九年级数学上册3.5相似三角形的应用教案1(新版)湘教版

3.5 相似三角形的应用教学目标【知识与技能】能运用相似三角形的性质解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过例题的教学，让学生掌握解决实际问题的方法.【情感态度】进一步检验数学的应用价值.【教学重点】运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.【教学难点】运用相似三角形的性质解决简单的实际问题.教学过程一、情景导入，初步认知我们已经学习的相似三角形的性质有哪些？1.相似三角形对应角相等.2.相似三角形对应边成比例.3.相似三角形的周长之比等于相似比.4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.5.相似三角形对应边上的高线之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.思考：你能够将上面的数学问题转化为生活中的问题吗？【教学说明】复习相似三角形的性质，为本节课的教学作铺垫.二、思考探究，获取新知1.思考：如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端.小张想测量出A,B间的距离.但由于受条件限制无法直接测量.你能帮他想出一个可以的测量办法吗？【教学说明】由于我们学过三角形的全等，可能有一部分学生会用全等的知识来解决，应当鼓励.并引导学生思考能否用相似的知识来解决这个问题呢.我们可以这样做：如图，在池塘外取一点C,使它可以直接看到A,B两点，连接并延长AC,BC,在AC的延长线上取一点D,在BC的延长线上取一点E,使AC BCCD EC=k(k为整数）测量出DE的长度后，就可以用相似三角形的有关知识求出A,B两点间的距离了.2.根据上面的分析，写出当k=2,DE=50米时，AB的长，并写出解题过程.3.在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛O，准星A，靶心B在同一条直线上，在射击时，李明有轻微的抖动，致使准星A偏离到A′.如图所示，已知OA=0.2米，OB=50米，AA′=0.0005米，求李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB′.（AA′∥BB′）解：∵AA′∥BB′,∴△OAA′∽△OBB′,∵OA=0.2米，OB=50米，AA′=0.0005米∴BB′=0.125米.【教学说明】鼓励学生大胆的发言，积极讨论，教师作适当的引导、点评.三、运用新知，深化理解1.（1）某一时刻树的影长为8米,同一时刻身高为1.5米的人的影长为3米,则树高___米.（2）铁道的栏杆的短臂为OA=1米，长臂OB=10米，短臂端下降AC=0.6米，则长臂端上升BD=___米.【答案】（1）4（2）62.如图，已知零件的外径为a，要求它的厚度x，需先求出内孔的直径AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）去量，若OA∶OC=OB∶OD=n，且量得CD=b，求厚度x.分析：如图，要想求厚度x，根据条件可知，首先得求出内孔直径AB.而在图中可构造出相似形，通过相似形的性质，从而求出AB的长度.解：∵ OA∶OC＝OB∶OD＝n 且∠AOB＝∠COD;∴△AOB∽△COD.∴ OA∶OC＝AB∶CD＝n 又∵CD＝b,∴AB=CD·n ＝nb,3.如图，△ABC是一块锐角三角形材料，边BC=120毫米，高AD=80毫米，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？解：设正方形PQMN是符合要求的，△ABC的高AD与PN相交于点E. 设正方形PQMN的边长为x毫米.因为PN∥BC，所以△APN∽△ABC所以AE PN AD BC＝因此8080120x x＝得x=48（毫米）.答：这个正方形零件的边长是48毫米.4.如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF是多少？分析：设眼睛到目标的距离为xcm，由于OE=80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，又由于AB∥CD，所以利用相似三角形的性质即可求解．解：设眼睛到目标的距离为xcm，∵OE=80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，∴BE=12AB=0.1cm，DF=12CD=25cm，∵AB∥CD，∴△OBE∽△ODF，解得x=20000．因为20000cm=200m,所以眼睛到目标的距离OF是200m.【教学说明】通过练习，使学生掌握利用相似三角形解决实际问题的方法.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想,而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.课后作业布置作业：教材P93“习题3.5”中第2、3、5 题.教学反思本节课学生在富有故事性和现实性的数学情景问题中学会运用两个三角形相似解决实际问题，在解决实际问题中经历从实际问题到建立数学模型的过程，发展学生的抽象概括能力.在教学中突出了“审题，画示意图，明确数量关系解决问题”的数学建模过程，培养了学生把生活中的实际问题转化为数学问题的能力，利用图形的相似解决一些实际问题（如利用相似测量旗杆的高度）.测量某些不能直接度量的物体的高度，是综合运用相似知识的良好机会，通过本节知识的学习，可以使学生综合运用三角形相似的判定和性质解决问题，发展学生的应用意识，加深学生对于相似三角形的理解和认识.一节课下来基本达到了预期目标，大部分学生都学会了建立数学模型，利用相似的判定和性质来解决实际问题.。

