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理论力学PPT课件第9章 分析动力学基础

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理论力学9质点动力学基本方程ppt课件

理论力学9质点动力学基本方程ppt课件

小球在水平面内作匀速圆周运动。
a 0,
an
v2 r
12.5 m
s2
方向指向O点。
45º A B
60º
Or
A
FA
B
60º
FB O an
r
M
v
mg
建立自然坐标系得：
v2
m r FA sin 45 FB sin 60
(1)
0 mg FA cos 45 FB cos60 (2)
解得： FA 8.65 N, FB 7.38 N
9.3 质点动力学的两类基本问题
1. 力是常数或是时间的简单函数
v
t
mdv F(t)dt
v0
0
2. 力是位置的简单函数, 利用循环求导变换
dv dv dx v dv dt dx dt dx
v
x
mvdv F(x)d x
v0
x0
3. 力是速度的简单函数，分离变量积分
vm
t
d v dt
9.1 动力学的基本定律
第三定律（作用与反作用定律）
两个物体间相互作用的作用力和反作用力总是 大小相等、方向相反，沿着同一作用线同时分 别作用在这两个物体上。
以牛顿定律为基础所形成的力学理论称为 古典力学。
必须指出的是：质点受力与坐标无关，但质点的 加速度与坐标的选择有关，因此牛顿第一、第二定律 不是任何坐标都适用的。凡牛顿定律适用的坐标系称 为惯性坐标系。反之为非惯性坐标系。
v0 F (v)
0
例例1 9如.1图，设质量为m的质点M在平面oxy内运动，已知其运动方
程为x＝a cos wt，y＝a sin wt，求作用在质点上的力F。
解：以质点M为研究对象。分析运 动：由运动方程消去时间 t，得

《动力学基础》课件

《动力学基础》课件
能量转化
动力学研究物体之间的能量转化过程，例如动能转化为势能。
工作和功
力在物体上所做的功，用于描述能量的转移和转化。
动力学方程和解析解
动力学方程是用于描述物体运动的数学方程，通过解析解可以计算物体的位 置、速度和加速度随时间的变化。
运动状态和轨迹描述
运动状态
位置、速度和加速度是描述物体运动状态的关键参数。
牛顿力学与运动定律
1
第一定律
任何物体在受力平衡的情况下，将保持静止或匀速直线运动。
2
第二定律
物体运动的加速度与作用力成正比，与物体质量成反比。
3
第三定律
对于每一个作用力，存在一个大小相等、方向相反的反作用力。
动力学中的力和能量
力的分类
重力、摩擦力、弹力、电磁力等，作用于物体上的力会影响其运动状态。
《动力学基础》PPT课件
本PPT课件将介绍动力学基础的定义和概述，牛顿力学与运动定律，动力学中 的力和能量，动力学方程和解析解，运动状态和轨迹描述，动力学应用举例， 以及结论和总结。
动力学基础：定义和概述
动力学是研究物体运动的学科，涵盖了力、速度、加速度等关键概念。本节将介绍动力学的基本定义，并概述其在 物理学中的重要性。
轨迹描述
物体的轨迹可以是直线、曲线、圆周等各种形状。
动力学应用举例
1 机械系统
2 天体运动
3 生物力学
动力学理论在机械工程中的 应用，如车辆运动和机械结 构设计。
通过动力学模型解，如人体运动和力学特性 研究。
结论和总结
本次《动力学基础》PPT课件系统地介绍了动力学的定义和概述，牛顿力学与 运动定律，动力学中的力和能量，动力学方程和解析解，运动状态和轨迹描 述，动力学应用举例，并总结了课件内容。感谢各位的聆听！

