2013北京单考单招数学试题

绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x ≤＜=-，则A B = ( )A .{0}B .{1,0}-C .{0,1}D .{1,0,1}- 2.设a ，b ，c R ∈，且a b >，则( )A .ac bc >B .11a b< C .22a b >D .33a b >3.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递减的是( )A .1y x=B .xy e -=C .21y x =-+ D .lg||y x = 4.在复平面内，复数i(2i)-对应的点位于( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限5.在ABC △中，3a =，5b =，1sin 3A =，则sin B =( )A .15B .59 CD .16.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( )A .1B .23C .1321D .6109877.双曲线221y x m-=( )A .12m ＞ B .1m ≥ C .1m ＞D .2m ＞8.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为对角线1BD 的三等分点，P 到各顶点的距离的不同取值有( )A .3个B .4个C .5个D .6个第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.若抛物线22y px =的焦点坐标为(1,0)，则p = ；准线方程为 . 10.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积为 .11.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = .12.设D 为不等式组02030x x y x y ≥，≤，≤，⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，区域D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为 .13.函数12log ,1()2,1x x x f x x ≥＜⎧⎪=⎨⎪ ⎩的值域为 .14.已知点(1,1)A -，(3,0)B ，(2,1)C .若平面区域D 由所有满足AP AB AC λμ=+（12≤≤λ，01≤≤μ）的点P 组成，则D 的面积为 .--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无------------------------------------姓名________________ 准考证号_____________三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）已知函数21()(2cos 1)sin 2cos42f x x x x =-+.（Ⅰ）求()f x 的最小正周期及最大值； （Ⅱ）若π(,π)2α∈，且()f α=α的值.16.（本小题满分13分）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天.（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17.（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，AB AD ⊥，2CD AB =，平面PAD ⊥底面ABCD ，PA AD ⊥.E 和F 分别是CD 和PC 的中点，求证： （Ⅰ）PA ⊥底面ABCD ； （Ⅱ）BE ∥平面PAD ； （Ⅲ）平面BEF ⊥平面PCD .18.（本小题满分13分）已知函数2()sin cos f x x x x x =++.（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切，求a 与b 的值； （Ⅱ）若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点，求b 的取值范围.19.（本小题满分14分）直线y kx m =+（0m ≠）与椭圆W ：2214x y +=相交于A ，C 两点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 的坐标为(0,1)，且四边形OABC 为菱形时，求AC 的长； （Ⅱ）当点B 在W 上且不是W 的顶点时，证明：四边形OABC 不可能为菱形.20.（本小题满分13分）给定数列1a ，2a ，，n a .对1,2,,1i n =-，该数列前i 项的最大值记为i A ，后n i-项1i a +，2i a +，，n a 的最小值记为i B ，i i i d A B =-.（Ⅰ）设数列{}n a 为3，4，7，1，写出1d ，2d ，3d 的值； （Ⅱ）设1a ，2a ，，n a （4n ≥）是公比大于1的等比数列，且10a ＞.证明：1d ，2d ，，1n d -是等比数列； （Ⅲ）设1d ，2d ，，1n d -是公差大于0的等差数列，且10d ＞.证明：1a ，2a ，，1n a -是等差数列.【解析】设正方体的棱长为a则11()()(00000D D a C ，，，，，，则222111999PB a a a =++=222441999PD a a a =++=1499PD =14PC PA ====PC PA 49a 2119PB a =+故共有4个不同取值，故选根据数形结合知(1)0，到D 的距离最小值为13．