2021届江苏省苏州市相城区高三上学期阶段性诊断测试数学试题一、单选题1．设集合{}{}13,|24|A x x B x x =≤≤=<<，则A B =（ ）A ．{}|23x x <≤B ．{}|23x x ≤≤C ．{}|14x x ≤<D ．{}|14x x <<【答案】A【解析】根据集合交集概念求解. 【详解】[]()(]1,32,42,3A B ⋂=⋂=故选：A 【点睛】本题考查集合交集，考查基本分析求解能力，属基础题. 2．命题“22,40x x ∀>->”的否定是（ ） A ．2,240x x ∀>-≤ B ．22,40x x ∀≤-≤ C ．22,40x x ∃>-≤ D ．22,40x x ∃≤-≤【答案】C【解析】根据全称命题的否定为特称命题，直接写出原命题的否定. 【详解】因为命题为“22,40x x ∀>->”， 所以命题的否定为“22,40x x ∃>-≤”， 故选：C . 【点睛】本题考查含一个量词的命题的否定，难度较易.含一个量词的命题的否定方法：修改量词，否定结论.3．设0.5log 3a =，30.5b =，0.513c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．a c b <<C ．b a c <<D ．b c a <<【答案】A【解析】由题,,,a b c 分别为函数0.5log y x =,0.5x y =,3x y =上的点的纵坐标,利用函数单调性与特殊值0,1比较,进而比较,,a b c 的大小关系 【详解】由题,因为0.5log y x =单调递减,则0.50.5log 3log 10a =<=； 因为0.5xy =单调递减,则3000.50.51b <=<=；因为3xy =单调递增,则0.50.5013313c -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭,所以01a b c <<<<, 故选：A 【点睛】本题考查利用函数单调性比较大小,掌握指数函数,对数函数的性质是解题关键 4．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为（ ）A ．227B ．258C ．15750D ．355113【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面圆的半径为，高为，依题意，，，所以，即的近似值为258，故选B. 【考点】《算数书》中的近似计算，容易题.5．已知函数21()1)2f x x x =++，则1(ln 3)(ln )3f f +=（ ）A ．0B ．12C ．1D ．2【答案】C【解析】利用()()1f x f x -+=，再根据1ln 3ln 3-=，即可得到答案； 【详解】11()()))122f x f x x x -+=+++=，1ln 3ln 3-=，∴()()()1ln 3ln ln 3ln 313f f f f ⎛⎫+=+-= ⎪⎝⎭， 故选：C 【点睛】本题考查对数运算法则和函数的性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.6．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是0T ℃经过一定时间min t 的温度是T ℃，则()012tha a T T T T ⎛⎫-=-⋅ ⎪⎝⎭其中a T （单位：℃）表示环境温度，h （单位：min ）称为半衰期.现有一份88℃的热饮，放在24℃的房间中，如果热饮降温到40℃需要20min ，那么降温到32℃时，需要的时间为（ ）min . A ．24 B ．25 C ．30 D ．40【答案】C【解析】先根据条件此杯咖啡从80℃降温到32℃，由公式可求出10h =，然后求此杯咖啡从40℃降温到32℃所需时间，得出答案. 【详解】由已知可得024,88,40a T T T ===， 则2014024(8824)2h⎛⎫-=-⨯ ⎪⎝⎭， 解得10h =，此杯咖啡从40℃降温到32℃， 可得：1013224(4024)2t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，解得10t =，所以从88℃降温到32℃时，需要10+20=30分钟． 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的实际应用，读懂题意是关键，属于基础题.7．已知函数ln ,0(),0e xx x x f x x x >⎧⎪=⎨≤⎪⎩则函数()1y f x =-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】本题可用特殊值排除法解决问题,代入特殊值0x =、1x =故排除CD ；当0x <时,利用导数判断单调性,排除A,当01x <<时, ()10y f x =-<,当1x >时,()10y f x =-<,即可得出最后答案. 