极坐标及极坐标方程精编版

常见的极坐标方程引言极坐标是一种用于描述平面上点的坐标系统，它不同于直角坐标系，而是使用极径和极角来确定点的位置。

在物理学、工程学和数学等领域，极坐标方程广泛应用于各种问题的建模和解决。

本文将详细介绍常见的极坐标方程，包括圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、螺线的极坐标方程等内容。

圆的极坐标方程圆在极坐标系中的方程是常见的极坐标方程之一。

假设圆心位于坐标原点，半径为r，则圆的极坐标方程为：r = a其中a为常数，表示圆的半径。

根据该方程，可以得到不同半径的圆。

直线的极坐标方程直线在极坐标系中的方程是另一种常见的极坐标方程。

对于经过坐标原点的直线，其极坐标方程为：θ = α其中α为常数，表示直线与极轴的夹角。

通过改变α的取值，可以得到不同夹角的直线。

螺线的极坐标方程螺线是一种特殊的曲线，其极坐标方程为：r = aθ其中a为常数。

根据该方程，当θ取不同的值时，可以得到不同形状的螺线。

阿基米德螺线阿基米德螺线是最常见的螺线之一，其极坐标方程为：r = a + bθ其中a和b为常数。

阿基米德螺线呈现出均匀的螺旋形状，可以在多个领域中找到应用，如建筑设计和机械工程。

对数螺线对数螺线是另一种常见的螺线，其极坐标方程为：r = a * e^(bθ)其中a和b为常数。

对数螺线在自然界中广泛存在，如蜗牛的壳的形状就类似于对数螺线。

超越螺线超越螺线是一类特殊的螺线，其极坐标方程为：r = a * exp(θ)其中a为常数。

超越螺线在数学研究中具有一定的重要性，它们通常具有无理数的特性。

总结本文介绍了常见的极坐标方程，包括圆的极坐标方程、直线的极坐标方程、螺线的极坐标方程等内容。

通过了解这些方程，可以更好地理解和应用极坐标系，从而解决各种实际问题。

同时，不同的极坐标方程也反映了曲线的不同特性和形状，对于数学和物理等学科的研究具有一定的意义。

在实际应用中，极坐标方程常常用于描述旋转对称的问题，如涡旋运动、天体运动等。

通过将问题转化为极坐标方程，可以简化计算和分析过程，得到更加直观和具体的结果。

极坐标系和极坐标方程一、基础知识归纳总结：1．伸缩变换：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换⎩⎨⎧>⋅='>⋅=').0(,y y 0),(x,x :μμλλϕ的作用下，点P(x,y)对应到点)y ,x (P '''，称ϕ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换。

2.极坐标系的概念：在平面内取一个定点Ｏ，叫做极点；自极点Ｏ引一条 射线Ｏｘ叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其 正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系。

3．点M 的极坐标：设M 是平面内一点，极点Ｏ与点M 的距离OM 叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ｏx 为始边，射线OM 为终边的∠XOM 叫做点M 的极角，记为θ。

有序数对),(θρ叫做点M 的极坐标，记为M ),(θρ. 极坐标),(θρ与)Z k )(2k ,(∈+πθρ表示同一个点。

极点O 的坐标为)R )(,0(∈θθ.4.若0<ρ,则0>-ρ,规定点),(θρ-与点),(θρ关于极点对称，即),(θρ-与),(θπρ+表示同一点。

如果规定πθρ20,0≤≤>，那么除极点外，平面内的点可用唯一的极坐标),(θρ表示；同时，极坐标),(θρ表示的点也是唯一确定的。

5.极坐标与直角坐标的互化：6.直线的极坐标方程：极坐标系中，)0(≥=ραθ表示以极点为起点的一条射线；)R (∈=ραθ表示过极点的一条直线. 在极坐标系中，过点A(,0)(0)a a >，且垂直于极轴的直线l 的极坐标方程是cos a ρθ=.在极坐标系中，过点0A(,)(0)a a θ>，且垂直于直线OA 的直线l 的极坐标方程是0cos()a ρθθ-=. 在极坐标系中，过点00A(,)ρθ，且与极轴成α角的直线的极坐标方程是00sin()cos()ραθραθ-=-.7.圆的极坐标方程：在极坐标系中，以极点为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 r =ρ； 在极坐标系中，以 C(,0)(0)r r >为圆心， r 为半径的圆的极坐标方程是 2cos r ρθ=；在极坐标系中，以 C(,)(0)2r r π>为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是 2rsin ρθ=；在极坐标系中，以 00C(,)ρθ 为圆心，r 为半径的圆的极坐标方程是2220002cos()r ρρρρθθ+--=；8.圆锥曲线方程：（1）1cos epe ρθ=-表示离心率为e ，焦点到相应准线距离为p 的圆锥曲线方程。