《相似三角形的应用》教学设计◆教材分析本节课是湘教版数学九年级上册第三章图形相似的第五节课，是前面学习了简单的几何图形，三角形全等，平行四边形之后对几何图形之间的关系及性质的进一步研究，本节课主要讲解相似三角形的应用，本节课要求掌握应用相似三角形解决实际问题，进一步练习相似三角形的判定和性质的综合运用，渗透类比的数学思想，让学生感受数学的和谐美，并进一步养成严谨科学的学习品质。

因此本节课重点是掌握相似三角形的实际应用．所渗透的数学思想方法有：类比，转化，建模。

◆教学目标【知识与能力目标】1、系统掌握相似三角形的性质与判定；2、能熟练运用性质和判定定理解决一些简单的实际问题。

【过程与方法目标】通过对实际问题的研究，体会数学知识的现实意义。

渗透转化及分类的数学思想方法。

【情感态度价值观目标】通过巧妙的教学设计，激发学生的学习兴趣，让学生感受数学的美感。

在知识教学中体会数学知识的应用价值。

【教学重点】利用相似三角形解决简单实际问题。

【教学难点】把实际问题抽象为数学问题的过程。

多媒体课件。

一、导入新课1、若△ABC ～△A B C '''，你能说出哪些结论？相似三角形的性质有哪些？2、你能根据哪些条件判定△ABC ～△A B C '''？相似三角形有哪些判定方法？ 二、新课学习相似三角形性质的直接应用。

例1、如图，已知在△ABC 中，DE∥AB，DE ＝3，BC ＝7，根据性质回答问题：（1）AD ：AB （2）S △ADE ：S △ ABC （3）S △ ADE ：S 四边形 DBCE例2、如图，AB 是斜靠在墙壁上的长梯。

梯脚Ｂ距墙80cm ，梯上点Ｄ距墙70cm ，BD 长55cm ，梯子AB 的长( )◆ 教学过程◆ 课前准备◆ 教学重难点A、440B、400C、385D、365例3、（小孔成像问题）根据图中尺寸（AB∥CD），可以知道物像CD的长与物AB的长之间有什么关系呢？你能说出其中的道理。