【答案】(2)∞－，【解析】当1x ≥时，12log log x ≤【答案】3【解析】AP AB AC μλ=+，2()1AB =，，1()2AC =，，则(x AP =－，,,μμ 得2--3,x y λ⎧=⎪⎪⎨0-23,x y ≤≤⎩可得111304()()(3)26A B C ，，，，，11A B ＝22(4-3)+2=5，两直线距离2|9-6|3521d ==+∴113S A B d ⋅＝＝． 三、解答题15．【答案】（1）()f x 的最小正周期为（2）9π16α=【解析】（1）因为()2cos (f x ＝1AB CD CD ，＝＝所以BE DE，且AB DE所以ABCD为平行四边形。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.1.(2013北京,理1)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=().A.{0}B.{-1,0}C.{0,1}D.{-1,0,1}答案:B解析:{-1,0,1}∩{x|-1≤x<1}={-1,0}.2.(2013北京,理2)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于().A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案:D解析:∵(2-i)2=3-4i,∴该复数对应的点位于第四象限,故选D.3.(2013北京,理3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的().A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:∵φ=π,∴y=sin(2x+π)=-sin2x,∴曲线过坐标原点,故充分性成立;∵y=sin(2x+φ)过原点,∴sinφ=0,∴φ=kπ,k∈Z.故必要性不成立.故选A.4.(2013北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为().A.1B.23C.1321D.610987答案:C解析:依次执行的循环为S=1,i=0;S=23,i=1;S=1321,i=2.故选C .5.(2013北京,理5)函数f (x )的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=e x 关于y 轴对称,则f (x )=( ). A.e x+1 B.e x-1 C.e -x+1 D.e -x-1答案:D解析:依题意,f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y=e -x ,于是f (x )相当于y=e -x 向左平移1个单位的结果,∴f (x )=e -x-1,故选D . 6.(2013北京,理6)若双曲线x 22−y 2b 2=1的离心率为√3,则其渐近线方程为( ).A.y=±2xB.y=±√2xC.y=±12x D.y=±√22x答案:B解析:由离心率为√3,可知c=√3a ,∴b=√2a.∴渐近线方程为y=±b ax=±√2x ,故选B .7.(2013北京,理7)直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( ). A.43B.2C.83D.16√23答案:C解析:由题意可知,l 的方程为y=1.如图,B 点坐标为(2,1),∴所求面积S=4-2∫ 20x 24d x=4-2(x 312)|02=83,故选C .8.(2013北京,理8)设关于x ,y 的不等式组{2x -y +1>0,x +m <0,y -m >0表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0),满足x 0-2y 0=2,求得m 的取值范围是( ). A.(-∞,43) B.(-∞,13) C.(-∞,-23)D.(-∞,-53)答案:C解析:图中阴影部分表示可行域,要求可行域内包含y=12x-1上的点,只需要可行域的边界点(-m ,m )在y=12x-1下方,也就是m<-12m-1,即m<-23.故选C .第二部分(非选择题 共110分)二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.9.(2013北京,理9)在极坐标系中,点(2,π6)到直线ρsin θ=2的距离等于 .答案:1解析:在极坐标系中,点(2,π6)对应直角坐标系中坐标为(√3,1),直线ρsin θ=2对应直角坐标系中的方程为y=2,所以点到直线的距离为1.10.(2013北京,理10)若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q= ;前n 项和S n = . 答案:2 2n+1-2解析:由题意知q=a 3+a 5a 2+a 4=4020=2.由a 2+a 4=a 2(1+q 2)=a 1q (1+q 2)=20, ∴a 1=2.∴S n =2(1-2n )1-2=2n+1-2. 11.(2013北京,理11)如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D ,若PA=3,PD ∶DB=9∶16,则PD= ,AB= .答案:95 4解析:设PD=9k ,则DB=16k (k>0).由切割线定理可得,PA 2=PD ·PB , 即32=9k ·25k ,可得k=15.∴PD=95,PB=5.在Rt△APB中,AB=√PB2-PA2=4.12.(2013北京,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是.答案:96解析:连号有4种情况,从4人中挑一人得到连号参观券,其余可以全排列,则不同的分法有4×C41A33=96(种).13.(2013北京,理13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则λμ=.答案:4解析:可设a=-i+j,i,j为单位向量且i⊥j,则b=6i+2j,c=-i-3j.