浙江省2018年中考数学复习第二部分题型研究题型二二次函数性质综合题类型二二次项系数不确定型针对演练

二次函数性质综合题类型一 二次项系数确定型1.已知二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5.（1）若该二次函数图象关于y 轴对称，写出它的图象的顶点坐标．（2）若该二次函数图象的顶点在第一象限，求m 的取值范围．解：(1)∵二次函数y =x 2-2mx +m 2+m -5的图象关于y 轴对称，∴x =22m --=0， 解得m =0， ∴二次函数为y =x 2-5，∴顶点坐标为（0，-5）；(2)y =x 2-2mx +m 2+m -5=（x -m )2+m -5，∴顶点坐标为（m ，m -5），∵它的图象的顶点在第一象限，∴ m ＞0，且 m −5>0 ， 解得m>5．2.已知抛物线G ：y=x 2-2ax+a -1(a 为常数).（1）当a =3时，用配方法求抛物线G 的顶点坐标；（2）若记抛物线G 的顶点坐标为P （p ,q ），①分别用含a 的代数式表示p ,q ；②请在①的基础上继续用含p 的代数式表示q ；③由①②可得，顶点P 的位置会随着a 的取值变化而变化，则点P 总落在__________图象上.A .一次函数B .反比例函数C .二次函数（3）小明想进一步对（2）中的问题进行如下改编：将（2）中的抛物线G 改为抛物线H ：y =x 2-2ax +N (a 为常数)，其中N 代表含a 的代数式，从而使这个新抛物线H 满足：无论a 取何值，它的顶点总落在某个一次函数的图象上.请按照小明的改编思路，写出一个符合以上要求的新抛物线H的函数表达式：_________（用含a的代数式表示），它的顶点所在的一次函数图象的表达式y=kx+b(k,b为常数，k≠0)中，k=___________,b=___________.解：(1)当a=3时，y=x2-6x+2=(x-3)2-7,∴点G的顶点坐标为(3,-7);(2)①y=x2-2ax+a-1=(x-a)2-a2+a-1,∴p=a,q=-a2+a-1;②q=-p2+p-1;③C(3)y=x2-2ax+a2+a-1,1,-1(答案不唯一)【解法提示】y=x2-2ax+a2+a-1=(x-a)2+a-1，顶点坐标为（a,a-1）,顶点所在的一次函数图象的表达式y=x-1.3.已知抛物线y=x2-2mx+2m2+2m,得出两个结论：结论一：当抛物线经过原点时，顶点在第三象限的角平分线所在的直线上；结论二：不论m取什么实数值，抛物线顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线经过原点时m的值及顶点坐标,并说明结论一是否正确?(2)结论二正确吗? 若你认为正确,请求出当实数m变化时,抛物线顶点的纵横坐标之间的函数关系式,并说明顶点不在第四象限的理由;若你认为不正确,求出抛物线顶点在第四象限时,m的取值范围.解：(1)结论一正确.抛物线经过原点时,2m2+2m=0,则m1=0，m2=-1,当m=-1时，抛物线解析式为y=x2+2x=(x+1)2-1,顶点坐标(-1,-1)；当m=0时，抛物线解析式为y=x2,顶点坐标(0,0),由于顶点(-1,-1)和顶点(0,0)都在第三象限的角平分线所在的直线上,∴结论一正确；（2）结论二正确.∵抛物线的解析式y =x 2-2mx +2m 2+2m 可变为y =(x -m )2+m 2+2m ,∴抛物线的顶点坐标为（m ,m 2+2m ）,若设抛物线的顶点为(x ,y ),则2,2x m y m m=⎧⎨=+⎩ ∴抛物线顶点的纵横坐标的函数关系式为y =x 2+2x ,∵抛物线y =x 2+2x 的顶点为(-1,-1),与x 轴的交点为(0,0),(-2,0),且抛物线开口向上，∴抛物线 y =x 2+2x 不可能在第四象限.即不论 m 取什么实数值,抛物线顶点一定不在第四象限.4.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2-2mx +m 2-m +2的顶点为D ．线段ab 的两端点分别为a （-3，m ），b （1，m ）．（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若该抛物线经过点b （1，m ），求m 的值；（3）若线段AB 与该抛物线只有一个公共点，结合函数的图象，求m 的取值范围． 解：（1）∵y =x 2-2mx +m 2-m +2=（x -m )2-m +2，∴D （m ，-m +2）；(2)∵抛物线经过点B （1，m ）,∴m =1-2m +m 2-m +2，解得m =3或m =1；(3)根据题意：∵A （-3，m ），B （1，m ），∴AB 所在直线的解析式为y =m （-3≤x ≤1）,与y =x 2-2mx +m 2-m +2,联立得： x 2-2mx +m 2-2m +2=0，令y =x 2-2mx +m 2-2m +2，若抛物线y =x 2-2mx +m 2-2m +2与线段AB 只有一个公共点，即函数y 在-3≤x ≤1范围内只有一个零点，当x =-3时，y =m 2+4m +11≤0，∵b 2-4ac ＞0，∴此种情况不存在，当x =1时，y =m 2-4m +3≤0， 解得1≤m ≤3．5.已知抛物线的表达式为 y =2x 2-4x -1.(1)求当x 为何值时y 取最小值,并求出最小值；(2)这个抛物线交x 轴于点(x 1,0),(x 2,0),求2112x x x x +的值； (3)将二次函数的图象先向右平移2个单位长度，再向下平移 1个单位长度后，所得二次函数图象的顶点为a ,请你求出点a 的坐标.解：(1)y =2x 2-4x -1=2(x 2-2x +1)-2-1=2(x -1)2-3,当x =1时，y 取最小值，最小值为-3；(2)令y =0,得2x 2-4x -1=0,由题意得：方程的两个根为x 1,x 2,∵a =2,b =-4,c =-1,∴x 1+x 2=b a -=2,x 1x 2=c a =12-, 则22221121212121212()210;x x x x x x x x x x x x x x ++-+===- (3)二次函数的图象向右平移2个单位长度，得到解析式为y=2(x-1-2)2-3,即y=2(x-3)2-3,再向下平移1个单位长度，得y=2(x-3)2-3-1,即y=2(x-3)2-4,则平移后顶点a的坐标为（3，-4）.6.已知二次函数y=-x2+2mx-4m+2（m为常数）（1）请你用m的代数式表示该函数的顶点坐标；（2）对于二次函数y=-x2+2mx-4m+2，若当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，请你求出m的取值范围；（3）若二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，写出H与m的函数关系式，并判断该函数图象的顶点是否有最高点（或最低点）？若有，请求出这个点的坐标．解：(1)∵2224,42 22(1)4b m ac bm m ma a--=-==-+⨯-,∴顶点坐标为（m，m2-4m+2）；(2)∵抛物线的对称轴为直线x=m，且a=-1＜0，∴当x≥m时，函数值y随x的增大而减小，∵当x≥1时，函数值y随x的增大而减小，∴m≤1；(3)∵二次函数y=-x2+2mx-4m+2的顶点纵坐标为H，∴H=m2-4m+2=（m-2）2-2，∵1＞0，∴函数顶点有最低点，坐标为（2，-2）．7.已知二次函数y=22x bx c++(b,c为常数).（1）当b=1，c=-3时，求二次函数在-2≤x≤2上的最小值；（2）当c=3时，求二次函数在0≤x≤4上的最小值；（3）当c =42b 时，若在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式.解：(1)当b =1，c =-3时，二次函数解析式为2223(1)4y x x x =+-=+-，∵x =-1在-2≤x ≤2的范围内，∴当x =-1时，函数取得最小值为-4；(2)当c =3时，二次函数解析式为y =223x bx ++=22()3x b b +-+，其对称轴为直线x =-b ,①若-b ＜0，即b ＞0时，当x =0时，y 有最小值为3；②若0≤-b ≤4，即4≤b ≤0时，当x =-b 时，y 有最小值为23b -+； ③若-b ＞4,即b ＜-4时，当x =4时，y 有最小值为8b +19;(3)当c =24b 时，二次函数的解析式为y =2224x bx b ++，它是开口向上，对称轴为直线x =-b 的抛物线，①若-b ＜2b ,即b ＞0时，在自变量x 的值满足2b ≤x ≤2b +3的情况下，与其对应的函数值y 随x 增大而增大,∴当x =2b 时，y=2(2)2b b +×222412b b b +=为最小值，∴12b 2=21，∴b =72或b =72-(舍)， ∴二次函数解析式为y =277x x ++;②若2b ≤-b ≤2b +3,即-1≤b ≤0,当x =-b 时，代入y =2224x bx b ++，得y 的最小值为23b ，∴23b =21， ∴b =7(舍)或b =-7(舍)，③若-b ＞2b +3时,即b<-1，x =2b+3时，代入二次函数解析式y =2224x bx b ++中，得y 的最小值为212189b b ++，∴212189b b ++=21，∴b =-2或b =12(舍)，∴二次函数解析式为y =2416x x -+.综上所述，b =72或b =-2时，此时二次函数的解析式分别为y =277x x ++或y =2416x x -+.类型二 二次项系数不确定型1.已知实数a ，c 满足111a c +=，2a +c -ac +2＞0，二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点 B （4，n ）、A （2，n ），且当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，求a 的值． 解：∵实数a ，c 满足111a c +=，∴c -ac =-a ，∵2a +c -ac +2＞0，∴2a -a +2＞0，∴a ＞-2，∵二次函数y =ax 2+bx +9a 经过点B （4，n ）、A （2，n ）， ∴2b a -=422+=3， ∴b =-6a ， ∴y =ax 2+bx +9a =a （x 2-6x +9）=a （x -3）2，∵当1≤x ≤2时，y =ax 2+bx +9a 的最大值与最小值之差是9，∴|4a -a |=9， ∴a =±3，又∵a>-2, ∴a =3．2.已知抛物线的函数解析式为y =ax 2+bx -3a （b ＜0），若这条抛物线经过 点（0，-3），方程ax 2+bx -3a =0的两根为x 1，x 2，且|x 1-x 2|=4．（1）求抛物线的顶点坐标;（2）已知实数x ＞0，请证明x +1x ≥2，并说明x 为何值时才会有x +1x =2． 解：(1)∵抛物线过点（0，-3），∴-3a =-3，,∴a =1，∴y =x 2+bx -3,∵x 2+bx -3=0的两根为x 1，x 2，∴x 1+x 2=-b ，x 1x 2=-3,∵|x 1-x 2|=4， ∴|x 1-x 2|=21212()4x x x x +-=4 , ∴212b +＝4， ∴b 2=4 ,∵b ＜0， ∴b =-2 ,∴y =x 2-2x -3=（x -1)2-4 ,∴抛物线的顶点坐标为（1，-4）;(2)∵x ＞0， ∴x +1x −2＝( x -1x )2 ≥0 ,∴x +1x ≥2，显然当x =1时，才有x +1x =2．3.已知函数24(2)m m y m x +-=+是关于x 的二次函数，求：（1）满足条件m 的值；（2）m 为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x 为何值时y 随x 的增大而增大？（3）m 为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x 为何值时，y 随x 的增大而减小？解：(1)根据题意得m +2≠0且m 2+m -4=2，解得m 1=2，m 2=-3， 所以满足条件的m 值为2或-3；(2)当m +2＞0时，抛物线有最低点， 所以m =2， 抛物线解析式为y =4x 2， 所以抛物线的最低点为（0，0），当x ≥0时，y 随x 的增大而增大；(3)当m =-3时，抛物线开口向下，函数有最大值； 抛物线解析式为y =-x 2，所以二次函数的最大值是0，这时，当x ≥0时，y 随x 的增大而减小．4.我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y =ax 2+bx （a ≠0）.（1）对于这样的抛物线：当顶点坐标为（1，1）时，求a 、b 的值；（2）当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，求a 与m 之间的关系式；（3）继续探究，如果b ≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y =（k +1）x （k ≠-1）上，请用含k 的代数式表示b ．解：(1)∵顶点坐标为（1，1），∴ 21214b a b a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩, 解得12a b =-⎧⎨=⎩； (2)当顶点坐标为（m ，2m ），m ≠0时，2224b m a b m a⎧-=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， 解得a =2m -； (3)过原点的抛物线y =ax 2+bx 的顶点坐标为（2b a -，24b a-）， ∵抛物线顶点在直线y =(k +1)x （k ≠-1）上， ∴2(1)()42b b k a a-=+-， 整理得：b =2k +2．5.已知二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）.（1）当a =1时，求二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）的顶点坐标和对称轴．（2）二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）与x 轴的交点恒过一个定点，求出这个定点；（3）当二次函数y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0）时，x 在什么范围内，y 随着x 的增大而减小？解：(1)当a =1时，y =x 2-2x +1， 顶点坐标式为y =（x -1)2，则顶点坐标为（1，0），对称轴为直线x =1；(2)令y =ax 2-（a +1）x +1=0， a （x 2-x ）+1-x =0，当x =1时，a （x 2-x ）+1-x =0恒成立， 则这个定点为（1，0）；(3)∵y =ax 2-（a +1）x +1（a ＞0），∴y =a (x −12a a +)2+1−2(1)4a a+， ∵a ＞0， ∴当x ＜12a a+时，y 随着x 的增大而减小． 6.已知函数y =（n +1）x m +mx +1-n (m ，n 为实数).（1）当m ，n 取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x 轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n ＞-1，那么：①当x ＜0时，y 随x 的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由； ②它一定经过哪个点？请说明理由．解：(1)①当m =1，n ≠-2时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是一次函数，它一定与x 轴有一个交点，∵当y =0时，即（n +1）x m +mx +1-n =0，∴x =12n n -+ ， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；②当m =2，n ≠-1时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）是二次函数， 当y =0时，y =（n +1）x m +mx +1-n =0，即（n +1）x 2+2x +1-n =0，△=22-4（1+n ）（1-n ）=4n 2≥0，∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；③当n =-1，m ≠0时，函数y =（n +1）x m +mx +1-n 是一次函数，当y =0时，x =2m-， ∴函数y =（n +1）x m +mx +1-n （m ，n 为实数）与x 轴有交点；(2)①假命题，若它是一个二次函数，则m =2，函数y =（n +1）x 2+2x +1-n ， ∵n ＞-1，∴n +1＞0，抛物线开口向上， 对称轴：x =2122(1)1b a n n -=-=-++＜0， ∴对称轴在y 轴左侧，当x ＜0时，y 有可能随x 的增大而增大，也可能随x 的增大而减小；②当x =1时，y =n +1+2+1-n =4．