浙江省湖州市2013届高三第二次教学质量测试数学理试题_Word版含答案

2013年浙江省湖州市高三二模物理试卷14．如图所示，由两种材料做成的半球面固定在水平地面上，球右侧面是光滑的，左侧面粗糙，O 点为球心，A 、B 是两个相同的小物块(可视为质点)，物块B 在图示水平力F 作用下静止在右侧面上，A 、B 直方向的夹角均为θ，则A 、B 分别对球面的压力大小之比为 A ．sin 2θ :1 B ．sin θ :1 C．cos 2θ :1 D ．cos θ :115．太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速度大小约为地球绕太阳公转速度的7倍，其轨道半径约为地球绕太阳公转轨道半径的2×109倍。

为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系的所有恒星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量，则银河系中恒星的数目约为 A ．1015B ．1013C ．1011D ．10916．如图所示，两束相同的平行细激光束，垂直射到玻璃半圆柱的MON 侧面上。

已知光线“1”沿直线穿过玻璃，它的入射点是O ，光线“2”的入射点为A ，穿过玻璃后两条光线交于P 点。

已知玻璃柱截面的圆半径为R ，OA= R2 ，，光在真空中的传播速度为c 。

据此可知A ．光线“2”在圆弧面的入射角为45°B ．此种玻璃材料对该光线的折射率为 2 CD ．光线“117．如图，把扁平状强磁铁的N 极吸附在螺丝钉的后端，让其位于磁铁中心位置。

取一节大容量干电池，让它正极朝下，把带上磁铁的螺丝钉的尖端吸附在电池正极的铁壳帽上。

将导线的一端接到电池负极，另一端轻触磁铁的侧面。

此时磁铁、螺丝钉和电源就构成了一个回路，螺丝钉就会转动，这就成了一个简单的“电动机”。

设电源电动势为E ，电路总电阻为R ，则下列判断正确的是A ．螺丝钉俯视逆时针快速转动，回路中电流I = ERB ．螺丝钉俯视顺时针快速转动，回路中电流I < ERC ．螺丝钉俯视逆时针快速转动，回路中电流I < ERD ．螺丝钉俯视顺时针快速转动，回路中电流I = ER强磁铁二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。

理科数学复习试题选编31：双曲线一、选择题1 ．（六校联盟高三回头联考理科数学试题）已知F 1和F 2分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线左支的一点，1PF ⊥2PF ，1PF =C ，则该双曲线的离心率为（ ）A 1B ．12C 1D ．12【答案】C2 ．（绍兴市高三教学质量调测数学（理）试题（word 版） ）已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的右焦点为F ，O 为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线的一条渐近线相交于O ，A 两点.若△AOF 的面积为b ，则双曲线的离心率等于 （ ）A ．3B ．5C ．D ．【答案】D3 ．（高考模拟冲刺（提优）测试二数学（理）试题）直线过点(2,1)P 与曲线1422=-y x 恰有一个公共点，则满足条件的直线的条数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 解：因为点(2,1)P 在渐近线上，故旋转直线一周只有2条符合条件.4 ．（杭州高中高三第六次月考数学（理）试题）设双曲线C ：22221x y a b -=(a >0，b >0)的右焦点为F ，左，右顶点分别为A 1，A 2.过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以A 1A 2为直径的圆上，则双曲线C 的离心率为 （ ）AB ．2C D ．3【答案】A5 ．（高考模拟冲刺（提优）测试一数学（理）试题）已知1F ，2F 分别是双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的左、右焦点，过点2F 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段21F F 为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是 （ ）A ．)2,1(B ．)3,2(C ．)2,3(D ．),2(∞+【答案】D6 ．（嘉兴市高三上学期基础测试数学（理）试题）已知焦点在y 轴上的双曲线的渐近线过椭圆221416x x +=和椭圆2231164x y +=的交点，则双曲线的离心率是（ ）A ．233B ．2C ．5D ．52【答案】B7 ．（杭州市第一次高考科目教学质量检测理科数学试题）设双曲线22143x y -=的左，右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线交双曲线左支于,A B 两点，则22BF AF +的最小值为 （ ）A ．192B ．11C ．12D ．16【答案】B 解：由题意，得：21221121248824AF AF a BF AF AF BF AB BF BF a ⎧-==⎪⇒+=++=+⎨-==⎪⎩ 显然，AB 最短即通径，2min23b AB a=⋅=，故()22min11BF AF +=8 ．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（三）数学（理）试题 ）已知21F F 、分别是双曲线:C 12222=-by a x 的左、右焦点，若2F 关于渐近线的对称点恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，则C 的离心率为： （ ）A ．