函数图像与坐标

函数的概念及图象一、知识要点概述(一)函数有关概念1、常量：在某一变化过程中保持不变的量．2、变量：在某一变化过程中可取不同数值的量．3、函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．4、函数的表示方法5、画函数图象的步骤：①列表；②描点；③连线，通常称为描点法．6、函数自变量的取值范围(二)平面直角坐标中点的坐标特征3、平行于坐标轴的直线上的点(1)平行于x轴的直线上任意两点的纵坐标相同；(2)平行于y轴的直线上任意两点的横坐标相同．4、对称点的坐标：(1)点P(a，b)关于x轴的对称点坐标是P(a，－b)即横坐标相同，纵坐标互为相反1数．(－a，b)即横坐标互为相反数，纵坐标相(2)点P(a，b)关于y轴的对称点坐标是P2同．(－a，－b)即横、纵坐标都互为相反数．(3)点P(a，b)关于原点的对称点坐标是P35、各象限角平分线上的点(1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等．(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数．6、点与原点、坐标轴的距离(1)点P(a，b)与原点的距离是．(2)点P(a，b)与x轴的距离是|b|(即其纵坐标的绝对值)．(3)点P(a，b)与y轴的距离是|a|(即其横坐标的绝对值)二、典型例题剖析例1、现有点M(1＋a，2b－1)在第二象限，则点N(a－1，1－2b)在第________象限．分析：本题主要考查各象限内点的坐标符号特征．由于点M在第二象限，，所以N点在第三象限．解：三例2、若m为整数，点P(3m－9，3－3m)是第三象限的点，则P点的坐标是（）A．(－3，－3)B．(－3，－2)C．(－2，－2)D．(－2，－3)分析：根据第三象限点的符号特征，建立不等式组求出字母m的取值范围，再确定m的值，从而可得P点坐标．解：选A．例3、点A(1，m)在函数y=2x图象上，则点A关于y轴的对称点的坐标是(________，________)分析：把A(1，m)代入函数式y=2x中，求m=2，则A(1，2)，再根据对称点的符号规律求A点的对称点坐标．解：(－1，2)例4、已知P点关于x轴的对称点P1的坐标是(2，3)，那么点P关于原点的对称点P2的坐标是（）A．(－3，－2)B．(2，－3)C．(－2，－3)D．(－2，3)分析：(2，3）关于x轴对称，故求P(2，－3)，∴点P(2，－3)关于原点对称由点P与P1的点坐标易求．解：选D．例5、已知两圆的圆心都在x轴上，A、B为两圆的交点，若点A的坐标为(1，－1)，则点B的坐标为（）A．(1，1)B．(－1，－1)C．(－1，1)D．无法求出分析：由于圆是轴对称图形，故两圆的两个交点A，B关于x轴对称．解：选A．例6、下列各组的两个函数是同一函数吗？为什么？(1)y=x和(2)y=πx2和S=πr2(其中x≥0，r≥0)(3)y=x＋2和分析：判断两个函数是否为同一函数：①要判断两个函数的自变量取值范围是否相同；②要判断自变量与函数的对应规律是否完全相同．解：(1)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≠0的实数；(2)是同一函数，因为它们的自变量的取值范围相同，而且自变量与函数的对应规律完全相同；(3)不是同一函数，因为它们的自变量取值范围不同，前者是全体实数，后者是x≥－2．例7、在函数中自变量x的取值范围是________．分析：求函数式中自变量的取值范围的一般思路是：①函数解析式中的分母不能为0；②偶次根式的被开方数应为非负数；③零指幂和负整指数幂的底数不能为0．此题中，自变量x应满足解：x≥－1且x≠2．例8、等腰△ABC周长为10cm，底边BC长为y cm，腰长AB为x cm．(1)求出y与x的函数关系式；(2)求x的取值范围；(3)求y的取值范围；(4)画出此函数的图象．分析：要求y与x的函数关系，关键是找出y与x之间的等量关系，确定x的取值范围应从边长为正数和三角形三边关系方面入手．画函数的图象应按列表、描点、连线的步骤进行，同时应注意自变量的取值范围对图象的影响．解：(1)∵△ABC的周长为10，∴2x＋y=10，∴y=10－2x．．(3)由解之得0＜y＜5．(4)函数的图象如图所示．点评：求实际问题中的函数关系式应标明自变量的取值范围，画有自变量取值范围的函数图象时应注意端点处是实心点还是空心圆圈．。