由c=λa+μb=(6μ-λ)i+(λ+2μ)j,∴{6μ-λ=-1,λ+2μ=-3,解得{λ=-2,μ=-12.∴λμ=4.14.(2013北京,理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P 到直线CC1的距离的最小值为.答案:2√55解析:过E点作EE1垂直底面A1B1C1D1,交B1C1于点E1,连接D1E1,过P点作PH垂直于底面A1B1C1D1,交D1E1于点H,P点到直线CC1的距离就是C1H,故当C1H垂直于D1E1时,P点到直线CC1距离最小,此时,在Rt△D1C1E1中,C1H⊥D1E1,D1E1·C1H=C1D1·C1E1,∴C1H=2√5=2√55.三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤.15.(2013北京,理15)(本小题共13分)在△ABC中,a=3,b=2√6,∠B=2∠A,(1)求cos A的值;(2)求c的值.解:(1)因为a=3,b=2√6,∠B=2∠A,所以在△ABC中,由正弦定理得3sinA =2√6sin2A.所以2sinAcosAsinA =2√63.故cos A=√63.(2)由(1)知,cos A=√63,所以sin A=√1-cos2A=√33.又因为∠B=2∠A,所以cos B=2cos2A-1=13.所以sin B=√1-cos2B=2√23.在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+cos A sin B=5√39.所以c=asinCsinA=5.16.(2013北京,理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明)解:设A i表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).根据题意,P(A i)=113,且A i∩A j=⌀(i≠j).(1)设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A 5∪A 8. 所以P (B )=P (A 5∪A 8)=P (A 5)+P (A 8)=213. (2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,1,2,且P (X=1)=P (A 3∪A 6∪A 7∪A 11)=P (A 3)+P (A 6)+P (A 7)+P (A 11)=413, P (X=2)=P (A 1∪A 2∪A 12∪A 13)=P (A 1)+P (A 2)+P (A 12)+P (A 13)=413, P (X=0)=1-P (X=1)-P (X=2)=513. 所以X 的分布列为:故X 的期望EX=0×513+1×413+2×413=1213. (3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.17.(2013北京,理17)(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,AB=3,BC=5, (1)求证:AA 1⊥平面ABC ; (2)求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B ,并求BDBC 1的值.解:(1)因为AA 1C 1C 为正方形,所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC ,所以AA 1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA 1⊥AC ,AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A-xyz ,则B (0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4).设平面A 1BC 1的法向量为n =(x ,y ,z ), 则{n ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n ·A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即{3y -4z =0,4x =0.令z=3,则x=0,y=4,所以n =(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的法向量为m =(3,4,0). 所以cos <n ,m >=n ·m |n ||m |=1625. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角, 所以二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值为1625. (3)设D (x ,y ,z )是直线BC 1上一点,且BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 所以(x ,y-3,z )=λ(4,-3,4). 解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ. 所以AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(4λ,3-3λ,4λ).由AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即9-25λ=0,解得λ=925.因为925∈[0,1],所以在线段BC 1上存在点D ,使得AD ⊥A 1B. 此时,BD BC 1=λ=925.18.(2013北京,理18)(本小题共13分)设L 为曲线C :y=lnxx在点(1,0)处的切线. (1)求L 的方程;(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C 在直线L 的下方. 