_学年高考数学第一章空间几何体1.2.3空间几何体的直观图课时作业新人教A版必修2

1.2.3 空间几何体的直观图A 级 基础巩固一、选择题1．AB ＝2CD ，AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，已知在直观图中，AB 的直观图是A ′B ′，CD 的直观图是C ′D ′，则( C )A ．A ′B ′＝2C ′D ′ B ．A ′B ′＝C ′D ′ C ．A ′B ′＝4C ′D ′D ．A ′B ′＝12C ′D ′[解析] ∵AB ∥x 轴，CD ∥y 轴，∴AB ＝A ′B ′，CD ＝2C ′D ′， ∴A ′B ′＝AB ＝2CD ＝2(2C ′D ′)＝4C ′D ′.2．下列关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的是( B ) A ．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形 B ．平行四边形的直观图仍是平行四边形 C ．两条相交直线的直观图可能是平行直线 D ．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直[解析] 平行四边形的边平行，则在直观图中仍然平行，故选项B 正确．3．如图，矩形O ′A ′B ′C ′是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，其中O ′A ′＝6 cm ，O ′C ′＝2 cm ，则原图形是( C )A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．梯形[解析] 将直观图还原得到平行四边形OABC ，如图所示．由题意知O ′D ′＝2O ′C ′＝2 2 cm ，OD ＝2O ′D ′＝4 2 cm ，C ′D ′＝O ′C ′＝2 cm ，∴CD ＝2 cm ， OC ＝CD 2＋OD 2＝6 cm ，又OA ＝O ′A ′＝6 cm ＝OC ，∴原图形为菱形．4．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为一个正方形，则原来图形的形状是( A )[解析] 由斜二测画法可知，与y′轴平行的线段在原图中为在直观图中的2倍．故可判断A正确．5．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m、5 m、10 m，四棱锥的高为8 m，若按1︰500的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为( C ) A．4 cm,1 cm, 2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．2 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm[解析] 由比例尺可知长方体的长、宽、高和四棱锥的高分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合斜二测画法，可知直观图的相应尺寸应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm，1.6 cm.6．如图Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝2，则这个平面图形的面积是( C )A．1 B． 2C．2 2 D．4 2[解析] 由直观图可知，原平面图形是Rt△OAB，其中OA⊥OB，则OB＝O′B′＝2，OA＝2O′A′＝4，∴S△OAB＝12OB·OA＝22，故选C.[点评] 平面多边形的斜二测画法的直观图与原图的面积关系：一个平面多边形的面积为S原，它的斜二测画法直观图的面积为S直，则有S直＝24S原(或S原＝22S直)．二、填空题7．斜二测画法中，位于平面直角坐标系中的点M(4,4)在直观图中的对应点是M′，则点M′的坐标为_M′(4,2)__，点M′的找法是_在坐标系x′O′y′中，过点(4,0)和y′轴平行的直线与过点(0,2)和x′轴平行的直线的交点即是点M′__.[解析] 在x′轴的正方向上取点M1，使O1M1＝4，在y′轴上取点M2，使O′M2＝2，过M1和M2分别作平行于y′轴和x′轴的直线，则交点就是M′.8．如图，水平放置的△ABC的斜二测直观图是图中的△A′B′C′，已知A′C′＝6，B′C′＝4，则AB边的实际长度是_10__.[解析] 由斜二测画法，可知△ABC 是直角三角形，且∠BCA ＝90°，AC ＝6，BC ＝4×2＝8，则AB ＝AC 2＋BC 2＝10.三、解答题9．如图所示，四边形ABCD 是一个梯形，CD ∥AB ，CD ＝AO ＝1，三角形AOD 为等腰直角三角形，O 为AB 的中点，试求梯形ABCD 水平放置的直观图的面积．[解析] 在梯形ABCD 中，AB ＝2，高OD ＝1，由于梯形ABCD 水平放置的直观图仍为梯形，且上底CD 和下底AB 的长度都不变，在直观图中，O ′D ′＝12OD ，梯形的高D ′E ′＝24，于是梯形A ′B ′C ′D 的面积为12×(1＋2)×24＝328.10．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的上底面重合，圆柱的底面直径为3 cm ，高为4 cm ，圆锥的高为3 cm ，画出此几何体的直观图．[解析] (1)画轴．如图1所示，画x 轴、z 轴，使∠xOz ＝90°.(2)画圆柱的两底面，在x 轴上取A 、B 两点，使AB 的长度等于3 cm ，且OA ＝OB .选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆柱的下底面．在Oz 上截取点O ′，使OO ′＝4 cm ，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，类似圆柱下底面的作法作出圆柱的上底面．(3)画圆锥的顶点．在Oz 上截取点P ，使PO ′等于圆锥的高3 cm.(4)成图．