极坐标方程必背公式坐标系1．极坐标系的概念在平面上取一个定点O 叫做极点；自点O 引一条射线Ox 叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M 是平面上的任一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ；以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的∠xOM 叫做点M 的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．2．直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).3．圆的极坐标方程若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ20－r 2＝0. 几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ；(3)当圆心位于π(,)2M a ，半径为a ：ρ＝2a sin θ.4．直线的极坐标方程若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)．几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ；(3)直线过π(,)2M b 且平行于极轴：ρsin θ＝b .方法总结：进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ，ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0)．练习、在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=+-=ty t x 32（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位，曲线C 的极坐标方程为0cos 2=+θρ.把曲线C 的极坐标方程化为普通方程；。

参数方程与极坐标(精华版)y y tsin注意：倾角为的直线，斜率为tan，所以tan=tan，即tcos=tsin，所以cos=sin，即=45，即直线与x轴或y轴夹45角。

Eg：已知直线L过点（1，2）且与x轴夹45角，求直线L的方程。

解：设直线L的参数方程为x=1+tcos45，y=2+tsin45，即x=1+t/2，y=2+t/2，将y=mx+b代入得到m=1，b=3/2，即直线L的方程为y=x+3/2.四、极坐标1、定义：在平面直角坐标系中，点P到原点O的距离r和OP与x轴正半轴的夹角唯一确定点P的位置，称（r，）为点P的极坐标，r为极径，为极角，记作P（r，）。

2、极坐标与直角坐标的转换x=r cos，y=r sinr2=x2+y2，tan=y/x3、常见曲线的极坐标方程1）圆：r=a2）半直线：=0或=3）双曲线：r=a sec或r=a cosec4）椭圆：r=a bcos或r=a sin5）心形线：r=a(1+cos)6）阿基米德螺线：r=a+b7）对数螺线：r=a e b8）伯努利双曲线：r2=a2 sec29）费马螺线：r=2a sin(/2)10）旋轮线：r=a或r=a sin(n)/sin（n为正整数）总结：极坐标的方程形式比较简单，但是不同曲线的极坐标方程需要记忆，转换成直角坐标系方程需要用到三角函数的知识。

