09第九讲 数据拟合

在自然科学、社会科学等领域内，为确定客观存在着的变量之间的函数关系，需根据大量的实验、观测或者社会调查所得数据建立函数关系式．这些数据中往往带有随机的误差，但有时却无法重新采集．如果利用这些数据按插值法求函数关系近似表达式，必然将不合理的误差(形象地称作“噪声。

’’) 带入函数关系式中来．如测试某物体的直线运动，得到一组数据。

，将其描在坐标平面上，如图3—3．由于测试有误差，所以数据点没能落在一条直线上．显然，再用插值法求运动方程，会得出不符合实际的结果，必须寻求新的方法．根据Ots平面上测试点的分布情况可以画出很多条靠近这些点的直线，其方程都可以表示为其中a，b为待定参数．我们要从形如(7．1)的所有直线中，找出一条用某种度量标准来衡量为最靠近所有数据点的直线．令用表示测试数据（ti,si）的重度，．称为权系数，通常用作为衡量S(t)与数据点偏离大小的度量标准，对于确定(7．1)式中的待定参数比较方便．我们将上述问题推广至一般情形．设为给定的一组数据，为各点的权系数(通常要求诸ωi>0)，要求在函数类中，求一函数(7·2)满足（7.3）其中为Φ中任意函数．称按条件(7．3)求函数S*(x)的方法为数据拟合的最二乘法，简称最小二乘法．并称S*(x)为最小二乘解，S(x)为拟合函数．7-2法方程组设求最小二乘法解S*(x)的关键是求待定参数．由(7．3)式知，将在某点处取得极小值，由函数极值取得的必要条件得即令并定义内积：于是将方程组(7．4)写作称为函数系在离散点Xo，X1，…，Xm上的法方程组，表为形式，即因是函数类Φ的基，故线性无关．法方程组(7．8)的系数行列式称为由基函数组成的Graln行列式，应不为零，故法方程组(7．8)的解存在且唯一．以下证明满足条件(7．3)，记则由内积性质有其中又所以由（7，7）有.类似有，从而又，于是也就是这就证明了就是最小二乘解。

称为最小二乘解S*(x)的平方误差，为均方差。

%%%%%%%数据拟合根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y =f(x)，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。

这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。

曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。

本章的目的，掌握一些曲线拟合的基本方法，弄清楚曲线拟合与插值方法之间的区别,学会使用MATLAB软件进行曲线拟合。

§5.1 引例拟合问题引例一电阻问题已知热敏电阻电阻值与温度的数据：求温度为63度时的电阻值。

拟合问题引例二给药问题一种新药用于临床之前，必须设计给药方案。

药物进入机体后血液输送到全身，在这个过程中不断地被吸收、分布、代谢，最终排出体外，药物在血液中的浓度，即单位体积血液中的药物含量，称为血药浓度。

一室模型：将整个机体看作一个房室，称中心室，室内血药浓度是均匀的。

快速静脉注射后，浓度立即上升；然后迅速下降。

当浓度太低时，达不到预期的治疗效果；当浓度太高，又可能导致药物中毒或副作用太强。

临床上，每种药物有一个最小有效浓度c 1和一个最大有效浓度c 2。

设计给药方案时，要使血药浓度 保持在c 1~c 2之间。

本题设c 1=10，c 2=25(ug/ml).要设计给药方案,必须知道给药后血药浓度随时间变化的规律。

从实验和理论两方面着手：在实验方面, t=0时对某人用快速静脉注射方式一次注入该药物300mg 后,在一定时刻t(小时)采集血药,测得血药浓度c(ug/ml)如下表:1. 在快速静脉注射的给药方式下，研究血药浓度（单位体积血液中的药物含量）的变化规律。

