非线性弹性三维本构关系
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07_非线性弹性本构关系_2012_709704628
6
7.1.4 混凝土的本构模型
7.1.5 混凝土的本构模型
常用的混凝土本构模型
理论是完美的，但不是真实的
非线性弹性本构模型（弹性力学） 弹塑性本构模型（塑性力学） 损伤本构模型（损伤力学） 断裂力学本构模型（断裂力学）
以理论模型为基础， 根据试验数据修改理 论模型使之与试验相 吻合
试验是真实的，但不是完美的
保持I1, θ不变，改变J2直至与破坏面相交得到交点
(I1, J2f, θ)
引入调整系数k
k
β=
J2
J2 f
23
σ3 β = σ 3f
0 ≤ k ≤1
24
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
等效一维应力应变关系
7.3.2 E－ν 全量模型 全量模型
等效一维应力应变关系 割线模量计算式
E
νs
E
Cedolin 模型
σ oct = 3K sε oct τ oct = 3Gsγ oct
0
Ks = ab −ε oct / c + d K0
Gs = pq −γ oct / v + sγ oct + t G0
(1 −ν s ) (1 +ν )(1 − 2ν ) Es s s D=
cosθ cos(31.03D ) σ 1 − 3.466 2 I1 2 J2 D D = − σ θ π cos( ) + = 5.292cos(31.03 − 120 ) − 8 = − 7.905 2 3 3 3 σ − 12.630 cos(31.03D + 120D ) 3 cos(θ + 2 π ) 3
材料非线性
第二部分 材料非线性有限元方程
25
材料非线性
输出.k文件，求解
求解完成即可得到所需的文件
第二部分 材料非线性有限元方程
26
材料非线性
后处理 使用软件：lsprepost
第二部分
材料非线性有限元方程
27
材料非线性
后处理 利用lsprepost可以得出各种曲线（应力、应变、能量、节点的速 度、加速度、位移等），便于分析、得出结论
材料非线性
③创建属性（Property） 在创建属性时，需要 选择属性的类型（即 板、壳、梁等），然 后根据该车型参数， 输入各组件的厚度。
注：材料属性创建完成后， 需要将其赋与组件。
第二部分 材料非线性有限元方程
21
材料非线性
划分网格（2D>automesh）
网格的划分：size and bias:用户手动输入划分网格 所需的参数 batchmesh/QI optimize:批划分，根据 已有或重新定义的参数、标准文件，批 量划分网格
D’ B’
s
A
B *
D
O C
B’D’与 BD 形状相同
第一部分
材料本构关系
10
弹塑性材料本构
②随动强化模型
材料从塑性段的某点B(σ*)开始卸载，一旦降至2σs时，
B *
D
s
A
s
材料就开始反向屈服，以后按塑性加载段规律流动（沿
与AB段一样的硬化曲线A’B’流动，曲线AB与A’B’间 相 距始终为2σs）
网格划分完成后，需要对网格进行质量检查(qualityindex)
第二部分 材料非线性有限元方程
22
材料非线性
25
材料非线性
输出.k文件，求解
求解完成即可得到所需的文件
第二部分 材料非线性有限元方程
26
材料非线性
后处理 使用软件：lsprepost
第二部分
材料非线性有限元方程
27
材料非线性
后处理 利用lsprepost可以得出各种曲线（应力、应变、能量、节点的速 度、加速度、位移等），便于分析、得出结论
材料非线性
③创建属性（Property） 在创建属性时，需要 选择属性的类型（即 板、壳、梁等），然 后根据该车型参数， 输入各组件的厚度。
注：材料属性创建完成后， 需要将其赋与组件。
第二部分 材料非线性有限元方程
21
材料非线性
划分网格（2D>automesh）
网格的划分：size and bias:用户手动输入划分网格 所需的参数 batchmesh/QI optimize:批划分，根据 已有或重新定义的参数、标准文件，批 量划分网格
D’ B’
s
A
B *
D
O C
B’D’与 BD 形状相同
第一部分
材料本构关系
10
弹塑性材料本构
②随动强化模型
材料从塑性段的某点B(σ*)开始卸载，一旦降至2σs时，
B *
D
s
A
s
材料就开始反向屈服，以后按塑性加载段规律流动（沿
与AB段一样的硬化曲线A’B’流动，曲线AB与A’B’间 相 距始终为2σs）
网格划分完成后，需要对网格进行质量检查(qualityindex)
第二部分 材料非线性有限元方程
22
材料非线性
本构关系
关联流动法则
根据Drucker公设，塑性应变的方向与屈服面的 法线相同
{d
p
}
d
f
{
}
d 0
由
{d} {de}{d p}
{d} [D]{de}
得
{d} [D]({d}{d p}
由强化材料的加载条件 df = 0
f
{
}
T
{d
( )
1 3
(
x
y
z)
1 3
( x
y
z)
{s} 2 {e} 3
{} ([D] [Dp ]){}
或
{} ([Dep]){}
其中
1 2a
1
a
1 2a
1 a 1 a 1 2a
[Dep
(
)]
3(1
E
{
}
表示的是屈服面的外法线
d {σ}表示的是载荷的方向
f
{
}
dσ
T
df
f
{
}
{d }
表示了载荷的指向，为正时，指向外侧，为加载， 反之为卸载，沿切线为中性加载。
理想塑性材料
f ({}) 0
弹性状态
f ({}) 0
强化材料
{ df
z
)
2
3 3I2
s11
f
xy
2
3 3I2
2 xy 2
3 3I2
2s12
合并可记为
非线性粘弹流体的本构方程
第三章非线性粘弹流体的本构方程1．本构方程概念本构方程（constitutive equation），又称状态方程——描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程。
不同材料以不同本构方程表现其最基本的物性，对高分子材料流变学来讲，寻求能够正确描述高分子液体非线性粘弹响应规律的本构方程无疑为其最重要的中心任务，这也是建立高分子材料流变学理论的基础。
两种。
唯象性方法，一般不追求材料的微观结构，而是强调实验事实，现象性地推广流体力学、弹性力学、高分子物理学中关于线性粘弹性本构方程的研究结果，直接给出描写非线性粘弹流体应力、应变、应变率间的关系。
以本构方程中的参数，如粘度、模量、松弛时间等，表征材料的特性。