对称中心
有些函数图像可能关于原点对称，这种对称性称为奇函数的特性。
函数图像的顶点坐标
极值点
当函数在某点的一阶导数为零，二阶导数为负时，该点为函数的极小值点，极小 值点坐标为（x，f（x））。
拐点
当函数在某点的一阶导数为零，二阶导数为正时，该点为函数的拐点，拐点的坐 标为（x，（f（x）））。
04
记作y=f(x)，其中f是函数的符号，x是自变量，y是因变量。
函数的表示方法
解析法
用数学形式（解析式）表示函数关系的方法 。
图象法
用图象表示函数关系的方法。
表格法
用表格表示函数关系的方法。
函数的分类
常量函数
因变量的值只与自变量的值无关的函数。
线性函数
因变量的值与自变量的值成正比或反比的函数。
幂函数
因变量的值是自变量的幂的函数。
指数函数
因变量的值是自变量的指数的函数。
对数函数
因变量的值是自变量的对数的函数。
三角函数
因变量的值是自变量正弦、余弦、正切等三角函数的函 数。
02
平面直角坐标系
坐标系的建立
通过定义原点和正方向，以及单位长度，在平面上建立坐标系。 固定x轴和y轴的方向，确定横轴和纵轴的长度单位。
常见函数的图像
正比例函数
总结词：直线
详细描述：正比例函数图像为一条直线，其解析式为$y=kx$，其中$k$为常数。 当$k>0$时，直线经过一、三象限，$y$随$x$的增大而增大；当$k<0$时，直线 经过二、四象限，$y$随$x$的增大而减小。
反比例函数
总结词：双曲线
详细描述：反比例函数图像为双曲线，其解析式为$y= \frac{k}{x}$，其中$k$为常数。双曲线与坐标轴不相交 ，且分布在第一、第三象限。当$k>0$时，双曲线的两 支分别位于第一、第三象限，$y$随$x$的增大而减小 ；当$k<0$时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限 ，$y$随$x$的增大而增大。

曲面方程
曲面是三维空间中由无数个平面或曲线所围成的几何体。在 三维坐标系中，曲面的方程可以用一个三元方程来表示。例 如，球面方程为(x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2=R^2，其中 (a,b,c)为球心坐标，R为球半径。
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空间点坐标
在三维坐标系中，任意一点P的位置可以用三个实数x、y、z来表示，称为点P的坐标，记 作P(x,y,z)。
空间点坐标表示方法
柱坐标
柱坐标是一种用极径、极角和垂直高度三个量来表示空间点位置的方法。在柱 坐标系中，点的位置用(r,θ,z)表示，其中r为点到Z轴的距离，θ为点与X轴正方 向的夹角，z为点到XY平面的距离。
05
拓展内容：三维坐标系简介
三维坐标系定义及性质
三维坐标系定义
三维坐标系是在平面直角坐标系的基础上，引入第三个坐标轴而形成的坐标系。通常，三 个坐标轴分别用X、Y、Z表示，它们互相垂直并相交于原点O。
右手定则
在三维坐标系中，通常采用右手定则来确定坐标轴的方向。即伸出右手，大拇指指向X轴 正方向，食指指向Y轴正方向，中指指向Z轴正方向。
利用性质判断
周期函数具有一些特殊的性质，如周期性、 对称性、可加性等，这些性质可以帮助我们 判断一个函数是否具有周期性。
04
典型问题解析与讨论
求交点坐标问题
01
02
03
解析法
联立两个函数的解析式， 解方程组求得交点的横纵 坐标。
图象法
在平面直角坐标系中分别 作出两个函数的图象，两 图象交点的坐标即为所求 。
坐标的表示方法
在平面直角坐标系中，一个点的坐标可以用数对来表示。例如，(a, b)表示一个点的横坐标为a，纵坐 标为b。当a>0且b>0时，该点位于第一象限；当a<0且b>0时，该点位于第二象限；当a<0且b<0时 ，该点位于第三象限；当a>0且b<0时，该点位于第四象限。