2. 给定药物的最小有效浓度和最大治疗浓度，设计给药方案：每次注射剂量多大；间隔时间多长。

§5.2 最小二乘法给定平面上的点(x i , y i )，（i = 1,2,…,n ），进行曲线拟合有多种方法，其中最小二乘法是解决曲线拟合最常用的方法。

第四章 数据拟合法在科学实验和生产实践中，有许多函数关系仅能用由实验或观测得到的一组数据表(,)(0,1,,)i i x y i m =来表示，例如某种物质的化学反应，能够测得生成物的浓度与时间关系的一组数据表.而它们的解析表达式)(t f y =是不知道的。

但是为了要知道化学反应速度，必须要利用已知数据给出它的近似表达式，有了近似表达式，通过求导数便可知道化学反应速度。

可见已知一组数据求它的近似表达式是非常有意义的.如何求它的近似表达式呢？第二章介绍的插值方法是一种有效的方法.但是由于数据(,)(0,1,,)i i x y i m =是由测量或观测得到的，它本身就有误差，作插值时一定要通过型值点),(i i y x 似乎没有必要；其次当m 很大时，采用插值（特别是多项式插值）很不理想（会出现龙格现象），非多项式插值计算又很复杂。

为此，本章介绍一种“整体”近似的方法，即对于给定的数据(,),0,1,,i i x y i n =，选一个线性无关函数系)(,),(),(10x x x n ϕϕϕ ，以它们为基底构成的线性空间为{}0span (),,()n x x ϕϕ=Φ.在此空间内选择函数()()nj j j x x ϕαϕ==∑其中(0,1,,)j j n α=为待定常数。

要求它逼近真实函数)(x f y =的误差尽可能小，这就是数据拟合问题.§1 最小二乘法一、最小二乘法设有数据(,),0,1,,i i x y i m =，令()(),0,1,,ni i i i j j i j r y x y x i m ϕαϕ==-=-=∑.并称Tm r r r r ),,,(10 =为残向量，用)(x ϕ去拟合)(x f y =的好坏问题变成残量的大小问题。

判断残量大小的标准，常用的有下面几种：(1) 确定参数(0,1,,)j j n α=，使残量绝对值中最大的一个达到最小，即i mi r ≤≤0max 为最小。

数据分析师如何进行数据拟合和回归分析在当今信息化时代，数据分析师扮演着至关重要的角色，他们通过对数据的收集、整理和分析，为企业决策提供有力支持。

数据拟合和回归分析是数据分析师常用的技术手段之一。

本文将介绍数据分析师如何进行数据拟合和回归分析，以帮助读者更好地理解和应用这一技术。

1. 数据拟合的概念和方法数据拟合是指通过数学模型对已有数据进行拟合，以便预测未知数据或者对数据进行揭示。

数据拟合的方法有很多种，其中最常用的是最小二乘法。

最小二乘法通过使得拟合曲线与实际数据之间的残差平方和最小化来确定最佳拟合曲线。

在进行数据拟合时，数据分析师需要考虑选取合适的数学模型和合适的拟合方法，并对数据进行预处理，如去除异常值、处理缺失值等。

2. 回归分析的基本原理回归分析是一种通过建立数学模型来描述因变量与自变量之间关系的统计方法。

在回归分析中，因变量是需要预测或解释的变量，自变量是用来解释因变量变化的变量。

回归分析的基本原理是通过建立数学模型，利用已有的自变量和因变量数据，来预测未知的因变量数据。

常见的回归分析方法有线性回归、多项式回归、逻辑回归等。

3. 线性回归的应用与实践线性回归是回归分析中最简单且常用的方法之一。

它假设因变量与自变量之间存在线性关系，并通过最小化残差平方和来确定最佳拟合直线。

在进行线性回归分析时，数据分析师需要先进行数据预处理，如去除异常值、处理缺失值等。

然后，选择合适的自变量和因变量，建立线性回归模型，并进行模型的拟合和评估。

最后，通过模型的系数和显著性检验，对自变量对因变量的影响进行解释和预测。

4. 多项式回归的特点和应用多项式回归是线性回归的一种扩展形式，它可以通过引入多项式项来拟合非线性关系。

多项式回归的特点是可以更好地拟合非线性数据，但也容易出现过拟合的问题。

在进行多项式回归分析时，数据分析师需要选择合适的多项式次数，并进行模型的拟合和评估。

同时，为了避免过拟合，可以使用交叉验证等方法进行模型选择和调整。

适用范围：在解决实际问题的生产（或工程）实践和科学实验过程中，通常需要通过研究某些变量之间的函数关系来帮助我们认识事物的内在规律和本质属性，而这些变量之间的未知函数关系又常常隐含在从试验、观测得到的一组数据之中。