分子论方法，重在建立能够描述高分子材料大分子链流动的正确模型，研究微观结构对材料流动性的影响。
采用热力学和统计力学方法，将宏观流变性质与分子结构参数（如分子量，分子量分布，链段结构参数等）联系起来。
为此首先提出能够描述大分子链运动的正确模型是问题关键。
根据研究对象不同，象性方法和分子论方法虽然出发点不同，逻辑推理的思路不尽相同，而最终的结论却十分接近，表明这是一个正确的科学的研究基础。
目前关于高分子材料，特别浓厚体系本构方程的研究仍十分活跃。
同时，大量的实验积累着越来越多的数据，它们是检验本构方程优劣的最重要标志。
从形式上分，速率型本构方程，方程中包含应力张量或形变速率张量的时间微商，或同时包含这两个微商。
积分型本构方程，利用迭加原理，把应力表示成应变历史上的积分，或者用一系列松弛时间连续分布的模型的迭加来描述材料的非线性粘弹性。
积分又分为单重积分或多重积分。
判断一个本构方程的优劣主要考察：1）方程的立论是否科学合理，论据是否充分，结论是否简单明了。
2）一个好的理论，不仅能正确描写已知的实验事实，还应能预言至今未知，但可能发生的事实。
3）有承前启后的功能。
例如我们提出一个描写非线性粘弹流体的本构方程，当条件简化时，它应能还原为描写线性粘弹流体的本构关系。
混凝土结构三维非线性徐变效应分析方法
第50卷第3期中南大学学报(自然科学版) V ol.50No.3 2019年3月Journal of Central South University (Science and Technology)Mar. 2019 DOI: 10.11817/j.issn.1672-7207.2019.03.025混凝土结构三维非线性徐变效应分析方法李世伟，杨永清，陈远久(西南交通大学土木工程学院，四川成都，610031)摘要：为准确分析混凝土结构在不同应力水平和多向受力状态下的徐变效应，首先，通过徐变泊松比提出复杂应力状态下的徐变预测模型；然后，以混凝土塑性损伤本构模型为基础，提出一种新的考虑混凝土徐变三维特性的非线性徐变效应分析模型，建立相应的数值分析方法，并结合有限元分析软件ABAQUS二次开发计算程序；最后，通过徐变试验验证方法的可靠性。
研究结果表明：提出的分析模型计算方便，所得结果合理，能够适用于复杂应力状态下的线性及非线性徐变效应分析。
关键词：混凝土结构；三维徐变特性；非线性徐变；ABAQUS二次开发中图分类号：U448.21+8；TU311.41 文献标志码：A 文章编号：1672−7207(2019)03−0704−08 3D nonlinear creep analysis method for concrete structuresLI Shiwei, YANG Yongqing, CHEN Yuanjiu(School of Civil Engineering, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)Abstract: In order to exactly analyze creep effects of concrete structures at different stress levels and under multiaxial loadings, firstly, a prediction model of creep in complex stress states was proposed through creep Poisson’s ratio.Secondly, based on the concrete damage plasticity (CDP) model, a new nonlinear creep effect analysis model considering 3D characteristic was presented, and a corresponding numerical method was established and implemented into the ABAQUS secondary platform. Finally, the reliability of the method was shown by comparing the analytical results to the classical experimental results. The results show that the proposed analytical model is convenient to calculate and the obtained results are rational, and can be widely used in the analysis of linear or nonlinear creep effect in complex stress states.Key words: concrete structures; 3D characteristic of creep; nonlinear creep; secondary development by ABAQUS徐变是混凝土结构主要时变特性之一，对高铁大跨度桥梁结构行为有着重要影响。
ANSYS非线性分析：1-非线性分析概述
第一章钢筋混凝土结构非线性分析概述1.1 钢筋混凝土结构的特性1.钢筋混凝土结构由两种材料组成，两者的抗拉强度差异较大，在正常使用阶段，结构或构件就处在非线性工作阶段，用弹性分析方法分析的结构内力和变形无法反映结构的真实受力状况；2.混凝土的拉、压应力-应变关系具有较强的非线性特征；3.钢筋与混凝土间的黏结关系非常复杂，特别是在反复荷载作用下，钢筋与混凝土间会产生相对滑移，用弹性理论分析的结果不能反映实际情况；4.混凝土的变形与时间有关：徐变、收缩；5.应力-应变关系莸软化段：混凝土达到强度峰值后有应力下降段；6.产生裂缝以后成为各向异形体。
混凝土结构在荷载作用下的受力-变形过程十分复杂，是一个变化的非线性过程。
11.2 混凝土结构分析的目的和主要内容《混凝土结构设计规范》（GB50010-2002）中新增的主要内容：(1)混凝土的本构关系和多轴强度：给出了单轴受压、受拉非线性应力-应变（本构）关系，混凝土二轴强度包络图、三轴抗压强度图和三轴应力状态破坏准则；（2）结构分析：规范概括了用于混凝土结构分析的5类方法，列入了结构非线性分析方法。
一、结构分析的基本目的：计算在各类荷载作用下的结构效应——内力、位移、应力、应变根据设计的结构方案确定合理的计算简图，选择不利荷载组合，计算结构内力，以便进行截面配筋计算和采取构造措施。