当x =-1时，y =0．∴它一定经过点（1，4）和（-1，0）．7.在平面直角坐标系xOy 中，直线y =2x -3与y 轴交于点 A ，点A 与点B 关于x 轴对称，过点B 作y 轴的垂线l ，直线l 与直线y =2x -3交于点 C ．（1）求点C 的坐标；（2）如果抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0）与线段bC 有唯一公共点，求n 的取值范围． 解：(1)∵直线y =2x -3与y 轴交于点A （0，-3），∴点A 关于x 轴的对称点B （0，3），l 为直线y =3，∵直线y =2x -3与直线l 交于点C ，∴点C 坐标为（3，3）;(2)∵抛物线y =nx 2-4nx +5n （n ＞0），∴y =nx 2-4nx +4n +n =n (x -2)2+n （n ＞0）,∴抛物线的对称轴为直线x =2，顶点坐标为（2，n ），∵点B （0，3），点C （3，3），①当n ＞3时，抛物线的最小值为n ＞3，与线段BC 无公共点；②当n=3时，抛物线的顶点为（2，3），在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点；③当0＜n＜3时，抛物线最小值为n，与线段BC有两个公共点；如果抛物线y=n （x-2）2+n经过点b，则3=5n，解得n=35，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（4，3），点（4，3）不在线段BC上，此时抛物线与线段BC有一个公共点B；如果抛物线y=n（x-2）2+n经过点C，则3=2n，解得n=32，由抛物线的对称轴为直线x=2，可知抛物线经过点（1，3），点（1，3）在线段BC 上，此时抛物线与线段BC有两个公共点,综上所述，当35≤n＜32或n=3时，抛物线与线段bC有一个公共点．8.已知抛物线C：y1=a（x-h）2-1，直线l：y2=kx-kh-1．（1）求证：直线l恒过抛物线C的顶点；（2）当a=1，2≤x≤m时，y1≤x-3恒成立，求m的最大值；（3）当0＜a≤1，k＞0时，若在直线l下方的抛物线C上至少存在三个横坐标为整数的点，求k的取值范围．解：(1)抛物线C的顶点坐标为（h，-1），当x=h时，y2=kh-kh-1=-1，所以直线l 恒过抛物线C的顶点；(2)当a=1时，抛物线C解析式为y1=(x-h)2-1，不妨令y3=x-3 ，如解图①所示,抛物线C的顶点在直线y=-1上移动，第8题解图①当2≤x≤3时，y1≤x-3恒成立，则可知抛物线C的顶点为（2，-1），设抛物线C 与直线y 3=x -3 除顶点外的另一交点为M ， 此时点M 的横坐标即为m 的最大值，由 2(2)13y x y x ⎧=--⎨=-⎩，解得x =2或x =3， ∴m 的最大值为3．(3)如解图②所示,由（1）可知：抛物线C 与直线l 都过点a （h ，-1）．第8题解图②当0＜a ≤1时，k ＞0，在直线l 下方的抛物线C 上至少存在三个横坐标为整数点，即当x =h +3时，y 2＞y 1恒成立．∴k （h +3）-kh -1＞a （h +3-h ）2-1，整理得：k ＞3a ．又∵0＜a ≤1， 所以0＜3a ≤3，所以k ＞3．9.已知二次函数232y ax bx =+-的图象与y 轴交于点B ， （1） 若二次函数的图象经过点A （1,1）.①二次函数的图象对称轴为直线 x =1,求此二次函数的解析式；②对于任意的正数a ，当x>n 时，y 随x 的增大而增大，请求出n 的取值范围；（2）若二次函数的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，且二次函数的图象在-5<x<-4这一段位于直线l 的上方，在1<x<2这一段位于直线y =2x -2的下方，求此二次函数的解析式.解:(1)①由题意得31212a b b a⎧+-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得525a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为253522y x x =-+-; ∵二次函数的图象经过点A （1,1）， ∴31,2a b +-= ∴b =52a -, ∴对称轴为55122242a b x a a a -=-=-=-+， ∵a>0,∴50,4a-< ∴122b x a =-<, ∵当x>n 时，y 随x 的增大而增大，1,221;2b n a n ∴≤-<∴<(2)由直线y =2x -2可知：直线y =2x -2与直线x =-1的交点为(-1,-4),与x 轴的交点为（1,0）,∵直线y =2x -2与直线l 也关于直线x =-1对称，∴直线l 与x 轴的交点为(-3,0),设直线l 的解析式为y =kx +d ,∵直线l 过点（-1，-4），（-3,0），代入解析式得4,03k d k d-=-+⎧⎨=-+⎩解得=2,6k d -⎧⎨=-⎩ ∴直线l 的解析式为y =-2x -6. ∵二次函数232y ax bx =+-的图象的对称轴为直线x =-1,且直线y =2x -2与y =-2x -6关于直线x =-1对称，如解图，当1<x<2时，函数232y ax bx =+-的图象在直线y =2x -2的下方，第9题解图∴当-4<x<-3时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l ：y =-2x -6的下方； 又∵当-5<x<-4时，函数232y ax bx =+-的图象在直线l 的上方， ∴当x =-4时，y =-2⨯（-4）-6=2， 即（-4,2）为函数232y ax bx =+-与y =-2x -6的图象的交点， ∴316422,12a b b a⎧--=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩解得716,78a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴此二次函数的解析式为27731682y x x =+-.。

第一部分 考点研究第三单元 函数 第15课时 二次函数综合题 浙江近9年中考真题精选（2009-2017）命题点 1 与一次函数结合(杭州必考)1．(2013杭州20题10分)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2．(2014杭州23题12分)复习课中，教师给出关于x 的函数y ＝2kx 2－(4k ＋1)x －k ＋1(k 是实数)．教师：请独立思考，并把探索发现的与该函数有关的结论(性质)写到黑板上．学生思考后，黑板上出现了一些结论．教师作为活动一员，又补充一些结论，并从中选择如下四条：①存在函数，其图象经过(1，0)点； ②函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；③当x >1时，不是y 随x 的增大而增大就是y 随x 的增大而减小；④若函数有最大值，则最大值必为正数，若函数有最小值，则最小值必为负数． 教师：请你分别判断四条结论的真假，并给出理由．最后简单写出解决问题时所用的数学方法．3．(2016杭州22题12分)已知函数y 1＝ax 2＋bx ，y 2＝ax ＋b (ab ≠0)．在同一平面直角坐标系中．(1)若函数y 1的图象过点(－1，0)，函数y 2的图象过点(1，2)，求a ，b 的值； (2)若函数y 2的图象经过y 1的图象的顶点．①求证：2a ＋b ＝0；②当1<x <32时，比较y 1与y 2的大小．4．(2017杭州22题12分)在平面直角坐标系中，设二次函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)，其中a ≠0.(1)若函数y 1的图象经过点(1，－2)，求函数y 1的表达式；(2)若一次函数y 2＝ax ＋b 的图象与y 1的图象经过x 轴上同一点，探究实数a ，b 满足的关系式；(3)已知点P (x 0，m )和Q (1，n )在函数y 1的图象上．若m <n ，求x 0的取值范围．命题点 2 与几何图形结合类型一 与线段有关的综合题(温州2012.24)5．(2012温州24题14分)如图，经过原点的抛物线y ＝－x 2＋2mx (m >0)与x 轴的另一个交点为A .过点P (1，m )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B .记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C (B 、C 不重合)．连接CB ，CP . (1)当m ＝3时，求点A 的坐标及BC 的长； (2)当m >1时，连接CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ?(3)过点P 作PE ⊥P C 且PE ＝PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并求出相对应的点E 坐标；若不存在，请说明理由．第5题图类型二 与角度有关的综合题(绍兴2考)6．(2013绍兴24题14分)抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)与x 轴交于A ，B 两点(点A 在点B 左侧)，与y轴交于点C，点D为顶点．(1)求点B及点D的坐标；(2)连接B D，CD，抛物线的对称轴与x轴交于点E.①若线段BD上一点P，使∠DCP＝∠BDE，求点P的坐标；②若抛物线上一点M，作MN⊥CD，交直线CD于点N，使∠CMN＝∠BDE，求点M的坐标．类型三与面积有关的综合题(温州2考)7．(2016温州23题10分)如图，抛物线y＝x2－mx－3(m>0)交y轴于点C，CA⊥y轴，交抛物线于点A，点B在抛物线上，且在第一象限内，BE⊥y轴，交y轴于点E，交AO的延长线于点D，BE＝2AC.(1)用含m的代数式表示BE的长；(2)当m＝3时，判断点D是否落在抛物线上，并说明理由；(3)作AG∥y轴，交OB于点F，交BD于点G.①若△DOE与△BGF的面积相等，求m的值．②连接AE，交OB于点M.若△AMF与△BGF的面积相等，则m的值是________．第7题图类型四与三角形相似有关的综合题8．(2017宁波25题12分)如图，抛物线y ＝14x 2＋14x ＋c 与x 轴的负半轴交于点A ，与y 轴交于点B ，连接AB ，点C (6，152)在抛物线上，直线AC 与y 轴交于点D .(1)求c 的值及直线AC 的函数表达式；(2)点P 在x 轴正半轴上，点Q 在y 轴正半轴上，连接PQ 与直线AC 交于点M ，连接MO 并延长交AB 于点N ，若M 为PQ 的中点． ①求证：△APM ∽△AON ；②设点M 的横坐标为m ，求AN 的长(用含m 的代数式表示)．第8题图答案1．解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8；(2分)①当n ＝8时一次函数为y 2＝43x ＋8，y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，第1题解图①∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16， ∴这时抛物线开口向下，B (10，0)，如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x≥2；(5分)②当n ＝－8时一次函数为y 2＝43x －8，y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为A (6，0)，∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16， ∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；(8分)第1题解图②综上所述，当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2.(10分) 2．解：①是真命题；②是假命题；③是假命题；④是真命题．(2分) 理由如下：①当k ＝0时，原函数变形为y ＝－x ＋1，当x ＝1时，y ＝0，即存在函数y ＝－x ＋1，其图象过(1，0)点，故是真命题；②当k ＝0时，原函数变形为y ＝－x ＋1，图象为直线且过第一、二、四象限，与坐标轴只有两个不同的交点，与总有三个不同交点矛盾，故是假命题；(5分)③由题可知当k ＝1时，函数解析式为y ＝2x 2－5x ，又x ＝－b 2a ＝54>1时，由图象可知当x >1时，y 随x 先减小再增大，故是假命题；(8分) ④当k ≠0时，y ＝4ac －b 24a ＝－24k 2＋18k，当k >0时，函数图象开口向上，y 有最小值，最小值为负数；当k <0时，函数图象开口向下，y 有最大值，最大值为正数，故是真命题．(12分)3．(1)解：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝0a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝1，∴a ＝1，b ＝1；(3分)(2)①证明：∵函数y 1的图象的顶点坐标为(－b 2a ，－b24a)，∴a (－b 2a )＋b ＝－b 24a ，即b ＝－b22a ，∵ab ≠0，∴－b ＝2a ， 即证2a ＋b ＝0；(7分)②解：∵b ＝－2a ，∴y 1＝ax (x －2)，y 2＝a (x －2)， ∴y 1－y 2＝a(x －2)(x －1)， ∵1＜x ＜32，∴x －2＜0，x －1＞0，∴(x －2)(x －1)＜0，∴当a ＞0时，a (x －2)(x －1)＜0，即y 1＜y 2， 当a ＜0时，a (x －2)(x －1)＞0，即y 1＞y 2.(12分)4．解：(1)∵函数y 1＝(x ＋a)(x －a －1)图象经过点(1，－2)，∴把x ＝1，y ＝－2代入y 1＝(x ＋a)(x －a －1)得，－2＝(1＋a )(－a )，(2分) 化简得，a 2＋a －2＝0，解得，a 1＝－2，a 2＝1， ∴y 1＝x 2－x －2；(4分)(2)函数y 1＝(x ＋a )(x －a －1)图象在x 轴的交点为(－a ，0)，(a ＋1，0)， ①当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(－a ，0)时， 把x ＝－a ，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中， 得a 2＝b ；(6分)②当函数y 2＝ax ＋b 的图象经过点(a ＋1，0)时， 把x ＝a ＋1，y ＝0代入y 2＝ax ＋b 中， 得a 2＋a ＝－b ；(8分)(3)∵抛物线y 1＝(x ＋a )(x －a －1)的对称轴是直线x ＝－a ＋a ＋12＝12，m <n ， ∵二次项系数为1，∴抛物线的开口向上，∴抛物线上的点离对称轴的距离越大，它的纵坐标也越大， ∵m <n ，∴点Q 离对称轴x ＝12的距离比点P 离对称轴x ＝12的距离大，(10分)∴|x 0－12|<1－12，∴0<x 0<1.(12分)5．解：(1)当m ＝3时，y ＝－x 2＋6x ， 令y ＝0，得－x 2＋6x ＝0，∴x 1＝0，x 2＝6， ∴A (6，0)． 当x ＝1时，y ＝5， ∴B (1，5)．∵抛物线y ＝－x 2＋6x 的对称轴为直线x ＝3， 又∵B ，C 关于对称轴对称， ∴BC ＝4；(3分)(2)过点C 作CH ⊥x 轴于点H (如解图①)，第5题解图①由已知得∠ACP ＝∠BCH ＝90°， ∴∠ACH ＝∠PCB ， 又∵∠AHC ＝∠PBC ＝90°， ∴△ACH ∽△PCB ，∴AH CH ＝PB BC.∵抛物线y ＝－x 2＋2mx 的对称轴为直线x ＝m ，其中m ＞1， 又∵B ，C 关于对称轴对称， ∴BC ＝2(m －1)，∵B (1，2m －1)，P (1，m )， ∴BP ＝m －1，又∵A (2m ，0)，C(2m －1，2m －1)， ∴H (2m －1，0)，∵AH ＝1，CH ＝2m －1， ∴12m －1＝m －12（m －1）， ∴m ＝32；(7分)(3)∵B ，C 不重合，∴m ≠1.(Ⅰ)当m ＞1时，BC ＝2(m －1)，PM ＝m ，BP ＝m －1.(ⅰ)若点E 在x 轴上(如解图①)， ∵∠CPE ＝90°，∴∠MPE ＋∠BPC ＝∠MPE ＋∠MEP ＝90°， ∴∠BPC ＝∠MEP .