3.5 相似三角形的应用1.学会利用相似三角形解决高度（长度）测量问题.（重点，难点）2.学会利用相似三角形解决河宽测量等问题.（重点，难点）一、情境导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？二、合作探究探究点一：运用相似三角形解决高度（长度）测量问题【类型一】利用影长测量高度（长度）如图所示，某同学身高（AB ）是1.66m ，测得他在地面上的影长（BC ）为2.49m ，如果这时操场上旗杆的影长为42.3m （BE ），那么旗杆的高度（DE ）是多少米？解析：首先根据已知条件求△ABC ∽△DEB .然后得出比例式，最后求出结果.解：∵AC ∥DB （平行光），∴∠ACB ＝∠DBE ，∵∠ABC ＝∠DEB ＝90°，∴△ABC ∽△DEB ，∴有AB DE ＝BCBE，DE ＝AB ·BEBC＝28.2m ，即旗杆高度是28.2m. 方法总结：同一时刻，同一地点对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的影长之比等于它们的高度之比.【类型二】利用标杆测量高度（长度）如图所示，为了测量某棵树的高度，小明用长为2m 的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿和树的顶端的影子恰好落在地面上的同一点，此时竹竿的底端与这一点相距6m ，与树的底端相距15m ，则树的高度为 m.解析：∵∠DOC ＝∠BOA ，∠BAO ＝∠DCO ＝90°，∴△OBA ∽△ODC ，∴BACD＝OA OC ＝OA OA ＋AC，又∵AO ＝6m ，BA ＝2m ，AC ＝15m ，∴DC ＝BA （OA ＋AC ）OA＝7m ，故填7.方法总结：本题把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形性质列出比例式求解即可.【类型三】利用镜面反射测量高度（长度）如图所示，某同学用如下方法测量教学楼AB 的高度，在水平地面上放一面平面镜，镜子与教学楼的距离EA ＝21m ，当他与镜子的距离CE ＝2.5m 时，他刚好能从镜子中看到教学楼顶端B ，已知他眼睛距地面的高度为DC ＝1.6m ，求教学楼AB 的高度.解析：由题意知△BAE ∽△DCE ，所以EA EC ＝ABDC，即可求出结果. 解：∵∠BAE ＝∠DCE ＝90°，∠BEA ＝∠DEC （光的反射定律），∴△BEA ∽△DEC ，∴EA EC ＝AB DC，∴AB ＝EA ·DCEC，∵CE ＝2.5m ，DC ＝1.6m ，EA ＝21m ，∴AB ＝13.44m ，即教学楼AB 的高度为13.44m.方法总结：解决此类问题，应先把实际问题转化为数学问题，找到相似三角形，利用相似三角形的性质求解.探究点二：运用相似三角形解决宽度测量问题如图所示，为了估算河的宽度，在河对岸选定一点A ，再在河的这一边选定点B 和点C ，使得AB ⊥BC ，然后选定点E ，使EC ⊥BC ，确定BC 与AE 的交点D ，若测得BD ＝180m ，DC ＝60m ，EC ＝50m ，则河宽为 m.解析：∵∠ABD ＝∠DCE ＝90°，∠ADB ＝∠EDC ，∴△ABD ∽△ECD ，∴AB EC ＝BD CD，AB ＝BD ·EC CD ，又∵BD ＝180m ，DC ＝60m ，EC ＝50m ，∴AB ＝BD ·EC CD ＝180m ×50m60m＝150m ，故填150.方法总结：被测量对象无法接近，对其宽度的测量便采用此间接的方式完成，构造相似三角形就是一种行之有效的途径.三、板书设计 相似三角形的应用⎩⎪⎨⎪⎧测量高度（长度）问题⎩⎪⎨⎪⎧利用影长测量利用标杆测量利用镜面反射测量测量河宽（宽度）问题本次教学过程是对本章理论和概念性知识进行系统全面的回顾，教学过程中不仅要引导学生认真归纳总结，进行知识点的系统梳理，更为重要的是发现学生疏忽的知识点，及时有效地帮助学生解决知识的疏漏，打下坚实的基础.。