【详解】 解：①当0x =时,()()1011ln10y f f =-==⨯=；②当1x =时,()()1100ln00y f f =-==⨯=；故排除CD;③ 当0x <时,11x ->,所以()()()1l 11n y f x x x -==--()()()()'''1ln 11ln 1x x y x x --+--= ()()()'1ln 1111x x x x=--+--- ()ln 110x =---<所以()1y f x =-在0x <时单调递减,故排除A. ④当01x <<时,011x <-<,()()()1l 11n y f x x x -==--11x,()ln 10x -<,()()()1n 101l x x y f x -∴=--<=,故B 符合,⑤当1x >时,10x -<()11e1xx xy f --=-=, 110,0e xx ,()110e 1xy f x x--∴==<-,故B 符合. 故选：B 【点睛】本题考查函数图象,分段讨论图象的单调性、值域,利用排除法即可解得. 8．若定义在R 的奇函数()f x 在,0单调递增，且()20f =，则满足()10xf x +≤的x 的取值范围是（ ） A ．[][)3,11,--⋃+∞B ．[][]3,10,1--C ．(][][),31,01,-∞-⋃-⋃+∞D ．[][]1,01,3-【答案】B【解析】由奇函数的性质可得()f x 在(0,)+∞上单调递增，(2)(2)0f f -=-=，然后分0x >，0x <和0x =分情况讨论，再结合函数的单调性可求得结果 【详解】解：因为定义在R 的奇函数()f x 在,0单调递增，所以由奇函数的性质可知，()f x 在(0,)+∞上单调递增，且()()f x f x -=-，所以(2)(2)0f f -=-=， 由()10xf x +≤得 当0x >时，(1)0f x +≤， 因为(2)0f =，所以12x +≤， 所以01x <≤，当0x <时，(1)0f x +≥，因为(2)0f -=，所以012x ≥+≥-， 所以31x -≤≤-，当0x =时，不等式 ()10xf x +≤恒成立， 综上，x 的取值范围是[][]3,10,1--【点睛】此题考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题二、多选题9．某企业2019年12个月的收入与支出数据的折线图如下：已知：利润=收入-支出，根据该折线图，下列说法正确的是（ ） A ．该企业2019年1月至6月的总利润低于2019年7月至12月的总利润 B ．该企业2019年第一季度的利润约是50万元 C ．该企业2019年4月至7月的月利润持续增长 D ．该企业2019年11月份的月利润最大 【答案】ABC【解析】A ．利用实线与虚线的相对高度来判断总利润的情况；B ．根据统计图进行估计；C ．根据实线与虚线的相对高度来判断；D ．由图看相对高度的最大值并进行判断. 【详解】由题意可知：图中的实线与虚线的相对高度表示当月利润，A ．根据折线统计图可知1月至6月的相对高度的总量要比7月至12月的相对高度总量少，故正确；B ．由图可知第一季度的利润约为：()()()30204025351050-+-+-=万元，故正确；C ．由图可知4月至7月的相对高度持续增加，故正确；D ．由图可知11月的相对高度比7月、8月都要小，故错误， 故选：ABC. 【点睛】本题考查折线统计图的应用，解答本题的关键是理解利润的含义，对学生的理解与分析能力要求较高，难度较易. 10．下列函数中，当1201x x 时，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立的函数有（ ）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2log y x =C ．2yxD ．y =【答案】BD【解析】根据题意可知，当1201x x 时，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 在区间()0,1上为“上凸”函数，数形结合可得出合适的选项. 【详解】 当1201x x 时，使得()()121222f x f x x x f ++⎛⎫< ⎪⎝⎭恒成立，则函数()f x 在区间()0,1上为“上凸”函数，当01x <<时，在函数()f x 的图象上任取两点()11,A x y 、()22,B x y ，再取线段AB 的中点()()2112,22f x x x f x C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，取点1212,22x x x D f x ⎛⎫⎛++⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，如函数()f x 为“上凸”函数，则点C 应在点D 的下方. 