连接A ′A 、B ′B 、PA ′、PB ′，整理得到此几何体的直观图．如图2所示．B 级 素养提升一、选择题1．给出以下关于斜二测直观图的结论，其中正确的个数是( C ) ①角的水平放置的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍相等；③相等的线段在直观图中仍然相等；④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行． A ．0 B ．1 C ．2D ．3[解析] 由斜二测画法规则可知，直观图保持线段的平行性，∴④对，①对；而线段的长度，角的大小在直观图中都可能会发生改变，∴②③错．2．如图，正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( A )A ．8 cmB ．6 cmC ．2(1＋3)cmD ．2(1＋2)cm[解析] 根据直观图的画法可知，在原几何图形中，OABC 为平行四边形，且有OB ⊥OA ，OB ＝22，OA ＝1，所以AB ＝3.从而原图的周长为8.3．下图甲所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的( C )[解析] 按斜二测画法规则，平行于x 轴或x 轴上的线段的长度在新坐标系中不变，平行于y 轴或在y 轴上的线段在新坐标系中变为原来的12，并注意到∠xOy ＝90°，∠x ′O ′y ′＝45°，将图形还原成原图形知选C.4．已知正三角形ABC 的边长为a ，那么用斜二测画法得到的△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为(D )A ．34a 2B ．38a 2C ．68a 2D ．616a 2 [解析] 根据题意，建立如图①所示的平面直角坐标系，再按照斜二测画法画出其直观图，如图②中△A ′B ′C ′所示．易知，A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过点C ′作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12a ×68a ＝616a 2. 二、填空题5．(2018·永春一中高一期末)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形，则原来的图形的面积是[解析] 由斜二测画法性质知，底边长为1，OA 与底边垂直且长为2×2＝22直观图如图所示．故原图形面积S ＝1×22＝2 2.6．(2018·湖南省永州市高一期中)水平放置的△ABC 的直观图如图所示，已知A ′C ′＝3，B ′C ′＝2，则AB 边上的中线的实际长度为_52_.[解析] 由直观图可知，原平面图形是边AC ＝3，边BC ＝4的直角三角形ABC ，故AB 边上的中线长为12×32＋42＝52.三、解答题7．已知几何体的三视图，如图所示，用斜二测画法画出它的直观图．[解析] 由几何体的三视图可知，这个几何体是一个圆台，画法：①画轴．画x轴、y 轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.②画圆台的两底面，取底面⊙O和上底面⊙O′的长为俯视图中的大圆和小圆的直径，画出⊙O与⊙O′.③取OO′为正视图的高度．④成图．如图，整理得到三视图表示的几何体的直观图．8．由如图所示几何体的三视图画出直观图．[解析] (1)画轴．如图，画出x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱．过A、B、C各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取线段AA′、BB′、CC′，且AA′＝BB′＝CC′.(4)成图，顺次连接A′、B′、C′，并加以整理(擦去辅助线，将遮挡部分用虚线表示)，得到的图形就是所求的几何体的直观图．。

高一数学人教A 版必修2同步课时作业1.2 空间几何体的三视图和直观图一、选择题1.如图正方形OABC 的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A.8 cmB.6 cmC.()21+3cmD.()212cm +2.如图,矩形O A B C ''''是水平放置的一个平面图形的直观图,其中6cm,2cm O A O C ='=''',则原图形是（ ）A.正方形B.矩形C.菱形D.一般的平行四边形3.如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则该几何体的体积是( )43 B. 1π2 3 3 4.将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥,得到图(2)所示的几何体,则该几何体的左视图为( )A. B. C. D.5.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( )A. B. C. D.6.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43，则图中x 的值为( )A ． 2 2 C. 1D ．127.如图，ABC △的斜二测直观图为等腰''Rt A B C △，其中''2A B ，则原ABC △的面积为（ ）A ．2B ．4C ．2D ．28.下图是一个多面体的三视图，这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M ，在俯视图中对应的点为N ，则该端点在侧视图中对应的点为( )A.EB.FC.GD.H二、填空题9.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是__________.10.半径为R的球O放置在水平平面α上,点P位于球O的正上方,且到球O表面的最小距离为R,则从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积等于__________.11.