解:(1)设f (x )=lnx x,则f'(x )=1-lnxx 2. 所以f'(1)=1.所以L 的方程为y=x-1.(2)令g (x )=x-1-f (x ),则除切点之外,曲线C 在直线L 的下方等价于g (x )>0(∀x>0,x ≠1). g (x )满足g (1)=0,且g'(x )=1-f'(x )=x 2-1+lnxx 2.当0<x<1时,x 2-1<0,ln x<0,所以g'(x )<0,故g (x )单调递减; 当x>1时,x 2-1>0,ln x>0,所以g'(x )>0,故g (x )单调递增. 所以,g (x )>g (1)=0(∀x>0,x ≠1).所以除切点之外,曲线C 在直线L 的下方.19.(2013北京,理19)(本小题共14分)已知A ,B ,C 是椭圆W :x 24+y 2=1上的三个点,O 是坐标原点. (1)当点B 是W 的右顶点,且四边形OABC 为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B 不是W 的顶点时,判断四边形OABC 是否可能为菱形,并说明理由. 解:(1)椭圆W :x 24+y 2=1的右顶点B 的坐标为(2,0).因为四边形OABC 为菱形,所以AC 与OB 相互垂直平分.所以可设A (1,m ),代入椭圆方程得14+m 2=1,即m=±√32. 所以菱形OABC 的面积是12|OB|·|AC|=12×2×2|m|=√3. (2)假设四边形OABC 为菱形.因为点B 不是W 的顶点,且直线AC 不过原点,所以可设AC 的方程为y=kx+m (k ≠0,m ≠0). 由{x 2+4y 2=4,y =kx +m 消y 并整理得(1+4k 2)x 2+8kmx+4m 2-4=0.设A (x 1,y 1),C (x 2,y 2), 则x 1+x 22=-4km 1+4k 2,y 1+y 22=k ·x 1+x 22+m=m1+4k 2. 所以AC 的中点为M (-4km 1+4k2,m 1+4k 2).因为M 为AC 和OB 的交点,所以直线OB 的斜率为-14k. 因为k ·(-14k)≠-1,所以AC 与OB 不垂直.所以OABC 不是菱形,与假设矛盾.所以当点B 不是W 的顶点时,四边形OABC 不可能是菱形.20.(2013北京,理20)(本小题共13分)已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n 项的最大值记为A n ,第n 项之后各项a n+1,a n+2,…的最小值记为B n ,d n =A n -B n .(1)若{a n }为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n ∈N *,a n+4=a n ),写出d 1,d 2,d 3,d 4的值; (2)设d 是非负整数,证明:d n =-d (n=1,2,3,…)的充分必要条件为{a n }是公差为d 的等差数列; (3)证明:若a 1=2,d n =1(n=1,2,3,…),则{a n }的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 解:(1)d 1=d 2=1,d 3=d 4=3.(2)(充分性)因为{a n }是公差为d 的等差数列,且d ≥0, 所以a 1≤a 2≤…≤a n ≤….因此A n =a n ,B n =a n+1,d n =a n -a n+1=-d (n=1,2,3,…). (必要性)因为d n =-d ≤0(n=1,2,3,…), 所以A n =B n +d n ≤B n .又因为a n ≤A n ,a n+1≥B n ,所以a n ≤a n+1. 于是,A n =a n ,B n =a n+1, 因此a n+1-a n =B n -A n =-d n =d , 即{a n }是公差为d 的等差数列. (3)因为a 1=2,d 1=1, 所以A 1=a 1=2,B 1=A 1-d 1=1. 故对任意n ≥1,a n ≥B 1=1. 假设{a n }(n ≥2)中存在大于2的项. 设m 为满足a m >2的最小正整数, 则m ≥2,并且对任意1≤k<m ,a k ≤2.又因为a1=2,所以A m-1=2,且A m=a m>2.于是,B m=A m-d m>2-1=1,B m-1=min{a m,B m}≥2.故d m-1=A m-1-B m-1≤2-2=0,与d m-1=1矛盾.所以对于任意n≥1,有a n≤2,即非负整数列{a n}的各项只能为1或2.因为对任意n≥1,a n≤2=a1,所以A n=2.故B n=A n-d n=2-1=1.因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且a m=1,即数列{a n}有无穷多项为1.。

2013北京高考理科数学试题第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分,共40分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1,0,1},B={x |－1≤x ＜1},则A∩B= ( )A.{0}B.{－1,0}C.{0,1}D.{－1,0,1}2.在复平面内,复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为A.1B.23C.1321D.610987 5.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度,所得图象与y =e x 关于y 轴对称,则f (x )=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --6.若双曲线22221x y a b-=3则其渐近线方程为 A.y =±2x B.y =2x C.12y x =± D.22y x =± 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43 B.2 C.83162 8.