山西省忻州一中2014_2015学年高二数学下学期期中试卷文

忻州一中2015−2016学年度第二学期期中考试高二数学(文科)试题 命题人：杨爱正 王霞一．选择题(每小题给出的四个选项中,只有一个选项正确.每小题5分，共60分)1. 若全集},42{},321{}5,4,3,2,1{，，，，===B A U 则B C A U⋂=A 。

{2，4｝ B. ｛1，3} C. {1，2，3,4｝ D 。

｛1,2，3，4，5}2. 已知命题p ：0>∀x ，总有1)1(>+xe x ，则p ⌝为A.00>∃x ，使得00(1)1x x e +≤B 。

00≤∃x ,使得00(1)1x x e +≤C 。

0>∀x ，总有1)1(≤+x e xD.0≤∀x ,总有1)1(≤+x e x3。

设)31(2i i z -=，则z 的虚部为A.32 B. 32- C. i 2 D.24. 如图所示,程序框图（算法流程图）的输出结果为A 。

43B.1211C.2425D.18175. 通过4次试验得到变量y x ,的数据如右表, 根据表中数据得到回归直线方程a x y ˆ4.9ˆ+=，由此当6=x 时， y 的估计值为x 2 3 4 5 y 2345A. 63。

6B. 65.5C. 67.7D.726. 若)4sin(2cos 2απα-=，且），（ππα2∈，则=α2sinA. 1B. 158C. 158-D. 78-7. 设函数()3f x x x a =-+-,如果对任意,()4x R f x ∈≥，则a 的取值范围是 A 。

),1[]7,(+∞⋃--∞ B 。

]1,7[- C. ),7[]1,(+∞⋃--∞ D 。

]7,1[-8. 在平面几何中，有“若ABC ∆的周长c ,面积为,S 则内切圆半径cS r 2=”，类比上述结论,在立体几何中，有“若四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则其内切球的半径=r A.SV 3 B.SV 2 C.SV 2 D.SV 3 9。

山西省忻州市高二下学期期中数学试卷+（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合,则=（）A .B .C .D .2. （2分） (2016高二下·钦州期末) 若复数z满足（1+i）z=2i，则z的共轭复数 =（）A . 1﹣iB . 1+iC .D .3. （2分）设是两个不共线的非零向量，则“向量与共线”是“”的（）A . 充分非必要条件B . 必要非充分条件C . 充要条件D . 非充分非必要条件4. （2分） (2016高三上·平阳期中) 设向量 =（cosα，sinα）， =（cosβ，sinβ），其中0＜α＜β＜π，若|2 + |=| ﹣2 |，则β﹣α等于（）A .B . ﹣C .D . ﹣5. （2分）将函数的图象向右平移个单位长后与直线(m不为0)相交，记图象在轴右侧的第个交点的横坐标为，若数列为等差数列，则所有m的可能值为（）A .B .C . 1或2D . -1或26. （2分）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+4)=-f(x)，在[0,2]上f(x)是增函数，则下列结论：①若0<x1<x2<4且x1+x2=4，则f(x1)+f(x2)>0；②若0<x1<x2<4且x1+x2=5，则f(x1)>f(x2)；③若方程f(x)=m在[-8，8]内恰有四个不同的解x1,x2,x3,x4 ，则x1+x2+x3+x4=8。

其中正确的有（）A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个7. （2分）已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a=（）A . 9B . 68. （2分） (2017高一上·辽源月考) 函数（）A . 上是减函数B . 上是增函数C . 上是减函数D . 上是减函数9. （2分）已知，猜想的表达式为（）A .B .C .D .10. （2分） (2018高一上·集宁月考) 函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在(－∞，0]上为增函数．若f(a)≤f(2)，则实数a的取值范围是（）A . a≤2B . a≥－2C . －2≤a≤2D . a≤－2或a≥211. （2分） (2016高一上·普宁期中) 已知函数f（3x+1）=x2+3x+2，则f（10）=（）A . 30D . 912. （2分） (2016高一上·阳东期中) 三个数0.52 ， 2 ，log20.2的大小关系为（）A . log20.2＜0.52＜2B . 0.52＜2 ＜log20.2C . log20.2＜2 ＜0.52D . 0.52＜log20.2＜2二、填空题 (共2题；共2分)13. （1分） (2016高二下·永川期中) 设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，令h（x）=f（x）•g（x），且对任意x1 ，x2∈（0，+∞），都有＜0，g（1）=0，则不等式x•h（x）＜0的解集为________．14. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 学校艺术节对同一类的，，，四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下：甲说：“是或作品获得一等奖”；乙说：“ 作品获得一等奖”；丙说：“ ，两项作品未获得一等奖”；丁说：“是作品获得一等奖”.若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是________．三、解答题： (共6题；共65分)15. （5分）(2017·沈阳模拟) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求∠C的大小；（Ⅱ）求sin2A+sin2B的取值范围．16. （10分） (2017高二下·中原期末) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求AD的长．17. （10分）(2016·德州模拟) 已知抛物线E：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于点K，过点K作圆（x﹣5）2+y2=9的两条切线，切点为M，N，|MN|=3（1）求抛物线E的方程；（2）设A，B是抛物线E上分别位于x轴两侧的两个动点，且（其中O为坐标原点）．①求证：直线AB必过定点，并求出该定点Q的坐标；②过点Q作AB的垂线与抛物线交于G，D两点，求四边形AGBD面积的最小值．18. （15分） (2018高二下·定远期末) 海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）其频率分布直方图如下：附：0.0500.0100.0013.841 6.63510.828（1）记表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg”，估计的概率；（2）填写下面联表，并根据列联表判断是否有％的把握认为箱产量与养殖方法有关：箱产量箱产量旧养殖法新养殖法（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行比较.19. （15分）设f（x）=ax﹣ln（1+x2），（1）当a= 时，求f（x）在（0，+∞）的极值；（2）证明：当x＞0时，ln（1+x2）＜x；（3）证明：（n∈N*，n≥2，e为自然对数的底数）20. （10分）(2017·成都模拟) 在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求|OP|•|OQ|的范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共2题；共2分)13-1、14-1、三、解答题： (共6题；共65分)15-1、16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、18-2、18-3、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、答案：略第11 页共11 页。