二、结构分析的主要内容：（1）确定结构计算简图：考虑以下因素：(a)能代表实际结构的体形和尺寸；(b)边界条件和连接方式能反映结构的实际受力状态，并有可靠的构造措施；(c)材料性能符合结构的实际情况；(d)荷载的大小、位置及组合应与结构的实际受力吻合；(e)应考虑施工偏差、初始应力及变形位移状况对计算简图进行适当修正；(f)根据结构受力特点，可对计算简图作适当简化，但应有理论或试验依据，或有可靠的工程经验；(g)结构分析结果应满足工程设计的精度要求。
（2）结构作用效应分析：根据结构施工和使用阶段的多种工况，分别进行结构分析，确定最不利荷载效应组合。
非线性有限元9弹塑性本构关系ppt课件
单轴试验下材料的弹塑性性态 （1/3）
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
对塑性变形基本规律的认识来自于实验： • 从实验中找出在应力超出弹性极限后材料的特性; • 将这些特性进行归纳并提出合理的假设和简化模型，
确定应力超过弹性极限后材料的本构关系; • 建立塑性力学的基本方程; 1) 求解这些方程，得到不同塑性状态下物体内的应力和
应变。
• 塑性阶段：继续加载，材料可承受 更大应力，称为材料强化，并伴随 出现塑性应变。至A点以前卸载， 路径接近直线，即处于弹性卸载状 态，其斜率等于加载斜率E。
1) 破坏点：继续加载至可承受的最大 极限应力，试件出现颈缩而破坏，
称为强度极限。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
1913年：泰勒（Taylor）的实验证明，LevyMises本构关系是真实情况的一阶近似。
1924年：提出塑性全量理论，伊柳辛（Ilyushin） 等苏联学者用来解决大量实际问题。
1930年：罗伊斯（Reuss）在普朗特（Prandtle） 的启示下，提出包括弹性应变部分的三维塑性应力 -应变关系。至此，塑性增量理论初步建立。
（屈服点），描写多维问题的屈服条件就需要应力或应变空间的一个临界曲面，该
曲面称为屈服面。
考虑到塑性变形与静
水压力无关的特点
f1,2,3C
FJ2,J3C
至今已出现许多屈服理论。俞茂宏教授在这方面做出了重要贡献。 屈服函数：
是描写屈服条件的函数。不同屈服条件，其屈服函数不尽相同。
在日常生活中，随处都可以看到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
基本实验有两个： • 简单拉伸实验：实验表明，塑性力学研究的应力与应变
非线性本构理论及方程
非线性本构理论及方程非线性本构理论及方程是构成工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文将介绍非线性本构理论及其相关方程，包括非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
首先，介绍非线性本构模型。
非线性本构模型是描述材料性质的基本概念，它涉及材料物理本质，模型可以用来研究材料在加载过程中的全局响应，以及材料力学和结构力学性质。
常见的非线性本构模型有弹性-塑性模型、扭转模型、粘弹性模型等。
其次，介绍非线性本构方程。
非线性本构方程是描述材料性质的基本方程，它涉及材料物理本质，可以用来研究材料在加载过程中响应的性质和行为规律。
常见的非线性本构方程有Jaumann函数、等因式能量函数、Rice-Salamon函数等。
再次，介绍压缩圆柱模型。
压缩圆柱模型是用来描述材料性质的一种模型，它是一种压缩材料的流变特性模型，可以用来描述材料在压缩方向的性质，同时也可以用来分析材料的非线性行为。
压缩圆柱模型的一般形式为：σ=K_0*[1+e~(-K~2*ε)]^(-n)其中，K_0是已知的参数，e~(-K~2*ε)是可以计算的，n是未知的参数，σ是应力，ε是压缩应变。
最后，介绍等因式能量函数。
等因式能量函数是用来描述材料性质的常用方程，它是建立材料屈服条件的重要函数，可以用来表征材料在上下线性段之间的行为规律。
等因式能量函数的一般形式为：W=K_1ε^2*(1+K_2ε^n)其中，K_1、K_2和n是未知参数，W是能量，ε是应变。
综上所述，非线性本构理论及其相关方程是工程力学和材料科学的重要组成部分，它反映了物质的力学特性，是了解材料的自然行为的关键概念。
本文介绍了非线性本构模型、非线性本构方程、压缩圆柱模型、等因式能量函数等。
将本构理论和方程应用到工程设计中，将有助于更好地使用材料以解决工程问题。
非线性弹性材料的三阶本构方程
单 个 应 变 张 量 为 变 量 的张 量 值 函数 ， 含 有 高 阶 弹 性 张 量 的 张 量 多项 式来 表 示 ． 用 用 利
各 种 对 称 性 来 简 化 这 些 表 达 式 ， 后 得 到 了各 向 同性 情 况 下 的 本 构 方 程 和 应 变 能 函 最
数 ． 到 的 表 达 式是 完备 和 不 可 约 的 ， 足 张 量 函数 的表 示 定 理 ． 得 满
（ ｌ — Ｈｌ２ ／ Ｈｌｌ ｌ ｌ ）６；Ｈｌ６ Ｈｌ ＝ （ ｌ 一 Ｈｌ３ ／ ｌ ２ ＝ ６ Ⅲ Ｈｌ３ ｌ ｌ ） ２
４ ＝ （Ｈｌ２ 一 Ｈｌ３ ／ ｌ ｌ ｌ ）４； Ｈｌ ＝ Ｈｌ２ Ｈｌ３＝ ２ ｌ ＂ ｌ； ２ ２ ３
其 中 ， 为 不 可 压 条 件 引 入 的 Ｌ ｇａ ｇ Ｐ ａｒｎ ｅ乘 子 ， 又称
用 的 有 效 性 受 到 影 响 ． 文 把 应 力 作 为 应 变 张 量 本
的 张 量 多 项 式 ， 应 变 能 函数 的 合 理 形 式 作 数 Ｊ对
学推导 ．
它 们 之 间 无 序 ． 面 推 导 中独 立 分 量 的个 数 ． 下
对 于 各 向异 性 材 料 ， 虑 应 力 、 变 的对 称 关 考 应 系 ， 立 分 量个 数 为 独
或 ３的分 量 必 须 为 零 ， 以 独 立 分 量 的 个 数 减 至 所
４ ２个 ．
对 于 横 观 各 向 同 性 材 料 材 料 ， 立 分 量 的 个 独 Ｅ ＠ Ｅ ｏ ： Ｄ ： ＋ Ｅ Ｅ
Ｂ：Ｅ ｏ ＋ ： Ｅ 对 于 不 可 压 材 料 有 ｓ Ｅ ＋ ～ ： ｐ ｌ＋ ｏ ： ＋ Ｅ ： Ｅ ｏ ： ：： ＠ Ｅ ：Ｅｏ Ｅ （） １
ANSYS-1-非线性分析概述
第一章钢筋混凝土结构非线性分析概述1.1 钢筋混凝土结构的特性1.钢筋混凝土结构由两种材料组成，两者的抗拉强度差异较大，在正常使用阶段，结构或构件就处在非线性工作阶段，用弹性分析方法分析的结构内力和变形无法反映结构的真实受力状况；2.混凝土的拉、压应力-应变关系具有较强的非线性特征；3.钢筋与混凝土间的黏结关系非常复杂，特别是在反复荷载作用下，钢筋与混凝土间会产生相对滑移，用弹性理论分析的结果不能反映实际情况；4.混凝土的变形与时间有关：徐变、收缩；5.应力-应变关系莸软化段：混凝土达到强度峰值后有应力下降段；6.产生裂缝以后成为各向异形体。