对于A 选项，如下图所示：点C在点D的上方，不合乎题意；对于B选项，如下图所示：点C在点D的下方，合乎题意；对于C选项，如下图所示：点C在点D的上方，不合乎题意；对于D选项，如下图所示：点C 在点D 的下方，合乎题意. 故选：BD. 【点睛】本题考查函数凹凸性的判断，考查数形结合思想的应用，属于基础题. 11．已知0,0a b >>，且2a b +=，则下列结论正确的有（ ） A ．222a b +≥ B ．112a b+≥ C ．336a b +≤ D 2a b ≤【答案】ABD【解析】对于A ，证明222a b +成立，故A 正确； 对于B ，证明1122a b a b ab ab++==≥，故B 正确． 对于C ，证明336a b +≥，故336a b +≤不正确；故C 错误； 对于D ,2a b ，故D 正确． 【详解】对于A ，222a b ab +，2222()()4a b a b ∴+≥+=，222a b ∴+成立，故A 正确；对于B ，0,0a b >>，2a b +=，22a b ab ∴=+，解得1ab ，∴11ab≥， 1122a b a b ab ab+∴+==≥，故B 正确． 对于C ，23323323236a b a b a b ++≥⋅===，故336a b +≤不正确；故C 错误；对于D ，2()222224a b a b ab ab +=++=++=，∴2a b ，故D正确． 故选：ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质以及基本不等式的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 12．把方程||||14x x y y +=表示的曲线作为函数()y f x =的图象，则下列结论正确的有（ ）A ．函数()f x 的图象不经过第三象限B ．函数()f x 在R 上单调递增C ．函数()f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为1D ．函数()()2g x f x x =+不存在零点 【答案】ACD【解析】根据函数的解析式，分类讨论作出函数的图象，结合图象可判定A 准确，B 不正确，根据两点间的距离公式和椭圆的方程，可判定C 正确，根据双曲线的几何性质和函数的零点的定义，可判定D 正确. 【详解】 由题意，方程||||14x x y y +=， 当0,0x y ≥≥时，2214x y +=，表示椭圆在第一象限的部分；当0,0x y ><时，2214x y -=，表示双曲线在第四象限的部分；当0,0x y <>时，2214x y -+=，表示双曲线在第二象限的部分；当0,0x y <<时，2214x y --=，此时不成立，舍去，其图像如图所示，可得该函数的图象不经过第三象限，所以A 是正确的； 由函数的图象可得，该函数在R 为单调递减函数，所以B 不正确；由图象可得，函数()f x 的图象上的点P 到原点的距离的最小的点在0,0x y ≥≥的图象上，设点(,)P x y ，则点P 满足0,0x y ≥≥时，2214x y +=，即2214x y =-则PO ===0x =时，min 1PO =，所以C 正确；令()0g x =，可得()20f x x +=，即()12f x x =-， 则函数()()2g x f x x =+的零点，即为函数()y f x =与12y x =-的交点， 又由直线12y x =-为双曲线2214x y -=和2214x y -+=渐近线，所以直线12y x =-与函数()y f x =没有交点，即函数()()2g x f x x =+不存在零点， 所以D 是正确的. 故选：ACD.【点睛】本题主要考查了命题的真假判定，函数的单调性、函数的零点个数的判定，以及椭圆和双曲线的几何性质的综合应用，试题综合性强，属于中档试题.三、填空题13．关于x 的方程230mx x +-=有两个不等实根，一个大于1，一个小于1，则实数m 的取值范围为_______. 【答案】()02,【解析】由方程与函数的关系，将方程的根转化为函数的零点，再分类讨论即可得到答案. 【详解】当0m =时，方程30x -=，3x =（舍去）. 当0m ≠时，设()23f x mx x =+-，所以①0m >，()113f m =+-<0，解得02m <<.②0m <，()113f m =+->0，无解. 综上：02m << 故答案为：()02,【点睛】本题主要考查方程根的分布，同时考查分类讨论的思想，属于简单题.14．已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是______立方米.