自考04184线性代数(经管类)讲义

2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试04184 线性代数（经管类）试卷一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 2 分，共 10 分）在每小题列出地四个备选项中只有一个选项为符合题目要求地， 地括号内；错选、多选或未选均无分； 请将其代码填写在题后a 1 a 2b 1b 2a 1 a 2 2b 1 2b 2 3a 13a 2， D 2 =，则 D 2=1、设行列式 【 】D 1=A.-D 1B.D 1C.2D 1D.3D 11 2 0 1 x 12 4 0 2 2 y， B =，且 2A=B ，则 【 】2、若 A=A.x=1 ， y=2 C.x=1 ， y=1B.x=2 ， y=1 D.x=2 ， y=2A 等价地为3、已知 A 为 3 阶可逆矩阵，则下列矩阵中与【】1 A. 0 0 0 0 0 01 0 0 0 1 0 00 1 C. 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 1 0 01B. D. 4、设 2 阶实对称矩阵 A 地全部特征值味 1， -1， -1，则齐次线性方程组（ E+A ）x=0 地基础解系所含解向量地个数为 【】A.0B.1C.2D.33 11 3有一个特征值为【】5、矩阵A.-3二、填空题（本大题共B.-2 10 小题，每小题C.12 分，共 D.220 分）请在每小题地空格中填上正确答案；错填、不填均无分； 1A 为 3 阶矩阵，且A =3，则 3A =6、设 .2 3 1 5A * =，则7、设 A=.1 2 0 11 1 1 1， B=，若矩阵 X 满足 AX =B ，则 X= .8、已知 A=1 2T ，T线性相关，则数 k=.9、若向量组(1， 2， 1) (k-1 ， 4， 2) 12x 12x 1 3x 12 x 2 x 2 x 2ax 3 x 3 x 30 0a = 有非零解，则数 .10、若齐次线性方程组T ，T，则内积（1,11、设向量(1， -2， 2) (2， 0， -1) 2 ）= .12 V ={x=(x 1，x 2， 0)T|x 1， x 2 R } 地维数为12、向量空间 13、与向量（1 .1， 0，1） T 与（1， 1， 0） T 均正交地一个单位向量为 .2 3地两个特征值之积为 .14、矩阵2 22 2 2x1ax2a x32 x 1 x 2 正定，则数 a 地取值范围为15、若实二次型 f(x1 ， x 2，x3)= .7 小题，每小题 三、计算题（本大题共9 分，共 63 分）2 1 1 1 13 1 1 1 14 1 11 1 5地值 .16、计算行列式 D=1 21*A( 2A)2A 地值 .17、设 2 阶矩阵 A 地行列式，求行列式0 1 111111251，B= ，矩阵X 满足X =AX +B，求0X.18、设矩阵 A =3T T T T(1,2,1) , (2,5,1) , (1,3, 6) , (3, 1,10)19、求向量组地秩与一个极1234大线性无关组，并将向量组中地其余向量由该极大线性无关组线性表出.22x 1 x 1 x 1 ax 2bx 2cx 2 a x 3 b x 3c x 33a 223b ，其中 a, b, c 两两互不相同 . 20、利用克拉默法则解线性方程组2 23c1 a 1 a 3 1 11 10 0 0 0 1 0 00 b相似，求数 a, b 地值. 21、已知矩阵 AB 与 f ( x 1 , x 2 ) 5x 1 5x 2 4 x 1x 2 为标准型， 22、用正交变换化二次型并写出所作地正交变换 .四、证明题（本题 7 分）23、设 A ， B 均为 n 阶矩阵，且 A=B+E ，B 2=B ，证明 A 可逆 .2015 年 4 月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数（经管类）试题答案及评分参考（课程代码 04184）一、单项选择题（本大题共5 小题，每小题 3.D 2 分类，共 10 分）4.C1.C2.A 5.B二、填空题（本大题共 小题，每小题 2 分，共 20 分）10 5 31 26. 97.1 1 1 31 08.9. 3 10. -2 11. 0 1 31 3TT或1,1,1 1,1,112. 213.15. a ＞ 163 分）1 1 0 414. -1三、计算题（本大题共7 小题，每小题 9 分，共 1 2 1 1 3 1 1 1 1 1 4 1 11 1 5 1 0 0 03 5 2 21 1 3 016.解 （ 5 分）D=5= 221 3 01 0 474（ 9 分）12*1AA 可逆，于为 AA A17.解 由于 ，所以 （ 3 分）1 21*11(2 A ) 2 AA2 A A故 （6 分）21 23 23 29 21111AAAA（ 9 分）=由 X AX B ，化为 E A XB ，18.解 （ 4 分）11 11 0 01 20 3 02 2 1 1 1 11 31而 E AE A可逆，且 （ 7 分）0 3 02 21 1 1 1 1 251 0 3 32 1 1 0 11 3故 X（ 9 分）12 1 11 5 53 7 71 0 0 0 1 011 5 017 7 0由于1,2,3,0 019.解 （ 5 分） 41,所以向量组地秩为 2， 2 为一个极大线性无关组，并且有115 2 ,177（9 分）31412注：极大线性无关组不唯一；方程组地系数行列式20. 解 a21 D= 1 1 ab c 2b cb ac a c b2D 0 ，故方程有唯一解；因为 a,b,c 两两互不相同，所以（4 分）3a 2a 23a2 a 2a b c 1 1 1 2 222 又 D 13b 3cb 0 ， D 23b3cb c0 ，2222c2 1 1 1 a b c 3a 3b 2D 33D（ 7 分）3c2由克拉默法则得到方程组地解D D D 3 D D3 1 2 x 0, x 0, x 3（9 分）123DDD21.解 因为矩阵 A 与 B 相似，故trA trB 且 AB ,（6 分）1 3 a 1 10 21 0b即所以 （9 分）a=1,b=4. 5 2 2 5A22. 解 二次型地矩阵3,7，所以 A 地特征值由于 （ 4 分）E A37 123 ，由方程组 3E A x 0 得到 3 地一个单位对于特征值A 属于特征值11112 2特征向量17, 由方程组 对于特征值7 E A x 0 得到 7 地一个单位特征向量A 属于特征值22112 2 .21 1 112 2得正交矩阵Q1,，作正交变换 x Qy ，22 23 7 .二次型化为标准形 fy 1y 2（ 9 分）四、证明题（本题 7 分） 2因为 AB E ,所以 A EB ,又 BB ,23.证 2A EA E , 故 (3 分）1 2 2A3 A2E, 于为 AA 3EE ,故 化简得 可逆；（ 7 分）A。