2014-2015学年度第二学期期末考试高 二 数 学（理）试题注意事项：1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A={-2,-1,0,1,2,3,4},B={-3,-2,-1,1,5},则集合A∩B 的子集的个数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.3 2．已知i 是虚数单位，z =1+i ，则复数1z 在复平面内对应的点在 ( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若cos α=45，则cos2α= ( )A. 725B.－725C. 35D.-354．已知正数x,y 满足⎩⎨⎧2x-y ≤0x-3y+5≥0,则z=－2x －y 的最小值为 ( )A.－5B. 5C. 4D. －45．若如图所示的程序框图运行后,输出的S 的值为31,则判断框内填入的条件可以为( )A.x>7?B.x>6?C.x ≥6?D.x ≤6?6．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( ) A.3×3!B.3×(3！)3C.(3！)4D.9!7．等比数列{a n }中,a 1>0,则“a 1<a 3”是“a 3<a 6”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件8．图中的阴影部分由底为1,高为1的等腰三角形及高为2和3的两矩形所构成.设函数S=S(a)(a ≥0)是图中介于平行线y=0及y=a 之间的阴影部分面积,则函数S(a)的图象大致为( )9．直线ax+by+c=0与圆x 2+y 2=9相交于两点M 、N,若c 2=a 2+b 2,则|MN|＝ ( ) A.4 2B.2 2C. 210D. 1010．已知函数y=f(x+2)的图象关于直线x=-2对称,且当x ∈(－∞,0)时,f(x)+xf'(x)>0成立.若a=(20.2)•f(20.2),b=(ln2)•f(ln2),c=(log 24)•f(log 24),则a,b,c 的大小关系是 ( ) A.a>b>cB.b>c>aC. c>b>aD. c>a>b11．已知a ＝π20⎰cosx 2dx ，则(ax －12ax )9的展开式中，关于x 的一次项的系数为 ( ) A.6316B.－6316C. 638D.－63812．在区间[0,1]上任意取两个实数a,b,则函数f(x)=12x 3+ax-b 在区间[－1,1]上有且仅有一个零点的概率为 ( ) A.18B.14C.78D.34二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13．已知x,y 都是正实数,满足x+y=1,则log 2x+log 2y 的最大值等于 . 14．若双曲线mx 2+y 2=1的离心率为2，则m ＝______15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为______ 16．定义在R 上的奇函数f(x)，当x ≥0时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 0.5(x ＋1)，0≤x<1，1－|x －3|，x ≥1，则关于x 的函数F(x)＝f(x)－a(0<a<1)的所有零点之和为___________三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m →＝(a ，b)，n →＝(sinB ，sinA)，p →＝(b －2，a －2)．(1)若m →∥n →，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m →⊥p →，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ．19．(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．20．(本小题满分12分)如图：四棱锥P-ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 是BC 上的点，且BM=12，(1)证明：BC ⊥平面POM ；(2)若边PC 与底面ABCD 所成角的正切值为1，求平面PAD 与平面PBC 所成的二面角的余弦值．21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ．(1)求椭圆C 的方程；(2)试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论．22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝e x x 2－k(2x ＋lnx)(k 为常数，e ＝2.71828…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f(x)的单调区间；(2)当k>1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围．附加题(每小题5分，共15分)PO AB CDM1．数列{a n }的通项公式为a n ＝(-1)n-1·(4n-3)，则它的前100项之和S 100= ． 2．设0,1a b >>，若2a b +=，则2a +1b-1的最小值为 .3．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线x=－2的距离为d ，则d ＋|PQ|的最小值等于__________2014-2015学年度第二学期期末考试试题答案高 二 数 学（理）一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．－2 14．－1 15．24 16．1－2a 三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分)17．(本小题满分10分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m →＝(a ，b)，n →＝(sinB ，sinA)，p →＝(b －2，a －2)．(1)若m →∥n →，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m →⊥p →，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解:(1)证明：∵m →∥n →，∴asinA ＝bsinB. 3分 由正弦定得知a·a 2R ＝b·b2R ，∴a ＝b.故△ABC 为等腰三角形． 6分(2)∵m →⊥p →，∴m →•p →＝0，∴a(b －2)＋b(a －2)＝0，∴a ＋b ＝ab. 8分由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2abcosC 得4＝(a ＋b)2－3ab ，即(ab)2－3ab －4＝0. 解得ab ＝4，ab ＝－1(舍去)． 11分 ∴△ABC 的面积S ＝12absinC ＝12×4×sin π3＝ 3. 12分18．(本小题满分12分)已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和．解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10， 2分解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1.故数列{an}的通项公式为a n ＝2-n. 6分(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，① 故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n2n .②所以，当n >1时，①-②得S n 2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1-a n2n 9分＝1-⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋…＋12n －1-2－n 2n ＝1-⎝ ⎛⎭⎪⎫1-12n －1-2-n 2n ＝n2n . 11分所以S n ＝n2n －1.当n ＝1时也成立．综上，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n －1的前n 项和S n ＝n2n －1. 12分19.(本小题满分12分)为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)．下表是乙厂的5件产品的测量数据：(1)(2)当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；(3)从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值(即数学期望)．解：(1)由分层抽样的定义可知乙厂生产的产品数量为98×514＝35(件)． 3分 (2)由题中表格提供的数据可知，乙厂抽取的5件产品中有2件优等品，分别是2号和5号，样品中优等品的频率为25，由(1)知乙厂共有产品35件，所以估计乙厂优等品的数量为35×25＝14(件)． 6分(3)5件抽测品中有2件优等品，则ξ的可能取值为0,1,2.P (ξ＝0)＝C 23C 25＝310，P (ξ＝1)＝C 13·C 12C 25＝35，P (ξ＝2)＝C 22C 25＝110. 9分分布列为故E (ξ)＝0×310＋1×35＋2×110＝45. 12分20、(本题12分，第1小问4分，第2小问4分，第3问4分) 如图：四棱锥P-ABCD 中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，AB ＝2，∠BAD ＝π3，M 是BC 上的点，且BM=12，(1)证明：BC ⊥平面POM ；P OAB CDM(2)在边PC 与底面ABCD 所成角的正切值为1，求平面PAD 与平面PBC 所成的二面角的余弦值．解：(1)连接OB ，OM ，由AB ＝2，∠BAD ＝π3，BM=12得OB=1，OM=32，由勾股定理可知，OM ⊥BC ，由题意知，PO ⊥BC ，可得BC ⊥平面POM 6分本小问也可建系求解(2)以O 为坐标原点，分别以OA ，OB ，OP 为x ，y ，z 轴建立直角坐标系，则A(3,0,0)，B(0,1,0)，C(－3,0,0)，D(0,－1,0)，由PC 与底面ABCD 所成角的正切值为1得P(0,0,3)，设m →=(x,y,z)为平面PAD 的法向量，则⎩⎨⎧3x-3z=0-y-3z=0，令z=1，则x=1，y=-3，即m→=(1,-3,1)；同理可得：平面PBC 的法向量n →=(-1,3,1)，所以cos<m →,n →>=-35，由法向量与两平面的位置关系可得，平面PAD 与平面PBC 所成二面角的余弦值为35． 12分21．(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）经过点M (－2，－1)，离心率为22．过点M 作倾斜角互补的两条直线分别与椭圆C 交于异于M 的另外两点P 、Q ． （1）求椭圆C 的方程；（2）试判断直线PQ 的斜率是否为定值，证明你的结论． 解：（1）由题设，得4a 2＋1b 2＝1，…①且a 2－b 2a ＝22， ……②由①、②解得a 2＝6，b 2＝3，椭圆C 的方程为x 26＋y 23＝1．……………6分（2）记P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)．设直线MP 的方程为y ＋1＝k (x ＋2)，与椭圆C 的方程联立，得 (1＋2k 2)x 2＋(8k 2－4k )x ＋8k 2－8k －4＝0，－2，x 1是该方程的两根，则－2x 1＝8k 2－8k －41＋2k 2，x 1＝－4k 2＋4k ＋21＋2k 2．设直线MQ 的方程为y ＋1＝－k (x ＋2)，同理得x 2＝－4k 2－4k ＋21＋2k 2．……9分因y 1＋1＝k (x 1＋2)，y 2＋1＝－k (x 2＋2)，故k PQ ＝y 1－y 2x 1－x 2＝k (x 1＋2)＋k (x 2＋2)x 1－x 2＝k (x 1＋x 2＋4)x 1－x 2＝8k1＋2k28k 1＋2k 2＝1，因此直线PQ 的斜率为定值．……………………………………………12分22．设函数f (x )＝e x x 2－k (2x ＋ln x )(k 为常数，e ＝2.718 28…是自然对数的底数)．(1)当k ≤0时，求函数f (x )的单调区间；(2)当k>1时，函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点，求k 的取值范围． 解：(1)函数y ＝f (x )的定义域为(0，＋∞)．f ′(x )＝x 2e x －2x e x x 4－k (－2x 2＋1x )＝x e x －2e x x 3－k (x －2)x 2＝(x －2)(e x－kx )x 3.由k ≤0可得e x －kx >0，所以当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，函数y ＝f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，函数y ＝f (x )单调递增．所以f (x )的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，＋∞)． 6分 (2)由f′(x)＝(x －2)(e x －kx)x 3.设函数g (x )＝e x －kx ，x ∈[0，＋∞)．因为g ′(x )＝e x －k ＝e x －e ln k ， 当k >1时，当x ∈(0，ln k )时，g ′(x )<0，函数y ＝g (x )单调递减； x ∈(ln k ，＋∞)时，g ′(x )>0，函数y ＝g (x )单调递增． 所以函数y ＝g (x )的最小值为g (ln k )＝k (1－ln k )． 函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧g (0)>0，g (ln k )<0，g (2)>0，0<ln k <2.解得e<k <e 22.综上所述，函数f (x )在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为(e ，e 22)． 12分附加题 1．－200 2．3+223．已知抛物线y 2＝8x ，点Q 在圆C ：x 2＋y 2＋2x －8y ＋13＝0上，记抛物线上任意一点P 到直线x=-2的距离为d ，则d ＋|PQ|的最小值等于__________解析 如图所示，由题意，知抛物线y 2＝8x 的焦点为F (2,0)，连接PF ，则d ＝|PF |.圆C 的方程配方，得(x ＋1)2＋(y －4)2＝4，圆心为C (－1,4)，半径r ＝2. d ＋|PQ |＝|PF |＋|PQ |，显然，|PF |＋|PQ |≥|FQ |(当且仅当F ，P ，Q 三点共线时取等号)．而|FQ |为圆C 上的动点Q 到定点F 的距离， 显然当F ，Q ，C 三点共线时取得最小值，最小值为|CF |－r ＝(－1－2)2＋(4－0)2－2＝5－2＝3.。