【答案】8π【解析】设圆柱的高为h ，底面圆的半径为r ，可得()2212r h +=，03r <<，圆柱的体积2πV r h =⋅()2π62r r =⋅-，构造函数()()2π62f r r r =⋅-，03r <<，求导并判断单调性，可求出最大值，即可求出答案. 【详解】设圆柱的高为h ，底面圆的半径为r ，则()2212r h +=，即62h r =-， 由620,0h r r =->>，可得03r <<，圆柱的体积2πV S h r h =⋅=⋅底，将62h r =-代入，可得()2π62V r r =⋅-，构造函数()()2π62f r r r =⋅-，03r <<，求导得()()2π63f r r r '=-，则()0,2r ∈时，0f r，函数()f r 单调递增；()2,3r ∈时，0f r，函数()f r 单调递减，所以()f r 的最大值为()()22π26228πf =⨯⋅-⨯=.即2r 时，该圆柱的体积最大，最大体积是8π立方米.故答案为：8π. 【点睛】本题考查柱体体积的计算，考查利用导函数求最大值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.15．设点P 是曲线2x y e x =+上任一点，则点P 到直线0x y -=的最小距离为_______.【答案】2【解析】设平行于0x y -=的直线与曲线相切于点00(,)P x y ，得到002=1xe x +，求得(0,1)P ，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由题意，函数2x y e x =+，可得2xy e x '=+，设平行于直线0x y -=的直线与曲线2x y e x =+相切于点00(,)P x y ， 可得000|2xx x y e x ='=+，令002=1x e x +，解得00x =，可得001y e ==，即点(0,1)P ，则点(0,1)P 到直线0x y -=的距离为2d ==，即点点P 到直线0x y -=.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用，以及点到直线的距离的求解，其中解答中把曲线上的点到直线的距离之和为切点到直线的距离是解答的关键，着重考查转化思想，以及运算能力. 16．函数2log ,1,()(1),1,x x f x f x x ≥⎧=⎨+<⎩若方程()f x x m =-+有且只有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_________. 【答案】(,2)-∞【解析】根据题意，画出函数图像，利用数形结合法，分别画出()f x 与y x m =-+的图像即可求解 【详解】令()g x x m =-+，画出()f x 与()g x 的图像，平移()g x 的图像，当直线经过(1,1)时，只有一个交点，此时2m =，向右移，不再符合条件，故2m <故答案为：(),2-∞ 【点睛】本题考查函数图像的交点问题，主要考查学生数形结合的能力，属于中档题；四、解答题 17．已知函数(2)(31)y x x a =---的定义域是集合A ，函数22log (48)y x x =-+的值域是集合B ．（1）若1a =，求集合A ；（2）若x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|24}A x x =<<；（2）13a >. 【解析】（1）由题设条件和函数的解析式有意义，得到(2)(4)0x x --<，进而求得集合A ；（2）由对数函数的性质，求得集合[2,)B =+∞，把x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，转化为A B ⊆且A B ≠，分类讨论即可求解. 【详解】（1）由题意，函数(2)(31)y x x a =---(2)(31)0x x a --->，即(2)(31)0x x a ---<当1a =时，不等式变为(2)(4)0x x --<，解得24x <<，即集合{|24}A x x =<<.（2）由()()22222log 48log (2)4log 42y x x x =-+=-+≥=，即集合[2,)B =+∞ 因为x A ∈是x B ∈的充分不必要条件，则A B ⊆且A B ≠， 又由(2)(31)0x x a ---<①当231a <+，即13a >时，集合(2,31)A a =+，满足A B ⊆且A B ≠，所以13a >； ②当231a =+，即13a =时，此时函数的定义域为空集，不合题意，舍去； ③若231a >+，即13a <时，(31,2)A a =+，不满足A B ⊆，舍去.综上所述，实数a 的取值范围是1(,)3+∞. 