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数学大世界 ． ◇ ＋＋＋＋ ＋＋．＋＋＋ ０。１ ０ 。 。 。。。。。
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吉林
郭 奕 津
学 习 函数 知 识 时 ， 同学 们 注 意 一 个 十 分 简 单 的 关 请 系： 一个点如果 在某 函数 的图象上 ， 那么 这个点 的坐标 满足 函数 的解 析 式 ， 把 点 的 坐 标 代 入 解 析 式 中 ， 析 即 解 式左 右两 边 相 等 ． 之 ， 个 点 不 在 函数 的 图象 上 ， 一 反 一 这
０ 的 图象 上 ． ）
Ｃ — — Ｂ
Ｉ
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Ｙｏ÷ ： ：０． ２ ｏ ｌ 丁 — ０５ ４９２ ９ ０ １ ‘
：
如用待定系数法求函数的解 析式时 ， 是把点的坐 就 标代入解析式 中， 出函数解析式 中的系数． 求 因此， 当题中的条件中若含有“ 某某点在函数 图象上” 这样的条件 ， 往往要考虑把这点的坐标代入解析式中．
分析
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‘ 尸 ， ２ … ｏ 纵 坐 标 依 次 为 １ ３ ５ ． 尸 ， ‘ 的 ，，，
这 样 的 ２ １ 奇数 ， ０ ０个
．
．
点 Ｐ 的 纵 坐 标 为 ４ １． ２ ０９

解：(1)汽车从出发到最后停止共经历了24分钟，它的最高速度是90千米/时.
三、认真观察 学会识图：
1.汽车在行驶的过程中，速度往往是变化的，下图表示一辆汽车的速度 随时间变化而变化的情况. (2)汽车在哪些时间段保持匀速行驶？时速分别是多少？
解：(2)在2分钟到6分钟，18分钟到22分钟之间汽车匀速行驶，速度分 别是30千米/时和90千米/时.
S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16 描点：在直角坐标系中，画出表格中各对数
值所对应的点.
连线：把所描出的各点用平滑
S
16
的曲线连接起来.
接下来怎么办呢？
9
4 1 O 1234 x
一般地，对于一个函数，如果把自变 量与函数的每对对应值分别作为点的横、 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的 图形，就是这个函数的图象.
0-8分钟，离家越来越远；8-25分钟，离家 距离不变，为0.6千米；25-28分钟，离家距离由 0.6千米增加到0.8千米；28-58分钟，离家0.8千 米；58-68分钟，离家越来越近，直至回家.
解答
(1)食堂离小明家多远？小明从家到食堂用了多少 时间？ 食堂离小明家0.6km；小明从家到食堂用了8min. (2)小明吃早餐用了多长时间？ 25-8=17 小明吃早餐用了17min.
5.温度在零度以下的时间长呢？还是在零度以上
的时间长？
温度在零度以上的时间长
随堂练习
1、下图是某一天北京与上海的气温随时间变 化的图象.
(1)这一天内，上海与北京何时气温相同？ (2)这一天内，上海在哪段时间比北京气温高？在 哪段时间比北京气温低？
(1)7,12 (2)高：0～7，12～24 低：7～12

初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。

定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。

倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。

设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。

2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。

定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。

-8
向 下 平移 |k|个单位得到。
上加下减
(1)函数y=4x2+5的图象可由y=4x2的图象 向上 平移 5 个单位得到；y=4x2-11的图象 下 可由 y=4x2的图象向 平移 11个单位得到。 (2)将函数y=-3x2+4的图象向 下 平移 4 个单位可得 y=-3x2的图象；将y=2x2-7的图象向 上平移 7 个 单位得到y=2x2的图象。将y=x2-7的图象 向上 平移 9 个单位可得到 y=x2+2的图象。 （3）将抛物线y=4x2向上平移3个单位，所得的 抛物线的函数式是 y=4x2+3 。 将抛物线y=-5x2+1向下平移5个单位,所得的 抛物线的函数式是 y=-5x2-4 。
例1、分别说下列抛物线的开口方向，对称 轴、顶点坐标、最大值或最小值各是什么 及增减性如何？。 （1）y=-x2-3 （2）y=1.5x2+7
（3）y=2x2-1
(4) y= −2x2+3
例2 ： 按下列要求求出二次函数的解析式：
（1）形状与y=-2x2+3的图象形状相同，但开口
方向不同，顶点坐标是（0，1）的抛物线解析式。
10
y
8
y=x2+1
y=x2 y=x2-2
5
4
y
2
y=-x2+3
5
6
4
-10
-5
O
-2
x
10
2
y=-x2 y=-x2-2
-4
-10 -5
O
-2
x
10
-6
-8
当a>0时，抛物线y=ax2+k的开口 向上 ，对称轴 是 y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 减小，在对称轴的右侧,y随x的增大而 增大， 当x= 0 时，取得最 小 值，这个值等于 k ； 当a<0时,抛物线y=ax2+k的开口 向下，对称轴 是y轴 ，顶点坐标是(0,k)，在对称轴的左侧，y随x的 增大而 增大，在对称轴的右侧,y随x的增大而 减小， 当x= 0 时，取得最 大 值，这个值等于 k 。