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为_________体积为_________.三、解答题12.某几何体的三视图如图所示:1.求该几何体的表面积;2.求该几何体的体积.参考答案1.答案：A解析：由直观图得，原图形是如图所示的平行四边形O ′A ′B ′C ′，其中A ′O ′⊥O ′B ′，可得O ′A ′＝1，222O B OB ''==，故()222213A B ''=+=，∴原图形的周长为：()2318⨯+=.2.答案：C解析：本题考查斜二测画法的逆用根据斜二测的画法可得45D O A D O C ''''''∠=∠=,还原出的图如下,其中2,4,6CD C D BD B D OA O A ====='''''=' (平行于x '轴的长度不变).242OD O D '='= (平行于y '轴的长度扩为2倍).由于CB OA ,且6CB OA ==, 所以OABC 为平行四边形,又224+32=6OC CD OD =+=,所以OABC 为菱形.故答案为C.3.答案：D解析：由三视图,可知给定的几何体是一个圆锥的一半,故所求的体积为2113π1323⨯⨯⨯=. 4.答案：B解析：由几何体知左视图为正方形且对角线1AD 为可视线, 1CB 为不可视线,在左视图中应画为虚线,故选B.5.答案：D解析：,A B 的正视图不符合要求, C 的俯视图不符合要求6.答案：C解析：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为底面为直角三角形高为2x 的三棱锥体.如图所示：所以114222323V x x x =⨯⋅⋅⋅=， 解得：1x =.故选：C.7.答案：D解析：∵'''O A B Rt △是一平面图形的直观图，直角边长为''2A B =，222⨯=，因为平面图形与直观图的面积的比为∴原平面图形的面积是2⨯=.8.答案：A解析：由三视图知，该几何体是由两个长方体组合而成的，其直观图如图所示，由图知该端点在侧视图中对应的点为E ，故选A.9.答案：4+解析：由四棱锥的三视图得到该四棱锥是P ABCD -，其中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PC ABCD ⊥平面，如图，PB PD ==，∴四菱锥的侧面积是：+PBC PDC PAB PCD S S S S S ∆∆∆∆=++11112222222222=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯⨯4=+10.答案：23R π解析：轴截面如图所示,分析题意可知3MN NT TP R ===,所以中心投影的面积为23R π.11.答案：5π2+;3π2解析：由三视图还原该几何体的直观图如图所示.可看作是由一个底面半径为1,高为1的圆柱和一个底面半径为1,高为1的半圆柱组合而成的,故该几何体的表面积为212π12π112π11215π22⨯+⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+,体积为2213π11π11π22⨯⨯+⨯⨯⨯=12.答案：1.由三视图知,此几何体由上下两部分组成,其中上边是一个半径为1的半球,下边是一个棱长为2的正方体。

1.2 空间几何体的三视图和直观图[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．关于“斜二测画法”，下列说法不正确的是( )A ．原图形中平行于x 轴的线段，其对应线段平行于x ′轴，长度不变B ．原图形中平行于y 轴的线段，其对应线段平行于y ′轴，长度变为原来的12C ．在画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′必须是45°D ．在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同解析：在画与直角坐标系xOy 对应的x ′O ′y ′时，∠x ′O ′y ′可以是45°，也可以是135°.答案：C2．[2019·山东日照校级检测]在画水平放置的平面图形时，若在原来的图形中两条线段平行且相等，则在直观图中对应的两条线段( )A ．平行且相等B ．平行不相等C ．相等不平行D ．既不平行也不相等解析：在原图形中平行且相等的线段在直观图中保持平行且相等． 答案：A3．如图所示的直观图的平面图形是( ) A ．等腰梯形 B ．直角梯形 C ．任意四边形 D ．平行四边形解析：由斜二测画法知，AB ⊥AD ，BC ∥AD ，因此具有如图所示直观图的平面图形是直角梯形．答案：B4．已知一条边在x 轴上的正方形的直观图是一个平行四边形，此平行四边形中有一边长为4，则原正方形的面积是( )A ．16B ．64C ．16或64D ．以上都不对解析：根据直观图的画法，平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段变为原来的一半，于是直观图中长为4的边如果平行于x ′轴，则正方形的边长为4，面积为16；长为4的边如果平行于y ′轴，则正方形的边长为8，面积为64.答案：C5．若用斜二测画法把一个高为10 cm 的圆柱的底面画在x ′O ′y ′平面上，则该圆柱的高应画成( )A ．平行于z ′轴且长度为10 cmB ．平行于z ′轴且长度为5 cmC ．与z ′轴成45°且长度为10 cmD ．与z ′轴成45°且长度为5 cm解析：平行于z 轴的线段，在直观图中平行性和长度都不变，故选A. 答案：A二、填空题(每小题5分，共15分)6．已知正三角形ABC 的边长为2，那么△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积为________．解析：如图，图①，图②所示的分别是实际图形和直观图． 从图②可知，A ′B ′＝AB ＝2，O ′C ′＝12OC ＝32， C ′D ′＝O ′C ′sin45°＝32×22＝64. 所以S △A ′B ′C ′＝12A ′B ′·C ′D ′＝12×2×64＝64.答案：647.一个水平放置的平面图形的直观图是直角梯形ABCD ，如图所示，∠ABC ＝45°，AB ＝AD ＝1，DC ⊥BC ，则这个平面图形的面积为________．