又∵∠C B P ＝∠PME ＝90°，PC ＝EP ， ∴△BPC ≌△MEP ， ∴BC ＝PM ， ∴2(m －1)＝m ，∴m ＝2，此时点E 的坐标是(2，0)； (ⅱ)若点E 在y 轴上(如解图②)，第5题解图②过点P 作PN ⊥y 轴于点N ， 易证△BPC ≌△NPE ， ∴BP ＝NP ＝OM ＝1，∴m －1＝1， ∴m ＝2，此时点E 的坐标是(0，4)；(11分)(Ⅱ)当0＜m ＜1时，BC ＝2(1－m )，PM ＝m ，BP ＝1－m ， (ⅰ)若点E 在x 轴上(如解图③)，第5题解图③易证△BPC ≌△MEP ， ∴BC ＝PM ， ∴2(1－m )＝m ，∴m ＝23，此时点E 的坐标是(43，0)；(12分)(ⅱ)若点E 在y 轴上(如解图④)，第5题解图④过点P 作PN ⊥y 轴上点N ，易证△BPC ≌△NPE ，∴BP ＝NP ＝OM ＝1， ∴1－m ＝1， ∴m ＝0(舍去)．综上所述，当m ＝2时，点E 的坐标是(2，0)或(0，4)， 当m ＝23时，点E 的坐标是(43，0)．(14分)6．解：(1)∵抛物线y＝(x－3)(x＋1)与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，∴当y＝0时，(x－3)(x＋1)＝0，解得x＝3或－1，∴点B的坐标为(3，0)．∵y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，∴顶点D的坐标为(1，－4)；(4分)(2)①∵抛物线y＝(x－3)(x＋1)＝x2－2x－3与y轴交于点C，∴C点坐标为(0，－3)．∵对称轴为直线x＝1，∴点E的坐标为(1，0)．连接BC，过点C作CH⊥DE于H，如解图①所示，则H点坐标为(1，－3)，第6题解图①∴CH＝DH＝1，∴∠CDH＝∠BCO＝∠BCH＝45°，∴CD＝2，CB＝32，BD＝25，∴△BCD为直角三角形．分别延长PC、DC，与x轴相交于点Q，R.∵∠BDE＝∠DCP＝∠QCR，∠CDB＝∠CDE＋∠BDE＝45°＋∠DCP，∠QCO＝∠RCO＋∠QCR＝45°＋∠DCP，∴∠CDB＝∠QCO，∴△BCD∽△QOC，∴OC OQ ＝CD CB ＝13，∴OQ ＝3OC ＝9，即Q (－9，0)．∴直线CQ 的解析式为y ＝－13x －3，直线BD 的解析式为y ＝2x －6，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－13x －3y ＝2x －6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝97y ＝－247，∴点P 的坐标为(97，－247)；(9分)②(Ⅰ)当点M 在对称轴右侧时，若点N 在射线CD 上，如解图②所示，延长MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G.第6题解图②∵∠CMN ＝∠BDE ，∠CNM ＝∠BED ＝90°，∴△MCN ∽△DBE ，∴CN MN ＝BE DE ＝12，∵MN ＝2CN ，设CN ＝a ，则MN ＝2a ，∵∠CDE ＝∠DCF ＝45°，∴△CNF，△MGF 均为等腰直角三角形，∴NF ＝CN ＝a ，CF ＝2a ，∴MF ＝MN ＋NF ＝3a ，∴MG ＝FG ＝322a ，∴CG ＝FG －FC ＝22a ，∴M (322a ，－3＋22a )， 代入抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)，解得a ＝729，∴M (73，－209)，若点N 在射线DC 上，如解图③所示，MN 交y 轴于点F ，过点M 作MG ⊥y 轴于点G .第6题解图③∵∠CMN ＝∠BDE ，∠CN M ＝∠BED ＝90°，∴△MCN ∽△DBE ，∴CNMN ＝BEDE ＝12，∴MN ＝2CN ，设CN ＝a ，则MN ＝2a .∵∠CDE ＝45°，∴△CNF ，△MGF 均为等腰直角三角形，∴NF ＝CN ＝a ，CF ＝2a ，∴MF ＝MN －NF ＝a ，∴MG ＝FG ＝22a ，∴CG ＝FG ＋FC ＝322a ，∴M (22a ，－3＋322a )，代入抛物线y ＝(x －3)(x ＋1)，解得a ＝52，∴M (5，12)；(Ⅱ)当点M 在对称轴左侧时，∵∠CMN ＝∠BDE ＜45°，∴∠MCN ＞45°，而抛物线左侧任意一点K ，都有∠KCN ＜45°，∴点M 不存在． 综上可知，点M 坐标为(73，－209)或(5，12)．(14分) 7．解：(1)∵抛物线的对称轴是x ＝m2，∴AC ＝m ，∴BE ＝2AC ＝2m ；(3分)(2)当m ＝ 3 时，点D 落在抛物线上，理由如下：∵m ＝3，∴AC ＝3，BE ＝23，y ＝x 2－3x －3，把x ＝23代入y ＝x 2－3x －3，得y ＝(23)2－3³23－3＝3，∴OE ＝3＝OC ，∵∠DEO ＝∠ACO ＝90°，∠DOE ＝∠AOC ，∴△OED ≌△OCA ，∴DE ＝AC ＝3，∴D (－3，3)，∴把x ＝－3代入y ＝x 2－3x －3，得y ＝(－3)2－3³(－3)－3＝3，∴点D 落在抛物线上；(7分)(3)①由(1)得BE ＝2m ，则点B 的横坐标为2m ，如解图①，当x ＝2m 时，y ＝2m 2－3，则点B 的纵坐标为2m 2－3，∴OE ＝2m 2－3.第7题解图①∵AG ∥y 轴，∴EG ＝AC ＝12BE ， ∴FG ＝12OE ， ∵S △DOE ＝S △BGF ，即12DE ²OE ＝12BG ²FG ，∴DE ＝12BG ＝12AC .∵∠DOE ＝∠AOC ，∴tan∠DOE ＝tan∠AOC ，∵∠DEO ＝∠ACO ＝90°，∴DE OE ＝AC OC ，∴OE ＝12OC ＝32，∴2m 2－3＝32，∴m ＝±32，又∵m >0，∴m ＝32；(8分) ②322.(10分)【解法提示】由①知B (2m ，2m 2－3)，E(0，2m 2－3)，A(m ，－3)， ∵G 是BE 的中点，∴GF ＝m 2－32，则AF ＝m 2＋32，易得直线BO 的解析式为y ＝2m 2－32m x ，设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b ，则⎩⎪⎨⎪⎧k 1m ＋b 1＝－3b 1＝2m2－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1＝－2mb 1＝2m 2－3，∴直线AE 的解析式为y ＝－2mx ＋2m 2－3.联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2mx ＋2m 2－3y ＝2m 2－32m x，解得x ＝（2m 2－3）²2m6m －3，∴点M 的横坐标为（2m 2－3）²2m6m 2－3.如解图②，过点M 作MN ⊥AG 于点N ，第7题解图②则MN ＝m －（2m 2－3）²2m6m 2－3＝2m 3＋3m6m 2－3，由S △BGF ＝S △AMF 得12MN ²AF ＝12GB ²GF ，即2m 3＋3m 6m 2－3²(m 2＋32)＝m ²(m 2－32)，解得m ＝322，或m ＝0(舍去)，或m ＝－322(舍去)．8．解：(1)把点C (6，152)代入y ＝14x 2＋14x ＋c ，得152＝9＋32＋c ，解得c ＝－3，(1分)∴y ＝14x 2＋14x －3，当y ＝0时，14x 2＋14x －3＝0，解得x 1＝－4，x 2＝3，∴A (－4，0)，(2分)设直线AC 的函数表达式为y ＝kx ＋b (k ≠0)，把A (－4，0)，C (6，152)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝－4k ＋b 152＝6k ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝34b ＝3，∴直线AC 的函数表达式为y ＝34x ＋3；(4分)(2)①∵在Rt △AOB 中，tan∠OAB ＝OB OA ＝34.在Rt △AOD 中，tan∠OAD ＝OD OA ＝34，∴∠OAB ＝∠OAD ，(6分)∵在Rt△PO Q 中，M 为PQ 中点，∴OM ＝MP ，∴∠MOP ＝∠MPO ，∵∠MOP＝∠AON，∴∠APM ＝∠AON ，∴△APM ∽△AON ；(8分)②如解图，过点M 作ME ⊥x 轴于点E .第8题解图 又∵OM ＝MP ，∴OE ＝EP ，∵点M 横坐标为m ，∴AE ＝m ＋4，AP ＝2m ＋4，(9分) ∵tan∠OAD ＝34，∴cos∠EAM ＝cos∠OAD ＝45，∴AM ＝54AE ＝5（m ＋4）4，(10分)∵△APM ∽△AON ，∴AM AN ＝AP AO ，(11分)∴AN ＝AM²AO AP ＝5m ＋202m ＋4.(12分)。

浙江中考复习专题——二次函数知识点归纳二次函数知识点总结：1．二次函数的观点：一般地，形如y ax2 bx c（ a ，b ，c 是常数，a 0）的函数，叫做二次函数。

这里需要重申：和一元二次方程近似，二次项系数 a 0 ，而b，c能够为零．二次函数的定义域是全体实数．2.二次函数 y ax2 bx c 的构造特色：⑴等号左边是函数，右边是对于自变量x 的二次式， x 的最高次数是 2．⑵ a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数，b是一次项系数， c 是常数项．二次函数的基本形式1.二次函数基本形式：y ax2的性质：oo结论： a 的绝对值越大，抛物线的张口越小。

总结：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而增大；x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值 0 ．a 0 0 ，0 x 0 时， y 随x的增大而减小；x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值 0 ．2. y ax2 c 的性质：结论：上加下减。

总结：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 0 ，c x 0 时， y 随x的增大而增大；x 0 时， y 随向上y 轴x 的增大而减小；x 0 时， y 有最小值c．a 0 0 ，c x 0 时， y 随x的增大而减小；x 0 时， y 随向下y 轴x 的增大而增大；x 0 时， y 有最大值c．23.y a x h 的性质：结论：左加右减。

总结：a 的符号张口方向极点坐标对称轴性质a 0 h ，0 x h 时， y 随x的增大而增大；x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小；x h 时， y 有最小值 0 ．a 0 h ，0 x h 时， y 随x的增大而减小；x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大；x h 时， y 有最大值 0 ．24. y a x h k 的性质：总结：a 的符号张口方向极点坐标 对称轴性质a 0h ，kx h 时， y 随 x 的增大而增大； x h 时， y 随向上X=hx 的增大而减小； x h 时， y 有最小值 k ．a 0h ，kx h 时， y 随 x 的增大而减小； x h 时， y 随向下X=hx 的增大而增大； x h 时， y 有最大值 k ．二次函数图象的平移1. 平移步骤：⑴ 将抛物线分析式转变成极点式y 2h ，k ；a x hk ，确立其极点坐标⑵ 保持抛物线 yax 2 的形状不变，将其极点平移到h ，k 处，详细平移方法以下：y=ax2向上 (k>0)【或向下 (k<0)】平移 |k|个单位y=ax 2+k向右 (h>0)【或左 (h<0)】 向右 ( h>0) 【或左 ( h<0) 】 向右 (h>0) 【或左 (h<0) 】 平移 |k|个单位平移 |k|个单位平移 |k|个单位向上 ( k>0) 【或下 ( k<0) 】平移 |k|个单位y=a( x-h)2向上 (k>0) 【或下 (k<0)】平移 |k|个单位y=a (x-h)2+k2.平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移； k 值正上移，负下移”．归纳成八个字“左加右减，上加下减” ．三、二次函数 y 2ax 2 bx c 的比较a x hk 与 y请将 y 2x 24x 5 利用配方的形式配成极点式。

专题3.3 二次函数一、单选题1．【浙江省湖州市2018年中考数学试题】在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为（﹣1，2），（2，1），若抛物线y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是（）A．a≤﹣1或≤a＜B．≤a＜C．a≤或a＞D．a≤﹣1或a≥【答案】A【解析】分析：根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；详解：∵抛物线的解析式为y=ax2-x+2．观察图象可知当a＜0时，x=-1时，y≤2时，满足条件，即a+3≤2，即a≤-1；当a＞0时，x=2时，y≥1，且抛物线与直线MN有交点，满足条件，∴a≥，∵直线MN的解析式为y=- x+ ，点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．2．【山东省威海市2018年中考数学试题】抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是（）A．abc＜0 B．a+c＜b C．b2+8a＞4ac D．2a+b＞0【答案】D【解析】分析：根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．详解：（A）由图象开口可知：a＜0由对称轴可知：＞0，∴b＞0，∴由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故A正确；（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，∴y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故B正确；（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于2，∴＞2，a＜0，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，故C正确；（D）对称轴x= ＜1，a＜0，∴2a+b＜0，故D错误；故选：D．点睛：本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．3．【山东省威海市2018年中考数学试题】如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y=4x﹣x2刻画，斜坡可以用一次函数y= x刻画，下列结论错误的是（）A．当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3mB．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势C．小球落地点距O点水平距离为7米D．斜坡的坡度为1：2【答案】A【解析】分析：求出当y=7.5时，x的值，判定A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出抛物线与直线的交点，判断C，根据直线解析式和坡度的定义判断D．∴当x＞4时，y随x的增大而减小，即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势，B正确，不符合题意；，解得，，，则小球落地点距O点水平距离为7米，C正确，不符合题意；∵斜坡可以用一次函数y= x刻画，∴斜坡的坡度为1：2，D正确，不符合题意；故选：A．点睛：本题考查的是解直角三角形的﹣坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是解题的关键．4．【湖北省恩施州2018年中考数学试题】抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③9a﹣3b+c=0；④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则y1＞y2；⑤5a﹣2b+c＜0．其中正确的个数有（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】分析：根据二次函数的性质一一判断即可．