【点睛】本题主要考查了函数定义域与值域的求解，以及利用充分不必要条件求解参数问题，其中解答中把充分不必要条件转化为集合间的包含关系是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.18．已知函数1()(01)1x x a f x a a a -=>≠+,.（1）判断并证明函数的奇偶性；（2）若________，判断并证明函数的单调性（在①01a <<，②1a >，这两个条件中任选一个，将题目补充完整，再作判断证明）.【答案】（1）函数()f x 为奇函数，证明见解析；（2）当01a <<时，函数()f x 为R 上的减函数；1a >时，函数()f x 为R 上的增函数；证明见解析. 【解析】利用函数奇偶性的定义进行求解即可.方法一，利用单调性的定义进行证明；方法二，利用导数的定义来证明函数单调性. 【详解】解：（1）函数()f x 为奇函数， 证明如下：函数()f x 的定义域为R ，对任意x ∈R ，有11()()11x x x xa a f x f x a a-----===-++， 即函数()f x 为奇函数.（2）如填的①，即01a <<时，函数()f x 为R 上的减函数. 证明如下： 法一： 任取12x x <，则()()121212211211222211111111x x x x x x x x a a f x f x a a a a a a --⎛⎫-=-=---=- ⎪++++++⎝⎭ ()()()()()()()1212212121121111x x x x xx x x a a a a a a a a ⎡⎤+-+-⎣⎦==++++ 由于01a <<，函数xy a =单调递减， 又由于12x x <，从而12x x a a >，即120x x a a -> 又110x a +>，210x a +>，所以()()()12212011x x x x a a a a ->++，即()()12f x f x >所以，当01a <<时，函数()f x 为R 上的减函数. 法二：()()()()22ln 11ln 2ln ()11x x x x x xxa a a a a aa af x aa⨯+--⨯'==++由于01a <<，所以ln 0a <， 又()20,10x x a a >+>，所以()0f x '<，所以，当01a <<时，函数()f x 为R 上的减函数. 如填的②，即1a >时，函数()f x 为R 上的增函数. 证明如下：法一：任取12x x <，则()()121212211211222211111111x x x x x x x x a a f x f x a a a a a a --⎛⎫-=-=---=- ⎪++++++⎝⎭ ()()()()()()()1212212121121111x x x x xx x x a a a a a a a a ⎡⎤+-+-⎣⎦==++++ 由于1a >，函数xy a =单调递增，又由于12x x <，从而12x x a a <，即120-<x x a a 又1210,10xxa a +>+>，所以()()()12212011x x x x a a a a -<++，即()()12f x f x <所以，当1a >时，函数()f x 为R 上的增函数. 法二：()()()()22ln 11ln 2ln ()11x x x x x xxa a a a a aa af x aa⨯+--⨯'==++.由于1a >，所以ln 0a >， 又()20,10x x a a >+>，所以()0f x '>，所以，当1a >时，函数()f x 为R 上的增函数. 【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性的定义，属于中档题 19．已知函数()()xf x x k e =-． （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）求()f x 在区间[0,1]上的最小值． 【答案】（Ⅰ）单调递减区间是（）；单调递增区间是（Ⅱ）见解析【解析】【详解】 （Ⅰ）令，得．与的情况如下： x（）（—+ ↗↗所以，的单调递减区间是（）；单调递增区间是（Ⅱ）当，即时，函数在[0，1]上单调递增，所以（x ）在区间[0，1]上的最小值为当时， 由（Ⅰ）知()[0,1]f x k -在上单调递减，在(1,1]k -上单调递增，所以在区间[0，1]上的最小值为1(1)k f k e --=-；当1,2k t k -≥=即时，函数在[0，1]上单调递减，所以在区间[0，1]上的最小值为(1)(1).f k e =-20．2020年9月20日，阳澄西湖南隧道相城段主体完工，它是国内首条穿湖双层叠加超深､超宽隧道.建成后，将极大地方便周边市民的通行.为了保障通行安全，汽车在隧道内行驶时，需要保持适当的安全车距.安全车距d （单位：m ）正比于车速v （单位：km/h ）的平方与车身长l （单位：m ）的积，即2d klv =（其中k 是比例系数）且安全车距不小于半个车身长.