1． f(x)＝|x－1|的图象为如下图所示中的 ( )
【解析】 【答案】 B
2. （湖北卷）函数 y e |ln x| | x 1 |的图象大致是
D
（ D
）
（D ）
3．为了得到函数 y＝2 －1 的图象，只需 把函数 y＝2x 的图象上所有的点( ) A．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 B．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度 C ．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度 D．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度
2.函数图象的画法 函数图象的画法有两种常见的方法：一是描点法； 二是图象变换法 描点法：描点法作函数图象是根据函数解析式， 列出函数中x,y的一些对应值表，在坐标系内描出 点，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .作图时， 要与研究函数的性质结合起来
图象变换法：常用变换方法有4种，即平移变换、 翻折变换、伸缩变换和对称变换
y f (2a x)
a 对称的解析式为
④函数 y f ( x) 的图象关于点 (a, 0) 对称的解析式为
y f (2a x)
1 ⑤函数 y f ( x) 和 y f ( x) 的图象关于直线 y=x 对称 .
【例1】 作出下列函数的大致图象
(1) y ( x 1) 1 (2) y log 2 ( x ) 1 (3) y 2
2.函数图象的画法 函数图象的画法有两种常见的方法：一是描点法； 二是图象变换法 描点法：描点法作函数图象是根据函数解析式， 列出函数中x,y的一些对应值表，在坐标系内描出 点，最后用平滑的曲线将这些点连接起来 .作图时， 要与研究函数的性质结合起来