因此，能否根据一组试验观测数据找到变量之间相对准确的函数关系就成为解决实际问题的关键。

在科学计算中经常要建立实验数据的数学模型。

给定函数的实验数据，需要用比较简单和合适的函数来逼近（或拟合）实验数据。

这种逼近的特点是：(a) 适度的精度是需要的；(b) 实验数据有小的误差；(c) 对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。

逼近离散数据的基本方法就是曲线拟合，常采用最小二乘拟合。

拟合以及插值还有逼近是数值分析的三大基础工具，通俗意义上它们的区别在于：拟合是已知点列，从整体上靠近它们，插值是已知点列并且完全经过点列；逼近是已知曲线，或者点列，通过逼近使得构造的函数无限靠近它们。

[原理：拟合是指已知某函数的若干离散函数值{f1,f2,…,fn}，通过调整该函数中若干待定系数f(λ1, λ2,…,λn)，使得该函数与已知点集的差别(最小二乘意义)最小。

如果待定函数是线性，就叫线性拟合或者线性回归(主要在统计中)，否则叫作非线性拟合或者非线性回归。

表达式也可以是分段函数，这种情况下叫作样条拟合。

拟合：已知有限个数据点，求近似函数，不要求过已知数据点，只要求在某种意义下它在这些点上的总偏差最小形象的说,拟合就是把平面上一系列的点,用一条光滑的曲线连接起来。

因为这条曲线有无数种可能,从而有各种拟合方法。

拟合的曲线一般可以用函数表示。

在MATLAB中可以用polyfit来拟合多项式。

方法及步骤：Matlab曲线拟合最小二乘法 polyfit曲线拟合已知离散点上的数据集，即已知在点集上的函数值，构造一个解析函数（其图形为一曲线）使在原离散点上尽可能接近给定的值，这一过程称为曲线拟合。

数据拟合过程数据拟合是指通过观测到的数据点，寻找一个数学模型来描述这些数据点之间的关系。

在实际应用中，数据拟合广泛应用于统计分析、机器学习、信号处理等领域。

本文将介绍数据拟合的基本概念和常用方法。

一、数据拟合的基本概念数据拟合的目标是找到一个数学模型，使得该模型能够尽可能地拟合已知的数据点，并且能够对未知的数据进行预测。

在数据拟合过程中，常用的模型包括线性模型、非线性模型、多项式模型等。

数据拟合的关键在于选择适当的模型和拟合方法，以获得最佳的拟合效果。

二、常用的数据拟合方法1. 最小二乘法最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它通过最小化观测数据点与模型预测值之间的差异来确定模型参数。