《理论力学》第九章质点动力学

《理论力学》第九章质点动力学
《理论力学》第九章质点动力 学
目
CONTENCT
录
• 质点动力学的基本概念 • 质点的运动分析 • 质点的动力学方程 • 刚体的动力学 • 相对论力学简介
01
质点动力学的基本概念
质点和质点系
质点
具有质量的点，没有大小和形状 ，是理论力学中最基本的理想化 模型。
质点系
由两个或多个质点组成的系统， 可以是一个物体或多个物体。
质点运动的基本参数
位移
质点在空间中的位置变化。
速度
质点在单位时间内通过的位移，表示质点的运动快 慢和方向。
加速度
质点速度的变化率，表示质点速度变化的快慢和方 向。
质点动力学的基本定律
牛顿第一定律（惯性定律）
一个不受外力作用的质点将保持静止状态或匀速直线运动状态。
牛顿第二定律
质点的加速度与作用力成正比，与质量成反比，即F=ma。
自然坐标系中的运动分析
总结词
自然坐标系是一种以质点所在位置的切线方向为基准的描述方法，常用于分析曲线运动。在自然坐标系中，质点 的运动分析需要考虑切向和法向的运动。
详细描述
在自然坐标系中，质点的位置由曲线上的弧长$s$和对应的角度$alpha$确定。切向的运动由切向速度$v_t$描述， 而法向的运动由法向加速度$a_n$描述。在自然坐标系中，质点的运动分析需要考虑切向和法向的物理量，以便 更准确地描述质点的运动状态。
描述质点角动量和角动量矩随时间变化的物理定理
详细描述
质点的角动量定理指出，质点所受合外力矩的冲量等于其角动量的变化量。公式表示为 Mt=L，其中M为合外力矩，t为时间，L为质点的角动量。角动量矩定理则描述了质点 绕定轴转动的动量矩变化规律，公式表示为L=Iω，其中L为动量矩，I为转动惯量，ω

理论力学PPT课件第9章 分析动力学基础

理论力学PPT课件第9章 分析动力学基础

A
M
r
O
R
答：
(2m 193 m M 2)R (r)2t20t0
2019年9月17日
18

例2 已知： m1 , m2 , R, f , F 。 求： 板的加速度a。
CR
答：
O
F
x
x
a F f (m1 m2)g
m1

m2 3
2019年9月17日
19
例３. 如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J， 其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为 m1 , m 2 不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度 。
2019年9月17日
3
§9-1 动力学普遍方程
一. 方程的一般形式
1.矢量形式：
FiFIiri0
动力学普遍方程或 达朗贝尔－拉格朗日原理 理想约束，不论约束完整，定常与否均适用 2.直角坐标形式：
[ ( F i x m i x i ) δ x i ( F i y m iy i ) δ y i ( F i z m i z i ) δ z i ] 0 i
a1
G1
G2
G1 g
a1


有 G g 1a 1δxG g 2rco sδxG g 2a 1δx0
即
G 1 G 2a 1 G 2 rc os
(a)
又由 δ W F 0 ,δ 0 ,δ x 0 , 有
2019年9月17日
10
1 2 G g 2 r 2δ G g 2 rr δ G g 2 a 1 c o sr δ G 2 s in r δ 0
2019年9月17日
11
例4 均质圆柱1与薄壁圆筒2用绳相连，并多圈缠绕 圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 m1 ,m2 ,r, 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。

理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程

理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程

理想弹性振子的振动分析
总结词
理想弹性振子是一个简化的模型，用于研究振动的规 律。通过拉格朗日方程，可以分析其振动行为。
详细描述
理想弹性振子是一个质量为m的质点，连接到一个无 质量的弹簧上。当振子受到一个外部力作用时，它会 开始振动。通过应用拉格朗日方程，可以计算出振子 的振动频率和振幅。
地球的运动分析
详细描述
分离变量法是一种求解偏微分方程的常用方法。它通过假设解可以表示为多个独立变量的乘积，将偏微分方程转 化为多个常微分方程，从而简化了求解过程。这种方法在求解波动方程、热传导方程等偏微分方程时非常有效。
哈密顿正则方程法
总结词
利用哈密顿原理和正则方程推导出系统 的运动方程，适用于完整约束系统。
VS
相对论力学中的拉格朗日方程
总结词
相对论力学中的拉格朗日方程是经典拉格朗 日方程的进一步发展，它考虑了相对论效应 ，适用于高速运动和高能量密度的物理系统 。
详细描述
在相对论力学中，由于物体的高速运动和相 对论效应的影响，经典拉格朗日方程需要进 行相应的修正。相对论力学中的拉格朗日方 程能够更好地描述高速运动和高能量密度下 的物理过程，如相对论性粒子的运动、高能
要点一
总结词
地球的运动是一个复杂的系统，涉及到多个力和力的矩。 通过拉格朗日方程，可以分析地球的运动轨迹和规律。
要点二
详细描述
地球的运动包括自转和公转，受到太阳和其他天体的引力 作用。通过应用拉格朗日方程，可以计算出地球的运动轨 迹和周期，以及地球上不同地区的重力加速度和潮汐现象 等。
非保守系统的拉格朗日方程
总结词
非保守系统中的拉格朗日方程需要考虑非保 守力的影响，这需要引入额外的变量和方程 来描述系统的运动。