自考《线性代数》（经管类）教学大纲课程代码：04184 总学时：33学时一、课程的性质、目的、任务：《线性代数》是以变量的线性关系为主要研究对象的数学学科。

该课程介绍行列式，矩阵，线性方程组，二次型等有关的概念，理论及方法。

本课程不仅是许多后续相关学科的理论基础，同时也是科学技术和经济管理领域的重要数学工具。

内容的抽象性，逻辑的严密性是《线性代数》的基本特点，在教学过程中应特别注意对学生抽象思维，逻辑思维以及归纳推理能力的培养。

通过本课程的教学，要求学生对基本概念，基本理论和重要方法有正确的理解，并能比较熟练地掌握和应用。

通过本课程的学习，使学生获得线性代数的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生处理问题的初步能力。

另外通过本课程的学习，为学生学习后续课程和进一步深造以及今后工作奠定必要的数学基础。

二、课程教学的基本要求：教学要求由低到高分三个层次，有关定义、定理、性质、特征概念的内容为“知道、了解、理解”；有关计算、解法、公式、法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握”。

三、教学内容第一章行列式学时：4学时（讲课3学时）本章讲授要点：行列式的概念和基本性质、行列式的计算、行列式按行（列）展开定理、克莱默法则。

重点：行列式的计算、克莱默法则难点：行列式的计算、克莱默法则。

教学内容：§1.1 二阶、三阶行列式§1.2 n阶行列式§1.3 行列式的性质§1.4 行列式按行（列）展开§1.5克莱默法则教学基本要求：1．理解行列式的定义，掌握行列式的性质，并会用行列式的性质证明和计算有关问题。