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0,y 0)满足x 0－2y 0=2,求得m 的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6题,每小题5分,共30分.9.在极坐标系中,点(2,6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20,a 3＋a 5=40,则公比q = ;前n 项和S n =.11.如图,AB 为圆O 的直径,PA 为圆O 的切线,PB 与圆O 相交于D,PA=3,916PD DB =,则PD= ,AB= .12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少一张,如果分给同一人的两张参观券连号,那么不同的分法种数是 .13.向量a ,b ,c 在正方形网格中的位置如图所示,若c =λa ＋μb (λ,μ∈R ),则λμ=14.如图,在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,E 为BC 的中点,点P 在线段D 1E 上,点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题,共80分。

2013北京高考理科数学试题及解析第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

第一部分一、选择题1．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝( )． A ．{0} B ．{－1,0} C ．{0,1} D ．{－1,0,1} 答案 B解析 ∵－1,0∈B,1∉B ，∴A ∩B ＝{－1,0}．2．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )．A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案 D解析 (2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，∴对应点坐标(3，－4)，位于第四象限．3．“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过坐标原点”的( )． A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当φ＝π时，y ＝sin(2x ＋φ)＝－sin 2x 过原点．当曲线过原点时，φ＝k π，k ∈Z ，不一定有φ＝π.∴“φ＝π”是“曲线y ＝sin(2x ＋φ)过原点”的充分不必要条件．4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( )．A ．1 B.23 C.1321 D.610987答案 C解析 执行一次循环后S ＝23，i ＝1，执行第二次循环后，S ＝1321，i ＝2≥2，退出循环体，输出S 的值为1321.5．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( )．A ．e x ＋1B ．e x －1C ．e －x ＋1D ．e －x －1 答案 D解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x 的图象．∴f (x )的图象由y ＝e －x 的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.6．若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率为3，则其渐近线方程为( )．A ．y ＝±2xB ．y ＝±2xC ．y ＝±12xD ．y ＝±22x答案 B解析 由e ＝3，知c ＝3a ，得b ＝2a .∴渐近线方程y ＝±bax ，y ＝±2x .7．直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )．A.43 B ．2 C.83 D.1623 答案 C解析 由C ：x 2＝4y ，知焦点P (0,1)．∴直线l 的方程为y ＝1.∴所求面积S ＝4－⎠⎛2－2x 24 d x ＝4－⎪⎪x 3122－2＝83.8．设关于x 、y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1>0，x ＋m<0，y －m>0表示的平面区域内存在点P(x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是( )．A .⎝⎛⎭⎫－∞，43B .⎝⎛⎭⎫－∞，13C .⎝⎛⎭⎫－∞，－23D .⎝⎛⎭⎫－∞，－53答案 C 解析作不等式组表示的可行域，如图，要使可行域存在，必有m<1－2m.若可行域存在点P(x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，则可行域内含有直线y ＝12x －1上的点，只需边界点(－m,1－2m)在y＝12x －1上方，且(－m ，m)在直线y ＝12x －1的下方．解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧m<1－2m ，1－2m>－12m －1，m<－12m －1.得m<－23.第二部分二、填空题9．在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎫2，π6到直线ρsin θ＝2的距离等于________． 答案 1解析 极坐标系中点⎝⎛⎭⎫2，π6对应直角坐标系中坐标为(3，1)，极坐标系直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中直线方程为y ＝2，∴点到直线y ＝2的距离为d ＝1.10．