15理论力学哈工大(第七版)第九章PPT课件

15理论力学哈工大(第七版)第九章PPT课件
如滑块的质量为m, 忽略摩擦及连杆AB的质量, 求当①j = 0和 ②j = p / 2，连杆AB所受的力F。
y
x
w l 则 已x 知 : l 1 l 常 4 2 ,r O c量 o w r ,ts A A l 4c lo ,B 2w m st。 设 r l 1
j jp 求:
本篇的基本内容
➢ 质点动力学的基本方程 ➢ 动量定理，质心运动定理 ➢ 动量矩定理，定轴转动刚体的转动微分方程
刚体的平面运动微分方程 ➢ 动能定理，机械能守恒定律 ➢ 动静法－－达朗贝尔原理 ➢ 虚位移原理
§9-1 动力学的基本定律
第一定律 (惯性定律): 不受力作用的质点，将保持静止或作匀速直线运动。
第二定律（力与加速度之间关系定律）
ma=F
力的单位:牛[顿], 1N1kg1ms2 第三定律 (作用与反作用定律 ):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向相反, 沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
§9-2 质点的运动微分方程
质点动力学第二定律
maFi
1、在直角坐标轴上的投影
m
d2r dt 2
15
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
演讲人：XXXXXX
时 间：XX年XX月XX日
16
试求质点的运动轨迹。
y
平板电容器
解: Fx mdd2t2xmddvtx 0
交流
电源
Fymd d2 t2 ymddvty eA cokst
O
v0
m Fv
E
x
质点运 动轨迹
积 分

理论力学9章课件1

理论力学9章课件1

应注意： 牵连点的速度可能是随时
间而变化的。
ve'
B
动点M在动系上A处时：
ve = r1 ⋅ω aen = r1 ⋅ω 2 ω
动点M在动系上B处时：
ve' = r2 ⋅ω aen ' = r2 ⋅ω2
r2 ae ve
A ae
r1
M
例 2 ：分析牵连速度和牵连加速度（ω=常数）
解： 动点：M；动系：直角折杆OAB
应注意在此矢量式中有四个已知因素（包括速度的大小
和方向)时，问题才可求解。
例1 如图半径为R的半圆形凸轮以匀速vO 在水平轨 道运动，带动顶杆AB沿铅垂滑槽滑动，求在图示 位置时，杆AB的速度。
解：动点为杆端A，动系：凸轮；
三种运动：动点的绝对轨迹是 直线，
相对轨迹是圆周， 动系牵连平动， 牵连点轨迹是直线，速度合成为
∴ω1
=

ve O1 A
=
1⋅ r2 +l2
r 2ω
r2 +l2
= r 2ω
r2 +l2
例3 圆盘凸轮机构
已知：OC＝e ,R = 3e, ω（匀角速度）
图示瞬时, OC⊥CA 且 O,A,B三点共线。
求：从动杆AB的速度。
解：动点：A点（杆上）动系：圆盘，
30°
三种运动：绝对直线运动，相对运动为
圆周运动；牵连转动，牵连点轨迹是曲线
分析可得： va = vr + ve
大小： ？ ？ v0
v0
方向： a a a
B
vr ϕ va
A ve
Oϕ
va = vectgϕ = v0ctgϕ
例2 曲柄摆杆机构；已知：OA= r , ω, OO1=l 图示瞬时OA⊥OO1 求：摆杆O1B角速度ω1 解：动点：A点(OA杆)；动系：摆杆O1B ；

《理论力学》课件 第九章

《理论力学》课件 第九章

第九章刚体的平面运动刚体的平面运动是工程机械中较为常见的一种刚体运动，它可以看作为平移与转动的合成，也可以看作为绕不断运动的轴的转动。

在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。

平面运动刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动。

注意与平移区别()Oϕ'--基点，转角，Oxy--定系用一个平面图形代表作平面运动的刚体；用平面内的任意线段的位置来确定平面图形的位置；用线段上任意点0′的坐标和一个夹角来确定该线段的位置。