解析：由直观图，可知原图形为直角梯形，且上底为1，下底为22＋1，高为2，故面积为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＋1×2＝2＋22. 答案：4＋228．一条边在x轴上的正方形的面积是4，按斜二测画法所得的直观图是一个平行四边形，则这个平行四边形的面积是________．解析：正方形的面积为4，则边长为2，由斜二测画法的规则，知平行四边形的底为2，高为22，故面积为 2.答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)9．将图中所给水平放置的直观图绘出原形．解析：10．画棱长为2 cm的正方体的直观图．解析：(1)作水平放置的正方形的直观图ABCD，使∠BAD＝45°，AB＝2 cm，AD＝1 cm.(2)过点A作z′轴，使∠BAz′＝90°，分别过点A，B，C，D，沿z′轴的正方向取AA1＝BB1＝CC1＝DD1＝2 cm.(3)连接A1B1，B1C1，C1D1，D1A1如下图①，擦去辅助线，把被遮住的线改为虚线，得到的图形如下图②就是所求的正方体的直观图．[能力提升](20分钟，40分)11．已知一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，长方体的长、宽、高分别为20 m,5 m,10 m，四棱锥的高为8 m．如果按的比例画出它的直观图，那么在直观图中，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为( ) A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cmB．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cmC．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cmD．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm解析：由比例尺可知，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,1 cm,2 cm和1.6 cm，再结合直观图的画法，长方体的长、宽、高和四棱锥的高应分别为4 cm,0.5 cm,2 cm，1.6 cm.答案：C12.如图为△ABO水平放置的直观图△A′B′O′，由图判断△ABO中，AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是______________________．解析：由题图可知，△ABO 中，OD ＝2，BD ＝4，AB ＝17，BO ＝2 5. 答案：OD <BD <AB <BO13．用斜二测画法画出图中水平放置的△OAB 的直观图．解析：(1)在已知图中，以O 为坐标原点，以OB 所在的直线及垂直于OB 的直线分别为x 轴与y 轴建立平面直角坐标系，过点A 作AM 垂直x 轴于点M ，如图1.另选一平面画直观图，任取一点O ′，画出相应的x ′轴、y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.(2)在x ′轴上取点B ′，M ′，使O ′B ′＝OB ，O ′M ′＝OM ，过点M ′作M ′A ′∥y ′轴，取M ′A ′＝12MA .连接O ′A ′，B ′A ′，如图2.(3)擦去辅助线，则△O ′A ′B ′为水平放置的△OAB 的直观图．14．一个几何体，它的下面是一个圆柱，上面是一个圆锥，并且圆锥的底面与圆柱的底面重合，圆柱的底面直径为 3 cm ，高(两底面圆心连线的长度)为4 cm ，圆锥的高(顶点与底面圆心连线的长度)为3 cm ，画出此几何体的直观图．解析：(1)画轴．如图(1)所示，画x 轴、z 轴，使∠xOz ＝90°.(2)画圆柱的下底面．在x 轴上取A 、B 两点，使AB ＝3 cm ，且OA ＝OB ，选择椭圆模板中适当的椭圆过A ，B 两点，使它为圆柱的下底面．(3)在Oz 上截取点O ′，使OO ′＝4 cm ，过点O ′作平行于Ox 的O ′x ′，类似圆柱下底面的画法画出圆柱的上底面．(4)画圆锥的顶点．在Oz 上取点P ，使PO ′＝3 cm.(5)成图．连线A ′A ，B ′B ，PA ′，PB ′，整理(去掉辅助线，将被遮挡部分改为虚线)得到此几何体的直观图，如图(2)所示．。

课时作业5 空间几何体的直观图1．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等； ②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形； ④菱形的直观图仍然是菱形． 上述结论正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中∠A ′等于( )A ．45°B ．135°C ．90°D ．45°或135°3.如图所示的是水平放置的三角形ABC 在平面直角坐标系中的直观图，其中D 是AC 的中点，在原三角形ABC 中，∠ACB ≠30°，则原图形中与线段BD 的长相等的线段有( )A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条4．如图，一个正方形在直角坐标系中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )A ．12B ．22C ．1D ． 25．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC中∠ABC的大小是()A．30°B．45°C．60°D．90°6．正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是()A．6 cm B．8 cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm7．如图为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是．