平面直角坐标系与函数图像在数学中，平面直角坐标系是一种常用的图像表示方法，用于描述数学中的函数图像。

平面直角坐标系由横轴和纵轴组成，以一个点作为原点，可以表示二维平面上的任意点。

一、平面直角坐标系的构成平面直角坐标系由两条相互垂直的直线组成，通常称为x轴和y轴。

x轴水平放置，代表横轴，y轴竖直放置，代表纵轴。

这两条直线的交点被定义为原点O，即坐标(0,0)。

二、坐标的表示方法在平面直角坐标系中，每个点都可以通过一个有序数对表示，这个有序数对通常写成(x, y)，x代表该点在横轴上的位置，y代表该点在纵轴上的位置。

例如，点A的坐标为(2, 3)，表示该点在横轴上位置为2，纵轴上位置为3。

三、函数图像在平面直角坐标系中的表示函数图像是平面直角坐标系中的一种重要应用。

我们可以通过函数的定义域和值域来绘制函数图像。

以一元函数为例，假设给定函数f(x)，x为定义域上的变量，y为函数的值域。

我们可以通过给不同的x值计算对应的y值，将这些点在平面直角坐标系上连线得到函数的图像。

四、函数图像的性质函数图像在平面直角坐标系中呈现出不同的特征和性质。

我们可以通过观察图像找到函数的最大值、最小值、零点、增减性、凹凸性等关键信息来研究函数的性质。

平面直角坐标系为我们提供了一个直观的展示方式，有助于我们更好地理解和分析函数。

五、利用平面直角坐标系解决实际问题平面直角坐标系不仅在数学理论中有重要应用，在实际问题中也发挥着重要作用。

例如，在物理学中，我们可以通过绘制运动曲线来描述物体在平面上的运动轨迹；在经济学中，我们可以通过绘制需求曲线和供给曲线来研究市场的供求关系。

六、小结平面直角坐标系是一种重要的图像表示方法，用于描述数学中的函数图像。

它由x轴和y轴组成，通过坐标的有序数对来表示点的位置。

函数图像在平面直角坐标系中可以展现出不同的性质和特征，有助于我们研究函数的性质和解决实际问题。

通过学习和理解平面直角坐标系，我们能更好地掌握数学知识，并应用于实际生活中。

06
二次函数与一元二次方程的关 系
一元二次方程的基本概念
1 2
一元二次方程的标准形式
ax² + bx + c = 0，其中a、b、c是系数，且a≠0 。
判别式
Δ = b² - 4ac，用于判断一元二次方程的实数根 的个数。
3
根的求解
通过配方或公式法求解，若Δ > 0，方程有两个 实数根，若Δ = 0，方程有一个实数根，若Δ < 0 ，方程没有实数根。
顶点式
表达式
$y = a(x - h)^{2} + k$
描述
顶点式表示二次函数的顶点坐标，其中$(h, k)$是顶点坐标，$a$是二次项系数。
焦点式
表达式
$y = a\sqrt{x^{2} + 2ax + b}$
描述
焦点式主要用于描述二次函数的 焦点位置和形状，其中$a$和$b$ 分别是二次项和一次项的系数。
05
二次函数的应用
求最值问题
定义
设f(x)=ax2+bx+c(a,b,c是常数， a≠0)，当a>0时，函数f(x)的图像是 一个开口向上的抛物线；当a<0时， 函数f(x)的图像是一个开口向下的抛物 线。
顶点
极值点
当a>0时，二次函数f(x)的图像在x=b/2a处取得最小值f(-b/2a)；当a<0 时，二次函数f(x)的图像在x=-b/2a处 取得最大值f(-b/2a)。
对称
二次函数图像的对称主要改变函数的单调性。如果一个二次函数图像关于y轴对 称，那么它的单调性将发生改变；如果一个二次函数图像关于x轴对称，那么它 的单调性不变。
04
二次函数的解析式

