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称球问题一般会有以下3种变形：1、n个球，其中有一个坏的，知道是轻还是重，用天平称出坏球来。
2、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来。
3、n个球，其中有一个坏的，不知是轻还是重，用天平称出坏球来，并告知坏球是轻还是重。
对于上面3种情况，称量n次，最多可以在几个球中找出坏球来？答案：分别为：3^n, (3^n - 1)/2, (3^n - 3)/2.称法体现在下面的证明中：一、天平称重，有两个托盘比较轻重，加上托盘外面，也就是每次称重有3个结果，就是ln3/ln2比特信息。
n个球要知道其中一个不同的球，如果知道那个不同重量的球是轻还是重，找出来的话那就是n个结果中的一种，就是有ln(n)/ln2比特信息，假设我们要称k次，根据信息理论：k*ln3/ln2>=ln(n)/ln2, 解得k>=ln(n)/ln3这是得到下限，可以很轻易证明满足条件的最小正整数k就是所求。
比如称3次知道轻重可以从3^3=27个球中找出不同的球出来。
具体称法就是：每次再待定的n个球中取[(n+2)/3]个球，放在天平左边；[(n+2)/3]个球放在天平右边。
（注：[ x ]表示不大于x的最大整数。
）二、对于N(m)=(3^m-1)/2个小球，现在我们来寻求m次的解法。
首先，对于m=2的情况，相当于四个小球来称两次的情况，这个已经讨论过多次了，也很简单，在此略去其次，若m <=k-1时，假定对于N(k-1)=(3^(k-1)-1)/2个球的情况我们都有解法。
现在来考虑m=k的情况。
第一次称取[3^(k-1)-1]个球放在天平天平两端，则：如果平衡，获得[3^(k-1)-1]个标准球，坏球在剩下的[3^(k-1)+1]/2个中。
由于[3^(k-1)-1]>=[3^(k-1)+1]/2，（k>=2),即已知的标准球数不小于未知球数;所以在以后的测量中就相当于任意给定标准球的情况，由前面的引理二可知对于[3^(k-1)+1]/2的情况(k-1)次可解。
小升初奥数专题讲解：称球问题［专题介绍］称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。
下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。
［经典例题］例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。
已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。
若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。
把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。
如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。
如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
有球若干，其中有一个异重，最少几次可以称出？定义：知重是指知道异重的球是轻还是重。
有球是指有标准重的好球在一旁。
半知重指天平两端已各有n个(共2n个)球，处于不平衡状态及一旁有好球。
定理一、知重3n-1+1到3n个球称n次可选定。
证：当n=1,则2到3个可以1次选定。
假设n=k时成立，则对m∈[3k+1,3k+1],若m能被3整除，则分成a,b,c三等份，每份数量在[3k-1+1,3k]中，其中a,b两份放在天平上称，若平，则c可称k次选定，若知重与a同，则a可称k次选定，若知重与b同，则b可称k次选定。
若m不能被3整除，则取a,b两份同，c=a±1,同理可得。
证毕。
定理二、有球(3n-1+3)/2到(3n+1)/2个球称n次可选定。
证：当n=1,则2个球可1次选定。
假设当n=k时成立，则对m∈[(3k+3)/2,(3k+1+1)/2],取3k个标球与m中的3k个球称（若不够，则取完），若不平，则3K个知重可k次选定，若平衡则(1)剩下小于(3k-1+3)/2，可少于k次选定，(2)剩下(3k-1+3)/2到(3k+1-2·3k+1)/2=(3k+1)/2个，依假设可k次选定。
证毕。
定理三、半知重(3k-1)个球可k次选定。
证：当n=1时，则2个半知重的球与标球称一次，则可选定。
成立假设当n=k时成立，则当有3k+1-1个球分成(3k+1-1)/2一组的a,b两组时。
其中不防假设a组重，称(a组3k个)+(b组(3k-1)/2个)△(标重3k个)+(a组(3k-1)/2个),剩b组3k个，若平，则b组3k个知重k次可选定。
若重，则a组3k个知重k次可选定，若轻，则(b组(3k-1)/2个)△(a组(3k-1)/2个)依假设可k次选定。
若数量不足，可依次传递到前项，证毕。
定理四、(3k+1-1)/2个球可k+1次选定其中唯一的异重球。
K=1时，4球可2次选定。
成立，假设当n=k时成立，则当n=k+1时，将其分成a组(3k-1)/2个，b组(3k-1)/2个，c组(3k+1)/2个，a与b称，若平，则(3k+1)/2个有球k次可以选定。
2020年小升初必备奥数知识点归纳称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。