经测算，当车速为60km/h 时，安全车距为5.76个车身长. （1）试求比例系数k 的值；（2）试写出车距d 与车速v 之间的函数关系式；（3）交通繁忙时段，应规定车速为多少时，可使隧道的车流量（单位时间内通过的车辆数）最大？【答案】（1）1625k =；（2）2252,02252,625l v d lv v ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩；（3）25km /h v =.【解析】利用公式2d klv =直接求解即可根据题意，分段求解即可，最终写出d 与车速v 之间的分段函数由于一辆车占去道路的长为l d +，记1h 内通过隧道的车辆数为Q ，设隧道的长度 为S ，则1000vQ l d=+，然后，分段讨论v 即可求解 【详解】解：（1）因为当车速60km /h v =时，安全车距25.7660d l kl ==⨯，所以1625k =. （2）由（1）知，1625k =，从而25.76625lv d l ==，由于25.766252lv ld l ==>，所以252km /h 2v >. 当252/h v >时，2625lv d =；当0km/h 2v ≤≤时，2l d =；综上，2,022,6252l v d lv v ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩（3）由于一辆车占去道路的长为l d +，记1h 内通过隧道的车辆数为Q ，设隧道的长度为S ， 则1000v Q l d=+，当0km/h 2v ≤≤时，1000200032v v Q l l l ==≤+，在km /h 2v =时，取到最大值3l ；当km /h 2v >时，210001000125001625626v Q v lv l l l v ==≤=⎛⎫++ ⎪⎝⎭； 当且仅当1625vv =时即25km/h km/h 2v v ⎛⎫=> ⎪⎝⎭时取等号；又125003l l>，所以，当25km /h v =时，车流量Q 最大. 答：在交通繁忙时段，应规定车速为25km /h v =时，可以使隧道的车流量最大. （注：如用导数求解相应给分.） 【点睛】本题考查函数与方程的实际应用，考查学生的理解能力，属于中档题21．已知二次函数2()f x ax bx =+，满足()20f -=且方程()f x x =有两个相等实根.（1）求函数()f x 的解析式； （2）解不等式3()2f x <（3）当且仅当[]4,x m ∈时，不等式()f x t x -≤恒成立，试求t ，m 的值. 【答案】（1）21()2f x x x =+；（2）{|31}x x -<<；（3）8,12t m ==. 【解析】（1）由()20f -=可得2b a =，再由方程()f x x =有两个相等实根，可得2(21)400a a ∆=--⨯⨯=，从而可求出,a b 的值，进而可求出()f x 的解析式；（2）直接解一元二次不等式可得结果；（3）不等式2()2x t t -≤的解集为{|x t x t -≤≤+，由于当且仅当[4,]x m ∈时，()f x t x -≤恒成立，即不等式()f x t x -≤的解集为{|4}x x m ≤≤，从而得4t -=且t m +=，进而可求得结果【详解】解：（1）由于函数2()f x ax bx =+是二次函数，所以0a ≠，又2(2)(2)(2)0f a b -=⨯-+⨯-=，所以2b a =，所以2()2f x ax ax =+，又()f x x =有两个相等实根，即2(21)0(0)ax a x a +-=≠有两个相等实根，所以2(21)400a a ∆=--⨯⨯=，所以12a = 从而21()2f x x x =+. （2）由（1）知，21()2f x x x =+，所以不等式3()2f x <即为21322x x +<，解得31x -<<.所以不等式的解集为{|31}x x -<< （3）由（1）知，21()2f x x x =+，所以不等式()f x t x -≤即为21()()2x t x t x -+-≤，化简得2()2x t t -≤，又由于2()0x t -≥，所以20t ≥，从而不等式2()2x t t -≤的解集为{|x t x t -≤≤+又由于当且仅当[4,]x m ∈时，()f x t x -≤恒成立，即不等式()f x t x -≤的解集为{|4}x x m ≤≤，所以4t -=且t m +=，从而解得8,12t m ==.【点睛】此题考查待定系数法求二次函数的解析，考查一元二次不等式的解法，考查不等式恒成立问题，属于基础题 22．已知函数ln ()x f x k x =+的极大值为1ee+,其中e 2.71828=为自然对数的底数.