详解：∵抛物线对称轴x=-1，经过（1，0），∴-=-1，a+b+c=0，∴b=2a，c=-3a，∵a＞0，∴b＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误，∵抛物线与x轴有交点，∴b2-4ac＞0，故②正确，∵抛物线与x轴交于（-3，0），∴9a-3b+c=0，故③正确，∵点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，-1.5＞-2，则y1＜y2；故④错误，∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，故选：B．点睛：本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．5．【台湾省2018年中考数学试卷】已知坐标平面上有一直线L，其方程式为y+2=0，且L与二次函数y=3x2+a的图形相交于A，B两点：与二次函数y=﹣2x2+b的图形相交于C，D两点，其中a、b为整数．若AB=2，CD=4．则a+b之值为何？（）A．1 B．9 C．16 D．24【答案】A【解析】分析：判断出A、C两点坐标，利用待定系数法求出a、b即可；详解：如图，由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），分别代入y=3x2+a，y=﹣2x2+b可得a=﹣5，b=6，∴a+b=1，故选：A．点睛：本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出A、C两点坐标是解决问题的关键．6．【湖北省襄阳市2018年中考数学试卷】已知二次函数y=x2﹣x+m﹣1的图象与x轴有交点，则m的取值范围是（）A．m≤5B．m≥2C．m＜5 D．m＞2【答案】A【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点，能根据题意得出关于m的不等式是解此题的关键．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴的交点个数与△=b2-4ac的关系，△>0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有2个交点；△=0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴有1个交点；△<0抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴没有交点.7．【北京市2018年中考数学试卷】跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度（单位：）与水平距离（单位： ）近似满足函数关系 （ ）．下图记录了某运动员起跳后的 与 的三 组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析： 根据抛物线的对称性即可判断出对称轴的范围.详解：设对称轴为， 由（ ，）和（ ， ）可知， ， 由（ ，）和（ ， ）可知， ， ∴，故选 B ．点睛：考查抛物线的对称性，熟练运用抛物线的对称性质是解题的关键.8．【山东省烟台市 2018年中考数学试卷】如图，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 A （﹣1，0），B （3，0）．下列结论：①2a ﹣b=0；②（a+c ）2＜b 2；③当﹣1＜x ＜3时，y ＜0；④ 当 a=1时，将抛物线先向上平移 2个单位，再向右平移 1个单位，得到抛物线 y=（x ﹣2）2﹣2．其 中正确的是（ ）A．①③B．②③C．②④D．③④【答案】D【解析】分析：根据二次函数图象与系数之间的关系即可求出答案．详解：①图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），∴二次函数的图象的对称轴为x= =1，∴=1，∴2a+b=0，故①错误；②令x=﹣1，∴y=a﹣b+c=0，∴a+c=b，∴（a+c）2=b2，故②错误；③由图可知：当﹣1＜x＜3时，y＜0，故③正确；④当a=1时，∴y=（x+1）（x﹣3）=（x﹣1）2﹣4将抛物线先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线y=（x﹣1﹣1）2﹣4+2=（x﹣2）2﹣2，故④正确；故选：D．点睛：本题考查二次函数图象的性质，解题的关键是熟知二次函数的图象与系数之间的关系，本题属于中等题型．9．【四川省达州市2018年中考数学试题】如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A （﹣1，0），与y轴的交点B在（0，2）与（0，3）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=2．下列结论：abc＜0；②9a+3b+c＞0；③若点M（，y1），点N（，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④﹣＜a＜﹣．其中正确结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D【解析】分析：根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．详解：①由开口可知：a＜0，∴对称轴x=−＞0，∴b＞0，由抛物线与y轴的交点可知：c＞0，∴abc＜0，故①正确；④∵−=2，∴b=-4a，∵x=-1，y=0，∴a-b+c=0，∴c=-5a，∵2＜c＜3，∴2＜-5a＜3，∴-＜a＜- ，故④正确故选：D．点睛：本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用图象与系数的关系，本题属于中等题型．10．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①4a+2b+c＞0；②5a﹣b+c=0；③若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【解析】【分析】根据抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），根据顶点坐标公式可求得b=4a，c=-5a，从而可得抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，然后根据二次函数的性质一一判断即可．【详解】∵抛物线的开口向上，∴a>0，∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），∴﹣=﹣2，=﹣9a，∴b=4a，c=-5a，∴抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a，∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，∵抛物线y=ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，若方程|ax2+bx+c|=1有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，故选B．【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根据顶点坐标确定出抛物线的解析式为y=ax2+4ax﹣5a是解题的关键.11．【广西钦州市2018年中考数学试卷】将抛物线y= x2﹣6x+21向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为（）A．y= （x﹣8）2+5 B．y= （x﹣4）2+5 C．y= （x﹣8）2+3 D．y= （x﹣4）2+3 【答案】D【解析】【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．【详解】y= x2﹣6x+21= （x2﹣12x）+21= [（x﹣6）2﹣36]+21= （x﹣6）2+3，故y= （x﹣6）2+3，向左平移2个单位后，得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关键．12．【河北省2018年中考数学试卷】对于题目“一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，若c为整数，确定所有c的值，”甲的结果是c=1，乙的结果是c=3或4，则（）A．甲的结果正确B．乙的结果正确C．甲、乙的结果合在一起才正确D．甲、乙的结果合在一起也不正确【答案】A【解析】【分析】两函数组成一个方程组，得出一个方程，根据题可知方程中的△=﹣4+4c=0，求出即可．【详解】把y=x+2代入y=﹣x（x﹣3）+c得：x+2=﹣x（x﹣3）+c，即x2﹣2x+2﹣c=0，∵一段抛物线L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线l：y=x+2有唯一公共点，所以△=（﹣2）2﹣4×1×（2﹣c）=﹣4+4c=0，解得：c=1，所以甲的结果正确，乙的结果成为，故选A．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式等知识点，能得出一个关于x的一元二次方程是解此题的关键．13．【山东省东营市2018年中考数学试题】如图所示，已知△ABC中，BC=12，BC边上的高h=6，D为BC上一点，EF∥BC，交AB于点E，交AC于点F，设点E到边BC的距离为x．则△DEF 的面积y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【答案】D所以根据相似比可知：，即EF=2（6-x）所以y= ×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）该函数图象是抛物线的一部分，故选：D．点睛：此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．二、填空题14．【江苏省淮安市2018年中考数学试题】将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度，得到的图象所对应的函数表达式是_____．【答案】y=x2+2【解析】分析：先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．详解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．15．【山东省淄博市2018年中考数学试题】已知抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），将这条抛物线向右平移m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与x轴交于C，D两点（点C在点D的左侧），若B，C是线段AD的三等分点，则m的值为__________．【答案】2【解析】分析：先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移m个单位可知：AC=BD=m，计算点A和B的坐标可得AB的长，从而得结论．详解：如图，∵B，C是线段AD的三等分点，∴AC=BC=BD，由题意得：AC=BD=m，当y=0时，x2+2x﹣3=0，（x﹣1）（x+3）=0，x1=1，x2=﹣3，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AB=3+1=4，∴AC=BC=2，∴m=2，故答案为：2．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思想和三等分点的定义解决问题是关键．16．【湖北省孝感市2018年中考数学试题】如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则方程的解是__________．【答案】，【解析】分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组的解为，，于是易得关于x的方程ax2-bx-c=0的解．详解：∵抛物线y=ax2与直线y=bx+c的两个交点坐标分别为A（-2，4），B（1，1），∴方程组的解为，，即关于x的方程ax2-bx-c=0的解为x1=-2，x2=1．所以方程ax2=bx+c的解是x1=-2，x2=1，故答案为x1=-2，x2=1．点睛：本题考查抛物线与x轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学知识，学会利用图象法解决实际问题17．【黑龙江省哈尔滨市2018年中考数学试题】抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为_____．【答案】（﹣2，4）．【解析】分析：根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．详解：∵y=2（x+2）2+4，∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4），故答案为：（-2，4）．点睛：本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．18．【吉林省长春市2018年中考数学试卷】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx交x 轴的负半轴于点A．点B是y轴正半轴上一点，点A关于点B的对称点A′恰好落在抛物线上．过点A′作x轴的平行线交抛物线于另一点C．若点A′的横坐标为1，则A′C的长为_____．【答案】3【详解】当y=0时，x2+mx=0，解得x1=0，x2=﹣m，则A（﹣m，0），∵点A关于点B的对称点为A′，点A′的横坐标为1，∴点A的坐标为（﹣1，0），∴抛物线解析式为y=x2+x，当x=1时，y=x2+x=2，则A′（1，2），当y=2时，x2+x=2，解得x1=﹣2，x2=1，则C（﹣2，1），∴A′C的长为1﹣（﹣2）=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标平面内关于某点对称的两点间坐标的关系以及抛物线与x轴的交点，解题的关键是把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．19．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018年中考数学试题】已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是_____．x …﹣10 1 2 …y …0 3 4 3 …【答案】（3，0）．【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．详解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0，3）、（2，3）两点，∴对称轴x= =1；点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3，0）．故答案为：（3，0）．点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．20．【新疆自治区2018年中考数学试题】如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们规定：当x取任意一个值时，x对应的函数值分别为y1和y2，若y1≠y2，取y1和y2中较小值为M；若y1=y2，记M=y1=y2．①当x＞2时，M=y2；②当x＜0时，M随x的增大而增大；③使得M 大于4的x的值不存在；④若M=2，则x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．【答案】②③【解析】分析：①观察函数图象，可知：当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x＞2时，M=y1，结论①错误；②观察函数图象，可知：当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，进而可得出当x ＜0时，M=y1，再利用二次函数的性质可得出M随x的增大而增大，结论②正确；③利用配方法可找出抛物线y1=-x2+4x的最大值，由此可得出：使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当M=2时的x值，由此可得出：若M=2，则x=1或2+ ，结论④错误．此题得解．