相似三角形的应用1．进一步牢固相似三角形的知识．2．能运用三角形相似的知识，解决不可以直接丈量物体的长度和高度( 如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题 ) 等的一些实诘问题．3．经过把实诘问题转变为有关相似三角形的数学模型，进一步认识数学建模的思想，培育剖析问题、解决问题的能力．阅读教材 P91，自学“动脑筋”和“做一做” ，学会运用相似三角性的判断与性质解决实诘问题，学会从实诘问题中建立数学模型 .自学反响学生独立完成后集体校订①太阳光下，同一时辰，物体的长度与其影长成(正比或反比).②太阳光下，同一时辰，物体的高度、影子、光辉构成的三角形相似吗？活动 1小组议论例 1小刚用下边的方法来丈量学校大楼AB 的高度 . 如图，在水平川面上的一面平面镜，镜子与讲课大楼的距离 EA=21 m，当他与镜子的距离CE=2.5 m 时，他恰好能从镜子中看到讲课大楼的顶端B，已知他的眼睛距地面高度DC=1.6 m，请你帮助小刚计算出讲课大楼的高度AB是多少 m.( 注意 : 根据光的反射定律，反射角等于入射角)解 : 依据反射角等于入射角，则有∠DEF=∠ BEF，而 FE⊥AC，∴∠ DEC=∠ BEA.又∵∠ DCE=∠ BAE=90° ,∴△ DEC∽△ BEA.∴DC=BA.EC AE又∵ DC=1.6,EC=2.5,EA=21,∴=AB.2.5 21∴AB=13.44(m).即建筑物AB的高度为13.44 m.从实诘问题的状况中，找出相似三角形是解决本类题型的要点.活动 2追踪训练(独立完成后展现学习成就)1. 如图，小明在打网球时，击球点距球网的水平距离为8 m，已知网高为0.8 m ，要使球恰好能打过网，并且落在离网 4 m 米的地点，则球拍球时的高度h 为m.确立相似三角形，再依据相似三角形的性质求出线段的长.2. 一束平行的太阳光从教室窗户射入的平面表示图如图，光辉与地面所成角∠ AMC=30°，在教室地面的影长MN=23米，若窗户的下沿到教室地面的距离 BC=1米，则窗户的上沿到教室地面的距离AC 为 米 .应从实诘问题中建立相似的数学模型，将实诘问题转变为数学识题.阅读教材 P92，自学“例”，学会运用相似三角性的判断与性质解决实诘问题， 学会从实诘问题中建立数学模型.活动 1 小组议论例 2 如图，测得 BD=120 m,DC=60 m,EC=50 m,求河宽 .解 : 由题意 , 可得∠ B=∠ C=90° , ∠ ADB=∠EDC ， ∴△ ADB ∽△ EDC.∴ AB =BD .EC CD即 AB=BD ·EC = 120 50 =100(m). CD 60答 : 河宽 AB 为 100 m.证明相似三角形的方法很多，要依据实质状况，选择最简单、适合的一种 .活动 2 追踪训练 ( 独立完成后展现学习成就 )如图，一条河的两岸有一段是平行的，两岸岸边各有一排树，每排树相邻两棵的间隔都是 10 m ，在这岸走开岸边 16 m 处看 对岸 ，看到对岸的 两棵树的树干恰好被这岸两棵树的树干遮住，这岸的两棵树之间有 1 棵 树，但对岸 被遮住的两棵树之间有四棵树，求这段河的河宽是多少米？先由实诘问题建立相似的数学模型，可先证得△ADE∽△ ACB,再依据对应线段成比率可求出河宽，即线段 DC的长 .活动 3课堂小结学生试述 : 这节课学到了些什么？讲课至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学1】自学反响①正比②相似【合作研究1】活动 2追踪训练2.3 m【合作研究2】活动 2追踪训练24 m。

3.5 相似三角形的应用-湘教版九年级数学上册教案教学目标1.了解相似三角形的概念及相似三角形的判定方法。

2.能够使用相似三角形的应用知识解决实际问题。

教学重点相似三角形的应用。

教学难点如何将实际问题转化为相似三角形的问题。

教学内容相似三角形的应用相似三角形是指三角形中对应角度相等，对应边成比例的三角形。

在实际生活中，我们经常会用到相似三角形的应用，例如计算高楼的高度、测量地面距离等。

高楼的高度当我们要计算一座高楼的高度时，可以利用相似三角形的知识。

具体步骤如下：1.在地面上选取一个点A，以该点为顶点，向上看高楼顶部，测得目测角度θ。

2.移动到高楼底部，以此点为顶点，向上看高楼顶部，测得目测角度α。

3.记高楼底部点为B，高楼顶部点为C。

4.连接AB、AC两线段，得到三角形ABC。

5.根据三角形角度的性质，可知∠BAC = 180° - θ - α。

6.手持一根定长杆（长为L），站在点A处，将杆竖直向上，使其与地面成θ角。

7.在杆上固定一份长度为x的比例尺。

8.把杆向下斜放，使其同时与地面和高楼的顶部重叠。

9.此时，杆顶所在的线段与地面的距离为：AB = x / tanθ10.利用三角形的相似关系，得到高楼的高度为：AC = AB × (AC / AB) = AB × (L / x)= (x / tanθ) × (L / x)= L / tanθ其中，L为杆的长度，θ为目测的角度。