第三模块函数3.1平面直角坐标系与函数及图像考点一、平面直角坐标系内点的坐标1．有序数对(1)平面内的点可以用一对有序实数来表示．例如点A在平面内可表示为A(a，b)，其中a表示点A的横坐标，b表示点A的纵坐标．(2)平面内的点和有序实数对是一一对应的关系，即平面内的任何一个点可以用一对有序实数来表示；反过来每一对有序实数都表示平面内的一个点．(3)有序实数对表示这一对实数是有顺序的，即(1,2)和(2,1)表示两个不同的点．2．平面内点的坐标规律(1)各象限内点的坐标的特征点P(x，y)在第一象限⇔x＞0，y＞0；点P(x，y)在第二象限⇔x＜0，y＞0；点P(x，y)在第三象限⇔x＜0，y＜0；点P(x，y)在第四象限⇔x＞0，y＜0.(2)坐标轴上的点的坐标的特征点P(x，y)在x轴上⇔y＝0，x为任意实数；点P(x，y)在y轴上⇔x＝0，y为任意实数；点P(x，y)在坐标原点⇔x＝0，y＝0.【例1】在平面直角坐标系中，点P(m，m－2)在第一象限，则m的取值范围是________．解析：由第一象限内点的坐标的特点可得：m>0，m－2>0，解得m＞2.方法点拨：此类问题的一般方法是根据点在坐标系中的符号特征，建立不等式组或者方程(组)，把点的问题转化为不等式组或方程(组)来解决．考点二、平面直角坐标系内特殊点的坐标特征1．平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征(1)平行于x 轴(或垂直于y 轴)的直线上点的纵坐标相同，横坐标为不相等的实数．(2)平行于y 轴(或垂直于x 轴)的直线上点的横坐标相同，纵坐标为不相等的实数．2．平面直角坐标系各象限角平分线上的点的坐标特征(1)第一、三象限角平分线上的点，横、纵坐标相等.(2)第二、四象限角平分线上的点，横、纵坐标互为相反数.3．平面直角坐标系对称点的坐标特征点P (x ，y )关于x 轴的对称点P 1的坐标为(x ，－y )；关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－x ，y )；关于原点的对称点P 3的坐标为(－x ，－y )． 以上特征可归纳为：(1)关于x 轴对称的两点，横坐标相同，纵坐标互为相反数.(2)关于y 轴对称的两点，横坐标互为相反数，纵坐标相同．(3)关于原点对称的两点，横、纵坐标均互为相反数.【例2】已知点M(1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是 ( )解析：由题意得，点M 关于x 轴对称的点的坐标为(1－2m ，1－m )．∵M (1－2m ，m －1)关于x 轴的对称点在第一象限， ∴⎩⎨⎧1－2m >0，1－m ＞0，解得⎩⎨⎧m ＜12，m ＜1.考点三、确定物体位置的方位1．平面内点的位置用一对有序实数来确定．2．方法 (1)平面直角坐标法(2)方向角和距离定位法用方向角和距离确定物体位置，方向角是表示方向的角，距离是物体与观测点的距离．用方向角和距离定位法确定平面内点的位置时，要注意中心点的位置，中心点变化了，则方向角与距离也随之变化.考点四、点到坐标轴的距离考点五、平面直角坐标系中的平移与对称点的坐标－4，－1)，C(2，0)，将△ABC 平移至△A1B1C1的位置，点A、B、C的对应点分别是A1、B1、C1，若点A1的坐标为(3，1)，则点C1的坐标为________．解析：由A(－2，3)平移后点A1的坐标为(3，1)，可知A点横坐标加5，纵坐标减2，则点C的坐标变化与A点的坐标变化相同，故C1(2＋5，0－2)，即(7，－2)．方法点拨：求一个图形旋转、平移后的图形上对应点的坐标，一般要把握三点：一是根据图形变换的性质；二是利用图形的全等关系；三是确定变换前后点所在的象限．考点六、函数及其图象1．函数的概念(1)在一个变化过程中，我们称数值发生变化的量为变量，有些数值是始终不变的，称它们为常量．(2)函数的定义：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x在其取值范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说，x是自变量，y是x的函数．函数值：对于一个函数，如果当自变量x ＝a 时，因变量y ＝b ，那么b 叫做自变量的值为a 时的函数值注：函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系(3)用来表示函数关系的数学式子，叫做函数解析式或函数关系式．2．函数的表示法及自变量的取值范围(1)函数有三种表示方法：解析法，列表法，图象法，这三种方法有时可以互相转化．（表示函数时，要根据具体情况选择适当的方法，有时为了全面认识问题，可同时使用几种方法）(2)当函数解析式表示实际问题或几何问题时，其自变量的取值范围必须符合实际意义或几何意义．3．函数的图象：对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，组成这些点的图形叫这个函数的图象．(1)画函数图象，一般按下列步骤进行：列表、描点、连线．(2)图象上任一点的坐标是解析式方程的一个解；反之以解析式方程的任意一个解为坐标的点一定在函数图象上.温馨提示：画图象时要注意自变量的取值范围，当图象有端点时，要注意端点是否有等号，有等号时画实心点，无等号时画空心圆圈.【例4】函数y ＝1x ＋x 的图象在( ) A ．第一象限 B ．第一、三象限C ．第二象限D ．第二、四象限解析：先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求a的取值范围即可．⎩⎨⎧2x<3（x －3）＋1，①3x ＋24>x ＋a.② 由①得x ＞8，由②得x ＜2－4a ，其解集为8＜x ＜2－4a.因不等式组有四个整数解，为9，10，11，12，则⎩⎨⎧2－4a>12，2－4a≤13，解得－114≤a<－52. 故选B.【例5】[2013·苏州] 在物理实验课上，小明用弹簧秤将铁块悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起(不考虑水的阻力)，直到铁块完全露出水面一定高度．下图能反映弹簧秤的度数y(单位：N)与铁块被提起的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是 ( )解析：因为小明用弹簧秤将铁块A 悬于盛有水的水槽中，然后匀速向上提起，直至铁块完全露出水面一定高度．露出水面前读数y 不变，出水面后y 逐渐增大，离开水面后y 不变．故选C.方法点拨：观察图象时，首先弄清横轴和纵轴所表示的意义，弄清哪个是自变量，哪个是因变量；然后分析图象的变化趋势，结合实际问题的意义进行判断．考点七、自变量取值范围的确定方法求函数自变量的取值范围时，首先要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．1．自变量以整式形式出现，它的取值范围是全体实数．2．自变量以分式形式出现，它的取值范围是使分母不为零的实数．3．当自变量以偶次方根形式出现，它的取值范围是使被开方数为非负数；以奇次方根出现时，它的取值范围为全体实数．4．当自变量出现在零次幂或负整数幂的底数中，它的取值范围是使底数不为零的数5．在一个函数关系式中，同时有几种代数式，函数自变量的取值范围应是各种代数式中自变量取值范围的公共部分．【例6】(1)(2010·遵义)函数y ＝1x －2的自变量x 的取值范围是________． (2)(2010·济宁)在函数y ＝x ＋4中，自变量x 的取值范围是________．(3)(2010·黄冈)函数y ＝x －3x ＋1的自变量x 的取值范围是________． (4)(2010·玉溪)函数y ＝x x ＋1中自变量x 的取值范围是________． 【解答】(1)由x －2≠0得x≠2.(2)由x ＋4≥0，得x≥－4.(3)由⎩⎨⎧ x －3≥0，x ＋1≠0，得x≥3. (4)由x ＋1＞0，得x ＞－1.。