详解：①当x＞2时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＞2时，M=y1，结论①错误；②当x＜0时，抛物线y1=-x2+4x在直线y2=2x的下方，∴当x＜0时，M=y1，∴M随x的增大而增大，结论②正确；③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，∴M的最大值为4，∴使得M大于4的x的值不存在，结论③正确；④当M=y1=2时，有-x2+4x=2，解得：x1=2- （舍去），x2=2+ ；当M=y2=2时，有2x=2，解得：x=1．∴若M=2，则x=1或2+ ，结论④错误．综上所述：正确的结论有②③．故答案为：②③．点睛：本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．21．【湖北省武汉市2018年中考数学试卷】飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间t（单位：s）的函数解析式是y=60t﹣．在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是_____m．【答案】216【解析】【分析】先利用二次函数的性质求出飞机滑行20s停止，此时滑行距离为600m，然后再将t=20-4=16代入求得16s时滑行的距离，即可求出最后4s滑行的距离.【详解】y=60t﹣= (t-20)2+600，即飞机着陆后滑行20s时停止，滑行距离为600m，当t=20-4=16时，y=576，600-576=24，即最后4s滑行的距离是24m，故答案为：24.【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题.22．【浙江省湖州市2018年中考数学试题】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形，则b的值是_____．【答案】﹣2点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于b的方程是解题的关键．三、解答题23．【浙江省宁波市2018年中考数学试卷】已知抛物线经过点，求该抛物线的函数表达式；将抛物线平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．【答案】抛物线解析式为；具体见解析.【解析】【分析】把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．【详解】把，代入抛物线解析式得：，解得：，则抛物线解析式为；抛物线解析式为，将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．24．【江苏省徐州巿2018年中考数学试卷】已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15. 【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x 轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′= ×（2+5）×9﹣×2×4﹣×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.25．【河北省2018年中考数学试卷】如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y= （x≥1）交于点A，且AB=1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t=1时h=5，M，A的水平距离是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）设v=5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求y与x的关系式（不写x的取值范围），及y=13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v乙米/秒．当甲距x轴1.8米，且乙位于甲右侧超过4.5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=﹣5t2+18，y= ，当y=13时，运动员在与正下方滑道的竖直距离是10米；（3）t=1.8，v乙＞7.5【解析】【分析】（1）用待定系数法解题即可；（2）根据题意，分别用t表示x、y，再用代入消元法得出y与x之间的关系式；（3）求出甲距x轴1.8米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过4.5米的v乙．（2）∵v=5，AB=1，∴x=5t+1，∵h=5t2，OB=18，∴y=﹣5t2+18，由x=5t+1，则t= （x-1），∴y=﹣（x-1）2+18= ，当y=13时，13=﹣（x-1）2+18，解得x=6或﹣4，∵x≥1，∴x=6，把x=6代入y= ，y=3，∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是13﹣3=10（米）；（3）把y=1.8代入y=﹣5t2+18得t2= ，解得t=1.8或﹣1.8（负值舍去）∴x=10∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道y= 上，此时，乙的坐标为（1+1.8v乙，1.8），由题意：1+1.8v乙﹣（1+5×1.8）＞4.5，∴v乙＞7.5.【点睛】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用，综合性较强，有一定的难度，读懂题意，正确应用反比例函数和二次函数的知识解决问题是关键.本题也考查了函数图象上的临界点问题．26．【湖北省荆门市2018年中考数学试卷】随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，一次性收购了10000kg小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养10天的总成本为166000，放养30天的总成本为178000元．设这批小龙虾放养t天后的质量为akg，销售单价为y元/kg，根据往年的行情预测，a与t的函数关系为a=，y与t的函数关系如图所示．（1）设每天的养殖成本为m元，收购成本为n元，求m与n的值；（2）求y与t的函数关系式；（3）如果将这批小龙虾放养t天后一次性出售所得利润为W元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）【答案】（1）m=600，n=160000；（2）；（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养25天后一次性出售所得利润最大，最大利润是108500元.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值即可；（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出y与P的解析式即可；（3）根据W=ya﹣mt﹣n，表示出W与t的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．【详解】（1）依题意得，解得：；（2）当0≤t≤20时，设y=k1t+b1，由图象得：，解得：∴y=t+16；当20＜t≤50时，设y=k2t+b2，由图象得：，解得：，∴y=﹣t+32，综上，；（3）W=ya﹣mt﹣n，当0≤t≤20时，W=10000（t+16）﹣600t﹣160000=5400t，∵5400＞0，∴当t=20时，W最大=5400×20=108000，当20＜t≤50时，W=（﹣t+32）（100t+8000）﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20（t﹣25）2+108500，∵﹣20＜0，抛物线开口向下，∴当t=25，W最大=108500，∵108500＞108000，∴当t=25时，W取得最大值，该最大值为108500元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．27．【四川省达州市2018年中考数学试题】“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价．已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？【答案】（1）进价为1000元，标价为1500元；（2）该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．详解：（1）设进价为x元，则标价是1.5x元，由题意得：1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x，解得：x=1000，1.5×1000=1500（元），答：进价为1000元，标价为1500元；（2）设该型号自行车降价a元，利润为w元，由题意得：w=（51+ ×3）（1500-1000-a），=- （a-80）2+26460，∵-＜0，∴当a=80时，w最大=26460，答：该型号自行车降价80元出售每月获利最大，最大利润是26460元．点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出w与a的关系式，进而求出最值．28．【湖北省随州市2018年中考数学试卷】为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生产订单，按要求在15天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件20元，设第x 天（1≤x≤15，且x为整数）每件产品的成本是p元，p与x之间符合一次函数关系，部分数据如表：天数（x） 1 3 6 10每件成本p（元）7.5 8.5 10 12任务完成后，统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x（天）满足如下关系：y=，设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？【答案】（1）W= ；（2）李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；（3）李师傅共可获得160元奖金．【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x，W与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围：（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．【详解】（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b，则有，解得，，即p与x的函数关系式为p=0.5x+7（1≤x≤15，x为整数），当1≤x＜10时，W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260，当10≤x≤15时，W=[20﹣（0.5x+7）]×40=﹣20x+520，即W= ；（2）当1≤x＜10时，W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324，∴当x=8时，W取得最大值，此时W=324，当10≤x≤15时，W=﹣20x+520，∴当x=10时，W取得最大值，此时W=320，∵324＞320，∴李师傅第8天创造的利润最大，最大利润是324元；（3）当1≤x＜10时，令﹣x2+16x+260=299，得x1=3，x2=13，当W＞299时，3＜x＜13，∵1≤x＜10，∴3＜x＜10，当10≤x≤15时，令W=﹣20x+520＞299，得x＜11.05，∴10≤x≤11，由上可得，李师傅获得奖金的月份是4月到11月，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元），即李师傅共可获得160元奖金．【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用等，明确题意，找出各个量之间的关系，确立函数解析式，利用函数的性质进行解答是关键.29．【江苏省无锡市2018年中考数学试题】一水果店是A酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了2600kg的这种水果．已知水果店每售出1kg该水果可获利润10元，未售出的部分每1kg将亏损6元，以x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示A酒店本月对这种水果的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润．（1）求y关于x的函数表达式；（2）问：当A酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元？【答案】（1）当2 000≤x≤2600时，y=16x﹣15600；当2 600＜x≤3000时，y=26000；（2）当A酒店本月对这种水果的需求量小于等于3000，不少于2350kg时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于22000元．（2）由题意得：16x-15600≥22000。

第15讲二次函数的图象与性质1．二次函数的概念、图象和性质2.二次函数的图象与字母系数的关系3.确定二次函数的解析式4.二次函数与一元二次方程以及不等式之间的关系5.二次函数图象常见的变换1．(2015·台州)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是()A．(1，0) B．(3，0) C．(－3，0) D．(0，－4)2．(2017·金华)对于二次函数y＝－(x－1)2＋2的图象与性质，下列说法正确的是() A．对称轴是直线x＝1，最小值是2B．对称轴是直线x＝1，最大值是2C．对称轴是直线x＝－1，最小值是2D．对称轴是直线x＝－1，最大值是23．(2017·宁波)抛物线y＝x2－2x＋m2＋2(m是常数)的顶点在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限4．(2016·舟山)把抛物线y＝x2先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，平移后抛物线的表达式是____________________．5．(2015·甘孜州)若二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位长度后，得到函数y＝2(x ＋h)2的图象，则h＝____________________．【问题】如图是y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，且点A(－1，0)，B(3，0)．(1)你能从图象中想到哪些二次函数性质；(2)若点C为(0，－3)，你又能得到哪些结论．【归纳】通过开放式问题，归纳、疏理二次函数的图象与性质．类型一二次函数的解析式例1(1)已知抛物线的顶点坐标为(－1，－8)，且过点(0，－6)，则该抛物线的表达式为________；(2)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A(－1，－1)、B(0，2)、C(1，3)；则二次函数的解析式为________；(3)已知抛物线过点A(2，0)，B(－1，0)，与y轴交于点C，且OC＝2.则这条抛物线的解析式为________．【解后感悟】解题关键是选择合适的解析式：当已知抛物线上三点求二次函数的关系式时，一般采用一般式y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；当已知抛物线顶点坐标(或对称轴及最大或最小值)求关系式时，一般采用顶点式y＝a(x－h)2＋k；当已知抛物线与x轴的交点坐标求二次函数的关系式时，一般采用交点式y＝a(x－x1)(x－x2)．1．(1)(2017·杭州模拟)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数解析式是____________________．(2)(2017·长春模拟)已知二次函数的图象与x轴的两个交点A，B关于直线x＝－1对称，且AB＝6，顶点在函数y＝2x的图象上，则这个二次函数的表达式为____________________．