3B ．3C ．2D ．2【答案】D解析：方法一：设),(y x P 为2F 关于渐近线x aby l =:的对称点，则有： ⎪⎩⎪⎨⎧+⋅=-=-2)2c x a b y b a c x y （，解得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=2222222)(b a abc y b a b a c x ， 由⋅1=0可得：0222=++y cx x ，将上式代入化简可得：0))((2)(2222222=+-++b a b a b a ，即223a b =，即224a c =，即2==ace ，故选 D ．方法二：如图：设2F 关于其渐近线的对称点为P ，连接PO ﹑1PF ，由于点P 恰落在以1F 为圆心，||1OF 为半径的圆上，故有11PF PO OF c ===，易得02160PF =∠F ，01230PF =∠F 故12PF PF ⊥，又2OH PF ⊥，故0260OHF ∠=，即3600==tan a b ，即2==ace .故选 D ．9 ．（嘉兴市高三第二次模拟考试理科数学试卷）设m 是平面α内的一条定直线，P 是平面α外的一个定点，动直线n 经过点P 且与m 成︒30角，则直线n 与平面α的交点Q 的轨迹是 （ ）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线【答案】C ：动直线n 的轨迹是以点P 为顶点、以平行于m 的直线为轴的两个圆锥面，而点Q 的轨迹就是这两个圆锥面与平面α的交线.10．（【解析】镇海中学高三5月模拟数学（理）试题）已知双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，离心率为2，12,F F 分别是它的左、右焦点，A 是它的右顶点，过1F 作一条斜率为(0)k k ≠的直线与双曲线交于两个点,M N ，则MAN ∠为 （ ）A ．锐角B ．直角C ．钝角D ．锐角、直角、钝角都有可能【答案】答案：B 解析：由离心率为2，可得2c a =，223b a =，则双曲线方程为22233xy a -=.设1122(,),(,)M x y N x y ，因直线MN 的斜率不为零，则可设其方程为2x my a =-，与双曲线方程联立得222(31)1290m y amy a --+=，从而有2310m -≠，1221231amy y m +=-，且11．（温岭中学高三高考提优冲刺考试（五）数学（理）试题）已知F 1、F 2是双曲线C ：)0(12222>>=-b a by a x的两个焦点，过曲线C 的左焦点F 1(-c ，0)和虚轴端点B(0，b )作直线l 交曲线C 左支于A 点，右支与D 点，连接AO 、DF 2，AO∥DF 2 ，则双曲线的离心率为 （ ） A ．3B ．6C ．36+D ．25+【答案】C 提示 联立方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=1)(2222b y ax c x c b y 削去x 得02322=+-b y c by 221221,2b y y b c y y =⋅=+(*)，由题意的2212y y =代入(*)中，得到⎪⎩⎪⎨⎧==2222223by b c y ，削去y 得4489c b =，可以解得2692+=e .12．（考试院高三上学期测试数学（理）试题）如图，F 1，F 2是双曲线C ：22221x y a b-=(a >0，b >0)的左、右焦A ，B 两点.若 | AB | ： | BF 2 | ： | AF 2 |=3：4 ： 5，（ ）．13．15 C ．2D ．3【答案】A13．（“六市六校”联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设F 1，F 2 是双曲线)0,(1x 2222>=-b a by a 的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足212F F PF =，且54cos 21=∠F PF ，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．043=±y xB ．053=±y xC ．034=±y xD ．045=±y x 【答案】C14．（海宁市高三2月期初测试数学（理）试题）已知点P 是双曲线C ：)0,0(12222>>=-b a b y a x 左支上一点，F 1，F 2是双曲线的左、右两个焦点，且PF 1⊥PF 2，PF 2与两条渐近线相交于M ，N 两点(如图)，点N 恰好xy OA B F 1F 2平分线段PF 2，则双曲线的离心率是（ ）5B ．2C ．3D ．215．（普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））如图，21,F F 是椭圆14:221=+y x C 与双曲线2C 的公共焦点，B A ,分别是1C ，2C 在第二、四象限的公共点.若四边形21BF AF 为矩形，则2C 的离心率是（ ）A ．2B ．3C ．23D ．26 【答案】D16．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）设圆锥曲线C 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线C 上存在点P 满足|PF 1|：|F 1F 2|：|PF 2|=4：3：2， 则曲线C 的离心率等于 （ ）A ．2332或B ．23或2 C ．12或2 D ．1322或【答案】D17．