混凝土结构在荷载作用下的受力-变形过程十分复杂，是一个变化的非线性过程。
1.2 混凝土结构分析的目的和主要内容《混凝土结构设计规范》（GB50010-2002）中新增的主要内容：(1)混凝土的本构关系和多轴强度：给出了单轴受压、受拉非线性应力-应变（本构）关系，混凝土二轴强度包络图、三轴抗压强度图和三轴应力状态破坏准则；（2）结构分析：规范概括了用于混凝土结构分析的5类方法，列入了结构非线性分析方法。
一、结构分析的基本目的：计算在各类荷载作用下的结构效应——内力、位移、应力、应变根据设计的结构方案确定合理的计算简图，选择不利荷载组合，计算结构内力，以便进行截面配筋计算和采取构造措施。
二、结构分析的主要内容：（1）确定结构计算简图：考虑以下因素：(a)能代表实际结构的体形和尺寸；(b)边界条件和连接方式能反映结构的实际受力状态，并有可靠的构造措施；(c)材料性能符合结构的实际情况；(d)荷载的大小、位置及组合应与结构的实际受力吻合；(e)应考虑施工偏差、初始应力及变形位移状况对计算简图进行适当修正；(f)根据结构受力特点，可对计算简图作适当简化，但应有理论或试验依据，或有可靠的工程经验；(g)结构分析结果应满足工程设计的精度要求。
（2）结构作用效应分析：根据结构施工和使用阶段的多种工况，分别进行结构分析，确定最不利荷载效应组合。
非线性弹性力学
1940年M.穆尼通过大量实验，提出某些类型的橡皮的弹性势函数表达式，从而把非线性弹性理论中难题之一 的弹性势函数的形式问题向前推进了一步，并证实橡皮是几乎不可压缩的材料，使它有了进一步和发展。
1948年R.S.里夫林在任意形式的贮能函数下，得到不可压缩弹性体的几个简单而重要问题的精确解。将它们 应用于橡胶制品，即使橡胶的伸长为原长的两三倍，精度仍能达到百分之几。在这一成就的鼓舞下，学者们重新 开始探讨有限变形弹性理论，并导致了整个的蓬勃发展。此后，非线性弹性理论就成为理性力学的重要组成部分。 1952年起C.特鲁斯德尔、W.诺尔、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.爱林根以及美籍华人王钊诚在 非线性弹性力学方面作出较大贡献，中国的郭仲衡于1962～1963年连续发表了多篇论文。1972年奥登等人在用有 限元法进行数值解方面做了大量有成效的工作，从而使得非线性弹性力学在工程实际中得到较广泛的应用。但是 非线性弹性力学无论在理论方面、精确解方面还是数值近似解方面都比线性弹性力学难度大，所以至今远不如线 性弹性力学成熟，有许多问题尚需进一步探讨。非线性弹性力学的基本概念和方程比较复杂，在分析中大多采用 张量这一数学工具。
变形描述
变形描述在讨论非线性弹性力学问题时，取初始时刻物体在三维空间中所占的区域为参考构形（见）现时构形，在其上取笛卡儿坐标。
由方程 对于有单值逆变换的情形，存在 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 其中u是该物质点的位移矢量,它在和中的坐标分别记为和。 必须区分使用和坐标，这是非线性弹性力学区别于线性弹性力学的基本特征之一。 描述物体变形的量有变形梯度，在中，其定义为： 其中为克罗内克符号；为位移分量的偏导数，即变形梯度既包含纯变形又包含刚性转动，为把纯变形从其中 分解出来，须采用极分解定理，相应于左分解和右分解分别得到左柯西-格林应变(又称芬格应变)和右柯西-格林 应变(又称格林变)。而在中有逆应变(称为皮奥拉应变)和(称为柯西应变)。
1948年R.S.里夫林在任意形式的贮能函数下，得到不可压缩弹性体的几个简单而重要问题的精确解。将它们 应用于橡胶制品，即使橡胶的伸长为原长的两三倍，精度仍能达到百分之几。在这一成就的鼓舞下，学者们重新 开始探讨有限变形弹性理论，并导致了整个的蓬勃发展。此后，非线性弹性理论就成为理性力学的重要组成部分。 1952年起C.特鲁斯德尔、W.诺尔、B.D.科勒曼、J.L.埃里克森、M.E.格廷、A.C.爱林根以及美籍华人王钊诚在 非线性弹性力学方面作出较大贡献，中国的郭仲衡于1962～1963年连续发表了多篇论文。1972年奥登等人在用有 限元法进行数值解方面做了大量有成效的工作，从而使得非线性弹性力学在工程实际中得到较广泛的应用。但是 非线性弹性力学无论在理论方面、精确解方面还是数值近似解方面都比线性弹性力学难度大，所以至今远不如线 性弹性力学成熟，有许多问题尚需进一步探讨。非线性弹性力学的基本概念和方程比较复杂，在分析中大多采用 张量这一数学工具。
变形描述
变形描述在讨论非线性弹性力学问题时，取初始时刻物体在三维空间中所占的区域为参考构形（见）现时构形，在其上取笛卡儿坐标。
由方程 对于有单值逆变换的情形，存在 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 在时刻物质点的位置矢量为X，在运动过程中，该点在时刻的位置矢量为，则 其中u是该物质点的位移矢量,它在和中的坐标分别记为和。 必须区分使用和坐标，这是非线性弹性力学区别于线性弹性力学的基本特征之一。 描述物体变形的量有变形梯度，在中，其定义为： 其中为克罗内克符号；为位移分量的偏导数，即变形梯度既包含纯变形又包含刚性转动，为把纯变形从其中 分解出来，须采用极分解定理，相应于左分解和右分解分别得到左柯西-格林应变(又称芬格应变)和右柯西-格林 应变(又称格林变)。而在中有逆应变(称为皮奥拉应变)和(称为柯西应变)。
混凝土的几种本构模型
武汉理工大学弹塑性理论学习论文混凝土的本构模型研究学院（系）：土木工程与建筑学院专业班级：土木研1005班学生姓名：梁庆学指导教师：张光辉混凝土的本构模型研究梁庆学（武汉理工大学土木工程与建筑学院，武汉 430070）摘要：在《弹塑性理论》这门课程中，我们学习了应力理论、应变理论和本构关系的一些相关知识。
虽然只有短短的几个月的时间，但这对于引导我们自学和探讨是非常有帮助的。
我在学完本构关系相关知识后，自己阅读相关的专业书籍和查阅了相关的科技论文文献,对混凝土的本构模型有了一些初步的了解，也对其产生了比较浓厚的兴趣，本文主要依据弹塑性理论对混凝土的本构模型最了一些简单的阐述总结。