P点的有向距离在点P两侧t的符号相反，可以通过直线的参数方程来表示。

其中，t代表有向距离的几何意义。

需要注意的是，t的符号相对于点P，正负在P点两侧，且|PP|=|t|。

直线参数方程可以有多种变式，比如y=y+tsinα和x=x+at，y=y+bt，但此时t的几何意义不是有向距离。

只有当t前面系数的平方和为1时，t的几何意义才是有向距离。

因此，可以将直线参数方程整理为x=x+a2+b2t，XXX，让a2+b2t作为t，这样t的几何意义就是有向距离了。

例如，对于直线x=-1+3t，y=2-4t，可以求其倾斜角。

极坐标方程公式大全极坐标是一种由半径和角度两个参数来描述点的坐标系统。

极坐标系常用于描述圆形、螺线等曲线，对于研究具有旋转对称性的问题非常有用。

在数学和物理学中，极坐标方程提供了描述极坐标系中各种曲线和图形的公式。

本文将介绍一些常见的极坐标方程公式。

圆的极坐标方程圆可以用极坐标方程表示为：r=a其中，a是圆的半径。

该公式表示了以原点为中心的圆，半径为a。

简单螺线的极坐标方程螺线是在极坐标系中以常数速率展开的曲线。

最常见的螺线是阿基米德螺线，其极坐标方程可以表示为：$r = a + b \\theta$其中，a和b是常数，$\\theta$ 是极角。

该公式描述了螺线的形状，a表示了螺线的起始半径，b表示了螺线的展开速率。

雪花曲线的极坐标方程雪花曲线是一种具有对称性的曲线，它由多个相互重叠的圆组成。

它的极坐标方程可以表示为：$r = a \\cdot \\sin(n \\theta)$其中，a和n是常数，$\\theta$ 是极角。

该公式描述了雪花曲线的形状，a控制着雪花曲线的大小，n控制着雪花曲线的复杂程度。

心形线的极坐标方程心形线是以两个相互重叠的圆为基础构成的曲线。

它的极坐标方程可以表示为：$r = a(1 - \\sin \\theta)$其中，a是常数，$\\theta$ 是极角。

该公式描述了心形线的形状，a控制着心形线的大小。

摆线的极坐标方程摆线是由一个悬挂的线上的一点在重力作用下运动形成的曲线。

摆线的极坐标方程可以表示为：$r = a - b \\cdot \\cos \\theta$其中，a和b是常数，$\\theta$ 是极角。

该公式描述了摆线的形状，a控制摆线的振幅，b控制摆线的周期。

总结极坐标方程提供了描述极坐标系中各种曲线和图形的公式。

本文介绍了圆、螺线、雪花曲线、心形线和摆线的极坐标方程。

每个公式都可以通过调整常数参数来控制图形的形状和大小。

极坐标方程的使用可以简化对特定曲线和图形的描述和分析，为研究具有旋转对称性的问题提供了便利。

（完整版）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结（最新整理）极坐标与参数⽅程知识点、题型总结⼀、伸缩变换：点是平⾯直⾓坐标系中的任意⼀点，在变换),(y x P 的作⽤下，点对应到点，称伸缩变换>?='>?=').0(,y y 0),(x,x :µµλλ?),(y x P ),(y x P '''⼀、1、极坐标定义：M 是平⾯上⼀点，表⽰OM 的长度，是，则有序实数实ρθMOx ∠数对,叫极径，叫极⾓；⼀般地，，。

，点P 的直⾓坐标、(,)ρθρθ[0,2)θπ∈0ρ≥极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ)2、直⾓坐标极坐标 2、极坐标直⾓坐标?cos sin x y ρθρθ=??=??222tan (0)x y y x xρθ?=+??=≠?3、求直线和圆的极坐标⽅程：⽅法⼀、先求出直⾓坐标⽅程，再把它化为极坐标⽅程⽅法⼆、（1）若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的⾓为α，则它的⽅程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆⼼为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆⽅程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0⼆、参数⽅程：（⼀）．参数⽅程的概念：在平⾯直⾓坐标系中，如果曲线上任意⼀点的坐标都是某个变数的函数并且对于的每⼀个允许值，由这个⽅程所确y x ,t ?==),(),(t g y t f x t 定的点都在这条曲线上，那么这个⽅程就叫做这条曲线的参数⽅程，联系变数),(y x M 的变数叫做参变数，简称参数。

相对于参数⽅程⽽⾔，直接给出点的坐标间关系的y x ,t ⽅程叫做普通⽅程。

（⼆）．常见曲线的参数⽅程如下：直线的标准参数⽅程1、过定点（x 0，y 0），倾⾓为α的直线：（t 为参数）ααsin cos 00t y y t x x +=+=（1）其中参数t 的⼏何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t|(2)直线上对应的参数是。

1．极坐标系(1)定义在平面内取定点O，叫做极点，引一条射线OX叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向(通常以逆时针方向)，这样就建立了极坐标系；(2)点的极坐标点M在极坐标平面内，|OM|=ρ，∠MOX=θ，则点M的坐标为M(ρ，θ)，ρ叫做点M的极径，θ叫做点M的极角．当ρ＜0时，∠XOP=θ，在OP的反向延长线上取一点M，使|OM|=|ρ|，点M就是坐标为(ρ，θ)的点．由于(ρ，θ+2kπ)，(-ρ，θ+(2k+1)π)(k∈Z)都表示同一点，因此在极坐标平面上点与有序数对不是一一对应的．但如果限定ρ＞0，0≤θ＜2π或-π＜θ≤π，则除极点外就可以一一对应了；(3)对称点坐标点M(ρ，θ)关于极轴的对称点为M；(ρ，-θ)，点M(ρ，θ)关于极点的对称点为M。