下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。
［经典例题］例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。
已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。
若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。
把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。
如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。
如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
称球问题——经典智力题推而广之三（五）五、四十个球的例子最后我们来解决一下40个球，没有标准球的问题。
我们知道40 = (34-1)/2所以我们可以称4次找出坏球，但是因为没有标准球，就不一定能知道坏球的轻重。
顺便先考虑13个球，另有一标准球的问题。
13 = (33-1)/2所以称3次可以找出坏球，因为有标准球，我们还可以同时知道坏球的轻重。
根据上一节的证明过程，这时我们要把这13个球分为3堆：第一堆：1-5第二堆：6-9，再加上标准球s第三堆：10-13我们把第一和第二堆小球放在天平左右端进行第一次称量。
如果是左边重，那么要么是第一堆1-5号球中有一个是坏球，而且它比标准球重，要么是第二堆6-9号球中有一个是坏球，那么它比标准球轻。
用结论1来解决的问题，第三节末尾我们处理过27个球的问题，9个球的问题就是小菜了：|--右--( 4重)|--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻) | |--左--( 3重)|| |--右--( 8轻)(1-2,6;3-4,7)|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)| |--左--( 9轻)|| |--右--( 2重)|--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)|--左--( 1重)如果是右边重，那么和上面的情况对称，只要把策略树中的“左”和“右”互换，“轻”和“重”互换即可。
如果平衡，那么就化为4个球有一个标准球2次称出的问题。
虽然还可以往下照葫芦画瓢地递归一次，不过4个球的情况就太简单了，所以直接写出策略树：|--右--(10轻)|--右--(10;11)|--平--(12重)| |--左--(11轻)|| |--右--(13轻)(10,11;12,s)|--平--(13; s)|--平--( )| |--左--(13重)|| |--右--(11重)|--左--(10;11)|--平--(12轻)|--左--(10重)把左中右三个分支拼起来我们就得到13个球有一标准球称3次的策略树：|--右--( 1轻) |--右--(1 ; 2)|--平--( 7重)| |--左--( 2轻)|| |--右--( 9重)|--右--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5轻)| 3-4,7)| |--左--( 8重)| || | |--右--( 3轻)| |--左--(3 ; 4)|--平--( 6重)| |--左--( 4轻)|| |--右--(10轻)| |--右--(10;11)|--平--(12重)| | |--左--(11轻)| || | |--右--(13轻)(1-5; |--平--(10,11;|--平--(13; s)|--平--( )6-9,s)| 12,s)| |--左--(13重)| || | |--右--(11重)| |--左--(10;11)|--平--(12轻)| |--左--(10重)|| |--右--( 4重)| |--右--(3 ; 4)|--平--( 6轻)| | |--左--( 3重)| || | |--右--( 8轻)|--左--(1-2,6;|--平--(8 ; 9)|--平--( 5重)3-4,7)| |--左--( 9轻)|| |--右--( 2重)|--左--(1 ; 2)|--平--( 7轻)|--左--( 1重)现在可以考虑40个球，无标准球的问题了。
市秤的称球问题【提问】有十二个大小相等的球,除开一个之外,其余各个质量相等.现在要用天平把那个质量不同的球称出来,只许称三次,并且要确定它是轻些或者重些,问应怎样称?这个问题用天平已经解决,不过通常不容易找到天平,手边常有的只是买菜的市秤（目前广泛采用的是电子秤）,它的效用与弹簧秤一样,现在问,如果不用天平只许用市秤,上述问题的解法如何?听说十二个球保证找出一个差异球要称四次,怎么称？进一步，十五个球保证选出一个差异球怎么称呢？【解答】以下为了方便起见,那个质量不同的球叫做坏球,其余质量相同的球叫做好球,再假定球的总数是N,要称的次数是n。
先从简单的情形开始。
【定理1】如果好球与坏球的质量都是已知的,n次就可以称2∧n个球。
证明分两个步骤：(1)当N=1的时候,因为坏球的个数是1,所以不必称。
这就是说n=0的时候，定理是正确的。