学校 姓名 准考证号山西省忻州市2013-2014学年高二第二学期期中联考试题数学（理科）注意事项:1．答题前，考生务必用0.5mm 黑色中性笔，将姓名、班级、考号填写在试题和答题卡上。

2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟。

一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设全集}1|{},03|{,2-<=>--==x x B x x x A R U ，则图中阴影部分表示的集合为 A.}0|{>x x B.}13|{-<<-x x C.}03|{<<-x x D.}1|{-<x x2．已知：复数i z 2321+=,它的共轭复数为z ，则=2z A ．i 2321+- B ．i 2321-C ．i 2321--D ．i 2321+3．函数)(x f =1+x +cos x 在(0,2π)上是A ．增函数B ．减函数C ．在(0,π)上增，在(π,2π)上减D ．在(0,π)上减，在(π,2π)上增4．设P 为曲线C ：y=2x +2x +3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是3π4,π），则点P 横坐标的取值范围为 A ．-1,- 12B ．-32,-1） C ．0,1）D ．12,1(第1题)5．函数3x y =与x 轴，直线1=x 围成的封闭图形的面积为 A ．61 B ．41 C ．31 D ．21 6．函数y =3x x 2的导函数是A ．y ′=32x x 2 B ．y ′=23x x 2C ．y ′=32x x 2+x 22lnD ．y ′=32x x 2+x 23x 2ln7．用数学归纳法证明)*)(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅⋅=+++ΛΛ时，从n ＝k 到1+=k n ，左端需要增加的代数式为 A ．2k ＋1 B ．2(2k ＋1) C ．2k ＋1k ＋1 D ．2k ＋3k ＋18．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为A ．3B ．－6C ．10D ．－15 9. 函数x e y x=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最小值为 A ．e 2 B ．221e C ．e1 D ．e10．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记)(x g 为)(x f 的导函数，则)(x g -＝A ．)(x fB ．－)(x fC ．)(x gD ．－)(x g 11．给出以下命题：①对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．②⎰+20)cos sin 2(πdx x x =2；③已知函数f (x )＝x 3－3x 的图象与直线y ＝a 有相异三个公共点，则a 的取值范围是 (－2,2)其中正确．．命题是 A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③ 12．若直角坐标平面内的两点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数)(x f y =的图像上； ②P 、Q 关于原点对称，则称点对P ,Q 是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对P ,Q 与Q ,P 看作同一对“友好点对”）.已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有A. 0对B. 1对C. 2对D. 3对二．填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上) 13．已知函数x x x f ln )(+=的导函数为)(x f '，则=')1(f ▲ ． 14．已知：Z k k B k A B A ∈+≠+≠=+,2,24πππππ，且，则=++)tan 1)(tan 1(B A▲ ．15．已知函数)(x f 的导数a x x f a x x a x f =-+='在若)(),)(1()(处取到极大值，则a 的取值范围是 ▲ ．16．已知函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的最大值为 ▲ ．三．解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卡的相应位置上) 17．（本小题满分10分）已知曲线C ：x x x f -=3)(（Ⅰ）试求曲线C 在点))1(,1(f 处的切线方程；（Ⅱ）试求与直线35+=x y 平行的曲线C 的切线方程． 18．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列．AB C DP（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，ο90=∠=∠BAD ABCBC AD AB 2==，PAD ∆为正三角形，且平面⊥PAD 平面ABCD ．（Ⅰ）证明PC AD ⊥（Ⅱ）求二面角C PD A --的余弦值．20．（本小题满分12分）已知曲线C 上的动点P （,x y ）满足到定点A (－1,0)的距离与到定点B (1,0)距离之比（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）过点M (1,2)的直线l 与曲线C 交于两点M 、N ，若|MN |=4，求直线l 的方程. 21．（本小题满分12分）已知函数R x x x x f ∈-=,sin 21)( （Ⅰ）试求函数)(x f 的递减区间；（Ⅱ）试求函数)(x f 在区间[]ππ,-上的最值． 22．（本小题满分12分）已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中R m ∈且m 为常数．(Ⅰ)试判断当0=m 时函数()f x 在区间[)∞+，1上的单调性，并证明； (Ⅱ)设函数)(x f 在0=x 处取得极值，求m 的值，并讨论函数)(x f 的单调性．忻州市2013－2014学年第二学期期中联考高二数学(理科)参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分) BCABB DBCDD CC 二．填空题(每小题5分，共20分)13．2 14．2 15．（－1，0） 16．215- 三．解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题满分10分)解：(Ⅰ) ∵x x x f -=3)(，∴0)1(=f …………1分求导数得：13)(2-='x x f…………2分 ∴切线的斜率为2)1(='=f k ．…………3分∴所求切线方程为)1(2-=x y ，即：022=--y x …………5分（Ⅱ）设与直线35+=x y 平行的切线的切点为),(00y x ， 则切线的斜率为13)(200-='=x x f k又∵所求切线与直线35+=x y 平行，∴51320=-x ．解得：20±=x ，代入曲线方程x x x f -=3)(得：切点为)2,2(或)2,2(--…………8分∴所求切线方程为：)2(52-=-x y 或)2(52+=+x y即：0245=--y x 或0245=+-y x …………10分 18．（本小题满分12分）（Ⅰ）由题意得：C a A c B b cos cos cos 2+= …………1分 C A A C B B cos sin cos sin cos sin 2+=， …………2分B B B sin cos sin 2= …………3分 3,21cos ,0sin π==∴≠B B B ． …………5分（Ⅱ）设AC 边上的中点为E ，由余弦定理得：4)(22222AC BC AB BE -+= …………7分422ac c a ++=34)2(164164)(22=+-≥-=-+=c a acac c a ，…………11分 当c a =时取到”=”所以AC 边上中线长的最小值为3． …………12分（Ⅰ）证明：取AD 的中点O ，连接PO ，OC ， ∵PAD ∆为正三角形，∴AD PO ⊥……2分，又∵在四边形ABCD 中，ο90=∠=∠BAD ABCBC AD AB 2==，∴BC ∥AO ,且BC =AO∴四边形ABCO 为平行四边形，∴AD CO ⊥ ……4分， ∴POC AD 平面⊥，∴PC AD ⊥……6分(Ⅱ)(法一)：由（Ⅰ）知AD PO ⊥，且平面⊥PAD 平面ABCD ∴⊥PO 平面ABCD ，所以分别以OC ，OA ，OP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图 所示的直角坐标系，并设BC =1，则AB =AD =2，3=OP ,∴)00,0(，O ，)00,2(，C ，)01,0(，A ，)01,0(，-D ，)3,0,0(P ∴)300(，，=OP ，)010(，，-=OD ,)302(，，-=CP ,)012(，，--=CD ……8分设平面APD ，平面PDC 的法向量分别为),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011n OP n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,022n CP n ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=,0,0311y z ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-,02,0322222y x z x ∴分别取平面APD ，平面PDC 的一个法向量)2,32,3(),0,0,1(21-==n n ……10分 ∴1957193,cos 21==<n n n n ∴二面角C PD A --的余弦值为1957……12分(法一)：由（Ⅰ）知AD CO ⊥，且平面⊥PAD 平面ABCD ∴⊥CO 平面PAD ，过O 点作PD OE ⊥,垂足为E ,连接CE ，则PD CE ⊥，于是CEO ∠为所求二面角的一个平面角，设BC =1，则AB =AD =2，,OD =1，OC =2，23=OE ，21922=+=OE OC CE , ∴195721923cos ===∠CE OE OEC ∴二面角C PD A --的余弦值为1957……12分解：（Ⅰ）由题意得|P A |PB | …………2分;=…………3分;化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求。