2．熟练掌握通过三角化计算行列式的方法。

3．理解子式，余子式，代数余子式的定义，熟练掌握按某行（或某列）展开行列式，会应用展开定理计算和处理行列式。

4．了解“克莱默”法则的条件和结论，掌握判别齐次方程组有非零解的条件。

第二章矩阵学时：6学时（讲课4学时）本章讲授要点：矩阵的概念，几种特殊矩阵，矩阵的运算，矩阵可逆的充分必要条件，求逆矩阵，矩阵的初等变换，矩阵的秩。

第一章行列式（一）行列式的定义1．行列式的定义D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.3．特殊行列式①②③（二）行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：第二章矩阵（一）矩阵的定义矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B2．矩阵的加、减法设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)3．数乘运算设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B4．乘法运算设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A5．方阵的乘幂与多项式方阵A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。

线性代数复习提纲第一部分：基本要求（计算方面）四阶行列式的计算；N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；求矩阵的秩、逆（两种方法）；解矩阵方程；含参数的线性方程组解的情况的讨论；齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；讨论一个向量能否用和向量组线性表示；讨论或证明向量组的相关性；求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；将无关组正交化、单位化；求方阵的特征值和特征向量；讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：基本知识一、行列式1．行列式的定义用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半；2．行列式的计算一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；N阶（n>=3）行列式的计算：降阶法定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；（2）行列式值为0的几种情况：Ⅰ行列式某行（列）元素全为0；Ⅱ行列式某行（列）的对应元素相同；Ⅲ行列式某行（列）的元素对应成比例；Ⅳ奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；2．矩阵的运算（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；（2）关于乘法的几个结论：①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；④|kA|=k^n|A|3．矩阵的秩（1）定义非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；（2）秩的求法一般不用定义求，而用下面结论：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

阵矩第二章2.1矩阵的概念n2.1.1m×由定义个数ai=12…mj=12…n）排成，，，，，，；（ij mn 数表一个列的行用大小括号表示mn列矩阵。

称为一个行nm×这矩阵的含义是：个数排成一个矩形阵列。

aij列元素称为矩阵的第其中行第ij i=12…mj=12…ni，而，，，，）；，，（jij列的变称为行标，称为列标。

第行与第ij 。

，）叉位置记为（ABC等表示，通常用大写字母，mn，和列数矩阵。

有时为了标明矩阵的行数也可记为A=aaA 或））或（（nm ×nm×ijnm×ijm=nA=a n阶为时，称）（当nijn×2n nn阶方阵是由矩阵，或者称为。

阶方阵个数排成一个正方形表，它不是一个数（行n阶行列式是两个完），它与列式是一个数全不同的概念。

只有一阶方阵才是一个数。

nA中从左上角到右下角的这条阶方阵一个An阶方阵的主对。

的主对角线对角线称为aa…a，称为此方，角线上的元素，，nn1122阵的对角元。

在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

用OO（大写字）表示。

或者nm×a…m=1α=a，（时，称，，特别，当12a n1×n 矩阵。

它是）为维行向量n m n=1维列向量为时，。

称当1 m×它是矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

abc3维行向量，）是，，（例如，3维列向量。

是几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵或简写形如A）念为（那不是“尖”，，的矩阵，称为对角矩阵是一个三阶对角矩阵，例如，。

也可简写为2.数量矩阵n阶数量矩阵对角矩阵的主对角线上的元当有如下形式：素都相同时，称它为数量矩阵。

或N没标就不阶矩阵，（标了角标的就是知是多少的）na=1阶单位矩阵当时，称特n EI，单位记为它为或阶nn别，矩阵。

即或E或在不会引起混淆时，也可以用I 表示单位矩阵。

第二章矩阵2.1矩阵的概念定义2.1.1由m×n个数a ij（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n）排成一个m行n列的数表用大小括号表示称为一个m行n列矩阵。