类型二二次函数的图象、性质例2(1)对于抛物线y＝－(x＋1)2＋4，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x＝1；③顶点坐标为(－1，4)；④x≥1时，y随x的增大而减小；⑤当x＝－1时，y有最大值是4；⑥当y≥0时，－3≤x≤1；⑦点A(－2，y1)、B(1，y2)在抛物线上，则y1＞y2.其中正确结论是______________；(2)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，下列结论：①－2≤x≤1，二次函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为4，最小值为0；②使y≤3成立的x 的取值范围是x≥0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝－3，x2＝1；④一元二次方程ax2＋bx＋c－3＝0的两根为x1＝－2，x2＝0；⑤当二次函数的值大于一次函数y＝－x ＋3的值时，x取值范围是－1＜x＜0.其中正确结论是______________．【解后感悟】解题关键是正确把握解析式的特点、图象的特点、二次函数的性质，注意数形结合．2．(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列说法：①2a＋b＝0；②当－1≤x≤3时，y<0；③若(x1，y1)、(x2，y2)在函数图象上，当x1<x2时，y1<y2；④9a＋3b＋c ＝0；⑤4a－2b＋c＞0.其中正确的是____________________．(2)(2015·杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．①当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k 取0时函数的图象；②根据图象，写出你发现的一条结论；③将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．类型三二次函数的图象变换例3已知抛物线y＝2(x－4)2－1.(1)将该抛物线先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线的解析式为________；(2)将该抛物线关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为________．(3)将该抛物线绕它的顶点旋转180°，所得抛物线的解析式是________．【解后感悟】①平移的规律：左加右减，上加下减；②对称的规律：关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的两点横、纵坐标均互为相反数；③旋转的规律：旋转后的抛物线开口相反，顶点关于旋转点对称．3．(1)(2017·绍兴)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为( )A ．y ＝x 2＋8x ＋14B ．y ＝x 2－8x ＋14C ．y ＝x 2＋4x ＋3D ．y ＝x 2－4x ＋3(2)(2017·盐城)如图，将函数y ＝12(x －2)2＋1的图象沿y 轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)，B(4，n)平移后的对应点分别为点A′、B′.若曲线段AB 扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( )A ．y ＝12(x －2)2－2B ．y ＝12(x －2)2＋7C ．y ＝12(x －2)2－5D ．y ＝12(x －2)2＋4类型四 二次函数的综合问题例4 如图，抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 与x 轴交于A ，B 两点，它们的对称轴与x 轴交于点N ，过顶点M 作ME ⊥y 轴于点E ，连结BE 交MN 于点F. 已知点A 的坐标为(－1，0)．(1)求该抛物线的解析式及顶点M 的坐标； (2)求△EMF 与△BNF 的面积之比．【解后感悟】抛物线与x 轴的交点问题；二次函数的性质；待定系数法的应用；曲线上点的坐标与方程的关系；相似三角形的判定和性质．4．(1)(2016·长春)如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点A在x轴正半轴上，顶点C的坐标为(4，3)，D是抛物线y＝－x2＋6x上一点，且在x轴上方，则△BCD面积的最大值为____________________．(2)(2015·湖州)如图，已知抛物线C1∶y＝a1x2＋b1x＋c1和C2∶y＝a2x2＋b2x＋c2都经过原点，顶点分别为A，B，与x轴的另一个交点分别为M、N，如果点A与点B，点M与点N都关于原点O成中心对称，则抛物线C1和C2为姐妹抛物线，请你写出一对姐妹抛物线C1和C2，使四边形ANBM恰好是矩形，你所写的一对抛物线解析式是和.类型五二次函数的应用例5(2017·杭州模拟)九年级数学兴趣小组经过市场调查，得到某种运动服每月的销量与售价的相关信息如下表：已知该运动服的进价为每件60元，设售价为x元．(1)请用含x的式子表示：①销售该运动服每件的利润是________元；②月销量是________件；(直接填写结果)(2)设销售该运动服的月利润为y元，那么售价为多少时，当月的利润最大，最大利润是多少？【解后感悟】此题是二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解题关键．5．(2017·重庆模拟)我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两段抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm(锅口直径与锅盖直径视为相同)，建立直角坐标系如图1所示(图2是备用图)，如果把锅纵断面的抛物线记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2.(1)求C1和C2的解析式；(2)如果炒菜锅里的水位高度是1dm，求此时水面的直径；(3)如果将一个底面直径为3dm，高度为3dm的圆柱形器皿放入炒菜锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说明理由．【探索研究题】如图，一段抛物线：y＝－x(x－3)(0≤x≤3)，记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x 轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13.若P(37，m)在第13段抛物线C13上，则m＝________．【方法与对策】本题是数形规律探究能力．图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律．该题型是图形变换和规律的探究题，是中考命题方向．【配方漏括号】用配方法求二次函数y＝512x2－53x＋54图象的顶点坐标及对称轴．参考答案第15讲二次函数的图象与性质【考点概要】1．y＝ax2＋bx＋c上下减小增大增大减小 2.上下小y左右原点 正 负 唯一 两个 没有 > < 3.y ＝ax 2＋bx ＋c y ＝a (x －m )2＋k y ＝a (x －x 1)(x －x 2) 4.x 横 > <【考题体验】1．B 2.B 3.A 4.y ＝(x －2)2＋3 5.2【知识引擎】【解析】(1)对称轴是直线x ＝1等；(2)当x ＝1时，y 的最小值为－4等．【例题精析】例1 (1)y ＝2(x ＋1)2－8；(2)y ＝－x 2＋2x ＋2；(3)y ＝x 2－x －2或y ＝－x 2＋x ＋2 例2(1)①③④⑤⑥⑦；(2)①③④⑤ 例3 (1)y ＝2x 2＋1；(2)y ＝－2(x ＋4)2＋1；(3)y ＝－2(x －4)2－1 例4 (1)∵点A 在抛物线y ＝－x 2＋2x ＋c 上，∴－(－1)2＋2·(－1)＋c ＝0，解得：c ＝3，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3.∵y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，∴抛物线的顶点M(1，4)；(2)∵A(－1，0)，抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴点B(3，0)．∴EM ＝1，BN ＝2.∵EM ∥BN ，∴△EMF ∽△BNF.∴S △EMF S △BNF ＝⎝⎛⎭⎫EM NB 2＝⎝⎛⎭⎫122＝14. 例5 (1)①(x －60)；②(－2x ＋400) (2)依题意可得：y ＝(x －60)×(－2x ＋400)＝－2x 2＋520x －24000＝－2(x －130)2＋9800，当x ＝130时，y 有最大值9800.所以售价为每件130元时，当月的利润最大为9800元．【变式拓展】1．(1)y ＝－x 2＋2x ＋3 (2)y ＝29x 2＋49x －1692．(1)①④⑤ (2)①根据题意可得函数图象为：②图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；图象总交x 轴于点(1，0)；k 取0和2时的函数图象关于点(0，2)成中心对称；③平移后的函数y 3的表达式为：y 3＝(x ＋3)2－2，∴当x ＝－3时，函数y 3的最小值为－2.3. (1)A (2)D4. (1)15 (2)y ＝－3x 2＋23x y ＝3x 2＋23x5.(1)由于抛物线C 1、C 2都过点A(－3，0)、B(3，0)，可设它们的解析式为：y ＝a(x －3)(x ＋3)；抛物线C 1还经过D(0，－3)，则有：－3＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝13，即：抛物线C 1：y ＝13x 2－3(－3≤x ≤3)；抛物线C 2还经过C(0，1)，则有：1＝a(0－3)(0＋3)，解得：a ＝－19，即：抛物线C 2：y ＝－19x 2＋1(－3≤x ≤3)．(2)当炒菜锅里的水位高度为1dm 时，y ＝－2，即13x 2－3＝－2，解得：x ＝±3，∴此时水面的直径为23dm . (3)锅盖能正常盖上，理由如下：当x ＝32时，抛物线C 1：y ＝13×⎝⎛⎭⎫322－3＝－94，抛物线C 2：y ＝－19×⎝⎛⎭⎫322＋1＝34，而34－⎝⎛⎭⎫－94＝3，∴锅盖能正常盖上． 【热点题型】【分析与解】C 1：y ＝－x(x －3)(0≤x ≤3)C 2：y ＝(x －3)(x －6)(3≤x ≤6)C 3：y ＝－(x －6)(x －9)(6≤x ≤9)C 4：y ＝(x －9)(x －12)(9≤x ≤12)…C 13：y ＝－(x －36)(x －39)(36≤x ≤39)，当x ＝37时，y ＝2，所以，m ＝2.【错误警示】y ＝512x 2－53x ＋54＝512(x 2－4x ＋3)＝512[(x －2)2－1]＝512(x －2)2－512，∴该函数图象的顶点坐标是(2，－512)，对称轴是直线x ＝2.。

第一部分考点研究第三单元函数第13课时二次函数的图像及性质浙江近9年中考真题精选（2009-2017）命题点1抛物线的对称性及对称轴(杭州2017.9，台州2015.7，绍兴2016.9) 1．(2016衢州7题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)图象上部分点的坐标(x，y)对应值列表如下：则该函数图象的对称轴是( )A. 直线x＝－3B. 直线x＝－2C. 直线x＝－1D. 直线x＝02．(2015台州7题4分)设二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线l，若点M在直线l上，则点M的坐标可能是( )A. (1，0)B. (3，0)C. (－3，0)D. (0，－4)3．(2014宁波12题4分)已知点A(a－2b，2－4ab)在抛物线y＝x2＋4x＋10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为( )A. (－3，7)B. (1，7)C. (－4，10)D. (0，10)4．(2015宁波11题4分)二次函数y＝a(x－4)2－4(a≠0)的图象在2＜x＜3这一段位于x 轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为( )A. 1B. －1C. 2D. －25．(2016绍兴9题4分)抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是( )A. 4B. 6C. 8D. 106．(2017杭州9题3分)设直线x ＝1是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是实数，且a <0)的图象的对称轴( )A. 若m >1，则(m －1)a ＋b >0B. 若m >1，则(m －1)a ＋b <0C. 若m <1，则(m －1)a ＋b >0D. 若m <1，则(m －1)a ＋b <0命题点 2 二次函数的增减性及最值(杭州2015.13)7．(2012衢州10题3分)已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1，x 2，x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1，y 2，y 3的大小关系正确的是( ) A. y 1>y 2>y 3 B. y 1＜y 2＜y 3 C. y 2>y 3>y 1 D. y 2＜y 3＜y 18．(2016舟山10题3分)二次函数y ＝－(x －1)2＋5，当m ≤x ≤n 且mn ＜0时，y 的最小值为2m ，最大值为2n ，则m ＋n 的值为( ) A. 52 B. 2 C. 32 D. 129．(2014嘉兴10题4分)当－2≤x ≤1时，二次函数y ＝－(x －m )2＋m 2＋1有最大值4，则实数m 的值为( )A. －74B. 3或－ 3C. 2或－ 3D. 2或3或－7410．(2017嘉兴10题3分)下列关于函数y ＝x 2－6x ＋10的四个命题：①当x ＝0时，y 有最小值10；②n 为任意实数，x ＝3＋n 时的函数值大于x ＝3－n 时的函数值；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n ＋1时，y 的整数值有(2n －4)个；④若函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0＋1)，其中a >0，b >0，则a ＜b .其中真命题的序号是( )A. ①B. ②C. ③D. ④11．(2015杭州13题4分)函数y ＝x 2＋2x ＋1，当y ＝0时，x ＝________；当1<x <2时，y 随x 的增大而________(填写“增大”或“减小”)． 命题点 3 二次函数图象与系数a 、b 、c 的关系12．(2013宁波10题3分)如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向上，对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，0)，下列结论中，正确的一项是( ) A. abc <0 B. 2a ＋b <0 C. a －b ＋c <0 D. 4ac －b 2<0第12题图13．(2013义乌10题3分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，顶点坐标为(1，n )，与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，则下列结论：①当x >3时，y ＜0；②3a ＋b >0；③－1≤a ≤－23；④3≤n ≤4中，正确的是( )A. ①②B. ③④C. ①④D. ①③第13题图命题点 4 二次函数解析式的确定(杭州2014.15，绍兴2015.21)14．(2014杭州15题4分)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为__________．15．(2015绍兴21题10分)如果抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的一个解析式．小敏写出了一个答案：y ＝2x 2＋3x －4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y ＝－x 2＋2bx ＋c ＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的解析式，请你解答．