山西省忻州市2013-2014学年高二下学期期中联考理科数学试卷（带解析）1．设全集}1|{},03|{,2-<=>--==x x B x x x A R U ，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．}0|{>x xB ．}13|{-<<-x xC ．}03|{<<-x xD ．}1|{-<x x 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，得{|30}A x x =-<<，而图中阴影部分表示为{|31}A B x x =-<<-，故选B ．考点：1、二次不等式的解法；2、韦恩图；3、集合的交集运算．2．已知：复数i z 2321+=,它的共轭复数为z ，则=2（ ） A ．i 2321+- B ．i 2321- C ．i 2321-- D ．i 2321+ 【答案】C 【解析】试题分析：因为12z =-， 所以=2z 21()2＝1132424-⨯-＝i 2321--，故选C ．考点：1、共轭复数；2、复数的运算．3．函数)(x f ＝1＋x ＋cos x 在(0,2)π上是（ ） A ．增函数 B ．减函数C ．在(0,)π上增，在(,2)ππ上减D ．在(0,)π上减，在(,2)ππ上增 【答案】A 【解析】试题分析：因为()1sin f x x '=-，又因为在(0,2)π上1sin 1x -≤≤，所以()0f x '≥，所以函数()f x 在(0,2)π上为增函数，故选A ． 考点：利用导数研究函数的单调性．4．设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是(34π,π），则点P 横坐标的取值范围为（ ） A ．1[1,)2-- B ．3[,1]2-- C ．[0,1] D ．1[,1)2【答案】B【解析】试题分析：设点P 的横坐标为0x ，由题意，得00|22x x y x ='=+．又由导数的几何意义，得022tan x α+=（α为点P 处切线的倾斜角）．又∵α∈(34π,π），∴01220x -≤+≤，∴0312x -≤≤-，故选B ． 考点：1、导数的几何意义；2、正切函数的取值．5．函数3x y =与x 轴，直线1=x 围成的封闭图形的面积为（ ） A ．61 B ．41 C ．31 D ．21 【答案】B 【解析】试题分析：由题意，知该封闭图形的面积为13410011|44S x dx x ===⎰，故选B ． 考点：定积分的运算及应用．6．函数y =3x x2的导函数是（ ）A ．y ′=32x x 2B ．y ′=23x x2C ．y ′=32x x 2+x 22lnD ．y ′=32x x 2+x 23x 2ln【答案】D 【解析】试题分析：y '=3(x 2)x '＝33()2(2)x xx x ''+＝2322ln 2x x x x +，故选D ．考点：导数的计算．7．用数学归纳法证明)*)(12(312)()2)(1(N n n n n n n n ∈-⋅⋅⋅⋅=+++ 时，从n k ＝到1+=k n ，左端需要增加的代数式为（ ）A ．21k ＋B ．2(21)k ＋C ．211k k ++D ．231k k ++ 【答案】B【解析】试题分析：当1+=k n 时，左端＝1(1)(2)()(1)(11)1k k k k k k k k k +++++++++，所以左端增加的代数式为1(1)(11)1k k k k k ++++++＝2(21)k ＋，故选B ． 考点：数学归纳法．8．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A ．3B ．－6C ．10D ．－15 【答案】C 【解析】试题分析：由已知可得该程序的功能是计算并输出22221234S =-+-+的值，所以输出的值为22221234S =-+-+＝10，故选C ．考点：程序框图．9． 函数x e y x =在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21上的最小值为（ ）A ．e 2B ．221e C ．e 1D ．e【答案】D【解析】试题分析：由题意，得221()x x x xe e x y e x x --'==，所以当1(,1)2x ∈时0y '<，当(1,2)x ∈时0y '>，所以函数xe y x=在1x =处取得最小值，且最小值为e ，故选D ．考点：利用导数求函数最值．10．观察x x 2)(2='，344)(x x ='，x x sin )(cos -='，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，记)(x g 为)(x f 的导函数，则)(x g -＝（ ） A ．)(x f B ．－)(x f C ．)(x g D ．－)(x g 【答案】D 【解析】试题分析：由x x 2)(2='中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；344)(x x ='中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；x x sin )(cos -='中，原函数为偶函数，导函数为奇函数；…，同此可以推断，偶函数的导函数为奇函数．若定义在R 上的函数)(x f 满足)()(x f x f =-，则函数)(x f 为偶函数．又∵)(x g 为)(x f 的导函数，则)(x g 奇函数，所以()()0g x g x -+=，即()()g x g x -=-，故选D ．考点：1、归纳推理；2、函数的奇偶性． 11．给出以下命题：①对于平面几何中的命题：“夹在两条平行线之间的平行线段相等”，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：“夹在两个平行平面间的平行线段相等”．②⎰+20)cos sin 2(πdx x x ＝2；③已知函数()33f x x x ＝－的图象与直线y a ＝有相异三个公共点，则a 的取值范围是(－2,2) 其中正确．．命题是（ ） A ．①②③ B ．①② C ．①③ D ．②③ 【答案】C【解析】①“夹在两个平行平面间的平行线段相等”，正确；②⎰+2)cos sin 2(πdxx x ＝20(2cos sin )|x x π-+＝3，错误；③令2()330f x x '=-=，解得1x =±，可求得()f x 的极大值为(1)2f -=，如图所示．当满足22a -<<时，恰有三个不同公共点，所以③正确，故选C ．考点：1、类比推理；2、导数的运算法则；3、函数的零点与方程根的关系．12．若直角坐标平面内的两点P Q 、满足条件：①P Q 、都在函数)(x f y =的图像上；②P Q 、关于原点对称，则称点对P Q 、是函数)(x f y =的一对“友好点对”（注：点对P Q 、与,Q P 看作同一对“友好点对”）．已知函数⎩⎨⎧≤-->=)0(4)0(log )(22x x x x x x f ，则此函数的“友好点对”有（ ）A ． 0对B ． 1对C ． 2对D ． 3对 【答案】C 【解析】试题分析：根据题意：当0x >时0x >，0x -<，则22()()4()4f x x x x x -=----=-+， 当函数为奇函数时有2()4f x x x =-，所以函数24y x x =--(0)x ≤的图象关于原点对称的函数是24y x x =-．由题意作出函数24y x x =-(0)x >的图象，看它与函数2()log f x x =(0)x >交点个数即可得到友好点对的个数．如图，观察图象可得：它们的交点个数是2，即()f x 的“友好点对”有2个，故选C ． 考点：1、创新能力；2、对数函数图象与性质的应用；3、二次函数的图象及应用．13．已知函数x x x f ln )(+=的导函数为)(x f '，则=')1(f ．【答案】2 【解析】试题分析：因为1()(ln )1f x x x x''=+=+，所以(1)112f '=+=． 考点：导数的运算法则． 14．已知：Zk k B k A B A ∈+≠+≠=+,2,24πππππ，且，则=++)ta n 1)(tan 1(B A ．【答案】2 【解析】 试题分析：∵tan tan tantan()141tan tan A BA B Bπ+=+==-，∴ta n ta n 1ta nta n A B B +=-，∴(1t a n )(1t a n )A B ++＝1tan tan tan tan A B A B +++＝11tan tan tan tan A B A B+-+＝2．考点：两角和与差的正切函数．15．已知函数)(x f 的导数a x x f a x x a x f =-+='在若)(),)(1()(处取到极大值，则a 的取值范围是 ． 【答案】（－1，0） 【解析】试题分析：∵()(1)()f x a x x a '=+-且()f x 在x a =处取到极大值，则必有x a <时，()(1)()0f x a x x a '=+->，且x a >时，()(1)()0f x a x x a '=+-<．当0a ≥时，不成立；当1x a -<<时，有x a <时，()0f x '>，x a >时，()0f x '<，符合题意；当1a ≤-时，有x a <时，()0f x '<，x a >时，()0f x '>，()f x 在x a =处取到极小值．综合可得10a -<<．考点：利用导数研究函数的极值．16．已知函数d cx bx x x f +++=23)(在区间[1,2]-上是减函数，那么b c +的最大值为 ． 【答案】215- 【解析】试题分析：∵函数d cx bx x x f +++=23)(，在区间上[1,2]-是减函数，∴2()320f x x bx c '=++≤在区间[1,2]-上恒成立，∴只要(1)0(2)0f f '-≤⎧⎨'≤⎩，即3201240b c b c -+≤⎧⎨++≤⎩①②，①＋②，得15220b c ++≤，即152b c +≤-，∴b c +的最大值为215-． 考点：利用导数研究函数的单调性．17．已知曲线C ：x x x f -=3)(（1）试求曲线C 在点))1(,1(f 处的切线方程； （2）试求与直线35+=x y 平行的曲线C 的切线方程．【答案】（1） 022=--y x ；（2）0245=--y x 或0245=+-y x ． 