一次函数与坐标轴交点的意义
01
一次函数与x轴交点
该交点是一次函数图像上的一个特殊点，其纵坐标为0。这个点代表着
一次函数在x轴上的截距，即当y=0时，x的取值。通过该点，我们可以
了解一次函数在x轴上的位置以及函数的增减性。
02
一次函数与y轴交点
该交点是一次函数图像上的另一个特殊点，其横坐标为0。这个点代表
着一次函数在y轴上的截距，即当x=0时，y的取值。通过该点，我们可
以了解一次函数在y轴上的位置以及函数的垂直位移。
03

一次函数与坐标轴交点的综合意义
一次函数与坐标轴的交点共同决定了一次函数图像的位置、方向和形状。
这些交点为我们提供了一次函数的基本特征和性质，有助于我们更好地
理解和应用一次函数。
02 一次函数图像与x轴交点
在解决与一次函数相关的实际问 题时，经常需要找到一次函数图
像与x轴的交点。
例如，在解决追及问题、相遇问 题等时，可以通过找到一次函数 图像与x轴的交点，来确定两个
物体的相遇时间或追及时间。
此外，在解决一些与一次函数相 关的最优化问题时，也可以通过 找到一次函数图像与x轴的交点，
来确定最优解的位置。
03 一次函数图像与y轴交点
如果一次函数图像与y轴交点在正半轴，那么函数的截距b>0，函数图像在x轴上方；如果交 点在负半轴，那么b<0，函数图像在x轴下方。
解决与一次函数相关的实际问题
通过分析一次函数图像与坐标轴 的交点，可以解决与一次函数相 关的实际问题，如求解不等式、
方程等。
利用一次函数图像与x轴的交点， 可以求解一元一次方程；利用与 y轴的交点，可以求解一元一次
对未来研究的展望

b 3a, b 0
例6、 甲 、 乙 二 人 沿 同 一 方向 去B地 ， 途 中 都 用 两 种 不 同的 速 度
v1与v2 (v1 v2 ).甲 前 一 半 的 路 程 用 速 度v1， 后 一 半 的 路 程 用 速 度v2；
乙
前
一
半
的
时
间
使
用
速度v
，
1
后
一
半
的
时
间
使
用
速度v
第八讲 函数的图象
一、 知识要点：
1.函数的图象
在平面直角坐标系中，以函数y=f(x)中的x为横坐标， 函数值y为纵坐标的点(x，y)的集合，就是函数y=f(x)的图 象．图象上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系y=f(x)， 反过来，满足y=f(x)的每一组对应值x、y为坐标的点(x，
y)，均在其图象上 。

cos
logcos x (0 x logcos x (1 x)
1)

x(0 x

1 x
(1

x)
1)
y
o
x
返回
1 (3) log x y log y x log x y log x y log x y 1 y x或y 1 ( x, y 0且x, y 1)
2
y x 2 4 | x | 3 | x |2 4 | x | 3
y
-3
-2
-1
–4 –3 –2 –1
|
|
|
|
o
1 234
|
|
|
|
- –1
x
返回
(2) y cos |logcos x| (0 );

二次函数的图象与坐标轴的交点情况例1 画出函数322--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x 轴，y 轴的交点坐标分别是什么？（2）当x 取何值时，y=0？这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系？（3）x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时， 函数值y 小于0例2 已知二次函数142-++=k x x y（1）若抛物线与x 轴有两个不同的交点，求k 的取值范围。

（2）若抛物线的顶点在x 轴上，求k 的值例3 已知抛物线m mx x y 222--=的图象与x 轴有两个交点为),0,(1x )0,(2x ，且52221=+x x ，求m 的值。

例4 已抛物线1)2()1(2--+-=x m x m y （m 为实数）。

（1）m 为何值时，抛物线与x 轴有两个交点？ （2）如果抛物线与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且△ABC 的面积为2，求该抛物线的解析式。

例5 已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；【大展身手】1.二次函数y=x 2-3x 的图象与x 轴两个交点的坐标分别为 . 2.y=x 2-7x-5与y 轴的交点坐标为 .3．抛物线22n mx x y --=)0(≠mn 的图象与x 轴交点有（ ）个 4．函数m x mxy 22-+=（m 是常数）的图象与x 轴的交点有（ ）个5．若抛物线c bx ax y ++=2的所有点都在x 轴下方，则必有 。

