广西玉林市2016年中考数学二模试卷及答案
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广西玉林市2016年中考数学二模试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．﹣3是3的（）A．平方根B．倒数C．相反数D．绝对值2．已知一组数据10，8，9，x，4的众数是8，那么这组数据的中位数是（）A．4 B．8 C．9 D．103．若x＜﹣5，则下列不等式成立的是（）A．x2＞﹣5x B．x2≥﹣5x C．x2＜﹣5x D．x2≤﹣5x4．把100纳米（1纳米=10﹣6毫米）化成毫米是（）A．10﹣2毫米B．10﹣4毫米C．10﹣6毫米D．10﹣8毫米5．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥6．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D、E、F、G、H都在格点上，现以D、E、F、G、H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是（）A．△EHD B．△EGF C．△EFH D．△HDF7．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12米B．4米C．5米D．6米8．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．119．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为（）A．cm B．4cm C．cm D．cm10．如图，平行四边形ABCD的顶点B，D都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为，AB平行于x轴，点A的坐标为（0，3），将这个平行四边形向左平移2个单位、再向下平移3个单位后点C的坐标为（）A．（1，3）B．（4，3）C．（1，4）D．11．已知二次函数y=﹣x2+2x+1的顶点为A，与y轴交点为B，动点P（x，0）在x轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（﹣，0）D．（，0）12．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）A．80° B．70° C．60° D．50°二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．计算：2×（﹣）=．14．在“a2□4a□4”的□中，任意填上“+”或“﹣”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是．15．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2=．16．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为．17．如图，已知点A（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b=．18．如图，圆柱体内挖去一个与它不等高的圆锥，锥顶O到AD的距离为1，∠OCD=30°，OC=4，则挖去圆锥后的表面积是．三、解答题（共8小题，满分66分）19．计算：（﹣1）0+（﹣1）2015﹣2sin30°．20．先化简，再求值：，其中，．21．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m+4=0的实数根是x1，x2．（1）求m的取值范围．当x1+x2﹣x1x2＜﹣6，且m为整数时，求m的值．22．为了建设“魅力校园”，某学校准备推广由学生自行设计的礼仪校服，学生会设计了如图1的调查问卷，在全校学生中进行了一次调查，统计整理相关数据并绘制了如下两幅不完整的统计图（图2，图3）．请根据图中信息，解答下列问题：（1）计算扇形统计图3中m=；该校有名学生支持选项A，补全条形统计图2；（3）2015年九年级（一）班支持选项A的人数占全校支持选项A的人数的2.5%，若要从该班支持选项A的学生中随机选择一名同学试穿礼仪校服，则该班支持选项A的小美同学被选中的概率是多少？23．杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E 与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．25．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，△AFC的面积为20，试求∠BFA的度数．26．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．广西玉林市2015年中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．﹣3是3的（）A．平方根B．倒数C．相反数D．绝对值考点：实数的性质．分析：只有符合不同的两个数互为相反数．解答：解：﹣3是3的相反数．故选：C．点评：本题主要考查的是相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键．2．已知一组数据10，8，9，x，4的众数是8，那么这组数据的中位数是（）A．4 B．8 C．9 D．10考点：中位数；众数．分析：根据众数的定义先求出x的值，再根据中位数的定义把这组数据从小到大排列，找出最中间的数，即可得出答案．解答：解：∵数据10，8，9，x，4的众数是8，∴x=8，把这组数据从小到大排列为：4，8，8，9，10，最中间的数是8，则这组数据的中位数是8；故选B．点评：此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．