最小二乘法可以用于线性模型、非线性模型以及多项式模型的拟合。

在最小二乘法中，采用的损失函数是平方差函数，通过对损失函数求导，可以得到最优的模型参数。

2. 曲线拟合对于非线性模型的拟合，常用的方法是曲线拟合。

曲线拟合是指通过一条曲线来拟合数据点的分布情况。

曲线拟合可以采用多项式拟合、指数拟合、对数拟合等方法。

在曲线拟合过程中，需要选择适当的曲线形式和拟合方法，以获得较好的拟合效果。

3. 数据平滑数据平滑是指通过对数据进行滤波处理，去除噪声和异常值，以获得更加平滑的数据曲线。

常用的数据平滑方法有移动平均法、指数平滑法、Loess平滑法等。

数据平滑可以提高数据的可靠性和稳定性，使得拟合结果更加准确。

4. 参数估计参数估计是指通过对已知数据点进行统计分析，估计模型参数的取值范围。

参数估计可以采用最大似然估计、贝叶斯估计等方法。

参数估计的目标是找到最合适的参数取值，使得模型能够最好地拟合数据。

三、数据拟合的应用数据拟合在实际应用中有广泛的应用。

以下是一些常见的应用场景：1. 经济预测数据拟合可以用于经济预测，通过对历史数据的拟合，可以预测未来的经济走势。

例如，通过对GDP数据的拟合，可以预测未来的经济增长率，为政府决策提供参考。

数据拟合——线性回归法【概述】MATLAB支持用户对数据用线性回归方法linear regression建立模型。

模型是指自变量和因变量之间的关系。

线性回归方法建立的模型的系数是线性的。

最常用的线性回归方法是最小二乘拟合，可进行线性拟合和多项式拟合。

1.线性相关性分析Linear Correlation Analysis在对两组测量数据建立关系模型前，最好对这些数据之间的关系作一个判断——相关性分析，看二者是否真的存在线性关系。

这里，我们只介绍相关性系数①Correlation coefficient的计算。

简单的说，相关性系数是绝对值在0-1之间的数，其绝对值越接近1，表明数据之间存在线性关系的可能性越大。

反之，数据越接近0，表明数据之间不太可能存在线性关系。

✧MATLAB语法：R = corrcoef(x,y)计算数据x和y的相关系数矩阵R示例1：x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y = [1 4 9 16 25 36 49 64 81 100];R = corrceof(x,y)R =1.0000 0.9746 此数据表明两组数据具有很强的线性关系0.9746 1.0000示例2：x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y = [0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 0.6570 0.9894 0.4121 -0.5440];R = corrceof(x,y)R =1.0000 -0.1705 此数据表明两组数据不存在线性关系-0.1705 1.00002.评价数据拟合的优劣——残差计算残差被定义为实际测量数据与利用模型拟合（预测）的数据之差。

合适的模型计算的残差应该接近独立的随机误差。

如果计算得到的残差具有某种特殊的模式，那么模型就不合适。

3.利用MATLAB函数进行数据拟合⏹多项式模型MATLAB提供了2个用于多项式拟合的函数polyfit和polyval。

数据拟合课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解数据拟合的基本概念，掌握不同类型的数据拟合方法；2. 学会运用数学软件进行数据拟合，并对拟合结果进行分析；3. 掌握运用数据拟合解决实际问题的方法，提高数据处理能力。

技能目标：1. 能够运用线性拟合、多项式拟合等方法对给定数据进行拟合；2. 熟练使用数学软件进行数据拟合操作，并解决实际生活中的数据处理问题；3. 能够根据实际问题选择合适的数据拟合方法，并进行合理的结果分析。

情感态度价值观目标：1. 培养学生对待数据的严谨态度，提高数据分析能力；2. 激发学生对数学在现实生活中的应用的兴趣，增强学习的积极性；3. 培养学生的团队合作意识，提高学生在小组讨论中的沟通与协作能力。

课程性质：本课程为数学选修课程，旨在提高学生的数据处理和分析能力，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

学生特点：学生处于高中阶段，具有一定的数学基础和逻辑思维能力，对数学在实际生活中的应用有较强的好奇心。

教学要求：结合学生特点和课程性质，注重理论与实践相结合，强调在实际问题中发现、提出、解决问题，提高学生的数据处理和分析能力。

通过本课程的学习，使学生能够掌握数据拟合的基本方法，并将其应用于实际生活中。

二、教学内容1. 数据拟合基本概念：数据拟合的定义、类型及应用场景；2. 线性拟合：线性拟合原理、方法及数学表达式的建立；3. 多项式拟合：多项式拟合原理、方法及数学表达式的建立；4. 数据拟合软件操作：介绍常用数学软件（如MATLAB、Excel等）进行数据拟合的操作方法；5. 数据拟合应用案例分析：分析实际生活中的数据拟合问题，并提出解决方案；6. 数据拟合结果分析：拟合效果的评价指标、拟合参数的解读及优化方法；7. 小组讨论与展示：分组进行实际数据拟合案例分析，展示分析过程和成果。