8．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为3 2.9.在一等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A＝45°，DC＝2，AD＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O为AB的中点，E为CD410．如右图所示是一个几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．11．如图所示，△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图，A′B′在x′轴上，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝3，则△ABC的边AB上的高为()A．6 2 B．3 3C．3 2 D．312．如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是()13．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图若O′B′＝1，那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为.14.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．课时作业5 空间几何体的直观图1．由斜二测画法得到：①相等的线段和角在直观图中仍然相等；②正方形在直观图中是矩形；③等腰三角形在直观图中仍然是等腰三角形；④菱形的直观图仍然是菱形．上述结论正确的个数是(A)A．0 B．1C．2 D．3解析：只有平行且相等的线段在直观图中才相等，而相等的角在直观图中不一定相等，如角为90°，在直观图中可能是135°或45°，故①错，由直观图的斜二测画法可知②③④皆错．故选A．2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于(D)A．45°B．135°C．90°D．45°或135°解析：由斜二测画法知，平行于坐标轴的线段仍平行于x′，y′轴，故∠A′为45°或135°.选D．3.如图所示的是水平放置的三角形ABC在平面直角坐标系中的直观图，其中D是AC的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有(C)A．0条B．1条C．2条D．3条解析：先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD 长度相等的线段．把三角形ABC 还原后为直角三角形，则D 为斜边AC 的中点，所以AD ＝DC ＝BD ．故选C ．4．如图，一个正方形在直角坐标系中点B 的坐标为(2,2)，则在用斜二测画法得到的图形中，顶点B ′到x ′轴的距离为( B )A ．12 B ．22 C ．1D ． 2解析：直观图如图所示，则B ′C ′＝1，∠B ′C ′x ′＝45°.∴B ′到x ′轴的距离为1×sin45°＝22.5．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′＝32，那么原△ABC 中∠ABC 的大小是( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：根据“斜二测画法”可得BC ＝B ′C ′＝2，AO ＝2A ′O ′＝ 3.故原△ABC 是一个等边三角形．选C ．6．正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图(如图)，则原图形的周长是(B)A．6 cm B．8 cmC．(2＋32)cm D．(2＋23)cm解析：如图，OA＝1 cm，在Rt△OAB中，OB＝2 2 cm，∴AB＝OA2＋OB2＝3 cm.∴四边形OABC的周长为8 cm.7．如图为△ABO水平放置的直观图，其中O′D′＝B′D′＝2A′D′，由图判断原三角形中AB，BO，BD，OD由小到大的顺序是OD<BD<AB<OB．解析：△ABO如图所示，设AD＝a，由题意OD＝2a，BD＝4a.∴OB＝25a，AB＝17a，∴OD<BD<AB<OB．8．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图)，∠ABC＝45°，AB＝2，AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为3 2.解析：直观图四边形的边BC 在x ′轴上，在原坐标系下在x 轴上，长度不变，点A 在y ′轴上，在原图形中在y 轴上，且BE 长度为AB 长的2倍，过E 作EF ∥x 轴，且使EF 长度等于AD ，则点F 为点D 在原图形中对应的点，∴四边形EBCF 为四边形ABCD 的原图形，如图．在直角梯形ABCD 中，由AB ＝2，AD ＝1，得BC ＝2.∴四边形EBCF 的面积S ＝12(EF ＋BC )·BE ＝12(1＋2)×22＝3 2. 9.在一等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，∠A ＝45°，DC ＝2，AD ＝2，建立如图所示的直角坐标系，其中O 为AB 的中点，E 为CD 4解析：由题意可知AB ＝DC ＋2AD cos45°＝4，EO ＝2sin45°＝1，其直观图如图所示，其中A ′B ′＝4，C ′D ′＝2，高h ′＝E ′O ′·sin45°＝24，所以S A ′B ′C ′D ′＝(2＋4)×242＝324. 10．如右图所示是一个几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：画法：(1)画轴：画x 轴、y 轴、z 轴，使三轴交于点O ，∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°；(2)画底面：由三视图知该几何体是一个简单组合体，它的下部是一个四棱台，上部是一个四棱锥．