（嘉兴市第一中学高三一模数学（理）试题）已知双曲线c ： )0(12222>>=-b a b y a x ，以右焦点F为圆心，|OF |为半径的圆交双曲线两渐近线于点M 、N (异于原点O)，若|MN|=a 32，则双曲线C的离心率 是（ ）A 2B ．3C ．2D ．13+【答案】COxyA BF 1F 2xyOM NP 1F 2F18．（黄岩中学高三5月适应性考试数学(理)试卷 ）已知A ，B ，P 是双曲线12222=-by a x (0>a ，0>b )上不同的三点，且A ，B 连线经过坐标原点O ，若直线PA ，PB 的斜率乘积3=⋅PB PA k k ，则双曲线的离心率为 （ ）A ．2B ．3C ．2D ．5【答案】C19．（温州中学高三第三次模拟考试数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>，12A A 、是实轴顶点，F 是右焦点，()0,B b 是虚轴端点，若在线段BF 上(不含端点)存在不同的两点(1,2)i p i =，使得12(1,2)i P A A i ∆=构成以12A A 为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e 的取值范围是 （ ）A ．)+∞B ．1,)2+∞C ．1(1,)2D ．1)2【答案】D ．20．（湖州市高三第二次教学质量检测数学(理)试题(word 版) ）已知A B P ，，是双曲线()2222100y x a b a b -=>>，上不同的三点，且A B ，连线经过坐标原点O ，若直线PA PB ，的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则双曲线的离心率为 （ ）AB C ．2D【答案】C21．（温州市高三第三次适应性测试数学(理)试题（word 版） ）已知是双曲线14222=-y ax 的左焦点，双曲线右支上一动点P ，且x PD ⊥轴，D 为垂足，若线段PD FP -的最小值为52，则双曲线的离心率为 （ ）A ．53B ．52C ．25D ．5【答案】A22．（杭州市高三第二次教学质检检测数学（理）试题）已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b ，A ，B 是双曲线的两个顶点.P 是双曲线上的一点，且与点B 在双曲线的同一支上.P 关于y 轴的对称点是Q 若直线AP ，BQ 的斜率分别是k 1，k 2，且k 1·k 2=45，则双曲线的离心率是 （ ）A ．355 B ．94C ．32D ．95【答案】C23．（温州市十校联合体高三上学期期末联考理科数学试卷）已知抛物线()022>=p px y 与双曲线()0,012222>>=-b a by a x 有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且x AF ⊥轴，则双曲线的离心率为 （ ）A ．12+B ．13+C ．215+ D ．2122+【答案】A24．（名校新高考研究联盟高三第一次联考数学（理）试题）已知P 为双曲线C ：221916x y -=上的点，点M满足1OM =，且0OM PM ⋅=，则当PM 取得最小值时的点P 到双曲线C 的渐近线的距离为 （ ）A ．95B ．125C ．4D ．5【答案】B 二、填空题25．（永康市高考适应性考试数学理试题 ）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过F 的直线l 交双曲线的渐近线于A ，B 两点，且与其中一条渐近线垂直，若FB AF 4=，则该双曲线的离心率为____;【答案】210526．（乐清市普通高中高三上学期期末教学质量检测数学（理）试题）设O 为坐标原点，B A ,是双曲线1322=-y x 的渐近线上异于O 的两点，且2||||==OB OA ，则→→⋅OB OA =_______.【答案】2±，-4 27．（金丽衢十二校高三第二次联合考试理科数学试卷）我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“黄金搭档”.已知1F 、2F 是一对“黄金搭档”的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当6021=∠PF F 时，这一对“黄金搭档”中双曲线的离心率是_______【答案】328．（温州市高三第二次模拟考试数学（理）试题）己知F 1，F 2分别是双曲线1222=-b y x 的左、右焦点，A 是双曲线上在第一象限内的点，若 |AF 2|=2且∠F 1AF 2=450.廷长AF 2交双曲线右支于点B ，则ΔF 1AB 及的面积等于___【答案】429．（建人高复高三第五次月考数学（理）试题）已知A 、B 分别是双曲线22:4C x y -=的左、右顶点，则P 是双曲线上在第一象限内的任一点，则PBA PAB ∠-∠=__________.【答案】略30．（五校联盟高三下学期第一次联考数学（理）试题）设双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，左右顶点分别为12,A A ，过F 且与双曲线C 的一条渐近线平行的直线l 与另一条渐近线相交于P ，若P 恰好在以12A A 为直径的圆上，则双曲线的离心率为______________.【答案】231．（宁波市高三第一学期期末考试理科数学试卷）如果双曲我的两个焦点分别为12(0,3)(0,3)F F 和，其中一条渐近线的方程是22y x =，则双曲线的实轴长为______. 【答案】2332．（诸暨中学高三上学期期中考试数学（理）试题）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A ，x 轴上有一点(2,0)Q a ，若双曲线上存在点P ，使AP PQ ⊥，则双曲线的离心率的取值范围是____________【答案】33．（温州市高三第一次适应性测试理科数学试题）已知双曲线22221x ya b-=的一条渐近线方程为2y x=，则其离心率为____【答案】34．（五校联盟高三下学期第二次联考数学（理）试题）已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的渐近线与圆22420x y x+-+=有交点，则该双曲线的离心率的取值范围是___________.【答案】。

