环境统计学概率基础

P(A)
一般地，设A、B是S中的两个事件，则
P (B|A )P (A B ) P (A )
(1.4.1 )
称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率 32
例6 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次 ，每次取一个，取后不放回， （1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率; （2）求第二次取到红球的概率 （3）求两次均取到红球的概率
设随机 A,B及 事和 件A事 B的 件概率分别 是 0.4,0.3和 0.6.则积A事 B的件 概 P(A 率 B)___
解 由已知得:
0 . 6 P ( A B ) P ( A ) P ( B ) P ( A B )
0 . 4 0 . 3 P ( A B )
得 P(AB)0.1
故 P (A B ) P (A B ) P (A ) P (A B )（熟记）
0 .4 0 .1 0 .3
31
ii.乘法公式
(1)条件概率 已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为A条件下 B的条件概率，记作P(B|A)
事件A、B是古典概型的样本空间S中的两个事件，其中A
含有nA个样本点,AB含有nAB个样本点，则
P(B| A) nAB
nAB
n
P(AB)
nA
nA n
Example
栽两株树苗， A1=“第一株树苗成活”，A2=“第二株树苗成 活”，试表示下列各事件：
(1) 两株树苗均成活； (2) 至少一株树苗成活； (3) 第一株成活而第二株未成活； (4) 恰有一株成活； (5) 不多于一株树苗成活。
解： (1)A1A2; (2)A1+A2; (3)A1A2 (4)A1A2+A1A2; (5)A1A2 或A1+A2
• 第10章 人工神经网络
• 第11章 环境空间统计分析
2
第二章 概率统计基础
3
概率统计基础
随机事件
概率
数学特征
概率分布
统计推断
随机事件
随机试验 随机事件 事件的运算
概率
概率 古典概率 概率计算
数学特征
数学期望 方差
变异系数 协方差
相关系数
概率分布
正态分布 t分布 x2分布 F分布
统计推断
参数估值
点估计 区间估计 置信区间
假设检验
4
第一节 随机事件
随机变量
概率分布
关键词与
概率
基本概念
随机变量的 特征数
样本 空间
随机试验 随机事件
5
第一节 随机事件
1.随机试验
(1). 试验：对自然现象进行一次观察或进行一次科学 实验，称为一次试验。
Examples: 掷一枚硬币，测烟气中SO2含量
(2).随机试验：为了研究随机现象, 就要对客观事物进 行观察.
事件的运算律 交换律：A B B A ; A B B A ; 结合律： A(BC)(AB)C;
A(BC)(AB)C; 分配律：A (B C )(A B ) (A C );
A (B C )(A B ) (A C );
德.摩根律：A B A B ;A B A B . 19
第一节 随机事件
7
第一节 随机事件
3.样本空间
给定一个试验, 所有可能的结果的全体构成 一个集合, 这个集合称作样本空间, 用大写的希 腊字母表示, 这个样本空间中的每一个元素也称 作此样本空间的一个样本点, 可以用小写的希腊
字母表示.
σξ ψυ φ
西格马 可塞 普西 衣普西隆 斐
8
第一节 随机事件
试验和样本空间的例子
记为 P ( A )
频率具有稳定性。
22
学以致用
抛阶砖游戏
“抛阶砖”是国外游乐场的典型游戏之一.参 与者只须将手上的“金币”（设“金币”的半径 为1）抛向离身边若干距离的阶砖平面上，抛出的 “金币”若恰好落在任何一个阶砖（边长为2.1的 正方形）的范围内（不与阶砖相连的线重叠）， 便可获大奖. 不少人被高额奖金所吸引，纷纷参 与此游戏，却很少有人得到奖品，请用今天所学 知识解释这是为什么。
P(ABC)＝P(A)P(B|A)P(C|AB). (2)
一般地，有下列公式：
P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2|A1)...P(An|A1…An－1). (334 )
例 7 盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只， 观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的 球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3 、4次取得红球的概率。
23
分析:
若中奖，金币圆心必位于右图的绿色区
域A内.圆心随机地落在“阶砖”的任何位置，
其概率为
绿正色方区形域面面积 积 (2.21.122)2 a 0.0022
A S a
24
第二节 频率与概率
3 古典概型
一个随机试验的样本空间为 { 1,2, ,n},
满足以下性质：
（1）样本点总数有限，即n 有限；
设A—第一次取到红球, B—第二次取到红球
(1)P(B| A)14 (2)P(B)21P523252
(3)P(AB)21 1
P52 10
33
(2)条件概率下的乘法公式
设A、B，P（A）>0,则
P(AB)＝P(A)P(B|A).
(1)
式(1)就称为事件A、B的概率乘法公式。
式(1)还可推广到三个事件的情形：
• 不可能事件: 不包括任何元素的空集, 即 每次试验一定不会发生, 称为不可能事件, 用表示, 则={ }.
13
第一节 随机事件
5.事件间的关系及其运算 (1)事件的包含：BA或AB
B
A
(2)事件的相等：A=B
14
第一节 随机事件
(3)事件的并(和)：A+B 或 AB 即A、B中至少有一个发生.
环境统计学
（Environmental Statistics ）
1
环境统计学
• 第1章 绪论
• 第2章 概率统计基础
• 第3章 环境一元线性回归分析
• 第4章 环境多元线性回归分析
• 第5章 环境系统聚类分析
• 第6章 环境模糊聚类分析
• 第7章 环境判别分析
• 第8章 环境主成分分析
• 第9章 环境因子分析
易知 A + = A + = A
(4)事件的交(积)：AB或AB 即A、B同时发生.