(2)应用数学归纳法,假定n次可称2∧n个球,试证n+1次可称2∧（n+1）个球。
这是因为在2∧（n+1）个球中任意取出2∧n个球放在秤盘中,如果恰是好球质量的2∧n倍,坏球在盘外2∧n个球中,如果不是好球质量的2∧n倍,坏球在盘上2∧n个球中。
两种情形,根据归纳假设,都只要再称次就可以找出坏球。
【定理2】当好球质量是已知的,n次就可以称2∧（n+1）个球,并且可以找出坏球质量。
证明分两个步骤：(1)当N=1的时候,因为坏球的个数是1,所以没有好球。
这时只称一次就可以知道它的质量,也就是说当n=1的时候,定理是正确的。
(2)应用数学归纳法,假定n次可称2∧（n+1）个球,试证n+1次可称2∧（n+1）-1个球。
这是因为在2∧（n+1）-1个球中任意取出2∧n个球放在秤盘中,如果恰是好球质量的2∧n 倍,坏球在盘外2∧（n+1）-1球中,根据归纳假设再称,次就可以找出坏球。
如果不是好球质量的2∧n倍,坏球在盘上2∧n个球中,根据定理1,再称n次也可以找出坏球,因此定理得证。
必备2019小升初数学练习题之称球问题[专题介绍]称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。
下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。
[练习题]1.有4堆外表上一样的球，每堆4个。
已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
2.有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次(不用砝码)，把次品球找出来。
解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。
若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
3.把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟非凡貌，属句有夙性，说字惊老师。
”于是看，宋元时期小学教师被称为“老师”有案可稽。
清代称主考官也为“老师”，而一般学堂里的先生则称为“教师”或“教习”。
可见，“教师”一说是比较晚的事了。
如今体会，“教师”的含义比之“老师”一说，具有资历和学识程度上较低一些的差别。
辛亥革命后，教师与其他官员一样依法令任命，故又称“教师”为“教员”。
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。
如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。
称球问题的通解精选已有 972 次阅读2013-2-1 12:36|个人分类:智力|系统分类:科普集锦|关键词:称球问题智力游戏称13球问题十分经典，就我所知也有三十多年历史了。
因为问题简单，不需要预备知识，又有点难度，纯凭清醒脑力来解答，成为大人小孩通杀经久不衰的练脑题，聪明的中学生纸上画画也能解出，大人也就考究个虚空冥想，心智澄明的功力。
这问题网上有不少答案，恐怕连中学生都知道了。
所以喜欢做研究的人，就会考虑一般性的问题。
在一堆等重的球中有一个重量不同的次品球，用天平称k次找出来，问这堆球最多可以是多少？它的通解是：最多且可以达到n =（3**k-1）/2个球。
这里3**k意思是3的k次方。
我曾将这证明贴在外面网上，很多人都看过，现在附在后面。
在科学网写科普，要有点技术含量的新意，才对得起愿意动脑筋看帖子的人。
我就在这里分享考虑问题的思路。
首先考虑一个简单的情况，假如已知这个次品比正品重（或轻），把这堆球三等分，放两堆到天平两边称一次可以指出是在哪堆，一直重复这三等分法，就能确定是哪一个。
所以称k次可以分辨3**k个球。
有人从信息的角度解答这简单题。
从n个球中取出次品的概率是1/n，确定它需要log2(n)比特的信息量；用天平称会有三种结果：左重右轻、平衡、左轻右重，称一次给出的信息量是log2(3)；所以从n个球中找出次品，需要称的次数k是log2(n)/log2(3)=log3(n)，也就是n = 3**k ，这和上面的答案是一样的。
对于不知次品轻重的情况，从n个球中取出次品的概率是1/n，而这次品是偏重或偏轻的概率是1/2，确定它需要log2(2n)比特的信息量。
所以从n个球中找出次品需要称的次数k至少是log2(2n)/log2(3)=log3(2n)，也就是2n <= 3**k ，考虑到左边是偶数，右边是奇数，故有n =（3**k-1）/2，这和通解的答案是一样的。
这个信息量说法看起来很牛，既简练又准确。
小学奥数试题集与答案 Company Document number：WUUT-WUUY-WBBGB-BWYTT-1982GT小学奥数试题集与答案称球问题［专题介绍］称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。
下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。
［经典例题］例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。
已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。