平面图形的运动方程对于任意的平面运动，可在平面图形上任取一点O′，称为基点。

在这一点假想地安上一个平移参考系O’x’y’，平面图形运动时，动坐标轴方向始终保持不变，可令其分别平行于定坐标轴Ox和Oy，平面的平面运动可看成为随同基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。

平移坐标系-'''y x O平移-----牵连运动转动-----相对运动四、重要结论：平面运动可取任意基点而分解为平移和转动。

其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关.任何平面图形的运动可分解为两个运动(1)牵连运动，即随同基点O′的平移；(2)相对运动，即绕基点O′的转动。

平面图形内任一点M的运动也是两个运动的合成，因此可用速度合成定理来求它的速度，这种方法称为基点法。

注意：此处动点、动系、基点在同一个刚体上。

但属于刚体上的不同点。

点M 的牵连速度v v点M的相对速度v vω'M O v v v v 'ωv v AB v v ω结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。

平面图形内任意两点A 和B 的速度确定基点A ，一般应使V A 为已知条件。

O’M 上速度分布图角速度与相对速度有关AABAABBAvlABvωϕ=v v v应使V B位于平行四边形的对角线上V BA=AB·ω，此处ω是尺AB的角速度3、角速度分析例9-2图所示平面机构中，AB=BD=DE=l=300mm。

静力学 第九章优秀课件

静力学 第九章优秀课件

§10-2 质点的运动微分方程
1、矢量形式的质点运动微分方程：
牛顿第二定律
ma
Fi
或m
d2r dt 2
Fi
2、直角坐标轴上的投影形式：
m
d2x dt 2
Fx ,
m
d2 y dt 2
Fy ,
m
d2z dt 2
Fz
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
3、自然坐标的投影形式
ma md dvt md dt22 sF
C
F
an
a
m a m g sin m d v m g s in
dt m l d m g sin
dt
v0
W
m l d d m g sin d dt
m l d m g sin
d
m l d m g sin d
0
max
mld mgsind
0
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
筒内铁球由筒壁上的凸棱带着上升。为了使小球获得粉碎矿石
的能量，铁球应在 0 时才掉下来。求滚筒每分钟的转数
n。
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
解：研究铁球
m v2 R
FN
mg cos
其中
v nR
30
当 0 , F时N ， 0解得
n 9.549
g R
cos
0
当 n 9.54时9 ，g球不脱离筒壁。 R
v0
W
ma mgsin
man
mv2
Fmgcos
理论力学 第九章 质点动力学的基本方程
C
man
mv2 l
Fmgcos
F
an

(PPT幻灯片版)理论力学课件

(PPT幻灯片版)理论力学课件

F1
刚体
大小相等 | F1 | = | F2 | 方 向相反 F1 =－F2 (矢量) 且 在同一直线上。
F2
说明：①对刚体来说，上面的条件是充要的； ②对变形体来说，上面的条件只是必要条件。
绳子
F2
平衡
F1
F2 不平衡
F1
F2
绳子
不平衡
F1
对多刚体不成立
理论力学
中南大学土木建筑学院
11
③二力构件：只在两个力作用下平衡的刚体叫二力构件。
中南大学土木建筑学院
57
[例] 画出下列各构件的受力图
D
F2
B
F1
A
FAy FBy FBx B
E
FAx
FCx
C
FCy F2
E
FB
FE
FD F3
G
F3 FC
G FCx
FBy
B
F1 二力构件
F1 二力杆
F2
F2
注意：二力构件是不计自重的。
公理3 加减平衡力系原理
在已知的任意力系上加上或减去任意一个平衡力系， 并不改变原力系对刚体的作用。
理论力学
中南大学土木建筑学院
12
推论1：力的可传性 作用于刚体上的力可沿其作用线移到同一刚体内的任一
点，而不改变该力对刚体的作用效应。
A F B 等效 A F F B F 等效 A F F B F
理论力学
中南大学土木建筑学院
46
理论力学
中南大学土木建筑学院
47
（3）止推轴承（圆锥轴承）
约束特点：止推轴承比径向轴承多一个轴向的位移限制。 约束力：比径向轴承多一个轴向的约束力，亦有三个正