【解析】试题分析：（1）先求出(1)f 的值，再求函数的导函数，求得(1)f '的值即为点))1(,1(f 斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可；（2）设切点为00(,)x y ，利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等，即可得所求切线的斜率，再求出切点的坐标，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．（1） ∵x x x f -=3)(，∴0)1(=f ，求导数得：13)(2-='x x f ， ∴切线的斜率为2)1(='=f k ，∴所求切线方程为)1(2-=x y ，即：022=--y x ． （2）设与直线35+=x y 平行的切线的切点为),(00y x ， 则切线的斜率为13)(200-='=x x f k ．又∵所求切线与直线35+=x y 平行，∴51320=-x ，解得：20±=x ，代入曲线方程x x x f -=3)(得：切点为)2,2(或)2,2(--， ∴所求切线方程为：)2(52-=-x y 或)2(52+=+x y ， 即：0245=--y x 或0245=+-y x ． 考点：1、导数的计算；2、导数的几何意义．18．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且A c B b C a cos ,cos ,cos 成等差数列．（1）求角B 的大小；（2）若4=+c a ，求AC 边上中线长的最小值． 【答案】（1）3B π=；（2）3．试题分析：（1）由已知，C a A c B b cos cos cos 2+=，利用正弦定理，将边b c a ，，代换成sin ,sin ,sin B C A ，再利用两角和正弦公式求B ；（2）设AC 边上的中点为E ，利用三边a b c ，，用余弦等量将中线BE 表示出来，再用基本不等式求最小值． （1）由题意得：C a A c B b cos cos cos 2+=， C A A C B B cos sin cos sin cos sin 2+=， B B B sin cos sin 2=，3,21cos ,0sin π==∴≠B B B ． （2）设AC 边上的中点为E ， 由余弦定理得：4)(22222AC BC AB BE -+=422ac c a ++=34)2(164164)(22=+-≥-=-+=c a acac c a ， 当c a =时取到”＝”所以AC 边上中线长的最小值为3．考点：1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和与差的正弦公式；4、基本不等式． 19．如图，在四棱锥—P ABCD 中， 90=∠=∠BAD ABC ，BC AD AB 2==，PAD ∆为正三角形，且平面⊥PAD 平面ABCD ． ABCDP（1）证明：PC AD ⊥；（2）求二面角C PD A --的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）1957． 【解析】 试题分析：（1）取AD 的中点O ，然后利用矩形及正三角形的性质可证明AD CO ⊥，AD PO ⊥，从而可证明结果；（2）可考虑分别以OC ，OA OP ，为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直线坐标系，通过求两个平面的法向量的夹角来求二面角C PD A --的余弦值．或考虑通过过O 点作PD OE ⊥，然后证明CEO ∠为所求二面角的一个平面角，再在OEC ∆中（1）证明：取AD 的中点O ，连接PO OC ，， ∵PAD ∆为正三角形，∴AD PO ⊥．又∵在四边形ABCD 中， 90=∠=∠BAD ABC BC AD AB 2==，∴BCAO ,且BC AO =，∴四边形ABCO 为平行四边形，∴AD CO ⊥ ， ∴POC AD 平面⊥，∴PC AD ⊥．（2）(法一)：由（1）知AD PO ⊥，且平面⊥PAD 平面ABCD ∴⊥PO 平面ABCD ，所以分别以OC ，OA OP ，为x 轴，y 轴，z 轴建立如图，所示的直角坐标系，并设1BC =，则2AB AD ==，3=OP ,∴)00,0(，O ，)00,2(，C ，)01,0(，A ，)01,0(，-D ，)3,0,0(P ， ∴)300(，，=OP ，)010(，，-=OD ,)302(，，-=CP ,)012(，，--=CD ． 设平面APD ，平面PDC 的法向量分别为),,(),,,(22221111z y x n z y x n ==，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,011OD n OP n ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,022CD n CP n ∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=,0,0311y z ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-,02,0322222y x z x ∴分别取平面APD ，平面PDC 的一个法向量)2,32,3(),0,0,1(21-==n n ， ∴1957193,cos 21==>=<n n n n ， ∴二面角C PD A --的余弦值为1957． (法一)：由（1）知AD CO ⊥，且平面⊥PAD 平面ABCD ，∴⊥CO 平面PAD ，过O 点作PD OE ⊥，垂足为E ，连接CE ，则PD CE ⊥，于是CEO ∠为所求二面角的一个平面角，设1BC =，则212A B A D O D O C ====，，，23=OE ，21922=+=OE OC CE ， ∴195721923cos ===∠CE OE OEC ∴二面角C PD A --的余弦值为1957． 考点：1、空间直线与平面的垂直关系；2、空间向量的应用；3、二面角．20．已知曲线C 上的动点(,)P x y 满足到定点(1,0)A -的距离与到定点(1,0)B 距离之比为（1）求曲线C 的方程；（2）过点(1,2)M 的直线l 与曲线C 交于两点M N 、，若4MN =，求直线l 的方程． 【答案】（1）22610x y x +-+=或22(3)8x y -+=；（2）1x =或2y =． 【解析】试题分析：（1）根据动点(,)P x y 满足到定点(1,0)A -的距离与到定点(1,0)B 距离之比为C 的方程；（2）分类讨论，设出直线方程，求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求得直线l 的方程．（1）由题意得PA PB ，=，化简得：22610x y x +-+=（或22(3)8x y -+=）即为所求． （2）当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为1x =， 将1x =代入方程22610x y x +-+=得2y =±， 所以4MN =，满足题意．当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx k =-+2， 由圆心到直线的距离2d ==，解得0k =，此时直线l 的方程为2y =．综上所述，满足题意的直线l 的方程为：1x =或2y =．考点：1、两点的距离公式；2、点到直线的距离；3、直线与圆的方程．21．已知函数R x x x x f ∈-=,sin 21)(． （1）试求函数)(x f 的递减区间；（2）试求函数)(x f 在区间[]ππ,-上的最值．【答案】（I ）Z k k k ∈++-),23,23(ππππ；（2）最大值为2)(ππ=f ，最小值为2)(ππ-=-f ． 【解析】试题分析：（1）首先求导函数()f x '，然后再通过解不等式()0f x '<的符号确定单调区间；（2）利用（1）求得极值，然后与()f π、()f π-的值进行比较即可求得最值． （I ）求导数得：,cos 21)(x x f -=' 令,0)(<'x f 即,0cos 21<-x 得：Z k k x k ∈+<<+-,2323ππππ， ∴函数)(x f 在每个区间Z k k k ∈++-),23,23(ππππ上为减函数．（2）由（I ）知，函数)(x f 在区间),3(),3,(ππππ--上为增函数，在区间)3,3(ππ-上为减函数，∴函数)(x f 在3π-=x 处取极大值623)3(ππ-=-f ，在3π=x 处取极小值236)3(-=ππf ， ∵2)(ππ-=-f ，2)(ππ=f ∴函数()f x 在区间[]ππ,-上的最大值为2)(ππ=f ，最小值为2)(ππ-=-f ．考点：1、导函数与函数的单调性；2、利用导数研究函数的最值；3、简单三角函数的解法．22．已知函数)ln()(m x e x f x +-=，其中R m ∈且m 为常数．（1）试判断当0=m 时函数()f x 在区间[)∞+，1上的单调性，并证明；（2）设函数)(x f 在0=x 处取得极值，求m 的值，并讨论函数)(x f 的单调性．【答案】（1）在区间[)∞+，1上为增函数，证明见解析；（2）1=m ，()f x 在)0,1(-上单调递减，在),0(+∞单调递增．【解析】试题分析：（1）首先求导函数()f x '，然后根据区间判断()f x '的符号即可证明；（2）利用函数的极值点是导函数()f x '的零点通过建立方程可求得m 的值，然后再通过判断()f x '的符号确定单调区间．（1）当0=m 时，x e x f x ln )(-=，求导数得：xe xf x 1)(-='．∵当[)∞+∈，1x 时，11,≤≥xe e x ，∴0)(>'xf ， ∴当0=m 时函数()f x 在区间[)∞+，1上为增函数．（2）求导数得：mx e x f x +-='1)(． 由0=x 是()f x 的极值点得0)0(='f ，∴1=m ．于是)1ln()(+-=x e x f x ，定义域为),1(+∞-，11)(+-='x e x f x ， 显然函数11)(+-='x e x f x 在),1(+∞-上单调递增，且0)0(='f ， 因此当)0,1(-∈x 时，0)0(<'f ；),0(+∞∈x 时，0)0(>'f ，所以()f x 在)0,1(-上单调递减，在),0(+∞单调递增．考点：1、导数的几何意义；2、导数与函数单调性的关系；3、利用导数研究函数的极值．。