若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。
把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。
如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。
如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
称球问题——经典智力题推而广之三（三）三、每个球都已知可能为轻或可能为重的情况先引入一个记号：对于任意实数a，我们用{a}表示大于等于a的最小整数，比如说{}=3，{4}=4；我们用[a]表示小于等于a的最大整数，比如说[]=2，[4]=4。
我们首先考虑这样一种布局的集合。
假设m，n为两个非负实数，不同时为0。
在编号从1到m+n的m+n个球中，我们知道1到m号球要么是标准球，要么比标准球重，而m+1到m+n号球要么是标准球，要么比标准球轻；我们还知道其中有一个是坏球。
换句话说，我们知道真实的情况是以下m+n种布局之一：1. 1号是坏球，且较重；2. 2号是坏球，且较重；……m. m号是坏球，且较重；m+1. m+1号是坏球，且较轻；m+2. m+2号是坏球，且较轻；……m+n. m+n号是坏球，且较轻。
有一种特殊的情况是m=0或n=0，也就是说坏球的是轻还是重已经知，常常被用来单独作为智力题。
结论1：1)在以上条件成立的情况下，要保证在m+n个球中找出坏球并知道其轻重，至少需要称{log3(m+n)}次。
2)如果m和n不同时为1，那么称{log3(m+n)}次就足够了。
如果m=n=1，并且另有一标准球，那么称{log3(m+n)}={log3(1+1)}=1次也足够了。
这里log3表示以3为底的对数。
需要对2)作点说明。
如果m=n=1而没有标准球的话，那么是永远也称不出坏球来的。
把两个球一边一个放在天平上，必然是1号重2号轻。
但是由于没有标准球，我们无法知道是坏球比较重所以1号是坏的，还是坏球比较轻所以2号是坏的。
如果有标准球，只要把1号球和标准球比较一下。
如果天平不平衡，那么1号球是坏球，且比较重；如果天平平衡，那么2号球是坏球，且比较轻。
策略树如下：|--右--( )||(1; s)|--平--(2轻)|||--左--(1重)现在来证明1)。
在上面我们看到，可能的布局是m+n 种。
假设我们已经有一个策略能保证在这m+n个球中找出坏球并知道其轻重，那么每一个布局都要通向策略树上的不同叶子，这棵策略树至少需要有m+n片叶子。
小升初数学考试专项解答：称球问题【】小学数学的学习更应注重培养学生的观察、分析和应用等综合能力。
在此，查字典数学网小学频道提供了小升初数学考试专题解答：称球问题，供大家学习。
小升初数学考试专题解答：称球问题称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。
下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。
[经典例题]例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。
其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解：依次从第【一】【二】【三】四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次(不用砝码)，把次品球找出来。
解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。
假设天平不平衡，可找到较轻的一堆;假设天平平衡，那么剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，假设天平不平衡，那么较轻的就是次品，假设天平平衡，那么剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。
把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，那么(1)假设A=B，那么A、B中都是正品，再称B、C.如B=C，显然D中的那个球是次品;如BC，那么次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。
如B (2)假设AB，那么C、D中都是正品，再称B、C，那么有B=C，或B(3)假设A练习有12个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能找出次品吗?以上就是查字典数学网为大家提供的小升初数学考试专题解答：称球问题，希望对大家有帮助!。
奥数知识点：称球问题奥数知识点：称球问题称球问题这是一类经典的问题，具有一定的趣味性、广泛性和关注度。
下面小编给大家精心搜集整理的奥数知识点：称球问题，欢迎阅读!奥数知识点：称球问题1有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次(不用砝码)，把次品球找出来。
【解析】第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。
若天平不平衡，可找到较轻的.一堆;若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