矩阵的含义是：这m×n个数排成一个矩形阵列。

其中a ij称为矩阵的第i行第j列元素（i=1，2，…，m；j=1，2，…，n），而i称为行标，j称为列标。

第i行与第j列的变叉位置记为（i，j）。

通常用大写字母A，B，C等表示矩阵。

有时为了标明矩阵的行数m和列数n，也可记为A=（a ij）m×n或（a ij）m×n或A m×n当m=n时，称A=（a ij）n×n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。

n阶方阵是由n2个数排成一个正方形表，它不是一个数（行列式是一个数），它与n阶行列式是两个完全不同的概念。

只有一阶方阵才是一个数。

一个n阶方阵A中从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。

n阶方阵的主对角线上的元素a11，a22，…，a nn，称为此方阵的对角元。

在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。

元素全为零的矩阵称为零矩阵。

用O m×n或者O（大写字）表示。

特别，当m=1时，称α=（a1，a2，…，a n）为n维行向量。

它是1×n矩阵。

当n=1时，称为m维列向量。

它是m×1矩阵。

向量是特殊的矩阵，而且它们是非常重要的特殊矩阵。

例如，（a，b，c）是3维行向量，是3维列向量。

几种常用的特殊矩阵：1.n阶对角矩阵形如或简写为（那不是A，念“尖”）的矩阵，称为对角矩阵，例如，是一个三阶对角矩阵，也可简写为。

2.数量矩阵当对角矩阵的主对角线上的元n阶数量矩阵素都相同时，称它为数量矩阵。

有如下形式：或。

（标了角标的就是N阶矩阵，没标就不知是多少的）特别，当a=1时，称它为n阶单位矩阵。

n阶单位矩阵记为E n或I n，即或在不会引起混淆时，也可以用E或I表示单位矩阵。

第一章行列式（一）行列式的定义1．行列式的定义D n=∑(-1)t a1c1a2c2…a n cn(t是列标c的逆序数)=∑(-1)t a r11a r22…a rn n(t是行标r的逆序数) 2．余子式及代数余子式设有n阶行列式D n,对任何一个元素a ij,划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个n-1阶行列式,称它为元素a ij的余子式,记作M ij,再记A ij=(-1)i+j M ij,称A ij为元素a ij的代数余子式.3．特殊行列式①②③（二）行列式的性质性质1 行列式与它的转置行列式相等，即|A|=|A T|性质2用数k乘行列式D中某一行(列)的所有元素等于用数k乘此行列式D.推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面性质3互换行列式的任意两行(列),行列式的值改变符号.推论2如果行列式中有某两行(列)相同,则此行列式的值等于零.推论3 如果行列式中某两行(列)的对应元素成比例,则此行列式的值等于零.性质4如果行列式某行(列)所有元素均为两个数的和,则行列式可以按该行(列)拆为两个行列式的和.性质5 把行列式某一行(列)所有元素都乘以同一个数然后加到另一行(列)的对应元素上去,行列式不变. 定理1（行列式展开定理）n阶行列式D=|a ij|n等于它任意一行(列)各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即D=a i1A i1+a i2A i2+…+a in A in(i=1,2,…n)（D按第i行的展开式）或D=a1j A1j+a2j A2j+…+a nj A nj(j=1,2,…n)（D按第j列的展开式）定理2行列式D=|a ij|n的任一行(列)各元素与另一行(列)对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即a i1A k1+a i2A k2+…+a in A kn=0(i≠k)或a1j A1s+a2j A2s+…+a nj A ns=0(j≠s)（三）行列式的计算行列式的计算主要采用以下两种基本方法：（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：第二章矩阵（一）矩阵的定义矩阵定义：m*n个数a ij(i=1,2,…m，j=1,2,…n)排列成一个m行n列的有序数表，称为m*n矩阵，记为(a ij)m*n （二）矩阵的运算1．矩阵的同型与相等设有矩阵A=(a ij)m*n, B=(b ij)k*s，若m=k, n=s，则说A与B是同型矩阵,若A与B同型,且对应元素相等，即a ij=b ij，则称矩阵A与B相等，记为A=B2．矩阵的加、减法设A=(a ij)m*n, B=(b ij)m*n，是两个同型矩阵，则A+B=(a ij+b ij)m*n , A-B=(a ij-b ij)m*n注意：矩阵的相加(减)体现为对应元素的相加(减),只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加(减).①A+B=B+A ②(A+B)+C=A+(B+C) ③A-B=A+(-B)3．数乘运算设A=(a ij)m*n，k为任一个数，则规定kA=(ka ij)m*n, 数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k①(kj)A=k(j A) ②(k+j)A=k A+j A ③k(A+B)=k A+k B4．乘法运算设A=(a ij)m*k，B=(b ij)k*n，则规定AB=(c ij)m*n，其中c ij=a i1b1j+a i2b2j+…+a ik b kj (i=1,2,…,m, j=1,2,…,n)只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，且AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.矩阵乘法与普通数乘法不同：不满足交换律,即①AB≠BA②当AB=0,不能推出A=0或B=0,不满足消去律.①(AB)C=A(BC) ②A(B+C)=AB+AC ③(B+C)A=BA+CA ④k(AB)=(k A)B=A(k B)⑤AE=EA=A5．方阵的乘幂与多项式方阵A为n阶方阵，则A m=AAA…A(m个).①A k A j=A k+j ②(A k)j=A kj ③特别地A0=E④若f(x)=a m x m+a m-1x m-1+…+a1x+a0，则规定f(A)=a m A m+a m-1A m-1+…+a1A+a0E，称f(A)为A的方阵多项式。