3．若x＜﹣5，则下列不等式成立的是（）A．x2＞﹣5x B．x2≥﹣5x C．x2＜﹣5x D．x2≤﹣5x考点：不等式的性质．分析：根据不等式的基本性质判断得出即可．解答：解：∵x＜﹣5，∴x2＞﹣5x（在不等式的两边同乘以一个负数，不等号的方向改变）．故选：A．点评：本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．4．把100纳米（1纳米=10﹣6毫米）化成毫米是（）A．10﹣2毫米B．10﹣4毫米C．10﹣6毫米D．10﹣8毫米考点：科学记数法—表示较小的数．分析：绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．解答：解：把100纳米（1纳米=10﹣6毫米）化成毫米是10﹣4毫米．故选：B．点评：本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．5．如图是某几何体的三视图，则该几何体是（）A．圆柱B．圆锥C．球D．三棱锥考点：由三视图判断几何体．分析：根据几何体的三视图，对各个选项进行分析，用排除法得到答案．解答：解：根据主视图是三角形，圆柱和球不符合要求，A、C错误；根据俯视图是圆，三棱锥不符合要求，D错误；根据几何体的三视图，圆锥符合要求．故选：B．点评：本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形是解题的关键．6．如图，在正方形网格中，△ABC的三个顶点及点D、E、F、G、H都在格点上，现以D、E、F、G、H中的三点为顶点画三角形，则下列与△ABC面积相等但不全等的三角形是（）A．△EHD B．△EGF C．△EFH D．△HDF考点：全等三角形的判定．分析：根据所给三角形结合三角形全等的判定定理可得△EHD与△ABC全等，△EGF与△ABC全等，因此A、B错误；△EFH与△ABC不全等，但是面积也不相等，故C错误；△HDF与△ABC 不全等，面积相等，故此选项正确．解答：解：A、△EHD与△ABC全等，故此选项不合题意；B、△EGF与△ABC全等，故此选项不合题意；C、△EFH与△ABC不全等，但是面积也不相等，故此选项不合题意；D、△HDF与△ABC不全等，面积相等，故此选项符合题意；故选：D．点评：此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．7．河堤横断面如图所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（）A．12米B．4米C．5米D．6米考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．分析：根据迎水坡AB的坡比为1：，可得=1：，即可求得AC的长度，然后根据勾股定理求得AB的长度．解答：解：Rt△ABC中，BC=6米，=1：，∴AC=BC×=6，∴AB===12．故选A．点评：此题主要考查解直角三角形的应用，构造直角三角形解直角三角形并且熟练运用勾股定理是解答本题的关键．8．过多边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成8个三角形，这个多边形的边数是（）A．8 B．9 C．10 D．11考点：多边形的对角线．分析：经过n边形的一个顶点的所有对角线把多边形分成（n﹣2）个三角形，根据此关系式求边数．解答：解：设多边形有n条边，则n﹣2=8，解得n=10．故这个多边形的边数是10．故选：C．点评：考查了多边形的对角线，解决此类问题的关键是根据多边形过一个顶点的对角线与分成的三角形的个数的关系列方程求解．9．如图，△ABC中，AB=AC，点D、E分别是边AB、AC的中点，点G、F在BC边上，四边形DEFG是正方形．若DE=2cm，则AC的长为（）A．cm B．4cm C．cm D．cm考点：三角形中位线定理；等腰三角形的性质；勾股定理；正方形的性质．专题：计算题．分析：根据三角形的中位线定理可得出BC=4，由AB=AC，可证明BG=CF=1，由勾股定理求出CE，即可得出AC的长．解答：解：∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴DE=BC，∵DE=2cm，∴BC=4cm，∵AB=AC，四边形DEFG是正方形．∴△BDG≌△CEF，∴BG=CF=1，∴EC=，∴AC=2cm．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定、勾股定理、等腰三角形的性质以及正方形的性质，是基础题，比较简单．10．如图，平行四边形ABCD的顶点B，D都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为，AB平行于x轴，点A的坐标为（0，3），将这个平行四边形向左平移2个单位、再向下平移3个单位后点C的坐标为（）A．（1，3）B．（4，3）C．（1，4）D．考点：平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变化-平移．分析：由平行四边形ABCD的顶点B，D都在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为，可求得反比例函数的解析式，又由AB平行于x轴，点A的坐标为（0，3），即可求得点B的坐标，继而求得点C的坐标，然后根据平移的性质，求得答案．解答：解：∵D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点D的坐标为，∴k=xy=2×6=12，∴反比例函数为：y=，∵点A的坐标为（0，3），∴点B的纵坐标为：3，∴3=，解得：x=4，∴点B（4，3），∵四边形ABCD是平行四边形，∴点C（6，6），∴将这个平行四边形向左平移2个单位、再向下平移3个单位后点C的坐标为：（4，3）．故选B．