2有4堆外表上一样的球，每堆4个。
已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
【解析】依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
3把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
【解析】把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。
把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则(1)若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。
如B=C，显然D 中的那个球是次品;如B>C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。
如BC的情况也可得出结论。
(2)若A>B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或BC 不可能，为什么?)如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论;如B(3)若AB的情况，可分析得出结论。
称球问题12个球和一个天平，现知道只有一个和其它的重量不同，问怎样称才能用三次就找到那个球？（注意此题并未说明那个球的重量是轻是重，所以需要仔细考虑)参考答案1：首先，把12个小球分成三等份，每份四只。
拿出其中两份放到天平两侧称（第一次）情况一：天平是平衡的。
那么那八个拿上去称的小球都是正常的，特殊的在四个里面。
把剩下四个小球拿出三个放到一边，另一边放三个正常的小球（第二次）如天平平衡，特殊的是剩下那个。
如果不平衡，在天平上面的那三个里。
而且知道是重了还是轻了。
剩下三个中拿两个来称，因为已经知道重轻，所以就可以知道特殊的了。
（第三次）情况二：天平倾斜。
特殊的小球在天平的那八个里面。
把重的一侧四个球记为A1A2A3A4，轻的记为B1B2B3B4。
剩下的确定为四个正常的记为C。
把A1B2B3B4放到一边，B1和三个正常的C 小球放一边。
（第二次）情况一：天平平衡了。
特殊小球在A2A3A4里面，而且知道特殊小球比较重。
把A2A3称一下，就知道三个里面哪个是特殊的了。
（第三次）情况二：天平依然是A1的那边比较重。
特殊的小球在A1和B1之间。
随便拿一个和正常的称，就知道哪个特殊了。
（第三次）情况三：天平反过来，B1那边比较重了。
特殊小球在B2B3B4中间，而且知道特殊小球比较轻。
把B2B3称一下，就知道哪个是特殊的了。
（第三次）参考答案2：此称法称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。
将十二个球编号为1-12。
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果右重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。
就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。
如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。
一、问题称球问题的经典形式是这样的：“有十二个外表相同的球，其中有一个坏球，它的重量和其它十一个有轻微的（但是可以测量出来的）差别。
现在有一架没有砝码的很灵敏的天平，问如何称三次就保证找出那个坏球，并知道它比标准球重还是轻。
”这可能是网上被做过次数最多的一道智力题了。
它的一种解法如下：将十二个球编号为1-12。
第一次，先将1-4号放在左边，5-8号放在右边。
1.如果右重则坏球在1-8号。
第二次将2-4号拿掉，将6-8号从右边移到左边，把9-11号放在右边。
就是说，把1,6,7,8放在左边，5,9,10,11放在右边。
1.如果右重则坏球在没有被触动的1,5号。
如果是1号，则它比标准球轻；如果是5号，则它比标准球重。
第三次将1号放在左边，2号放在右边。
1.如果右重则1号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则5号是坏球且比标准球重；3.这次不可能左重。
2.如果平衡则坏球在被拿掉的2-4号，且比标准球轻。
第三次将2号放在左边，3号放在右边。
1.如果右重则2号是坏球且比标准球轻；2.如果平衡则4号是坏球且比标准球轻；3.如果左重则3号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在拿到左边的6-8号，且比标准球重。
第三次将6号放在左边，7号放在右边。
1.如果右重则7号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则8号是坏球且比标准球重；3.如果左重则6号是坏球且比标准球重。
2.如果天平平衡，则坏球在9-12号。
第二次将1-3号放在左边，9-11号放在右边。
1.如果右重则坏球在9-11号且坏球较重。
第三次将9号放在左边，10号放在右边。
1.如果右重则10号是坏球且比标准球重；2.如果平衡则11号是坏球且比标准球重；3.如果左重则9号是坏球且比标准球重。