忻州一中2014-2015学年度第二学期期中试题高二语文本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。

第Ⅰ卷共70分，第Ⅱ卷共80分，满分150分，考试时间为150分钟。

注意事项:1．答题前，考生务必用0．5mm黑色中性笔，将姓名、班级、准考证号填写在试题和答题卡上。

2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

第I卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（9分，每小题3分）阅读下面的文字，完成1－3题。

中国哲学家表达自己思想的方式人们开始读中国哲学著作时，第一个印象也许是，这些言论和文章都很简短，没有联系。

打开《论语》，你会看到每章只有寥寥数语，而且上下章几乎没有任何联系。

打开《老子》，你会看到全书只约有五千字，不长于杂志上的一篇文章。

可是从中却能见到老子哲学的全体。

习惯于精密推理和详细论证的学生，要了解这些中国哲学到底在说什么，简直感到茫然。

他们会倾向于认为，这些思想本身就是没有内部联系吧。

如果当真如此，那还有什么中国哲学，因为没有联系的思想是不值得名为哲学的。

可以这么说：中国哲学家的言论、文章没有表面上的联系，是由于这些言论、文章都不是正式的哲学著作。

照中国的传统，研究哲学不是一种职业。

每个人都要学哲学，正像西方人都要进教堂。

学哲学的目的，是使人作为人能够成为人，而不是成为某种人。

其他的学习（不是学哲学）是使人能够成为某种人，即有一定职业的人。

所以过去没有职业哲学家，非职业哲学家也就不必有正式的哲学著作。

在中国，没有正式的哲学著作的哲学家，比有正式的哲学著作的哲学家多得多。

若想研究这些人的哲学，只有看他们的语录或写给学生、朋友的信。

这些信写于他一生的各个时期，语录也不只是一人所记，所以它们不相联系，甚至互相矛盾，这是可以预料的。

以上所说可以解释为什么有些哲学家的言论、文章没有联系，还不能解释它们为什么简短。

有些哲学著作，像孟子的和荀子的，还是有系统地推理和论证的。

但是与西方哲学著作相比，它们还是不够明晰。

2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（文）命题人:李德亭1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2x -1},则(C U M)∪(C U N)= ( )A ．(-1,2)B ．(-∞,2∪的概率是( )A ．512B ．12C ．712D ．56 10．斜率为2的直线L 经过抛物线22(0)y px p =>的焦点F ，且交抛物线与A 、B 两点，若AB 的中点到抛物线准线的距离1，则P 的值为 ( )Ａ．1 B ．45 C ．35 D ．2511．已知P(m,n)(m>0,n>0)是f(x)= 13x 3﹣52x 2﹣x+1856在点x=5处的切线上一点,则1m +4n的最小值是 ( )A. 910B. 1921C. 1011D. 111012．函数f (x )的定义域为R ，f(0)=2，对任意x ∈R ，f (x )+ f '(x )>1，则不等式e x f (x )> e x +1，的解集是 ( )Ａ．{x |x >0} B ．{x |x <0} C ．{x | x <-1或x >1} D ．{x | -1<x <1 }二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，13．在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为 .14．已知复数z=(1+i)2+3(1-i)2+i则z 的共轭复数z = .15＝2cos 4π＝2cos 8π，2cos 16π，…，请从中归纳出第n 个等式是 .16．已知函数f (x)=x 3+ax 2-43a （a ∈R ），若存在x 0，使f (x)在x=x 0处取得极值，且f (x 0)=0，则a 的值为 .三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分)17．(本小题满分10分)已知等差数列{}n a 中，公差0,d >又231445,14a a a a ⋅=+=（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）记数列11n n n b a a +=⋅，数列{}n b 的前n 项和记为n S ，求n S 18．(本小题满分12分)在ΔABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足csinA=acosC.（1）求角C 的大小；（2）求3sinA -cos(B+π4)的最大值，并求取得最大值时角A ，B 的大小． 19．(本题满分12分)在直角坐标系xoy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x=3-22ty=5+22t（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为ρ=25sin θ．（1）求圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于点A ，B ．若点P 的坐标为（3，5），求|PA|+|PB|．20．(本小题满分12分)如图，△ABC 中，AC ＝BC ＝22AB ，ABED 是边长为1的正方形，平面ABED ⊥底面ABC ，若G ，F 分别是EC ，BD 的中点．(1)求证：GF ∥底面ABC ；(2)求证：AC ⊥平面EBC ；(3)求几何体ADEBC 的体积V.21．(本小题满分12分)已知函数f(x)=aln(1+x)+x 2-10x⑴若x=3是该函数的一个极值点，求函数f(x)的单调区间;⑵若f(x)在上是单调减函数，求a 的取值范围.22．(本小题满分12分)设椭圆C ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)过点P(32，1)，且离心率e =12. (1)求椭圆C 的方程;(2)若F 1、F 2为椭圆的上下两个焦点，A 、B 为椭圆的两点，且A F 1→=12BF 2→，求直线A F 1的斜率.附加题：1.(5分)函数y=x 3-2x+2过点P(2,6)的切线的斜率为 .2.(5分)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是 .3.(5分)已知|a →|＝3，|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，c →＝a →＋b →，d →＝m a →－6b →(m ∈R)．若c→∥d →，|c →+d →|= .2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（文） 答案一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)DACDDB BCCBAA二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，13．(1,π2)14． 1+i15． 2＋2＋2＋…n 个根号=2cos π2n+1 16． a=±3三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分)17．解：（1）,0,45,14324132 d a a a a a a 且==+=+9,532==∴a a1,41==∴a d344)1(1-=-+=∴n n a n ……………………6分 （2)141341(41)14)(34(111+--=+-==+n n n n a a b n n n ∴)141341.......9151511(41+--++-+-=n n S n b n n 项和的前 14)1411(41+=+-=n n n……………………12分 18．解：（I ）由正弦定理得sin sin sin cos .C A A C =因为0,A π<<所以sin 0.sin cos .cos 0,tan 1,4A C C C C C π>=≠==从而又所以则 （II ）由（I ）知3.4B A π=-于是cos()cos()4cos 2sin().63110,,,,46612623A B A A A A A A A A A ππππππππππ-+=--=+=+<<∴<+<+==从而当即时2sin()6A π+取最大值2．cos()4A B π-+的最大值为2，此时5,.312A B ππ== 19．【命题意图】本小题主要考察直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考察运算求解能力．解：（1）由ρ=25sin θ得x 2+y 2-25y=0，x 2+(y -5)2=5． ……4分（2）将l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程得：(3-22t )2+(22t )2=5 即t 2-32t+4=0，由于Δ=(32)2-4×4=2>0,故可以设t 1，t 2是上述方程得根，所以t 1+t 2=32，t 1t 2=4， ……8分又直线l 过点P(3，5)，故由上式及t 的几何意义得：|PA|+|PB|=12|t |+|t |=12t +t =32 ……12分20(1)证明：连接AE ，如下图所示．∵ADEB 为正方形，∴AE ∩BD ＝F ，且F 是AE 的中点，又G 是EC 的中点，∴GF ∥AC ，又AC ⊂平面ABC ，GF ⊄平面ABC ，∴GF ∥平面ABC.(2)证明：∵ADEB 为正方形，∴EB ⊥AB ，又∵平面ABED ⊥平面ABC ，平面ABED ∩平面ABC ＝AB ，EB ⊂平面ABED ，∴BE ⊥平面ABC ，∴BE ⊥AC.又∵AC ＝BC ＝22AB ， ∴CA 2＋CB 2＝AB 2，∴AC ⊥BC.又∵BC ∩BE ＝B ，∴AC ⊥平面BCE.(3)取AB 的中点H ，连GH ，∵BC ＝AC ＝22AB ＝22， ∴CH ⊥AB ，且CH ＝12，又平面ABED ⊥平面ABC ∴GH ⊥平面ABCD ，∴V ＝13×1×12＝16. 21．(本小题满分12分) 解：⑴∵()1021'-++=x x a x f …………………………………………1分 ∴()010643'=-+=a f 因此16=a ……………………………2分 ∴()()x x x x f 101ln 162-++=，其定义域为()+∞-,1 ……………3分()()()()x x x x x x x x x f +-⋅-=++-=-++=13121342102116'2 …………4分当()0'＞x f ，即11＜＜x -，或3＞x 时，函数()f x 单调递增当()0'＜x f ，即31＜＜x 时，函数()f x 单调递减∴()f x 的单调递增区间为()11，-，(3,+∞)，单调递减区间为(1,3) 6分 ⑵∵()f x 在[]1,4上是单调减函数∴()0110821021'2≤+-+-=-++=xa x x x x a x f 在[]1,4上恒成立 …7分 ∴010822≤-+-a x x 在[]1,4上恒成立 …………………………8分∴min 2)]1082([---≤x x a …………………………………………9分∵在[]1,4上，18)1082(102≤---≤x x …………………………11分 ∴10≤a …………………………………………………………12分22．解：(1)由题意知c a =12，1a 2+94b 2=1，又a 2=b 2+c 2， ∴a=2，b=3，c=1 ……(4分)故所求的椭圆方程为y 24+x 23=1 …… (6分) (2)延长AF 1交椭圆B′ 由对称性可知 BF 2→=F 1B′→设A(x 1，y 1)，B′(x 2，y 2) AF 1→=12F 1B′→ ∴x 2=－2x 1① ……(8分) 当直线AB′斜率不存在时，不符合当直线AB′斜率存在时，设直线AF 1的斜率为k ，又F 1(0，1)∴直线AF 1：y=kx+1联立 y=kx+1y 24+x 23=1 消去y ，得(3k 2+4)x 2+6kx －9=0 ∴x 1+x 2=－6k 3k 2+4② x 1x 2= －93k 2+4③ 由①②③得k=±25 5 故直线AB 的斜率为±255……………………..…..(12分) 附加题：1.(5分)函数y=x 3-2x+2过点P(2,6)的切线的斜率为 .1或102.(5分)若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线x =－2对称，则()f x 的最大值是______.16【命题意图】本题主要考查函数的对称性及利用导数求函数最值，是难题.【解析】由()f x 图像关于直线x =－2对称，则0=(1)(3)f f -=-=22[1(3)][(3)3]a b ----+，0=(1)(5)f f =-=22[1(5)][(5)5]a b ----+，解得a =8，b =15，∴()f x =22(1)(815)x x x -++，∴()f x '=222(815)(1)(28)x x x x x -+++-+=324(672)x x x -++-=4(2)(22x x x -+++当x ∈(－∞,2-∪(－2, 2-时，()f x '＞0，当x ∈(2-－2)∪(2-∞)时，()f x '＜0，∴()f x 在（－∞，2-2-2）单调递减，在（－2，2-+调递增，在（2-+，+∞）单调递减，故当x =2--和x =2-+时取极大值，(2f -=(2f -+=16.3.(5分) 已知|a →|＝3，|b →|＝2，a →与b →的夹角为60°，c →＝a →＋b →，d →＝m a →－6b →(m ∈R)．若c →∥d →，|c →+d →|= .：∵c ∥d ，∴存在惟一实数λ使得c ＝λd ，即a ＋2b ＝λ(m a －6b )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ λm ＝1－6λ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－13m ＝－3. ∴d ＝－3a －6b ，∴c ＋d ＝－2a －4b ，∴|c ＋d|2＝|－2a －4b|2＝|2a ＋4b|2＝4a 2＋16a·b ＋16b 2＝4×9＋16×3×2×cos60°＋16×4＝148，∴|c ＋d |＝237.。