浙江省湖州中学2012—2013学年高三上学期期中考试数学（理）试题参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么棱柱的体积公式)()()(B P A P B A P +=+Sh V =如果事件A 、B 相互独立，那么其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高)()()(B P A P B A P ⋅=⋅棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 Sh V 31=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高k n k kn n P P C k P --=)1()(),,2,1,0(n k Λ=球的表面积公式棱台的体积公式24R S π= )(312211S S S S h V ++=球的体积公式其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积， 343V R π=h 表示棱台的高其中R 表示球的半径第Ⅰ卷（共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．合集{0,1,2,3},{2}U U C M ==，则集合M= （ ）A ．{0，1，3}B ．{1，3}C ．{0，3}D ．{2} 2．已知复数z 满足(2)(1)i i i z +-=⋅（i 为虚数单位），则z=（ ）A ．-1+3iB ．-1-3iC ．1+3iD ．1-3i3．抛物线y ＝－4x 2的焦点坐标是 ( )A.（0，-1）B.（-1，0）C.（0，161-） D ．（161-，0）4．在△ABC 中，“sin A >是“3πA >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．某几何体的正视图与侧视图如图所示，若该几何体的体积为13， 则该几何体的俯视图可以是 （ ）6． 已知βα,是两个不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若βαβα⊥⊂⊥，则m m ,； ②若βαββαα//,////,,则，n m n m ⊂⊂；③如果ααα与是异面直线，那么、n n m n m ,,⊄⊂相交； ④若.////,//,βαβαβαn n n n m n m 且，则，且⊄⊄=⋂ 其中正确的命题是 （ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④7．已知变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥-+≤-+.01,033,032y y x y x 若目标函数y ax z +=仅在点)0,3(处取到最大值，则实数a 的取值范围为（ ）A ． )5,3(B ． ),21(+∞C ．)2,1(-D ． )1,31(8．设(132)nx y -+的展开式中含y 的一次项为01(),nn a a x a x y +++L 则01a a +n a ++=L （ ）A ．12--n nB ．(2)nn - C ．(2)n n -- D ．1(2)n n ---9．12,F F 分别是双曲线22221x y a b-=的左、右焦点，A 是其右顶点，过2F 作x 轴的垂线与双曲线的一个交点为P ，G 是12PF F ∆的重心，且021=•F F GA ，则双曲线的离心率是（ ） A ．2B ．2C ．3D ．310．已知函数),0[,)9()(2+∞∈-=x x x x f 存在区间[,][0,)a b ⊆+∞，使得函数()f x 在区间[,]a b 上的值域为[,]ka kb ，则最小的k 值为( )A ．36B ．9C ．4D ． 1第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．已知随机变量ξ的分布列如下表所示，ξ的期望 1.5E ξ=，则a 的值等于 。

2013年湖州市高三教学质量检测数学(理)注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式:如果事件A ，B 互斥，那么 柱体的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 锥体的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那 13V Sh =么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高()()()1012n kk kn n P k C p p k n -=-=，，，，L 台体的体积公式 球的表面积公式()1213V h S S =+24S R π= 其中12S S ，分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的体积公式343R V π=其中R 表示球的半径第 Ⅰ 卷 （选择题，共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设全集U =R ，集合{}2|20A x x x =-<，集合{}|1x B y y e ==+，则A B =I ( ▲ ) A. {}|12x x ≤< B. {}|2x x > C. {}|1x x > D. {}|12x x << 2. 