2.如果平衡则坏球为12号。
第三次将1号放在左边，12号放在右边。
1.如果右重则12号是坏球且比标准球重；2.这次不可能平衡；3.如果左重则12号是坏球且比标准球轻。
3.如果左重则坏球在9-11号且坏球较轻。
称球问题——经典智力题推而广之三（二）二、记号我们先不忙着马上着手解决上述问题。
先得给出几个定义，尤其是，要给出比较简单的符号和记法。
大家看到上面给出的解法写起来实在麻烦——想象一下如果我们要用这种方法来描述称40个或1000个球的问题！仍旧考虑十二个球的情况和上面举的解法。
在还没有开始称第一次时，我们对这十二个球所知的信息就是其中有一或较轻，或较重的坏球，所以以下24种情况都是可能的：1. 1号是坏球，且较重；2. 2号是坏球，且较重；……12. 12号是坏球，且较重；13. 1号是坏球，且较轻；14. 2号是坏球，且较轻；……24. 12号是坏球，且较轻。
没有其他的可能性，比如说“1、2号都是坏球，且都较重”之类。
当我们按上面解法“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”称过第一次以后，假设结果是右重，稍微分析一下，就会知道上面的24种情况中，现在只有8种是可能的，就是1. 1号是坏球，且较轻；2. 2号是坏球，且较轻；3. 3号是坏球，且较轻；4. 4号是坏球，且较轻；5. 5号是坏球，且较重；6. 6号是坏球，且较重；7. 7号是坏球，且较重；8. 8号是坏球，且较重。
我们把诸如“1号是坏球，且较重，其他球都正常”和“2号是坏球，且较轻，其他球都正常”这样的情况，称为一种“布局”，并记为：(1重)和(2轻)我们把“先将1-4号放在左边，5-8号放在右边”这样的步骤，称为一次“称量”。
我们把上面这次称量记为(1,2,3,4; 5,6,7,8)或(1-4; 5-8)也就是在括号内写出参加称量的球的号码，并且以分号分开放在左边和放在右边的球号。
在最一开始，我们有24种可能的布局，而在经过一次称量(1-4；5-8)后，如果结果是右重，我们就剩下上述8种可能的布局。
我们的目的，就是要使用尽量少的称量，而获得唯一一种可能的布局——这样我们就知道哪个球是坏球，它是比较重还是比较轻。
这里我们注意到没有必要去考虑两边球数不相等的称量。
小学奥数竞赛专题之称球问题竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题［专题介绍］称球问题是一类传统的趣味数学问题，它锻炼着一代又一代人的智力，历久不衰。
下面几道称球趣题，请你先仔细考虑一番，然后再阅读解答，想来你一定会有所收获。
［经典例题］例1 有4堆外表上一样的球，每堆4个。
已知其中三堆是正品、一堆是次品，正品球每个重10克，次品球每个重11克，请你用天平只称一次，把是次品的那堆找出来。
解：依次从第一、二、三、四堆球中，各取1、2、3、4个球，这10个球一起放到天平上去称，总重量比100克多几克，第几堆就是次品球。
例2 有27个外表上一样的球，其中只有一个是次品，重量比正品轻，请你用天平只称三次（不用砝码），把次品球找出来。
解：第一次：把27个球分为三堆，每堆9个，取其中两堆分别放在天平的两个盘上。
若天平不平衡，可找到较轻的一堆；若天平平衡，则剩下来称的一堆必定较轻，次品必在较轻的一堆中。
第二次：把第一次判定为较轻的一堆又分成三堆，每堆3个球，按上法称其中两堆，又可找出次品在其中较轻的那一堆。
第三次：从第二次找出的较轻的一堆3个球中取出2个称一次，若天平不平衡，则较轻的就是次品，若天平平衡，则剩下一个未称的就是次品。
例3 把10个外表上一样的球，其中只有一个是次品，请你用天平只称三次，把次品找出来。
解：把10个球分成3个、3个、3个、1个四组，将四组球及其重量分别用A、B、C、D表示。
把A、B两组分别放在天平的两个盘上去称，则（1）若A=B，则A、B中都是正品，再称B、C。
如B=C，显然D中的那个球是次品；如B＞C，则次品在C中且次品比正品轻，再在C中取出2个球来称，便可得出结论。
如B＜C，仿照B＞C的情况也可得出结论。
（2）若A＞B，则C、D中都是正品，再称B、C，则有B=C，或B＜C（B＞C不可能，为什么？）如B=C，则次品在A中且次品比正品重，再在A中取出2个球来称，便可得出结论；如B＜C，仿前也可得出结论。
（3）若A＜B，类似于A＞B的情况，可分析得出结论。
练习有12个外表上一样的球，其中只有一个是次品，用天平只称三次，你能找出次品吗？小学奥数竞赛专题之平均数问题竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题[专题介绍]求平均数问题是小学学习阶段经常接触的一类典型应用题，如“求一个班级学生的平均年龄、平均身高、平均分数……”。
解答这类应用题时，主要是弄清楚总数、份数、一份数三量之间的关系，根据总数除以它相对应的份数，求出一份数，即平均数。
[经典例题]例1 用4个同样的杯子装水，水面高度分别是4厘米、5厘米、7厘米和8厘米，这4个杯子水面平均高度是多少厘米？[分析] 求4个杯子水面的平均高度，就相当于把4个杯子里的水合在一起，再平均倒入4个杯子里，看每个杯子里水面的高度。
解：（4＋5+7+8）÷4=6（厘米）答：这4个杯子水面平均高度是6厘米。