(964页PPT幻灯片版)理论力学课件

(964页PPT幻灯片版)理论力学课件
自由体：位移不受限制的物体叫自由体。 非自由体：位移受限制的物体叫非自由体。 工程中的绝大
多数物体为非自由体。其位移受到周围物
体的限制。我们称起限制作用的周围物体为约束体。 约 束：由约束体构成，对非自由体的某些位移起限制作用 的条件。工程中的约束总是以接触的方式构成的。 约束力：约束给被约束物体的力叫约束力。（也称约束反力）
理论力学
中南大学土木建筑学院
14
公理5
刚化原理
变形体在某一力系作用下处于平衡，若将此变形体变成
刚体（刚化为刚体），则平衡状态保持不变。
F2
绳子
平衡
F1
公理5告诉我们：处于平衡 状态 的变形体，可用刚体静 力学的平
F1
F2
刚体
平衡
衡理论。
理论力学
中南大学土木建筑学院
15
§1-2 约束和约束力
一、概 念
理论力学
中南大学土木建筑学院 2
二、理论力学的任务
1、理论力学是一门理论性较强的技术基础课 基 础 课
技 术 基 础 课
专
业
课
2、理论力学是很多专业课程的重要基础 例如：材料力
学、机械原理、机械零件、结构力学、 弹性力学 、流体力学 、机械振动等一系列后续课程的重 要基础。
理论力学
中南大学土木建筑学院 3
理论力学
中南大学土木建筑学院
16
约束力的特点： 约 束 力 大小——待定 方向——与该约束所能阻碍 的位移方向相反 作用点——接触处
F
F
FN2
P
解除约束，按约束 性质代之以约束力。
FN2
P
对单个对象，为了简化
FN1
理论力学
中南大学土木建筑学院

《理论力学》课件 第9章

《理论力学》课件 第9章

将（9-20）写成投影形式为
MaCx
n
F (e) ix
i 1
MaCy
n
F (e iy
)
i 1
n
MaCz
F (e) iz
i 1
（9-21）
例9-4
如图9-6所示为一电机，电机的定子质量为m1，转子的质量为m2 。
由于制造上的误差，转子的质心偏离中心轴 O 的偏心距为 e 。
转子以匀角速度 绕O 轴转动。试求：
水平面上做匀速直线运动。现在一质量为 m3 0.5kg的物体A铅直向 下落入沙箱中，如图9-2（a）所示，求此后小车的速度。若A物落
入后，沙箱在小车上滑动 0.2 s 后才与车面相对静止，求车面与箱底
相互作用的摩擦力的平均值。
解
（1）先取小车、沙箱和物体A组成
的系统为研究对象。
图9-2（a）
（2）受力分析。系统受力如图9-2（a）所示，这些外力均沿铅垂 方向，所以作用在系统上的外力在水平方向的投影始终为零。故 系统的动量在水平方向守恒。
MvC mivi p
i 1
将式（9-19）代入式（9-11a），得
（9-19）
d
dt
(MvC )
n i 1
F (e) i
因为dvC /dt aC ，aC 为质心运动的加速度，则
n
MaC
F (e) i
（9-20）
i 1
式（9-20）就是质心运动定理，即质点系的质量与质心加 速度的乘积等于质点系所受外力的矢量和。
n
p p0
I（e） i
i 1
（9-13b）
将式（9-13b）在直角坐标轴上的投影，得
px p0x

理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)

理论力学 动力学基本方程(共25张PPT)