复数22i i+-(是虚数单位)表示复平面内的点位于( ▲ )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3. 已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的( ▲ ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件4. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若2580a a -=，则42SS =( ▲ )A. 8-B. 5C. 8D. 155. 将函数sin 2cos 2y x x =+的图象向左平移4π个单位长度，所得图象对应的函数解析式可以是 ( ▲ )A. cos 2sin 2y x x =+B. cos 2sin 2y x x =-C. sin 2cos 2y x x =-D. sin cos y x x = 6. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是( ▲ ) A. 10 B. 12 C. 100 D. 1027. 直线3440x y -+=与抛物线24x y =和圆()2211x y +-=从左到右的交点依次为A B C D ，，，，则ABCD的值为( ▲ ) A. 16 B. 116 C. 4 D. 148. 设()f x 为定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()12xf x =，则函数()()sin F x f x x =-在[]ππ-，上的零点个数为( ▲ ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 已知A B P ，，是双曲线()2222100y x a b a b-=>>，上不同的三点，且A B ，连线经过坐标原点O ，若直线PA PB ，的斜率乘积3PA PB k k ⋅=，则双曲线的离心率为( ▲ )A.B.C. 2D.10. 定义在()02π，上的函数()f x ，()f x '是它的导函数，且恒有()()tan f x f x x '<⋅成立，则( ▲ )A. ()()43ππ> B. ()()12sin16f f π<C.()()64f ππ>D.()()63f ππ<第 Ⅱ 卷 （非选择题部分，共100分）(第6题)二、填空题(本大题共7小题，每小题4分，共28分.)11. 二项式()72x x-的展开式中，3x 的系数为 ▲ .（用数字作答）12. 已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于 ▲ .13. 已知实数x y ，满足2212x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪-≤≤⎩，，，，则2z x y =+的14. 将7支不同的笔全部放入两个不同的笔筒中，每个 笔筒中至少放两支笔，有 ▲ 种不同的放法.(用数 字作答)15. 已知数列{}n a 满足11a =，()()21252742435n n n a n a n n ++-+=++(n ∈*N )，则数列{}n a 的通项公式为 ▲ .16. 已知函数()21010x x f x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，，，，则满足不等式()()212f x f x ->的x 的取值范围是_▲.17. 正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦（把球面上任意两点之间的连线段称为球的弦），P 为正方体表面上的动点，当弦MN 最长时，PM PN u u u u r u u u rg 的取值范围是 ▲ .三、解答题(本大题共5小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 18. (本小题满分14分)在ABC ∆中，内角A B C ，，的对边长分别为a b c ，，，且满足3A C B +=，()3cos 5B C +=-.(Ⅰ)求sin C 的值；(Ⅱ)若5a =，求ABC ∆的面积.正视图俯视图(第12题)侧视图19. (本小题满分14分)学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球和2个黑球，乙箱子里装有个白球和2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖. (每次游戏结束后将球放回原箱) (Ⅰ)求在次游戏中，（i ）摸出3个白球的概率； （ii ）获奖的概率； (Ⅱ)求在2次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X .20. (本小题满分14分)如图，一个正ABC '∆和一个平行四边形ABDE 在同一个平面内，其中8AB BD AD ===，，AB DE ，的中点分别为F G ，. 现沿直线AB 将ABC '∆翻折成ABC ∆，使二面角C AB D --为120︒，设CE 中点为H . (Ⅰ) (i)求证：平面//CDF 平面AGH ；(ii)求异面直线AB 与CE 所成角的正切值； (Ⅱ)求二面角C DE F --的余弦值.21. (本小题满分15分)已知椭圆(22213y x C a a+=>：的右焦点F 在圆()2221D x y -+=：上，直线()30l x my m =+≠：交椭圆于M N ，两点.