(-ρ，θ)，点M(ρ，θ)关于过极点与极轴垂直的直线(极垂线)的对称点为M(-ρ，-θ)；(4)极坐标内两点的距离公式2．直角坐标与极坐标的互化(1)互化条件原点与极点重合，极轴与x轴正半轴重合，两个坐标系长度单位一致．(2)互化公式(3)互化公式所得到的圆锥曲线的方程例题在极坐标系中，点(ρ，0)与(-ρ，π-θ)的位置是 [ ]A．关于极轴所在直线对称；B．关于极点对称；D．重合．说明一般地，为了求出点(ρ，θ)满足一定条件的极坐标，可先写出它的极坐标的一般形式，再根据ρ和θ的条件确定k的值，从而得到所要求的坐标．【例4】已知点B，C，D的直角坐标为(2，-2)，(0，-15)，(-12，5)，求它的极坐标(ρ＞0，0＜θ＜2π)．[ ]A．直线B．圆C．双曲线D．抛物线分析将方程化为直角坐标方程，即可判断曲线形状．因为给定的[ ]∴极坐标方程是ρ=1+cosθ(图形是心脏线)．说明通过上两例可看出，化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状，但如曲线是由动点旋转运动而产生的，则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单．解法2 由圆锥曲线的统一方程可知∴b2=a2-c2=132-122=52以下同上．说明显然解法2简便，直接根据ρ，θ的几何意义求出a和c．*【例8】求以抛物线y2=3x的焦点为极点，对称轴向右的方向为极轴的正方向时，抛物线的极坐标方程．说明本例作了特殊的要求，则不能用互化公式，利用圆锥曲线统一的极坐标方程不仅方程形式简单，而且几何意义明显，这种特殊的互化方法有广泛的应用，应予以特别注意．解ρ(0)=6即a+c=6ρ(π)=2即a-c=2【例10】点P在直线x+y=1上移动，在连接原点与点P的射线上取点Q，使|QP|·|OQ|=4，求点Q的轨迹方程(如图3-2)解 x+ y=1化成极坐标方程为ρcosθ+ρsinθ=1即x′2+y′2=±(4x+4y)．故Q点轨迹方程为 x2+y2-4x-4y=0，和x2+y2+4x+4y=0．3．曲线的极坐标方程在极坐标系中，称方程F(ρ，o)=0是曲线C的极坐标方程，如果以这个方程的每一个解为坐标的点都是曲线C上的点，而且C上每一个点的坐标中至少有一个坐标能够满足这个方程．4．求曲线的极坐标方程和直角坐标系中一样，在极坐标系中求曲线的极坐标方程的主要方法有直接法、转移法和参数法，每种方法的计算步骤与直角坐标系完全类似，只需把步骤中的直角坐标(x，y)改成极坐标(ρ，θ)就可以了．求曲线的极坐标方程，经常要用正、余弦定理三角形面积公式和有关三角知识．5．常见曲线的极坐标方程(1)经过极点倾斜角为α的直线方程为θ=α和θ=α+π；(2)与极轴平行并与极轴距离为a(a＞0)的直线方程为ρsinθ=±a；(3)与极轴垂直(含极轴所在直线)与极点距离为b(b＞0)的直线方程ρcosθ=±b；(4)圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程为ρ=r；(5)圆心在O′(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ02-r2=0；当0＜e＜l时，方程表示椭圆，当e=1，θ≠2kπ时方程表示抛物线，*(7)等速螺线方程(二)极坐标·习题解法提要(1)极坐标系是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系，通常点的极坐标(ρ，θ)中，ρ取非负值，表示极点O到点A的距离，极角θ采用弧度制．必要时，ρ也可取负值．极坐标平面上同一点的极坐标有无数种表示法，即若(ρ，θ)是一个点的极坐标，则(ρ，2kπ+θ)，[-ρ，(2k+1)π+θ](k∈Z)都是此点的极坐标．(2)在极坐标系中，由于曲线上同一点有不同的坐标，故对于一条曲线的同一极坐标方程，点的坐标中有的满足该方程，有的则不一定满足；但曲线上点的极坐标中应至少有一个满足此曲线的这一方程．同一曲线的极坐标方程也可能不止一种形式．(3)由于极坐标是用长度和角度来表示的，故在求曲线的极坐标方程时，常构造三角形，利用三角形中的边角关系及三角函数的有关公式求出ρ和θ的关系式，即曲线的方程．求曲线的极坐标方程的基本方法有：①直接法：建立极坐标系，根据动点的运动规律，列出动点的极径ρ与极角θ间的关系式，化简整理得出极坐标方程ρ=f(θ)．同时应注意θ的取值范围．②代入法：若已知Q点的轨迹方程和动点P与Q点的相关关系，则可先求出P，Q的极坐标间的关系式，再将关系式代入Q点满足的极坐标方程中，求出P点的轨迹的极坐标方程．③先求曲线的普通方程，再转化为极坐标方程．(4)在同一平面内建立的一个极坐标系和一个直角坐标系，当极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合时，平面上任一点P的极坐标(ρ，θ)与直角坐标(x，y)之间存在下列关系：(5)常见曲线的极坐标方程：(i)直线①过极点、倾斜角为α的直线：θ=α(ρ∈R)②与极轴垂直的直线：ρcosθ=a③与极轴平行的直线：ρsinθ=a④倾斜角为α、极点到它的距离在d的直线：ρsin(α-θ)=d(ii)圆①圆心在极点、半径为a的圆：ρ=a②过极点、圆心为(a，0)、半径为|a|的圆：ρ=2acosθ④圆心为C(ρ0，θ0)，半径为r的圆：(iii)圆锥曲线的统一的极坐标方程其中e为离心率，p为焦点到对应准线的距离．①当0＜e＜1时，方程表示极点为左焦点，极轴所在直线为对称轴的椭圆；②当e=1时，方程表示极点为焦点，开口向右的抛物线；③当e＞1时，方程表示极点为右焦点，极轴所在直线为对称轴的双曲线．ρ＞0时，为右支；ρ＜0时，为左支．椭圆的极坐标方程ρ=ep/(1-ecosθ)是以左焦点F1为极点O，射线F1F2为极轴，依据椭圆的第二定义得来此时极点到椭圆的左准线是p,椭圆的任意点P（ρ，θ)满足ρ/(p+ρcosθ)=e--->ρ=ep+eρcosθ--->ρ(1-ecosθ)=ep--->ρ=ep/(1-ecosθ)(0<e<1)这就是椭圆的极坐标方程。