例2 蔡琛在期末考试中，政治、语文、数学、英语、生物五科的平均分是 89分.政治、数学两科的平均分是91.5分.语文、英语两科的平均分是84分.政治、英语两科的平均分是86 分，而且英语比语文多10分.问蔡琛这次考试的各科成绩应是多少分？[分析] 解题关键是根据语文、英语两科平均分是84分求出两科的总分，又知道两科的分数差是10分，用和差问题的解法求出语文、英语各得多少分后，就可以求出其他各科成绩。
解：①英语：（84×2+10）÷2=89（分）②语文： 89-10=79（分）③政治：86×2-89＝83（分）④数学： 91.5×2-83＝100（分）⑤生物： 89×5-（89＋79＋83＋100）＝94（分）答：蔡琛这次考试英语、语文、政治、数学、生物的成绩分别是89分、79分、83分、100分、94分。
例3 果品店把2千克酥糖，3千克水果糖，5千克奶糖混合成什锦糖.已知酥糖每千克4.40元，水果糖每千克4.20元，奶糖每千克7.20元.问：什锦糖每千克多少元？[分析] 要求混合后的什锦糖每千克的价钱，必须知道混合后的总钱数和与总钱数相对应的总千克数。
解：①什锦糖的总价：4.40×2+4.20×3+7.20×5＝57.4（元）②什锦糖的总千克数： 2＋3＋5＝10（千克）③什锦糖的单价：57.4÷10=5.74（元）答：混合后的什锦糖每千克5.74元。
我们把上述这种平均数问题叫做“加权平均数”.例3中的5.74元叫做4.40元、4.20元、7.20元的加权平均数.2千克、3千克、5千克这三个数很重要，对什锦糖的单价产生不同影响，有权衡轻重的作用，所以这样的数叫做“权数”。
例4 甲乙两块棉田，平均亩产籽棉185斤.甲棉田有5亩，平均亩产籽棉203斤；乙棉田平均亩产籽棉170斤，乙棉田有多少亩？[分析] 此题是已知两个数的加权平均数、两个数和其中一个数的权数，求另一个数的权数的问题.甲棉田平均亩产籽棉203斤比甲乙棉田平均亩产多18斤，5亩共多出90斤.乙棉田平均亩产比甲乙棉田平均亩产少15斤，乙少的部分用甲多的部分补足，也就是看90斤里面包含几个15斤，从而求出的是乙棉田的亩数，即“权数”。
解：①甲棉田5亩比甲乙平均亩产多多少斤？（203-185）×5=90（斤）②乙棉田有几亩？90÷（185-170）=6（亩）答：乙棉田有6亩。
例5 已知八个连续奇数的和是144，求这八个连续奇数。
[分析] 已知偶数个奇数的和是144.连续数的个数为偶数时，它的特点是首项与末项之和等于第二项与倒数第二项之和，等于第三项与倒数第三项之和……即每两个数分为一组，八个数分成4组，每一组两个数的和是144÷4＝36.这样可以确定出中间的两个数，再依次求出其他各数。
解：①每组数之和：144÷4=36②中间两个数中较大的一个：（36＋2）÷2＝19③中间两个数中较小的一个：19-2=17∴这八个连续奇数为11、13、15、17、19、21、23和25。
答：这八个连续奇数分别为：11、13、15、17、19、21、23和25。
小学四年级奥数题:奥数专题训练之平均数问题（A卷）一、填空题.1.已知9个数的平均数是72,去掉一个数后,余下的数平均数为78,去掉的数是______ .2.某班有40名学生,期中数学考试,有两名同学因故缺考,这时班级平均分为89分,缺考的同学补考各得99分,这个班级中考平均分是_______ .3.有5个数,其平均数为138,按从小到大排列,从小端开始前3个数的平均数为127,从大端开始顺次取出3个数,其平均数为148,则第三个数是_______ .4.某5个数的平均值为60,若把其中一个数改为80,平均值为70,这个数是________ .5.如果三个人的平均年龄为22岁.年龄最小的没有小于18岁.那么最大年龄可能是______岁.6.数学考试的满分是100分,六位同学的平均分是91分,这6个同学的分数各不相同,其中一个同学得65分,那么居第三名的同学至少得_______分.7.在一次登山比赛中,小刚上山时每分钟走40米,18分钟达到山顶,然后按原路下山,每分钟走60米,小刚往返的平均速度是每分_______米.8.某校有100名学生参加数学考试,平均分是63分,其中男生平均分是60分,女同学的平均分是70分,男生比女生多_______人.9.一些同学分一些书,若平均每人分若干本,还余14本,若每人分9本,则最后一人分得6本,那么共有学生_______人.10.有几位同学参加语文考试,赵峰的得分如果再提高13分,他们的平均分就达到90分,如果赵峰的得分降低5分,他们的平均分就只得87分,那么这些同学共有________人.11.有四个数每次取三个数,算出它们的平均数再加上另一个数,用这种方法计算了四次,分别得到以下四个数:86, 92, 100, 106, 那么原4个数的平均数是________ .12.甲、乙、丙三人一起买了8个面包平均分着吃,甲拿出5个面包的钱,乙付了3个面包的钱,丙没付钱.等吃完结算,丙应付4角钱,那么甲应收回钱_____分.二、分析解答题.13.今年前5个月,小明每月平均存钱4.2元,从6月起他每月储蓄6元,那么从哪个月起小明的平均储蓄超过5元?14.A、B、C、D四个数,每次去掉一个数,将其余下的三个数求平均数,这样计算了4次,得到下面4个数.23, 26, 30, 33A、B、C、D 4个数的平均数是多少？———————————————答案——————————————————————一、填空题答案：1. 2472 9-78 8=24.2. 89.5分.[89 (40-2)+99 2] 40=89.5(分).3. 135127 3+148 3-138 5=1354. 3080-(70 5-60 5)=305．