(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)设点N 关于x 轴的对称点为1N ，且直线1N M 与x 轴交于点P ，试问PMN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.22. (本小题满分15分)已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值； (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 注：e 是自然对数的底数，约等于2.71828.2013年湖州市高三教学质量检测数学(理)参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．）二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分．）11． 84 12 13．5- 14．11215．()()25767n n n a +-=16．11x -<<17． []02，三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）18. 解：(Ⅰ)由34A CB B B ππ+=-=⇒=，---------------1分所以()()3cos cos 45B C C π+=+=-，--------------2分因为()()4sin sin 45B C C π+=+，-------------4分所以()()()sin sin sin cos cos sin 444444C C C C ππππππ⎡⎤=+-=+-+⎢⎥⎣⎦3455=.-------------7分(Ⅱ) 由已知得()4sin sin 5A B C =+==，-------------8分因为5sin 4a B C π==，，，所以由正弦定理sin sin sin a b c A B C ==得525445===，解得b c.-----------------12分所以ABC∆的面积17511sin52216S ab C==⨯=.----------14分19. 解：（I）（i）解：设“在次游戏中摸出i个白球”为事件(0123)iA i=，，，，则()2132322531.5C CP AC C=⋅=-------------------------------------------------------------------3分（ii）解：设“在1次游戏中获奖”为事件B，则23B A A=U，又()221113222222222535312C C C C CP AC C C C=⋅+⋅=，且23A A、互斥，所以()()()237112510P B P A P A=+=+=.----------------------7分（II）解：由题意可知X的所有可能取值为012、、.-------------------------------8分()()2790110100P X==-=，()()12772111101050P X C==-=，()()2749210100P X===. ------------------------ -------------------------------11分所以X的数学期望()949721012100501005E X=⨯+⨯+⨯=.----------------------14分20. 解法一：(Ⅰ) (i)证明：连FD. 因为ABDE为平行四边形，F G、分别为AB DE、中点，所以FDGA为平行四边形，所以//FD AG. ----------------------1分又H G、分别为CE DE、的中点，所以//HG CD. ------------------2分FD CD⊄、平面AGH，AG HG、⊂平面AGH，所以//FD平面AGH，//CD平面AGH，而FD CD⊂、平面CDF，所以平面//CDF平面AGH.---------------4分(ii)因为//DE AB，所以CED∠或其补角即为异面直线AB与CE所成的角.-----------5分因为ABC为正三角形，BD AD=，F为AB中点，所以AB CF AB DF⊥⊥，，从而AB ⊥平面CFD ，而//DE AB ，所以DE ⊥平面CFD ，因为CD ⊂平面CFD ，所以DE CD ⊥.--------------------------7分由条件易得CF DF ===，又CFD ∠为二面角C AB D--的平面角，所以120CFD ∠=︒，所以CD ==所以tan CD CED DE ∠=.---------------------9分(Ⅱ) 由(Ⅰ)的(ii)知DE ⊥平面CFD ，即CD DE FD DE ⊥⊥，，所以CDF ∠即为二面角C DE F --的平面角.-----------------------------------12分222cos 2CD DF CF CDF CD DF +-∠===⋅.---------------14分解法二：(Ⅰ) (i)同解法一；(ii) 因为ABC 为正三角形，BD AD =，F 为AB 中点，所以AB CF AB DF ⊥⊥，，从而CFD ∠为二面角C AB D --的平面角且AB ⊥平面CFD ，而AB ⊂平面ABDE ，所以平面CFD ⊥平面ABDE .作CO ⊥平面ABDE 于O ，则O 在直线DF 上，又由二面角C AB D --的平面角为120CFD ∠=︒，故O 在线段DF的延长线上. 由CF=6FO CO ==.--------6分 以F 为原点，FA FD FZ 、、为x y z 、、轴建立空间直角坐标系，如图，则由上述及已知条件得各点坐标为()040A ，，，()040B -，，，()00D，()80E ，()06C -，所以()080AB =-u u u r，，，()86CE =-u u u r .