关键词：本构关系；本构模型；线弹性模型；非线弹性模型；塑性理论模型The Study of ConstitutiveModel of ConcreteQing-xue Liang(Civil Engineering and Architecture School Wuhan University of Technology, Wuhan 430070)Abstract: In the course of “elastic-plastic theory”, we have learned some knowledge about stress theory, strain theory and constitutive relation. Although only several months’study, it’s helpful to lead us self-study and discussion. After learning the knowledge about constitutive relation, I have read some relevant professional books and reviewed some scientific papers related constitutive relation. I have got some preliminary understanding about the constitutive model of concrete, and I’m interested to it too. In this paper, I give some simple summary to the constitutive model of concrete based on the elastic-plastic theory.Key words:Constitutive relation; Constitutive model; Linear-elastic model; Non-linear-elastic model; Plastic theory model1 绪论混凝土是一种在工程结构中应用及其广泛的材料，在相当长时间内是依靠经验公式进行设计与分析的, 近几十年来, 随着电子计算机的普及,混凝土非线性有限元分析得到了很大的发展, 有关混凝土的本构关系得到了广泛而深入的研究。
非线弹性模型
非线性弹性力学主要通过以下两个基本模型建立本构方程：①弹性体理想模型。
该模型假设：存在各处应力为零的自然状态,初始构形就取在自然状态上,材料行为只与相对于自然状态的现时变形状态有关。
可以通过两种途径来建立相应的本构方程。
一种是格林方法，即从势能函数出发来得到弹性体的本构方程。
弹性势是任何一个应变均可作为自变量的标量函数。
具有弹性势的弹性体称为超弹性体或格林意义下的弹性体。
另一种是柯西方法，从弹性体的特性即“一定的应力状态对应于一定的应变状态”出发，直接假设应力－应变函数关系，再通过实验确定其中系数。
直接由这种应力－应变函数关系描述的物体叫柯西意义下的弹性体，或直接叫作弹性体。
各向同性超弹性体一定是各向同性弹性体，但弹性体只有当其应力- 应变关系中的系数满足一定的关系时才是超弹性体，才具有相应的弹性势。
在这个意义上说来，柯西弹性体是一个比超弹性体更为广泛的概念。
②低弹性体模型。
1955年特鲁斯德尔从时间变化率出发，为体现简单变率理论的理想模型而引出低弹性的概念。
应力的本构导数是变形速率的线性齐次函数的物体叫作低弹性体。
诺尔证明应力关系可逆的各向同性弹性体是低弹性体。
各向异性弹性体不是低弹性体。
小应变低弹性体是弹性体。
弹性体、超弹性体都假设存在一个自然状态，而低弹性体完全不需要这个假设。
低弹性理论和有限弹性应变经典理论体现不同的弹性概念，其中任何一个不能包括另一个。
在几何线性、物理线性和存在自然状态的前提下，低弹性、弹性、超弹性三者等价。
其他问题非线性弹性力学中的各变分原理都可从虚功原理统一导出，方法和步骤同线性弹性力学中的相同。
非线性弹性力学的应力、应变形式多种多样，对应的变分原理的形式也比线性弹性力学中多。
在非线性弹性理论中，是否存在线性理论中那种应力场是唯一独立变量的余能原理，是一个近年来引起广泛兴趣的问题。
平衡方程中应力与位移的耦合，使这一问题至今尚未彻底解决，甚至问题的这种提法是否恰当也有待研究。
简析混凝土非线性分析中的本构关系
接给定。 １ ４ １ 以粘 弹一 塑性理论为基础 的模 型 ． ．
其 中， 溉 为材料弹性 常数 ， 四阶张量 ， ｃ， 为 共有 ８ 个 常数 。 １
１２ 非线 弹性类 本构模 型 ．
非线 弹性类本 构模 型是根据混凝土多轴试验数据进行 总结 、
由于混凝土有蠕变性 能 ， 因而有些 学者采用粘弹性 和粘塑性 归纳 ， 过 回归分 析而得 出的模 型。 因为 这类模型形 式简单 ． 经 使 的理论来建 立混凝 土 的本构关 系模 型。这种 模型 的实现 需建立 用方便 ， 而且经过实 验证 明是 有足 够精度 的 ， 以这类 模 型是 在 所 三种 基本 力学元 件 ， 即理想弹性元件 （ 弹簧 ）理 想塑性元件 （ ， 具有 实际工程 中应用最广 泛的模 型。非线 弹性模 型属于经 验形 的模 摩擦阻力 的两个滑块 ） 和粘 性元 件 （ 阻尼 器 ）然 后将这 三种元 件 ， 型， 适用于混凝土单调加 载 和混凝 土受压 区非线性 变形 等情 况 。 进行适 当组合 即成 为不 同的本 构模 型。当将 弹性 元件 和塑性 元 所 以， 这种模型 的参数是 以实验数据为 依据 的。其特 点是 应力应 件 串联 ， 便构成理想 弹塑性本 构模型 ； 当将 两者并联 ， 则成 为刚性 变不成正 比， 有一一对应关 系 ， 但仍 卸载 时延加载路 径返 回， 有 没 强化本构模型 ； 当两者并 联后 再 串联 一个 弹性元 件 ， 便成为 弹
维普资讯
・
１１ ・ ４
第３ ３卷 第 １ ０期 ２０ ０ ７年 ４ 月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣｒ ＵＲＩ
Ｖｏ． ３ Ｎｏ １ １３ ． ０ Ａｐ ． ２ ０ ｒ ０７
文章 编号 ：０ ）００ １—２
其 中， 溉 为材料弹性 常数 ， 四阶张量 ， ｃ， 为 共有 ８ 个 常数 。 １
１２ 非线 弹性类 本构模 型 ．
非线 弹性类本 构模 型是根据混凝土多轴试验数据进行 总结 、