易知A = A A =
15
第一节 随机事件
(5)对立事件 A
A A ,A A ,A A
(6)事件的差 AB
A B A B , A A
A B
16
第一节 随机事件
(7)互不相容事件 AB=
解：设Ai为第i次取球时取到白球，则
P(A 1A 2A3A4) P(A 1)P(A 2|A 1)P(A3|A 1A 2)
P( A1)
2 5
P(A4|A 1A 2A3)
3
P(A3
|
A1A2)
7
P(A2
27
第二节 频率与概率
例2 从0，1，2，….,9十个数字中随机有放回地取7个数 字，求下列事件的概率
（1）A=7个数字全不相同； （2）B=不含0和1； （3）C=0恰好出现两次
解：基本事件总个数为n= 107
（1）事件A出现次数
m=
P
7 10
（2）事件B出现次数 m= 8 7
,
P(A)=
P 10
1)掷一次硬币为一个试验, 则有两个可能的试验结果, 正面和反面, 则 ={正面, 反面}
2) 掷一次骰子为一个试验, 则有六个可能的试验结果, 1点, 2点, 3点, 4点, 5点和6点, 因此样本空间为
={1点, 2点, 3点, 4点, 5点, 6点}
9
第一节 随机事件
3)掷两次硬币作为一次试验, 将两次试验结果排序, 则共有四种可能的结果:
对立事件一定互不相容, 但互不相容,事 件未必对立.
A B
17
第一节 随机事件
(8)完备事件组
若事件A1,A2,…,An为两两互不相容事件, 并且
A1+A2+…+An=,称构成一个完备事件组或构成一
个划分.
最常用的完备事件组是
A1
A3
某事件A与它的对立事件 A
A2
A4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A A
18
第一节 随机事件
={(x,y)|x,y =1,2,3,4,5,6}
11
第一节 随机事件
4.随机事件
随机事件就是样本空间的子集, 或者说事件就是试验结 果的集合, 通常用大写英文字母A, B, C, …等表示.
我们称一个随机事件发生当且仅当它所包含的一个样本点在试验中出现。
• 例如, 掷两次硬币这个试验, 事件A=“至少一次正面朝上”包括三 个样本点(正,反),(反正),(正正). 也可以表示为 A={(正,反),(反,正),(正正)}
记 A={听课迟到}，则
fn(A)121675%
# 频率 f n ( A ) 反映了事件A发生的频繁程度。
21
第二节 频率与概率
2.概率
如果随机事件 A 在 n 次试验中发生了
m 次，称比值 m n 为随机事件 A 的频率，
记为
Fn ( A)
m n
随机事件 A 发生可能性大小的数值称为
随机事件 A 发生的概率(probability)，
20
第二节 频率与概率
1.频率
定义：记
fn
(
A)
nA n
；
其中 n A —A发生的次数(频数)；n—总试验次
数。称f n ( A ) 为A在这n次试验中发生的频率。
例：
➢ 中国国家足球队，“冲击亚洲”共进行了n次，其中成功了
一次，则在这n次试验中“冲击亚洲”这事件发生的频1率n 为；
➢ 某人一共听了16次“环境统计学”课，其中有12次迟到，
（2）每个样本点出现的概率相等，即
P ({ 1 } )P ({ 2} ) P ({ n} )1 n
称满足以上2个性质的模型为古典概型。
25
第二节 频率与概率
随机事件 A , A{i1, , i2 , im },
定义
P(A) m
n
称此概率为随机事件 A 的古典概率。
0mn, 0P(A)1,
7 10
7
87
,
P(B)=
10
7
（3）C出现次数
m=
9
5
C
2 7
,
P(C)=
9
5
C
2 7
10 7
28
第二节 频率与概率
• 例3：一袋中有8个球，其中3个为红球，5个为黄球，设摸到 每一球的可能性相等，从袋中不放回摸两球， 记A={恰是一 红一黄}，求P(A)．
解：P(A)C 3 1C 5 1/C 8 21 25 853.6%
29
4.概率的计算
i.加法公式：对任意两事件A、B，有 P(A+B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)
该公式可推广到任意n个事件A1,A2,…,An的情形
该公式可推广
P(A+B+C)＝P(A)＋P(B) ＋P(C)－P(AB) －P(AC) －P(BC) +P(ABC)
30
例4 (2004年研究生入学考试题)
• 掷两次骰子的试验, 事件B=“两次点数相同”, 则B={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}
12
第一节 随机事件
几个特殊的事件
• 基本事件: 只包括一个样本点, 或者说一个 试验结果的事件称为基本事件.
• 必然事件: 包括整个样本空间的所有元素 的事件, 或者就用表示, 则每次试验必然发 生, 因此称为必然事件.
(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正)
因此样本空间 ={(反, 反), (反, 正), (正, 反), (正, 正)}
10
第一节 随机事件
4)掷两次骰子作为一次试验, 将两次试验结果排 序, 则共有36种可能的结果: ={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}
P( )1,P( )0.
26
第二节 频率与概率
例1 将一枚均匀对称的硬币抛3次，观察正反面， （1）写出样本空间；
（2）设事件 A 1 为“恰有一次出现正面”，求P ( A 1 ) ;
（3）设事件 A 2
为“至少有二次出现正面”，求P ( A 2 ) .
( (H H ,,T H ,,T H ),)(,T (H ,H ,H ,T ,)T ,( )T ,(,H T ,,T H ,)H ,(T ),,(T T ,,T H ),H )
6
第一节 随机事件
2.随机试验
特点:
•在相同的条件下试验可以重复进行;
•每次试验的结果具有多种可能性, 而且在试验之前可以明确试验的所有 可能结果;
•在每次试验之前不能准确地预言该次试验将出现哪一种结果.
例： ✓ 抛一枚硬币，观察试验结果； ✓ 对某路公交车某停靠站登记下车人数； ✓ 对某批电子产品测试其输入电压； ✓ 对听课人数进行一次登记；