教学内容安排与进度：1. 第1课时：数据拟合基本概念及线性拟合原理；2. 第2课时：线性拟合方法及数学表达式的建立；3. 第3课时：多项式拟合原理及方法；4. 第4课时：数据拟合软件操作及实际案例解析；5. 第5课时：数据拟合结果分析及优化方法；6. 第6课时：小组讨论与展示。

数据拟合根据一组二维数据，即平面上的若干点，要求确定一个一元函数y = f(x)，即曲线，使这些点与曲线总体来说尽量接近。

这就是数据拟合成曲线的思想，简称为曲线拟合(fitting a curve)。

曲线拟合其目的是根据实验获得的数据去建立因变量与自变量之间有效的经验函数关系，为进一步的深入研究提供线索。

引例 拟合问题引例 电阻问题已知热敏电阻电阻值与温度的数据：温度t(0C)20.532.751.073.095.7电阻R()7658268739421032求温度为63度时的电阻值。

求？t=[20.5 32.7 51.0 73.0 95.7];R=[765 826 873 942 1032];P1=polyfit(t,R,1);P2=polyfit(t,R,2);P3=polyfit(t,R,3);P4=polyfit(t,R,4);y1=polyval(P1,t)y2=polyval(P2,t)y3=polyval(P3,t)y4=polyval(P4,t)jm1=sum((y1-R).^2)jm2=sum((y2-R).^2)jm3=sum((y3-R).^2)jm4=sum((y4-R).^2)x=[20.5 32.7 51.0 73.0 95.7];y=[765 826 873 942 1032];plot(x,y,'*')p1=polyfit(x,y,1)p2=polyfit(x,y,2)p3=polyfit(x,y,3)y1=3.3987x+702.0968y2=0.0020*x^2+3.1691*x+707.2841y3=0.0006*x^3-0.1067*x^2+8.7495*x+627.1101在实验中，实验和戡测常常会产生大量的数据。

为了解释这些数据或者根据这些数据做出预测、判断，给决策者提供重要的依据。

需要对测量数据进行拟合，寻找一个反映数据变化规律的函数。

数据拟合——线性回归法【概述】MATLAB支持用户对数据用线性回归方法linear regression建立模型。

模型是指自变量和因变量之间的关系。

线性回归方法建立的模型的系数是线性的。

最常用的线性回归方法是最小二乘拟合，可进行线性拟合和多项式拟合。

1.线性相关性分析Linear Correlation Analysis在对两组测量数据建立关系模型前，最好对这些数据之间的关系作一个判断——相关性分析，看二者是否真的存在线性关系。

这里，我们只介绍相关性系数①Correlation coefficient的计算。

简单的说，相关性系数是绝对值在0-1之间的数，其绝对值越接近1，表明数据之间存在线性关系的可能性越大。

反之，数据越接近0，表明数据之间不太可能存在线性关系。

✧MATLAB语法：R = corrcoef(x,y)计算数据x和y的相关系数矩阵R示例1：x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y = [1 4 9 16 25 36 49 64 81 100];R = corrceof(x,y)R =1.0000 0.9746 此数据表明两组数据具有很强的线性关系0.9746 1.0000示例2：x = [1 2 3 4 5 6 7 8 9 10];y = [0.8415 0.9093 0.1411 -0.7568 -0.9589 -0.2794 0.6570 0.9894 0.4121 -0.5440];R = corrceof(x,y)R =1.0000 -0.1705 此数据表明两组数据不存在线性关系-0.1705 1.00002.评价数据拟合的优劣——残差计算残差被定义为实际测量数据与利用模型拟合（预测）的数据之差。

合适的模型计算的残差应该接近独立的随机误差。

如果计算得到的残差具有某种特殊的模式，那么模型就不合适。

3.利用MATLAB函数进行数据拟合⏹多项式模型MATLAB提供了2个用于多项式拟合的函数polyfit和polyval。