由于混凝土有蠕变性 能 ， 因而有些 学者采用粘弹性 和粘塑性 归纳 ， 过 回归分 析而得 出的模 型。 因为 这类模型形 式简单 ． 经 使 的理论来建 立混凝 土 的本构关 系模 型。这种 模型 的实现 需建立 用方便 ， 而且经过实 验证 明是 有足 够精度 的 ， 以这类 模 型是 在 所 三种 基本 力学元 件 ， 即理想弹性元件 （ 弹簧 ）理 想塑性元件 （ ， 具有 实际工程 中应用最广 泛的模 型。非线 弹性模 型属于经 验形 的模 摩擦阻力 的两个滑块 ） 和粘 性元 件 （ 阻尼 器 ）然 后将这 三种元 件 ， 型， 适用于混凝土单调加 载 和混凝 土受压 区非线性 变形 等情 况 。 进行适 当组合 即成 为不 同的本 构模 型。当将 弹性 元件 和塑性 元 所 以， 这种模型 的参数是 以实验数据为 依据 的。其特 点是 应力应 件 串联 ， 便构成理想 弹塑性本 构模型 ； 当将 两者并联 ， 则成 为刚性 变不成正 比， 有一一对应关 系 ， 但仍 卸载 时延加载路 径返 回， 有 没 强化本构模型 ； 当两者并 联后 再 串联 一个 弹性元 件 ， 便成为 弹
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１１ ・ ４
第３ ３卷 第 １ ０期 ２０ ０ ７年 ４ 月
山 西 建 筑
Ｓ ＨＡＮＸＩ ＡＲＣＨＩ ＴＥＣｒ ＵＲＩ
Ｖｏ． ３ Ｎｏ １ １３ ． ０ Ａｐ ． ２ ０ ｒ ０７
文章 编号 ：０ ）００ １—２
非线性本构关系简介
式中k和n为拟合的实验参数，E为初始弹性模 量。一般情况下本构关系可表为
在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增 量形本构关系。
2023/12/28
1.2.1 全量形式本构关系 全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相
同，也即
式中 为割线弹性张量，形式上它仍可表为
但其中的弹性系数Gs,μs不再是常数，它们是应 变或应力的函数，分别称为割线弹性系数。可 将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的 割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。
2023/12/28
从屈服面方程可得 由此可得
现取硬化参数k为塑性体应变θp的函数，则设 则可得
如果
2023/12/28
对软化速度的限制为 如果引入如下记号
并记 则塑性矩阵和弹塑性矩阵可写作
上述模型，在模拟岩土和混凝土等材料的弹 塑性性质时得到广泛的应用。
2.1 应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如 下图示意
强度极限
强化段
屈服上限 屈服下限 弹性极限
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
2023/12/28
卸载、反向加载 包辛格效应
反向屈服点
2023/12/28
由单向拉伸曲线可见，弹塑性材料受外部作 用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关 性或路径相关性），因此本构关系应写成增量 关系。又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的 规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性 情况复杂。
2023/12/28
3）流动准则
在塑性力学中，认为材料进入塑性后存在一
个势函数（简称塑性势）
。塑性
应变增量可由势函数给出：
流动准则又可分为正交（相关）流动准则和
在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增 量形本构关系。
2023/12/28
1.2.1 全量形式本构关系 全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相
同，也即
式中 为割线弹性张量，形式上它仍可表为
但其中的弹性系数Gs,μs不再是常数，它们是应 变或应力的函数，分别称为割线弹性系数。可 将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的 割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。
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从屈服面方程可得 由此可得
现取硬化参数k为塑性体应变θp的函数，则设 则可得
如果
2023/12/28
对软化速度的限制为 如果引入如下记号
并记 则塑性矩阵和弹塑性矩阵可写作
上述模型，在模拟岩土和混凝土等材料的弹 塑性性质时得到广泛的应用。
2.1 应力空间表述的弹塑性本构关系
韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如 下图示意
强度极限
强化段
屈服上限 屈服下限 弹性极限
软化段 卸载
残余变形
弹性变形
2023/12/28
卸载、反向加载 包辛格效应
反向屈服点
2023/12/28
由单向拉伸曲线可见，弹塑性材料受外部作 用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关 性或路径相关性），因此本构关系应写成增量 关系。又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的 规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性 情况复杂。
2023/12/28
3）流动准则
在塑性力学中，认为材料进入塑性后存在一
个势函数（简称塑性势）
。塑性
应变增量可由势函数给出：
流动准则又可分为正交（相关）流动准则和
PMI泡沫夹层结构的材料非线性分析
数据 ， 利用 ＭＳ Ｃ ． Ｎ ａ ｓ ｔ ｒ ａ ｎ ６ ０ ０解 算 器 中提 供 的二 次 开 发程序 接 口， 定 义 了该 泡沫 的本构 关 系 ， 并 建立 了这
种 材料 的非 线性 有 限元 计算 模型 。通过 对 铝 面板 泡 沫芯夹 层结 构 的实 例 分 析 和 实验 结 果 进 行 对 比， 论 证 了该 泡 沫材料 非线性 有 限元模 型 的正确 性 。
性， 因此 需要 对泡 沫材料 进行 非线 性分 析 ， 从 而更准 确 地判 断 泡 沫 夹 层 结 构 在 应 用 中所 体 现 的力 学 性 能 。本 文根 据文 献所 给型号 的泡 沫材料 力学 性 能