点评：此题考查了平行四边形的性质以及反比例函数的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．11．已知二次函数y=﹣x2+2x+1的顶点为A，与y轴交点为B，动点P（x，0）在x轴上运动，当线段AP与线段BP之差达到最大时，点P的坐标是（）A．（﹣1，0）B．（1，0）C．（﹣，0）D．（，0）考点：二次函数的性质．分析：先求出A、B两点的坐标，再利用待定系数法求出直线AB的解析式，根据三角形的三边关系即可得出结论．解答：解：∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x2﹣2x）+1=﹣（x﹣1）2+2，∴A（1，2）．∵当x=0时，y=1，∴B（0，1）．令直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线AB的解析式为y=x+1．∵|AP﹣BP|≤AB，∴当点P在直线AB上时，线段AP与线段BP之差最大，∵P（x，0），∴x+1=0，解得x=﹣1，∴P（﹣1，0）．故选A．点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的顶点坐标及二次函数与坐标轴交点的特点是解答此题的关键．12．如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连接CD．如果∠BAC=20°，则∠BDC=（）A．80° B．70° C．60° D．50°考点：圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；翻折变换（折叠问题）．分析：连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出∠ACB，根据直角三角形两锐角互余求出∠B，再根据翻折的性质得到所对的圆周角，然后根据∠ACD等于所对的圆周角减去所对的圆周角可得出∠DAC的度数，由三角形外角的性质即可得出结论．解答：解：如图，连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=90°﹣∠BAC=90°﹣20°=70°．根据翻折的性质，所对的圆周角为∠B，所对的圆周角为∠ADC，∴∠ADC+∠B=180°，∴∠B=∠CDB=70°，故选B．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．二、填空题（共6小题，每小题3分，满分18分）13．计算：2×（﹣）=﹣1．考点：有理数的乘法．分析：根据有理数的乘法法则，即可解答．解答：解：2×（﹣）=﹣2，故答案为：﹣1．点评：本题考查了有理数的乘法，解决本题的关键是熟记有理数的乘法法则．14．在“a2□4a□4”的□中，任意填上“+”或“﹣”，在所得到的代数式中，可以构成完全平方式的概率是0.5．考点：概率公式；完全平方式．专题：压轴题．分析：列举出所有情况，让可以构成完全平方式的情况数除以总情况数即为所求的概率．解答：解：在2个□中，任意填上“+”或“﹣”，共4种填法，有2种可以构成完全平方式，故其概率为=0.5．点评：本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=；a2±2ab+b2可构成完全平方式．15．如图，一个含有30°角的直角三角形的两个顶点放在一个矩形的对边上，若∠1=25°，则∠2= 115°．考点：平行线的性质．分析：将各顶点标上字母，根据平行线的性质可得∠2=∠DEG=∠1+∠FEG，从而可得出答案．解答：解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠2=∠DEG=∠1+∠FEG=115°．故答案为：115°．点评：本题考查了平行线的性质，解答本题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行内错角相等．16．已知函数y=（k﹣3）x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的取值范围为k≤4．考点：抛物线与x轴的交点．分析：分为两种情况：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，求出△=b2﹣4ac=﹣4k+16≥0的解集即可；②当k﹣3=0时，得到一次函数y=2x+1，与X轴有交点；即可得到答案．解答：解：①当k﹣3≠0时，（k﹣3）x2+2x+1=0，△=b2﹣4ac=22﹣4（k﹣3）×1=﹣4k+16≥0，k≤4；②当k﹣3=0时，y=2x+1，与x轴有交点；故k的取值范围是k≤4，故答案为：k≤4．点评：本题主要考查对抛物线与x轴的交点，根的判别式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能进行分类求出每种情况的k是解此题的关键．17．如图，已知点A（5，0），直线y=x+b（b＞0）与y轴交于点B，连接AB，∠α=75°，则b= 5．考点：解直角三角形；一次函数图象上点的坐标特征．分析：首先根据直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点C、点B，求出点C，点B的坐标各是多少；然后根据∠α=75°，∠BCA=45°，应用三角形的外角的性质，求出∠BAC的度数是多少，进而求出b的值是多少即可．解答：解：如图1，，∵直线y=x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点C、点B，∴点C的坐标是（﹣b，0），点B的坐标是（0，b），∵∠α=75°，∠BCA=45°，∴∠BAC=75°﹣45°=30°，∴解得b=5．故答案为：5．点评：（1）此题主要考查了解直角三角形问题，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确解直角三角形要用到的关系：①锐角直角的关系：∠A+∠B=90°；②三边之间的关系：a2+b2=c2．