用斜二测画法画出底面ABCD ，在z 轴上截取OO ′等于三视图中相应的高度，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，在平面x ′O ′y ′内，作出棱台的上底面A ′B ′C ′D ′；(3)画四棱锥顶点：在Oz 轴上截取O ′P 等于三视图中相应的高度如下图①；(4)成图：连接PA ′，PB ′，PC ′，PD ′，AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，整理可得直观图如图②. 11．如图所示，△A ′B ′C ′表示水平放置的△ABC 在斜二测画法下的直观图，A ′B ′在x ′轴上，B ′C ′与x ′轴垂直，且B ′C ′＝3，则△ABC 的边AB 上的高为( A )A．6 2 B．3 3C．3 2 D．3解析：如图，过C′作C′D′∥O′y′交x′轴于D′，则2C′D′是△ABC的边AB上的高．由于△B′C′D′是等腰直角三角形，则C′D′＝2B′C′＝3 2.所以△ABC的边AB上的高等于2×32＝6 2.12．如图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是(B)解析：该三视图表示的容器是上面是圆台，上面细下面粗，再下面是圆柱，随时间的增加，可以得出高度增加，开始时是匀速增加，之后高度增加的越来越快．故选B．13．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，如图若O′B′＝1，那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为22 1.解析：由斜二测画法，可知原三角形为直角三角形，且∠AOB＝90°，OB＝1，OA＝2O′A′＝22，所以S△AOB＝12×1×22＝ 2.S△A′B′O′＝12×1×1＝12，所以原三角形面积与直观图面积之比为22 1.14.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．解：四边形ABCD的真实图形如图所示，因为A′C′在水平位置，A′B′C′D′为正方形，所以∠D′A′C′＝∠A′C′B′＝45°，所以在原四边形ABCD中，DA⊥AC，AC⊥BC，因为DA＝2D′A′＝2，AC＝A′C′＝2，所以S四边形ABCD＝AC·AD＝2 2.。

第一章空间几何体1.2 空间几何体的三视图和直观图1.2.3 空间几何体的直观图A级基础巩固一、选择题1．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是()A．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形B．正方形的直观图为平行四边形C．梯形的直观图不是梯形D．正三角形的直观图一定为等腰三角形解析：由直观图的性质知B正确．答案：B2．利用斜二测画法画边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的()解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1.答案：C3．如图，用斜二测画法画一个水平放置的平面图形为一个正方形，则原来图形的形状是()解析：直观图中正方形的对角线为2，故在平面图形中平行四边形的高为22，只有A项满足条件，故A正确．答案：A4．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为()A．2 cm B．3 cm C．2.5 cm D．5 cm解析：因为这两个顶点连线与圆锥底面垂直，现在距离为5 cm，而在直观图中根据平行于z轴的线段长度不变，仍为5 cm.答案：D5．若一个三角形采用斜二测画法，得到的直观图的面积是原三角形面积的()A.24B．2倍 C.22 D.2倍解析：底不变，只研究高的情况即可，此结论应识记．答案：A二、填空题6．如图所示，△A′B′C′是△ABC的水平放置的直观图，A′B′∥y轴，则△ABC是________三角形．解析：由于A′B′∥y轴，所以在原图中AB∥y轴，故△ABC为直角三角形．答案：直角7．已知△ABC 的直观图如图所示，则△ABC 的面积为________．解析：△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝3，AC ＝6，所以S ＝12×3×6＝9. 答案：98．如图所示，水平放置的△ABC 的斜二测直观图是图中的△A ′B ′C ′，已知A ′C ′＝6，B ′C ′＝4，则AB 边的实际长度是_______．解析：在原图中AC ＝6，BC ＝4×2＝8，∠AOB ＝90°，所以AB ＝62＋82＝10.答案：10三、解答题9．如图所示，已知水平放置的平面图形的直观图是一等腰直角三角形ABC ，且AB ＝BC ＝1，试画出它的原图形．解：(1)在如图所示的图形中画相应的x 轴、y 轴，使∠xOy ＝90°(O 与A ′重合)；(2)在x 轴上取C ′，使A ′C ′＝AC ，在y 轴上取B ′，使A ′B ′＝2AB ；(3)连接B′C′，则△A′B′C′就是原图形．10．画出底面是正方形、侧棱均相等的四棱锥的直观图(棱锥的高不做具体要求)．解：画法：(1)画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(135°)，∠xOz＝90°，如图．(2)画底面．以O为中心在xOy平面内，画出底面正方形的直观图ABCD.(3)画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度是四棱锥的高．(4)成图．顺次连接PA、PB、PC、PD，并擦去辅助线，得四棱锥的直观图．B级能力提升1．水平放置的△ABC有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正△A′B′C′，则△ABC为()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．