《立体几何初步》综合测评一、单项选择题，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ） A 若,,m n αβαβ⊥⊂⊂，则m n ⊥ B 若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n C 若,,m n m n αβ⊥⊂⊂，则αβ⊥ D 若,//,//m m n n αβ⊥，则αβ⊥2已知PA ⊥矩形ABCD ，则下列结论中不正确的是（ ） A PB BC ⊥ B PD CD ⊥ C PD BD ⊥ D PA BD ⊥3若直线l 与平面α相交，则（ ） A 平面α内存在直线与l 异面 B 平面α内存在唯一一条直线与l 平行 C 平面α内存在唯一一条直线与l 垂直 D 平面α内的直线与l 都相交4一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm 的正方形，则原图形的周长是（ ）C 2(1D 2(15如图，在三棱锥A-BCD 中，,AC AB BC BD ⊥⊥，平面ABC ⊥平面BCD 给出下列结论：①AC BD ⊥；②AD BC ⊥；③平面ABC ⊥平面ABD ；④平面ACD ⊥平面ABD 以上结论中正确的个数为（ ）6《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵A 县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也又以高乘之，，计算其体积V 的近似公式2136V L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3那么，近似公式2275V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A227 B 258 C 15750 D 3551137如图（1），一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水，若将容器倒置，这时水所形成的圆锥的高恰为2a（如图（2）），则图（1）中的水面高度为（ ）A 3712a ⎛- ⎝⎭ B 351a ⎛- ⎝⎭37D2a 8已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且2SC =，则此三棱锥的体积为（ ）A6C3的球的内部装有4个半径相同的小球，则小球半径r 的最大值为（ ）RRC 2)RR二、多项选择题10下列说法正确的是（ ） A 底面是正多边形的棱锥是正棱锥 B 各侧棱都相等的棱锥为正棱锥C 底面是正多边形，且各侧面是全等的等腰三角形的棱锥是正棱锥D 棱台的侧棱延长后必交于一点11如图所示是一个几何体的平面展开图，其中四边形ABCD 为正方形，E ，F ，G ，H 分别为12,P A P D ，44,P C P B 的中点，在此几何体中，1234,,,P P P P 重合于点//EFGH //PA //FH //EF 1111ABCD A BC D -BC Q 1CC ,,A P Q102CQ <<12CQ =34CQ =11C D 113C R =1CQ =62PAC ⊥,90,ABC PCA ABC ∠=4PC =1111ABCD A BC D -11,A B CD 1AEC F 111ABC AB C -1AA ⊥ABC ABC ∠12,3,AC a BB a D ==11AC 1AA AF =CF ⊥1B DF 30BAC ∠=//MN 4,43MN BC PA ===A BCD -2621,AB AD E ==，DAE D 'D AE '⊥AD EB '⊥AC ABD '111ABC A B C -11ABB A ⊥1,,2,ABC AC AB AC AB AA ⊥===1160,,AA B E F ∠=11A B 111ABC A B C -1AA //CP ,PD a PA PC ===2a PD ⊥PAC ⊥与n 可以平行或异面；B 中，m 与n 还可能异面；C 中，若 //αβ，则仍然可以满足,,m n m n αβ⊥⊂⊂，故C 错误；D 正确 2答案：C解析：如图所示，由于PA ⊥平面ABCD ，且底面ABCD 为矩形，所以PA BD ⊥，故D 中结论正确；因为,BC PA BC BA ⊥⊥，且PA AB A ⋂=，所以BC ⊥平面PAB ，所以BC PB ⊥，故A 中结论正确；同理PD CD ⊥，故B 中结论正确；A B C D ''''1,A C ''y '2A C ''=22,//AC A B C D ''''=//,AB CD AB CD =22813BC AC AB =+=+=2(13)8(cm)⨯+=ABC ⊥ABC ⋂,BCD BC BC BD =⊥BD ∴⊥AC ⊂BD AC ∴⊥AD BC⊥,BD BC AD BD D⊥⋂=BC ∴⊥,,AC AB BD AC AB BD B ⊥⊥⋂=AC ∴⊥AC BC C ⋂=BD ⊂,ABD BD ⊥ABC ∴ABD ⊥AC ⊥,ABD AC ⊂∴ACD ⊥21133V r h ππ==⋅22212L L h h ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭7512,2ππ≈2581V r 2V 222111132,12283a r V r a R V R a ππ⨯⨯==∴==⨯⨯h 1r 1r h a R =2331123211773,1823r h V V h h a V a R a ππ⨯⨯-∴===∴=⨯⨯ABCOD ⊥222Δ3336,14433ABCS AB OD ⎛⎫=⨯==-= ⎪ ⎪⎝⎭01362223436S ABC ABCV V --==⨯⨯⨯=三棱锥三棱锥3712a ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭2r 222326433r r r ⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭222262333r r x x ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭66,22x r R r r =∴=+(62)r R =-,,,E F G H //,//.EH AB HG BC EH HG H ∴⋂=EH ⊂HG ⊂,AB BC B AB ⋂=⊂BC ⊂∴//EFGH //GO PA∴PA ⊂GO ⊂∴//PA ∴//.FH BD FH ⊄BD ⊂∴//FH //,EF HG HG ⋂BDG G =∴102CQ <<11AA D D //AE PQ 1DD 12CQ =111,,D Q D A BC 1//PQ BC 11//BC AD 1//PQ AD 34CQ =//BF PQ 1CC 112C F =//AE BF 1DD 112D E =//AE PQ 11C D 11Rt Rt RC Q RD E ~1C Q 111::1:2D E C R RD ==113C R =1CQ =//AE PQ 1DD 11A D ，显然点M 为线段11A D 的中点，所以S 为菱形A ，其面积为11623222MP AQ ⋅=⨯⨯=综上，命题正确的是选项ABCD 13答案：27解析：如图，连接CM ，因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC ⋂平面ABC AC =，90PCA ∠=，所以PC ⊥平面ABC ，可得PC CM ⊥，所以22PM PC CM =+，要求PM 的最小值，只需求出CM 的最小值即可，在ABC 中，当CM AB ⊥时，CM 有最小值，此时有34232CM =⨯=，所以2761AEC F 11133AEFABFV Sd S =⨯=⨯61616,1,422AEFABFSS d ===⨯∴=，2a 111B D AC ⊥1AA ⊥1AA ⊥111A B C 1B D ⊂111A B C 11AA B D ⊥1111AA AC A =⋂1B D ⊥11ACC A 1B D CF ⊥CF ⊥1B DFCF DF ⊥CF DF ⊥11,A FD ACF AFC A DF ∠∠∠∠==AF x =13A F a x =-1Rt Rt CAF FA D~11AC AF A F A D =23a x a x a=-x a =2x a =AF a =2AF a =CF ⊥1B DF ABCD A B C D '-''',M P//MP AC∴AC BD∴⊥BB ⊥'AC ⊂BB AC∴'⊥,AC BD BD BB B ⊥⋂'=AC ∴⊥,DBB 'DB '⊂,DBB 'AC DB ∴⊥'//,MP AC DB MP ∴'⊥,DB MN DB NP⊥''⊥,MP NP P MP ⋂=⊂,MNP NP ⊂N DB ∴'⊥NN l MP⊥//,MN AC AC l ⊥,l MN l ∴⊥∴⊥N l ⊥N 1CO AB ⊥1.O 1390,30,2,,3,BCA BAC AB R BC R AC R CO R ∠∠===∴===11222 ,? 33334,3,2AO BO S R S R R R S R R ππππ∴====⨯=圆锥侧球圆锥侧112113=,2AO BO S S S S R +∴=++∴几何体表球侧圆锥侧圆锥21132R +.343V R π=球又12211111,34AO V AO CO R AO =⋅⋅⋅=⋅圆锥ππ122111 1134,BO V BO CO R BO =⋅⋅⋅=⋅圆锥ππ()11356AO BO V V V V R π∴=-+=几何体球圆锥圆锥,.AH NH N //NH DC ∴12NH DC =M 1//,.