若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 设等比数列的公比为q ，由a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40.∴20q ＝40，且a 1q ＋a 1q 3＝20，解之得q ＝2，且a 1＝2.因此S n ＝a 1(1－q n )1－q＝2n ＋1－2.11. 如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若PA ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________，AB ＝________.答案 954解析 由PD ∶DB ＝9∶16.设PD ＝9a ，DB ＝16a ，由切割线定理，PA 2＝PD·PB ，即9＝9a ×25a ，∴a ＝15，所以PD ＝95.在Rt △PAB 中，PB ＝25a ＝5，∴AB ＝PB 2－PA 2＝52－32＝4.12．将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是________． 答案 96解析 将5张参观券分成4堆，有2个联号有4种分法，每种分法再分给4人，各有A 44种分法，∴不同的分法种类共有4A 44＝96.13. 向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝________.答案 4解析 以向量a 和b 的交点为原点建直角坐标系，则a ＝(－1,1)，b ＝(6,2)，c ＝(－1，－3)，根据c ＝λa ＋μb ⇒(－1，－3)＝λ(－1,1)＋μ(6,2)有－λ＋6μ＝－1，λ＋2μ＝－3，解之得λ＝－2且μ＝－12，故λμ＝4.14. 如图，在棱长为2的正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为________．答案 255解析 取B 1C 1中点E 1，连接E 1E ，D 1E 1，过P 作PH ⊥D 1E 1，连接C 1H .∴EE 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，PH ∥EE 1，∴PH ⊥底面A 1B 1C 1D 1，∴P 到C 1C 的距离为C 1H .当点P 在线段D 1E 上运动时，最小值为C 1到线段D 1E 1的距离．在Rt △D 1C 1E 1中，边D 1E 1上的高h ＝2×15＝255.三、解答题15．在△ABC 中，a ＝3，b ＝26，∠B ＝2∠A . (1)求cos A 的值； (2)求c 的值．解 (1)在△ABC 中，由正弦定理 a sin A ＝b sin B ⇒3sin A ＝26sin 2A ＝262sin A cos A∴cos A ＝63.(2)由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ⇒32＝(26)2＋c 2－2×26c ×63则c 2－8c ＋15＝0. ∴c ＝5或c ＝3.当c ＝3时，a ＝c ，∴A ＝C .由A ＋B ＋C ＝π，知B ＝π2，与a 2＋c 2≠b 2矛盾．∴c ＝3舍去． 故c 的值为5.16．下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并停留2天．(1)求此人到达当日空气重度污染的概率；(2)设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望； (3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？(结论不要求证明) 解 (1)在3月1日到3月13日这13天中，5日，8日这两天空气重度污染．∴此人到达当日空气重度污染的概率P ＝213.(2)依题意X ＝0,1,2P (X ＝0)＝513，P (X ＝1)＝413，P (X ＝2)＝413.∴随机变量X 的分布列为∴E (X )＝0×513＋1×413＋2×413＝1213D (X )＝⎝⎛⎭⎫0－12132×513＋⎝⎛⎭⎫1－12132×413＋⎝⎛⎭⎫2－12132×413＝116169. (3)由图知，从3月5日开始连续三天空气质量指数方差最大．17. 如图，在三棱柱ABCA 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB ＝3，BC ＝5.(1)求证：AA 1⊥平面ABC ；(2)求证二面角A 1BC 1B 1的余弦值；(3)证明：在线段BC 1上存在点D ，使得AD ⊥A 1B ，并求BDBC 1的值．(1)证明 在正方形AA 1C 1C 中，A 1A ⊥AC .又平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，且平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ， ∴AA 1⊥平面ABC . (2)解在△ABC 中，AC ＝4，AB ＝3，BC ＝5， ∴BC 2＝AC 2＋AB 2，AB ⊥AC∴以A 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系Axyz .A 1(0,0,4)，B (0,3,0)，C 1(4,0,4)，B 1(0,3,4)，A 1C 1→＝(4,0,0)，A 1B →＝(0,3，－4)，B 1C 1→＝(4，－3,0)，BB 1→＝(0,0,4)．