此题还考查了一次函数图象上点的坐标特征，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．18．如图，圆柱体内挖去一个与它不等高的圆锥，锥顶O到AD的距离为1，∠OCD=30°，OC=4，则挖去圆锥后的表面积是（16+8）π．考点：圆锥的计算．分析：首先过点O作OE⊥CD于点E，利用锐角三角函数关系求出EO，EC的长度，进而得出圆锥侧面积，圆柱底面圆的面积，圆柱侧面积，即可得出挖去后该物体的表面积．解答：解：过点O作OE⊥CD于点E，∵∠OCD=30°，OC=4，∴sin30°==，解得：EO=2，cos30°===，解得：EC=2，故由题意可得出：圆锥底面半径为2，DC=1+EC=1+2，则圆锥侧面积为：S=π×底面圆的半径×母线=π×2×4=8π，圆柱底面圆的面积为：π×2 2=4π，圆柱侧面积为：底面圆的周长×圆柱的高=2×π×2×（1+2）=4π+8π，故该物体的表面积=圆锥侧面积+圆柱底面圆的面积+圆柱侧面积=8π+4π+4π+8π=（16+8）π．故答案为：（16+8）π．点评：此题主要考查了圆锥的有关计算以及圆柱侧面积求法和锐角三角函数的应用等知识，根据图象得出该物体的表面积=圆锥侧面积+圆柱底面圆的面积+圆柱侧面积是解题关键．三、解答题（共8小题，满分66分）19．计算：（﹣1）0+（﹣1）2015﹣2sin30°．考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用乘方的意义计算，最后一项利用特殊角的三角函数值计算即可得到结果．解答：解：原式=1﹣1﹣2×=﹣1．点评：此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20．先化简，再求值：，其中，．考点：分式的化简求值；二次根式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x与y的值代入进行计算即可．解答：解：原式===，当，时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．21．已知关于x的一元二次方程x2+4x+m+4=0的实数根是x1，x2．（1）求m的取值范围．当x1+x2﹣x1x2＜﹣6，且m为整数时，求m的值．考点：根的判别式；根与系数的关系．分析：（1）由一元二次方程x2+4x+m+4=0有实数根，可得判别式△=42﹣4×1×（m+4）=﹣4m≥0，解此不等式即可求得m的取值范围；根据根与系数的关系，可得x1+x2=﹣4，x1x2=m+4，继而可得﹣4﹣m﹣4＜﹣6，根据（1）可得：m≤0，则可求得答案．解答：解：（1）∵方程有实数根，∴△≥0，∴△=42﹣4×1×（m+4）=﹣4m≥0，∴m≤0，∴m的取值范围为m≤0；由根与系数的关系得：x1+x2=﹣4，x1x2=m+4，∵x1+x2﹣x1x2＜﹣6，∴﹣4﹣m﹣4＜﹣6，∴m＞﹣2，由（1）知m≤0，∵m为整数，∴m=﹣1或0．点评：此题考查了一元二次方程根与系数的关系与根的判别式．此题难度不大，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．22．为了建设“魅力校园”，某学校准备推广由学生自行设计的礼仪校服，学生会设计了如图1的调查问卷，在全校学生中进行了一次调查，统计整理相关数据并绘制了如下两幅不完整的统计图（图2，图3）．请根据图中信息，解答下列问题：（1）计算扇形统计图3中m=70；该校有1960名学生支持选项A，补全条形统计图2；（3）2015年九年级（一）班支持选项A的人数占全校支持选项A的人数的2.5%，若要从该班支持选项A的学生中随机选择一名同学试穿礼仪校服，则该班支持选项A的小美同学被选中的概率是多少？考点：条形统计图；扇形统计图；概率公式．分析：（1）用单位“1”减B，C，D的百分比就是A的百分比求解．用支持B的学生数除以它对应的百分比就是全校学生数，用全校学生数乘支持A的学生百分比就是支持A的学生人数，再利用这个数据补全条形统计图．（3）利用概率的公式求解．解答：解：（1）扇形统计图3中1﹣1%﹣4%﹣25%=m%，解得m=70，故答案为：70．该校支持选项A的学生数为：700÷25%×70%=1960，如图，故答案为：1960．（3）该班支持选项A的小美同学被选中的概率是：=．点评：本题主要考查了条形统计图和扇形统计图及概率，解题的关键是能把条形和扇形统计图的数据相结合求解．23．杭州国际动漫节开幕前，某动漫公司预测某种动漫玩具能够畅销，就用32000元购进了一批这种玩具，上市后很快脱销，动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元．（1）该动漫公司两次共购进这种玩具多少套？如果这两批玩具每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？考点：分式方程的应用；一元一次不等式组的应用．专题：应用题．分析：（1）设动漫公司第一次购x套玩具，那么第二次购进2x套玩具，根据第二次比第一次每套进价多了10元，可列方程求解．根据利润=售价﹣进价，根据且全部售完后总利润率不低于20%，这个不等量关系可列方程求解．解答：解：（1）设动漫公司第一次购x套玩具，由题意得：=10，解这个方程，x=200经检验x=200是原方程的根．∴2x+x=2×200+200=600答：动漫公司两次共购进这种玩具600套．设每套玩具的售价y元，由题意得：≥20%，解这个不等式，y≥200答：每套玩具的售价至少是200元．点评：本题考查理解题意能力，根据两次购进的价格不同的等量关系列出方程求解，根据全部售完后总利润率不低于20%，列出不等式求解．24．已知：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E 与点C重合，得△GFC．