以上都有可能解析：如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC 是钝角三角形．答案：C2.如图，Rt △O ′A ′B ′是一平面图形的直观图，直角边O ′B ′＝1，则这个平面图形的面积是________．解析：因为O ′B ＝1，所以O ′A ′＝2，所以在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OB ＝1，OA ＝2 2.所以S △AOB ＝12×1×22＝ 2. 答案：23．如图是一个空间几何体的三视图，试用斜二测画法画出它的直观图．解：根据三视图可以想象出这个几何体是六棱台．(1)画轴．如图①，画x 轴、y 轴、z 轴，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画两底面，由三视图知该几何体为六棱台，用斜二测画法画出底面正六边形ABCDEF ，在z 轴上截取OO ′，使OO ′等于三视图中的相应高度，过O ′作Ox 的平行线O ′x ′，Oy 的平行线O ′y ′，利用O ′x 与O ′y ′画出底面正六边形A ′B ′C ′D ′E ′F ′.(3)成图．连接A′A，B′B，C′C，D′D，E′E，F′F，整理得到三视图表示的几何体的直观图，如图②.。

高中数学第一章空间几何体1.2.3空间几何体的直观图课时作业含解析新人教A版必修206222281.2.3 空间几何体的直观图1.利用斜二测画法得到的①三角形的直观图一定是三角形;②正方形的直观图一定是菱形;③等腰梯形的直观图可以是平行四边形;④菱形的直观图一定是菱形.以上结论正确的是( B )(A)①② (B)①(C)③④ (D)①②③④解析:①正确.②正方形的直观图是平行四边形.③等腰梯形的直观图是梯形.④菱形的直观图是平行四边形.选B.2.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时,若∠A的两边分别平行于x轴、y轴,则在直观图中∠A′等于( D )(A)45° (B)135°(C)90° (D)45°或135°解析:由斜二测画法知,平行于坐标轴的线段仍平行于x′,y′轴,故∠A′为45°或135°.选D.3.用斜二测画法画出长为6,宽为4的矩形水平放置的直观图,则该直观图面积为( C )(A)12 (B)24 (C)6 (D)12解析:因为原矩形的面积S=6×4=24,所以其直观图的面积为24×= 6.4.如图,△A′O′B′为水平放置的△AOB的直观图,且O′A′=2,O′B′=3,则△AOB的周长为( A )(A)12 (B)10 (C)8 (D)7解析:根据斜二测画法得到三角形OAB为直角三角形,底面边长OB=3,高OA=2O′A′=4,AB=5, 所以直角三角形OAB的周长为3+4+5=12.5.在如图所示的平面直角坐标系中,均为边长为1的正三角形ABC,它们的直观图不是全等三角形的一组是( C )解析:由于在直观图中原来平行于x轴(或在x轴上)的线段的长度不变,而原来平行于y轴(或在y轴上)的线段的长度变为原来的一半,故选项C第二个图中线段AB的长度改变了,而第一个图中线段AB的长度不变,所以两个三角形的直观图不是全等的.故选C.6.若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是( A )解析:根据已知中的三视图,结合三视图中有两个三角形即为锥体,有两个矩形即为柱体,有两个梯形即为台体,将几何体分解为简单的几何体分析后,即可得到答案A.7.如图所示,△A′B′C′表示水平放置的△ABC在斜二测画法下的直观图,A′B′在x′轴上,B′C′与x′轴垂直,且B′C′=3,则△ABC的边AB上的高为( A )(A)6 (B)3 (C)3 (D)3解析:过C′作C′D′∥y′轴,交x′轴于D′,则∠C′D′B′=45°,因为B′C′=3,所以C′D′=3,在原△ABC中,CD⊥AB,且CD=2C′ D′=6.8.一个用斜二测画法画出来的三角形是一个边长为a的正三角形,则原三角形的面积是( C )(A)a2 (B)a2 (C)a2 (D)a2解析:因为S△A′B′C′=a2sin 60°=a2,所以S△ABC=2S△A′B′C′=a2.9.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰为,上底面为1的等腰梯形,则这个平面图形的面积是.解析:如图所示,由已知斜二测直观图根据斜二测画法画出原平面图形,所以BC=B′C′=1,OA=O′A′=1+1+1=3,OC=2O′C′=2,所以这个平面图形的面积为×(1+3)×2=4.答案:410.如图所示为一个水平放置的正方形ABCO在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2,2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中,顶点B′到x′轴的距离为.解析:点B′到x′轴的距离等于点A′到x′轴的距离d,而O′A′=OA=1,∠C′O′A′=45°,所以d=O′A′=.答案:11.水平放置的△ABC的直观图如图所示,已知A′C′=3,B′C′=2,则△ABC中AB边上的中线的长度为.解析:由于在直观图中∠A′C′B′=45°,则在原图形中∠ACB=90°,AC=3,BC=4,斜边AB=5,故斜边AB上的中线长为2.5.答案:2.512.在△ABC中,AC=10 cm,边AC上的高BD=10 cm,则其水平放置的直观图的面积为.解析:S△ABC=×10×10=50(cm)2,其直观图的面积为S=S△ABC=(cm)2.答案: cm213.如图所示为一几何体的平面展开图,按图中虚线将它折叠起来,画出它的直观图.解:由题设中所给的展开图可以得出,此几何体是一个四棱锥,其底面是一个边长为2的正方形,垂直于底面的侧棱长为2,其直观图如图所示.14.如图所示是一个几何体的三视图,用斜二测画法画出该几何体的直观图.解:(1)画轴:如图(1)所示,画x轴、y轴、z轴,使∠xOy=45°,∠xOz =90°.(2)画底面:利用斜二测画法画出底面ABCD,在z轴上取点O′,使 OO′等于三视图中相应的高度,过点O′作Ox的平行线O′x′,Oy的平行线O′y′,利用O′x′与O′y′画出上底面A′B′C′D′.