t
0
，x
xo，v
v
，试求质点的运动规律。
o
④选择并列出适当形式的质点运动微分方程。
舰载飞机在解发动：机和此弹射题器推力力 求运动，属于动力学第二类问题，且力为时间的函
假设推力和跑道可能长度，那么需要多大的初速度和一定的时间隔后才能到达飞离甲板时的速度。
数。质点运动微分方程为 (2) 力是改变质点运动状态的原因
惯性参考在系工程实际问题中，可近似地选取与地球相固连的坐标系
为惯性参考系。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
§9-2 质点的动力学根本方程
将动力学基本方程 (ma F) 表示为微分形式的方程，
称为质点的运动微分方程。
1.矢量形式 2.直角坐标形式
d 2r m dt2 F
d 2 x
d 2y
综合问题： 局部力，局部运动求另一局部力、局部运动。
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
工程实际中的动力学问题
舰载飞机在发动机和弹射器推力 作用下从甲板上起飞
河南理工大学力学系
理论力学
第九章 动力学基本方程
假设推力和跑道可能长度， 那么需要多大的初速度和 一定的时间隔后才能到达 飞离甲板时的速度。
载人飞船的交会与对接
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
动的初始条件，求出质点的运动。
该式建立了质量、力和加速度三者之间的
(4) 质量与重量之间的区别与联系。
§9-1 动力学根本定律
(3) 质量是物体惯性大小的度量。 ②受力分析,画出受力图 曲柄OA以匀角速度 转动,OA=r,AB=l,当