第一章行列式1。

1 行列式的定义1.2 行列式行（列）展开1。

3 行列式的性质与计算1。

3 克拉默法则第二章矩阵2.1 线性方程组与矩阵的定义2.2 矩阵运算2。

3 分阵的逆矩阵2.4 分块矩阵2。

5 矩阵的初等变换与初等方阵2。

6 矩阵的秩2。

7 矩阵与线性方程组第三章向量空间3。

1 n维向量概念及其线性运算3。

2 线性相关与线性无关3。

3 向量组的秩3.4 向量空间第四章线性方程组4。

1 齐次线性方程组4.2 非齐次线性方程组第五章特征值与特征向量5。

1 特征值与特征向量5。

2 方阵的相似变换5.3 向量内积和正交矩阵5。

4 实对称矩阵的相似标准形第六章实二次型6。

1 实二次型及其标准形6。

2 正这二次型和正定矩阵… … （中间部分略）完整版15页请-—QQ：1273114568 索取第一部分行列式本章概述行列式在线性代数的考试中占很大的比例.从考试大纲来看。

虽然只占13％左右.但在其他章.的试题中都有必须用到行列式计算的内容.故这部分试题在试卷中所占比例远大于13％。

1。

1 行列式的定义1.1。

1 二阶行列式与三阶行列式的定义一、二元一次方程组和二阶行列式例1。

求二元一次方程组的解。

解:应用消元法得当时.得同理得定义称为二阶行列式。

称为二阶行列式的值。

记为。

于是由此可知。

若。

则二元一次方程组的解可表示为：例2二阶行列式的结果是一个数。

我们称它为该二阶行列式的值。

二、三元一次方程组和三阶行列式考虑三元一次方程组希望适当选择。

使得当后将消去。

得一元一次方程若，能解出其中要满足为解出.在(6），(7)的两边都除以得这是以为未知数的二元一次方程组.定义1。

1。

1 在三阶行列式中，称于是原方程组的解为；类似地得这就将二元一次方程组解的公式推广到了三元一次方程组。

例3 计算例4 （1）（2)例5 当x取何值时，？为将此结果推广到n元一次方程组。

需先将二阶、三阶行列式推广到n阶行列式。

1.1。

2 阶行列式的定义定义1。

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。

所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。

行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。

1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；符号叫二阶行列式，其大小规定为：例如号叫为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。

（二）n阶行列式符号：它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。

其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。

自考高数线性代数课堂笔记第一章行列式线性代数学的核心内容是：研究线性方程组的解的存在条件、解的结构以及解的求法。

所用的基本工具是矩阵，而行列式是研究矩阵的很有效的工具之一。

行列式作为一种数学工具不但在本课程中极其重要，而且在其他数学学科、乃至在其他许多学科（例如计算机科学、经济学、管理学等）都是必不可少的。

1.1行列式的定义（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。

（主对角线减次对角线的乘积）例如（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为例如=0三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。

我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：（1）=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0（2）（3）（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如例1a为何值时，[答疑编号10010101：针对该题提问]解因为所以8-3a=0，时例2当x取何值时，[答疑编号10010102：针对该题提问]解：解得0<x<9所以当0<x<9时，所给行列式大于0。