些经 典 的非 线 性 材料 本 构 模 型 ， 主要 有 非 线 性 弹 性 本构 模型 和弹 塑性本 构模 型等 ¨ 。 非线性 弹性模 型反 映 了材料 变形 与加 载 历 史无 关 的特点 ， 卸载 时材 料 变形 沿 原 路 返 回。 而 弹塑 性 模 型则考 虑 了材料 屈 服 后 呈 现 的非 线 性 性 质 ， 它 的 应力 应 变 关 系 与 加 载 历 史 有 关 。 已 有 研 究 表 明 ， Ｐ ＭＩ 泡沫 材料 在小变 形 时就 出现 了非 线性 弹性 变形
对湿 热环 境敏 感 ， 易 受损 伤 。例 如 常 用 的 Ｎ ｏ ｍｅ ｘ蜂 窝 夹层结 构 ， 由于其 夹 层 与 面板 之 间的 界 面 没有 增
强体， 因此 ， 对 分 层非 常敏 感 ， 在 恶 劣 的 使 用 条件 下 常 常成 为分层 危 险部 位 。结 构 分层 后 ， 极 易 力 学 行 为 分 析
聚 甲基 丙烯 酰亚胺 （ Ｐ ＭＩ ） 是 一种 用 于 轻质 夹 层 结 构 的闭孔 刚性 发 泡材 料 。它 是 一种 １ ０ ０ ％ 闭孑 Ｌ 泡
土的本构关系研究现状与发展方向
土的本构关系研究现状与发展方向作者：吴玺杨觅来源：《武汉科技报·科教论坛》2013年第10期【摘要】本文介绍了土的本构关系的研究历程，概述了土的本构关系的研究现状和目前常见的理论模型，讨论了经典模型的建立依据和适用条件，分析了各模型的优缺点，并对土的本构模型的研究方向进行了评述。
【关键词】土力学；土的本构模型；现状；发展方向一、土的本构关系的概述土体是在漫长的地质历史中形成的。
土是一种复杂的多孔材料，在受到外界荷载作用后，其变形具有以下特性：1.土体的变形具有明显的非线性，如：土体的压缩试验e-p曲线、三轴剪切试验的应力应变关系曲线、现场承载板试验所得p-s曲线等；2.土体在剪切应力作用下会产生塑性应变，同时球应力也引起塑性应变；3.土体尤其是软粘土，具有十分明显的流变特性；4.由于土体的构造或沉积等原因，使土具有各向异性；5.紧砂、超固结粘土等在受剪后都表现出应变软化的特性；6.土体的变形与应力路径有关，证明不同的加载路径会出现较大的差别；7.剪胀性等。
为了更好地描述土体的真实力学变形特性，建立其应力、应变和时间的关系，在各种试验和工程实践经验的基础上提出一种数学模型，即：土体的本构关系。
二、常见的土的本构模型（一）线弹性本构关系线性弹性模型是假设土的应力与应变成正比，强度是无限的。
线性弹性模型对计算地基中的垂直应力分布是很有用的，得到的结果比较符合实际，但是计算地基的位移和沉降，该模型只适用于不排水加荷的情况，并且对破坏要有较大的安全系数，不能发生屈服。
土的线弹性模型简单，但适用范围有限。
（二）非线性弹性本构关系土的非线弹性模型理论可以分为三类：弹性模型、超弹性（Hyper Elastic）模型（又称Green超弹性模型）和次弹性（ Hypo Elastic）模型。
其中影响最大、最具有代表性的主要是邓肯一张（ Duncan- Chang）（即D-C）模型。
这类模型理论基础有局限性，不能反映不同应力路径的影响，不能反映土的剪胀性等。
媒质的三个本构关系方程
媒质的三个本构关系方程媒质的三个本构关系方程，听起来有点高大上，但其实就是在说，物质是怎么反应的，怎么表现的。
想象一下，水就像一个调皮的小孩，受到压力时它会怎么“撒娇”，有时候流动得像个风筝，有时候又安静得像个湖。
这就是媒质的魅力，真是让人忍不住想深入探讨啊！本构关系方程其实就像是物质的性格说明书，告诉我们它在不同情况下的脾气。
你压它一下，它可能会变形；你拉它一下，它又可能会回弹。
就像我们身边的人一样，有些人被逼急了就会发飙，有些人则是温和得像春风。
咱们聊聊第一种本构关系，叫做线性弹性。
这个名字听起来很严肃，其实就是在说物质在受力的时候表现得像个乖宝宝。
你给它施加力量，它就会以一个相对固定的比例变形。
比如说，橡皮筋，拉一下，它会变长，再松开，它又会回到原来的样子。
简单来说，就是它的反应是可预测的，像一位负责任的朋友，总是知道你需要什么。
不过，话说回来，如果你拉得太狠，超过了它的“承受能力”，那就没办法了，橡皮筋就会被撕裂，变成两段。
唉，生活中有多少这样的故事呀，一不小心就踩了雷。
再说第二种关系，非线性弹性。
这可就有趣了，它的性格有点复杂，就像人间的情感一样，时而温柔，时而倔强。
你给它施加力量，它可能不会按照你预想的方式反应。
有点像吃辣椒，前面可能没感觉，突然一阵火辣，让你瞬间感受到辣味的威力。
常见的例子有某些泡沫材料，刚开始你压一下，它很乖，压得越多，它反弹也越来越多，直到有一天，你发现它再也不乖了，变得像个坏小孩，任性得让人哭笑不得。
每次想跟它较劲，都不知道它会出什么花样，真是让人又爱又恨。
咱们得提提塑性。
这个东西最有意思，它可是个“社会型”的媒质，受到外力后会有永久变形。
想象一下，捏一个橡皮泥，你捏它，捏得越用力，它就越听话，最后你一松手，它就停在那儿，纹丝不动。
就像生活中的很多事情，受了伤的心灵，有些人就像橡皮泥一样，经历了风雨之后，依然保持着那份坚定的态度。
虽然没有恢复到最初的状态，但他们学会了在逆境中找到新的自我。
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G
K
=
E 3(1 − 2ν )
G
=
E 2(1 +ν
)
E
=
9KG 2K + G
ν
=
3K − 2G 2(3K + G)
清华大学研究生课程——《钢筋混凝土有限元》
非线性弹性模型的基本思路
! 将三维应力/应变归一化，寻找合适的应 力/应变水平指标，以该指标为基础建立 本构模型 ! Ottosen, 江见鲸模型，过镇海模型
π π
) )
+
I1 3
=
cos(31.030) 5.288cos(31.030 −1200 ) − 8
cos(31.030 + 1200 )
=
− 3.466
−
7.905
−12.630
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Gs G0
=
pq −γ oct / v
+ sγ oct
+t
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二维非线性指标
β = σ 2 = σ1 = OP σ 2 f σ1 f OF
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Ottosen模型
! 破坏准则 ! 非线性指标 ! 等效应力应变关系
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! 引入调整系数k