忻州一中2014-2015学年度第二学期期末考试高 二 数 学（文）试题注意事项：1．考生务必用0.5mm 黑色中性笔答题.2．请把答案做在答题卡上，交卷时只交答题卡，不交试题，答案写在试题上无效。

3．满分150分，考试时间120分钟.一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合M={ x ∈Z|-4＜x ＜2 }，N={x|x 2＜4}，则M∩N 等于( ) A ．（-1，1） B ．（-1，2） C ．{-1，1，2} D ．{-1，0，1} 2．已知i 是虚数单位，z -是z=1+i 的共轭复数，则z -z 2在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．下列命题中，真命题是( )A ．x ∀∈R ，2x ≥xB ．命题“若x ＝1，则2x ＝1”的逆命题C ．命题“若x ≠y ，则sinx ≠siny ”的逆否命题D ．x ∃∈R ，2x ≥x4．执行如图所示的程序框图，则输出S 的值等于( ) A ．122014B ．122015C ．122016D ．1220175．已知两个单位向量12,e e 的夹角为45º,且满足()121λ⊥-e e e ,则实数λ的值是( ) A ．1 B ．2 C ．233 D ．26．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x －4（x ≥0），则{x ｜f(x -2)＞0}＝( )A ．{x ｜x ＜－2或x ＞4}B ．{x ｜x ＜0或x ＞4}C ．{x ｜x ＜0或x ＞6}D ．{x ｜x ＜－2或x ＞2} 7．函数错误！未找到引用源。

的零点个数为( ) A ．错误！未找到引用源。

B ．错误！未找到引用源。

C ．错误！未找到引用源。

D ．08．已知圆锥曲线mx 2+y 2=1的离心率为2，则实数m 的值为( )A ．-1B ．-2C ．-3D ．19．在圆的一条直径上，任取一点作与该直径垂直的弦，则其弦长超过该圆的内接等边三角形的边长的概率为( )A ．14B ．13C ．12D ．3210．已知一个几何体的正视图和俯视图如右图所示,正视图是边长为 2a 的正三角形,俯视图是边长为a 的正六边形,则该几何体的侧 视图的面积为( ) A ．223a B ．223a C ．23a D ．23a11．过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若|AF|=3则∆AOB 的面积为( )A ．22B ． 2C ．322D ．2212．已知R 上可导函数f （x ）的图象如图所示，则不等式(x 2-2x -3)f '(x)＞0的解集为( ) A ．（－∞，－2）∪（1，＋∞） B ．（－∞，－2）∪（1，2） C ．（－∞，－1）∪（1，0）∪（2，＋∞） D ．（－∞，－1）∪（－1，1）∪（3，＋∞）二．填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分) 13．不等式3121<-<x 的解集为 .14．若实数y x ,满足不等式组330101x y x y y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥-⎩，，，则2z x y =+的取值范围是 . 15．若sin(π3-α)=45，则cos (2α+π3)= .16．已知过点)1,1(的直线与圆046422=+--+y x y x 相交于B A ,两点,则AB 的最小值为 .三、解答题：(解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤，共70分) 17．(本小题满分10分)已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m →＝(a ，b)， n →＝(sinB ，sinA)，p →＝(b －2，a －2)．(1)若m →∥n →，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m →⊥p →，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．18．(本小题满分12分)2015年“五一”期间，高速公路车辆较多。

