导数中参数问题

一、 如何理解“恒成立、能成立、恰成立”设有条件p 和条件q ,其对应集合为A 、B ①．若A B ⊆，即A 是B 的充分条件，则称在条件p 下，q 恒成立。

②．若A B φ⋂≠,则称在p 下，q 能成立。

如果f(x)≥g(x)有解， f(x)max ≥g(x)min, 如果f(x)《g(x)有解， f(x)min 《g(x)max 如果有两个参变量时，存在，任意的情况下还有最大值大于最大值，最小值小于最小值。

③．若A=B,则称p 下，q 恰成立。

能成立与最值问题1.(2010山东，两边分求，最小值与最大值) 已知函数. ⑴当时，讨论的单调性； ⑵设当时，若对任意．．，存在．．，使，求实数取值范围.1()ln 1af x x ax x-=-+-()a ∈R 12a ≤()f x 2()2 4.g x x bx =-+14a =1(0,2)x ∈[]21,2x ∈12()()f x g x ≥b解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. （1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；（2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间[1,2]上的最大值，然后解不等式求参数.⑴， 令①当时，，当,函数单调递减；当，函数单调递增. ②当时，由，即，解得. 当时，恒成立，此时，函数单调递减； 当时，,时，函数单调递减；时，，函数单调递增；时，，函数单调递减.当时，当,函数单调递减；当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时,恒成立,此时，函数在单调递减； 当时,函数在递减,递增,递减.⑵当时，在(0,1)上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以对任意，有，又已知存在，使，所以，，（※）又当时，与（※）矛盾；()f x ()g x 1()ln 1(0)a f x x ax x x -=-+->222l 11()(0)a ax x a f x a x x x x--++-'=-+=>2()1(0)h x ax x a x =-+->0a =()1(0)h x x x =-+>(0,1),()0,()0x h x f x '∈><()f x (1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>()f x 0a ≠()0f x '=210ax x a -+-=1211,1x x a==-12a =12x x =()0h x ≥()0f x '≤()f x 102a <<1110a ->>(0,1)x ∈()0,()0h x f x '><()f x 1(1,1)x a ∈-()0,()0h x f x '<>()f x 1(1,)x a∈-+∞()0,()0h x f x '><()f x 0a <110a-<(0,1),()0,()0x h x f x '∈><()f x (1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>()f x 0a ≤()f x (0,1)(1,)+∞12a =12x x =()0h x ≥()0f x '≤()f x (0,)+∞102a <<()f x (0,1)1(1,1)a -1(1,)a -+∞14a =()f x 1(0,2)x ∈11()(1)2f x f =-≥[]21,2x ∈12()()f xg x ≥21()2g x -≥[]21,2x ∈22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈1b <min ()(1)520g x g b ==->当时，也与（※）矛盾；当时，. 综上，实数的取值范围是. 2. 设函数11ln )(--+-=xaax x x f ．（Ⅰ）当1=a 时，过原点的直线与函数)(x f 的图象相切于点P ，求点P 的坐标；（Ⅱ）当210<<a 时，求函数)(x f 的单调区间；（Ⅲ）当31=a 时，设函数1252)(2--=bx x x g ，若对于e x ,01（∈∀]，∈∃2x [0，1]使)(1x f ≥)(2x g 成立，求实数b 的取值范围.（e 是自然对数的底，13+<e ）解：函数)(x f 的定义域为)0(∞+，，211)(xaa x x f ---='（Ⅰ）设点)0)(,(000>x y x P ，当1=a 时，1ln )(--=x x x f ，则1ln 000--=x x y ，11)(-='xx f ，∴000001ln 11)(x x x x x f --=-=' 解得20e x =，故点P 的坐标为)1(22e e -，（Ⅱ）221)(x a ax ax x f -++-='22)1)(1()1)(1(x a ax x a x a ax x ----=+---=∵210<<a ∴011>--aa∴当10<<x ，或aa x ->1时0)(<'x f ，当a ax -<<11时，0)(>'x f故当210<<a 时，函数)(x f 的单调递增区间为)1,1(aa-；单调递减区间为)1,0(，),1(+∞-aa（Ⅲ）当31=a 时，1323ln )(-+-=xx x x f 由（Ⅱ）可知函数)(x f 在)10，（上是减函数，在)21，（上为增函数，在]2(e ，上为减函数，且32)1(-=f ，ee ef 323)(+-=∵ee e e ef e f 3)1(3322)1()(22--=+-=-，又13+<e ，∴3)1(2<-e ，∴)1()(f e f >，故函数)(x f 在],0(e 上的最小值为32-若对于],01e x （∈∀，]1,0[2∈∃x 使)(1x f ≥)(2x g 成立⇔)(x g 在]1,0[上的最小值不大于)(x f 在],0(e 上的最小值32-（*）又125)(1252)(222---=--=b b x bx x x g ，]1,0[∈x[]1,2b ∈2min ()(1)40g x g b ==-≥2b >min 117()(2)84,28g x g b b ==-≤-≥b 17[,)8+∞①当0<b 时，)(x g 在]1,0[上为增函数，32125)0()]([min ->-==g x g 与（*）矛盾 ②当10≤≤b 时，125)()]([2min --==b b g x g ， 由321252-≤--b 及10≤≤b 得，121≤≤b ③当1>b 时，)(x g 在]1,0[上为减函数，3212172127)1()]([min -<-<-==b g x g ，此时1>b综上，b 的取值范围是），∞+21[ 3. (2010山东，两边分求，最小值与最大值)已知函数．⑴求在上的最小值；⑵若存在．．（是常数，＝2.71828）使不等式成立，求实数的取值范围；⑶证明对一切都有成立．（注：此问也是2014年新课标1理科21题第二问的原题内容，是全卷的压轴内容）解：⑴，⑵由题意知2()ln ,()3f x x x g x x ax ==-+-()f x [,2](0)t t t +>1,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦e e ⋅⋅⋅2()()f xg x ≥a (0,),x ∈+∞12ln x x e ex>-()min11 01 t e e f x tInt t e ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩所以， 而，故（Ⅲ） 等价证明由⑴知．恒成立问题1.分离参数 在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()max a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。