β
=
σ3 σ3f
k
0≤k ≤1
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等效一维应力应变关系
! 采用Sargin表达式
σ
=
k3
fc
1
A
ε ε0
+
(D
+
(
A
−
2)
ε ε0
−1)
ε ε0
2
+
D
ε ε0
2
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割线模量计算式
β=σ fc
Es
=
σ ε
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全量模型
! K－G模型 ! 分别建立K和G随应力/应变的变化关系
! E－υ模型
! 分别建立E和υ随应力/应变的变化关系
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非线性指标(Nonlinear Index)
β= σ
σ
fc
fc
! β = 1 处于破坏状态
ε
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β
1 +
(A
−
2)
ε ε0
+
D
ε ε0
2
=
A
ε ε0
+
(D
−
1)
ε ε0
2
ε = σ / fc = β Ec
ε0 Es Ec
Es
Es
=
1 2
E0
−
β
(
1 2
E0
−
Ec )
±
1 2
E0
−
β
(
1 2
E0
−
E
f
)
2
+
βEc2
[D(1−
β
)
−1]
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割线泊松比计算
ε
yz
ε zx
[σ ] = [D][ε ]
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混凝土三维本构模型的核心
! 混凝土的应力应变关系，主要是建立在 一维情况下
! 寻找合适的指标，将一维的应力应变关 系拓展到三维
! 非线性指标：
! 非线性弹性本构 β
! 弹塑性本构
ε pl
! 损伤力学本构 D
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非线性弹性模型的分类
! 全量形式模型 ! 采用割线模量 ! 简单 ! 难以模拟加卸载
{t+∆tσ }= [Ds ]{t+∆tε}= [Ds ]({tε}+ {dε})
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弹性本构矩阵－E υ形式
1
De = (1 +ν )(1− 2ν )×
J 3 = S11S22 S33 + 2S12S23S31 − S11S232 − S22S312 − S33S122 = −2
r = cos 3θ
4J2 3
= 5.292
=
4J3 r3
= 31.03o
J2 = 5.292
σ σ
1 2
=
2
σ 3
J2 3
ccooss((cθθos+−θ3232
(1 −ν )E0 νE0
(1 −ν )t E0
sym
νE0
νE0
(1−ν )E00 0Biblioteka 00.5(1− 2ν )E0
0 0 0 0
0.5(1− 2ν )E0
0
0
0
0
0
0.5(1
−
2ν
)E0
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各种本构模型的本质差别
! 非线性弹性模型：主要（完全）依赖对 试验数据的拟合和人为假设
! 在主应力空间里分别建立主应力－主应 变的关系，然后用经验/假设方法确定本 构矩阵的非对角项 ! ADINA, Darwin
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空间应力应变关系
σ ij = ε Cijkl kl
σ x
σ
y
[σ
]
=
τσxzy
τ
yz
τ zx
εx
ε
y
[ε
]
=
εεxzy
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非线性弹性三维本构关系
江见鲸 陆新征 清华大学土木工程系
2004
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弹性本构矩阵－K G形式
K
+
4 3
G
D=
K
−
2 3
G
K
+
4 3
G
sym
K
−
2 3
G
K
−
2 3
G
K
+
4 3
G
0 0 0 G
0
0
0 0 G
0
0
0
0
0
三维非线性指标： J2 法
! 保持I1, θ不变，改变J2 直至与破坏面相交得到 交点(I1, J2f, θ)
β = J2 J2 f
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Cedolin 模型
σ oct = 3K sε oct τ oct = 3Gsγ oct
K s = ab −εoct / c + d K0
! 弹塑性模型：用塑性力学解释非线性指 标，控制其发展变化
! 损伤模型：用损伤力学解释非线性指标， 控制其发展变化
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非线性弹性模型的分类
! 增量形式模型 ! 采用切线模量 ! 稍复杂 ! 可以模拟加卸载
{ } { } σ t+∆t = tσ + {dσ } = {tσ }+ [Dt ]{dε}
νs =ν0
if β < βa
( ) ν s = ν f − ν f −ν 0
1
−
β 1
− βa − βa
2
if β ≥ βa
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求主应力
I1 = −6 − 6 −12 = −24 [s] = [2 2 − 4 2 2 1]T
σm
=
− 24 3
=
−8
J 2 = −S11S22 − S22S33 − S11S33 + S122 + S232 + S312 = 21
三维非线性指标：Ottosen法
! 保持σ1, σ2不变，改变σ3 直至与破坏面相交得到 交点(σ1, σ2, σ3f) β = σ3 σ3f
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三维非线性指标：比例增大法
! 比例增大(σ1, σ2, σ3)，直至与破坏面相 交得到交点(σ1f, σ2f, σ3f)