命题点 5 二次函数图象的平移及旋转(杭州2015.20，绍兴3考)16．(2017丽水8题3分)将函数y ＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是( )A. 向左平移1个单位B. 向右平移3个单位C. 向上平移3个单位D. 向下平移1个单位17．(2017绍兴9题4分)矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，点A 的坐标为(2，1)．一张透明纸上画有一个点和一条抛物线，平移透明纸，使这个点与点A 重合，此时抛物线的函数表达式为y ＝x 2，再次平移透明纸，使这个点与点C 重合，则该抛物线的函数表达式变为( )A. y ＝x 2＋8x ＋14 B. y ＝x 2－8x ＋14 C. y ＝x 2＋4x ＋3 D. y ＝x 2－4x ＋318．(2012宁波17题3分)把二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象绕原点旋转180°后得到的图象的解析式为________．19．(2015宁波23题10分)已知抛物线y ＝(x －m )2－(x －m )，其中m 是常数． (1)求证：不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点； (2)若该抛物线的对称轴为直线x ＝52.①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点． 20．(2014绍兴22题12分)如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y ＝x 2＋px ＋q ，我们称[p ，q ]为此函数的特征数，如函数y ＝x 2＋2x ＋3的特征数是[2，3]．(1)若一个函数的特征数为[－2，1]，求此函数图象的顶点坐标； (2)探究下列问题：①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位，求得到的图象对应的函数的特征数；②若一个函数的特征数为[2，3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3，4]?命题点 6 二次函数与一元二次方程、不等式(组)的关系(杭州2考)21．(2015杭州10题3分)设二次函数y 1＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0，x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2＝dx ＋e (d ≠0)的图象交于点(x 1，0)．若函数y ＝y 1＋y 2的图象与x 轴仅有一个交点，则( )A. a (x 1－x 2)＝dB. a (x 2－x 1)＝dC. a (x 1－x 2)2＝d D. a (x 1＋x 2)2＝d22. (2013杭州10题3分)给出下列命题及函数y ＝x ，y ＝x 2和y ＝1x的图象第22题图①如果1a>a >a 2，那么0<a <1；②如果a 2>a >1a，那么a >1；③如果1a>a 2>a ，那么－1<a <0；④如果a 2>1a>a 时，那么a <－1.则( )A. 正确的命题是①④B. 错误．．的命题是②③④C. 正确的命题是①②D. 错误．．的命题只有③ 23．(2016衢州22题10分)已知二次函数y ＝x 2＋x 的图象，如图所示．(1)根据方程的根与函数图象之间的关系，将方程x 2＋x ＝1的根在图上近似地表示出来(描．点．)，并观察图象，写出方程x 2＋x ＝1的根(精确到0.1)． (2)在同一直角坐标系中画出一次函数y ＝12x ＋32的图象，观察图象写出自变量x 取值在什么范围时，一次函数的值小于．．二次函数的值． (3)如图，点P 是坐标平面上的一点，并在网格的格点上，请选择一种适当的平移方法，使平移后二次函数图象的顶点落在P 点上，写出平移后二次函数图象的函数表达式，并判断点P 是否在函数y ＝12x ＋32的图象上，请说明理由．第23题图答案1．B 【解析】由表格的数据可以看出，x ＝－3和x ＝－1时y 的值相同都是－3，所以可以判断出，点(－3，－3)和点(－1，－3)关于二次函数的对称轴对称，利用公式x ＝x 1＋x 22可求出对称轴为直线x ＝x 1＋x 22＝－3－12＝－42＝－2.故选B.2．B 【解析】先求出二次函数图象的对称轴，再确定选项．∵二次函数为y ＝(x －3)2－4，∴对称轴为x ＝3，在(1，0)，(3，0)，(－3，0)，(0，－4)四点中只有(3，0)在直线x ＝3上．故选B.3．D 【解析】∵点A (a －2b ，2－4ab )在抛物线y ＝x 2＋4x ＋10上，∴(a －2b )2＋4×(a －2b )＋10＝2－4ab , a 2－4ab ＋4b 2＋4a －8b ＋10＝2－4ab , (a ＋2)2＋4(b －1)2＝0，∴a ＋2＝0，b －1＝0, 解得a ＝－2，b ＝1，∴a －2b ＝－2－2×1＝－4, 2－4ab ＝2－4×(－2)×1＝10，∴点A 的坐标为(－4，10)，∵对称轴为直线x ＝－42×1＝－2，∴点A 关于对称轴的对称点的坐标为(0，10)．4．A 【解析】本题考查抛物线的性质以及待定系数法．∵抛物线y ＝a (x －4)2－4(a ≠0)，∴其对称轴为直线x ＝4.∵抛物线在2＜x ＜3的部分位于x 轴下方，∴根据对称性可知5＜x ＜6的部分在x 轴下方，又∵抛物线上6＜x ＜7的部分在x 轴的上方，∴必然有x ＝6时，y ＝0，将点(6，0)代入抛物线解析式得0＝a (6－4)2－4，解得a ＝1.5．A 【解析】 由题知，对称轴与线段y ＝0(1≤x ≤3)有交点，则有1≤－b2≤3，可得到：－6≤b ≤－2，由二次函数经过点A (2，6)，代入可得：4＋2b ＋c ＝6，∴b ＝2－c 2，∴－6≤2－c2≤－2, 解得6≤c ≤14，所以c 的值不可能是4.6．C 【解析】∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴－b2a＝1，b ＝－2a ，①当m >1时，则m －1>0，∴(m －1)a ＋b ＝ma －a ＋b ＝ma －a －2a ＝a (m －3)，∵a <0，而m －3的正负性无法确定，∴a (m －3)的正负性无法确定，∴A，B 错误；②当m <1时，则m －1<0，∴(m －1)a ＋b ＝ma －a ＋b ＝ma －a －2a ＝a (m －3)，∵a <0，m －3<0，∴a (m －3)>0，∴C 正确，D 错误． 7．A 【解析】∵二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，∴此函数的对称轴为：x ＝－b 2a ＝－－72×（－12）＝－7，∵0<x 1<x 2<x 3，三点都在对称轴右侧，a <0，∴对称轴右侧y 随x 的增大而减小，∴y 1>y 2>y 3.8．D 【解析】由题意可知，m <0，n >0，由题意可分两种情况讨论：①当m ≤0≤x ≤n <1时，x ＝m 时y 取最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5，解得m ＝－2，x ＝n 时y 取最大值，即2n ＝－(n －1)2＋5，解得n ＝2，不符合题意，舍去；②当m ≤0≤x ≤1≤n 时，x ＝1时，y 取最大值，即2n ＝－(1－1)2＋5，解得n ＝52；当1－m >n －1，即m ＋n <2时，函数在x ＝m 处取最小值，即2m ＝－(m －1)2＋5，解得m ＝2(舍去)或m ＝－2，当1－m <n －1，即m ＋n >2时，x ＝n 处取最小值，即2m ＝－(n －1)2＋5，代入n ＝52，得m ＝118(舍去)．综上，m ＝－2，n ＝52，∴m ＋n ＝12.9．C 【解析】二次函数的对称轴为直线x ＝m ，①当m <－2，x ＝－2时，二次函数有最大值，此时－(－2－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝－74，与m <－2矛盾，故m ＝－74不符合题意；②当－2≤m ≤1，x ＝m 时二次函数有最大值，此时，m 2＋1＝4，解得m 1＝－3，m 2＝3(舍去)；③当m >1，x ＝1时，二次函数有最大值，此时－(1－m )2＋m 2＋1＝4，解得m ＝2.综上所述，m 的值为2或－ 3.故选C.10．C 【解析】①∵二次函数的性质：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，若a >0，则当x ＝－b 2a时，y 有最小值为y ＝4ac －b 24a ，∴当x ＝－（－6）2＝3，y 有最小值为：4×1×10－（－6）24×1＝1，故①是假命题；②根据二次函数的对称性可知，x ＝3＋n 与x ＝3－n 的函数值相等，故②是假命题；③若n >3，且n 是整数，当n ≤x ≤n ＋1时，y 随x 的增大而增大，且y 的最小值为：y ＝n 2－6n ＋10为整数值，y 的最大值为：y ＝n 2－4n ＋5也为整数值，∴y 的整数值共有：(n 2－4n ＋5)－(n 2－6n ＋10)＋1＝2n －4(个)，故③是真命题；④∵二次函数的二次项系数a ＝1>0，∴当x <3时，y 随x 的增大而减小，若0<a <3，0<b <3时，函数图象过点(a ，y 0)和(b ，y 0＋1)，∵y 0<y 0＋1，则a >b ，故④是假命题．11．－1，增大 【解析】把y ＝0代入函数y ＝x 2＋2x ＋1中，得x 2＋2x ＋1＝0，解得x ＝－1；∵a ＝1＞0，∴抛物线开口向上，又∵抛物线的对称轴为x ＝－b 2a ＝－22×1＝－1，∴当x >－1时，y 随x 的增大而增大，∴当1＜x ＜2时，y 随x 的增大而增大．12．D 【解析】A.根据题图知，抛物线开口方向向上，则a >0，抛物线的对称轴x ＝－b2a ＝1>0，则b <0.由抛物线与y 轴交于负半轴，则c <0，所以abc >0.故A 选项错误；B.∵x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，∴2a ＋b ＝0.故B 选项错误；C.∵对称轴为直线x ＝1，图象经过(3，0)，∴该抛物线与x 轴的另一交点的坐标是(－1，0)，∴当x ＝－1时，y ＝0，即a －b ＋c ＝0.故C 选项错误；D.根据题图知，该抛物线与x 轴有两个不同的交点，则b 2－4ac >0，则4ac －b 2<0.故D 项正确．13．D 【解析】①∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (－1，0)，对称轴为直线x ＝1，∴该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是(3，0)∴根据图示知，当x >3时，y <0.故①正确；②根据图示知，抛物线开口向下，则a <0.∵对称轴x ＝－b2a ＝1，∴b ＝－2a ，∴3a＋b ＝3a －2a ＝a <0，即3a ＋b <0.故②错误；③∵抛物线与x 轴的两个交点坐标分别是(－1，0)，(3，0)，∴－1×3＝－3，∴c a ＝－3，则a ＝－c3.∵抛物线与y 轴的交点在(0，2)、(0，3)之间(包含端点)，∴2≤c ≤3，∴－1≤－c 3≤－23，即－1≤a ≤－23.故③正确；④根据题意知，a ＝－c 3，－b 2a ＝1，∴b ＝－2a ＝2c 3，∴n ＝a ＋b ＋c ＝43c .∵2≤c ≤3，∴83≤43c ≤4，即83≤n ≤4.故④错误．综上所述，正确的说法有①③. 14．y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2 【解析】∵点C 在直线x ＝2上，且到抛物线的对称轴的距离等于1，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1或x ＝3，当对称轴为直线x ＝1时，设抛物线解析式为y ＝a (x －1)2＋k ，将A (0，2)，B (4，3)代入解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝29a ＋k ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝18k ＝158，∴y ＝18(x －1)2＋158＝18x 2－14x ＋2；当对称轴为直线x ＝3时，设抛物线解析式为y ＝a (x －3)2＋k ，将A(0，2)，B(4，3)代入解析式得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋k ＝39a ＋k ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－18k ＝258，∴y ＝－18(x －3)2＋258＝－18x 2＋34x ＋2，综上所述，抛物线的函数解析式为y ＝18x 2－14x ＋2或y ＝－18x 2＋34x ＋2. 15．解：(1)答案不唯一，如：y ＝x 2－2x ＋2；(3分)(2)∵定点抛物线的顶点坐标为(b ，c ＋b 2＋1)，且－1＋2b ＋c ＋1＝1，∴c ＝1－2b ，(5分)∵顶点纵坐标为c ＋b 2＋1＝2－2b ＋b 2＝(b －1)2＋1，∴当b ＝1时，c ＋b 2＋1最小，即抛物线顶点纵坐标的值最小，此时c ＝－1，∴抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x .(10分)16．D 【解析】A.将函数y ＝x 2的图象向左平移1个单位，则函数解析式为y ＝(x ＋1)2，将点A (1，4)代入y ＝(x ＋1)2可知，点A 坐标满足函数解析式，即函数y ＝(x ＋1)2的图象经过点A ，故A 选项错误；B.将函数y ＝x 2的图象向右平移3个单位，则函数解析式为y ＝(x －3)2，同理可验证函数y ＝(x －3)2的图象经过点A ，故B 选项错误；C.将函数y ＝x 2的图象向上平移3个单位，则函数解析式为y ＝x 2＋3，验证可知函数y ＝x 2＋3的图象经过点A ，故C 选项错误；D. 将函数y ＝x 2的图象向下平移1个单位，则函数解析式为y ＝x 2－1，当x ＝1时，y ＝0，因此函数y ＝x 2－1的图象不经过点A.故选D.17．A 【解析】由于矩形ABCD 的两条对称轴为坐标轴，A (2，1)，则C (－2，－1)，要使透明纸上的点与C 点重合，抛物线移动路径为先向下移动2个单位长度，再向左移动4个单位长度，∵原抛物线为y ＝x 2，∴后来的抛物线解析式为y ＝(x ＋4)2－2＝x 2＋8x ＋14.18．y ＝－x 2－2x －3 【解析】由二次函数解析式可知，旋转前抛物线的顶点坐标为(1，2)，且开口向上，绕原点旋转180°后，顶点坐标变为(－1，－2)，且开口向下，所以旋转后的函数解析式为y ＝－(x ＋1)2－2＝－x 2－2x －3.19．(1)证明：∵y ＝(x －m )2－(x －m )＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ，令关于x 的一元二次方程x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ＝0，(2分)根的判别式b 2－4ac ＝[－(2m ＋1)]2－4×1×(m 2＋m )＝4m 2＋4m ＋1－4m 2－4m＝1＞0，(3分)∴不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点； (4分)(2)解：①∵y ＝x 2－(2m ＋1)x ＋m 2＋m ，其对称轴为直线x ＝－b 2a ＝2m ＋12， 又已知抛物线对称轴为直线x ＝52， ∴2m ＋12＝52， 解得m ＝2，(6分)∴抛物线解析式为y ＝x 2－5x ＋6；(8分)②由抛物线y ＝x 2－5x ＋6，化为顶点式为y ＝(x －52)2－14， 则抛物线顶点坐标为(52，－14)， 要使向上平移抛物线后与x 轴只有一个公共点，则抛物线顶点由(52，－14)变为(52，0)，即向上平移了14个单位， ∴将抛物线向上平移14个单位长度后，它与x 轴只有一个交点. (10分) 20．解：(1)由题意可得出该函数解析式为：y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2，∴此函数图象的顶点坐标为：(1，0)；(3分)(2)①由题意可得出该函数解析式为：y ＝x 2＋4x －1＝(x ＋2)2－5，∴将此函数的图象先向右平移1个单位，再向上平移1个单位后得到：y ＝(x ＋1)2－4＝x 2＋2x －3，∴图象对应的函数的特征数为：[2，－3]；(7分)②∵一个函数的特征数为[2，3]，∴函数解析式为：y ＝x 2＋2x ＋3＝(x ＋1)2＋2，∵平移后函数的特征数为[3，4]，∴函数解析式为：y ＝x 2＋3x ＋4＝(x ＋32)2＋74，∴原函数的图象向左平移12个单位，再向下平移14个单位即可得到．21．B 【解析】∵一次函数y 2＝dx ＋e 经过点(x 1，0)，∴dx 1＋e ＝0，则e ＝－dx 1. 根据题意得：y ＝y 1＋y 2＝a (x －x 1)(x －x 2)＋dx ＋e＝a (x －x 1)(x －x 2)＋dx －dx 1＝a [x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1x 2]＋dx －dx 1＝ax 2－[a (x 1＋x 2)－d ]x ＋ax 1x 2－dx 1.∵此函数为关于x 的二次函数，它的图象与x 轴仅有一个交点，∴根的判别式b 2－4ac ＝0，即：[a (x 1＋x 2)－d ]2－4a (ax 1x 2－d x 1)＝a 2(x 1＋x 2)2－2ad (x 1＋x 2)＋d 2－4a 2x 1x 2＋4adx 1＝a 2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]－2adx 1－2adx 2＋d 2＋4adx 1＝a 2(x 1－x 2)2＋2ad (x 1－x 2)＋d 2＝[a (x 1－x 2)＋d ]2＝0，∴a (x 1－x 2)＋d ＝0，∴a (x 1－x 2)＝－d ，即a (x 2－x 1)＝d .22．A 【解析】y 123.解：(1)描点画图如解图：第23题解图(2分)x 1≈－1.6，x 2≈0.6；(3分)(2)画直线如解图，(4分)x ＜－1.5或x ＞1；(6分)(3)平移方法不唯一．如先向上平移54个单位，再向左平移12个单位，平移后的顶点坐标P (－1，1)， 平移后表达式：y ＝(x ＋1)2＋1，即y ＝x 2＋2x ＋2.(8分)点P 在函数y ＝12x ＋32的图象上．理由：把P 点坐标(－1，1)代入y ＝12x ＋32，左边＝右边，(9分)∴点P 在函数y ＝12x ＋32的图象上. (10分)。