2.结合单调性对参数进行讨论，此多与导数结合在压轴题中出现。

()()()()()()()[]()()()()()()222max max 323,2,313232011,10,1,0,11max ,(),,,2,xInx x ax a Inx x xx x h x Inx x x h x xx x x x h x h x e x e h x h x h x h h e x e f x g x e e a h x ≥-+-≤+++-'=++>=+-=⎡⎤'∈<⎢⎥⎣⎦'∈>⎧⎫⎛⎫⎡⎤=∈≥⎨⎬ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎩⎭≤则设则当时，单调递减；当时，单调递增；所以因为存在使成立，所以11()23h e e e =-++3()2h e e e =++1()()h h e e >132a e e≤+-()()20,x x xInx x e e>-∈+∞()()()()()()()10,1210,,,x x f x xInx x ex e x xx x x e e e ϕϕ=∈+∞=-'=-∈+∞=的最小值是-当且仅当取到，设则()()()max 11120,x x ex x xInx e eϕϕ==-=∈+∞>-易得，当且仅当x 时取到，从而对一切都有成立，()120,x Inx x e ex>-∈+∞即对一切成立1 已知函数 (1) 若在处的切线平行于直线，求函数的单调区间； (2) 若，且对时，恒成立，求实数的取值范围. 解: (1) 定义域为,直线的斜率为, ,,.所以由; 由所以函数的单调增区间为,减区间为. (2) ，且对时，恒成立,即(ln 1)a x x >-. 设.当时, , 当时, ,.所以当时,函数在上取到最大值,且 所以,所以所以实数的取值范围为.（法二）讨论法2()x af x x -'=，()f x 在(0,)a 上是减函数，在(,)a +∞上是增函数. 当a ≤2e 时，()f x ≥()1ln 10f a a =+->，解得1a >，∴1a <≤2e . 当2a e >时，()(2)ln(2)102af x f e e e>=+->，解得2ln 2a e >，∴2a e >. 综上1a >.2 已知函数,（其中R ,为自然对数的底数）.(1)当时,求曲线在处的切线方程；()ln 1,.af x x a R x=+-∈()y f x =0(1,)P y 1y x =-+()y f x =0a >(0,2]x e ∈()0f x >a ()ln 1,.af x x a R x =+-∈)(x f ),0(+∞1y x =-+1-x x a x f 1)('2+-=11)1('-=+-=a f 2=∴a 22212)('xx x x x f -=+-=20)('>>x x f 得200)('<<<x x f 得()y f x =)2(∞+，(0,2)0a >(0,2]x e ∈()0f x >ln 10(0,2]ax x e x+->∈在恒成立]2,0(,ln )ln 1()(e x x x x x x x g ∈-=-=]2,0(,ln 1ln 1)('e x x x x g ∈-=--=10<<x 0)('>x g 为增函数)(x g e x 20≤<0)('<x g 为减函数)(x g 1=x )(x g ]2,0(e x ∈11ln 1)1(=-=g 1)(≤x g 1<a a ),1(+∞12)(2---=ax x e x f x∈a e 0=a )(x f y =))0(,0(f(2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.解：（1）当时，,,,切线方程为．（2）[方法一]≥1,≥≤, 设,则,设,则,在上为增函数,≥,,在上为增函数,≥,≤．[方法二], ,设,,≥0,≥0,在上为增函数,≥.又≥0恒成立,≥0,≤,≥,,在上为增函数, ≥≥0恒成立,≤．x x )(x f a 0=a 12)(2--=x e x f xx e x f x -=∴)('1)0(',0)0(==∴f f ∴x y =x 12)1()(2+--=x e x x xϕ0)1()('>-=x e x x ϕ)(x ϕ∴),1[+∞)(x ϕ∴021)1(>=ϕ012)1()('22>+--=∴x x e x x g x x x e x g x12)(2--=∴),1[+∞)(x g ∴23)1(-=e g a ∴23-e 12)(2---=ax x e x f xa x e x f x --=∴)('a x e x h x --=)(1)('-=xe x h x 1)('-=∴x e x h a x e x h x --=∴)(),1[+∞)(x h ∴a e h --=1)1(12)(2---=ax x e x f x23)1(--=∴a e f a ∴23-e )(x h ∴01)1(>--=a e h 0)('>--=∴a x e x f x 12)(2---=ax x e x f x),1[+∞)(x f 23)1(--=a e f a ∴23-e 1 2) ( 2- - - = ∴ ax x e x f x a ⇔ 0 xx e x122- - x x e x g x1 2 ) ( 2 - -=22 1 2 ) 1 ( ) ( ' x x ex x g x + - - =3.（2010全国I 文21，恒成立，一次，提出一部分再处理的技巧） 设函数. ⑴若a =，求的单调区间； ⑵若当≥0时≥0，求a 的取值范围. 解：⑴时，，. 当时;当时，; 当时，.故在，单调增加，在(－1，0)单调减少. ⑵.令，则.①若，则当时，，为减函数，而， 从而当x ≥0时≥0，即≥0，符合题意.②若，则当时，，为减函数，而， 从而当时＜0，即＜0,不合题意.综合得的取值范围为法二:可以将分离出来，但求导后在，极值点处分母也为0，此时要用到洛必达法则，这也是前些年新课标高考的一个特色，感兴趣的同学可以和老师进行探究。