//,2AM DC AM DC NH AM NH AM ∴=∴=，AMNH //.MN AH MN ∴⊂,PAD AH ⊂//MN ∴，.ON ∵M 是AB 的中点，N 是//,//OM BC ON PA ∴11,.22OM BC ON PA ONM ==∴∠N 所成的角4,43,2,23,MN BC PA OM ON ===∴==222,MO ON MN ∴+=30ONM ∴=∠，即异面直线N 所成的角的大小为3019答案：见解析解析：过侧棱AB 与球心O 作截面（如图），在正三棱锥中，BE 是底面正三角形的高，1O 是底面正三角形的中心，且AE 为其侧面ADC 底面上的高正三棱锥底面边长为26，12O E ∴=，3AE =2 133263(26)92632S =⨯⨯=棱锥作OF AE ⊥于F ，设内切球半径为r ，则,1OF r AO r ==-1Rt Rt AFO AO E ~，1,23FO AO O E AE ∴==22 62,44(62)r S r ππ∴===⨯⨯球8(526)π=- 2021：见解析解析：（1）证明：在Rt BCE 中，222BE BC CE =+=Rt AD E '中，222AE D A D E =+''22222,AB BE AEAE BE==+∴⊥平面AED '⊥平面ABCE ，且交线为,AE BE ∴⊥平面.AED 'AD ⊂'平面,AED AD EB ∴''⊥（2）设AC 与BE 相交于点F ，由（1）知AD BE '⊥,AD ED ED BE E ⊥⋂'''=，AD ∴'⊥平面EBD '，又AD '⊂平面ABD '，∴平面ABD '⊥平面EBD '，且交线为.BD '作FG BD ⊥'，垂足为G ，则FG ⊥平面ABD '，连接AG ，则FAG ∠是直线AC 与平面ABD '所成的角由平面几何的知识可得12EF EC FB AB ==，1233EF EB ∴==在Rt AEF 中，2222529AF AE EF =+=+=由（1）知BE ⊥平面,AED 'ED '⊂平面,AED BE ED ∴'⊥'1,2,3D E BE D B =='∴'在Rt EBD '中，FG D E FB D B ''=，可求得26FG =26309 sin 1525FG FAG AF ∠∴===∴直线AC 与平面ABD '所成的角的正弦值为301521答案：见解析解析：（1）如图，连接1AB ，在三棱柱111ABC A B C -中，11A B AB =因为12AB AA ==，所以1112A B AA ==又因为1160AA B ∠=，11AA B 是棱11A B 的中点，所以11AE A B ⊥，且3AE =又11//,AB A B 所以AE AB ⊥又侧面11ABB A ⊥底面ABC ，且侧面11ABB A ⋂底面,ABC AB AE =⊂侧面11ABB A ，所以AE ⊥底面ABC ，所以三棱柱111ABC A B C -的体积112232322ABC V SAE AB AC AE =⋅=⋅⋅=⨯⨯⨯=（2）在直线1AA 上存在点P ，使得//CP 平面AEF 证明如下：连接BE 并延长，与1AA 的延长线相交，设交点为P ，连接CP 因为11//A B AB ，11PA A EPE PB PA AB ==为棱11A B 的中点，所以112A E AB =，故PE EB = 又F 为棱BC 的中点，故EF 为BCP 的中位线，//EF CP EF ⊂，CP ⊄平面AEF ，所以//CP 平面AEF 22答案：见解析解析：证明（1）,,2PD a DC a PC a ===，222,PC PD DC PD DC ∴=+∴⊥ 同理可证PD AD ⊥∵,,AD DC D AD ⋂=CD ⊂平面ABCD ，PD ∴⊥平面ABCD （2）由（1）知PD ⊥平面,ABCD AC ⊂平面,.ABCD PD AC ∴⊥四边形ABCD 是正方形，AC BD ∴⊥又,,BD PD D BD PD ⋂=⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD 又AC ⊂平面,PAC ∴平面PAC ⊥平面.PBD（3）由（1）知PD ⊥平面ABCD ，又BC ⊂平面,ABCD PD BC ∴⊥ 又;,,BC DC PD DC D PD DC ⊥⋂=⊂平面,PDC BC ∴⊥平面PDCPC ⊂平面,.PDC BC PC ∴⊥PCD ∠∴为二面角P BC D --的平面角在Rt PDC 中，,45PD DC a PCD ∠==∴=--的平面角的大小为45。
