像.故选A .3.C [解析] 由题得,平移后所得图像对应的函数解析式为y=3sin (2x +2π3)-1.令2x+2π3=k π(k ∈Z),得x=x π2-π3(k ∈Z),令k=0,可得所得图像的一个对称中心为(-π3,-1),故选C .4.D [解析] 由函数的图像得A=2,T=4×(5π12-π6)=π,∴2πx=π,∴ω=2,∴f (x )=2sin(2x+φ).∵f (π6)=2sin (2×π6+x )=2,∴sin (π3+x )=1,则π3+φ=π2+2k π,k ∈Z, ∴φ=2k π+π6,k ∈Z . ∵|φ|<π2,∴φ=π6,则函数f (x )=2sin (2x +π6). 故选D .5.π3 [解析] 将函数f (x )=cos(2x+φ)的图像向左平移π12个单位长度所得到的图像对应的函数解析式为y=cos [2(x +π12)+x ]=cos (2x +π6+x ).由题意得,函数y=cos (2x +π6+x )为奇函数,∴π6+φ=π2+k π,k ∈Z,∴φ=π3+k π,k ∈Z,又0<φ<π,∴φ=π3.6.A [解析] 在y=√3tan (2x +π6)中,令x=0,得y=√3tan π6=1,所以OD=1. 又函数y=√3tan (2x +π6)的最小正周期T=π2,所以EF=π2, 所以S △DEF =12·EF ·OD=12×π2×1=π4.故选A .7.C [解析] 由题意知π2-π4≤12T ,所以T ≥π2,所以π4≤πx ,所以ω≤4,所以选项C 一定正确.故选C .8.C [解析] 方程2sin (2x +π6)=m 可化为sin 2x+π6=x2, 当x ∈[0,π2]时,2x+π6∈[π6,7π6].由方程2sin (2x +π6)=m 在[0,π2]上有两个不等实根, 得12≤x2<1,即1≤m<2,∴m 的取值范围是[1,2).9.B [解析] 根据函数f (x )=A cos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π)的部分图像, 可得A=2√3,12·2πx =6+2,∴ω=π8. 由图像可知,π8×6+φ=32π+2k π,k ∈Z,解得φ=34π+2k π,k ∈Z, 又∵|φ|<π,∴φ=3π4,∴f (x )=2√3cos (π8x +34π).把f (x )的图像向右平移2个单位长度后,可得g (x )=2√3cos [π8(x -2)+34π]=2√3cos (π8x +π2)=-2√3sin π8x 的图像,故选B . 10.C [解析] 将函数f (x )=sin x 的图像上所有点的横坐标缩短为原来的一半(纵坐标不变),可得y=sin 2x 的图像,再将所得图像向右平移π6个单位长度,得到函数g (x )=sin2(x -π6)=sin (2x -π3)的图像.令2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2,k ∈Z,可得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z,所以函数g (x )的单调递增区间为[x π-π12,x π+5π12],k ∈Z .故选C .11.D [解析] 因为点M (π3,0)到函数图像的对称轴的距离的最小值为π4,所以x 4=π4,即T=π,所以ω=2πx =2,选项A 不正确;函数f (x )=sin(2x+φ),由f (π3)=0得sin (2π3+x )=0,所以φ=-2π3+k π,k ∈Z,又0<φ<π,所以φ=π3,选项B 不正确;f (x )=sin (2x +π3),当π3≤x ≤2π3时,π≤2x+π3≤5π3,而函数y=sin x 在[π,5π3]上不具有单调性,选项C 不正确;将函数f (x )的图像向左平移π12个单位长度后,得到y=sin [2(x +π12)+π3]=sin (2x +π2)=cos 2x 的图像,故选项D 正确.12.-π6 [解析] 将函数f (x )=2sin(2x+φ)(φ<0)的图像向左平移π3个单位长度,得到y=2sin 2(x +π3)+φ=2sin (2x +2π3+x )的图像,所以g (x )=2sin 2x+2π3+φ.又g (x )为偶函数,所以2π3+φ=π2+k π,k ∈Z,即φ=-π6+k π,k ∈Z,又因为φ<0,所以φ的最大值为-π6.13.√2 4 [解析] 由题可得h=√2sin t+√2cos t=2(√22sin x +√22cos x )=2sin (x +π4),令t=0,可得h=√2.由振幅为2,可得小球运动过程中最大的高度差为4厘米. 14.解:(1)由题可知,f (0)=A sin π6=1,所以A=2.因为f (x +π6)=2sin [2x (x +π6)+π6]=2sin (2xx +x π3+π6),且y=f x+π6的图像关于y轴对称, 所以x π3+π6=k π+π2,k ∈Z,即ω=3k+1,k ∈Z .又ω>0,所以ω的最小值为1.(2)由f (x )=2sin (2x +π6)≤1,得2k π-7π6≤2x+π6≤2k π+π6,k ∈Z,解得k π-2π3≤x ≤k π,k ∈Z,所以不等式的解集为x k π-2π3≤x ≤k π,k ∈Z .15.解:(1)由图像可知A=2,T=4×(4π3-π3)=4π,∴ω=2πx =12,∴f (x )=2sin (12x +x ). ∵点P (4π3,2)是函数f (x )图像的一个最高点,∴2sin (12×4π3+x )=2,∴2π3+φ=π2+2k π(k ∈Z),又∵|φ|<π,∴φ=-π6, 故f (x )=2sin (12x -π6).(2)由(1)得,f (x )=2sin (12x -π6),把函数f (x )的图像沿x 轴向右平移π3个单位, 得到y=2sin (12x -π3)的图像,再把所得图像上每一点的横坐标都变为原来的14(纵坐标不变),得到g(x)=2sin(2x-π3)的图像,∴g(x)=2sin(2x-π3).由2kπ-π2≤2x-π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π12≤x≤kπ+5π12(k∈Z),∴g(x)的单调递增区间是[xπ-π12,xπ+5π12](k∈Z).16.C[解析] 当x∈[0,π2]时,2x+π6∈[π6,7π6],令2x+π6=π,解得x=5π12,所以有x1+x2=5π6,故选C.17.B[解析] 由2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2,k∈Z,得kπ-π3≤x≤kπ+π6,k∈Z,所以函数f(x)的两个单调递增区间为[-π3,π6]和[2π3,7π6],因此{0<x03≤π6,2π3≤2x0<7π6,解得π3≤x0≤π2,故选B.。