(3)画正四棱锥顶点:在Oz上取点P,使PO′等于三视图中相应的高度.(4)成图:连接PA′,PB′,PC′,PD′,A′A,B′B,C′C,D′D,整理得到三视图表示的几何体的直观图如图(2)所示.15. 如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=4 cm,CD=2 cm,∠DAB=30°,AD=3 cm,试画出它的直观图.解:画法:(1)如图①所示,在梯形ABCD中,以边AB所在的直线为x轴,点A为原点,建立平面直角坐标系xOy.如图②所示,画出对应的x′轴,y′轴,使∠x′O′y′=45°.(2)在图①中,过D点作DE⊥x轴,垂足为E.在图②中,在x′轴上取A′B′=AB=4 cm,A′E′=AE=≈2.598(cm);过点E′作E′D′∥y′轴,使E′D′=ED=×=0.75(cm),再过点D′作D′C′∥x′轴,且使D′C′=DC=2 cm.(3)连接A′D′,B′C′,并擦去x′轴与y′轴及其他一些辅助线,如图③所示,则四边形A′B′C′D′就是所求作的直观图.16.水平放置的△ABC的直观图如图所示,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC是一个( A )(A)等边三角形(B)直角三角形(C)三边中只有两边相等的等腰三角形(D)三边互不相等的三角形解析:由图形,知在原△ABC中AO⊥BC.因为A′O′=,所以AO=.因为B′O′=C′O′=1,所以BC=2,AB=AC=2,所以△ABC为等边三角形.故选A.17.如图,梯形A1B1C1D1是平面图形ABCD的直观图,若A1D1∥y′轴,A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1,A1D1=1,A1B1=2,则梯形ABCD的面积是( B )(A)10 (B)5 (C)5 (D)10解析:斜二测画法下的梯形的面积S=×(2+3)×1×sin 45°=,根据=,得S梯形ABCD=×2=5,故选B.18.如图是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′,则△AOB的面积是.解析:法一由图象,可知O′B′=4,则在△AOB中,OB=4,又与y′平行的线段的长度为4,则△AOB的高为8,所以△AOB的面积为S=×4× 8=16.法二通过斜二测画法画出的三角形的直观图的面积与原三角形的面积之比为∶1.因为S△A′O′B′=×4×(4sin 45°)=4,所以S△AOB===16.答案:1619.直观图中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在xOy坐标系中原四边形OABC为(填形状),面积为cm2.解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).答案:矩形820.在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′,如图,其中的对角线A′C′在水平位置,已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图,试画出该四边形的真实图形并求出其面积.解:四边形ABCD的真实图形如图所示,因为A′C′在水平位置,A′B′C′D′为正方形,所以∠D′A′C′=∠A′C′B′=45°,所以在原四边形ABCD中,DA⊥AC,AC⊥BC,因为DA=2D′A′=2,AC=A′C′=,所以S四边形ABCD=AC·AD=2.。

课时作业(四) 空间几何体的直观图答案：B4．如图所示的正方形O ′A ′B ′C ′的边长为1 cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是( )A ．6 cmB ．8 cmC ．(2＋32) cmD ．(2＋23) cm解析：直观图中，O ′B ′＝2，原图形中OC ＝AB ＝222＋12＝3，OA ＝BC ＝1， ∴原图形的周长是2×(3＋1)＝8. 答案：B5．已知正△ABC 的边长为a ，那么正△ABC 的直观图△A ′B ′C ′的面积是( ) a 2 a 2 a 2 a 2解析：如图(1)为实际图形，成立如图所示的平面直角坐标系xOy .图(1)图(2)如图(2)，成立坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，由直观图画法知：A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a .过C ′作C ′D ′⊥O ′x ′于D ′，则C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以△A ′B ′C ′的面积是S ＝12·A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2.答案：D如右图所示的是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度h 随时间t转变的图象可能是( )ABCD解析：本题主要考查由三视图肯定直观图及函数随自变量转变时的图象问题．解题时先由三视图判断容器的形状，然后按照容器的形状判断h与t的图象．由三视图可知该几何体为下面是圆柱、上面是圆台的组合体，当向容器中匀速注水后，容器中水面的高度h 先随时间t匀速上升，当水充满圆柱后，h变速上升且愈来愈快，故选B.答案：B7．如图所示，四边形OABC是上底为2，下底为6，底角为45°的等腰梯形，由斜二测画法，画出这个梯形的直观图O′A′B′C′且在直观图中梯形的高为________．解析：按斜二测画法，得梯形的直观图O′A′B′C′，如图所示，原图形中梯形的高CD＝2，在直观图中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′轴于E′，则C′E′＝C′D′·sin45°＝22.答案：2 28．已知用斜二测画法，画得的正方形的直观图面积为182，则原正方形的面积为________．。