28岁，三人年龄和=22 3=66岁，设有两个人的年龄最小，和为19 2=38，所以，最大年龄可能是66-38=28（岁）6. 95第一、二名最多可得100+99=199（分）第三、四、五名的平均分为：（91 6-100-99-65） 3=94（分）第三名最少95（分）7. 48米.(40 18 2) [18+40 18 60]=48（米）.8. 40(人).男生: (70 100-63 100) (70-60)=70(人)女生:100-70=30(人)70-30=40(人)9. 17名由题意知,每人9本,最后一人只能分6本差3本,说明每次只能分8本、7本、6本……,设共有x名学生,可得:9x-3=8x+14 x=17经检验,每人分7本,6本不合题意,所以共有17名同学.10. 6人(13+5) (90-87)=6(人)11. 48(86+92+100+106) 2 4=4812. 35分40 3 8=15(分)15 5-4 10=35(分)二、分析解答题答案：1. 10月份10月份起超过5元,以5元为基数,前5月平均每月少5-4.2=0.8(元),6月起平均每月增加6-5=1(元)(5-4.2) 5 (6-5)=4从6月起,4个月后每月平均储蓄就超过5元.2. 28(23+26+30+33) 4=28小学四年级奥数题:奥数专题训练之平均数问题（A卷）小学四年级奥数题:奥数专题训练之平均数问题（B卷）1.三个数的平均数是120,加上一个数,四个数的平均数是115,这个数是________ .2.小强考了语文、数学、英语、历史、自然五门功课,数学成绩不算在内,平均成绩是90分.把数学成绩加上去,平均成绩是92分.小强的数学成绩是_______分.3.江滨小学有433个小朋友,分乘4辆汽车去儿童公园,第一辆车已经接走了115人,如果第二、三、四辆车乘的人数相同,第三辆车乘了______个小朋友.4.5个数写成一排,前3个数的平均值是15,后两个的数的平均值是10,这五个数的平均的值是______.5.甲、乙两地相距240公里,一辆汽车从甲地开往乙地用了6小时,返回时用了4小时.这辆汽车往返的平均速度________公里.6.甲、乙、丙三人的平均年龄为17岁,而甲乙两人的平均年龄为15岁,那么丙的年龄是________岁.7.甲乙两人带着同样多的钱,用他们全部的钱买了洗衣粉,甲拿走了12袋,乙拿走了8袋.回家后甲补给乙3.8元,每袋______元.8.学校足球队18人合影留念,照6寸照片洗三张价格是4.5元,另外加洗每张0.3元,如果每人各得一张,平均每人需______元.9.甲乙两块棉田,平均亩产185斤,甲棉田是5亩,亩产203,乙棉田亩产170斤,乙棉田有________亩.10.小明期中考试语文,数学两科分数共176分,如果再加上外语分数,三科的平均分就比语文,数学两科的平均分多3分,小明的外语成绩是________分.二、分析解答题:11.学校足球队18人合影留念,照六英寸照片.洗3张价格是4.5元,另外加洗,每张0.3元.如果每人各得一张,那么平均每人需元.12.五位裁判员给一名体操运动员评分后，去掉一个最高分和一个最低分,平均得9.58分;只去掉一个最高分,平均得9.46分;只去掉一个最低分,平均得9.66分.这个运动员的最高分与最低分相差多少?13.在一次登山比赛中,小刚上山时每分走40米,18分到达山顶.然后按原路下山,每分走60米.小刚上、下山平均每分走多少米?14.小明从家到学校的路程是540米,小明上学要走9分钟,回家时比上学时少用3分钟.那么小明往返一趟平均每分钟走多少米?———————————————答案——————————————————————1. 100115 4-120 3=1002. 102分数学得分加进后的六门课总分:92 6=552(分)除数学外的五门课总分:90 5=450(分)数学课成绩为:552-450=102(分)3. 106 人(433-115) (4-1)=106(人)4. 13(3 15+2 10) (3+2)=135. 48公里/小时240 2 (6+4)=48(公里/小时)6. 21岁3 17-2 15=21(岁)7. 1.9元3.8 [(12-8) 2]=1.9(元)8. 0.5元[4.5+0.3 (18-3)] 18=0.5(元)9. 6亩(5 203-5 185) (185-170)=6(亩)10. 97分(176 2+3) 3-176=97(分)二、分析解答题:11. 0.2(元)洗18张照片需要的钱数是:450+30 15=900(分). 每人需交的钱数为:900 18=20(分)=0.2(元). 12. 0.8分最低分: 9.46 4-9.58 3=9.10(分)最高分: 9.66 4-9.58 3=9.90(分)最高分与最低分相差: 9.90-9.10=0.8(分)13. 48米(40 18 2) [18+(40 18) 60]=48(米)14. 72米/分钟540 2 [9+(9-3)]=72(米/分钟)小学四年级奥数题:奥数专题训练之平均数问题（B卷）小学奥数竞赛专题之最短路线问题竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题小学奥数竞赛专题之列车过桥问题竞赛专题选讲囊括了希望杯、华罗庚金杯、走进美妙的数学花园、EMC、全国小学数学联赛和数学解题能力展示等在内的国内主要数学竞赛的精华试题[专题介绍]：列车过桥是生活中常见的现象，要正确理解这类问题，首先要懂得从车头上桥到车尾离开桥行驶的路程是多少。