----------------8分 所以异面直线AB 与CE 所成角的余弦值为()cos AB CE AB CE AB CE •=⋅u u u r u u u ru u u r u u u ru u u r u u u r ，=.------------ --------10分(Ⅱ) 由(Ⅰ)的(ii)知()()06080CD DE =-=u u u r u u u r，，，，设平面CDE 的法向量为1=n ()x y z ，，，则由1⊥n CD u u u r ，1⊥n DE uu u r 得6080.z y ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，令z =1=n (60.-----------12分 又平面DEF 的一个法向量为()2001=，，n ，而二面角C DE F --为锐二面角，所以二面角C DE F --的余弦为121212cos •==⋅，n n n n n n .-------------14分 21. 解：(Ⅰ)由题设知，圆()2221D x y -+=：的圆心坐标是()20，，半径是， 故圆D 与x 轴交与两点()30，，()10，.-------------------------1分 所以，在椭圆中3c =或1c =，又23b =，所以，212a =或24a =(舍去，因为10>a ) .--------------------- 3分于是，椭圆C 的方程为221123y x +=.--------------------------4分(Ⅱ)因为()11M x y ，、()22N x y -， 联立方程2211233y x x my ⎧⎪+=⇒⎨⎪=+⎩ ()224630m y my ++-=， 所以12264m y y m +=-+，12234y y m =-+.------------------7分 因为直线1N M 的方程为112121y y x x y y x x --=---，令0y =， 则()121122112112y x x y x y x x x y y y y --=+=-+()12122123my y y y y y ++=+ 2226184464m m m m mm --++=-+2446m m -==-，所以点()40P ，.------------------10分 解法一：1212PMN S FP y y ∆=⋅-12==分1=.当且仅当213m +=即m =.故PMN ∆的面积存在最大值.---------------------15分 (或:PMN S ∆==. 令211044t m ⎤=∈⎥⎦+，，则1PMN S ∆=.当且仅当(11064t ⎤=∈⎥⎦，时等号成立，此时22m =. 故PMN ∆的面积存在最大值为.------------------------------15分解法二：MN ==2214m m ++.点P=-------------------12分所以，2214PMNm S m ∆+==+=分 令211044t m ⎤=∈⎥⎦+，，则1PMN S ∆=.当且仅当(11064t ⎤=∈⎥⎦，时等号成立，此时22m =. 故PMN ∆的面积存在最大值为.--------------------------15分22. 解：(Ⅰ) 若2a =，则()2ln f x x x x =--.当[2]x e ∈，时，()22ln f x x x x =--，()22211220x x f x x x x--'=--=>，所以函数()f x 在[]2e ，上单调递增；-------------------- ------------2分 当[]12x ∈，时，()22ln f x x x x =-+-， ()22211220x x f x x x x-+-'=-+-=<.所以函数()f x 在区间[]12，上单调递减，-------------- -----------------4分 所以()f x 在区间[]12，上有最小值()2ln 2f =-，又因为()11f =， ()()21f e e e =--，而()211e e --<，所以()f x 在区间[]1e ，上有最大值()11f =.--------------------------------6分 (Ⅱ) 函数()f x 的定义域为()0+∞，． 由()0f x ≥，得ln x x a x-≥． （*）------------------------------7分 （ⅰ）当()01x ∈，时，0x a -≥，ln 0x x<， 不等式（*）恒成立，所以a ∈R ；-----------------------------------------------------9分 （ⅱ）当1x ≥时，①当1a ≤时，由ln x x a x -≥得ln x x a x -≥，即ln x a x x≤-，现令()ln x h x x x =-， 则221ln ()x x h x x-+'=，-------------------------------------11分 因为1x ≥，所以()0h x '≥，故()h x 在[)1+∞，上单调递增， 从而()h x 的最小值为，因为ln x a x x <-恒成立等价于()min a h x ≤，所以1a ≤；-----------------------------------------------------------------------------------13分 ②当1a >时，x a -的最小值为0，而()ln 01x x x>>，显然不满足题意.---------14分综上可得，满足条件的a 的取值范围是(]1-∞，. --------- ----------------15分。