第二部分 题型研究题型二 二次函数性质综合题类型二 二次项系数不确定型针对演练1. (2013杭州)已知抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A 、B (点A 、B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且点A 、C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段AB 长为16，线段OC 长为8，当y 1随着x 的增大而减小时，求自变量x 的取值范围．2. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝mx 2－2mx －2(m ≠0)与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .(1)求点A ，B 的坐标；(2)若抛物线在－2≤x ≤3的区间上的最小值为－3，求m 的值；(3)设直线l 与直线AB 关于该抛物线的对称轴对称，且该抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在2＜x ＜3这一段位于直线AB 的下方，求该抛物线的解析式．第2题图3. 已知二次函数y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2.(1)若二次函数图象经过直线y ＝x －1与x 轴的交点，求此时抛物线的解析式；(2)点A (x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是函数图象上的两个点，若满足x 1＋x 2＝－3，试比较y 1和y 2的大小关系．4. (2012杭州)在平面直角坐标系中，反比例函数与二次函数y＝k(x2＋x－1)的图象交于点A(1，k)和点B(－1，－k)．(1)当k＝－2时，求反比例函数的解析式；(2)要使反比例函数与二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；(3)设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．考向2) 函数类型不确定型(杭州：2015.20，2014.23，2012.18)针对演练1. (2012杭州)当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由，若有，请求出最大值．2. (2015杭州)设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)．(1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象；(2)根据图象，写出你发现的一条结论；(3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值．第2题图3. (2011杭州)设函数y＝kx2＋(2k＋1)x＋1(k为实数)．(1)写出其中的两个特殊函数，使它们的图象不全是抛物线，并在同一直角坐标系中，画出这两个特殊函数的图象；(2)根据所画图象，猜想出：对任意实数k，函数的图象都具有的特征，并给予证明；(3)对任意负．实数k ，当x ＜m 时，y 随着x 的增大而增大，试求出m 的一个值．4. 已知函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2(k 为常数)．(1)求证：不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点；(2)当k 为何值时，函数图象过原点，并指出此时函数图象与x 轴的另一个交点；(3)试问该函数是否存在最小值－3？若存在，求出此时的k 值；若不存在，请说明理由．5. 已知关于x 的函数y ＝kx 2＋(2k －1)x －2(k 为常数)．(1) 试说明：无论k 取什么值，此函数图象一定经过(－2，0)；(2) 在x >0时，若要使y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；(3) 若该函数图象为抛物线，将其向上平移2个单位后，平移前后图象、对称轴和y 轴围成的图形面积为4，求此时k 的值．6. 关于x 的函数y ＝2kx 2＋(1－k )x －1－k (k 是实数)，探索发现了以下四条结论：①函数图象与坐标轴总有三个不同的交点；②当k ＝－3时，函数图象的顶点坐标是(13，83)； ③当k>0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于32； ④当k ≠0时，函数图象总经过两个定点．请你判断四条结论的真假，并说明理由．答案1. 解：∵点C 在一次函数y 2＝43x ＋n 的图象上，线段OC 长为8，∴n ＝±8， ①当n ＝8时，一次函数为y 2＝43x ＋8，当y ＝0时，x ＝－6，求得点A 的坐标为A (－6，0)，∵抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A，B(点A，B在原点O两侧)，与y轴相交于点C，且线段AB长为16，∴这时抛物线开口向下，B(10，0)；如解图①所示，抛物线的对称轴是x ＝2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2；第1题解图①②当n ＝－8时，一次函数为y 2＝43x －8，当y ＝0时，x ＝6，求得点A 的坐标为(6，0)， ∵抛物线y 1＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴相交于点A ，B (点A ，B 在原点O 两侧)，与y 轴相交于点C ，且线段AB 长为16，∴这时抛物线开口向上，B (－10，0)，如解图②所示，抛物线的对称轴是x ＝－2，由图象可知：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≤－2；第1题解图②综合以上两种情况可得：当y 1随着x 的增大而减小时，自变量x 的取值范围是x ≥2或x ≤－2.2. 解：(1)当x ＝0时，y ＝－2，∴A (0，－2)，∵抛物线的对称轴为直线x ＝－－2m 2m＝1， ∴B (1，0)；(2)易知抛物线y ＝mx 2－2mx －2的对称轴为x ＝1，当m ＞0时，抛物线开口向上，∵－2≤x ≤3，∴y 最小值在x ＝1处取得，y 最小值＝－m －2，∴－m －2＝－3，∴m ＝1，当m ＜0时，抛物线开口向下，y 最小值在x ＝－2处取得，即8m －2＝－3，∴m ＝－18.故m 的值为1或－18. (3)易得A 点关于对称轴直线x ＝1的对称点A ′(2，－2)，则直线l 经过A′、B ，设直线l 的解析式为y ＝kx ＋b(k ≠0)，则⎩⎪⎨⎪⎧2k ＋b ＝－2k ＋b ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝2， ∴直线l 的解析式为y ＝－2x ＋2；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1，∴抛物线在2＜x ＜3这一段与在－1＜x ＜0这一段关于对称轴对称，则抛物线在－2＜x ＜－1这一段位于直线l 的上方，在－1＜x ＜0这一段位于直线l 的下方， ∴抛物线与直线l 的交点的横坐标为－1，当x ＝－1时，y ＝－2×(－1)＋2＝4，∴抛物线过点(－1，4)，当x ＝－1时，m ＋2m －2＝4，解得m ＝2，∴抛物线的解析式为y ＝2x 2－4x －2.3. 解：(1)∵直线y ＝x －1与x 轴的交点为(1，0)，y ＝kx 2＋(3k ＋2)x ＋2k ＋2经过点(1，0)， ∴0＝k ＋3k ＋2＋2k ＋2，∴6k ＋4＝0，即k ＝－23. ∴抛物线的解析式为y ＝－23x 2＋23. (2)∵点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是二次函数图象上两个点，∴y 1＝kx 21＋(3k ＋2)x 1＋2k ＋2，y 2＝kx 22＋(3k ＋2)x 2＋2k ＋2，两式相减，得y1－y2＝[kx21＋(3k＋2)x1＋2k＋2]－[kx22＋(3k＋2)x2＋2k＋2] ＝k(x1＋x2)(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝－3k(x1－x2)＋(3k＋2)(x1－x2)＝2(x1－x2)，当x1＞x2时，y1＞y2；当x 1＝x 2时，y 1＝y 2；当x 1＜x 2时，y 1＜y 2；4. 解：(1)∵点A (1，k )在反比例函数图象上，∴设反比例函数为y ＝k x ， ∵k ＝－2，∴y ＝－2x； (2)要使得反比例函数是y 随着x 的增大而增大，∴k <0.而对于二次函数y ＝kx 2＋kx －k ，其对称轴为x ＝－12， 要使二次函数满足上述条件，在k <0的情况下，则x 必须在对称轴的左边，即x <－12时，才能使得y 随着x 的增大而增大； 综上所述，则k <0，且x<－12时，反比例函数与二次函数都是y 随着x 的增大而增大； (3)由(2)可得Q (－12，－54k )；第4题解图∵A 点与B 点关于原点对称，∴原点O 平分AB .又∵直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半，∴OQ ＝OA ＝OB .作AD ⊥OC ，QC ⊥OC ，OQ ＝CQ 2＋OC 2＝2516k 2＋14. 而OA ＝AD 2＋OD 2＝1＋k 2， ∴14＋2516k 2＝1＋k 2，则k ＝233或k ＝－233.考向2 函数类型不确定型针对演练1. 解：k只有取－1时，才有最大值，当k＝1，函数为y＝－4x＋4，是一次函数，一次函数无最值，当k＝2，函数为y＝x2－4x＋3，为二次函数，而此函数开口向上，则无最大值；当k＝－1，函数为y＝－2x2－4x＋6，为二次函数，此函数开口向下，有最大值，变形为y＝－2(x＋1)2＋8，则当x＝－1时，y max＝8.2. 解：(1)当k＝0时，y＝－(x－1)(x＋3)＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，则此函数为二次函数，它的图象与x轴交于点(1，0)、(－3，0)，与y轴的交点为(0，3)，顶点为(－1，4)，利用描点法所画函数的图象如解图：第2题解图(2)①图象都经过点(1，0)和点(－1，4)；②图象总交x轴于点(1，0)；③k取0和2时的函数图象关于点(0，2)中心对称；(答案不唯一，写出一条即可)(3)k＝2时，函数y2＝(x－1)2，此函数图象的顶点坐标为(1，0)，向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3图象的顶点坐标为(－3，－2)，则y3＝(x＋3)2－2，∴当x＝－3时，函数的最小值等于－2.3. 解：(1)如两个函数为y＝x＋1，y＝x2＋3x＋1，画出函数图象如解图，第3题解图(2)不论k 取何值，函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)，且与x 轴至少有1个交点. 证明如下：由y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1，得k (x 2＋2x )＋(x －y ＋1)＝0.当x 2＋2x ＝0且x －y ＋1＝0，即x ＝0，y ＝1或x ＝－2，y ＝－1时，上式对任意实数k 都成立，所以函数的图象必过定点(0，1)，(－2，－1)．又因为当k ＝0时，函数y ＝x ＋1的图象与x 轴有一个交点；当k ≠0时，∵Δ＝(2k ＋1)2－4k ＝4k 2＋1>0，所以函数图象与x 轴有两个交点．所以函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象与x 轴至少有1个交点.(3)只要写出m ≤－1的数都可以.∵k <0， ∴函数y ＝kx 2＋(2k ＋1)x ＋1的图象在对称轴x ＝－2k ＋12k的左侧时，y 随x 的增大而增大. 4. (1)证明：若k ＝1时，函数为一次函数，与x 轴有交点，若k≠1时，函数为二次函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2Δ＝1－4(k －1)(2－k )＝(2k －3)2≥0，∴不论k 为何值，该函数的图象与x 轴总有交点；(2)解：∵函数y ＝(k －1)x 2＋x －k ＋2过原点，∴－k ＋2＝0，∴k ＝2，∴y ＝x 2＋x ，令y ＝x 2＋x ＝0，解得x ＝0或x ＝－1，∴函数图象与x 轴的另一个交点为(－1，0)；(3)解：①k －1＝0即k ＝1时，函数y ＝x ＋1为一次函数，无最小值． ②当k －1＞0即k ＞1时函数有最小值，且最小值在函数顶点处取得．即4（k －1）（2－k ）－14（k －1）＝－3，解得k＝3±152，均符合题意．故此时k的值为3±15 2.5. 解：(1)将x ＝－2代入，得y ＝k (－2)2＋(2k －1)·(－2)－2＝0， 故不论k 取何值，此函数图象一定经过点(－2，0).(2)①若k ＝0，此函数为一次函数y ＝－x －2，当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，∴k ＝0符合题意．②若k ≠0，此函数为二次函数，而图象一定经过(－2，0)、(0，－2)， ∴要使当x ＞0时，y 随x 的增大而减小，开口向下，需满足k ＜0即可． 综上，k 的取值范围是k ≤0. (3)由题意可知2×|2k －1－2k|＝4. 解得k ＝－12或k ＝16. 故此时k 的值为－12或16.第5题解图6. 解：①假命题；理由：当k ＝0时，y ＝x －1为一次函数，与坐标轴只有两个交点；②真命题；理由：当k ＝－3时，y ＝－6x 2＋4x ＋2＝－6(x －13)2＋83， ∴顶点坐标是(13，83)； ③真命题；理由：当k >0时，令y ＝0得：Δ＝(1－k )2－4×2k (－1－k )＝(3k ＋1)2， ∴x ＝k －1±（3k ＋1）4k ，∴x 1＝1，x 2＝－12－12k ，∵|x 1－x 2|＝32＋12k >32，∴函数图象截x 轴所得的线段长度大于32；④真命题；理由：当k ≠0时，y ＝2kx 2＋(1－k)x －1－k ＝(2x 2－x －1)k ＋x －1， 当2x 2－x －1＝0时，y 的值与k 无关，此时x 1＝1，x 2＝－12； 当x 1＝1时，y 1＝0；当x 2＝－12时，y 2＝－32， ∴函数图象总经过两个定点(1，0)，(－12，－32)．（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。