（1）求证：BE=DG；若∠B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论．考点：菱形的判定；直角三角形全等的判定；平行四边形的性质；平移的性质．专题：几何综合题．分析：（1）根据平移的性质，可得：BE=FC，再证明Rt△ABE≌Rt△CDG可得：BE=DG；要使四边形ABFG是菱形，须使AB=BF；根据条件找到满足AB=BF的AB与BC满足的数量关系即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD．∵AE是BC边上的高，且CG是由AE沿BC方向平移而成．∴CG⊥AD．∴∠AEB=∠CGD=90°．∵AE=CG，∴Rt△ABE≌Rt△CDG（HL）．∴BE=DG；解：当BC=AB时，四边形ABFG是菱形．证明：∵AB∥GF，AG∥BF，∴四边形ABFG是平行四边形．∵Rt△ABE中，∠B=60°，∴∠BAE=30°，∵四边形ABFG是菱形，∴AB=BF，∴EF=AB，∵BE=CF，∴BC=AB．点评：本题考查平移的基本性质是：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．25．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且∠DBA=∠BCD．（1）根据你的判断：BD是⊙O的切线吗？为什么？若点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且△BEF的面积为10，△AFC的面积为20，试求∠BFA的度数．考点：切线的判定；相似三角形的判定与性质．分析：（1）连结BO，则可得∠BAO=∠ABO，由AC为直径结合已知∠DBA=∠BCD，可得∠DBO=90°可证得结论；可证得△BFE∽△AFC，可得出，可求得∠AFB为45°．解答：解：（1）BD是⊙O的切线，理由如下：连结BO，如图∵BO=AO∴∠BAO=∠ABO∵AC为直径∴∠BAO+∠ACB=90°∵∠DBA=∠BCD∴∠DBA+∠ABO=90°即∠DBO=90°∴OB⊥DB∴BD是⊙O的切线．由圆周角定理可知∠BEF=∠ACF，∠EBF=∠CAF∴△BFE∽△AFC，∴∴∴∠AFB=45°．点评：此题主要考查切线的判定方法及相似三角形判定和性质的应用，其中第二问是难点，解决的关键是利用三角形相似找到AF和BF之间的关系，结合三角函数求得．26．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0），点B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP=t．（Ⅰ）如图①，当∠BOP=30°时，求点P的坐标；（Ⅱ）如图②，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ=m，试用含有t的式子表示m；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时，求点P的坐标（直接写出结果即可）．考点：翻折变换（折叠问题）；坐标与图形性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（Ⅰ）根据题意得，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（Ⅱ）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（Ⅲ）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m=，即可求得t的值．解答：解：（Ⅰ）根据题意，∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP=2t．∵OP2=OB2+BP2，即2=62+t2，解得：t1=2，t2=﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（，6）．（Ⅱ）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′=∠OPB，∠QPC′=∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC=180°，∴∠OPB+∠QPC=90°，∵∠BOP+∠OPB=90°，∴∠BOP=∠CPQ．又∵∠OBP=∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ，∴，由题意设BP=t，AQ=m，BC=11，AC=6，则PC=11﹣t，CQ=6﹣m．∴．∴m=（0＜t＜11）．（Ⅲ）过点P作PE⊥OA于E，∴∠PEA=∠QAC′=90°，∴∠PC′E+∠EPC′=90°，∵∠PC′E+∠QC′A=90°，∴∠EPC′=∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴，∵PC′=PC=11﹣t，PE=OB=6，AQ=m，C′Q=CQ=6﹣m，∴AC′==，∴，∴，∴3（6﹣m）2=（3﹣m）（11﹣t）2，∵m=，∴3（﹣t2+t）2=（3﹣t2+t﹣6）（11﹣t）2，∴t2（11﹣t）2=（﹣t2+t﹣3）（11﹣t）2，∴t2=﹣t2+t﹣3，∴3t2﹣22t+36=0，解得：t1=，t2=，点P的坐标为（，6）或（，6）．法二：∵∠BPO=∠OPC′=∠POC′，∴OC′=PC′=PC=11﹣t，过点P作PE⊥OA于点E，则PE=BO=6，OE=BP=t，∴EC′=11﹣2t，在Rt△PEC′中，PE2+EC′2=PC′2，即（11﹣t）2=62+（11﹣2t）2，解得：t1=，t2=．点P的坐标为（，6）或（，6）．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想与方程思想的应用．。