设平面A 1BC 1的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面B 1BC 1的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧ A 1C 1→·n 1＝0，A 1B →·n 1＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＝03y 1－4z 1＝0∴取向量n 1＝(0,4,3)由⎩⎪⎨⎪⎧B 1C 1→·n 2＝0，BB 1→·n 2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3y 2＝0，4z 2＝0.取向量n 2＝(3,4,0)∴cos θ＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝165×5＝1625.(3)证明 设D (x ，y ，z )是直线BC 1上一点，且BD →＝λBC 1→. ∴(x ，y －3，z )＝λ(4，－3,4)， 解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ. ∴AD →＝(4λ，3－3λ，4λ)又AD ⊥A 1B ，∴0＋3(3－3λ)－16λ＝0则λ＝925，因此BD BC 1＝925.18．设l 为曲线C ：y ＝ln xx在点(1,0)处的切线．(1)求l 的方程；(2)证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．(1)解 由y ＝ln xx ，得y ′＝1－ln x x 2，x >0.∴k ＝y ′|x ＝1＝1－ln 112＝1.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0.(2)证明 要证明，除切点(1,0)外，曲线C 在直线l 下方．只要证明，对∀x >0且x ≠1时，x －1>ln xx.设f (x )＝x (x －1)－ln x ，x >0，则f ′(x )＝2x －1－1x ＝(2x ＋1)(x －1)x因此f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)单调递增． ∴f (x )>f (1)＝0，即x (x －1)>ln x故当x >0且x ≠1时，x －1>ln xx成立．因此原命题成立．19．已知A ，B ，C 是椭圆W ：x 24＋y 2＝1上的三个点，O 是坐标原点．(1)当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；(2)当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．解 (1)由椭圆W ：x 24＋y 2＝1，知B (2,0)∴线段OB 的垂直平分线x ＝1. 在菱形OABC 中，AC ⊥OB ，将x ＝1代入x 24＋y 2＝1，得y ＝±32.∴|AC |＝|y 2－y 1|＝ 3.因此菱形的面积S ＝12|OB |·|AC |＝12×2×3＝ 3.(2)假设四边形OABC 为菱形． 因点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋4y 2＝4，y ＝kx ＋m 消y 并整理得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4m 2－4＝0. 设A (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，则 x 1＋x 22＝－4km 1＋4k 2，y 1＋y 22＝k ·x 1＋x 22＋m ＝m1＋4k 2. ∴线段AC 中点M ⎝⎛⎭⎫－4km 1＋4k 2，m1＋4k 2因为M 为AC 和OB 交点，∴k OB ＝－14k.又k ·⎝⎛⎭⎫－14k ＝－14≠－1， ∴AC 与OB 不垂直．故OABC 不是菱形，这与假设矛盾． 综上，四边形OABC 不是菱形．20．已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n＋1，a n＋2…的最小值记为B n，d n＝A n－B n.(1)若{a n}为2,1,4,3,2,1,4,3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*，a n＋4＝a n)，写出d1，d2，d3，d4的值；(2)设d是非负整数，证明：d n＝－d(n＝1,2,3…)的充分必要条件为{a n}为公差为d的等差数列；(3)证明：若a1＝2，d n＝1(n＝1,2,3，…)，则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为 1.(1)解d1＝1，d2＝1，d3＝3，d4＝2.(2)证明充分性：若{a n}为公差为d的等差数列，则a n＝a1＋(n－1)d.于是A n＝a n＝a1＋(n－1)d，B n＝a n＋1＝a1＋nd.因此d n＝A n－B n＝－d(n＝1,2,3，…)．必要性：因为d n＝－d≤0，∴A n＝B n＋d n≤B n∵a n≤A n，a n＋1≥B n∴a n≤a n＋1，于是A n＝a n，B n＝a n＋1.因此a n＋1－a n＝B n－A n＝－d n＝d.故数列{a n}是公差为d的等差数列．(3)证明1°首先{a n}中的项不能是0，否则d1＝a1－0＝2，矛盾．2°{a n}中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n}中有超过2的项，设a k是第一个大于2的项．{a n}中一定存在项为1，否则与d1＝1矛盾；当n≥k时，a n≥2，否则与d k＝1矛盾；因此存在最大的i在2到k－1之间，使得a i＝1，此时d i＝A i－B i＝2－B i≤2－2＝0，矛盾．综上{a n}中没有超过2的项．所以由1°，2°知，{a n}中的项只能为1或2.∵对任意n≥1，a n≤2＝a，∴A n＝2，故B n＝A n－d n＝2－1＝1.因此对任意正整数n，存在m满足m>n，且a m＝1，即数列{a n}中有无穷多项为1.。