6．抛物线5232--=x x y 与y 轴的交点坐标为 ，与x 轴的交点坐标为 ．7．已知方程05322=--x x 的两根是25，-1，则二次函数5322--=x x y 与x 轴的两个交点间的距离为 ．8.如果二次函数c x x y ++=42图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c ＝ （写一个即可）9.二次函数322--=x x y 图象与x 轴交点之间的距离为 。

函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)平面直角坐标系1、定义：平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系2、各个象限内点的特征:第一象限：（+，+） 第二象限：（-，+） 第三象限：（-，-） 第四象限：（+，-）3、坐标轴上点的坐标特征：x 轴上的点，y 为零；y 轴上的点，x 为零；原点的坐标为（0 , 0）。

4、点的对称特征：已知点P(m,n),关于x 轴的对称点坐标是(m,-n), 横坐标相同，纵坐标反号 关于y 轴的对称点坐标是(-m,n) 纵坐标相同，横坐标反号 关于原点的对称点坐标是(-m,-n) 横，纵坐标都反号 5、平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征：平行于x 轴的直线上的任意两点：纵坐标相等； 平行于y 轴的直线上的任意两点：横坐标相等。

6、各象限角平分线上的点的坐标特征：第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等。

第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数。

7、点P （x,y ）的几何意义：点P （x,y ）到x 轴的距离为 |y|，点P （x,y ）到y 轴的距离为 |x|。

点P （x,y ）到坐标原点的距离为22y x +8、两点之间的距离：X 轴上两点为A )0,(1x 、B )0,(2x |AB|||12x x -= Y 轴上两点为C ),0(1y 、D ),0(2y |CD|||12y y -=已知A ),(11y x 、B ),(22y x AB|=212212)()(y y x x -+-9、中点坐标公式：已知A ),(11y x 、B ),(22y x M 为AB 的中点,则：M=(212x x + , 212y y +) 10、点的平移特征： 在平面直角坐标系中，将点（x,y ）向右平移a 个单位长度，可以得到对应点（ x-a ，y ）； 将点（x,y ）向左平移a 个单位长度，可以得到对应点（x+a ，y ）； 将点（x,y ）向上平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y ＋b ）； 将点（x,y ）向下平移b 个单位长度，可以得到对应点（x ，y －b ）。

平面直角坐标系与函数像的关系直角坐标系是数学中常用的一种坐标系，我们可以利用它来描述平面上的各种几何图形和数学函数。

在这种坐标系中，平面被划分为四个象限，每个象限由两个互相垂直的轴，即x轴和y轴所确定。

x轴和y轴的交点称为原点，它的坐标为(0, 0)。

在直角坐标系中，我们可以通过给定的x坐标和y坐标，来确定平面上的一个点。

这个点的坐标表示为(x, y)，其中x表示点在x轴上的位置，y表示点在y轴上的位置。

通过这种表示方式，我们可以利用直角坐标系方便地进行平面几何运算和函数分析。

函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个数集之间的一种关系。

在直角坐标系中，我们可以将函数表示为一条曲线，这条曲线上的每个点都满足函数的定义。

函数的自变量通常表示为x，因变量表示为y，即y = f(x)。

在直角坐标系中，这个函数图像可以看作是平面上的一个图形。

函数的图像在直角坐标系中呈现出各种不同的形状，如直线、曲线、抛物线等。

通过观察这些图像，我们可以得到函数的性质和行为。

例如，当函数图像是一条直线时，函数呈现线性关系，即y与x成正比或反比。

而当函数图像是一条曲线时，函数可能表现出增长或衰减的趋势，或者存在极值点和拐点等。

函数图像在直角坐标系中的属性还包括对称性和周期性。

对称性是指函数图像在某个中心对称轴上呈现对称的特点，例如关于x轴对称、y轴对称或者原点对称。

周期性是指函数图像呈现出一定规律的重复性，即函数在某个区间内的数值与另一个区间内的数值相同。

直角坐标系也为我们提供了一种便利的方式来研究函数的变化趋势和数值特征。

通过观察函数图像在直角坐标系中的行为，我们可以判断函数的增减性、最值、零点以及一些其他的特征。

这些特征对于我们理解函数的性质和应用具有重要意义。

在数学和物理等领域，直角坐标系与函数的关系具有广泛的应用。

例如，我们可以利用直角坐标系来分析物体的运动轨迹、计算物体的速度和加速度，从而更好地理解运动规律。

此外，直角坐标系也为计算机图形学等领域提供了重要的基础，使得我们可以实现平面上的各种图形显示和处理。