2014-2015学年度第二学期期中考试试题高 二 数 学（理）讲评一．选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合∪=R,M={x||x|<2},N={y|y=2x-1},则(C U M)∪(C U N)= ( D )Ａ．(-1,2) B ．(-∞,2]C ．(-∞,-1)∪(2,+∞)D ．(-∞,-1]∪[2,+∞)【命题立意】本题考查了集合表示及集合的运算，【讲评价值】1.掌握描述法的结构形式.代表元素的特征，范围的限制；2.掌握集合的运算的表示形式；3.注意端点值的取舍。

【解题思路】注意代表元素的特征，确定集合M 、N 的范围，从而求得(C U M)∪(C U N) . 【易错点】1.描述法的结构形式理解不到位，要引起重视； 2. 端点值的取舍不注意，易产生错误。

【试题变式】集合A={x|x 2-2x>0},B={y|y= 2 x,x>0}，R 是实数集，则(C R B)∪A 等于（ D ）[来源:学_科_网Z_X_A ．RB ．(-∞,0)∪[1,+∞)C ．(0,1]D ．(-∞,1]∪(2,+∞)2．设P 为曲线C ：y=x 2+2x+3上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围为[π4,π2），则点P 横坐标的取值范围为 （ A ）A ．[-12,+∞）B ．[-1,-12] C ．[0,1]D ．[12,1]改编于：曲测标53 导数的计算（2）5题 【命题立意】利用导数求切直线斜率. 【讲评价值】倾斜角与斜率之间的转换3．设函数()x f '是函数()x f 的导函数，()'y f x =的图象如图所示，则()y f x =的图象最有可能的是 （ C ）改编于：测标56 导数在研究函数中的应用（3）4题4．右图是计算1+3+5+ (99)值的算法程序框图, 那么在空白的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 ( B ) A. i≤101 B. i≤99 C. i≤97D. i≤50【命题立意】本题考查了程序框图的两种基本逻辑结构。

忻州一中2015−2016学年度第二学期期中考试高二数学(理科)试题命题人：杨爱正 王霞一．选择题(每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确.每小题5分，共60分)1. 若全集},42{},321{}5,4,3,2,1{，，，，===B A U 则B C A U ⋂=A. {2，4}B. {1，3}C. {1，2，3，4}D. {1，2，3，4，5}2. 已知命题p ：0>∀x ，总有1)1(>+x e x ，则p ⌝为A. 00>∃x ，使得00(1)1x x e+≤ B. 00≤∃x ，使得00(1)1x x e +≤ C. 0>∀x ，总有1)1(≤+x e x D. 0≤∀x ，总有1)1(≤+x e x3. 设)31(2i i z -=，则z 的虚部为 A. 32 B. 32- C. i 2 D. 24. 如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果为A. 43B. 1211C. 2425D. 1817 5. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰a x dt t x xx x f 020,30,lg )(，若1))1((≥f f ， 则实数a 的范围是A. 1-≤aB. 1-≥aC. 1≤aD. 1≥a6. 用数学归纳法证明：*1111(,1),2321n n n N n ++++<∈>-，第二步证明由“k 到k+1”时，左端增加的项数为A. 12k -B. 2kC. 21k -D. 21k +7. 若)2ln(21)(2++-=x b x x f 在()+∞-,1上是减函数，则b 的取值范围是 A. ),1[+∞- B. ),1(+∞- C. ]1,(--∞ D. )1,(--∞8. 在平面几何中，有“若ABC ∆的周长c ,面积为,S 则内切圆半径cS r 2=”，类比上述结论，在立体几何中，有“若四面体ABCD 的表面积为S ，体积为V ，则其内切球的半径=rA. S V 3B. SV 2 C. S V 2 D. S V 3 9. 若x 轴为曲线41)(3--=ax x x f 的切线，则=aA. 43B. 43-C. 21D. 21- 10. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A. 4+23π B. 4+32π C. 6+23π D. 6+32π 11. 设函数()f x 在R 上可导，其导函数为)(x f '，且函数)()1(x f x y '-=的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是A. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC. 函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D. 函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f12. 如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形边上再连接正方形……，如此继续，若共得到1023个正方形，设初始正方形的边长为22，则最小正方形的边长为 A. 641 B. 161 C. 321 D. 81 二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上)13.设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+-≥-0,031y x y x y x ，则y x z 2-=的最大值是 .14.已知)cos ,23(x a -= ,)23,(sin x b = ,]2,0[π∈x ,则函数b a x f ⋅=)(的最大值为 . 15.要做一个无盖型容器，将长为cm 15，宽为cm 8的长方形铁皮先在四角分别截去一个相同的小正方形后再进行焊接，当该容器容积最大时高为 cm .16.设抛物线x y 22=的焦点为F ，过点()0,3M 的直线与抛物线相交于B A ,两点，与抛物线的准线相交于C ，2||=BF ，则∆BCF 和∆ACF 的面积之比为 .三.解答题(本大题6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答卷x yO -2 1 2纸的相应位置上.只写最终结果的不得分)17. (本小题满分10分)在ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，b a C B A 2,sin 2sin sin ==+（1）证明：ABC ∆是钝角三角形；（2）若=∆ABC S 1534，求c 的值.18.(本小题满分12分)某工厂对一批产品的质量进行了抽样检测，右图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图.已知样本中产品净重在[70,75)克的个数是8个.（1）求样本容量；（2） 若从净重在[60,70)克的产品中任意抽取2个，求抽出的2个产品恰好是净重在[65,70)的产品的概率.19.(本小题满分12分)已知等比数列}{n a 满足：211=a ，81,,321-a a a 成等差数列，公比q )1,0(∈ （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n n na b 2=，求数列}{n b 的前n 项和n S .20.(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，且AD PD PA 22==. （1）求证：平面PAB ⊥平面PDC（2）在线段AB 上是否存在一点G ，使得二面角G PD C --的余弦值为31.若存在，求AB AG 的值；若不存克 0.010 0.020 0.060 0.050 x 组距频率在，说明理由.21. (本小题满分12分)已知椭圆E ：12222=+b y a x ()0>>b a 过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，左右焦点为1F 、2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且||27||21F F AB =. （1）求椭圆E 的方程；（2） 直线m x y l +-=:与椭圆E 交于C 、D 两点，与以1F 、2F 为直径的圆交于M 、N 两点，且736||||7=MN CD ，求m 的值. 22.(本小题满分12分) 已知函数x x a x f 1ln )(+=，曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴. （1）求)(x f 的最小值；（2）比较)(x f 与)1(xf 的大小；（3）证明：0>x 时，3ln x e x xe x x >+.附加题（每小题5分，共15分） 23. 已知函数⎩⎨⎧>≤=ax x a x x x f ,,)(23，若存在实数b ，使函数b x f y -=)(有两个零点，则a 的取值范围是_________24. 已知点21,F F 分别为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点，P 为双曲线左支上的任意一点，若||||122PF PF 的最小值为a 8，则双曲线离心率的取值范围是_______. 25. 已知函数()1x f x me x =--.（其中e 为自然对数的底数,），若0)(=x f 有两根12,x x 且12x x <,则函数21211()()x x x x y e e m e e=--+的值域为_______.忻州一中2015−2016学年度第二学期期中考试高二数学(理科)参考答案及评分标准一．选择题(每小题5分，共60分)1-5: BADBD 6-10: BCAAD 11-12:DC二．填空题(每小题5分，共20分)13. 3 14.23 15.35 16. 54 三．解答题17. (本小题满分10分)（1）证明：因为sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2a b c +=，又2a b =，可得23b c =， ………3分 所以2222222416199cos 022423c c c b c a A bc c +-+-===-<⨯， 所以A 为钝角，故ABC ∆为钝角三角形． ………6分（2）由1cos 4A =-，得sin A =， ………9分所以2112sin 223ABC S bc A c ∆==⨯=，解得4c =． ………12分 18.(本小题满分12分)（1）设样本容量为N ，由频率分布直方图可知:(0.010.0220.050.06)51x +⨯+++⨯=,解得0.04x = 因为85x N=，解得40N = ………6分 （2）由频率分布直方图可知:净重在[60,65)克的产品有0.01540=2⨯⨯个；净重在[65,70)克的产品有0.02540=4⨯⨯个；所以净重在[60,70)克的产品有6个。