测量地面距离当我们要测量一条河流或悬崖的宽度或深度时，可以利用相似三角形的知识。

具体步骤如下：1.在地面上选取一个点A，以该点为顶点，向垂直于河流方向的方向（即河流的正交方向）看河流（或悬崖），测得目测角度θ。

2.站在地面上的A点向对岸看，确定另一个点C，使得AC垂直于河流（或悬崖）。

3.在A点向底部放下一条铅垂线AB。

记铅垂线上的交点为B。

4.再次测量发现AC上的垂线（即CB）的长度为x。

3.5 相似三角形的应用教学目标1.让学生会用相似三角形解决实际问题。

培养学生的观察、归纳、建模应用能力。

2.利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度的问题，让学生体会数学转化的思想。

3.让学生经历探究过程，发展学生的应用能力，让学生体会用数学知识解决实际问题的成就感。

教学重难点【教学重点】运用相似三角形解决实际问题。

【教学难点】在实际问题中建立数学模型。

课前准备无教学过程一.知识链接1. 我们已经学习的相似三角形性质有哪些？2.校园里有一棵大树，要测量树的高度，你能想出什么样的测量方法？说一说！二.探究展示(一)合作探究【活动1】测量河的宽度。

问题：如图，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量A ，B 间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，你能帮助他想出一个可行的测量方法吗?学生自学课本91页：教师指导学习理解，明确方法的运用原理。

方法如下：在池塘外取一点C ，使他可以直接看到A,B 两点，连接并延长AC ，BC ，在AC 的延长线上取一点D ，在AC 的延长线上取一点E ，使EC BC DC AC =，测量出DE 的长度后，就可以求出A,B 两点间的距离了。

出示数据，学生解答问题：如果ECBC DC AC ==2，且测得DE 的长为50m ，则A,B 两点间的距离为多少？ 设计意图：巩固相似三角形的有关知识，使学生知道数学来源于生活，能很好的解决实际问题。

【活动2】测量物体的高度。

问题： 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛（O ）、 准星（A ）、靶心点（B ）在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星A 偏离到A ′ ，如图所示:已知OA=0.2m ，OB=50m ， AA ′=0.0005m ， 求李明射击到的点B ′偏离靶心点B 的长度BB ′（近似地认为 AA ′∥ BB ′ ）.学生讨论解答，并解答过程。

共同总结解答上题的方法和依据：平行得到相似，相似得到对应边成比例，列比例式求值。

湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》教学设计一. 教材分析湘教版数学九年级上册3.5《相似三角形的应用》是本学期的重要内容。

本节内容通过引入实际问题，引导学生利用相似三角形的性质进行问题求解。

教材以生活中的实例为背景，让学生感受数学与生活的紧密联系，培养学生的应用意识。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了相似三角形的判定和性质，具备了一定的数学思维能力和问题解决能力。

但学生在实际应用中，可能会对一些复杂问题进行分析遇到困难，因此需要通过实例引导学生分析问题，逐步提高学生的应用能力。

三. 教学目标1.理解相似三角形的应用，能运用相似三角形的性质解决实际问题。

2.培养学生的分析问题、解决问题的能力。

3.增强学生对数学的兴趣，感受数学与生活的紧密联系。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形的应用，解决实际问题。

2.难点：对复杂问题进行分析，运用相似三角形的性质进行求解。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作法。

通过实例引入，引导学生自主探究，小组讨论，共同解决问题。

六. 教学准备1.准备相关的实例问题。

2.准备多媒体教学设备。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入：在一条直线上，有一点A和两个相似的三角形ABC 和DEF，AB=DE，BC=EF，AC=DF。

问：点A到直线BC的距离是多少？2.呈现（10分钟）呈现类似的几个问题，让学生尝试解决。

引导学生发现这些问题都可以通过相似三角形的性质来解决。

3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选取一个实例问题，运用相似三角形的性质进行求解。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）选取几组学生解决问题的结果，进行讲解和分析，巩固学生对相似三角形应用的理解。

5.拓展（10分钟）让学生尝试解决一些更复杂的问题，引导学生运用所学知识进行问题分解和求解。

6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，强调相似三角形在实际问题中的应用。