《理论力学(Ⅰ)》PPT 第9章

《理论力学(Ⅰ)》PPT 第9章

t2
t1
ri Fi dt
t2 t1
M O dt
力系对O点的冲量矩等于力系对O点的主矩
在同一时间内的冲量矩。
9.5 对固定点O的动量矩定理
1. 质点对固定点O的的动量矩定理
ma m dv r dmv r F d r mv v mv r dmv r dmv
dt
dt
dt
dt
dt
dr
OO
3mg AA
mg N
a
B xx
初始静止，则质心的x坐标不变。
3m a m 2b
xC1
33 4m
xC 2
3m
x
a 3
m
x
4m
a
b 3
xC1 xC 2
解得： x b a
4
解2：取系统为 y
研究对象
x
三棱柱A的水 平绝对位移 x O A
B x
三棱柱A的水平绝对位移 x a b
mixi 0 3mx mx a b 0
a ≠ 0即加速上升时
a
ma T mg
T mg ma
mg
总约 静约 动约 束力 束力 束力
解：在t时刻， vA
取截面A、B 间的流体为
PA
Aa
FN1静约束力
W重力
FN
动约束力
2
研究对象 经过dt时间间隔，流 B 质量 m Qγdt 体流到a、b截面之间
b vB
dt时间间隔内动量的变化量
PB
W1
W g
W1
r ω2 2
cos φ Wrω2 W1 W
cos φ
FAx
Q
FAx
Q
W1 2W 2g
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5
例1 图示为离心式调速器
已知：m1, m2 , l , , 求：(θ) 的关系。
答：
2 (m1 m2)g m1lcos
l θθ l
A B
m1g l
C
l m1g
m2g
2020/11/24
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6
例2 已知 P1,P2,,r,J 求a?
答:
a 2P1P2r2sin g 2P1P2r2 2Jg
a
p1
即 2 3G g2rG g2a1co sg2 G sin0 (b)
式(a)代入(b),可得 注意:
a13G1G G22gs2inG 22sin2
令 δx 0
时，牵连惯性力 G 2 g
a1
令 δ 0 时，相对惯性力 G 2 r g
两者相互独立。
并不为零； 并不为零，
2020/11/24
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例4 均质圆柱1与薄壁圆筒2用绳相连，并多圈缠绕 圆筒(绳与滑轮A的重量不计)。已知 m1 ,m2 ,r, 试求运动过程中轮心C与轮心O的加速度大小。
F Q j F Q * j 0j1 ,2 ,...k
F
* Qj
不便计算，拉格朗日方程利用两个经典
微分关系。将
F
* Q
j
能量化
从而导出拉氏方程。
1)
ri ri qj qj
“同时消点”
2)
d dt
ri q j
ri q j
“交换关系”（求导）
2020/11/24
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一、拉氏方程的一般形式
dT T
第9章 分析动力学基础
2020/11/24
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1
动力学普遍方程 拉格朗日方程 拉格朗日方程的首次积分
2020/11/24
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2
运用矢量力学分析非自由质点系，必然会 遇到约束力多，方程数目多，求解烦琐，能否 建立不含未知约束力的动力学方程？
将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建 立动力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为 第二类拉氏方程，实现用最少数目方程，描述 动力系统。
δWF(1) 0 有
图(b)
m 1 a 0 r δ 1 J 0 1 δ 1 ( m 2 a C m 2 g ) r δ 1 0
A
m 2aC
JC 2 C 2 m 2g 2
即 (3 2m 1rm 2r)1m 2r2m 2g
(d)
联立 (c)和(d)式，可得
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a 0r13 m m 12 g m 2,. a C(2 2 (m 3 2 m 1 3 m m 1 2 ))g
2020/11/24
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3
§9-1 动力学普遍方程
一. 方程的一般形式
1.矢量形式：
FiFIiri0
动力学普遍方程或 达朗贝尔－拉格朗日原理 理想约束，不论约束完整，定常与否均适用 2.直角坐标形式：
[ ( F i x m i x i ) δ x i ( F i y m iy i ) δ y i ( F i z m i z i ) δ z i ] 0 i
令 δ10,δ20，由 δWF(2) 0
有 ( m 2 g m 2 a C ) r δ2 J C 2 δ 2 0
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(a)
(b)
13
将式(a)及 JC m2r2 代入(b)式，
得 r(122)g (c) 再令 δ10,δ20
J O 1
1
O 1
m 1a 0 m 1g
由
p2
p1
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7
2020/11/24
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8
例3 已知重量 G1,G2,及,r, 轮纯滚,水平面光滑, 求三棱柱加速度。
O
G2 r
G1
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9
δ
1 2
G2 g
r 2
解:加惯性力，受力如图。
选 x , 广义坐标。
G2 g
r
O
r
G2 g
a1
δx
由
δ W F x = 0 ,δ 0 ,δ x 0
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4
3.广义坐标形式
设完整约束系统有K个自由度，可取 q1,q2,q3..q.k,广义坐标.
k
(FQj
*
FQj
)qj
0
j1
注意: 包含了惯性力虚功!
广义主动力 广义惯性力
n
r FQj
i 1
Fi
i
qj
*
r FQj
n
i1
miai
i
qj
*
FQj FQj 0
j1,2,k
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a1
G1
G2
G1 g
a1
有 G g 1a 1δxG g 2rco sδxG g 2a 1δx0
即
G 1 G 2a 1 G 2 rc os
(a)
又由 δ W F 0 ,δ 0 ,δ x 0 , 有
2020/11/24
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10
1 2 G g 2 r 2δ G g 2 rr δ G g 2 a 1 c o sr δ G 2 s in r δ 0
dtqj
qj
FQjBiblioteka j1,2,...k第二类拉氏方程，以t为自变量，q j ( t ) 为未知函数的 二阶常微分方程组，2k个积分常量，须2k个初始条 件
2020/11/24
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17
例1 均质杆OA质量为m1、可绕轴O转动,
大齿轮半径为R，小齿轮质量为m2，半
径为r ，其上作用一常力偶M，设机构处 于水平面。 求：该杆的运动方程。
14
思考 1.本题中如何求绳的张力及圆柱纯滚的条件?
2.用动力学普遍定理如何求解?
3.计入滑轮A质量,结果有何变化?
J O 1
1
O 1
m 1a 0 m 1g
图(b)
A
m 2aC
JC 2 C 2 m 2g 2
2020/11/24
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§9-2 拉格朗日方程
对于完整的约束系统，动力学普遍方程的广义坐标形式为
A
M
r
O
R
答：
(2m 193 m M 2)R (r)2t20t0
2020/11/24
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例2 已知： m1 , m2 , R, f , F 。
求： 板的加速度a。
CR
答：
O
F
x
x
a F f (m1 m2)g
m1
m2 3
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例３. 如图所示，铰盘半径为R，转动惯量为J， 其上作用力偶矩为M的力偶，重物质量分别为 m1 , m 2 不计摩擦与滑轮质量，求铰盘的角加速度 。
解:本系统为完整约束，主动力非有
势，采用基本形式的拉氏方程求解。
q1 ①判断系统的自由度，
取广义坐标。
m1
本题中， k 2 ，取 q 1 , q 2 为广义坐标，
1 m1 r
O
图(a)
A
m2 rC 2
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解:自由度k=2
取两轮转角 1 , 2 为 广义坐标，其受力与运
J O 1
1
O 1
m 1a 0 m 1 g
图(b)
动分析，如图(b)所示，
A
m 2aC
JC 2 C 2 m 2g 2
v C r1 r2 ,a C r1 r2