⎩ ⎩ 极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解知识点回顾（一）曲线的参数方程的定义：在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标 x 、y 都是某个变数 t 的函数，即⎧x = ⎨y = f (t ) f (t )并且对于 t 每一个允许值，由方程组所确定的点 M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系 x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下：1. 过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线：x = x 0 + t cos y = y 0 + t sin（t 为参数）其中参数 t 是以定点 P （x 0，y 0）为起点，对应于 t 点 M （x ，y ）为终点的有向线段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论．○1 ．设 A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 t A 和 t B ，则 AB ＝ t B -t A ＝．t A + t B．线段 AB 的中点所对应的参数值等于 ．22. 中心在（x 0，y 0），半径等于 r 的圆：x = x 0 + r cosy = y 0 + r s in（为参数）3. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的椭圆：x = a c os y = b s in（为参数） （或x = b c os ）y = a s in中 心 在 点 （ x0,y0） 焦 点 在 平 行 于 x 轴 的 直 线 上 的 椭 圆 的 参 数 方 程⎧x = x 0 + a cos ,⎨y = y + b sin (为参数） .4. 中心在原点，焦点在 x 轴（或 y 轴）上的双曲线：(t B - t A ) - 4t ⋅ t2A B○2 0x = a s ec （为参数） （或x = b tg）y = b tgy = a s ec5. 顶点在原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线：x = 2 pt 2 y = 2 pt（t 为参数，p ＞0）直线的参数方程和参数的几何意义过定点P （x ，y ），倾斜角为的直线的参数方程是⎧x = x 0 + t cos（t 为参数）．⎨⎩ y = y 0+ t sin（三）极坐标系1、定义：在平面内取一个定点 O ，叫做极点，引一条射线 Ox ，叫做极轴，再选一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。