（1）求实数k 的值；（2）若函数()e x a g x x=-,对任意(0,)x ∈+∞,()()g x af x ≥恒成立. （i ）求实数a 的取值范围；（ii ）证明：22()sin 1x f x a x x >+-.【答案】（1）1k =（2）（i ）01a ≤≤（ii ）证明见解析【解析】（1）求函数定义域,然后对函数求导,根据函数单调性,得出x e =时,()f x 有极大值,即可算出实数k 的值.（2）（i ）由（1）知,ln ()1x f x x=+,代入()g x 中,根据()()g x af x ≥,整理至即e ln 0x x a x ax a ---≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立,设新函数()e ln x h x x a x ax a =---,将原问题转化为：()0tt e at a ϕ=--≥对t ∀∈R 恒成立,分a 的取值范围分类讨论即可得出实数a 的取值范围.（ii ）要证22()sin 1x f x a x x >+-, 转化为证证22ln 1sin 1x x a x x x ⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭,整理至1sin ln a x x x x +>,设两个新函数1()ln F x x x=+,()sin G x x x =-,分别对两个新函数求导,判断单调性,即可证得22()sin 1x f x a x x >+-成立.【详解】解：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞,21ln ()x f x x -'=, 令()0f x '>,解得：0x e <<,令()0f x '<,解得：x e >,所以当(0,e)x ∈,()f x 为增函数,当(e,)x ∈+∞,()f x 为减函数,所以x e =时,()f x 有极大值11e (e)e ef k +=+=, 所以1k =; （2）（i ）由（1）知,ln ()1x f x x=+, 则()()g x af x ≥,即ln x a a x e a x x -≥+对(0,)x ∀∈+∞恒成立, 所以e ln x x a a x ax -≥+对(0,)x ∀∈+∞恒成立,即e ln 0x x a x ax a ---≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立,设()e ln xh x x a x ax a =---,则()0h x ≥对(0,)x ∀∈+∞恒成立, ln ln ()e e ln e (ln )x x x x h x a x ax a a x x a +=---=-+-,设ln x x t +=,t ∈R ,原问题转化为：()0tt e at a ϕ=--≥对t ∀∈R 恒成立,①若0a <,当(,0)t ∈-∞时, ()1t t e at a at a ϕ=--<-- 则111110h a a a a ⎛⎫⎛⎫-<---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 不合题意;②若0a =,则()0t t e ϕ=≥对t ∀∈R 恒成立,符合题意③若0a >,则()t t e a ϕ'=-,令()0t ϕ'>,ln t a >,令()0t ϕ'<,ln t a <,所以当(,ln )t a ∈-∞时,()t ϕ为减函数,当(ln ,)t a ∈+∞时,()t ϕ为增函数,所以ln ()(ln )e ln ln 0a t a a a a a a ϕϕ≥=--=-≥,即ln 0≤a ,即01a <≤;综上01a ≤≤.（ii ）要证22()sin 1x f x a x x >+-, 只需证22ln 1sin 1x x a x x x ⎛⎫+>+- ⎪⎝⎭, 即22ln sin 1x x x a x x +>+-,即ln 1sin x x a x +>, 只需证1sin ln a x x x x+>, 设1()ln F x x x =+,()sin G x x x =-, 因为22111()x F x x x x-'=-=所以()F x 在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,所以()(1)1F x F ≥=：因为()1cos 0G x x '=-≥恒成立,所以()G x 在(0,)+∞上单调递增,所以()(0)0G x G >=,则sin x x >,则sin 1x x <, 由（2）可知,01a ≤≤,所以sin 1a x x<; 所以sin ()a x F x x>, 即1sin ln a x x x x +>,得证. 所以 22()sin 1x f x a x x >+-成立.【点睛】本题考查已知导数的极值求参数,考查利用导数判断单调性,证明不等式恒成立,考查计算能力,属于中档题.。
